Численно-экспериментальный метод определения эффективных механических характеристик композитных оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ б

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

2 '/ ДПР 1996

На правах рукописи

ЮРЛОВА Наталия Алексеевна1

ЧИСЛЕННО-ЭКСПЕРИМЕНТЛЛ ЬНЫИ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

Автореферат, диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь — 1996

Работа выполнена в Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук, г. Пермь.

V

Научный руководитель - профессор, дохтор технических

наук МАТВЕЕНКО В.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук ЮГОВОЙ АЛ.

кандидат физико - математических наук, доцент ЛЕЖНЕВА А.А.

Ведущая организация - Центральный Научно - исследовательский

институт Специального машиностроения (Хотьково, Московская область)

Защита состоится 16 . мая 1996 г. . в 14 час. на заседании специализированного совета Д 003.60.01 в Институте механики сплошных сред по адресу: 614061, Пермь, ул. Академика Королева; I.

Автореферат разослан "-------------- 1996 г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Ученый секретарь специализированного совета

доктор технических наук /¡/П^/ БЕРЕЗИН И.К.

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы:

Механика композиционных материалов развивается по двум основным направлениям. Первое из них - феноменологическое, базирующееся на теории сплошного анизотропного тела. Второе направление - структурное. В этом случае уравнения механики сплошной среды применяют в пределах волокна и матрицы с учетом их взаимодействия на границе. Оба направления имеют свои достоинства и недостатки.

Возможность использования феноменологического подхода привлекательна тем, что позволяет применять при исследовании композитов накопленные научные знания для однородных материалов. Но для того, чтобы воспользоваться существующими теориями для однородных изотропных или анизотропных материалов, необходимо совершить предельный переход к однородной сплошной среде или решить одну из основных задач механики композитов - определить эффективные механические характеристики.

Одной из особенностей композитных материалов, армированных волокнами, является то, что они создаются одновременно с конструкцией в процессе непрерывного плетения силового каркаса изделий. Поэтому структура материала может меняться буквально от точки к точке, что определяет зависимость свойств материала в конструкции от технологии изготовления, масштаба изделия, наличия пор и пустот, разориентации волокон, искривления н натяжения арматуры, начальных микро - и макроскопических напряжений. В связи с этим, использование данных стандартных испытаний на образцах с фиксированной структурой или вырезанных из заготовок изделий дня расчета готовых конструкций при эксплуатационных режимах нагрузок может дать неверную информацию о поведении материала в изделии.

Известны различные теоретические подходы х определению эффективных механических характеристик. Существенное развитие эта проблема получила в работах Благонадежина В.А., Бунакова В.А., Ванина Г.А., Васильева В.В., Зиновьева П.А., Малмейстера А.К., Образцова И.Ф., Победри Б.Е., Протасова В.Д., Сохопкина Ю.В., Тарнопольсхого Ю.М., Ташжинова A.A. и др.

Для однородных сред механические характеристики определяются из экспериментов на образцах, форма которых обеспечивает существование аналитического выражения для вычисления механических констант по экспериментальным данным. Перенос этого подхода на композиционные материалы, ках уже отмечалось, связан с проблемой представительности образца. Одним из методов определения эффективных механических характеристик, устраняющих проблему получения представительного образца,

является использование экспериментальной информации, получаемой г при непосредственном нагружешш оболочек. Особенный интерес такой подход приобретает для уникальных оболочечных конструкций, которые могут быть подвергнуты неразрушающим методам механических испытаний.

Таким образом, идентификация эффективных механических характеристик композитных оболочек на основе решения обратной задачи с использованием экспериментальных данных при статических-и динамических испытаниях непосредственно конструкций является актуальной задачей.

Настоящая работа выполнялась в соответствии с планом работы Института механики сплошных сред Уральского отделения РАН по темам:

№ 01.86.0033790 "Разработка методов и пакетов программ по решению задач статического, деформирования, колебаний и устойчивости неоднородных полимерных и композиционных конструкций" ( 1986 - 1990 г.);

№ ГР 01.9.¡00018576 "Математическое моделирование процессов квазисгатического деформирования, колебаний, потери устойчивости в трехмерных телах из композиционных материалов на стадиях их изготовления и эксплуатации" ( 1991 - 1993 ).

Целью работы является разработка численных методов идентификации эффективных упругих характеристик и комплексных модулей композиционных материалов оболочек вращения сложной формы по результатам неразрушающих механических испытаний при статическом деформировании и колебаниях.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

• разработаны истоды и алгоритмы их численной реализации для определения эффективных упругих постоянных и комплексных модулей композитных оболочек на основе неразрушающих механических испытаний при статическом деформировании и колебаниях;

• на основе метода анализа чувствительности разработаны алгоритмы для определения комплекса статических экспериментов или отбора собственных частот и форм колебаний, информация о которых позволяет при численной реализации обратных задач определить эффективные упругие постоянные композитных оболочек вращения;

• предложена новая механическая задача о собственных затухающих колебаниях для постановки и решения обратной задачи поиска комплексных модулей на основе экспериментальной информации о свободных колебаниях;

• показана принципиальная возможность применения предложенных алгоритмов в задачах создания саморегулирующихся композитов при использовании в качестве управляющих факторов механических свойств материала.

Практическая значимость. Продемонстрирована возможность определения эффективных упругих характеристик и комплексных модулей композиционных материалов оболочек вращения достаточно сложной формы на основе результатов их механических нагружений, не приводящих к разрушению. Разработана программа для идентификации эффективных механических характеристик оболочек вращения по результатам экспериментальных исследований.

Достоверность результатов определяется апробацией ряда алгоритмов на известных аналитических и численных решениях, численными экспериментами, иллюстрирующими сходимость и однозначность решений, сравнением с некоторыми экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на :

- V Всесоюзной научно - технической конференции по методам расчета изделий из высокоэластичных материалов (Рига, I9S9),

- VIII, IX Всесоюзных Зимних школах по механике сплошных сред (Пермь, 1989, 1991 ),

- Школе молодых ученых по численным методам механики сплошной среды ( Абакан, 1989 ),

- III Отраслевом семинаре по вопросам проектирования и отработке изделий ( Пермь, 1990 ),

- II Сибирской школе по современным проблемам механики деформированного твердого тела (Якутск, 1990),

- XVII научно - технической конференции молодых ученых и специалистов ( Харьков, 1990),

- III Всесоюзной школе молодых ученых ( Абрау - Дюрсо,

1991),

- X Российской, I Международной Зимней школе по механике сплошных сред ( Пермь, 1995 ).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ/1-10/.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (186 наименований).

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении рассмотрены особенности проблемы идентификации механических характеристик композитного материала в конструкциях и современное состояние данной проблемы, подходы к ее решению.

В качестве экспериментальной информации для идентификации механических характеристик используются данные как статических, так и, динамических испытаний конструкций. Анализ имеющейся литературы по данному вопросу позволяет сделать вывод о том, что использование численно - экспериментальных подходов дает для композитов более достоверные результаты по сравнению даже с классическими экспериментальными методами, особенно при сложном напряженном состоянии.

На основе просмотренного литературного материала сформулирована цель работы. Завершает введение аннотированное содержание работы по главам.

В первой главе рассмотрен вариант определения параметров модели на основе информации о некоторых режимах работы конструкции или образцов, максимально имитирующих поведение материала в рассматриваемых конструкциях.

Использовано следующее понятие обратной задачи. Необходимо определить коэффициенты уравнений ( механические характеристики материала ), при которых математическая модель, описывающая напряженно - деформированное состояние конструкции, приводит к результатам, наилучшим образом согласующимся с деформированным состоянием, зафиксированным в экспериментах.

Предложена параметризованная постановка обратной задачи. Пусть имеется математическая модель для расчета напряженно -деформированного состояния исследуемого класса конструкций. Коэффициенты уравнений ( механические характеристики материалов ) задаются некоторым вектором

здесь значения ачр представляют собой, например, модули упругости, коэффициенты Пуассона и прочее. Пусть для конструкции при к - ом варианте нагружения с помощью различных датчиков или других регистрирующих устройств получена информация о значениях перемещений • и'кн деформаций ( здесь верхние индексы э и к обозначают соответственно экспериментальную информацию при данном варианте воздействия ). При колебательных режимах нагружения, наряду со значениями перемещений и деформаций в

(1)

качестве информации о механическом поведении системы могут служить значения резонансных частот о?„( п = 1,2,...).

Для численной реализации предложен следующий параметризованный вариант постановки обратной задачи, идентификации параметров моделей механического поведения материала.

Требуется найти вектор коэффициентов уравнений состояния а„, обеспечивающий в выбранной норме минимальное расстояние

между расчетными ,е»'я) и экспериментальными (и',1

значениями перемещений, деформаций и собственных частот. В качестве нормы выбран функционал, представляющий сумму среднеквадратичных отклонений и* (ог„, и, ,со3„ък различных вариантах нагружения конструкции

(2)

здесь af.aj.aj- весовые коэффициенты, N - количество собственных

частот, известных из эксперимента. Тогда получаем задачу поиска минимума функционала (2):

Р(а0) = тт1-(ар) (3)

при условии, что вектора ар принадлежат области допустимых значений.

Экспериментальная информация о полях перемещений и деформаций, как правило, может быть получена в отдельных точках области V, занимаемой рассматриваемым телом. В этом случае функционал (2) становится функцией нескольких переменных:

1 ' /=/, = / 1 1 I

V >

(4)

а задача поиска минимума функционала сводится к задаче поиска минимума функции нескольких переменных. Здесь (.т„)и (*/) - точки, в которых известна экспериментальная информация о перемещениях и деформациях.

Ориентированные КМ в общем случае представляют собой анизотропные, нелинейные, вязкоупругие материалы. В практических приложениях при статическом деформировании наибольшее распространение получила модель упругого ашпогрогшого тела. При динамических нагружениях простой и доегагочт» ннформашпиой

является модель материала, в которой для описания диссипативных свойств используются комплексные динамические модули. Именно эти модели являлись предметом исследования в работе с точки зрения идентификации их параметров.

Методы численной реализации поставленной обратной задачи по идентификации механических характеристик композиционных материалов основываются на информации, полученной из решения прямых задач о напряженно - деформированном состоянии оболочек. Для выбранных моделей механического поведения композиционных материалов предложено использовать следующую постановку задач о различных режимах механического поведения деформируемых систем.

Рассматривается тело, занимающее объем V, подверженное статическому или динамическому деформированию. При статическом деформировании на части поверхности, ограничивающей объем, заданы кинематические или силовые граничные условия

(5)

хеБа: =

Механическое поведение материала определяется физическими соотношениями упругого изотропного.

(6)

или анизотропного тела

"V = стеи- (7)

Динамическое деформирование связано с рассмотрением собственных и вынужденных колебаний. При вынужденных установившихся колебаниях принимается, что на части поверхности заданы перемещения или усилия вида:

хе 5.: щ = + ^

хеБ0: = ^ л/л рг + с<м р/.

Диссипативные свойства материала при динамическом деформировании учитываются в рамках модели вязкоупругого тепа, которая для случая изотропного материала приводится к виду:

(9)

и анизотропного:

Здесь К.в.Сцы - комплексные модули.

В рассматриваемых задачах требуется определить перемещения; деформации и напряжения, удовлетворяющие в данном объеме соотношениям Коши:

физическим соотношениям ( 6 ), ( 7 ) или ( 9 ), ( 10 ) и принципу возможных перемещений

¿2и

\f\8utiS - ^ р—уби^У = 0. ( 12)

V 5„ V

Из приведенной постановки задачи при граничных условиях ( 5 ), физических соотношениях ( 6 ), ( 7 ) и неучете работы сил инерции, получаем задачу о статическом деформировании упругих тел. При учете работы сил инерции рассматриваются следующие задачи колебаний.

Собственные колебания упругой системы. В этом случае при однородных граничных условиях (6) отыскиваются решения вида:

- и, (л:,/) = £(*) сш ш Г, (13).

здесь а - собственная частота, - собственная форма колебаний.

Собственные затухающие колебания вязкоупругих тел. При однородных граничных условиях и использовании физических уравнений (9) или (10) отыскиваются решения вида

ф.') = 1(ХУ°"- (14>

здесь со = ая + ¡а, - комплексная частота. При этом ее действительная часть имеет смысл частоты затухающих колебаний, мнимая -коэффициента демпфирования собственных колебаний, а комплексная собственная форма колебаний оболочки.

Установившиеся вынужденные колебания вязкоупругих тел. Отыскивается периодическое во времени движение с периодом, равным периоду внешнего воздействия:

и,(х,1) = ц(х)е-'р'. (15)

Необходимо отметить, что переход от уравнений наследственной теории вязкоупругости к их комплексному аналогу в задаче о собственных затухающих колебаниях является приближенным, а в задаче об установившихся вынужденных колебаниях - точным.

Во второй главе приведены основные соотношения теории оболочек вращения, использованные при решении поставленной задачи и рассмотрены методы и алгоритмы решения прямых задач для оболочек при статическом деформировании и колебаниях.

Для решения прямых задач использован метод конечных элементов ( МКЭ ) в форме метода перемещений. В качестве конечных элементов приняты элементы типа усеченного конуса. Аксиальная и окружная составляющие вектора перемещений

г-

аппроксимировались линейным полиномом, а нормальная -кубическим.

Алгебраическими аналогами рассматриваемых задач являются:

• для задачи о статическом деформировании - система линейных алгебраических уравнений с действительными коэффициентами;

• для задачи об установившихся вынужденных колебаниях вязкоупругих оболочек - система линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами;

• для собственных колебаний упругих тел - алгебраическая задача о действительных собственных значениях;

• для собственных колебаний вязкоупругих тел - алгебраическая задача о комплексных собственных значениях.

Системы линейных алгебраических уравнений с действительными или комплексными коэффициентами решались стандартными методами.

Для отыскания действительных собственных значений использовался метод обратных итераций и алгоритм на основе метода Мюллера. Задачу отыскания комплексных собственных значений удалось решить при помощи алгоритма, построенного на основе метода Мюллера и специального алгоритма выбора начальных приближений, позволяющего находить собственные значения в порядке возрастания их действительных частей.

С целью апробации алгоритмов и программ, реализующих МКЭ, был решен ряд задач, имеющих аналитические или численные решения. Выполнена серия численных экспериментов, иллюстрирующая сходимость предлагаемых методов и достоверность результатов при решении рассматриваемого цикла задач.

В третьей главе приведены алгоритмы решения обратных задач идентификации эффективных механических характеристик материала оболочек вращения.

Так как рассматриваемые обратные задачи приводятся к классической задаче нелинейного математического

программирования, то обоснован выбор и основные положения методов решения, в качестве которых были приняты методы Нелдера - Мида и метод скользящего допуска, основанный также на методе Нелдера - Мида. Эти вычислительные процедуры позволяют . учитывать ограничения на вектор решения линейные и нелинейные в виде равенств и неравенств. Известные ограничения на область определения механических постоянных сужают поисковую область и повышают эффективность процедур нахождения характеристик материала методами математического программирования. При выборе метода решения задачи была учтена его чувствительность к помехам (например, к погрешности измерений).

и

В этой главе также рассмотрены особенности численной реализации предлагаемых алгоритмов и приведены результаты тестирования выбранных методов.

Для прогноза информативности и поиска экспериментов, которые могут быть использованы для определения эффективных упругих констант материма, а тахже оценки возможности определения тех или иных констант материала из одного и того же эксперимента путем изменения вида целевой функции ( например, при введении весовых коэффициентов ) был применен* аппарат анализа чувствительности.

Приведены основные теоретические положения метода анализа чувствительности и алгоритмы его численной реализации применительно к задачам определения эффективных упругих постоянных на основе экспериментальной информации о статическом деформировании и спектрах собственных частот колебаний. Рассмотрены приложения метода анализа чувствительности к выбору экспериментов или номеров собственных частот колебаний, обеспечивающих поиск упругих постоянных в рамках поставленных задач.

Было показано, что для анизотропных оболочек произвольной геометрии, относящихся к классу оболочек вращения с различными вариантами граничных условий для определения эффективных упругих постоянных, неизменяющихся по длине оболочки, достаточно экспериментальной информации из нагружения оболочек растягивающими, закручивающими усилиями и внутренним давлением.

Также было установлено, что в случае свойств материала, линейно изменяющихся по длине оболочки, указанных экспериментов для однозначного определения эффективных упругих постоянных недостаточно. В качестве дополнительного предложен эксперимент по иагружению оболочки внутренним давлением с установкой жесткого кольцевого шпангоута в средней части оболочки. Следует отметить, что для постоянных по длине свойств оболочки достаточно одного этого эксперимента. При использовании в качестве экспериментальной информации для определения эффективных упругих постоянных анизотропного материала значений собственных частот колебаний анализ коэффициентов чувствительности . позволяет отобрать минимальное число необходимых номеров и гармоник по окружной координате собственных частот. Такая возможность проиллюстрирована на ряде оболочек с различной геометрией.

В четвертой главе приведены численные результаты по идентификации упругих постоянных и комплексных модулей материала композитных оболочек вращения.

Для всесторонней апробации численных алгоритмов решения обратных задач роль натурных испытаний выполняли результаты решения прямых задач расчета напряженно - деформированного состояния или колебаний оболочек при заданных эффективных упругих постоянных или комплексных модулях. Значения последних служили критерием достоверности решения задачи идентификации параметров материала.

В качестве объекта исследования рассматривались цилиндрические, конические, полусферические, а также оболочки сложной геометрии при различных вариантах краевых условий на краях оболочки.

Результаты численных экспериментов показали, что значения эффективных упругих постоянных ортотропных оболочек вращения произвольной геометрии на основе информации о статических испытаниях определяются с достаточно высокой точностью. При этом выводы о наборе экспериментов, обеспечивающих возможность нахождения упругих постоянных полностью совпадают с выводами, полученными на основе методов анализа чувствительности.

Наиболее общей является схема поиска упругих постоянных на основе информации о нагружениях скручивающими, растягивающими усилиями и внутренним давлением. При этом результат поиска на основе первого эксперимента является приближением при поиске упругих постоянных на основе второго эксперимента и так далее. Эта схема всегда приводила к нахождению достоверных значений искомых переменных.

Численными экспериментами было промоделировано влияние погрешности измерений на результаты поиска упругих постоянных. По результатам вычислений можно сделать следующие выводы. При рассмотренных видах испытаний и при использовании в качестве экспериментальной информации значений компонент вектора перемещений наиболее чувствительны к погрешности измерений коэффициенты Пуассона. Были получены следующие количественные оценки. При максимальной погрешности измерений перемещений до 10% - погрешность в определений коэффициентов Пуассона в рамках рассматриваемых задач достигает 20%, а погрешность в вычислении модулей упругости соизмерима с погрешностью измерений. При использовании в качестве экспериментальной информации значений деформаций погрешность в определении значений упругих постоянных существенно меньше погрешности измерений.

Рассмотрены примеры определения значений упругих постоянных на основе информации о спектрах собственных частот колебаний. При этом использовались алгоритмы метода анализа чувствительности, показывающие, что, как правило, достаточно информации о собственной частоте одной из крутильных форм колебаний и двух - трех собственных частотах некрутнльных форм

колебаний, имеющих соизмеримые значения рассматриваемых коэффициентов чувствительности.

Предложен и проиллюстрирован вариант определения упругих постоянных на основе информации о собственных формах колебаний. Так как расчетные собственные формы колебаний определяются с точностью до множителя, то последний выбирается из соображений, что экспериментальные и расчетные собственные формы колебаний совпадают в точке тепа, где перемещения максимальны.

Проиллюстрирован алгоритм определения компонент комплексных модулей на основе экспериментальной информации об амплитудно - частотных характеристиках компонент вектора перемещений, построенных для различных точек исследуемой области. Здесь же рассмотрены практические задачи поиска значений комплексного сдвигового и упругого объемного модуля материалов, используемых при изготовлении рукояток мотопил" Урал -2Эл".

Рассмотрен вариант поиска комплексных модулей по результатам экспериментов о свободных затухающих колебаниях. В этом случае вычисление целевой функции проводилось на основе решения задачи о собственных затухающих колебаниях.

Показана принципиальная возможность применения предложенных алгоритмов в задачах создания саморегулирующихся композитов. При этом рассмотренные в работе алгоритмы выполняют функцию математической среды, посредством которой информация о необходимом механическом состоянии объекта ( оболочки ) преобразуется в соответствующие управления, роль которых выполняют значения механических постоянных материала.

В заключении кратко сформулированы полученные в работе результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложена параметризованная постановка обратной задачи поиска механических характеристик композитных материалов на основе информации о натурных испытаниях конструкций.

2. С целью вычисления целевых функций в обратных задачах поиска эффективных упругих постоянных и комплексных модулей для оболочек вращения разработаны алгоритмы решения прямых задач о статическом деформировании и собственных колебаниях упругих тел и вынужденных установившихся и собственных затухающих колебаниях вязкоупругих тел.

3. На основе метода анализа чувствительности разработаны алгоритмы для определения комплекса статических экспериментов или отбора собственных частот и форм колебаний, информация о которых

позволяет при численной реализации обратных задач определить эффективные упругие постоянные композитных-оболочек вращения.

4. Разработаны алгоритмы поиска эффективных упругих постоянных оболочек вращения на основе различных вариантов экспериментальной информации: о статическом деформировании, о спектрах собственных частот или о собственных формах колебаний.

5. Разработаны алгоритмы поиска комплексных модулей оболочек на основе информации об амплитудою - частотных зависимостях параметров напряженно - деформированного состояния в ряде точек области или на основе информации о свободных затухающих колебаниях.

6. Приведены примеры, иллюстрирующие работоспособность всех предлагаемых алгоритмов, обсуждены особенности практических приложений численных алгоритмов, промоделировано влияние на точность решения рассматриваемых задач погрешности измерений в экспериментах.

7. Обсуждена возможность применения предложенных алгоритмов в задачах создания саморегулирующихся композитов при использовании в качестве управляющих факторов механических свойств материала.

По теме диссертации опубликованы следующие работы :

1. Колесникова Н.В., Матвеенко В.П., Юрлова H.A. Численное моделирование собственных затухающих колебаний кусочно • однородных вязкоупругих тел. Приложение к задаче о колебаниях двухслойного цилиндра. // Расчеты на прочность. - М.: Машиностроение, 1989. -т.ЗО.-с. 166- 172.

2. Колесникова Н.В., Матвеенко В.П., Юрлова H.A. Численный анализ диссипативных свойств кусочно - однородных вязкоупругих тел. / Тез. докл. V науч. - тех. конф." Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов- Рига, 1989. - с.95.

3. Матвеенко В.П., Юрлова H.A. Численно- экспериментальная методика определения упругих постоянных материала оболочек вращения / Тез. докл. школы молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды, г.Абакан, 28.05 - 03.06. 1989г. -Красноярск, 1989. - .4.2. - с.89 - 91

4.Матвеенхо В.П., Юрлова H.A. Об одном варианте определения упругих постоянных материала оболочек вращения на основе решения обратной задачи./Тез. докл. II Сибирской школы " Современные проблемы механики деформируемого твердого тела ". -Якутск. 1990. - 114с.

¿.Матвеенко В.П., Юрлова H.A. Численный метод идентификации упругих постоянных материала для анизотропных

оболочек вращения./ Отчет по госбюджетной теме № 01.86.0033790 инв.№ 02.90.0056000, - 1990.-33с.

6.Матвеенко В.П., Юрлова H.A. Численно- экспериментальный метод определения механических характеристик композитных оболочек. / Тез. докл. X Зимней школы по механике сплошных сред г. Пермь. - Пермь, 1995. - с. 163 - 164.

7. Юрлова H.A. Об одном варианте определения упругих постоянных оболочек вращения / Тез. докл. XVII науч. техн. конф. молодых ученых и специалистов - Харьков, 1990. -С.29.

8. Юрлова H.A. Об одном методе идентификации эффективных постоянных материала оболочек вращения. / .Тез. докл. IX Зимней школы по механике сплошных сред г. Кунгур. - Пермь, 1991. - с. 186.

9. Юрлова H.A. Об определении упругих постоянных материала оболочек вращения по косвенным данным. / Тез. докл. Ш Всесоюзн. школы мол. уч. " Численные методы механики сплошной среды" , п. Дюрсо, 27.05. - 1.06. 1991 г. - Красноярск, 1991. - с. 165.

10. Юрлова H.A. Об одном варианте обратной задачи поиска механических характеристик оболочек вращения. / Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. 1996г. - с. 80 - 86.

К печати 8.04.96 г. Формат бумаги 60x84 I/I6 Печ.л.1 Тираж 100 экз. Заказ 338

Типография ГОШУ