Численно-аналитическое моделирование волновых процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Національна академія наук України Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова

' Г 1 Гладка Юлія Анатоліївна

• • - УДК 517.9:519.6:534.2

ЧИСЕЛЬНО-АНАЛІТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ХВИЛЬОВИХ ПРОЦЕСІВ

01.0§гв2=математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

С4.С%

Київ 2000

Робота виконана в Інституті кібернетики імені В.М.Глушкова

НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН У країни СКОПЕЦЬКИИ Василь Васильович,

Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України, завідувач відділу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

ЛЯШКО Сергій Іванович, Київський національний

університет імені Тараса Шевченка,

завідувач кафедри обчислювальної математики,

доктор технічних наук, старший науковий співробітник ДАНИЛОВ Валерій Якович,

Інститут прикладного системного аналізу НАН України та Міносвіти і науки України, завідувач відділу.

Провідна установа: Інститут космічних досліджень НАН України та НКА України, відділ "Космічних інформаційних технологій і систем", м. Київ.

Захист відбудеться ” р. об 11 годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26 194.02 при Інституті кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України за адресою:

03680 МСП Київ 187, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві інституту.

Автореферат розісланий ”

. 2000 р.

Учений секретар ҐІ

спеціалізованої вченої ради СИНЯВСЬКИЙ В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дослідження. Розвиток методів математичного моделювання хвильових і дифракційних процесів у морській гідроакустиці, геофізиці, волоконній оптиці, фізиці атмосфери та інших областях обумовлений на даному етапі необхідністю розв’язання широкого класу науково-практичних задач, жорсткими вимогами сучасних технологій та необхідністю прогнозування процесів різної фізичної природи. Математичне моделювання породжує цілий комплекс питань, починаючи з аналізу фізичних особливостей досліджуваних об’єктів, постановки математичної задачі, розробки аналітичних або чисельних методів (алгоритмів) її розв’язування і закінчуючи аналізом та інтерпретацією отриманих результатів. Останнім часом не менш важливою являється проблема побудови і дослідження спрощених моделей.Крім безпосереднього використання при проектуванні сучасних інформаційно-вимірювальних систем, результати моделювання хвильових процесів дозволяють розв’язати широке коло взаємозв’язаних задач, таких як формування заданих структур акустичних полів у хвилеводах, синтезу гідроакустичних антен та інших.

З математичної точки зору поширення акустичних полів у підводних хвилеводах описується, як правило, рівнянням Гельмгольця з комплексним несамоспряженим'оператором за просторовими змінними або його параболічними апроксимаціями. В необмежених областях для коректної постановки крайових задач потрібно на нескінченності задавати відповідні умови випромінювання, які забезпечують єдиність розв’язку, що поширюється -в заданому напрямку. Такі умови можуть бути сформульовані у вигляді умов Зоммерфельда, парціальних умов Свєшнікова О. Г., згідно з принципом випромінювання або принципом граничної амплітуди.

Розробці методів математичного моделювання хвильових полів присвячена велика кількість робіт як в Україні, так і за кордоном. Більшість з них пов’язана з використанням аналітичних і асимптотичних методів (метод інтегральних перетворень, метод геометричної акустики, метод нормальних мод тощо). Серед них слід відмітити робота Бабича В.М., Буслаєва І.С., Бреховськгх Л.М., Дихта ■ В.В., ■Ільїнського A.C., Келлера Дж.Б., Колтона Д., Кравцова Ю.О., Креса P., Мальцева М.Є., Малюжинця Г.Д., Штатського Е.О., Свєшнікова О.Г., Шендерова Є.Л. та багатьох інших. Розширити класи досліджуваних акустичних задач в океанічних хвилеводах дозволяють чисельні методи, насамперед, метод скінченних різниць і метод скінченних елементів,

основні результати яких наведені в монографіях Ладиженської О.О., Марчука Г.І., Ріхтмайєра Р.Д., Самарського O.A., Стренга Г. і Фікса Дж., Сільвестера П. і Феррарі Р. та інших. Слід зауважити, що безпосереднє застосування класичних методів теорії різницевих схем для хвильових рівнянь з комплексним несамоспряженим оператором в необмежених областях пов’язане з відомими математичними труднощами. За певних умов методи чисельного розв’язання рівняння Гельмгольця та його еліптичних і параболічних апроксимацій запропоновано і розвинуто в роботах Авілова К.В., Боголюбова А.М., Гладкого А.В., Завадського В.Ю., Підлипенка Ю.К., Сергієнка І.В., Скопецького В.В., Collins M.D., Lee D., McDaniel S.T., Papadakis J.S., Tappert F.D. та інших. Разом з тим особливості складних реальних задач (неоднорідність і нескінченність області означення, комплекснозначність розв’язку диференціальних рівнянь, несамоспряженість диференціального оператора в частинних похідних) вимагають обгрунтування апроксимації, стійкості та збіжності чисельних методів. Тому питання вдосконалення існуючих методів, розробки нових класів математичних модедей і чисельно-аналітичних методів моделювання акустичних полів у нескінченних хвилеводах є актуальними. Розв’язанню цих та пов’язаних з ними деяких питань присвячена запропонована дисертаційна робота.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відділі ’’Математичних систем моделювання проблем екології і енергетики” Інституту кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України. Частина наукових та практичних результатів отримана в рамках виконання ' • проекту 06.02/01700 "Розробка програмно-алгоритмічних засобів

моделювання задач акустичного моніторингу" Міністерства України у справах науки і технологій (1997- 1998 рр.);

• держбюджетної теми №0197U005159 НАН України’’Розробка та обгрунтування чисельно-аналітичних методів математичного моделювання хвильових процесів в неоднорідних середовищах” (1.996 -1999 рр.).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка ' математичних моделей, методів та обчислювальних алгоритмів для моделювання широкого класу задач поширення акустичної енергії в нескінченних хвилеводах, які описуються диференціальними рівняннями в частинних похідних еліптичного та параболічного типів з комплексним несамоспряженим оператором. Для досягнення цього розв’язувалися наступні задачі:

з

• формулювання нових математичних моделей хвильових процесів в нескінченних однорідних та неоднорідних хвилеводах;

• розробка чисельно-аналітичних методів та обчислювальних алгоритмів на базі методу скінченних різниць;

• установлення збіжності і оцінки точності наближених розв’язків для хвильових параболічних рівнянь типу Шредінгера з комплексним песамоспряженим оператором;

• створення програмного забезпечення для моделювання акустичного поля в підводних хвилеводах.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

• запропоновані нові математичні моделі хвильових процесів, отримані аналітичні розв’язки базових просторових хвнлеводннх задач та встановлена їх збіжність до сингулярних розв’язків;

• установлені нові властивості розв’язків задачі Штурма-Ліувілля з комплексним песамоспряженим оператором та запропоновано метод чисельного розв’язання;

• узагальнено метод нормальних мод на випадок хвилеводів з імпедансною границею;

• уперше проведено аналіз стійкості дискретних моделей акустичних полів з комплексним песамоспряженим оператором і отримано оцінки розв’язків у відповідних нормах.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що запропоновані математичні моделі, чисельно-аналітичні методи, обчислювальні алгоритми можуть бути використані при розробці програмних засобів, для подальших досліджень, пов’язаних з узагальненням на тривимірний простір та інші класи хвилеводних задач, при дослідженні оптимізаційних задач, пов’язаних з формуванням заданих характеристик-акустичних полів.

Особистий внесок здобувана. Результати дисертаційних

досліджень виконані автором особисто і в співпраці з науковим керівником. У публікаціях [1,3,6], написаних у співавторстві з проф. Скопецьким В.В., йому належить постановка задачі та участь в обговоренні результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на шостій міжнародній науковій конференції ім. академіка М.Кравчука (Київ, 1997 р.), міжнародних конференціях ’’Питання оптимізації обчислень” (Київ, 1997, 1999 рр.), наукових семінарах в Інституті кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України (1997-1999 рр.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано шість наукових праць, чотири з них у вітчизняних провідних фахових виданнях, дві - у збірниках доповідей міжнародних конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота містить вступ, п’ять розділів, висновок та список використаних джерел з 106 найменувань. Загальний обсяг роботи складає 117 сторінок і включає 7 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертації, формулюється мета і задачі дослідження, викладено основні результати із зазначенням теоретичної та практичної цінності.

Перший розділ присвячено огляду літератури та вибору напрямків досліджень. Зроблено аналітичний огляд стану наукових досліджень за обраною тематикою, розглянуто питання застосування наближених методів для дослідження хвильових процесів в неоднорідних середовищах та обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи.

У другому розділі описується загальна методика й основні методи досліджень. Наведені основні етапи обчислювального експерименту, диференціальні рівняння акустики, умови випромінювання на нескінченності, методи побудови шредінгеровських наближень хвильового рівняння Гельмгольця.

У третьому розділі розглядаються базові просторові задачі для рівняння Гельмгольця, розв'язання яких зводиться, з урахуванням симетрії, до дослідження одновимірних-задач. Отримані розв'язки мають важливе значення в застосуваннях і описують найбільш важливі хвильові процеси - збіжні та розбіжні сферичні, циліндричні та плоскі хвилі. Розділ починається з розгляду задачі знаходження акустичного поля просторової кулі = {х = (х,, х2, х3) є $Я3, |х] < я} радіуса а, яка зводиться до розв'язання рівняння Гельмгольця

, , І/о,ХЄ вд ,

&р+к р = -/(х),х = (л1,дг2,х3)с-й ,/(х) = |

причому джерело хвиль розподілено рівномірно із сталою густиною /0.

Умови випромінюванім на нескінченності при к = £0 + ікх, Ітк > 0 приймаються у вигляді

Розв’язок диференціальної задачі з урахуванням симетрії' отримано в сферичних координатах (г,0,(р) у вигляді формули

Р(х) = Ра(х) =

к г ' к

/л є

—г-(зіп(Лг<г) - касо$(ка))----------------,г ^ а.

ікГ (0

Позначимо є3(х) = е'1^ /(4л|х|) фундаментальний розв'язок оператора Гельмгольця, 0(91") - простір нескінченно диференційованих фінітних в

95” функцій, </,ст> = Л|/(х)^(х)с/г,/0 =

к3

Ля^іпка - ка соька)

Має місце наступна теорема.

Теорема 3.1. Нехай а —>0. Тоді густина f прямує до 5 — фунції

Дірака в сенсі узагальнених функцій: (/,<р) —> (3,(р) = <р{ 0) У<р Є ,

розв'язок (1) прямує до фундаментального розв'язку в кожній точці х * 0, причому має місце співвідношення

о.

Таким чином, у граничному випадку при а -» 0 акустичне поле, що випромінюється параметричним об’ємним джерелом (<?„,/„), збігається з сингулярним розв'язком. Це означає, що поле задовольняє рівняшпо Гельмгольця з правою частішою у вигляді 5 - фупції Дірака в сенсі узагальнених функції}. Розглядуване поле визначає розбіжну сферичну хвилю (хвилю, розбіжну від центра х = 0 із сферичним фронтом). Із викладеного випливає, що параметричне сімейство джерел (Са,/а) створює одне і те ж зовнішнє поле. Тому обернена задача відновлення випромінюючої системи за заданим зовнішнім полем має сімейство розв'язків, залежних від параметра, що свідчить про сутігву некоректність оберненої задачі шшромішовипня звуку.

V розділі розглядається акустичне поле об’ємного циліндра радіусом а, вісь якого збігається з віссю х3, причому джерела розподілені рівномірно із сталою густиною /0 всередині циліндра. Згідно

з постановкою задачі розв’язок не залежить від х3 і плоский випадок в Уї2 потрібно розглядати, вважаючи джерела випромінювання рівномірно розподіленими в крузі Єа ={х = (л1,.х2)є952,|х| = -^л:1 + х\ <а). Задача випромінювання зводиться до розв'язання двовимірного рівняння

Л •у

Гельмгольця Ар + к р = -/(х),х = (х1,х2)є'3\ , ІтАгйО з фінітною правою частішою / (х) = /0, х є Єа; /(х) = 0, х е Са. Використовуючи циліндричну систему координат (г,(р,г), для розв'язку двовимірної хвилеводної задачі, який задовольняє умовам випромінювання на нескінченності

р(х) = е~іткгО{г~хп), ~~ікр^-е~ЬаЬго{г~ХІ‘г) приг = |х|-»оо , аг '

доведена наступна формула:

/>(х)=Ра(х):

к у к

Щ&ят(кг), гїа.

ку •

Фундаментальний розв'язок двовимірного оператора Гельмгольця £2(х) = ~н^\кг),х = (хі,х2)е^ збігається із зовнішнім полем ра(г) і к2у

при '/о ~/а~- ' • Показано, що в граничному випадку (а-»0)

4 JQ^ka)

іусіши / прямує до двовимірнім 3 -функції в сенсі узагальнених функцій, причому нас місце співвідношення (ї) - С2 (х)|*& ->'■ 6.

о.

Оскільки границею параметричного джерела (<Зй,/0) при <г -» 0 є точкове джерело (0,^(2», то сингулярний розв'язок £"2(к) має фізичний зміст поля, створюваного точковим джерелом в З?2.

Поле об'ємного шару С„ = {х = (х,у,г) є5Н3, (у,г) е Я2,|х| < а} із сталою густиною /0 не залежить від змінних (у,г), тому задачу випромінювання можна розглядати на осі л: є 31, вважаючи, що джерела розподілені рівномірно в інтервалі Єа =(-а,а) з фінітною густиною /0. Розв'язок одновнмірного хвильового рівняння Гельмгольця

•у

Ар + к р = -/(х),хє9?, Іт/г ¿0, який задовольняє умовам випромінювання па нескінченності, отримано у вигляді

Р(х) = Ра(х) =

^е,ка СОБкх~~г, Іх(йа, к к2

ІА0,:

7.2

зіп(Аа)е'*^,

причому зовнішнє поле збігається з фундаментальним розв'язком

Є\33 Ум0ви /о = /« •

2к 2біп«і

Установлено, що густина / при а -> 0 прямує до одновимірної

5-фунції Дірака ¿(х), а розв’язок при /0 = /в прямує до сингулярного

розв'язку £[(х) в кожній точці х ¿0 у середньому. Таким чином,

сингулярний розв'язок можна трактувати як поле, створюване монополем

(0,{?(*)). З фізичної точки зору, розв'язок £,(х) природно розглядати в

ЗІ3 як акустичне поле джерел, що суцільно заповнюють площину х = 0. Випромінюване поле являє собою розбіжну плоску хвшпо, що поширюється від ПЛОЩИНИ X = 0 в різні боки.

Четвертий розділ присвячено розробці методів моделювання звукового поля точкового джерела з декартовими координатами (0,0, гд ) в

неоднорідному хвилеводі Є = {(х,у,г)єЧЯі ,(*,><) є ЗІ2,0 <г<Н} з неперервного швидкістю звуку с(г), абсолютно м'якою верхньою та імпедансною нижньою границями. В циліндричній системі координат (г,г) акустичний тиск задовольняє рівнянню Гельмгольця .

г дг\ дг)

+ ^ + к2(г)р = -М8(г-го), (2)

дг2 2пг

крайовим умовам

pUo=°>

z = H

= 0,

(3)

де а-деякий комплексний параметр(Ітя5 0 ), ІтА^г)і 0, і умовам випромінювання на нескінченності. .

Використання методу нормальних мод потребує дослідження властивостей допоміжної задачі Штурма-Ліувілля .

можна записати в операторному вигляді

Ад>~ Лр, Л = ^г,<ре D(A).

В гільбертовому просторі комплексних функцій, інтегрованих з квадратом на (0,Н) із скалярним добутком і нормою

розглядаються два випадки: 1т£(г) > 0, Іта = 0 і ІтА(г) = 0, Іта * 0.

Для першого випадку встановлено, що спряжений оператор А* = А, тобто' А с самоспряженим за умови ІшА = 0 і несамоспряженим, якщо ]т£*0. При цьому, якщо власне значення Я є власним значенням оператора А з відповідною власного функцією <р , то пара (Я,^)с розв’язком задачі на власні значения для спряженого оператора А" . Спектральна задача (4)-(5) має лічену множину простих власних зшчс-нг, К >п -1*2,... , з единою граничною точкою на нескінченності і

(4)

dzl

яку за допомогою оператора л = —-+А3(г) з областю означення D(A)

dz ,

(5)

н

(и,у) = ju(z)v(z)dz, ¡иЦ = у}(и,и), ’

о

відповідних власних значень {<р}™=1. При Іт£ = 0 власні значення можуть бути впорядковані:

іпах /с2(г) > £,2 > £І >... > £* >... -> -оо, '

а відповідні їм власні функції дійсні і утворюють повну ортогональну в ¿2(0, Я) систему. В загальному випадку (при ІтАг>0) власні значення

комплексні з додатною уявною частиною! а відповідні власні функції

утворюють біортогональну систему з власними функціями спряженої задачі, тобто-функціями <р„(г):

_ Нг ГО, п Фт,

(<Рп*<Рт)= {

о [у„,п = т.

Тут >0, якщо \тк = 0, і стає комплексною величиною у випадку Ішк > 0. Для виконання умов Яе£, і 0, Іш^„ £ 0 значення потрібно

брати за формулою

Лп =ДЄХР №п)'вп

Іш Л„ _ , аіх% - -л-,КеЛ„ >0

агсід

п

І тЛ„

+ я, ЯеЛ,, < 0,

к, Л„ < 0.

Другий клас спектральних задач з комплексним несамоспряженим оператором породжується при розгляді акустичного поля точкового джерела в осесиметричному неоднорідному хвилеводі з поглинаючою границею розподілу вода-дно. Акустичний тиск також задовольняє рівнянню Гельмгольца (2) з дійсним хвильовим числом і крайовим . умовам вигляду (3).

Якщо в умові третього роду (5) параметр а є комплексним, то така модель дозволяє описати звукове поле точкового джерела у вигляді дискретних модових представлень і врахувати витрати енергії із волого шару в дно. Проведено дослідження властивостей задачі

Штурма-Ліувілля, Доведено, що власні значення спектральної задачі (4)-(5) мають додатну уявну частину у випадку від’ємної уявної частини комплексного числа а (ІтасО). Встановлені властивості спектральної задачі дозволяють сконструювати представлення акустичного поля у вигляді суми нормальних мод.

Теорема 4.1. Для розв'язку крайової задачі (2)-(3) з урахуванням умов випромінювання на нескінченності справедливе представлення

Р(г,г) = ^ X 9п(го)<Рп(.г)Н^^пг)ІУп ■

я=1

Використання методу нормальних мод для моделювання звукових полів потребуе розробки високоточних чисельних методів і алгоритмів знаходження власних чисел і відповідних власних функцій самоспряженої (несамоспряженої) задачі Штурма-Ліувілля вигляду (4)-(5), Поряд з

традиційними схемами конструювання різницевих схем значний інтерес представляють схеми, що досить повно враховують сильно осцшиоючий розв’язок диференціальної задачі. В дисертаційній роботі запропоновано метод побудови дискретної задачі, який базується на використанні розв’язків, локально ідентичних розв'язку диференціального рівняння.

На одновимірній сітці з кроком И в околі вузла розглянемо

рівняння (4) з постійними коефіцієнтами

+ = • . (6)

де А% і <рл(г) - власне значення та відповідна йому власна функція, к) = к(г} )>0, Іт*=0, /у = А^„(г7).

■Загальний розв’язок рівняння (6) можна записати в явному вигляді

(г) = Щ ехр[/(г -г})к}] + а2 ехр[~/(г- Ік), (7)

де И] ,а2-довільні сталі.

Побудоване в роботі триточкове різницеве рівняння є точним на розв’язках вигляду (7) і має вигляд

(vJ+x - 2cos(hkj)vj + Vj_,)/T2 - 2Xh„(l - cos(hkj))Vj /(h2k])=0. (8)

Якісна відмінність різницевого рівняння (8) від стандартних сіткових апроксимацій полягає в тому, що запропонована- дискретна спектральна задача значно точніше наближає диференціальну задачу.

Для знаходження дійсних власних значень (функцій) дискретних спектральних задач розроблено ефективний алгоритм, який використовує оцінки власних значень диференціальних задач. Зокрема, для крайових умов першого роду

min A2(z)-f—1 max кг(г)~{—1 , и = 1,2,...

0 ZzSH \Н) OSzStf \Н)

Крім цього, досліджено питання стійкості різницевої спектральної задачі та проведено узагальнення розробленого чисельного методу розв’язання спектральної задачі на випадок комплексних власних значень та власних функцій задачі (4)-(5), в якій k2(z) - комплексна функція,

ImJt2(z)>0, ImacO, Rea ^ 0 . В останньому випадку чисельний алгоритм використовує оцінки власних значень, сформульовані в наступній теоремі.

Теорема 4.2. Нехай в спектральній задачі (4)-(5) k2(z)- комплексна функція, ImA2(z)>0, Ima<0,Rea^0. Тоді для дійсної і уявної частини власних значень справедливі оцінки

ReX_ < шах Ret (z),

ОйгйН

1тЛ„ й шах Im*2(z) + 2llm(a)|( шах ReA2(z)-ReA„)1/2.

0 іг<.Н 0 йг±Н

У п’ятому розділі розглянуті питання розробки та обгрунтування чисельних методів математичного моделювання дальнього акустичного поля в неоднорідних хвилеводах на основі параболічних апроксимацій хвильового рівняння Гельмгольця. В циліндричному осесиметрнчному хвилеводі G = {г > Г0,О < z < Н) розглядаються початково-крайові задачі для хвильових параболічних рівнянь з комплексним несамоспряженим оператором

+ 2¿о («(г, г)-1-і-і у(г, г) + //(г, г))и = 0, (10)

де //(г,г) = («2 /м3 -ив/иг)/(4Ло) ; п2 - дпІ дг, пк = д2л/&2; /= -У-І -уявна одиниця; п(г,г)=с01с(г,г) - коефіцієнт заломлення; с(г,г) -неперервна швидкість звуку ( Сц - її деяке значення); кд = а> І со -хвильове число; а - частота; у(г,г)йО- неперервний коефіцієнт поглинання. Диференціальні рівняння (9)-(10) є базовими для визначення комплексного акустичного тиску р(г,г), створюваного джерелом випромінювання із дальній зоні. При цьому модифіковане параболічне рівняння (10) використовується для моделювання акустичних процесів із врахуванням широкого діапазону зміни швидкості звуку за дальністю. Для точкового джерела цей тиск задовольняє рівнянню Гельмгольця (2) і

при к0г » 1 представляється у вигляді р(г,г)~Нц\ког)и(г,2), де

#0^- функція Ханкеля першого роду нульового порядку. При розробці та дослідженні дискретних моделей в роботі розглядаються випадки м’якої та жорсткої нижньої границі.

Для чисельного розв’язання диференціальних початково-крайових задач на рівномірній сітці оіт^ з кроками т, Н досліджуються різницеві

схеми, які можна записати в операторному вигляді Вуг + Ау = 0,гео,,

у0 - задане,

(П)

де введені відомі позначення теорії різницевих схем:

У = Ук =УІгт>2к) = Ук>Уг =(У~УУт>У = Ук+1 ■

Лінійні комплексні несамоспряжені оператори А і В діють в гільбертовому просторі Н комплексних функцій і визначаються для кожної розглянутої задачі відповідними певними співвідношеннями.

Залежно від умови на нижній границі будемо розглядати наступні скалярні добутки і норми в Н :

[у^] = (у,у) + 0,5Л^?Я) |Ь'] = [у,>']І/2,(у,у)= ||у1 = (у,>’)1/2 ,

де риска означає комплексне спряження.

На основі отриманих енергетичних тотожностей установлені апріорні оцінки для розв’язків дискретних хвильових моделей з комплексним несамоспряженим оператором, які дозволяють дослідити коректність запропонованих різницевих схем, у тому числі стійкість за початковими даними, за правою частиною, оцінити швидкість збіжності. Зокрема, параболічному хвильовому рівнянню (9) у хвилеводі з жорстким дном відповідає двошарова різницева схема вигляду (11) з операторами

* 1 * ІГ/ ч і.

тУ*—Г£У + т;Ь{г,г)у, г = Л, п И1 2

0,5Ду + 0,5і(г,г)у^ = г*, (12)

~\у?+\ь(г,г)у,х = Н,

де Е - одиничний оператор, Ау = уїг - оператор різницевої похідної другого порядку, Уг,Уі - різницеві похідні першого порядку, Ь(г, г) = 2к% (л(г, г) -1 + і\(г,г), Ь (г, г) = Ь(г + т / 2, г).

Справедлива наступна теорема.

Теорема 5.1. Для розв'язку різницевої схеми (11)-(12) має місце енергетична тотожність

В = ік0Е + —А, А -о 2 •

Тоді з енергетичної тотожності (13) випливає твердження.

Теорема 5.3. Різницева схема (11)-(12) стійка за початковими даними в нормі |[у]|, і для їїрозв 'язку справедлива апріорна оцінка

■ .

Подібні енергетичні тотожності встановлені і для модифікованого параболічного рівняння (10) у хвилеводі з м’якою та жорсткою нижньою границею. У випадку жорсткої границі різницеву схему можна записати в операторному вигляді (11)-(12), де прийнято

Лу = (ау2-)2=^Т+іЛИ+1 -(*?+і + «?)>'Г+ <«*). .

a{r,z) = \/n(r + x/2,z~h/2), (14)

b(r, z) = 2k$ («(r. z)-l + i'v(r, z) + ц(г, z), b (r, z) = b(r +1 / 2, z)).

Для розв’язку різницевої схеми (11) - (12), (14) має місце енергетична тотожність, аналогічна (13).

У випадку м’якої нижньої границі хвилевода, крім стійкості за початковими даними, доведена стійкість різницевої схеми за правою частиною, що дозволило в класі достатньо гладких розв’язків диференціальної задачі установити збіжність при z,h->0 в нормі || із

л -у

швидкістю 0(t +h ).

Завершується розділ описом принципів та основних аспектів програмної реалізації алгоритмічного забезпечення розрахунку звукових полів з використанням банку гідрологічних даних. Визначено і описано структуру основних модулів програмного забезпечення; структуру модулю банку градієнтів швидкості звуку; принципи районування акваторії Світового океану. Проведено моделювання реальних акустичних задач за допомогою розробленого програмного комплексу. Результати математичного моделювання звукових полів в осесиметричних ■ неоднорідних хвилеводах подано у вигляді графіків.

ВИСНОВКИ

Основні напрямки досліджень, проведених в дисертаційній роботі:

« розвиток чисельно-аналітичних методів математичного моделювання і прогнозування процесів поширення акустичної енергії в неоднорідних підводних хвилеводах;

• створення і дослідження математичних моделей, адекватних фізико-гідрологічним особливостям досліджуваних процесів;

• розробка і теоретичне обгрунтування чисельних методів розв’язання хвильових рівнянь з комплексним несамоспряженим оператором;

• створення програмного забезпечення для розрахунку акустичного поля.

Основні результати дисертаційної роботи:

• сформульовано нові математичні, постановки задач поширення акустичних хвиль в неоднорідних нескінченних підводних хвилеводах з урахуванням фізико-гідрологічних особливостей;

о отримано у випадку однорідного середовища точні аналітичні розв’язки базових акустичних просторових задач для рівняння Гельмгольця з комплексним несамоспряженим оператором і встановлено їх збіжність до сингулярних розв’язків;

• узагальнено метод нормальних мод на випадок хвилеводів з імпедансною границею, встановлено нові властивості розв’язків задачі . Штурма-Ліувілля з комплексним несамоспряженим оператором та запропоновано метод чисельного розв’язання;

• розроблено і теоретично обгрунтовано різницеві схеми для рівняння типу Шредінгера з комплексним несамоспряженим оператором. Проведено аналіз стійкості дискретних моделей акустичних полів з комплексним несамоспряженим оператором і отримано оцінки розв’язків у відповідних нормах;

• створено програмно-алгоритмічне забезпечення для моделювання звукового поля в підводних неоднорідних хвилеводах.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.Скопецкий В.В., Гладкая 10.А. Исследование дискрепшх моделей с несамосопряженным оператором //Докл. НАН Украины . -1997.-№ 11.-С.103-106.

2.Скопецький В.В., Гладка Ю.А. Про стійкість різницевих

параболічних рівнянь типу Шредінгера // Праці міжнар. конф. "Питання оптимізації обчислень”. - К.: Ін-т кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України. - 1997. - С.70-75.

3.Скопецкий В.В., Гладкая Ю.А. Об устойчивости дискретных волновых моделей с несамосопряженным оператором // Проблемы управления и информатики . - 1998. - № 5. - С.75-81.

4.Гладкая Ю.А. Об исследовании дискретных моделей волновых процессов // Кибернетика и вычисл. техника . - К.: Ин-т кибернетики им. В.М.Глушкова НАН Украины, Междунар. научно-учебный центр информационных технологий и систем. - 1998. - Вып.117. - С. 18-23.

5.Гладка Ю.А. Про апріорні оцінки розв’язку хвильових рівнянь Н Матеріали VII міжнар. наук. конф. ім. акад. М.Кравчука,- К.: НТУ України (КГП). - 1998. - С.111.

6.Скопецышй В.В., Гладка Ю.А. Дослідження стійкості дискретних задач для хвильових рівнянь типу Шредінгера // Доп. НАН України . -1999,-№5.-С.112-114

Гладка Ю.А. Чисельно-аналітичне моделювання хвильових процесів. - Рукопис. Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 -математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2000.

Дисертація присвячена питанням розробки та обгрунтування методів математичного моделювання акустичних хвиль, що описуються крайовими (початково-крайовими) задачами для хвильових рівнянь еліптичного (параболічного) типів з комплексним несамоспряженим оператором. Отримані аналітичні розв’язки базових просторових акустичних задач для рівняння Гельмгольця, проведено узагальнення методу нормальних мод на випадок хвилеводів з імпедансною границею, запропоновано метод чисельного дослідження задачі Штурма-Ліувілля з комплексним несамоспряженим оператором. Розроблено і обгрунтовано різницеві схеми для математичного моделювання акустичного поля на основі параболічних хвильових рівнянь типу Шредінгера з комплексним несамоспряженим оператором. Розглянуто питання програмної реалізації алгоритмічного забезпечення розрахунку звукових полів.

Ключові слова: хвильові процеси, крайова задача, задача Штурма-Ліувілля, рівняння Гельмгольця, параболічне рівняння типу Шредінгера, комплексний несамосгіряжений оператор, різницева схема.

Гладкая Ю. А. Численно-аналитическое моделирование волновых процессов. - Рукопись. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02. - математическое моделирование и вычислительные методы, Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2000.

Диссертация посвящена вопросам разработки и обоснования методов математического моделирования акустических волн, которые описываются краевыми (начально-краевыми) задачами для волновых уравнений эллиптического (параболического) типов с комплексным несамосопряженным оператором.

В первом разделе диссертационной работы проведен аналитический обзор состояния научных исследований, рассмотрены вопросы применения приближенных методов для расчета волновых процессов в неоднородных средах.

Во втором разделе описаны методика и основные методы исследований. Приведены математические модели, описывающие акустические волны, условия излучения на бесконечности, методы построения параболических приближений волнового уравнения Гельмгольца.

В третьем разделе рассмотрены базовые пространственные задачи для уравнения Гельмгольца с комплексным волновым числом, исследование которых, с учетом симметрии, сводится к исследованию одномерных задач. Получены точные аналитические решения базовых пространственных акустических задач, которые описывают акустическое поле шара, объемного цилиндра и поля объемного слоя. Аналитические решения удовлетворяют условим излучения на бесконечности и описывают наиболее важные волновые процессы - сходящиеся и расходящиеся сферические, цилиндрические и плоские волны. Показано, что семейства аналитических параметрических решений базовых пространственных задач стремятся к соответствующим сингулярным решениям уравнения Гельмгольца в смысле обобщенных функций. Из полученных аналитических решений следует, что задача восстановления излучающей системы по заданному внешнему полю имеет параметрическое семейство решений, что свидетельствует о существенной некорректности обратных задач излучения звука.

В четвертом разделе рассмотрена задача вычисления акустичсского поля точечного гармонического источника в неоднородном осесимметричном волноводе с импедансной границей, которая описывается краевой задачей для волнового уравнения Гельмгольца с

комплексным несамосопряженным оператором. Для решения исследуемого класса волноводных задач предложен и обобщен метод нормальных мод, который позволяет представить звуковое поле в аналитическом виде и учесть утечку энергии- из водного слоя в дно. Рассмотрена и исследована задача Штурма-Лнувилля с комплексным несамосопряженным оператором. Установлены новые свойства решений исследуемых класссов дифференциальных спектральных задач с комплексным несамосопряженным оператором, получены оценки собственных значений. Предложен и обоснован метод численного решения самосопряженных (песамосопряженных) спектральных задач на основе использования аналитических решений, локально идентичных решениям дифференциального уравнения, что позволяет достаточно полно учесть сильно осциллирующее решение дифференциальной задачи.

В пятом разделе рассмотрены вопросы разработки и обоснования численных методов математического моделирования дальнего акустического поля в неоднородных цилиндрических волноводах на основе параболических аппроксимаций (типа Шредингера) волнового уравнения Гельмгольца. Исследованы теоретические аспекты, связанные с численной реализацией методом конечных разностей математических моделей реальных волновых процессов, описываемых начально-краевыми задачами для стандартного параболического уравнения, а также модифицированного, учитывающего широкий диапазон изменения скорости звука по дальности. Построены и исследованы разностные схемы второго порядка аппроксимации для численного решения параболических волновых уравнений с комплексным несамосопряженным оператором в неоднородном осесимметричном волноводе при различных граничных условиях на дне. С помощью операторного подхода для решения рассматриваемых-дискретных задач установлены энергетические тождества, на основе которых показана единственность и устойчивость по начальным данным. В случае модифицированного параболического уравнения и мягкой границы дана оценка скорости сходимости разностной схемы.

Рассмотрены вопросы программной реализации алгоритмического обеспечения расчета звуковых полей.

Ключевые слова: волновые процессы, краевая задача, задача Штурма-Лиувилля, уравнение Гельмгольца, параболическое уравнение типа Шредингера, комплексный несамосопряженный оператор, разностная схема.

Y.A. Gladka. Numerically-analytic modelling of wave processes.-Manuscript. Dissertation thesis for a candidate of physics and mathematics scientific degree by speciality 01.05.02-mathematical modelling and computational methods, V.M.Glushkov Institute of Cybernetics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2000.

Dissertation thesis is devoted to elaboration and investigation of methods of mathematical modelling of acoustic waves described by boundaiy-value (initial boundary- value) problems for wave elliptical (parabolic ) equations with complex non-self-conjugate operator. The analytic solutions of base spatial acoustic problems are obtained for Helmholtz equation, generalization of normal mode method is performed for cylindrical and flat waveguides with impedance boundary, method of numerical investigation of spectral problems is proposed. Difference schemes for mathematical modelling of the acoustic field based on the parabolic wave equations of the Schrödinger type with complex non-self-conjugate operator are elaborated and grounded.Some questions of program realization of computing algorithms for calculation acoustic fields are considered.

Keywords: wave processes, boundary-value problem, Sturm-Liouville problem, Helmholtz equation, parabolic equation of the Schrödinger type, complex non-self-conjugate operator, difference scheme.