Построение и использование численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Ордена Ленина Сибирское отделение Шчислательнна центр

На правах рукописи Аверина Татьяна Александровна

УДК 519.6:519.2

ПОСТРОЕНИЕ И ИОШЬЗОВАШЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЩКФЕРЕИЦИАЛЫИХ УРАВНЕНИИ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1992

Работа выполнена в Вычислительном центре Сибирского отделения Российской Академии наук

Научный руководитель Официальные оппоненты . -

Ведущая организация

доктор физико-математически: наук С.С.Артемьев

доктор физико-математически: наук В.В.Юринский

кандидат физико-математичес ких наук А.Г.Слепцов

Институт вычислительной математики РАН

Защита состоится 1992 Г. В часо:

не заседании специализированного совета К 002.10.01 т присуздению ученой степени кандидата наук в Вычислительно! центре со РАН (630090, Новоси0ирск-90, проспект академика Лаврентьева, 6).

С диссертацией южно ознакомиться в читальном зале Вычислительного центра со РАН.

Автореферат разослан " М'Ж/ЛЛи? 1992 года.

Ученый секретарь специализированного совета

д.ф.-м.н. ¡ьЛ^Т Ю.И.Кузнецов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) являются удобным аппаратом для решения многих, физических и инженерша задач.

Часто сложность получаемых моделей затрудняет аналитическое исследование их решений. Кроме того, для получения некоторых вероятностных характеристик решения, необходимых на практике, слабо развиты аналитические методы. В этих условиях на первый план стали выходить метода статистического моделирования решений СДУ. При этом актуальными являются задачи построения численных методов с хорошими свойствами устойчивости, создание алгоритмов переменного шага для решения СДУ, разработка численных методов, имеющих легкую программную реализуемость и широкую область применимости.

Целью данной диссертационной работы является исследование предлагаемого семейства численных методов решения СДУ, построение и использование конкретных численных методов. Основные задачи исследований :

4 - исследование согласованности и устойчивости численных методов из предлагаемого семейства методов;

- построение алгоритма переменного пага для решения СДУ;

- сравнение построенных численных методов с уже существующими численными метода?,ш;

- моделирование стационарных нэгауссовских случайных процессов с помощью СДУ;

- численное решение СДУ с пуассоновской составляющей.

Научная новизна и практическая ценность, основные

результаты диссертации являются новыми. Для численных методов из предложенного семейства исследованы устойчивость и согласованность в смысле первых двух моментов, в среднеквадратическом смысле. Построено несколько численных методов с хорошими свойствами устойчивости, построен алгоритм переменного шага для решения СДУ. Проведено сравнение построенных численных методов с другими численными методами. С помощью численных методов решены задачи синтеза управления нелинейной системой, переноса примеси в приповерхностном слое океанов и морей,а также построены стационарные негауссовские

процессы с заданными вероятностными характеристиками.

Численные методы и алгоритмы переменного шага для решения систем СДУ используются при анализе и синтезе оптимального управления стохастическими динамическими системами, при решении задач статистической радиотехники, статистической механики и физики, задач теории надежности.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались:

- на школах-конференциях молодых ученых ВЦ СО РАН в 1984, 1989-1991 ГГ. й ЮФ СО РАН В 1992 Г.;

- на VIII Всесоюзном совещании "Метода Монте- Карло в вычислительной математике и математической физике" (Новосибирск, 1991 г.),

- на семинарах ВЦ СО РАН "Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике" и семинаре ИПМ по физике плазмы и кондинсированных сред.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих 12 параграфов, заключения и двух приложений, содержит 160 страниц машинописного текста, включая приложения, 21 рисунок, 7 таблиц и список литературы из 78 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор численных методов, предложенных для решения систем СДУ. Определяется место диссертационной работы в данной области вычислительной математики. Приведено краткое изложение результатов, полученных в диссертации.

Глава I называется "Задача Коши для систем стохастических дифференциальных уравнений и ее решение" и посвящена общим вопросам решения СДУ, а также вопросу построения стационарных негауссовских случайных процессов с помощью СДУ.

В § 1.1 вводятся необходимые в дальнейшем определения, формулируется задача Кош для систем СДУ.

Пусть на вероятностном пространстве (Q.g.P) задан поток о-злгебр 5?='?t)l(r[0>T]: стандартный винеровский процесс w(t),

г

ШОД], со значениями в Л , согласованный с потоком

Задача Коши для систем стохастических дифференциальных уравнений формулируется следующим образом: найти т-мершй

случайный процесс хт=( х^Ъ).....хгаи))Т, согласованный с

потоком а-алгебр 8?, имещий стохастический дифференциал

dX(t)=a(X(t))-dt +a(X(t)) cgi(t)

(1)

или в интегральной форме :

t t X(t) = Х0 + Ja(X(t))-йг + /0(х(а)).йдгг(1;и (2)

о о

m m m m Г

где а(Х), а(X)-измеримое по Борелю функции из R ->R ,R -*Н »R соответственно; Х0- измеримый случайный вектор, X0€îf1. При 9=0 СДУ будут пониматься в смысле Ито, а при 9=1/2 - в смысле Стратоновича.

При решении некоторых задач математической физики методом статистического моделирования представляет интерес задача конструктивного построения стационарного негауссовского случайного процесса. В § 1.2 построены стационарные случайные процессы, имевдие заданное одномерное распределение и экспоненциальную корреляционную функцию. Доказаны следующие утверкдения:

Утверждение I. Пусть х(t)- стационарное решение СДУ

dx(t)= -Mx(t)-m)dt + ateX^wet), t >t0, x(t0) = x0,

где m = <x(t)> = coii3t, x >0,

2 * o2(x)= —f -я-Ф(х) 1, Ф(х) = f(y-m).p(y)ay, хспэ.с]. PWl J ь

p(x) - дважды непрернвно-дьфференц'щ/елаая на интервале (Ь,с) тиапностъ вероятности, не обршржщшея б нуль внутри интервала tb,cl. Тогда x(t) иявет одномерную плотность Верозтно-ст pfx; и корреляционную функцию RXCU = Dx -ехр(-\< |t|;. Утверждение г. Пусть X(t)~ стационарное решение СДУ

dX(t) = A-X-üt + o(X)-do*(t), t >t0, X(to) = X0, (3)

Л (х1(1;),хг(шт> Е(1;Мм?д(1;),1!У2(1;))т> а матрицы А

и о(Х) специального вида:

А-

Г О 1 "

-Р -а.

; о(Х)-

4° 0 I.

I 0 Ш)]

2 (и)-(с-ар/р0(а)(12)/р0(и)

а,р>0, и=х|+ с - сопз!;, р<Х)=ро(и)- фунщля платности

вероятности. Тогда Х(Х) имеет плотность вероятности, р(Х) = р0(и) и корреляционную функцию БСт:; =ехр(А'Ш('0,), а > О.

В § 1.3 получено разложение точного решения задачи Коши для СДУ в смысле Стратоновича в ряд Тейлора, которое потребуется при построении численных методов.

Глава II называется "Построение численных методов решения задачи Коии для систем СДУ в смысле Стратоновича". Она посвящена вопросам построения численных, методов решения задачи Кош для СДУ в смысле Стратоновича, удовлетворяющих требованию устойчивости и аппроксимации точного решения со 2-м порядком в смысле первых двух моментов. Общий вид рассматриваемого в диссертации семейства численных методов решения задачи Коши для СЦУ в смысле Стратоновича (2) приводится в § 2.1 и имеет вид:

* РА + РА + ^КА + 9* А * Ч.АК*

0о= 0(Х„),

Г Г* во 1

к = 1-Ьг>— (X ) • Иа(Х )+о/Л.С0С +---(X )о(Х К ,

1 [ <ЭХ " ] п ^ ° " 2 5Х п " "1

, ^ аа й=о(х + а Г + qУ М С +---(X )о(Х )С

1 ^ г» 4 1 ^Э О г> П Г| '

Г да. 1Г с ч*и да 1-1в>— (X ) ■ 1ш X +аЛ+о/+---(X )а(Х )С

ах п ] [ 1 г ах " п ^

'3-

г Чв11 <зо

б

г /-• Ч'°Ь 30 л

Здесь X -численное решение (2) в точке * I- еди-

п+1 ГА* * л

ничная матрща; Сп - г-мерный вектор независимых гауссовских случайных величин с нулевым математическим отданием и единичной дисперсией; Сп - независим с Хп: ¡1- шаг интегрирования; - вещественные параметры метода:

до 2 £ ™Э0Л

—О С = У У-'О . с. .

эх г . /эх, и2 V V

Здесь же приводятся необходимые определения устойчивости, аппроксимации и сходимости численных методов.

Определение.(Артемьев С.с. Сравнение некоторых численных методов решения СДУ.-Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1934.-й 4741 Численный метод называется устойчивы в интервале (0,2о), оели при его применении к модельному СДУ

йх -л-хаг + о-сШЮ, л>0, х(О) = х0, о=сопз1;, (5)

с фиксированным шагом Л таким, что Ш(0,2о), распределение численного решения хп при п-о сходится к гауссовскому распределению с нулевым математическим ожиданием и дисперсией с?(2к).

Определение (9]. Численный метод называется 7-почт устой-чивъия в интервале (0,го), если при его применении к модельному СДУ (51 с фиксированным шагом й таким, что АЛс (0,го), распределение численного решения хп сходится к гауссовскому распределению с нулевым математическим ожиданием и дисперсией

5, причем |5/Ю2/(2Я)] - 7В § 2.2 построено разложение в ряд Тейлора численного решения задачи Коат для СДУ в смысле СтратоноЕича (2), полученного методами из предловенного семейства. Параметры методов опродэляются из требования устойчивости методов и одномерной

аппроксимации первых двух моментов точного решения со вторым порядком. Параметров оказывается больше, чем уравнений и поэтому часть параметров выбирается свободными, а остальные явно выражаются через них. В § 2.3 получено общее решение уравнений аппроксимации, а так яе для методов из рассматриваемого семейства, исследован вопрос среднекЕадратической аппроксимации точного решения . Доказаны следующие утверждения: Утверждение 1. а) Семейство численных методов (4) содержит устойчивые и 7-почти устойчивые численные методы.

б) Устойчивые численные методы из семейства (41 логуп идешь только бесконечный интервал устойчивости.

Утверждение 2. Семейство численных методов с4) содержит, подмножество устойчивыг численных методов, имеющих первый попчдон аппрокси.'кации б смысле первых двух моментов.

Утверждение з. а) Семейство численных методов (4) не содер-*е>т~численных методе в, имещих второй порядок аппрокешшии ? с.кисле первых двух моментов для произвольных систем СДУ (2).

с.) Семейство численных методов (4) содержит подмножество у-почт уешойчивш численных методов семейства (4), имешах второй порядок тпронсимщшх 6 смысле первых двух лометов д.ш скалярных СДУ (2).

Утверждение 4. Семейство численных методов (4) содергм подмножество у-почки устойчивых численных методов, имехяш второй порявок аппроксимации в смысле первых двух моментов в случае постоянной жаярицы а.

Утверждение 5. а; Семейство численных методов (4) содержит подмножество чйсленних методов, имещчх первый порядок средне-квздпатческой аппроксимации.

?I Семейство численных методов (4) не содержит численных методов. имеххцих второй порядок среднеквадрашческой иптл-з^ижщш в случае произвольных систем СДУ.

• 2.4 приведены конкретные численные метода решения з^чи: Коши для СДУ в смысле Стратоновича. Например: - V ^швый численный метод 1-го порядка аппроксимации в кст;.Г'.г; но требуется вычисления производной матрицы о

* (К1+ к2)/2 + (аг/ + а(Х11))/г;см/2

, П За -» г Л За ,-» р

к--11---(X >I Па(Х ) .1Ы1----(X ) йа(Х .),

1 I 2 <?Х " } " * 1 2 В* " 1

X -- X (И, + 0(Х )/йС (6)

Г» 1 п *п

- 0.05-шчти устойчивый при 0<2<1.53 численный метод, имеющий 1-й порядок аппроксимации в смысле первых двух моментов для произвольных систем СДУ и 2-й порядок - при постоянной матрице о

Специфические особенности систем, возникающих во многих задачах современной теории автоматического управления ( такие как : необходимость совместного решения систем ОДУ и СДУ; наличие быстрых переходных процессов у компонент решаемых систем; необходимость решения неустойчивых систем) приводят к требованию создания универсального алгоритма церемонного шага для численного решения задачи Ковш как для систем ОДУ, так и для систем СДУ. Обобщение одного из известных эффективных алгоритмов переменного шага для систем ОДУ ШТ45 проведено в & 2.5. Предварительно построен численный метод репения задачи Коши для систем СДУ в смысле Стратоновича, являюащйся обобщением метода Рунге-Кутты 5-го. порядка из алгоритма ККР45 ( Форсайт Дж.. Малькольм М., Мсулер К. Малинные метода математических вычисленной.- М: Мир, 1980). ¡'.оэййшионты метода выбраны так,чтобы метод имел первый .-^.чдок •.•тсдииссти в среднеквадрагаческом смысла:

а

х -- х +■ Тук I- У а. с (X г, ,

п *■ 1 Г. . ¿¡^ ' V \ . ¿, Ь Г1 2 ^ г,

К' ^ X 1- У 6. к . 3=0,

г.И п Д | | Г)С| *

.т

it. = ha(x'\'), к. = к .л z , 1-1....6, (в)

V Г) + X l l П4* 1 Г,

где Сп . п=о,...,мь-1 - последовательность независимых б совокупности случайных векторов с независимыми между собой нормальными стандартными компонентами, значения коэффициентов приведены в табл. I и табл. 2.

Таблица I

Pli т, Т\

1 2 3 4 5

1 16/135 25/216

1/4 0 0

3 3/32 9/32 6656/12825 1403/2555

4 I932/219Т -72QO/219Т 7296/219? 28561/56430 2197/410'

439 -а 3680 845 9 1

5 216 513 4104 50 С w"

5 8 27 2 3544 2565 1859 4104 11 40 2 55 0

Таблица 2

1 1 2 3 4 5 6

\ -151/135 2 -6656/12825 -28561/56430 9/50 -2/55

В качестве оценки ошибки численного решения используется

<5

5 = 7 (7 - .

г,»» . ¿1 Ч 1 I ' I '

V - 1

а контроль точности численного решения осуществляется путем проверки неравенств

1*1,п! + 1х1,п+11

lßi,nM I <-;--e0t+£0b^. 1=1,

где ео1, £аЬ - относительная и абсолютная допустимые погрешности для оценки ошибки, х. - 1-я компонента численного

1*71

решения в точке tn.

Глава Ш называется "Применение численных методов". В третьей главе диссертации проведено сравнение различны*, численных методов решения задачи Кош для СДУ и продемонстрированы возможности построенных численных методов применительно к практическим задачам.

Е § 3.1 рассмотрен вопрос решения задачи Коши для СДУ с пуассоновской составляющей и приведены результаты численных экспериментов.

Задача Коши для систем СДУ с пуассоновской составляющей имеет вид:

t t ХП) - Х0 + /а(Х(а))• йт -I /о(Х(х))-00^(х) +

о о

Ь

+ X { с(Х(1~),у).у«]у«1'1)> 1^Г0,Т], О)

о Г

где г(В»[ОД])- согласованная с потоком 5 пуассоновская случайная мера на измеримом пространстве (МО.Т],^»?^ т1), которая задана характеристической мерой П, ШГХ <», <з~

а-алгебра борелевских множеств, В^; о (К, у) -33ят*<Вр -измеримая га и

функция из Р. «Г"й ; Х(1; )- значение функции в течке г слева; остальные обозначения такие же как в (2).

Гсшением СДУ (9) является непрерывный справа и имеющий пределы слева, согласованный с потоком 5 случайный процесс. Алгоритм численного решения (0) состоит в следующем:

- вычисление моментов скачков решения т0=0, \<Т, к=1,2,..., где Ск- случайные величины, распределенные по закону Р(1)=1-ехр(П(Г)Ъ);

- вычисление случайных векторов ук, распределеных по закону Г(згкЕау)=Шс1у)Л1(Г);

- вычисление численного решения (9) как

' +с(Х у), если 1. -момент скачка,

Пт1 ПтД К п^ 1 К

(10)

Спм , если не момент скачка,

где Х.м - численное решение в точке полученное любым численным методом решения (2).

В § 3.2 проведено сравнение построенных, численных методов решения систем СДУ с численными методами других авторов тна системе двумерных тестов вида (3), где Х(г(г)(г)) ; А- матрица размера 2«2, все собственные значения которой тлеют отрицательные вещественные части; а- матрица размера

Сравнение численных методов проводилось по точности вычисления в нуле значения корреляционной функции стационарного решения и времени счета. Построенные методы оказались наиболее пригодными для решения этих тестов. В силу своей устойчивости метод (Б) наиболее эффективен при решении систем СДУ с плохо обусловленной матрицей А. При решении алгоритмом переменного шага ШЭДЕ с увеличением задаваемой точности вычислений наблюдалось уменьшение шага

интегрирования и увеличение точности вычисления.

В § 3.3 диссертации рассматривается задача анализа и синтеза оптимального управления стохастической нелинейной системой при квадратическом обобщенном критерии качества без ограничений на вектор управления. Здесь же рассмотрен один из возможных способов приближенного решения задачи синтеза оптимального управления нелинейной системой -оптимизиция на скользящем интервале . В качестве примера моделирования динамики нелинейной управляемой системы решена задача самонаведения ракеты в горизонтальной плоскости, где продемонстрированы особенности поведения решений задач Кош, возникающих в теории автоматического управления и трудности при их численном решении. Для численного моделирования использован разработанный алгоритм ПКГББЕ.

Проблема охраны окружающей среды и рационального использования ресурсов океанов и морей в последнее время приобретает все большую актуальность. В § 3.4 диссертации рассматривается математическая модель , которая используется для исследования диффузии примеси в верхних слоях океанов и морей: для вычисления горизонтальных скоростей частицы используется гидродинамическая модель, которая включает в себя уравнения движения, переноса тепла и энергетические уравнения турбулентности (Ъ-е модель), а вертикальная скорость частица получается из модифицированного уравнения Ланжевэна. Исследовалось

поведение дисперсных характеристик и концентрации примеси от времени диффузии.

В приложении I приводится вид остаточных членов в разложении в ряд Тейлора-точного решения СДУ в смысле Стратоновича. В приложении II приводятся тестовые системы еду.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

основные результаты диссертационной работы состоят в еле дуицем:

1. Построено семейство численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений в смысле Стратоновича, исследованы их устойчивость, среднеквадратическая аппроксимация, аппроксимация в смысле первых двух моментов .

2. Па основе стохастических дифференциальных уравнений и численных методов решения СДУ разработан способ моделирования стационарных случайных процессов с заданным одномерным распределением и экспоненциальной корреляционной функцией.

3. Проведено сравнение построенных численных методов с численными методами других авторов.

4. Построена методика численного решения систем СДУ с с пуассоновской составляющей.

5. Построен алгоритм переменного шага для решения систем СДУ в смысле Стратоновича с помощью которого решена задача автоматического управления нелинейной системой : самонаведение ракеты в горизонтальной плоскости.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах :

1. Аверина Т.А. Численное решение стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновской составляющей //теория и приложения стат. моделирования.- Новосибирск, 1989.- и. 81-89.

2. Аверина Т.А. Алгоритм переменного шага для решения стохастических дифференциальных уравнений // Труды VIII Всесоюзного совещания по методам Монте-Карло.

Новосибирск, 1991.- С. 131-134.

3. Аверина Т.А., Артемьев с.С. Моделирование стационарных случайных процессов с заданным одомерным распределением и экспоненциальной корреляционной функцией,- Новосибирск, 1984.-24 с.-(Препринт /АН СССР Сиб. отд.-ние, ВЦ; * 495).

4. Аверина Т.А., Артемьев с.с. Новое семейство численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений //ДОКЛ. АН СССР. - 1986. - Г.288, * 4. - С. 777-780.

5. Аверина Т.А.. Артемьев С.С. Некоторые вопросы построения и использования численных методов для решения систем стохастических дифференциальных уравнений. - Новосибирск, 1937.-32 с.-(Препринт /АН СССР Сиб. отд.-ние, ВЦ; * 728).

6. Аверина Т.А., Пригарин С.М. Моделирование одного класса диффузионных процессов //Вычисл. матем. и моделир. в физике.- Новосибирск, 1989. С. 33-44.

7. Аверина Т.А., Артемьев С.С. Численное моделирование в задачах анализа и систеза стохастических систем управления.- Новосибирск, 1990.- 32 с.-(Препринт /АН СССР Сиб. отд.-ние, ВЦ; № 915).

8. Аверина Т.А., Дмитриев Н.В., Сабельфельд К.К. Моделирование примеси в приповерхностном турбулентном слое водоема.-Новосибирск, 1992.-17 е.- ( Препринт / РАН Сиб. отд.-ние, ВЦ; * 965).

9. Averina Т.A., Artemlev S.S. Numerical solution of SDE3 // . S07let Numer. Anal. Bath. Modelling.- 1988.- Vol.3, Ji 4.-

P. 267-285.