Численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет

Куприянов, Владимир Викторович

Численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Куприянов, Владимир Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.03.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по астрономии на тему «Численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет»

Автореферат диссертации на тему "Численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет"

На правах рукописи

Куприянов Владимир Викторович

Численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет

01.03.01 - Астрометрия и небесная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

П 3 ДПР /014

Санкт-Петербург - 2014

005546811

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Главной (Пулковской) астрономической обсерватории Российской академии наук (ГАО РАН).

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук ШЕВЧЕНКО Иван Иванович

Официальные оппоненты:

СОКОЛОВ Леонид Леонидович, доктор физико-математических наук,

профессор кафедры небесной механики астрономического отделения матема--ико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного уни-■ .ерситета

ЖЕЛЕЗНОВ Николай Борисович, кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник лаборатории малых тел Солнечной системы Института прикладной астрономии Российской академии наук

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт астрономии Российской академии наук (ИНАСАН)

Защита состоится 25 апреля 2014 года в 13 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 002.120.01 Главной (Пулковской) астрономической обсерватории Российской академии наук (ГАО РАН) по адресу: 196140, Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, д. 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГАО РАН.

Автореферат разослан 25 марта 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Милецкий Евгений Викторович

Общая характеристика работы

Актуальность работы

К настоящему времени в Солнечной системе открыто уже более 170 спутников планет [11]. Значительный материал об их орбитальных и физических характеристиках накоплен в результате как наземных наблюдений, так и космических миссий («Вояджер-1», «Вояджер-2», «Галилео», «Кассини»), Задачи динамики спутников и спутниковых систем, формирования их современных динамических состояний являются одними из актуальнейших в современной небесной механике и космогонии Солнечной системы. Орбитальная и вращательная динамика спутников связана с их физическими свойствами -массой, размерами, формой, составом и внутренним строением — и, таким образом, имеет важное значение в планетологии.

В результате исследований, выполненных в последние три десятилетия, стало ясно, насколько существенную роль в динамике Солнечной системы — и, в частности, в динамике спутниковых систем — играют резонансные явления (см. напр. книгу Мюррея и Дермотта [4]). Во многих случаях резонансы определяют пространственную конфигурацию орбит спутников и структуру колец планет. Многие из известных естественных спутников находятся в настоящее время в состоянии синхронного спин-орбитального резонанса, процесс захвата в который является важным событием в динамической истории спутника. Детали этого процесса, так же как и многих других эффектов, связанных с резонансами, все еще остаются мало изученными.

Взаимодействие резонансов порождает фундаментальный динамический эффект — хаотическое поведение. Уиздом и др. [10] в 1984 г. на основе анализа возможности существования основных резонансных спин-орбитальных состояний и их устойчивости у известных спутников планет сделали вывод, что вращение 7-го спутника Сатурна Гипериона должно быть хаотическим.

Позднее этот вывод был подтвержден в наблюдениях Клаветтером [8], Бл-эком и др. [5], А. В. Девяткиным и др. [2] и — строгим образом — путем моделирования кривых блеска А. В. Мельниковым [9]. Недавно обработка наблюдений с К А «Кассини» позволила Харбисон и др. [7] сделать вывод о неоднородности распределения вещества внутри Гипериона и несовпадении геометрических осей его фигуры с осями инерции.

Для полного качественного понимания вращательной динамики спутников планет необходимо развитие полноценной аналитической теории. Построение такой теории, однако, сопряжено с большими трудностями, и в настоящее время основным инструментом исследования в данной области, позволяющим решать задачу выявления тонких динамических эффектов в максимально реалистичной постановке, служит численное моделирование. В этом контексте настоящая диссертационная работа, в которой численными методами исследуются прежде всего резонансные и хаотические режимы вращения спутников планет, затрагивает тему, которая будет сохранять и приобретать новую актуальность по мере появления новых и более точных данных о вращательной динамике спутников.

Цель диссертационной работы. В работе были поставлены и решены следующие задачи:

1. Численно-экспериментальное исследование резонансных и хаотических режимов вращательной динамики спутников планет и анализ наблюдательных проявлений этих режимов.

2. Развитие методов и программных средств для исследования вращательной динамики спутников, основанное на массовом вычислении значений характеристических показателей Ляпунова путем численного интегрирования уравнений движения.

3. Построение диаграмм устойчивости вращательных режимов спутников планет, сравнение результатов численного моделирования с аналитической теорией; выявление качественных закономерностей в хаотическом вращении с целью определения границ применимости теории.

Научная новизна. В процессе выполнения работы был получен ряд новых результатов:

1. Создан новый программный комплекс для численного интегрирования и вычисления ляпуновских спектров динамических систем с непрерывным временем, ориентированный на анализ вращательной динамики спутников планет.

2. Впервые численно-экспериментально подтверждены выводы теории се-паратрисных отображений о свойствах хаотической вращательной динамики спутников планет.

3. Впервые выявлены наиболее вероятные кандидатуры (помимо Гипериона) — спутники Сатурна Прометей и Пандора — для наблюдательного поиска проявлений хаоса во вращательной динамике спутников планет.

Научная и практическая значимость работы

Созданные в рамках данной диссертационной работы методика и программный комплекс для расчета ляпуновских спектров динамических систем с непрерывным временем могут быть использованы как инструмент моделирования для выявления различных качественных закономерностей во вращательной динамике спутников планет. Универсальность методов и их программной реализации позволяет распространить их использование также на более широкий круг задач динамики тел Солнечной системы — как вращательной, так и орбитальной.

Полученные в работе численные оценки ляпуновских времен и эмпирические зависимости их от орбитальных и инерционных параметров, выводы о возможных значениях динамических параметров и о физических характеристиках спутников могут быть использованы при планировании наземных наблюдательных программ и космических миссий к спутникам планет.

Следует отметить, что с использованием развитых в настоящей диссертационной работе программных средств и методик был получен результат о режимах вращения Гипериона и Фебы, вошедший в перечень НСА РАН важнейших достижений астрономических исследований в России в 2008 г.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Программная реализация алгоритмов расчета ляпуновских спектров динамических систем с непрерывным временем. Создание программного комплекса, ориентированного на анализ вращательной динамики спутников планет.

2. Численно-экспериментальное подтверждение выводов теории сепаратрис-ных отображений о свойствах хаотической вращательной динамики спутников планет.

3. Эмпирические зависимости компонент ляпуновского спектра от инерционных параметров в задаче о пространственном вращении спутника.

4. Выявление наиболее вероятных кандидатур планетных спутников (помимо Гипериона), которые могут находиться в хаотическом вращении, — а именно, 16-го и 17-го спутников Сатурна Прометея и Пандоры.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах научных подразделений ГАО РАН и на следующих конференциях:

1. Всероссийская астрономическая конференция «ВАК-2001», С.-Петербург, АИ СПбГУ, 6-11 августа 2001 г.;

2. «Небесная механика — 2002. Результаты и перспективы», С.-Петербург, ИПА РАН, 10-14 сентября 2002 г.;

3. Всероссийская астрономическая конференция «ВАК-2004», Москва, ГАИШ МГУ, 2004 г.;

4. «Астрономия -2005 — современное состояние и перспективы», Москва, ГАИШ МГУ, 1-6 июня 2005 г.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах, из них 4 статьи в журналах, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных изданий, и 3 статьи в других изданиях.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. В опубликованных по теме диссертации работах подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был равнозначным с соавторами.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, приложения и библиографии. Общий объем диссертации 148 страниц с Приложением, включая 26 рисунков и 8 таблиц. Библиография включает 71 наименование.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор мулированы цели и аргументирована научная новизна исследований, проде-

монстрирована практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе «Компьютерные методы в небесной механике и динамической астрономии» дан краткий обзор истории разработки и приложений методов с использованием ЭВМ в задачах небесной механике и динамической астрономии. Рассмотрены предпосылки компьютеризации небесномеханиче-ских вычислений — в частности, для решения задачи N тел в различных постановках. Описаны первые примеры применения ЭВМ для решения задачи N тел в астрономии, в частности, в приложении к исследованиям динамики тел Солнечной системы. Проиллюстрирована важность численного исследования хаотической динамики для проверки качественных моделей и выявления новых динамических закономерностей. Кратко изложена история создания систем компьютерной алгебры и их применение для изучения долговременной эволюции Солнечной системы и для разработки более точных теорий движения тел Солнечной системы. Показано, как потребности численного эксперимента приводят к развитию новых вычислительных методов, а совершенствование компьютерной техники не только позволяет более эффективно решать задачи классической небесной механики, но и приводит к появлению совершенно новых направлений исследований.

Во второй главе «Хаотическое вращение спутников планет: ляпунов-ские спектры и максимальные характеристические показатели Ляпунова» рассмотрена задача вычисления характеристических показателей Ляпунова (ХПЛ) — в частности, максимального ХПЛ (МХПЛ) — в приложении к исследованиям вращательной динамики спутников планет. Моделью спутника служит трехосный эллипсоид однородной плотности, движущийся по фиксированной эллиптической орбите [1]. ХПЛ используются в качестве индикаторов степени хаотичности движения. Для выборки реальных спутников планет с известными значениями инерционных и орбитальных параметров,

полные ляпуновские спектры вычисляются методом Н(^11-разложения матрицы касательного отображения. Данный метод предложен фон Бременом и др. [6]. Используется также традиционный метод «теневой траектории» [3]. Численные оценки ХПЛ для случаев плоского и пространственного хаотического вращения сопоставлены с их аналитическими оценками, полученными при помощи теории сепаратрисных отображений в модели нелинейного резонанса (в данном случае — синхронного спин-орбитального резонанса) как возмущенного нелинейного маятника. Установлено хорошее согласие результатов численного моделирования с теорией сепаратрисных отображений в плоском случае. Показано, что теория, разработанная для плоского случая, вероятнее всего, остается справедливой и в случае пространственного вращения при условии, что динамическая асимметрия спутника достаточно мала и/или эксцентриситет орбиты достаточно велик (однако не настолько, чтобы нарушить условия применимости динамической модели). Данные ограничения связаны с тем, что в указанных случаях ведущим является синхронный резонанс, так что можно ожидать, что теория сепаратрисных отображений, разработанная в применении к движению вблизи сепаратрис этого резонанса, обеспечит оценки МХПЛ, согласующиеся с результатами численного моделирования.

Для случая пространственного вращения выведены эмпирические линейные зависимости компонент ляпуновского спектра от инерционных параметров спутника. Данные зависимости могут быть полезны, например, для грубой статистической оценки ХПЛ в отсутствие полной аналитической теории.

В третьей главе «Хаотическое вращение спутников планет: ляпуновские спектры и константа Якоби» проведено исследование устойчивости вращения спутников планет в рамках той же модели спутника как трехосного эллипсоида однородной плотности, обращающегося по фиксированной круго-

вой или эллиптической орбите. В отличие от второй главы, рассматривается только случай пространственного вращения. Целью данной главы является попытка дальнейшего расширения границ применимости аналитической теории в пространственном случае.

Методом исследования служит численное определение полного ляпунов-ского спектра хаотического вращения, аппарат которого развит во второй главе. Проводятся модельные расчеты для 12 спутников Марса, Юпитера, Сатурна и Нептуна с известными орбитальными и динамическими параметрами. Поскольку целью данной главы является исследование возможности хаотического движения спутника в ходе его динамической истории, а не его фактическое состояние в настоящее время, начальные данные для интегрирования выбираются внутри хаотического слоя фазового пространства. Качественные закономерности хаотического пространственного вращения выявляются посредством вычислений ХПЛ на сетке значений инерционных параметров. Полученные численные оценки ХПЛ сравниваются с теми же оценками, но для случая эксцентриситета орбиты, формально положенного равным нулю. Показано, что аналитический подход, основанный на теории сепаратрис-ных отображений, сохраняет свою применимость также и в пространственном случае для вытянутого осесимметричного спутника на эллиптической орбите в широком диапазоне значений инерционных параметров и эксцентриситета орбиты.

Изучается зависимость ХПЛ от значения константы Якоби системы для асимметричного спутника на круговой орбите. Показано, что зависимость МХПЛ линейна для малых значений константы Якоби, причем угол наклона этой зависимости одинаков для большей части рассмотренных наборов параметров задачи; различается только положение прямой. Более того, в случае вытянутого осесимметричного спутника эта зависимость носит универсальный характер, то есть определяется единственной прямой для всех значе-

ний константы Якобн в широком диапазоне значений инерционных параметров. Обнаружено, что зависимость МХПЛ от значения константы Якоби при больших значениях последней перестает быть линейной и имеет максимум; таким образом, анализ этой зависимости позволил получить оценки верхних границ значений МХПЛ. Результаты вычислений свидетельствуют о том, что принятый подход к аналитическому оцениванию ХПЛ может оказаться продуктивным при высоких значениях константы Якоби.

В четвертой главе «Вращательная динамика спутников планет: обзор регулярного и хаотического поведения» исследуется проблема распространенности и практической наблюдаемости хаотических режимов вращения спутников планет.

Анализ основан на массовом применении развитых в предыдущих главах методик вычисления ХПЛ к исследованию возможных режимов вращательной динамики спутников с известными инерционными и орбитальными параметрами.

Путем численного интегрирования уравнений вращательного движения вычислены полные ляпуновские спектры и диапазоны изменения скорости вращения спутников; при этом начальные условия берутся в главном хаотическом слое фазового пространства, вблизи сепаратрисы синхронного резонанса. Критерием наблюдаемости хаотического движения служит наличие малого ляпуновского времени и значительных наблюдаемых в вычислениях вариаций скорости вращения. Независимо исследуется устойчивость синхронного состояния по отношению к наклону оси вращения как условие динамической возможности регулярного вращения.

Для всех спутников вычисляются времена замедления вращения в результате приливной эволюции, чтобы выяснить, могли ли спутники достичь состояния вращения, близкого к синхронному.

Показано, что всем перечисленным критериям удовлетворяют, помимо

7-го спутника Сатурна Гипериона, хаотическое вращение которого уже было ранее подтверждено наблюдениями, только 16-й и 17-й спутники Сатурна, Прометей и Пандора.

Поскольку доля хаотической компоненты в фазовом пространстве возрастает с увеличением асимметрии спутника и эксцентриситета его орбиты, вероятность наблюдения хаотических режимов вращения может быть относительно велика среди вновь открываемых спутников. Большинство из них имеет малый размер и, следовательно, асимметричную форму; многие из них к тому же обращаются по сильно вытянутым орбитам. Здесь, однако, играет роль время приливного замедления вращения, которое может оказаться недостаточным для достижения околосинхронных состояний.

В Заключении сформулированы выводы и результаты диссертации.

В Приложении приводится описание разработанного в рамках диссертационной работы программного комплекса для расчетов полных ляпунов-ских спектров динамических систем с непрерывным временем на основе метода HQRB. Программный комплекс, написанный на языке Fortran-77, применялся во всех численных расчетах в данной работе. Комплекс имеет модульную структуру, в которой вычислительное ядро отделено от модулей, реализующих динамическую систему, и от модулей ввода-вывода, определяющих набор и форматы входных данных и результатов вычислений. Спецификация межмодульных интерфейсов и механизм взаимозаменяемости модулей позволяют легко адаптировать комплекс к различным динамическим системам и различным постановкам задачи для одной и той же динамической системы — например, проводить вычисления ХПЛ как вращательной, так и орбитальной динамики реальных (либо модельных) небесных тел на сетках значений параметров — для выявления закономерностей и зависимостей от параметров. Описаны имеющиеся модули программного комплекса, форматы входных и выходных файлов и процесс сборки комплекса для компиляторов Compaq

Visual Fortran и GNU Fortran-77. Благодарности

Работа поддержана грантами РФФИ №№ 01-02-17170, 03-02-17356, 05-0217555.

Список основных публикаций по теме диссертации

1. Shevchenko 1.1., Kouprianov V. V. On the chaotic rotation of planetary satellites: The Lyapunov spectra and the maximum Lyapunov exponents // Astron. Astrophys. - 2002. - V. 394. - P. 663-674.

2. Kouprianov V. V., Shevchenko I. I. The Lyapunov spectra in spin-orbit dynamics // Труды ИПА PAH. - 2002. - № 8. - C. 106-107.

3. Kouprianov V. V., Shevchenko I. I. On the chaotic rotation of planetary satellites: The Lyapunov exponents and the energy // Astron. Astrophys. - 2003. - V. 410. - P. 749-757.

4. Куприянов В. В., Шевченко И. И. Размеры и инерционные параметры спутников планет: Статистические свойства и зависимости // Изв. ГАО. -

2004. - № 217. - С. 314-317.

5. Девяткин А. В., Горшанов Д. Л., Куприянов В. В., Мельников А. В., Шевченко И. И. Наблюдения и анализ кривых блеска трех спутников Сатурна // Изв. ГАО. - 2004. - № 217. - С. 229-235.

6. Kouprianov V. V., Shevchenko I. I. Rotational dynamics of planetary satellites: A survey of regular and chaotic behavior // Icarus. -

2005. - V. 176. - P. 224-234.

7. Куприянов В. В., Шевченко И. И. О форме и резонансной вращательной динамике малых спутников планет // Астрон. Вестник. - 2006. - Т. 40. - № 8. - С. 428-436.

Цитированная литература

1. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. - М.: Наука, 1965. - 416 с.

2. Девяткин А. В., Горшанов Д. Л., Грицук А. Н., Мельников А. В., Сидоров М. Ю., Шевченко И. И. Наблюдения и теоретический анализ кривых блеска естественных спутников планет // Астрон. Вестник. - 2002. — Т. 36. - Вып. 3. - С. 269-281.

3. Лихтенберг А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лихтенберг, М. Либерман - Пер. с англ. под ред. Б. В. Чирикова. - М.: Мир, 1985. -529 с.

4. Мюррей К. Динамика Солнечной системы / К. Мюррей, С. Дермотт. -Пер. с англ. под ред. И. И. Шевченко. - М. : Физматлит, 2009. - 588 с.

5. Black G. J., Nicholson P. D., Thomas P. C. Hyperion: Rotational dynamics // Icarus. - 1995. - V. 117. - P. 149-161.

6. von Bremen H. F., Udwadia F. E., Proskurowski W. An efficient QR based method for the computation of Lyapunov exponents // Physica D. - 1997. -V. 101. - P. 1-16.

7. Harbison R. A., Thomas P. C., Nicholson P. C. Rotational modeling of Hyperion // Celest. Mech. Dyn! Astron. - 2011. - V. 110. - P. 1-16.

8. Klavetter J. J. Rotation of Hyperion. II - Dynamics 11 Astron. J. - 1989. -V. 98. - P. 1855-1874.

9. Mclnikov A. V. Modelling of lightcurves of minor planetary satellites // IAA Transactions. -- 2002. - № 8. - P. 131-132.

10. Wisdom J., Peale S. J., Mignard F. The chaotic rotation of Hyperion // Icarus. - 1984. - V. 58. - P. 137-152.

11. Ycomans D. K. How Many Solar System Bodies // URL: http://ssd.jpl. nasa.gov/?body_count (дата обращения: 22.09.2013).

Подписано к печати 13.03.14. Формат 60x84 Vie. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00.

Тираж 100 экз. Заказ 6001._

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

Текст научной работы диссертации и автореферата по астрономии, кандидата физико-математических наук, Куприянов, Владимир Викторович, Санкт-Петербург

Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН

Численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет

01.03.01 - Астрометрия и небесная механика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н.

Шевченко Иван Иванович

Санкт-Петербург - 2014

Оглавление

Введение ................................... 4

Глава 1. Исторический обзор ..........................................9

1.1. Численное моделирование в задаче N тел ............12

1.2. Численный эксперимент и динамический хаос..........16

1.3. Методы компьютерной алгебры в небесной механике и динамической астрономии..........................19

1.4. Выводы к первой главе.......................20

Глава 2. Хаотическое вращение спутников планет: ляпуновские спектры и максимальные характеристические показатели Ляпунова ...................................23

2.1. Введение...............................23

2.2. Основные определения и алгоритмы................24

2.3. Аналитическое оценивание МХПЛ.................26

2.4. Численные методы определения полных ляпуновских спектров

и МХПЛ...............................30

2.5. ХПЛ хаотического вращения спутников планет.........33

2.6. Сравнение случаев плоского и пространственного вращения . . 53

2.7. Выводы ко второй главе ......................59

Глава 3. Хаотическое вращение спутников планет: ляпуновские спектры и константа Якоби .....................62

3.1. Введение...............................62

3.2. Вычисление ляпуновских спектров................64

3.3. Орбитальное движение и ХПЛ вращения.............66

3.4. Аналитическое оценивание ХПЛ: границы применимости ... 71

3.5. Зависимость ХПЛ от значения константы Якоби........73

3.6. Точность вычисления компонент ляпуновского спектра.....81

3.7. Выводы к третьей главе.......................88

Глава 4. Вращательная динамика спутников планет: обзор регулярного и хаотического поведения................90

4.1. Введение...............................90

4.2. Постановка численного эксперимента...............91

4.3. Угловые скорости и ляпуновские времена ............94

4.4. Устойчивость движения в синхронном резонансе ........100

4.5. Приливное замедление вращения .................105

4.6. Выводы к четвертой главе.....................107

Заключение..................................112

Список литературы ............................116

Приложение А. Программный комплекс для вычисления ля-пуновских спектров динамических систем на основе НС^ШЗ-

метода...................................123

А.1. Обозначения.............................123

А.2. Структура комплекса........................123

А.З. Использование комплекса......................125

А.4. Подключение интегратора, отличного от ЭОР853 ........ 142

А.5. Вопросы переносимости.......................147

Введение

Актуальность работы

К настоящему времени в Солнечной системе открыто уже более 170 спутников планет [71]. Значительный материал об их орбитальных и физических характеристиках накоплен в результате как наземных наблюдений, так и космических миссий («Вояджер-1», «Вояджер-2», «Галилео», «Кассини»). Задачи динамики спутников и спутниковых систем, формирования их современных динамических состояний являются одними из актуальнейших в современной небесной механике и космогонии Солнечной системы. Орбитальная и вращательная динамика спутников связана с их физическими свойствами — массой, размерами, формой, составом и внутренним строением — и, таким образом, имеет важное значение в планетологии.

В результате исследований, выполненных в последние три десятилетия, стало ясно, насколько существенную роль в динамике Солнечной системы — и, в частности, в динамике спутниковых систем — играют резонансные явления (см. напр. книгу Мюррея и Дермотта [11]). Во многих случаях резонансы определяют пространственную конфигурацию орбит спутников и структуру колец планет. Многие из известных естественных спутников находятся в настоящее время в состоянии синхронного спин-орбитального резонанса, процесс захвата в который является важным событием в динамической истории спутника. Детали этого процесса, так же как и многих других эффектов, связанных с резонансами, все еще остаются мало изученными.

Взаимодействие резонансов порождает фундаментальный динамический эффект — хаотическое поведение. Уиздом и др. [70] в 1984 г. на основе анализа возможности существования основных резонансных спин-орбитальных состояний и их устойчивости у известных спутников планет сделали вывод, что вращение 7-го спутника Сатурна Гипериона должно быть хаотическим.

Позднее этот вывод был подтвержден в наблюдениях Клаветтером [42], Бл-эком и др. [26], А. В. Девяткиным и др. [2] и — строгим образом — путем моделирования кривых блеска А. В. Мельниковым [46]. Недавно обработка наблюдений с К А «Кассини» позволила Харбисон и др. [40] сделать вывод о неоднородности распределения вещества внутри Гипериона и несовпадении геометрических осей его фигуры с осями инерции.

Цель диссертационной работы. В работе были поставлены и решены следующие задачи:

Научная новизна. В процессе выполнения работы был получен ряд новых результатов:

Научная и практическая значимость работы

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Всероссийская астрономическая конференция «ВАК-2001», С.-Петербург, АИ СПбГУ, 6-11 августа 2001 г.;

2. «Небесная механика — 2002. Результаты и перспективы», С.-Петербург, ИПА РАН, 10-14 сентября 2002 г.;

3. Всероссийская астрономическая конференция «ВАК-2004», Москва, ГАИШ МГУ, 2004 г.;

4. «Астрономия-2005 — современное состояние и перспективы», Москва, ГАИШ МГУ, 1-6 июня 2005 г.

Глава 1 Исторический обзор

Возникновение небесной механики как науки непосредственно связано с созданием Ньютоном теории тяготения. С ее открытием один из важнейших разделов практической астрономии - расчет эфемерид (положений небесных тел в заданные моменты времени) - обрел твердую математическую базу. Родившись из крайне насущных целей измерения времени и навигации, теория движения небесных тел явилась в то же время одним из наиболее ярких успехов в познании человеком законов строения Вселенной и, по мере роста точности предсказания положений Луны и планет и с открытием Адамсом и Леверье Нептуна, стала подлинным триумфом механистической картины мира. Это предопределило безграничную веру Лапласа в детерминизм, господствовавшую в науке в течение всего XIX столетия.

Но постепенно небесномеханические расчеты все усложнялись. Несмотря на простоту исходных уравнений, отыскать их точное аналитическое решение в применении к задачам движения тел Солнечной системы удалось только в нескольких простейших случаях. Поэтому, начиная с работ Лагран-жа и Лапласа в конце XVIII и начале XIX века, небесная механика пошла по пути использования теории возмущений. Однако ряды, даваемые аналитической теорией возмущений, требуют большого объема алгебраических выкладок, которые приходилось проводить вручную. Так, опубликованная Делоне в 1867 году в результате кропотливых 20-летних расчетов теория движения Луны состоит их трех формул, каждая из которых занимает 200 страниц.1 Подчеркнем, что теория Делоне при этом являлась не просто неким узко-

1 Интересно отметить, что эта теория не имеет ошибок вплоть до 9-го порядка, за исключением одного члена 7-го порядка, несущественного для конечного результата. Это было показано в 1970 году Депри с помощью средств компьютерной алгебры.

специальным ограниченным научным результатом, а служила еще и весьма насущной практической цели вычисления морских навигационных таблиц. Все это сдерживало развитие небесной механики, позволяя получить решение уравнений движения лишь на коротких интервалах времени и ограничивая число решаемых задач.

Развитие классической небесной механики достигло апогея в работах Пуанкаре в конце XIX века, в особенности в его важнейшей работе по этой теме «Новые методы небесной механики». Но эта же работа выявила и границы аналитических средств. Пуанкаре показал, что большинство небесномехани-ческих рядов расходится, так что с их помощью невозможно достичь сколь угодно точного решения. Также стало ясно, что в общем случае невозможно найти аналитическое решение важнейшей задачи небесной механики — задачи N тел. Вместе с тем, эта работа Пуанкаре содержала уже основные идеи современной теории динамических систем и, в частности, теории хаоса. Эти идеи определили ход развития небесной механики, начиная с середины XX века.

Вплоть до этого времени в науке господствовали два взаимно дополнительных взгляда на теорию динамических систем. С одной стороны, основанная на ньютоновой теории, а затем и на релятивистской теории Эйнштейна небесная механика была средоточием регулярности и детерминизма. С другой, статистическая механика, основы которой были заложены в XIX веке в работах Больцмана и Гиббса, рассматривала статистические свойства всей совокупности частиц в целом, игнорируя индивидуальные траектории частиц и полагая их случайными. Видимое противоречие между детерминистским характером уравнений, которым подчиняется динамика отдельных частиц, и их случайным поведением было преодолено в XX веке с созданием эргодиче-ской теории в работах Биркгофа, Синая и других; эта теория дала строгое математическое обоснование статистической механике. В астрономии первый

подход целиком господствовал в небесной механике, а второй получил распространение в звездной динамике. Так или иначе, было широко распространено мнение, что динамика реальных систем является либо регулярной (в случае небесномеханических систем — систем с малым числом тел), либо эргоди-ческой (в случае звезднодинамических систем — систем с большим числом тел).

Как было отмечено, точное решение большинства задач, связанных с взаимодействием трех и более тел, невозможно получить аналитическими методами. Численное же их решение вручную сопряжено с колоссальными вычислительными трудностями. Поэтому вполне естественно, что появление в середине XX века первых электронно-вычислительных машин сразу же привлекло внимание исследователей. Таким образом, история развития численных методов и применения их в научных исследованиях — и, в частности, в небесной механике и динамической астрономии — насчитывает всего полвека, и за это время компьютеры успели оказать огромное влияние на большинство областей науки.

Однако сама потребность в механизации процесса вычислений имеет, возможно, столь же древнюю историю, как и начало широкого использования математики в экономической и хозяйственной деятельности человека вообще. Древнейшее известное приспособление для счета — абак — достоверно упоминается с У-1У века до н. э. как «саламинская доска»; оно было известно также в Китае и Японии и в видоизмененном виде — как, например, созданные в XVI веке русские счеты — дошло до наших дней.

В первой половине XIX века прогресс прецизионной механики привел к появлению «бытовых» механических вычислительных устройств - арифмометров2, которые, наряду с логарифмической линейкой, широко применялись

2 Патент на первый арифмометр получил в 1820 году К. Томас из Германии, который занялся промышленным производством этих устройств и изготовил за 50 лет 1500 экземпляров.

в научных исследованиях в течение, по крайней мере, трех четвертей XX века. Однако эти устройства всего лишь облегчали выполнение ручных вычислений. В тот же период Чарлз Бэббедж сконструировал «аналитическую машину» совершенно нового типа, способную хранить данные и выполнять различные программы. Идеи Бэббеджа и его ученицы, первого программиста Ады Лавлейс, оказали большое влияние на кибернетику3 XX века, но сама машина, ввиду ее экзотичности и трудоемкости изготовления, распространения не получила. Качественный прорыв произошел лишь после создания электронно-вычислительных машин, основные элементы архитектуры которых — использование двоичной арифметики, процессор, работающий под управлением программы, наличие устройств хранения данных и устройств ввода-вывода — сохраняются и сейчас и, по мере развития электронных технологий и связанного с ним роста скорости вычислений, позволяют решать все более сложные задачи.

1.1. Численное моделирование в задаче N тел

Первая серьезная попытк�