Численное исследование движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Ветчанин, Евгений Владимирович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Ижевск МЕСТО ЗАЩИТЫ
2012 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.02.05 КОД ВАК РФ
Диссертация по механике на тему «Численное исследование движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы»
 
Автореферат диссертации на тему "Численное исследование движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы"

На правах рукописи

Ветчанин Евгений Владимирович

Численное исследование движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением

массы

Специальность 01.02.05 — «Механика жидкости, газа и плазмы»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 8 ОКТ 2012

Ижевск - 2012

005053430

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессиональнго образования «Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Тененев Валентин Алексеевич

Официальные оппоненты: Горохов Максим Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова», заведующий кафедрой «ИС»

Мамаев Иван Сергеевич доктор физико-математических наук, Институт компьютерных исследований ФГБОУ ВПО «УдГУ», директор

Ведущая организация: Федеральное госудственное бюджетное

учреждение науки «Институт машиноведения имени A.A. Благонравова Российской академии наук»

Защита состоится «16» ноября 2012 г. в 14.30 часов на заседании диссертационного совета ДМ 004.013.01 при Институте механики УрО РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34, http://www.udman.ru/iam/ru

Автореферат разослан «28» сентября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

М.Р. Королева

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В настоящее время значительное внимание уделяется разработке новых средств передвижения. Практический интерес представляют устройства с жесткой внешней оболочкой без внешних движителей, управляемые за счет изменения центра массы. Подобные устройства в некоторых работах называются вибрационными роботами, так как за изменение центра массы отвечает вибропривод.

Для успешного проектирования мобильных устройств, предназначенных для передвижения в водной среде, необходима информация о гидродинамических процессах, сопровождающих движение. Эти процессы обладают сильной нестационарностью, которую необходимо учитывать при разработке аппарата и оценке его эффективности.

Теоретические исследования движения в идеальной средой или с заданным законом сопротивления объектов с переменным распределением массы представлены в работах академика РАН В. В. Козлова, академика РАН Ф.Л. Черноусько, докторов наук С.М. Рамоданова, Д.А. Онищенко, Н.Н. Болотника, С.Ф. Яцуна.

Высокий уровень развития современной вычислительной техники позволяет применять для исследования гидродинамики движения методы численного моделирования, позволяющие выявить особенности взаимодествия тела с жидкостью и получить данные о гидромеханических параметрах, таких как поля давления и скорости.

В немногочисленных работах S. Childress, S.E. Spagnolie, Т. Tokieda, В.А. Тененева, С.М. Рамоданова рассматривались вопросы численного моделирования гидродинамики движущегося тела с изменяемым центром массы на основе совместного решения уравнений Навье-Стокса и уравнений динамики твердого тела в двумерной постановке.

Экспериментальные исследования, позволяющие получить информацию об особенностях движения в реальных условиях, практически отсутствуют.

Количество работ, посвященых пространственной гидродинамике движения тел с переменным распределением массы немногочисленно, динамические характеристики данных объектов в вязкой среде изучены недостаточно, данные об особенностях трехмерного движения неизвестны. Поэтому вопросы математического моделирования нестационарного движения в жидкости тел с изменяемым центром массы являются актуальными.

Объектом исследования является гидродинамика взаимодействия вязкой жидкости с нестационарно движущимся телом.

Предметом исследования являются математические модели и численные методы расчета движения в вязкой жидкости тел с фиксированными границами с переменным распределением массы.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании гидродинамических характеристик нестационарного пространственного движения тел с переменным распределением массы.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Построение математической модели движения в вязкой жидкости жестких тел с переменным распределением массы.

2. Реализация численных методов совместного решения уравнений На-вье-Стокса и уравнений динамики твердого тела, описывающих поведение в вязкой среде тел с переменным распределением массы.

3. Проведение численного моделирования процесса движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы.

4. Построение алгоритма управления телом с переменным распределением массы.

Методы исследования. В диссертации используются конечно-объемные численные методы совместного решения нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса и уравнений динамики твердого тела.

Достоверность и обоснованность полученных данных обеспечена использованием фундаментальных законов сохранения и апробированными методами решения.

Научная новизна диссертационного исследования и результатов, полученных лично автором:

1. Построена математическая модель трехмерного нестационарного движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы.

2. На основе совместного решения трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса и уравнений динамики твердого тела получены характеристики движения тел с переменным распределением массы и окружающей тело жидкости.

3. Определены значения сил и моментов, с которыми вязкая жидкость действует на нестационарно движущееся тело с переменным распределением массы.

4. Установлены динамические параметры распределения массы, обеспечивающие движение тел с произвольной плавучестью.

5. Разработан метод решения задачи об управлении движением тела с переменным распределением массы по заданной траектории.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для проектирования мобильных устройств, управляемых изменением центра массы. Методы, изложенные в диссертации, позволяют рассчитывать движение аппаратов различной формы и учитывать влияние гидродинамических процессов на движение тела.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Математическая модель трехмерного нестационарного движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы.

2. Численный метод совместного решения трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса и уравнений динамики твердого тела, описывающих движение тел с жесткой внешней границей и перемещающимися внутренними массами.

3. Результаты численного моделирования пространственного движения жестких тел различной формы с переменным распределением массы.

4. Результаты анализа зависимостей сил и моментов сопротивления вязкой жидкости от динамики внутренних материальных точек.

5. Метод и результаты решения задачи управления телом посредством перемещения внутрених масс.

Личный вклад. Автором выполнено численное моделирование процессов движения в вязкой жидкости тел с переменным распределением массы, проведено сравнение движения тел сферической и каплеобразной форм. Выявлены особенности движения тела и течения жидкости вблизи тела. Получены нечеткие правила оптимального управления движением тела. Анализ полученных результатов проведен под руководством профессора В.А. Тене-нева.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Региональная научная конференция студентов и молодых ученых ИжГТУ (Ижевск, 2009 г.); Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики (Алушта, 2009 г.); XXXVI Международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения» (Москва, 2010 г.); Региональная научно-техническая конференция, посвященная 10 - летию факультета «Прикладная математика» (Ижевск, 2010 г.); Девятая международная научно-практическая конференция «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, 2010 г.); XXII Юбилейный семинар с международным участием «Струйные, отрывные и нестационарные течения» (Санкт-Петербург, 2010 г.); Седьмая Всероссийская конференция «Внутрикамерные процессы и горение в установках на твердом топливе и ствольных системах» (ICOC-2011) (Ижевск, 2011 г.); XXXVII Международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения» (Москва, 2011 г.); II Всероссийская научная-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Измерения, контроль и дигно-стика — 2012» (Ижевск, 2012 г.); IUTAM Symposium «From mechanical to biological systems — an integrated approach» (Ижевск, 2012 г.)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 15 печатных работ, из них 4 в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемых источников. Работа изложе-

на на 127 странице машинописного текста, включая 8 таблиц и 78 рисунков. Список используемых источников включает 86 наименования.

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, отмечены научная новизна, практическая значимость полученных результатов, сформулированы положения, выносимые на защиту.

В первой главе описана краткая информация об известных исследованиях, посвященных движению объектов в различных средах. Представлены основные математетические модели, описывающие движение тел в идеальной или вязкой среде. Проведен обзор численных методов решения гидродинамических задач. Для решения уравнений Навье-Стокса выбран класс проекционных методов. Приведены возможные конструктивные схемы для устройств с переменным распределением массы. Построена модель, описывающая процесс движения тела с переменным распределением массы. Уравнения Навье-Стокса решаются в подвижной системе координат:

где ЛУ — вектор переносной скорости;

и — вектор поступательной скорости тела; Г2 — вектор угловой скорости тела;

V — вектор абсолютной скорости жидкости; г — радиус-вектор точки жидкости;

р — давление; р — плотность жидкости;

V — кинематическая вязкость.

Уравнения динамики твердого тела в подвижной системе координат име-

Содержание работы

у-у = о,

Отг 1

— + V • ((V - \У)У) = —Ур + уУ2У - П х V. от р

ЛУ = и + П х г

(1) (2) (3)

ют вид:

-+ИхК1 + ихР1 = в

(4)

(5)

N

N

N N

К = (л2 + Л)0 + ^2тпкрк х (П х рк)+^2ткрк х * = 1 ¿ = 1

+ ^ткрк х и, к — \

Рх = Р - Л1и, (8)

К! = К - Л2П, (9)

где Р — импульс тела и внутренних масс;

К — кинетический момент тела и внутренних масс;

Л1 — тензор присоединенных масс;

Л2 — тензор присоединенных моментов инерции;

Л — тензор моментов инерции твердого тела;

М — масса тела;

тк — величина к-й внутренней массы;

рк — радиус-вектор к-й внутренней массы;

Г,35— сила, действующая на тело со стороны жидкости;

С*<з£(£) — момент силы, действующий на тело со стороны жидкости.

Для расчета траектории движения в неподвижной системе координат используются уравнения

^ + Г2 х а = 0, ^ + П х р = 0, ^ + Пху=0, (10)

ас ас М

- = и-а, ¿ = и-р, — = и • у. (И)

Векторы а, Р, у направлены вдоль осей неподвижной системы координат Охух. В подвижном репере эти векторы образуют матрицу перехода.

Во второй главе описаны используемые численные методы. Изложены подходы к дискретизации различных дифференциальных опереторов для метода конечных объемов. Приведены результаты сравнения различных методов дискретизации производных по времени. Представлены результаты сравнения эффективности метода сопряженных градиентов с предобусловливани-ем и многосеточного метода со сглаживателями Гаусса-Зейделя и неполного Ьи разложения на примере решения задачи трехмерной теплопроводности. Показана высокая эффективность многосеточных методов. Описаны методы построения сеток и используемые методы решения уравнений Навье-Сток-са. Приведены результаты сравнительного анализа эффективности предикторов скорости. Представлены результаты тестирования сходимости методов решения уравнений Навье-Стокса. Описана процедура совместного решения

уравнений Навье-Стокса и уравнений динамики твердого тела, которая программируется с использованием Open Source пакета OpenFOAM.

В третьей главе расмотрены результаты численного моделирования тел с переменным распределением массы.

В разделе 3.1 приводятся расчеты присоединенных масс тел эллипсоидальной, сферической, каплеобразной форм, а также сферического тела с эллипсоидальными крыльями. Для тел эллипсоидальной и сферической форм результаты расчета совпадают с известными аналитическими данными.

В разделе 3.2 проводится проверка адекватности метода численного решения уравнений Навье-Стокса на задаче о прямолинейном движении сферы при Re = 100, 1000. Для Re = 100 кривая давления и коэффициент сопротивления Со = 1,087 согласуются с известными данными. Для Re = 1000 в процессе расчета воспроизведены поперечные колебания силы сопротивления. На регулярном участке процесса движения коэффицент лобового сопротивления составил Со = 0,43, что согласуется с экспериментальными данными. Средний коэффициент сопротивления на нерегулярном участке Со = 0,53, число Струхаля St — 0,17.

Полученные результаты показывают адекватность реализованного алгоритма решения гидродинамической задачи.

Интегрирование уравнений Навье-Стокса проводилось на ортогональных сетках. Для каплеобразного тела сетка показана на рисунке 1.

Для движения тела с постоянным ускорением а приводятся результаты расчета силы Fp, обусловленной давлением, действующей на тело в начальный момент движения, когда вязкое трение Fv -С Fp. Показано, что с достаточно высокой точностью Fp совпадает с силой, связанной с эффектом присоединенной массы, Fx = где А,ц — присодинен-м, А,ц = 0,5рУшара « 2,09. Результаты расчета Fp и F\ приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Силы, обусловленные давлением и эффектом присоединенных масс

a, ju/с2 1 10 100

FP,H 2,08 2,08 ■ 101 2,08 ■ 102

Fx, Н 2,09 2,09 • 101 2,09 ■ 102

ная масса. Для шара радиусом 0,1

Согласование величин Гр и Fx. позволяет сделать вывод о том, что интеграл давления по поверхности тела содержит силу, связанную с присоединенной массой, а уравнения движения твердого тела (4) и (5) должны быть записаны без присоединенных масс в виде

сГР

(12) (13)

Сила Р<25(£), воздействующая на тело со стороны жидкости, и ее момент ^<35(0 вычисляются как поверхностные интегралы

=

СсэзЮ =

[-рЕ + ру(УУ + УУГ)] ■ п¿в, [-рЕ + ру(УУ + • п

5

Го X I-

(14)

(15)

где

Эмпирическая зависимость Расчет

5" — повехность тела; Е — единичный тензор; п — вектор внешней единичной нормали; г5 — радиус-вектор точки повехности й1.

Тестирование метода совместного решения уравнений Навье-Стокса (1), (2) и уравнений динамики твердого тела (12), (13) проводилось на задаче о падении пластинки в воздухе. В процессе расчетов воспроизведен режим авторотации, частоты вращения согласуются с известными экспериментальными данными Результаты расчета и эмпирическая зависимость приведены на рисунке 2.

В разделе 3.3 приводятся результаты падения тяжелого шара в вязкой среде. В расчете воспроизведена несимметричность падения.

Рисунок 2 - Частоты вращения пластины

МаЬаёеуап Ь., Луи ДУ.Б., Эатие! А.Б.Т. ТшмЫп« саг(Ь // РЬув. 1999, уо1. 11, №1, Р.1-3

В разделе 3.4 рассмотрена задача движения сферического и каплеобразного тел с внутренней массой, которая движется вдоль оси вращения тела. Закон движения внутренней массы был задан в виде

ш =

x = t- —

Р1(0 = &(*)-$0.0, о )\

рзт2((01Т/к), рсоз2(т/к-ф-), О

То, То =

л

2Ш1

л

2

кл

т < 2а>1

т > кл

-

2С0!

1 _ V-

1 к,

(16) (17)

где Сй1 задает асимметрию колебаний; к позволяет регулировать частоту колебаний; Т0 — период колебаний; р — амплитуда колебаний.

Для различных частот движения были получены зависимости смещения тел от времени, приведенные на рисунке 3. Смещение отнесено к диамерту шара й = 0,2.

еГ Е

и

Вязкая среда 2,5 Гц Вязкая среда 1 Гц Идеальная среда 2,5 Гц

Рисунок 3 - Величины смещения

Из рисунка 3 видно, что при больших частотах колебаний внутренней массы можно добиться большего перемещения тела.

Характер течения при смене направления движения показан на рисунке 4, из которого видно, что при движении тела вокруг него образуется опоясывающий вихрь — рисунок 4(а). Сразу после смены направления движения — 4(6) жидкость вдали от тела продолжает двигаться в исходном направлении, а жидкость вблизи тела увлекается шаром. Опоясывающий вихрь постепенно растягивается — рисунки 4(в) и 4(г) — на его месте начинает образовываться новый.

Рисунок 4 - Картина течения в моменты времени t = 0,1 с (a), t = 0,197 с (б), t = 0,198 с (в), t = 0,199 с (г)

При нестационарном движении возникает эффект набегания жидкости на замедляющееся тело. На рисунке 5 показаны кривые давления в моменты времени t = 0,097 с, t = 0,107 с, t = 0,15 с. Точка 180° соответствует кормовой части шара. В момент t = 0,097 с тело достигает максимальной скорости. Далее тело начинает замедляться и давление на корме растет (зависимости t — 0,107, t = 0,15). Подобные эффекты отражают инерционные свойства жидкости. В постановке идеальной жидкости такие явления не воспроизводятся.

135 180 225 270 315 360 Угол, °

Рисунок 5 - Распределение давления

Приводятся результаты расчетов движения каплеобразного тела с внутренней массой. Сила сопротивления, действующая на каплю и сферу, показана на рисунке 6(а), скорость — на рисунке 6(6).

0.2 0.4 0.6 0.8 Время I, с

0 0.2 0.4 0.6 0.8 Время I, с

Рисунок 6 - Характеристики движения. Сила сопротивления (а), скорость (б)

В разделе 3.5 приводятся результаты моделирования поворота тел с помощью внутренних масс. Вращение внутренней массы производится вокруг центра сферы и сферического основания капли. Из-за вытянутой формы каплеобразное тело поворачивается медленнее сферического — рисунок 7(а). Траектории, описываемые каплей и шаром, приведены на рисунке 7(6).

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15

(а) (б)

Рисунок 7 - Характеристики движения. Угол поворота (а), траектрии (б)

В разделе 3.6 приводятся результаты моделирования движения в поле силы тяжести сферичекого тела с переменным распределением массы. Рассмотрены случаи отрицательной плавучести (1 — рь/р, где рь — плотность тела) —0,001 и —0,003. Движение внутренней массы организовывалось по схеме, показанной на рисунке 8(а). Смещение тела относительно начального положения, показано на рисунке 8(6).

Идеальная среда - Вязкая среда —*—

/У/УУ"""-

2 з

Время I, с (б)

(а)

Рисунок 8 - Движение в поле силы тяжести. Схема движения (а), смещение (б)

Установлено, что для поддержания на плаву большей массы требуется большая частота асимметричных колебаний внутренней материальной точки.

Приведены результаты моделирования движения в поле силы тяжести тела с внутренней массой, которая в начальный момент времени колеблется

(а) (б)

Рисунок 9 - Схемы управления движением

перпендикулярно вектору ускорения свободного падения. При такой организации движения тело не движется в направлении перемещения внутренней массы, а приобретает вращательное движение.

В четвертой главе рассматривается плоская задача управления цилиндрическим телом с переменным распределением массы. Предложено изменять направление движения тела за счет поворота оси колебаний внутренней массы по схеме, показанной на рисунке 9(а) или с помощью дополнительной вращающейся внутренней массы, показанной на рисунке 9(6).

Для расчета управления движением тела по заданной траектории предлагается строить аппроксимационные зависимости для сил сопротивления через параметры движения. Такой подход позволяет избавиться от многократного решения уравнений Навье-Стокса, что само по себе является очень трудоемкой задачей, особенно в трехмерном случае.

В разделе 4.1 для схемы, показанной на рисункеЭ(а), приводится аппроксимирующая зависимость вида

Г = (18)

„ ТТ'0-1 Т тк—2

91 = -3,2; д2 = 0,57; ® = 7; д4 = 0,6; у = 0,87,

полученная в результате обработки параметрических расчетов в диапазоне изменения величин: 1 < СО1 < 10; 200 ^ 11е ^ 10000.

Для расчета управления решается задача оптимального управления типа Лагранжа. В качестве управляющей функции выступает угол © = ф + ф0. Задача минимизации решается генетическим алгоритмом. На рисунке 10 показаны результаты решения задачи управления. Кривая 3 соответствует заданной траектории. Кривая 2 рассчитана на основе уравнений динамики твердого тела и аппроксимирующей зависимости. Кривая 1 получена с помощью совместного решения уравнений Навье-Стокса и уравнений динамики твердого тела с рассчитанным управлением.

Координата х

Рисунок 10 - Траектория управляемого движения тела

В разделе 4.2 для схемы, показанной на рисунке 9(6), аппроксимирующая зависимость строится с помощью технологии Data Mining. В качестве управляющей функции выступает угловая скорость вращения второй материальной точки Юг, которая находится из задачи оптимального управления типа Лагранжа. На рисунке 11 показаны результаты решения задачи управления. Траектория движения тела, полученная из решения задачи управления, показана зависимостью 1, заданная траектория — зависимостью 2.

о

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Координата X

Рисунок 11 - Траектория управляемого движения тела

Изменение управляющей функции во времени приведено на рисунке 12. Зависимость 1 соответствует управлению, полученному после первой итерации, а зависимость 2 — после 214 итерации.

Время I

Рисунок 12 - Управляющая функция

Основные результаты и выводы

1. Построена математическая модель трехмерного нестационарного движения в вязкой жидкости жестких тел с переменным распределением массы.

2. В результате проведенного численного моделирования показано, что эффект присоединенной массы при ненулевом ускорении учитывается интегрированием давления по поверхности тела.

3. Решена трехмерная нестационарная задача движения в вязкой жидкости тел с переменным распределением масс. Показана возможность увеличения средней скорости за счет повышения частоты колебаний. Расстояние,

проходимое телом за каждый период, является переменным и асимптотически стремится к постоянной величине, определяемой гидродинамическими характеристиками тела и частотой колебаний внутренней массы. Для шара с соотношении масс основного тела и внутренней материальной точки 1:1 при повышении частоты колебаний с 1 Гц до 2,5 Гц средняя скорость возрастает в 5 раз.

4. Сравнительные расчеты перемещения сферического и каплеобразного тел показали, что средняя скорость каплеобразного тела при продвижении в направлении острия больше на 5%, чем у сферического. Установлено, что вращение каплеобразного тела просходит в 3 раза медленнее, чем сферического.

5. Показана возможность преодоления силы тяжести телом с отрицательной плавучестью за счет асимметричных колебаний внутренней массы. Тело с плавучестью —0,001 и соотношением масс основного тела и внутренней материальной точки 1:1 всплывает при частоте колебаний 2,5 Гц. Для удержания около начального положения тела с плавучестью —0,003 частота колебаний внутренней массы должна быть в пределах от 2,5 до 5 Гц

6. Реализован метод расчета управления телом с переменным распределением массы на основе решения задачи оптимального управления типа Лагранжа. Алгоритм управления обеспечивает движение вблизи заданной траектории.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

- в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Ветчанин Е.В., Тененев В.А. Расчет внутренних течений в широком диапазоне чисел Маха // Интеллектуальные системы в производстве. 2011. №1. С.12 - 18.

2. Ветчанин Е.В., Тененев В.А. Моделирование управления движением в вязкой жидкости тела с переменной геометрией масс // Компьютерные исследования и моделирование. 2011. Т.З. №4. С.371 — 381.

3. Тененев В.А., Ветчанин Е.В. Управляемое движение тела в жидкости при возвратно-поступательном перемещении внутренней материальной точки // Интеллектуальные системы в производстве. 2011. №2. С.62 — 72.

4. Ветчанин Е.В., Тененев В.А. Движение каплеобразного и сферического тел с переменной геометрией масс в вязкой жидкости // Интеллектуальные системы в производстве. 2012. №1 С.11 — 23

- прочие

5. Ветчанин E.B. Сравнительная эффективность многосеточных методов решения систем разностных уравнений // Интеллектуальные системы в производстве. 2009. №1. С.5 — 11.

6. Калинкин A.A., Тененев В.А., Турыгин Ю.В., Ветчанин Е.В. Моделирование формирования истечения из сопел питающей трубы моющих устройств // Современная наука: иследования, идеи, результаты, технологии. 2009. №1. С.31

7. Ветчанин Е.В., Тененев В.А Моделирование газодинамики в тепловых двигателях сложной формы // Современная наука: иследования, идеи, результаты, технологии. 2009. №1. С.33

8. Ветчанин Е.В. Ускорение решения задач математической физики с помощью многосеточных методов // Материалы Региональной научно-технической конференции посвященной 10-летию факультета "Прикладная математика". 2010 г. С.9 - 12.

9. Калинкин A.A., Тененев В.А., Турыгин Ю.В., Ветчанин Е.В. Формирование и истечение водной струи в моющих устройствах // Струйные, отрывные и нестационарные течения. Тезисы докладов. 2010. С.278 — 280

10. Ветчанин Е.В. Возможности применения многосеточного метода для расчета вязких течений. // Струйные, отрывные и нестационарные течения. Тезисы докладов. 2010. С.297 — 298

11. Ветчанин Е.В., Тененев В.А. Моделирование течения продуктов сгорания в камере РДТТ и сопле // Седьмая Всероссийская конференция "Внут-рикамерные процессы и горение в установках на твердом топливе и ствольных системах"(ICOC-2011). Сборник трудов. 2011. С.85 - 89

12. Ветчанин Е.В. Применение предобусловливания для расчета низкоскоростных невязких течений // XXXVII Гагаринские чтения. Научные труды в 8 томах. Т.5. 2011. С.69 - 70.

13. Ветчанин Е.В. Гидродинамика тел с переменной геометрией масс // Измерения, контроль и диагностика — 2012. С.З — 5.

14. Vetchanin E.V., Tenenev V.A. Spatial hydrodynamics of bodies with variable mass center //IUTAM Symposium. Book of abstracts. 2012. P.66 — 67

15. Tenenev V.A., Vetchanin E.V., Shaura S.A. Motion control of a rigid body in viscous liquid //IUTAM Symposium. Book of abstracts. 2012. P.62 — 63

Подписано в печать «28» сентября 2012 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/10 Объем 1,2 усл.п.л. Тираж 100 экз. Отпечатано в ИМ УрО РАН 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34

 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ветчанин, Евгений Владимирович

Сокращения и обозначения

Введение

1 Перемещение за счет изменения центра масс.

1.1 Методы исследования движения тел в сопротивляющихся средах

1.2 Математические модели гидродинамики движения твердых тел

1.3 Численные методы решения гидродинамических задач.

1.4 Конструктивные схемы.

2 Методы численного решения задачи движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы

2.1 Методы дискретизации уравнений гидродинамики

2.1.1 Метод конечных объемов.

2.1.2 Дискретизация по времени.

2.2 Методы решения СЛАУ.

2.3 Построение конечнообъемных сеток в исследуемых областях

2.3.1 Алгебраические методы.

2.3.2 Методы на основе конформных отображений.

2.4 Численное решение уравнений Навье-Стокса проекционными методами.

2.5 Алгоритм совместного решения уравнений Навье-Стокса и уравнений динамики твердого тела.

3 Движение тел с переменным распределением массы.

3.1 Расчет присоединенных масс.

3.2 Тестирование применяемых численных методов.

3.2.1 Прямолинейное движение сферы.

3.2.2 Расчет сил сопротивления.

3.2.3 Падение пластины

3.3 Падение тел в вязкой жидкости.

3.4 Исследование движения тел с нейтральной плавучестью за счет изменения центра масс.

3.5 Вращательное движение тел с переменным распределением массы

3.6 Исследование движения тел в жидкости с возможностью управления по вертикали.

4 Управление нестационарным движением цилиндрического тела с переменным распределением массы.

4.1 Аппроксимация сил сопротивления.

4.2 Результаты решения задачи управления движением тела

 
Введение диссертация по механике, на тему "Численное исследование движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы"

Актуальность работы. В настоящее время значительное внимание уделяется разработке новых средств передвижения. Практический интерес представляют устройства с жесткой внешней оболочкой без внешних движителей, управляемые за счет изменения центра массы. Подобные устройства в некоторых работах называются вибрационными роботами, так как за изменение центра массы отвечает вибропривод.

Для успешного проектирования мобильных устройств, предназначенных для передвижения в водной среде, необходима информация о гидродинамических процессах, сопровождающих движение. Эти процессы обладают сильной нестационарностью, которую необходимо учитывать при разработке аппарата и оценке его эффективности.

Теоретические исследования движения в идеальной среде или с заданным законом сопротивления объектов с переменным распределением массы представлены в работах академика РАН В.В. Козлова, академика РАН Ф.Л. Черноусько, докторов наук С.М. Рамоданова, Д.А. Онищенко, Н.Н. Болотника, С.Ф. Яцуна.

Высокий уровень развития современной вычислительной техники позволяет применять для исследования гидродинамики движения методы численного моделирования, позволяющие выявить особенности взаимодействия тела с жидкостью и получить данные о гидромеханических параметрах, таких как поля давления и скорости.

В немногочисленных работах S. Childress, S.E. Spagnolie, Т. Tokieda, В.А. Тененева, С.М. Рамоданова рассматривались вопросы численного моделирования гидродинамики движущегося тела с изменяемым центром массы на основе совместного решения уравнений Навье-Стокса и уравнений динамики твердого тела в двумерной постановке.

Экспериментальные исследования, позволяющие получить информацию об особенностях движения в реальных условиях, практически отсутствуют.

Количество работ, посвященых пространственной гидродинамике движения тел с переменным распределением массы немногочисленно, динамические характеристики данных объектов в вязкой среде изучены недостаточно, данные об особенностях трехмерного движения неизвестны. Поэтому вопросы математического моделирования нестационарного движения в жидкости тел с изменяемым центром массы являются актуальными.

Объектом исследования является гидродинамика взаимодействия вязкой жидкости с нестационарно движущимся телом.

Предметом исследования являются математические модели и численные методы расчета движения в вязкой жидкости тел с фиксированными границами с переменным распределением массы.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании гидродинамических характеристик нестационарного пространственного движения тел с переменным распределением массы.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Построение математической модели движения в вязкой жидкости жестких тел с переменным распределением массы.

2. Реализация численных методов совместного решения уравнений На-вье-Стокса и уравнений динамики твердого тела, описывающих поведение в вязкой среде тел с переменным распределением массы.

3. Проведение численного моделирования процесса движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы.

4. Построение алгоритма управления телом с переменным распределением массы.

Методы исследования. В диссертации используются конечно-объемные численные методы совместного решения нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса и уравнений динамики твердого тела.

Достоверность и обоснованность полученных данных обеспечена использованием фундаментальных законов сохранения, апробированными методами решения и подтверждением результатов расчетов экспериментальными данными.

Научная новизна диссертационного исследования и результатов, полученных лично автором:

1. Построена математическая модель трехмерного нестационарного движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы.

2. На основе совместного решения трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса и уравнений динамики твердого тела получены характеристики движения тел с переменным распределением массы и окружающей тело жидкости.

3. Определены значения сил и моментов, с которыми вязкая жидкость действует на нестационарно движущееся тело с переменным распределением массы.

4. Установлено влияние частоты асимметричных колебаний на всплытие (погружение) тел с произвольной плавучестью.

5. Разработан метод решения задачи об управлении движением тела с переменным распределением массы по заданной траектории.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для проектирования мобильных устройств, управляемых изменением центра массы. Методы, изложенные в диссертации, позволяют рассчитывать движение аппаратов различной формы и учитывать влияние гидродинамических процессов на движение тела.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Математическая модель трехмерного нестационарного движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы.

2. Численный метод совместного решения трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса и уравнений динамики твердого тела, описывающих движение тел с жесткой внешней границей и перемещающимися внутренними массами.

3. Результаты численного моделирования пространственного движения жестких тел различной формы с переменным распределением массы.

4. Результаты анализа зависимостей сил и моментов сопротивления вязкой жидкости от динамики внутренних материальных точек.

5. Метод и результаты решения задачи управления телом посредством перемещения внутрених масс.

Личный вклад. Автором выполнено численное моделирование процессов движения в вязкой жидкости тел с переменным распределением массы, проведено сравнение движения тел сферической и каплеобразной форм. Выявлены особенности движения тела и течения жидкости вблизи тела. Получены нечеткие правила оптимального управления движением тела. Анализ полученных результатов проведен под руководством профессора В.А. Тене-нева.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Региональная научная конференция студентов и молодых ученых ИжГТУ (Ижевск, 2009 г.); Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики (Алушта, 2009 г.); XXXVI Международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения» (Москва, 2010 г.); Региональная научно-техническая конференция, посвященная 10 - летию факультета «Прикладная математика» (Ижевск, 2010 г.); Девятая международная научно-практическая конференция «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, 2010 г.); XXII Юбилейный семинар с международным участием «Струйные, отрывные и нестационарные течения» (Санкт-Петербург, 2010 г.); Седьмая Всероссийская конференция «Внутрикамерные процессы и горение в установках на твердом топливе и ствольных системах» (ICOC-2011) (Ижевск, 2011 г.); XXXVII Международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения» (Москва, 2011 г.); II Всероссийская научная-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Измерения, контроль и дигно-стика — 2012» (Ижевск, 2012 г.): IUTAM Symposium «From mechanical to biological systems — an integrated approach» (Ижевск, 2012 г.)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 15 печатных работ, из них 4 в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемых источников. Работа изложена на 127 страницах машинописного текста, включает 8 таблиц и 78 рисунков. Список используемых источников содержит 86 наименований.

 
Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

Выводы по главе 4

Управление движением тела с переменным распределением массы возможно рассчитать с помощью апроксимирующих зависимостей сил, заданных либо аналитическим выражением, либо некоторыми правилами.

В рассмотренных примерах управления движением смена ориентации тела в пространстве проиходит заранее.

Получаемые управления обеспечивают движение тела в нектором коридоре около заданной траектории.

Заключение

По результатам работы можно сделать следующие выводы и привести результаты:

1. Построена математическая модель трехмерного нестационарного движения в вязкой жидкости жестких тел с переменным распределением массы.

2. В результате проведенного численного моделирования показано, что эффект присоединенной массы при ненулевом ускорении учитывается интегрированием давления по поверхности тела.

3. Решена трехмерная нестационарная задача движения в вязкой жидкости тел с переменным распределением масс. Показана возможность увеличения средней скорости за счет повышения частоты колебаний. Расстояние, проходимое телом за каждый период, является переменным и асимптотически стремится к постоянной величине, определяемой гидродинамическими характеристиками тела и частотой колебаний внутренней массы. Для шара диаметром 0,2 м с соотношении масс основного тела и внутренней материальной точки 1:1 при повышении частоты колебаний с 1 Гц до 2,5 Гц средняя скорость передвижения в водной среде возрастает в 5 раз.

4. Сравнительные расчеты перемещения сферического тела диаметром 0,09 м и каплеобразного с диаметром основания 0,09 м и длиной 0,2 м показали, что средняя скорость в водной среде каплеобразного тела при продвижении в направлении острия больше на 5%, чем у сферического. Установлено, что вращение каплеобразного тела просходит в 3 раза медленнее, чем сферического.

5. Показана возможность преодоления силы тяжести телом с отрицательной плавучестью за счет асимметричных колебаний внутренней массы. Сферическое тело диаметром 0,2 м с плавучестью —0,001 и соотношением масс основного тела и внутренней материальной точки 1:1 всплывает при частоте колебаний 2,5 Гц. Для удержания около начального положения тела с плавучестью —0,003 частота колебаний внутренней массы должна быть в пределах от 2,5 до 5 Гц.

6. Реализован метод расчета управления телом с переменным распределением массы на основе решения задачи оптимального управления типа Лагранжа. Алгоритм управления обеспечивает движение вблизи заданной траектории.

 
Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Ветчанин, Евгений Владимирович, Ижевск

1. Ветчанин Е.В., Тененев В.А. Движение каплеобразного и сферического тел с переменной геометрией масс в вязкой жидкости / / Интеллектуальные системы в производстве 2012. №1. С. 11-23

2. Ветчанин Е.В., Тененев В.А. Моделирование управления движением в вязкой жидкости тела с переменной геометрией масс // Компьютерные исследования и моделирование 2011. Т.З. №4. С.371-381

3. Ветчанин Е.В., Тененев В.А. Расчет внутренних течений в широком диапазоне чисел Маха // Интеллектуальные системы в производстве 2011. т. С.12-18

4. Волков К.Н., Емельянов В.Н. Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных течений — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 368 с.

5. Волкова Л.Ю., Яцун С.Ф. Управление движением трехмассового робота, перемещающегося в жидкой среде // Нелинейная динамика 2011. Т.7. №4. С.845-857

6. Григорьев Ю.М., Алехин В.В. Кватернионный метод граничных элементов // Сиб. журн. индустр. матем. 1999, Т.2. №1. С.47-52

7. Громадка II Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 303 е., ил.

8. Гущин В.А., Матюшин П.В. Математическое моделирование пространственных течений несжимаемой жидкости // Математическое моделирование 2006 г. Т. 18 №5, С.5-20

9. Калиткин H.H. Численные методы. Под редакцией Самарского А. А.

10. M. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука" 1978

11. Козлов В.В., Онищенко Д.А. О движении тела с жесткой оболочкой и переменной геометрией масс в бесконечном объеме идеальной жидкости // М: ФИЗМАТЛИТ 2003. С.465-476

12. Козлов В.В., Рамоданов С.М. О движении в идеальной жидкости тела с жесткой оболочкой и переменной геометрией масс // ДАН, 2002. Т.382. Ш. С.592-601

13. Козлов В.В., Рамоданов С.М. О движении изменяемого тела в идеальной жидкости // ПММ, 2001. Т.65. №4. С.592-601.

14. Короткин А.И. Присоединенные массы судостроительных конструкций: Справочник. — СПб.: Мор Вест, 2007. — 448 е., ил.

15. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1.: М. Физматгиз, 1963 г., 584 с.

16. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. — 7-е изд., испр. — М.: Дрофа 2003. — 840 е., 311 ил., 22 табл. — (Классики отечественной науки)

17. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 660 е., ил.

18. Патанкар C.B. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости: Пер. с англ. — М. Энергоатомиздат, 1984. — 152 е., ил.

19. Рамоданов С.М., Тененев В.А. Движение тела с переменной геометрией масс в безграничной вязкой жидкости // Нелинейная динамика 2011. Т.7. №3. С.635-647

20. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1978. 592 с. с илл.

21. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики: Учеб. пособие: Для вузов. — 3-е изд., доп. — М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1992. — 442 с.

22. Тененев В.А., Ветчанин Е.В. Управляемое движение тела в жидкости при возвратно-поступательном перемещении внутренней материальной точки // Интеллектуальные системы в производстве 2011. №2. С.62-72

23. Тененев В.А., Якимович Б.А. Генетические алгоритмы в моделировании систем. — Ижевск: изд-во ИжГТУ, 2010. — 308 с.

24. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя, перев. с немецкого, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», Москва, 1974

25. Уилсон Р. Введение в теорию графов: Пер. с англ. Изд-во «Мир» Москва 1977

26. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику: Учеб. пособие: Для вузов. — М.: Изд-во Моск. физ-техн. ин-та, 1994. — 528 с.

27. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах: Т. 1: Пер. с англ. М.: Мир 1991. — 504 е., ил.

28. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах: Т. 2: Пер. с англ. М.: Мир 1991. - 552 е., ил.

29. Черноусько Ф.Л., Болотник H.H. Мобильные роботы, управляемые движением внутренних тел // Тр. ИММ УрО РАН 2010. Т. 16. №5. С.213-222

30. Черноусько Ф.Л. О перемещении тела в жидкости за счет колебаний присоединенного звена // ДАН, 2010. Т.431. М. С.46-49

31. Черноусько Ф.Л. Оптимальное перемещение многозвенной системы в среде с сопротивлением // Тр. ИММ УрО РАН 2011. Т.17. Ш С.240-255

32. Яцун С.Ф., Безмен П.А., Сапронов К.А., Рублев С.Б. Динамика мобильного вибрационного робота с внутренней подвижной массой / / Известия Курского государственного технического университета 2010. Т.31. №2. С.21-31

33. Anderson J.D. Computational Fluid Dynamics. The Basic with Applications // McGraw-Hill 1995

34. Barth T.J., Jespersen D.C. The Design and Appliction of Upwind Schemes on Unstructured Meshes // AIAA Paper 89-0366

35. Biesheuvel A., Hagmeijer R. On the force on a body moving in a fluid // Fluid Dynam. Res. 2006. Vol.38. P.716-742

36. Blazek J. Computational Fluid Dynamics: Principles and Apllications // Elsevier 2001

37. Blom F.J. Considerations on the spring analogy // Int. J. Num. Meth. Fluids 2000. Vol.32. P.647-668

38. Bozkurttas M., Mittal R., Dong H., Lauder G. V., Madden P. Low-dimensional models and performance scaling of a highly deformable fish pectoral fin // J. Fluid Mech. 2009. Vol.631. P.311-342

39. Calmet I., Magnaudet J. Large-eddy simulation of high-Schmidt number mass transfer in a turbulent channel flow // Phys. Fluids 1996. Vol.9. P.438-455

40. Ceberi T., Shao J.P., Kafyeke F., Laurendeau E. Computational Fluid Dynamics for Engineers / / Springer 2005

41. Childress S., Spagnolie S.E., Tokieda T. A bug on a raft: recoil locomotion in a viscous fluid //J. Fluid Mech 2011. Vol.669. P.527-556

42. Chiu P.H., Lin R.K., Sheu T.W.H. A differentially interpolated direct forcing immersed boundary method for predicting incompressible Navier-Stokes equations in time-varying complex geometries // J. Comp. Phys. 2010. Vol.229. P.4476-4500

43. Choi Y.-H., Mercle C.L. Application of Time-Iterative Schemes to Incompressible Flows // AIAA Journal 1985. Vol.23. №10. P. 1518-1524

44. Date A.W. Introduction to Computational Fluid Dynamics // Cambridge university press 2005

45. Dong H., Bozkurttas M., Mittal R., Madden P., Lauder G.V. Computational modelling and analysis of the hydrodynamics of a highly deformable fish pectoral fin // J. Fluid Mech. 2010 Vol.645. P.345-373

46. Eldredge J.D., Colonius T., Leonard A. A Vortex Particle Method for Two-Dimensional Compressible Flow //J. Comput. Phys. 2002. Vol.179. P.371-399

47. Eldredge J.D. Numerical simulations of undulatory swimming at moderate Reynolds number // The Journal of Experimental Biology. 2009. Vol.1. S19-S24

48. Farhat C., Degand C., Koobus B., Lesoinne M. Torsional springs for two-dimensional dynamic unstructured meshes // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1998. Vol.163 P.231-245

49. Ferziger J.H., Peric M. Computational methods for fluid dynamics // Springer 2002

50. Galper A.R., Miloh T. Hydrodynamics and stability of a deformable body moving in the proximity of interfaces // Phys Fluid 1999. Vol.11. №4

51. Gibou F., Fedkiw R.J., Cheng L.T., Kang M. A second-order-accurate symmetric discretization of the Poisson equation on irregular domains //J. Comput. Phys. 2002. Vol.176. P.205-227

52. Giiler I., Behr M., Tezduyar T. Parallel finite element computation of free-surface flows // Computational Mechanics 1999. Vol.23. P. 117-123

53. Henshaw W.D., Schwendeman D.W. Moving overlapping grids with adaptive mesh refinement for high-speed reactive and non-reactive flow // J. Comp. Phys. 2006. Vol.216. P.744-779

54. Hirch C. Numerical Computation of INTERNAL AND EXTERNAL FLOWS. Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows // JOHN WILEY & SONS

55. Hoffmann K.A., Chiang S.T. Computational fluid dynamics. Volume 1. // Engineering Education System 2000

56. Howe M.S. On the force and moment on a body in an incompressible fluid, with application to rigid bodies and bubbles at high and low Reynolds numbers // Q.J. Mech. Appl. Math. 2005. Vol.48 P.401-426

57. Jasak H. Error Analysis and Estimation for the Finite Volume Method with Applications to Fluid Flows. Thesis submitted for the Degree of Doctor of Philosophy of the University of London and Diploma of Imperial College 1996

58. Karagiozis K., Kamakoti R., Pantano C. A low numerical dissipation immersed interface method for the compressible Navier-Stokes equations // J. Comput. Phys. 2010. Vol.229. P.701-727

59. Kidron Y., Yair M.-Y., Levy Y. Robust Cartesian Grid Flow Solver for High-Reynolds-Number Turbulent Flow Simulation // AIAA Journal 2010. Vol.48. №6 P. 1130-1140

60. Kim J., Kim D., Choi H. An Immersed-Boundary Finite-Volume Method for Simulations of Flow in Complex Geometries // J. Comput. Phys. 2001. Vol.171. P. 132-150

61. Koiller J., Ehlers K., Montgomery R. Problems and progress in microswimming //J. Nonlinear Sei. 1996. Vol.6 P.507-541.

62. Le D.V., White J., Peraire J., Lim K.M., Khoo B.C. An implicit immersed boundary method for three-dimensional fluid-membrane interactions // J. Comput. Phys. 2009. Vol.228. P.8427-8445

63. Lighthill M.J. On the Squirming Motion of Nearly Spherical Deformable Bodies Through Liquids at Very Small Reynolds Numbers // Communications on Pure and Applied Mathematics, 1952, vol. 5, №2, pp. 109-118

64. Mahadevan L., Ryu W.S., Samuel A.D.T. Tumbling cards // Phys. Fluids, 1999, vol. 11, №, P.l-3

65. Mittal R., Dong H., Bozkurttas M., Najjar F.M., Vargas A. A versatile sharp interface immersed boundary method for incompressible flows with complex boundaries //J. Comp. Phys. 2008. Vol.227. P.4825-4852

66. Mougin G., Magnaudet J. The generalized Kirchhof equations and their application to the interaction between a rigid body and an arbitrary timedependent viscous flow // Int. Journal of Multiphase Flow 2002. Vol.22. P. 1837-1851

67. Murman S.M., Aftosmis M.J., Berger M.J. Simulations of 6-DOF Motion with a Cartesian Method // AIAA Paper 2003-1246

68. OpenFOAM. The Open Source CFD Toolbox. Programmer's Guide. Version 2.1.0 15th December 2011

69. Perot B., Nallapati R. A moving unstructured staggered mesh method for the simulation of incompressible free-surface flows //J. Comp. Phys. 203. Vol.184. P. 192-214

70. Peskin C.S. Flow Patterns Around Heart Valves: A Numerical Method //J. Comp. Phys. 1971. Vol.10. P.252-271

71. Petrila T., Trif D. Basic of fluid mechanics and introduction to computational fluid dynamics // Springer 2005

72. Rai M.M., Moin P. Direct simulations of turbulent flow using finite-difference schemes //J. Comp. Phys. 1991. Vol.96. №1. P. 15-53

73. Saffman P.G. The self-propulsion of a deformable body in a perfect fluid // J. Fluid Mech. 1967. Vol.2, part 2. P.385-389.

74. Sahin M., Mohseni K., Colin S.P. The numerical comparison of flow patterns and propulsive performances for the hydromedusae Sarsia sp. and Aequorea victoria. // The Journal of Experimental Biology. 2009. Vol.212. P.2656-2667

75. Spagnolie S.E., Shelley M.J. Shape-changing bodies in fluid: Hovering, ratcheting, and bursting // Phys. Fluid. 2009. Vol.21. P.013103

76. Stone H.L. Iterative solution of implicit approximations of multidimensional partial differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1968. Vol.5. №3 P.530-558

77. Thompson J.F. Handbook of Grid Generation / Joe F. Thompson, Bharat Soni, Nigel Weatherill, editors. CRC Press 1999

78. Trottenberg U., Oosterlee C. W., Schüller A. Multigrid // Academic press

79. Versteeg H.K., Malalasekera W. An introduction to computational fluid dynamics. The finite volume method // Longman Scientific &; Technical 1995

80. Weiss J.M., Smith W.A. Preconditioning applied to variable and constant density flows // AIAA Journal 1995. Vol.33. №11. P.2050-2057

81. Vetchanin E.V., Tenenev V.A. Spatial hydrodynamics of bodies with variable mass center //IUTAM Symposium. Book of abstracts. 2012. P.66-67

82. Wesseling P. Principles of Computational Fluid Dynamics // Springer 2001.

83. Wesseling P. An introduction to multigrid methods // Jhon Wiley &; Sons

84. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. Fifth Edition. Volume 3: Fluid Dynamics // Butterworth-Heinemann 2000