Численно-аналитическое исследование ограниченных потоков тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

#

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Чувашский государственный университет имени И.Н.Ульянова

УДК 532.5

На правах рукописи

'ГРОЕШЕСТОВА Дарья Анатольевна

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОГРАНИЧЕННЫХ ПОТОКОВ |

01.02.05 Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары 1997

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова

Научные руководители -Заслуженный деятель науки ЧР, доктор физико-математических наук, академик НАНИ ЧР А.Г.Тсрентьег кандидат физико-математических наук, доцент Н.П.Порфнрьев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В.П.Житников, кандидат физико-математических наук, доцент В.Н.Васильев

Защита состоится «25» декабря 1997 т. в 10 часов на заседзнк диссертационного совета К 064.15.02 в Чувашском государственно университете им. И. Н. Ульянова по адресу: 428015, г.Чебоксар! ул.Университетская, д.38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашско! государственного университета.

Ведущая организация -Кемеровский государственный университет

Автореферат разослан «Л&> ноября 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических на)

^В .Никитин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена исследованию аналитических и чп-ленных методов расчета потенциальных течений, ограниченных свободными и твердыми поверхностями.

Актуальность темы. Задачи о течениях, ограниченных твердыми и свободными поверхностями возникают при расчете различных гидросистем, . также при прогнозировании возможности генерации волн на поверхно-:ти воды при различных сейсмических явлениях. Методы исследований [редставляют также теоретический интерес, поскольку ограниченные те-гения имеют определенные особенности, связанные с бесконечно удаленными точками.

Дель диссертационной работы. Целью работы является: исследование говых аналитических и численных методов решения потенциальных по-■оков жидкостей, ограниченных твердыми и свободными поверхностями; численное исследование деформации свободной поверхности весомой жи-кости при мгновенном импульсивном смещении твердой границы; анали-пческое исследование в рамках линейной теории задачи о возбуждении равитационных волн разрывными по времени импульсивными смещени-мп дна.

1аутгаая новиопа. Научная новизна работы состоит в:

1) применении метода погружения для расчета течения в плоском криво-пнейном канале;

2) применении метода граничных элементов для решения той же задачи;

3) применении метода расчета осеспмметричного течения в криволиней-ом канале, с использованием р-аналитпческих функций комплексного пере-:енного;

4) численном решении нелинейной задачи о деформации свободной по-ерхности весомой жидкости;

5) постановке и методе решения задачи Коши-Пуассона в слое жидко-ги конечной глубины, на поверхности дна которой заданы распределения шростей, имеющие разрывы первого рода в начальный момент времени на заключительной стадии движения дна;

6) численном и асимптотическом анализе решений плоской и осесим-етричноп задач формирования и распространения гравитационных волн, эзбуждаемых внезапными смещениями дна.

)боснованность и достоверность. Достоверность полученных резуль-атов подтверждается строгим решением поставленных краевых задач, эавнением численных решений с аналитическими.

[рактическая ценность. Результаты работы могут представлять инте-ес для практических целей при проектировании гидросистем, при созда-

нии системы численной обработки данных о подвижках дна, генерирующи волны на поверхности жидкости, а также в теории численных и аналит! ческих методов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере их пс лучения докладывались и обсуждались: на научном семинаре, иосвяще! ном 80-летию профессора С.Ф.Сайкина в Чувашском государственном уш верситете им И.Н.Ульянова (Чебоксары, 1994), на международной научнс технической конференции "Механика Машиностроения" (Набережные Че; ны, 1995), на международной конференции "Оптимизация конечно-элемеЕ тных апроксимации" (Санкт-Петербург, 1995), на научной конференцш посвященной 60-летию заслуженного деятеля науки Чувашской республик: А.Г.Терентьева (Чебоксары, 1996), на VI Всероссийской научной школ "Гидродинамика больших скоростей" (Чебоксары, 1996), на Всероссийско] конференции "Современные методы и достижения в механике сплошны сред" (Москва, 1997).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, тре: глав, заключения и списка литературы. Главы диссертации разбиты н; параграфы, общее число которых - 20. Общий объем работы - 168 страниц Количество рисунков - 28. Таблиц - 9. Список литература насчитываем 134 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулиро вана цель работы, дан обзор литературы по затронутым вопросам, краткс изложено содержание работы и приведены результаты, выносящиеся нг защиту.

В первой главе основное внимание уделено методам расчета потенциальных течений несжимаемой жидкости в каналах и трубах криволинейной конфигурации.

В §1 дана постановка плоской задачи о течении идеальной несжимаемой жидкости в криволинейном канале. Пусть идеальная несжимаемая жидкость движется в канале с криволинейными стенками, конфигурация которых задана уравнениями

у - /1(2), -оо<х<оо, (1)

где индексы 1 и 2 соответствуют верхней и нижней стенке. Функции /1(1) и /г(х) считаются непрерывными, а их первые производные - ограниченными Кроме того, /¡(¿г) и /2(2) имеют горизонтальные ассимптоты у = у = Нч слева на бесконечности и у = кх, у = - справа на бесконечности. Без ограничения общности задачи ширину канала Н = Щ - Я2 и скорость

потока V] слева на бесконечности можно считать равными 1. Это означает, что все размерные величины отнесены к Ух и Н или к их произведениям.

Если течение является безвихревым, то движение жидкости обладает потенциалом скоростей ц>(х, у), который является гармонической функцией, удовлетворяющей в области течения уравнению Лапласа и следующим граничным условиям:

— на стенках канала - условию непроницаемости др/дп — 0, которое можно записать в виде ^ (}у

и V ' ^

— на бесконечности слева и справа

Вместо функции <р можно рассматривать аналитическую функцию ги(г) = <р+гф, называемую комплексным потенциалом. Ее производная равна комплексно-сопряженной скорости: ¿т/йг — и- гь.

На стенках канала при стационарном процессе функция тока ф принимает постоянное значение. Без ограничения общности можно положить, что на нижней стенке канала ф = 0, тогда на верхней стенке ф = 1. Таким образом, область изменения комплексного потенциала представляет собой полосу единичной ширины, а определение функции ги(г) сводится к конформному отображению области течения, представляющей криволинейную полосу на прямолинейную полосу единичной ширины.

Пусть на сторонах полосы в плоскости и> известна мнпмая часть функции -г(ш), т.е. на верхней стенке у = 1), на нижней - у = У2{<р,0)-Применив оператор Шварца и выполнив необходимые преобразования можно получить систему двух нелинейных интегральных уравнений относительно функций у\(<р), уъ{ф)'-

/4 / ]таЪ^1(ц) = Уъ (4)

—оо —оо

]1Льъ^1<И)=у2, (5)

—оо —оо

которая является достаточно сложной для непосредственного решения, поэтому в настоящей работе рассматриваются другие методы решения поставленной задачи.

В §2 приводится метод решения, основанный на конформном отображении физической области течения г и области изменения комплексного потенциала и> на каноническую область, в качестве которой используется внутренность круга единичного радиуса.

Для простоты изложения будем рассматривается течение в симметричном канале, полуширина которого слева на бесконечности равна Н, справа на бесконечности - h. Отображающую функцию предлагается отыскивать в виде

~(0 = ~1п(С +1) - ~ 1п(С-1) + 2Л«+£ акС*. (6)

77 " 4=0

В силу симметричности области коэффициенты ак являются действительными числами. Используя полярную форму записи для точек окружности выделяются действительная п мнимая части функции (6) х(а), у{о). На дуге 0 < а < тг должна выполняться функциональная зависимость

/(®(<0)=1/(а), (7)

которая служит для определения коэффициентов Для вычисления этих коэффициентов предлагается два метода: "коллокации" и последовательных приближений. В общем несимметричном случае коэффициенты ак будут комплексными и для их нахождения необходимо удовлетворять условие (7) на всей окружности 0 < а < 27г.

. С помощью численных экспериментов установлено, что не всегда конформное отображение (6) приводит к удовлетворительным результатам. Выявлена зависимость между конфигурацией полосы и точностью решения задачи.

В §3 рассмотрено течение в симметричном канале, для которого можно вывести точные аналитические формулы для определения поля скоростей в области течения.

Пусть область течения в физической плоскости z — x + iy представляет собой криволинейную полосу, которую можно конформно отобразить на круг единичного радиуса вспомогательной плоскости ( = £ + ir/ с помощью функции (6), в которой все коэффициенты равны нулю.

С помощью конформного отображения области изменения комплексного потенциала w(z) — ip(x,y)+iiji(x,y), представляющую собой прямолинейную полосу, на круг ¡(| < 1 находится попе скоростей в области течения:

dw dw d( 2

u-w==d^=d^^ = i + h-(i-h)C (8)

В §4 предлагается метод, идея которого заключается в погружении области теченпя в некоторую заданную прямолинейную полосу и решении в ней задачи Шварца по мнимой части. Этот метод применяется для решения прямой задачи об определении поля скоростей в потоке несжимаемой жидкости в канале произвольного профиля, а в случае симметричного канала - и для решения обратной задачи об определении формы границы канала по заданному распределению скорости на его осп.

Рассматривается течение в канале, конфигурация стенок которого задана уравнениями (1). Пусть h < Н < 1, тогда вся область течения располагается внутри полосы шириной 7г/2. Далее изучается течение в канале шириной тг/2 с проницаемыми стенками. Известное решение краевой задачи Шварца для полосы шириной 7г/2 с граничными условиями v — иi(x) на интервале (-00,-fco), v = i>2(x) на интервале (-oo + in/2,oo + in/2) преобразуется к виду:

" - =4 / 3stthw') - *)а - \ ] - z)а + с, (9)

о о

где z = x + iy, с - действительная постоянная.

В подынтегральной функции (9) неизвестные функции v\(t) и отыскиваются в виде тригонометрических рядов с неизвестными действительными коэффициентами ап, Ьп.

Из условий на бесконечности (3) находятся коэффициенты üq, с, остальные коэффициенты находятся из системы линейных уравнений, полученной с помощью метода коллокаций для равенств, выражающих кинематическое условие на стенках канала.

В §5 проводится численное исследование течения в криволинейном канале методом граничных элементов. Пусть конфигурация канала такова, что значения у = f\(x) и у — /2(1) изменяются вдоль оси Ох на конечном интервале х е [--R; i?] и отличаются от значений своих ассимптот при х < -R и х > R на достаточно малую величину е. Предлагается исследовать течение в усеченной области при х е [-J?; i?j, т.е. отыскивать функцию ip(x,y) или ф(х,у) в области, ограниченной стенками канала и прямыми х = -R и х = R.

В §6 исследуются течения в осесимметричных трубах с помощью методов теории р-аналитпческих функций. Обобщенные аналитические функции с характеристикой р = р(х,у) > 0, введенные Положим (Положий Г.Н. Теория и применение р-аналитическпх и (p,q)- аналитических функций. Киев: Наукова думка. 1973), выражаются через классические аналитические функции и, следовательно, если задача сводится к отысканию р-аналитическпх функций, то для ее исследования можно также применить аппарат теории функции комплексных переменных. Приложения теории р-аналитических функций к различным задачам гидродинамики можно найти в работах О.Г.Гомана, В.В.Попова, Е.Т.Коковина, В.П.Житникова, А.Г.Терентьева, Н.А.Дпмитриевоп.

Пусть идеальная несжимаемая жидкость движется в осе симметричной трубе переменного радиуса. Слева на бесконечности радиус трубы и скорость потока равны 1, справа на бесконечности - h и Уд. В цилиндрической сп-

стеме координат х,в,у потенциал <р(х,у) и функция тока ф(х,у) удовлетво ряют соотношениям:

dip _1_дф др _ _1дф

Ъх~у~Щ]'' ~Ву ~ у~5х' ^

Условия (10) определяют обобщенную аналитическую функцию w(z) -:р{х,у) 4- 1ф(х,у) с характеристикой р = у, для которой в рассматриваемо! области течения, лежащей в верхней полуплоскости у > 0 справедливо интегральное представление через аналитическую функцию, из которого по лучены формулы

д' дФ '/2

J u(ysma)da, ~ / v{ysma)sia.ada, (И]

о о

где вив - сопряженные гармонические функции. Эти функции предлагаете представить в виде тригонометрических рядов, и с помощью рассуждений аналогичных §4, выводятся формулы для определения коэффициентов а0 и с и система линейных алгебраических уравнений для определения остальных интерполяционных коэффициентов а„,п = 1 ,N. На рис. 1 показаны эпюры скоростей по сечениям канала, конфигурация стенок которого задана уравнением у-{Н + h)j2 - (Я - h)thkx/2 при h = 0.4 и к = 1.

Вторая глава посвящена исследованию нестационарной задачи о генерации волн на свободной поверхности весомой жидкости.

В §7 изложена общая постановка задачи. Если деформация дна известна, то гидродинамическая задача заключается в следующем: найти потенциал скорости 1p{M,t), удовлетворяющий в области течения D уравнению Лапласа, кинематическому условию на твердой границе 7].-

= Ne-n, (12)

кинематическому и динамическому условиям на свободной границе 72 OC(NJ)

иг

- + y<Vv> = 0, Ne 72, (13)

+ = 0, Неъ, (14)

где С = С(ад - уравнение свободной границы, направление вектора д совпадает с направлением вектора Ох.

Кроме того, необходимо задать начальное значение потенциала у>о ПРИ

При импульсной постановке задачи учитывается, что деформация дна при землетрясении происходит в весьма короткое время, т.е. происходит удар дна о жидкость. Ударная задача сводится к определению потенциала

Ф(М), удовлетворяющего в заданной области уравнению Лапласа и следующим граничным условиям: на твердой границе кинематическому условию

на свободной поверхности 72 динамическому условию

Ф(7У) = 0 или ЩР~ = 0. (16)

Из ударной задачи определяется потенциал Ф и попе скоростей УФ, в том числе распределение вертикальной скорости {/(ЛГ) на свободной границе. Предполагается, что начальная нормальная скорость деформация свободной границы совпадает с нормальной скоростью при ударе, т.е. д<р$/дп = (ЭФ/дп на 72. Для определения потенциала <р$(М), решается краевая задача со следующими граничными условиями:

^ = 0 на дне 7ь (17)

= на езободной поверхности 72. (18)

В §8 предлагается аналитическое и численное решения плоской задачи об ударе твердой границы о жидкость. Пусть идеальная несжимаемая жидкость заполняет прямолинейную полосу шириной Н, одна граница которой представляет твердую стенку, вторая - свободную границу. Выберем систему координат таким образом, чтобы действительная ось Ох была направлена вертикально вниз, а мнимая ось Оу по свободной поверхности вправо. В некоторый момент времени дно (пли его часть) получает мгновенное распределение вертикальной скорости и — /(у). В соответствии с условиями (15), (16) ударная задача сводится к задаче Шварца в полосе шириной 2Л, из решения которой определяется нормальная скорость на свободной границе:

Эта же задача решается численно методом граничных элементов. Область течения жидкости слева и справа ограничивается на достаточном расстоянии от начала координат отрезками прямых х = -Я и х = Я, так что вертикальная скорость на свободной поверхности при х < -Я и х > Я равна достаточно малой величине е. В полученной области с замкнутой границей находится потенциал скорости ¡р(х,у), удовлетворяющий интегральному соотношению Грина и следующим граничным условиям: = 0 на свободной границе и боковых элементах границы; <рп — 0 на дне. На рисунке 2

показано распределение вертикальной скорости на свободной поверхности в случае нечетного частичного смещения дна, заданного функцией

f(v)=iU0,ye\-b,-a], ,

ПУ) \-U0,ye[a,b) {М>

при а = 0 и b = 1. Сплошные линии соответствуют аналитическому решеник отдельные символы - численным результатам. Видно, что численные результаты достаточно хорошо согласуются с точными.

В §9 рассматривается краевая задача для начального значения потенциала у>о- Для известного значения нормальной скорости на свободной границе Uq и неподвижного дна краевая задача решается с помощью оператора Шварца. Горизонтальная скорость на свободной границе определяется из интеграла:

1 00

Vo(y) = ^ J U(r)Cth-^(T-y)dr. (21)

—00

Отсюда начальное значение потенциала на свободной границе равно

у

<Ро{у) = JV0(r)dT + c. (22)

о

Численное решение задачи методом граничных элементов проводится в усеченной области с теми же элементами, что и в §8 с условиями: <fn = U{y) на свободной границе; <рп = 0 на дне и боковых элементах границы.

В §10 методом граничных элементов решается нелинейная задача о деформации свободной границы при заданном на ней начальном значении потенциала. Применяются Эйяерово-Лагранжевые переменные и пошаговый метод расчета:

x(t + At) = x(t) + x(t)At, y(t + At) = y(t) + y(t)At (23)

¥>(* + Д*) = ¥>(0 + ¥>Д<, ¿ = (JV(i) + <7z), (24)

где ф, х, у - производные по времени от Лагранжевых переменных.

В каждый момент времени задача сводится к смешанной краевой задаче для гармонической функции у? с условием Неймана на твердых границах и условием Дирихле на свободной границе. Эта задача в переменных Эйлера решается численно методом граничных элементов. На рисунке 3 показано положение свободной поверхности в момент времени t = 4 при нечетном частичном смещении дна, заданного функцией (23).

В третьей главе в рамках линейной потенциальной модели рассмотрены плоские и осесимметричные задачи о распространении по поверхности идеальной несжимаемой жидкости гравитационных волн бесконечно малой

амплитуды, возбуждаемых вертикальными перемещениями дна водоема постоянной глубины.

В §11 прнзодятся граничные условия теории бесконечно малых волн.

В §12 дана постановка плоской задачи.

Пусть дно бассейна глубины Л движется в течение некоторого конечного промежутка времени со скоротью и(х^). Смещения локализованы в некоторой финитной области дна, либо достаточно быстро обращаются в ноль на бесконечности. Предполагается, что в начальный момент времени / — О скорость точек поверхности дна скачкообразно возрастает на конечную величину, остается непрерывной в течение промежутка времени Г и в момент времени мгновенно обращается в ноль. Поверхность невозмущенной жидкости и плоскость дна при < < 0 считаются горизонтальными.

Вместо потенциала скоростей <р(х,уЛ) отыскивается функция р(х, у, £) = = которая представляет распределение динамических давлений

в жидкости. Эта функция является гармонической по переменным х,у и удовлетворяет на границе области течения при t> 0 следующим соотношениям:

р(0,у,0) = -/></С(у,0) = 0, р1(0,у,0)=-рдф*(0,у) = -рдщ(у)-, (28) р(0,у,Т - 0) =р(0,у,Т + 0), М0,У,Т-0)=М0,у,Т + 0). (29)

Здесь х,у - декартовы координаты (ось х направлена вертикально вниз вдоль вектора ускорения сплы тяжести, ось у совмещена с невозмущенной :вободной границей); р- плотность жидкости; д - ускорение свободного падения; 9 - единичная функция Хевисайда. Буквенные индексы обозначают частные производные по соответствующим переменным.

Распределение начальных скоростей па свободной поверхности определяется, как и в предыдущей главе, из решения задачи об ударе плоскости дна э бесконечный в горизонтальном направлении слой жидкости.

Решение начально-краевой задачи (25)-(29) отыскивается при помощи ггреобразованпя Фурье по горизонтальной координате. Уравнение свободной границы получено в виде несобственного интеграла

= -рщ{у^)е(Т -<);

р(х,у,г)-+ 0 при |у| -+ ос;

(25)

(26) (27)

(30)

где

о < г < т.

(31)

Б(А,*) = /(А,Т- О)5"1^ Т) +/оГ/(А,г)со8Ц*-г)Лг, *>Т. (3',

Показано, что задача Коши-Пуассона с разрывными по времени грани1 ными условиями на поверхности дна разрешима, если выполнено условие

Г и{у,Т-Ъ)(1у = й. (3<

•/-оо

Показано также, что это равенство является следствием предположения несжимаемости жидкости и отражает свойство сохранения вовлеченной движение массы жидкости в каждый момент времени.

Путем предельного перехода при Т -» О получено решение задачи в ш пульсной постановке.

Следующий параграф посвящен анализу поведения свободной поверхно! ти при малых и больших значениях времени. Показано, что при t -* функция £(?/,£) = + т.е. для достаточно малых времен влиянг

силы тяжести на течение жидкости еще не сказывается и каждая точв свободной поверхности движется равномерно с той скоростью, какую ов приобрела в процессе удара.

Асимптотические оценки при < оо получены для импульсивного м< ханизма генерации поверхностных волн. Передний склон первой головно волны на достаточно большом удалении от очага возбуждения определяете выражением

с(у' * {(шщт)' ^

если интеграл М = /™ооуи(у,0)с1и 56 0, и выражением г( IV ( у - с?

~ ~с(4с/Л)2/3Л; 1,(^2^/2)1/3

если М = 0, но N = ¡-^у^у,Ъ)<1у ^ 0. Здесь АЦг) и Лг'(г) - фув кция Эйри и ее производная, соответственно. Формулы справедливы окрестностп точки у = где с = \J~gh и соответствуют волнам, двпж) щимся слева направо. Для волн, перемещающихся в обратном направленна: справедливы аналогичные формулы, в которых знак перед у изменен н противоположный.

В §14 в качестве простого примера рассмотрено равномерное движени дна, при котором распределение скоростей на его поверхности не зави сит от времени, а является только функцией горизонтальной координатк Числовые расчеты проведены для двух типов движения дна: нечетног кусочно-постоянного смещения, определяемого функцией (23) и четногс описываемого функцией

ф\ = (&о, если у е [—2а, —а) и (а,2а], ^

1 -¡7о, если у 6 [-а, а] ^

и равной нулю вне промежутка (-2а, 2а).

На рис. 4 приведены результаты вычислений, полученных по точной (сплошные кривые) и приближенной (пунктирные кривые) формулам для пяти значении безразмерного времени t, разных соответственно 1, 6, 11, 16 и 21 в случае четного закона движения дна. При вычислениях обратное число Фруда f и параметр а, характеризующий размеры очага землетрясения, принимались равными единице. Положительное направление осп абсцисс изменено на противоположное. Совпадение результатов, полученных двумя различными способами следует считать хорошим, тем более значение безразмерного времени, при котором проводится сравнение, не столь уж и велико.

В §15 дана постановка задачи о генерации гравитационных волн при осесимметричных смещениях дна. Она идентична двумерной с той лишь разницей, что распределение динамических давлений в жидкости удовлетворяет трехмерному уравнению Лапласа, а распределение скоростей подвижной твердой границы зависит от расстояния г до оси симметрии и времени. Функция u(r,t), описывающая это распределение либо финитна, т.е. отлична от нуля только внутри круга заданного радиуса, либо достаточно быстро убывает на бесконечности. В последнем случае требуется, чтобы пнтеграл от нее по плоскости дна сходился.

Решение ударной задачи подучено в § 16. Для определения потенциала скоростей в начальный момент времени использована основная формула Грина. Явное выражение для нее найдено в приложении 1. Вычислены начальное распределение вертикальной компоненты скорости на свободной поверхности и кинетическая энергия, сообщаемая жидкости при ударе.

Решению осесимметричной задачи Коши-Пуассона посвящены §§17,18. Распределение динамических давлений в жидкости отыскивалось при помощи преобразования Фурье-Бесселя по радиальной координате. Уравнение свободной границы имеет вид

где J(Ar) -функция Бесселя нулевого порядка. Для функции B(X,t) справедливы формулы (31) и (32).

В § 19 пссяедуется асимптотика функции ((г.г) при малых и при больших значениях времени. Ее поведение при t —» 0 аналогично поведению свободной границы плоской задачи, т.е. она прп достаточно малых значениях t возрастает линейно.

Асимптотические оценки этой функции при t со в окрестности точки г = et получены для разрывных и непрерывных при t = Т движениях дна. Показано, что в первом случае справедливо асимптотическое представление

с(г, о«[¿¿чо^ю+. (38;

если область деформаций дна ограничена, и представление

Ат?+№т?}> (39:

если эта область неограничена. Здесь к\(Т) и к-2(Т) -коэффициенты, зависящие только от Т, £ = (г - с^/(2с/г2^)1/3. Из (38) и (39) следует, что I зависимости от того, локализованы перемещения дна вблизи начала координат, или же область деформаций неограничена, свободная границе вдали от взволнованной области стремится к невозмущенному уровню пс существенно различным законам. В первом случае она убывает экспоненциально, а во втором - по степенному закону.

Если лее возмущенное движение дна плавно переходит в состояние покоя (скачок скорости при t = Т отсутсвует), то независимо от типа деформации дна справедлива приближенная формула

(40)

Здесь 1'-объем воды, вытесняемой за время Т движущимся дном.

В последнем параграфе приведены результаты числовых расчетов для случая равномерного перемещения дна. Исследованы финитные движения, определяемые законом

и(г) = I есииГ6М. (41)

[Г> \1Г0/3, если г е (а, 2а] 141'

и непрерывные относительно радиальной координаты движения.

Зарождение и распространение гравитационных волн на поверхности жидкости при движении дна, заданном (41), показано на рис. 5, на котором изображены профили волн в меридиональном сечении для пяти значений безразмерного времени г = 1, б, 11, 16, 21.

В заключении сформулированы основные полученные результаты:

1. Исследовано численное конформное отображение криволинейной полосы на прямолинейную полосу. На основании численных результатов установлено, что не всегда конформное отображение с помощью интерполирующей функции приводит к удовлетворительным результатам. Выявлена зависимость между конфигурацией полосы и точностью решения задачи.

2. Разработан метод погружения для исследования плоских течений в криволинейных каналах. Установлено, что при плавно меняющихся границах канала возможен одномерный подход к вычислению скоростей.

3. Проведены численные расчеты для течений в каналах различных конфигураций методом граничных элементов. На основе анализа точных и

-2

-1

-10 —5

О 1

Рис.1

X

30.00 1C0V 10.00 <°°* 1-4.0

10.00 ■ / \

-10.00 ■

-30 00 - У -10.00 У

о 6

Рис.2

to U Jó ¿г

Рнс.4

численных результатов установлена высокая эффективность метода при менительно к данной задаче.

4. Разработан метод расчета осесимметричных течений в крпволпней ных каналах, основанный на свойствах ^-аналитических функций.

о. Проведено численное исследование задачи о генерации волн на свободной поверхности жидкости прп импульсивном смещении дна. Получень результаты для ряда случаев с различным характером движения дна. Нг основе сравнительного анализа численного решения и экспериментальны:: данных установлена высокая эффективность применяемого алгоритма ре шения нестационарной задачи.

6. Дана оригинальная постановка задачи Кошп-Пуассона, в которой I отличии от традиционных постановок задача ставится не для потенци ала скоростей возмущенного течения, а для функции, пропорционально! производной от него по времени и представляющей собой распределен!» динамических давлений в жидкости.

7. Получены точные аналитические решения задач Коши-Пуассона I слое жидкости конечной глубины для случая, когда движение дна происхо дит в течение конечного промежутка времени, причем в начальный момент времени скорости дна скачкообразно возрастают на конечную величину, г на заключительной стадии мгновенно обращаются в ноль.

8. Показано, что величина скачка скорости дна в начальный момент времени не влияет на решение задачи и оно определяется теми лее формулам которые справедливы при непрерывных по времени перемещениях.

9. Показано, что если в момент времени, когда дно приходит в состоянш покоя, скачок скорости отличен от нуля, то задача Коши-Пуассона имеет решение не для любого распределения скоростей деформации дна. Полученс необходимое условие разрешимости для этого случая. Если же этот скачо! отсутствует, то задача Коши-Пуассона разрешима всегда.

10. Прп помощи численного и асимптотического анализа решения пло ской задачи показано, что если безразмерное время превосходит 16, тс форма головной волны с достаточной степенью точности определяется при ближенной формулой, выражающейся через функцию Эйри и ее производные.

11. Проведен полный асимптотический анализ решения осесимметрич ной задачи в переходной областп, отделяющей взволнованную область нг свободной поверхности от областп, где волны отсутствуют. Исследованг зависимость закона убывания с ростом времени величины амплитуды головной волны от геометрических параметров задачи. Показано, что есл1 деформации дна локализованы внутри круга заданного радиуса, то свободная граница экспоненциально убывает впереди волнового фронта, если ж< продолжаются до бесконечности, то - по степенному закону.

Основное содержание диссертации опубликовало в следующих работах:

1. Троешестова Д.А. Численное конформное отображение криволинейной симметричной полосы// Деп. в ВИНИТИ. Ш221-В94 16.05.94. 12 с.

2. Терентьев А.Г., Троешестова Д.А. Доследование течения в трубах методом обобщенных аналитических функций// Тезисы докладов международной научной конференции "Механика машиностроения" (28-30 марта 1995 г.)/ Набережные Челны: Иэд-во Камского политехнического института. 1995. С. 24.

3. Троешестова Д.А. Исследование течений в каналах и трубах переменного сечения// Актуальные задачи математики и механики/ Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та. 1995. С. 117-122.

4. Порфпрьев Н.П., Троешестова Д.А. Возбуждение гравитационных волн внезапными смещениями дна конечной длительности// Труды VI Всероссийской научной школы "Гидродинамика больших скоростей"/ Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та. 1996. С. 149-158.

5. Порфирьев Н.П., Троешестова Д.А. Возбуждение гравитационных волн импульсивными смещениями дна // Деп. в ВИНИТИ. Ш251-В96 10.11.96. 14 с.

6. Порфирьев Н.П., Троешестова Д.А. Возбуждение гравитационных волн импульсивными смещениями дна. Осесимметричная задача// Деп. в ВИНИТИ. N2372-397 14.07.97. 38 с.