Численное исследование газодинамических и радиофизических характеристик неравновесной плазмы около затупленных тел в рамках уравнений Навье-Стокса тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ФГУП НПО машиностроения

На правах рукописи УДК 533.6.011.5:532.582.33

Забарко Дмитрий Александрович

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ И РАДИОФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК НЕРАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЫ ОКОЛО ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ В РАМКАХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

Специальность: 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Реутов - 2006

Работа выполнена в ФГУП НПО машиностроения.

Научный руководитель: ' доктор технических наук

Горский Валерий Владимирович

Научный консультант: кандидат физико-математических наук

Котенев Владимир Пантелеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Башкин Вячеслав Антонович

кандидат физико-математических наук Ковалёв Роман Вячеславович

Ведущая организация: Институт Проблем Механики РАН.

Защита диссертации состоится «_» декабря 2006 г. в « » часов на

заседании Диссертационного совета К 212.156.07 при Московском Физико-Техническом Институте (Государственном Университете), факультета АМ и ЛГ по адресу: 140180, г. Жуковский, Московской обл., ул. Гагарина, д. 16.

Ваш отзыв на автореферат в одном экземпляре, заверенный печатью организации, просьба высылать Учёному секретарю Диссертационного совета ФАЛТ МФТИ по указанному адресу.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке МФТИ (ГУ), факультета АМ и ЛТ.

Автореферат разослан «_»_2006 г.

Учёный секретарь Диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Киркинский А.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность работы. В настоящее время одной из основных задач гиперзвуковой аэродинамики является проблема численного моделирования гиперзвуковых течений газа с учётом реальных неравновесных физико-химических процессов, происходящих в ударном слое около обтекаемых притуплённых тел. Процессы, протекающие в ударном слое при движении аппарата с гиперзвуковыми скоростями, существенно влияют на выбор траектории полёта, так как именно они определяют аэродинамические, тепловые и аэрофизические характеристики обтекания летательных аппаратов. К аэрофизическим характеристикам относятся излучательные характеристики, необходимые для определения лучистых тепловых потоков или решения задач оптической заметности, и ионизационные характеристики течения в ударном слое на плазменном участке входа в атмосферу, необходимые для решения задач радиосвязи с гиперзвуковыми летательными аппаратами (ГЛА). Учёт этих процессов существенно усложняет постановку задачи и методы её численного решения. Можно отметить, что моделирование реальных свойств воздуха и неравновесных процессов в существующих гиперзвуковых экспериментальных установках оказывается весьма затруднительным и часто практически невозможным. Отсюда непосредственно следует важность и необходимость теоретического исследования неравновесных течений.

При полёте летательного аппарата с гиперзвуковыми скоростями на высотах до 100 км для описания течений в ударном слое будет справедлива модель сплошной среды. В качестве исходной математической модели можно использовать систему уравнений Навье-Стокса с соответствующими граничными условиями. Численное решение задач обтекания на основе полных уравнений Навье-Стокса является привлекательным с точки зрения точности, а также является необходимым при расчёте течений с сильным вязко-невязким взаимодействием и большими отрывными зонами. Однако, для решения большого класса практически важных задач возможно применение

упрощённых уравнений, принадлежащих к классу так называемых уравнений Навье-Стокса в приближении тонкого слоя.

Концепция приближения тонкого слоя возникает из детального рассмотрения типичных случаев численного решения полных уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса [Baldwin, Lomax, 1978]. В этих расчётах значительная часть вычислительных ресурсов тратится на расчёт нормальных градиентов в пограничном слое, так как для этого необходима сетка с очень малым шагом. В результате градиенты в направлениях, параллельных поверхности тела, обычно не разрешаются адекватным образом, даже если соответствующие вязкие члены и сохраняются в уравнениях. Следовательно, при численном решении уравнений Навье-Стокса во многих случаях имеет смысл опускать члены, которые не разрешаются адекватным образом, при условии, что они малы. Эти соображения приводят к уравнениям Навье-Стокса в приближении тонкого слоя.

Достаточно полный учёт реальных свойств газовой смеси, образующейся около обтекаемого тела за счёт нагревания при торможении потока, увеличивает количество дифференциальных уравнений соответственно числу рассматриваемых компонентов смеси. При этом расчёт физико-химической составляющей задачи может занимать основную часть времени решения всей задачи. Поэтому создание эффективных численных методов решения в общем случае трёхмерных задач сверх- и гиперзвукового обтекания тел вязким, теплопроводным, химически неравновесным, ионизованным и излучающим газом является весьма актуальной проблемой. Кроме того, необходима серьёзная оптимизация численных метод с целью максимального сокращения времени расчётов.

Цель работы;

1. Физико-математическая постановка задачи пространственного сверх- и гиперзвукового обтекания тел в рамках полных уравнений Навье-Стокса с учётом диффузии, неравновесных реакций диссоциации и ионизации. Упрощение математической модели на основе уравнений Навье-Стокса в

приближении тонкого слоя.

2. Создание эффективного численного метода решения полных уравнений Навье-Стокса с учётом указанных неравновесных физико-химических процессов на базе метода установления с использованием принципа разделения по физическим процессам. При этом в данной работе решается проблема уменьшения времени численного решения задачи путём использования численного метода для решения параболизованных уравнений Навье-Стокса в приближении тонкого слоя.

3. Численное исследование особенностей неравновесных пространственных течений около затупленных тел.

4. Исследование прохождения радиосигналов через плазменные образования в трёхмерных неравновесных течениях около гиперзвуковых летательных аппаратов.

Научная новизна. Использована модель, описывающая трёхмерное течение вязкой, теплопроводной многокомпонентной химически реагирующей смеси газов около затупленных тел с учётом влияния неравновесных реакций. На основе метода установления решения по времени с использованием принципа разделения задачи обтекания по физическим процессам разработан эффективный алгоритм численного решения полных (параболизованных) уравнений Навье-Стокса для химически неравновесного ударного слоя, позволяющий за практически приемлемое время производить расчёты в широком диапазоне значений параметров внешнего обтекания. Режим протекания химических реакций может при этом меняться от замороженного до равновесного. Исследованы пространственные неравновесные режимы обтекания затупленных тел с выделением особенностей отрывных течений около летательных аппаратов. Проведено исследование прохождения и затухания радиосигналов через различные плазменные зоны, образующиеся в ударном слое около ГЛА.

Практическая ценность. Созданный метод позволяет проводить параметрические расчёты для различных режимов пространственных течений с учётом реальных свойств газа. При этом предложенный в работе метод может быть использован для решения как полных уравнений Навье-Стокса, так и упрощённых уравнений Навье-Стокса в приближении тонкого слоя.

С помощью разработанной программы численного моделирования химически неравновесного вязкого ударного слоя можно проводить систематические исследования неравновесных течений около неразрушающихся поверхностей с различными каталитическими свойствами с учётом и без учёта ионизации.

Достоверность результатов.

Достоверность результатов диссертационной работы определяется сравнительным анализом численных расчётов с данными натурных испытаний, экспериментов, а также сравнением с расчётами других авторов.

Основные положения, выносимые на защиту.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Использованная физико-математическая постановка задачи пространственного сверх- и гиперзвукового обтекания тел в рамках полных уравнений Навье-Стокса с учётом диффузии, неравновесных реакций диссоциации и ионизации. Упрощение математической модели на основе параболизованных уравнений Навье-Стокса в приближении тонкого слоя.

2. Разработанный численный метод решения полных (параболизованных) уравнений Навье-Стокса с учётом неравновесных физико-химических процессов на базе метода установления с использованием принципа разделения задачи обтекания по физическим процессам.

3. Результаты численного моделирования неравновесных пространственных течений около затупленных тел.

4. Исследование затухания радиосигналов в плазменных образованиях трёхмерных неравновесных течений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на молодёжной конференции «Задачи космического образования в XXI веке» МАИ (2001г.), на Всероссийской научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии» МГТУ им. Н.Э. Баумана (2002г.), на VI Международной научно-практической конференции «Человек и космос» Украина (г. Днепропетровск, 14-16 апреля 2004г.), на Первой Международной научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии», посвященной 90-летию со дня рождения академика В.Н.Челомея (Москва-Реутов, 24-25 мая 2004г.), опубликованы в трудах XXIX академических чтений по космонавтике (Москва, январь 2005г.), в журнале «Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана» (сер.«Естественные науки», 2006, № 1), в электронном журнале «Исследовано в России» (2006г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка основных условных обозначений, списка литературы, включающего 74 наименования, и 78 иллюстраций. Работа содержит 100 страниц машинописного текста, всего - 157 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор работ, посвященных различным методам решения полных и упрощённых уравнений Навье-Стокса с учётом реальных свойств газа. Дана физическая постановка решаемой задачи.

В первой главе работы даётся математическая постановка задачи гиперзвукового обтекания затупленных тел потоком вязкого, теплопроводного, химически неравновесного воздуха.

В разделе 1.1 рассматривается система полных трёхмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями энергии, неразрывности и химической кинетики. Даётся используемая в работе система химических реакций для рассматриваемой семикомпонентной смеси О, N. N0, 02, N3, N0*, е". Данная система включает 6 реакций: реакции диссоциации-рекомбинации, обменные реакции, реакции ассоциативной ионизации-диссоциативной рекомбинации. Приводятся константы равновесия и скоростей химических реакций, взятые из работ [1,4], и соответствующие данной системе выражения для источниковых членов уравнений диффузии. Для колебательной энергии молекул приводятся используемые модели Лайтхилла и равновесного возбуждения. Выводится выражение для теплового потока в переменных уравнения энергии. Формулируются основные предположения, при которых исследуется рассматриваемая задача.

Раздел 1.2 посвящен начальным и граничным условиям для системы химически неравновесного ударного слоя, выставляемым на ударной волне, на поверхности обтекаемого тела и на замыкающей границе расчётной области.

В разделе 1.3 осуществляется переход к безразмерным переменным.

В разделе 1.4 даётся постановка задачи внешнего обтекания в криволинейных системах координатах. Описывается сферическая система координат (подраздел 1.4.1) и основные уравнения в ней (подраздел 1.4.2). В следующем подразделе (1.4.3) задача формулируется в векторном виде. Для адекватного расчёта областей с резкими изменениями всех искомых функций в

разделе 1.4.4 вводится нормированная сферическая система координат (НССК). Далее (подраздел 1.4.5) осуществляется переход к НССК - все уравнения записываются в новых переменных ¿;,0,<р.

В разделе 1.5 рассматривается предлагаемый в данной работе способ повышения эффективности численного метода путём использования параболизованных уравнений Навье-Стокса в приближении тонкого слоя.

Во второй главе рассматривается предлагаемый в настоящей работе алгоритм численного решения уравнений химически неравновесного ударного слоя.

В разделе 2.2 приводится описание расщепления задачи течения вязкого газа по физическим процессам. Полная система уравнений, используя разделение задачи по физическим процессам, расщепляется на подсистемы уравнений: нестационарную систему уравнений газовой динамики и систему уравнений химической кинетики. Решение всей задачи обтекания с учётом физико-химических реакций проводится поэтапно.

I этап. Интегрируется «невязкая» часть газодинамической системы, включающая в себя уравнения движения Эйлера, неразрывности и энергии в невязкой постановке. «Невязкая» часть системы уравнений решается при помощи явной двухшаговой конечно-разностной схемы Мак-Кормака. Результатами первого этапа являются область интегрирования (определяется ударная волна) и все невязкие параметры в ударном слое. При этом удовлетворяются граничные условия прилипания на поверхности тела. Полученное поле течения передаётся для уточнения «вязкой» части системы.

II этап. Решение в известной области корректируется путём интегрирования «вязкой» части уравнений Навье-Стокса и энергии при помощи неявного метода прогонки.

Для его описания представим «вязкую» часть уравнений количества движения и энергии в виде

где ^ - любая из неизвестных целевых функций, ц - динамическая вязкость, >£«,>£» - производные, используемые при переходе от сферической системы координат к нормированным координатам ¿¡,в,<р, А, В, С — коэффициенты при вторых производных, первых производных в радиальном направлении £ и самой функции соответственно, слагаемое Г) содержит все оставшиеся члены уравнений со смешанными производными и свободными членами. Используя выражения конечно-разностных аналогов производных для сетки с переменным шагом, записывается разностный аналог уравнения, оставляя для каждого уравнения в качестве неизвестных целевые функции на новом временном слое в радиальном направлении, поскольку поперечное (радиальное) к потоку направление характеризуется максимальными изменениями искомых параметров. Все значения остальных функций и производных считаются известными и берутся с текущего временного слоя. Таким образом, для получения решения при заданных граничных условиях интегрирование одномерных уравнений сводится к последовательному решению отдельных разностных уравнений с трёхдиагональной матрицей методом скалярной прогонки.

На данном этапе, с использованием описанной выше неявной схемы, последовательно решаются уравнения движения. Затем с использованием полученного поля скоростей решается уравнение энергии. В результате по прошествии двух шагов имеются все газодинамические параметры уже в «вязкой» постановке. Применение описанной процедуры снимает ограничение на шаг интегрирования по времени, связанное с вязким критерием устойчивости.

Уравнения диффузии, используя принцип расщепления по физическим процессам, также решаются в два этапа при помощи смешанной схемы.

III этап. Решается система релаксационных уравнений только с источниковыми членами

^ = ' = 1,2,3,6,

ot

где индекс г = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ассоциируется с О, N, NO, Ог, N2, NO*, е" соответственно, у, — концентрация i -го компонента, Wt — массовая скорость образования i -го компонента в единице объема за единицу времени.

Вследствии «жёсткости» и явной зависимости друг от друга разностные нелинейные уравнения данной системы решаются совместно при помощи неявного метода Ньютона.

IV этап. Учитывается диффундирование компонентов смеси

dt р '

где О, = -pD, grad yt - массовый поток i-ro компонента вследствие диффузии, D, - эффективный коэффициент диффузии, р~ плотность смеси. Здесь уравнения решаются последовательно и независимо друг от друга методом прогонки аналогично второму этапу.

Предложенный метод расщепления уравнений диффузии позволяет рассчитывать химически неравновесные течения в широком диапазоне значений параметров набегающего потока для режимов протекания химических реакций от замороженных до равновесных.

Таким образом, полный шаг интегрирования системы уравнений для неравновесного потока складывается из четырёх подшагов для каждой физически обособленной подсистемы уравнений.

Раздел 2.3 описывает используемую расчётную сетку. Здесь для корректного учёта поведения параметров в областях больших градиентов вводится сгущение в радиальном направлении.

В разделе 2.4 приводится описание разностной схемы для решения уравнений Навье-Стокса. Даются выражения конечно-разностных аналогов

производных для сетки с переменным шагом и общий вид используемых разностных уравнений.

Для расчётов течений сложной структуры в области ■ значительной протяжённости в разделе 2.5 описывается разбиение всей области интегрирования на ряд взаимно перекрывающихся

Рис. 1. Разделение физической подобластей (рис.1). Расчёт ведётся области интегрирования.

последовательно в каждой из них. Сначала задача решается в окрестности

затупления. Затем центр сферической системы координат переносится по оси

аппарата (г2,гЗ,...). Выстраивается новая расчётная область, где на левой

границе области выставляются «жёсткие» граничные условия из уже

рассчитанной области, на выходных границах задаются «мягкие» граничные

условия, на теле — условия прилипания и известная температура стенки, на

ударной волне — нестационарные соотношения Рэнкина-Гюгонио. Решение в

полученной области устанавливается, и описанная процедура построения новой

расчётной сетки повторяется. Такое разделение возможно в силу слабой

передачи возмущений вверх по потоку при обтекании тел сверхзвуковым

набегающим потоком вязкого газа.

В разделах 2.6,2.7 даётся численное удовлетворение граничным условиям и описание монотонизации численной схемы расчёта.

В третьей главе представлены результаты расчётов уравнений Навье-Стокса.

Для оценки используемого численного метода применительно к расчётам газодинамических параметров гиперзвуковых течений около затупленных тел было проведено моделирование обтекания в широком диапазоне параметров набегающего потока.

В разделе 3.1 в рамках модели совершенного газа приводятся результаты расчётов осесимметричного и пространственного обтекания сферически затупленных конусов, а также сравнение с экспериментальными и расчётными

данными из других источников [6-11]. Можно отметить хорошее согласование сравниваемых тепловых потоков (отличия не превышают 5% для рассматриваемых режимов).

Анализ полученных результатов свидетельствует о возможности применения предложенного метода для расчёта в рамках модели совершенного газа параметров вязкого ударного слоя, включая тепловые потоки к поверхности тела.

Раздел 3.2 посвящен исследованию неравновесных течений.

В подразделе 3.2.1 рассматриваются осесимметричные течения около затупленных конусов. Сопоставление результатов проводилось на сферическом затуплении и боковой поверхности конусов по двум комплексам параметров: газодинамическим и концентрациям химических компонентов.

Для сферического затупления наблюдается хорошее качественное и количественное согласование концентраций компонентов с данными работы авторов [2]. Сравнение концентрации заряженных частиц (электронов е"), выраженной в количестве частиц в единице объёма [1/см3], показывает хорошее (максимальные отличия не превышают 30%) совпадение полученных результатов, учитывая порядок сравниваемых значений. Кроме того, нужно иметь в виду, что • на концентрацию электронов влияет не только неопределённость констант скоростей самой реакции ионизации, но и, поскольку она определяется концентрациями N. О, N0, на неё влияют все константы системы химических реакций в воздухе.

Сравнительный анализ структуры течения на боковой поверхности затупленных конусов показал хорошее согласование полученных концентраций с натурными и расчётными данными для различных режимов обтекания. Однако необходимо отметить, что расчёт свободномолекулярных режимов имеет свои особенности. Как показано в работе [10], для свободномолекулярных течений значительное влияние на электронную концентрацию оказывает учёт скольжения в граничных условиях на теле. Эффекты скольжения заметно изменяют температурный профиль и,

соответственно, концентрации химических компонентов. Различие электронной концентрации, с учётом и без учёта скольжения, для подобных режимов может достигать двух порядков. Поэтому для свободномолекулярных течений необходимы дополнительные исследования, как со стороны используемой химической модели, так и относительно уточнения задания граничных условий. Другой характерной особенностью здесь является необходимость использования полных уравнений Навье-Стокса. Упрощённые уравнения —в приближении тонкого слоя - для одинаковых условий расчётов дают большую погрешность при определении параметров на теле, в частности, тепловых потоков.

В ходе численных экспериментов для всех рассмотренных режимов выявлено слабое влияние подробной сетки в радиальном направлении на распределение концентраций поперёк ударного слоя.

В отношении тепловых потоков в неравновесных расчётах показано характерное поведение распределения числа Стантона - наличие явно выраженной «ложки», в отличие от модели совершенного газа, где данная «ложка» отсутствует. Тепловой поток для неравновесного течения оказывается на 20% меньше теплового потока, рассчитанного без учёта реальных свойств газа.

Сравнение распределений температуры для совершенного и химически-реагирующего газа показывает существенные (до 30%) отличия в распределении температур поперёк ударного слоя в пристеночной области, где наблюдаются значительные концентрации химических компонентов.

В подразделе 3.2.2 представлены пространственные неравновесные течения.

Здесь были проведены расчёты обтекания сферически затупленного конуса под различными углами атаки. Угол полураствора конуса составляет 7°, радиус затупленного носка равен 5.08 см, общая длина тела — 50.8 см. Характеристики набегающего потока, использовавшиеся в расчётах, соответствуют высоте полёта равной 53.3 км, числу Маха А/„ =20, и углам атаки - 5 ,10, 20

градусов. Температура поверхности тела принималась неизменной и равной 3600 К.

Для течения с большим углом атаки (а =20°) отрыв поперечного потока наблюдается на расстоянии примерно соответствующем четырём калибрам от носка. Расчёт отрывной зоны оказался возможен только с применением полных уравнений Навье-Стокса. Можно отметить образование с подветренной стороны тела диссоциированного слоя довольно большой толщины. Для поперечного сечения, соответствующего расстоянию от носка в 10 калибров, максимальная концентрация атомарного кислорода О с подветренной стороны тела примерно в два раза превосходит её наибольшее значение с наветренной стороны. Для атомарного азота N аналогичные по характеру различия в максимальных концентрациях доходят до 60 раз. Распределение окиси азота N0 показывает, что с наветренной стороны тела уровень максимальной концентрации в узком пристеночном слое выше, чем с подветренной. Распределение компоненты в сечении имеет характерную особенность — концентрация N0 распространяется на подветренную сторону, огибая отрывную зону, где образуется своеобразная пустота для данной компоненты. Для ионов окиси азота N0* наблюдается повышение концентрации с подветренной стороны/ Распределение электронов свидетельствует о том, что в рассматриваемом случае максимальная степень ионизации газа с подветренной стороны конуса в три раза меньше, чем с наветренной стороны. Однако необходимо подчеркнуть, что ионизованный слой с подветренной стороны имеет существенно большую (примерно в 13 раз) толщину, чем с наветренной.

Сравнивая концентрации для разных углов атаки в рассматриваемом сечении (10 калибров), можно отметить, что толщина слоя диссоциировавшего кислорода на подветренной стороне с уменьшением угла атаки также уменьшается, сливаясь далее с образовавшимся с наветренной стороны слоем атомарного кислорода той же степени интенсивности, что особенно заметно для малого угла атаки (а =5°). Поведение атомарного азота N в этом сечении при углах атаки 5 и 10 градусов характеризуется меньшей степенью

диссоциации с наветренной стороны и образованием локальных максимумов концентрации с подветренной стороны.

Окись азота N0 для больших углов атаки образует тонкий слой максимальных концентраций с наветренной стороны. С уменьшением угла атаки с наветренной стороны происходит его утолщение с понижением уровня интенсивности. С подветренной же стороны для больших углов атаки в отрывной зоне наблюдается локальное снижение концентрации окиси азота и повышение концентрации ионов окиси азота. Наличие локальных максимумов концентраций с подветренной стороны объясняется для больших углов атаки влиянием интенсивного поперечного течения газа.

Для сечения, соответствующего пятому калибру, где эффекты отрыва поперечного потока менее выражены, наблюдается схожая по характеру поведения картина с распределением концентраций химических компонентов, что и для дальнего сечения (10 калибров) при малых углах атаки.

Сравнение распределений электронных концентраций в зависимости от углов атаки и сечения показало, что занимаемая заряженными частицами по ширине относительная область ударного слоя остаётся приблизительно постоянной для подветренной стороны конуса.

Для рассматриваемых неравновесных течений, можно отметить высокую степень диссоциации кислорода и азота по всей длине конуса. Наблюдается достаточно широкий слой атомарных концентраций О и N на подветренной стороне, занимающий до половины всего ударного слоя. Также имеет место утоньшение диссоциированного слоя с уменьшением угла атаки,

В четвёртой главе проведена оценка затухания радиосигналов в плазменных образованиях, возникающих у поверхности аппарата. Использовалась программа, реализующая достаточно универсальный импедансный метод численного решения волнового уравнения, описывающего падение плоской электромагнитной волны на плоскослоистую среду [9,10]. Расчёты коэффициентов прохождения радиосигналов были выполнены на наветренной, боковой и подветренной сторонах слабозатупленного конуса в

диапазоне радиоволн от Я =0.3, 1.5 м, что позволяет представить общую картину состояния радиосвязи с аппаратами на больших высотах, где разрушение теплозащитного покрытия отсутствует.

Наибольший интерес при оценке условий радиосвязи с аппаратом представляет его боковая поверхность. На рис.2 приведены результаты расчётов затуханий радиоволн в плазме у боковой поверхности конуса для пространственного неравновесного режима с углом атаки 20 градусов. Как и данные расчётов аэрофизических параметров, они показывают, что увеличение толщины ионизованного слоя на подветренной стороне приводит к существенному возрастанию затухания по сравнению с наветренной стороной.

Калибры

-*• подветренная Л*0.3м{дм) подветренная А>1.5м(м) -►-боковая Л=0.3м(дм) -»-боковая Л*1.5м(м) -*- наветренная Л»0.3м(дм) -*- наветренная А«1,5м(м)

Рис. 2. Затухание по длине конуса.

Параметры неравновесного режима: М=20, Н-53 Jkm, «=20°, 0=7°, R.=0.0508m, Re=14080, Т«=3600 К.

Из рис.2 видно, что с увеличением толщины плазменного слоя на подветренной стороне по длине конуса, затухание радиосигнала в обоих диапазонах также увеличивается. Величина затухания достигает 150 дБ на расстоянии 11 калибров от носка, несмотря на уменьшение интенсивности плазменных образований в дальних сечениях с 4-10"[1/см5] на 5-ом калибре до 2-10"[1/см3] на 11-ом калибре. Для рассмотренных углов атаки различие в прохождении радиоволн для метрового и дециметрового диапазонов на

подветренной стороне составляет 25% в сторону уменьшения затухания для дециметров по всей длине конуса. Для волн метрового диапазона критическое значение концентрации заряженных частиц, при котором радиосвязь с аппаратом нарушается, оказывается значительно ниже, чем для дециметрового [1]. Таким образом можно сказать, что величина ионизованного слоя на подветренной стороне с сохранением интенсивности уровня заряженных частиц оказывает существенное воздействие на характер затухания радиоволн.

С наветренной и боковой сторон, напротив, можно отметить уменьшение затухания по длине конуса с образованием локального максимума в районе сопряжения сферического затупления с конусом.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

1. Использована физико-математическая постановка задачи в криволинейных координатах пространственного сверх- и гиперзвукового обтекания тел в рамках полных уравнений Навье-Стокса с учётом диффузии, неравновесных реакций диссоциации и ионизации, неравновесных реакций на неразрушающейся поверхности обтекаемого тела. Дано упрощение математической модели обтекания на основе параболизованных уравнений Навье-Стокса в приближения тонкого слоя.

2. Разработан эффективный численный метод решения полных (параболизованных) уравнений Навье-Стокса с учётом неравновесных физико-химических процессов на базе метода установления с использованием принципа разделения задачи обтекания по физическим процессам. Для расчёта обтекания удлинённых тел применяется разделение всей области интегрирования на ряд взаимно перекрывающихся подобластей и последовательный расчёт в каждой из них. Использование в численном методе расщепление задачи обтекания по физическим процессам позволяет рассчитывать параметры течений около летательных аппаратов в различных физических постановках: от невязких течений без учёта диссипативных

процессов до течений вязкого теплопроводного газа с неравновесными физико-химическими реакциями в газовой фазе. Для решения невязкой задачи обтекания интегрируются только уравнения Эйлера («невязкий» блок). Для расчётов течений с диссипативными процессами используются полные уравнения Навье-Стокса («невязкий» и «вязкий» блоки совместно). Включение в численную схему уравнений химической кинетики (блок релаксационных уравнений) позволяет моделировать течения вязкого теплопроводного газа с неравновесными физико-химическими процессами в газовой фазе.

3. Разработан программный комплекс моделирования пространственного обтекания затупленных тел вязкой многокомпонентной химически реагирующей смесью газов с учётом влияния неравновесных физико-химических процессов. Раздельное решение физически обособленных систем уравнений, с использованием для каждой из них наиболее эффективной численной схемы решения, даёт для предложенного численного метода существенные преимущества в производительности при решении неравновесной задачи обтекания по сравнению с универсальными неявными методами сквозного счёта. Это, в свою очередь, позволяет проводить параметрические расчёты пространственных неравновесных течений около тел сложной геометрической формы на основе полных уравнений Навье-Стокса. При этом затраты машинного времени при моделировании сверхзвукового обтекания остаются приемлемыми для инженерных расчётов.

4. Проведён сравнительный анализ результатов расчётов, полученных с использованием разработанного численного метода, с данными натурных испытаний, экспериментов и с расчётами других авторов. Качественное и количественное согласование параметров неравновесных течений позволяет судить о правильности расчёта химических концентраций в ударном слое. Количественные отличия обусловлены различными моделями химических реакций сравниваемых методик (включающими в себя константы скоростей химических реакций и граничные условия). При этом отмечается хорошее согласование концентраций, достигших сравнительно больших величин

(атомарный кислород). Несколько большие различия наблюдаются в концентрациях компонентов, величины которых малы. Для заряженных частиц (электронов е") можно отметить удовлетворительное, с точки зрения использования расчётных значений в прогнозировании затуханий радиосигнала в прибортовой плазме, согласование концентраций с экспериментальными данными.

5. Исследованы особенности неравновесных пространственных течений около затупленных конусов. При изучении структуры ударного слоя для режимов с большими углами атаки (а = 20") было установлено, что максимальная степень ионизации газа с подветренной стороны тела всего лишь в три раза меньше, чем с наветренной. С другой стороны, ионизованный слой с подветренной стороны имеет гораздо большую (примерно в 13 раз) толщину, чем с наветренной. Отсюда следует, что ионизация и диссоциация газа происходит преимущественно с подветренной стороны тела. Эти же процессы оказывают решающее влияние на параметры газа, находящегося в следе за телом. Поперечное течение газа в отрывной области на подветренной стороне тела в значительной степени влияет на протекание химических реакций в этой зоне. Поэтому адекватное моделирование неравновесных течений газа с учётом химических превращений вблизи подветренной стороны тела имеет весьма важное значение.

6. Исследовано прохождение радиосигналов различных диапазонов в пространственном неравновесном течении. Установлено, что величина отхода ударной волны с сохранением интенсивности уровня заряженных частиц на подветренной стороне оказывает существенное воздействие на характер затухания по сравнению с наветренной стороной. Так, для больших углов атаки на подветренной стороне величина затухания постоянно увеличивается по длине конуса, несмотря на уменьшение уровня интенсивности плазменных образований.

Основные результаты диссертации изложены в работах:

Забарко Д.А., Котенев В.П. Численное исследование течений вязкого газа около поверхности летательных аппаратов в рамках уравнений Навье-Стокса. И Материалы Всероссийской научно-технической конференции

«Аэрокосмические технологии» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Математическое моделирование. — Реутов. - 2002. - С. 138-144.

Забарко Д.А., Котенёв В.П. Численное исследование течений вязкого химически реагирующего газа около затупленных тел в рамках уравнений Навье-Стокса // Космическая наука и технология. Человек и космос, Киев (НКАУ, НАНУ). — 2005. Т. 11,-№ 1,-С. 36-42.

Забарко Д.А., Котенёв В.П. Численное исследование ламинарных течений вязкого химически реагирующего газа около затупленных тел // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, сер. «Естественные науки». -2006. № 1, — С. 77-95.

Забарко Д.А. Численное исследование пространственных ламинарных течений вязкого химически реагирующего газа около затупленных тел // Электронный многопредметный научный журнал «Исследовано в России», 86, - С. 817-834, - 2006. http://zhumal.ape.relam.ru/articles/2006/086.pdf.

ЛИТЕРАТУРА

1. Агафонов В.П., Вертушкин В.К., Гладков A.A., Полянский О.Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. - М.: Машиностроение, 1972. - 344 с.

2. Воронкин В.Г., Мягкова А.К. Расчёт тепловых потоков и параметров в неравновесном ударном слое на сферическом притуплении. ОФАП САПР, СИБ, вып.№ 41, 1988.

3. Епураш Н.Ф., Михайлов A.B. Расчёт прохождения радиоволн через неоднородную среду с учётом поляризации и угла падения волны. ОФАП САПР СИБ, вып. № 19, 1981.

4. Кань Сань-Вук. Неравновесное ионизованное гиперзвуковое течение около затупленного тела при низких числах Рейнольдса. — РТК, 7,

1970.

5. Павлов В.В., Макин В.Н. Теоретические исследования прохождения радиоволн через неоднородную плазменную среду. Б.М., 1974.

6. Anderson Е.С., Lewis С.Н. Laminar or Turbulent Boundary-Layer Flows of Perfect Gases or Reacting Gas Mixtures in Chemical Equilibrium П NASA CR-1893, 1971.

7. Boylan D.E. Laminar Heat Transfer on Sharp and Blunt Ten-Degree Cones in Conical and Parallel Low-Density Flow // AEDC-TR-106, Aug. 1973.

8. Cleary, Joseph W. Effects of Angle of Attack and Bluntness on Laminar Heating-Rate Distributions of a 15° Cone at a Mach number of 10.6 // NASA TN D-5450, 1969.

9. Hamilton H. Harris П. Calculation of Laminar Heating Rates on Three-Dimensional Configurations Using the Axisymmetric Analogue // NASA Technical Paper 1698, 1980.

lO.Swaminathan S., Kim M.D., Lewis C.H. Nonequilibrium Viscous Shock-Layer Flows over Blunt Sphere-Cones at Angle of Attack // Journal of Spacecraft and Rockets, July-August 1983. V. 20,331-338 p. 11 .Waskiewicz J.D., Lewis C.H. Hypersonic Viscouse Flows Over Sphere-Cones at High Angles of Attack // AIAA Paper 78-64, January 1978.

Формат 60x84716 Тираж во

Заказ 1827

Отпечатано в типографии ФГУП "НПО машиностроения" Россия, 143966, Моск. обл., г. Реутов, ул. Гагарина, 33

Введение.

Глава 1. Математическая модель неравновесного сверхзвукового обтекания тел в рамках уравнений Навье-Стокса.

1.1. Постановка задачи

1.2. Начальные и граничные условия

1.3. Приведение уравнений к безразмерному виду.

1.4. Постановка задачи в криволинейных координатах

1.4.1. Сферическая система координат.

1.4.2. Основные уравнения в сферической системе координат

1.4.3. Формулировка задачи в векторном виде

1.4.4. Нормированная система координат

1.4 5 Уравнения в нормированной системе координат

1.5. Уравнения Навье-Стокса в приближении тонкого слоя

Глава 2. Численный метод решения.

2 1. Конечно-разностный метод расчета течения газа в ударном слое.

2.2. Расщепление по физическим процессам.

2.3 Расчетная сетка.

2.4. Разностная схема.

2.5. Построение области интегрирования.

2.6. Удовлетворение граничным условиям.

2.7. Монотонизация схемы.

Глава 3. Результаты расчетов.

3.1. Совершенный газ.

3.2. Неравновесное обтекание.

3.2.1. Осесимметричые течения.

3.2.2. Пространственные течения.

Глава 4 Методика расчета затухания радиоволн.

Настоящий обзор посвящен теоретическим исследованиям пространственных задач обтекания гладких тел сверх- и гиперзвуковым потоком вязкого, теплопроводного газа в широком диапазоне изменения чисел Рейнольдса от малых, для которых применима модель сплошной среды, и до умеренно больших, когда поток уже можно разделить на невязкое течение и пограничный слой около обтекаемого тела

Пространственный вязкий ударный слой

Уравнения пограничного слоя качественно и количественно правильно описывают течение в тонком слое около поверхности тела при больших числах Рейнольдса. Однако в верхних слоях атмосферы, когда характерные числа Рейнольдса становятся Re^ < 103, классическая модель разбиения возмущенной области течения на невязкое течение и пограничный слой становится неприменимой. Поэтому для исследования течения при умеренных числах Рейнольдса широкое распространение получила теория вязкого ударного слоя. Основное преимущество этой теории состоит в пригодности соответствующих уравнений во всей возмущенной области течения от ударной волны до поверхности тела. В зависимости от числа Маха набегающего потока различают модель гиперзвукового или тонкого вязкого ударного слоя (ТВУС) (при Мл » 1) и модель полного вязкого ударного слоя (ПВУС).

Гиперзвуковой вязкий ударный слой

Впервые модель ТВУС для расчета гиперзвукового обтекания плоских и осесимметричных тел при умеренно больших числах Рейнольдса предложил в 60-е годы Н. К. Cheng. В предположении у 1 ,МХ » I, Re0 = p^V^Rj-> К = £"Re0 =0(1) вся область течения разбивалась на два подслоя: вязкий ударный слой, примыкающий к телу и зона перехода через скачок уплотнения. Поскольку уравнения, описывающие течение в области перехода через скачок, допускают однократное интегрирование, то полученные таким образом соотношения, называемые обобщенными соотношениями Рэнкина-Гкмонио, можно использовать в качестве граничных условий на внешней границе вязкого ударного слоя. Поэтому задачи о течении в собственно ударном слое и в структуре ударной волны можно решать отдельно друг от друга. В отличие от классических условий Рэнкина-Гюгонио обобщенные условия учитывают влияние эффектов молекулярного переноса в области непосредственно за головным скачком уплотнения и тем самым влияют на течение во всем ударном слое.

Полный вязкий ударный слой

Полные уравнения вязкого ударного слоя являются естественным обобщением модели ТВУС. Они содержат все члены, вносящие вклад во второе приближение пограничного слоя, включающее эффекты вытеснения пограничного слоя, вихревого взаимодействия, влияние продольной и поперечной кривизн, эффект скольжения и скачка температуры на обтекаемой поверхности, и все члены уравнений Эйлера. Уравнения рассматриваются во всем ударном слое от тела до ударной волны, которая является внешней границей области течения. Впервые такой подход для двумерных течений совершенного газа предложил А И Толстых (см. О М Белоцерковский и ДР- [6])

В качестве граничных условий к системе уравнений ПВУС на ударной волне используются обобщенные условия Рэнкина-Гюгонио, а на поверхности тела для тангенциальных компонент вектора скорости ставятся условия прилипания, для температуры - условия, соответствующие охлажденной или теплоизолированной поверхности. В случае малых и умеренных чисел Рейнольдса граничные условия видоизменяются с учетом эффектов скольжения и скачка температуры.

Сопоставление полных уравнений Навье-Стокса с системой уравнений ПВУС показывает, что в последних опущены члены, имеющие порядок

O(Re0)-1 и выше. При К = <s"Re0 =0(1) точность такого приближения совпадает в асимптотическом смысле с точностью уравнений ТВУС в области их применимости.

Важным достоинством модели ПВУС является то, что в ней можно не предполагать, что ударный слой тонок, т.е. не требовать, чтобы параметр е был мал. Отсюда следует возможность применения рассматриваемой модели для расчета обтекания тел при небольших сверхзвуковых скоростях набегающего потока, включая режимы, для которых ударный слой не является тонким на всей наветренной части обтекаемого тела

В большинстве задач обтекания в потоке имеются области как дозвуковых, так и сверхзвуковых скоростей. Например, при обтекании со сверхзвуковой скоростью тел имеющих затупленную носовую часть Это усложняет решение задачи.

Одним из первых методов решения уравнений ПВУС, позволивший преодолеть трудности, связанные с дозвуковым течением газа в некоторых областях ударного слоя, был метод глобальных итераций по всему полю течения, предложенный для двумерных задач R. Т. Davis'oM [53]. В рамках этого метода форма ударной волны и эллиптические члены в уравнениях, учитывающие распространение вверх по потоку, считаются известными из предыдущей итерации, причем для расчета первого приближения используется модель ТВУС. Однако попытки использовать метод глобальных итераций в этом виде для сферически затупленных конусов с малыми углами полураствора встретили ряд затруднений, т.к. модель ТВУС дает отрыв на подветренной стороне тела.

Для преодоления этих трудностей было предложено изменить способ задания начальных данных, а также применить метод релаксации при определении формы ударной волны. Кроме того, было введено сглаживание угла наклона ударной волны, а в окрестности разрыва кривизны поверхности тела использована специальная разностная запись продольных производных, учитывающая условие непрерывности физических составляющих вектора вдоль контура тела. Для получения устойчивого решения при расчете течения около тел, где ударный слой не является тонким, важным было также предложение совместного решения системы уравнений первого порядка (уравнение неразрывности и уравнение импульсов в проекции на нормаль) путем векторной прогонки.

Первые работы по применению метода глобальных итераций к решению трехмерных уравнений ПВУС выполнили A. L. Murray и С. Н. Lewis [63]. Был проведен расчет обтекания однородным газом сферически затупленных конусов с малыми углами полураствора под углами атаки а= 04-38°. В этих работах численное решение начиналось на сферическом затуплении в осесимметричной постановке Результаты, полученные на границе осесимметричной области, использовались в дальнейшем как начальные данные для решения трехмерной задачи, начинающейся от плоскости симметрии на наветренной стороне тела При этом необходимое для замыкания задачи значение градиента давления в окружном направлении аппроксимировалось по расчетным данным из таблиц невязкого сверхзвукового обтекания этого же тела. По завершению цикла по окружной координате делался шаг по маршевой координате вниз по потоку. В каждой расчетной области уравнения решались последовательно в следующем порядке, уравнение импульсов в проекции на окружную координату, уравнение энергии, уравнение импульсов в проекции на маршевую координату, уравнение неразрывности для определения отхода ударной волны, совместное решение уравнения неразрывности и уравнения импульсов в проекции на нормаль. На основании проведенных расчетов сделан вывод, что уравнения ПВУС позволяют с хорошей точностью получить полную картину обтекания при малых углах атаки. При больших углах атаки модель вязкого ударного слоя дает удовлетворительные результаты на наветренной стороне и непригодна для исследования течения на подветренной стороне тела.

В дальнейшем указанный метод был распространен на решение трехмерных уравнений ПВУС с учетом протекающих в потоке различных физико-химических процессов. S. Swaminathan, М. D. Кип и С. Н. Lewis [69] рассмотрели неравновесное течение диссоциированного воздуха около затупленных по сфере конусов, обтекаемых под небольшими (до 10°) углами атаки. Режимы полета соответствуют высотам 70.104, 83.82 км и числу Маха 27.18. В качестве химической модели применяется семикомпонентная гаювая смесь. Граничные условия на теле - полностью каталитическая поверхность Диффузионная модель ограничена бинарной диффузией. В работе [50] показано, что концентрация электронов слабо зависит от степени упрощения диффузионной модели Рассматривается влияние различных типов граничных условий (прилипания, скольжения) на концентрацию химических компонентов смеси. Сравнение показывает, что результаты расчетов с граничными условиями прилипания ближе к экспериментальным данным.

Другой метод, нашедший наряду с методом глобальных итераций достаточно широкое применение для решения системы уравнений ПВУС - это метод установления. В этом методе в качестве исходных используются нестационарные уравнения ПВУС, а искомое решение получается как предел установления по времени. В этом случае вначале установлением решалась задача в области затупления, а затем, также установлением по времени, находилось решение в узких перекрывающихся областях, последовательно перемещающихся вдоль тела. Возникающие при этом интенсивные осцилляции параметров поперек ударного слоя сглаживались методом четвертого порядка. Отмечено, что если для определения формы ударной волны и распределения давления по телу требуется порядка 103 шагов по времени, то для получения стационарного значения теплового потока требуется гораздо большее число шагов [24].

Решение параболизованных уравнений Навье-Стокса

Остановимся теперь на работах, использующих для решения рассматриваемых в обзоре задач, параболизованные уравнения Навье-Стокса (ПУНС). Несмотря на значительные вычислительные трудности, связанные с созданием устойчивых численных алгоритмов для этой модели, начиная с середины 70-х годов известно большое число работ (особенно зарубежных), в которых сверхзвуковое обтекание тел потоком вязкого газа изучается в рамках параболизованных уравнений Навье-Стокса. Сравнение проведенных в ее рамках расчетов с экспериментом позволяет считать, что для решения многих практически важных задач можно с успехом использовать такие параболизованные модели течения. Можно отметить большую эффективность модели параболизованных уравнений Навье-Стокса для решений струйных задач, течения в следе.

Система ПУНС получается из исходной системы уравнений Навье-Стокса пренебрежением эффектом молекулярного переноса в направлении основного течения газа в ударном слое (маршевом направлении) При этом возможны два случая. В первом из них данные эффекты учитываются лишь в направлении, перпендикулярном по отношению к поверхности тела (система уравнений ПУНС в приближении тонкого слоя), а во втором производится учет эффектов молекулярного переноса и в окружном направлении. В последнем случае система ПУНС позволяет изучать течения, в которых могут иметься возвратные в окружном направлении течения. Это становится особенно важным при расчете обтекания тел под большими углами атаки, когда, как показывает опыт, на подветренной стороне тела возникает протяженная зона возвратных поперечных течений, простирающаяся в окружном, направлении.

С использованием ПУНС в работе авторами J. D. Waskiewicz и С. Н Lewis [73] было рассмотрено обтекание сферически затупленных конусов с углом полураствора 6 = 1° и 10° при параметрах набегающего потока а = 10°, 23°, 38°, Л^. =10.17, 18,22.7 и Re, = 104* 106. Вся исходная область течения разбивалась на две В первой из них, расположенной в окрестности затупления, где скорость газа в маршевом направлении была дозвуковой, решение находилось в рамках модели ПВУС методом, который предложили в работе [74] J. D. Waskiewicz, A. L. Murray и С. Н. Lewis Метод базируется на схеме с последовательным решением уравнений, с тем отличием, что дифференциальные уравнения первого порядка (уравнения неразрывности и движения в проекции на нормаль) решаются совместно Отмечено, что предложенная модификация существенно повышает устойчивость схемы и качество полученного решения В сверхзвуковой области решение продолжалось в рамках модели ПУНС методом S С Lubard'a и W. S. HelliweFa. Поскольку в процессе решения головная ударная волна выделялась, то для замыкания задачи и определения формы скачка использовалось уравнение неразрывности, в котором производные по нормали к скачку аппроксимировались односторонними разностями. В работе подробно исследован вопрос о влиянии различных способов определения окружного градиента давления на основные характеристики течения и размеры шага в маршевом направлении. На основании сравнения с экспериментом сделан вывод, что применение указанного комбинированного метода расчета позволяет удовлетворительно рассчитать структуру течения вязкого газа около сферически затупленных конусов под большими углами атаки при сверх- и гиперзвуковых скоростях потока.

Как отмечают R. Т. Davis и S. G. Rubin, при расчете ПУНС точность получаемого решения в сильной степени зависит от правильного выбора маршевого направления Это становится особенно важным при больших углах атаки, когда линии тока достаточно сильно отклоняются от направлений, задаваемых при обычно используемых системах координат, связанных с телом. В связи с этим М. D. Kim, R. R Thareja и С Н Lewis [59] предложили выбирать в качестве маршевого направления линии тока внешнего невязкого течения на поверхности тела. Сравнение результатов расчета для умеренных углов атаки хорошо согласуется с решениями полученными ранее.

В работе [49] авторами [Bhutta, Lewis] разработан метод решения параболизованных уравнений Навье-Стокса, позволяющий рассчитывать трехмерные неравновесные гиперзвуковые течения при больших углах атаки около конусов с изломами образующей. Используется расщепление задачи о течении неравновесной газовой смеси на две: решение газодинамической задачи и расчет химических превращений В результате поочередного решения итерационным методом этих задач учитывается взаимное влияние газодинамических и химических процессов. Интегрирование уравнений производится маршевым методом при помощи схемы, построенной по типу «предиктор-корректор». Особое внимание уделяется адекватному учету сильного взаимодействия продольного течения с поперечным потоком в отрывной области на подветренной стороне тела. В качестве примера использования настоящего метода решения ПУНС проведены расчеты трехмерного обтекания затупленного по сфере конуса при числе Маха, равном 20, и угле атаки соответствующем 20 градусам Причем для оценки точности данного метода и его эффективности при больших углах атаки проведено сопоставление решений, полученных на трех различных сетках. Анализ результатов расчета трехмерного обтекания тела неравновесным гиперзвуковым потоком показывает, что при больших углах атаки диссоциация кислорода и азота, а также образование И(У протекают гораздо интенсивнее с подветренной стороны тела, чем с наветренной. Более сильная диссоциация газа по мнению авторов обусловлена тем, что на подветренной стороне тела формируется обширная область высокотемпературного газа. В этой области на подветренной стороне тела будет наблюдаться значительное увеличение концентрации свободных электронов. Сравнение результатов расчетов на сетках с различным числом узлов показывает, что измельчение сетки сопровождается вполне приемлемым (до 2-х раз) увеличением затрат машинного времени. Кроме того, сопоставление этих результатов позволяет заключить, что для достижения необходимой точности расчета распределений плотности теплового потока и коэффициента поверхностного трения, используемая в расчетах сетка должна иметь достаточное сгущение узлов в области отрыва поперечного потока Причем такое сгущение необходимо как по нормали к оси тела, так и в поперечном к потоку направлении. Разработанный метод решения трехмерных уравнений, алгоритм которого предусматривает нахождение решения на каждом маршевом шаге при помощи итерационной процедуры (т.е. методом установления). Метод позволяет рассчитывать пространственные течения с высокой точностью при относительно малых затратах машинного времени Это обсюятельство дает возможность вести интегрирование уравнений с большим шагом по маршевому направлению, что значительно сокращает суммарное время счета.

Наряду с анализом трехмерных течений с использованием точных моделей, основанных на уравнениях Навье-Стокса, достаточно широкое распространение получили различные приближенные подходы в расчете уравнений пространственного пограничного слоя, позволяющие в ряде случаев получить достаточно точное для инженерных приложений решение исходной задачи.

Метод осесимметричной аналогии.

В основе метода лежит предположение о том, что в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения (jc1 = const - линии тока невязкою течения на поверхности тела, х2 = const - их ортогональные траектории), скорость и2, поперечная линиям тока внешнего течения и ее производные малы по сравнению со скоростью вдоль линии тока Отметим, что поскольку поперечная скорость на поверхности тела и на внешней границе пограничного слоя равна нулю, предположение о малой интенсивности вторичного течения достаточно обосновано. Этот метод использует поле рассчитанного невязкого трехмерного течения, необходимое для вычисления поверхностных линий тока, метрических коэффициентов и граничных условий пограничного слоя.

В работе [55] рассмотрено обтекание сферически затупленного конуса с углом полураствора 15°. Приведено сравнение с экспериментальными данными. Режим обтекания соответствует а =0°, 20°, Mv = 10.6, Ree = I.3M06 [1/м], радиус затупления равен 0.95 и 2.79 см. Отмечается хорошее согласование отношений тепловых потоков с экспериментальными данными как на наветренной, так и на подветренной сторонах тела.

Однако в литературе достаточно часто встречаются упоминания о хорошем согласовании приближенных подходов на наветренной стороне тела и о значительных погрешностях результатов, когда возникает отрыв потока.

Заключение

Уравнения вязкого ударного слоя (ВУС) описывают течение во всем ударном слое с помощью единой композитной системы уравнений, одинаково пригодной как в невязкой, так и в вязкой областях течения Тем самым исключается проблема асимптотического сращивания решений уравнений пограничного слоя и уравнений Эйлера при не очень больших числах Рейнольдса (Re^ < 103). Эта система уравнений обычно решается методом установления в дозвуковых областях течения и маршевым методом в сверхзвуковых с той или иной аппроксимацией маршевого градиента давления в дозвуковом приповерхностном слое. В последнее время для решения двумерных уравнений ВУС развит метод глобальных итераций, позволяющий эффективно рассчитывать течение во всем ударном слое с наличием до- и сверхзвуковых областей единообразным способом в широком диапазоне параметров без привлечения каких-либо других расчетных данных Развитие метода глобальных итераций на трехмерные задачи позволит значительно сократить затраты времени на решение и даст возможность практически осуществить серийные расчеты задач сверхзвукового обтекания в широком диапазоне чисел Рейнольдса и Маха

Наиболее популярной моделью для решения подавляющего числа задач сверх- и гиперзвукового обтекания, особенно у американских авторов, является модель ПУНС, для решения которой в настоящее время разработан ряд эффективных численных методов. Эта модель оказалась достаточно точной, сравнительно просто поддающейся эффективному численному решению и экономичной по затратам машинного времени по сравнению с решением и полных уравнений Навье-Стокса. В связи с чем она стала весьма полезной в инженерных приложениях

Разработка численных методов остается в будущем в центре внимания математиков-вычислителей и специалистов по вычислительной аэродинамике. В процессе естественного отбора наибольшее распространение получат методы, дающие более точные результаты, обладающие высокой скоростью сходимости, легко программируемые и надежные, даже в ущерб их универсальности.

Необходимость разработки нового программного комплекса была обусловлена тем, что имеющиеся программы не позволяют надежно рассчитывать режимы течения с учетом физико-химических превращений в ударном слое, соответствующие высотам менее 40 км и числам Маха более 10 в набегающем потоке. Кроме того, применение известных программ для параметрических расчетов трехмерных течений в инженерной практике неэффективно в силу неоправданно больших временных затрат.

Заключение

Применение моделей, основанных на уравнениях Навье-Стокса с учетом неравновесных физико-химических превращений в потоке, позволяет пересчитывать экспериментальные данные на реальные условия полёта гиперзвуковых летательных аппаратов, а также сократить количество дорогостоящих экспериментов по определению аэродинамических, тепловых и прочностных характеристик изделий.

Анализ известных численных методов решения задач сверхзвукового пространственного обтекания тел потоком воздуха позволяет сделать вывод, что наиболее удобными и универсальными являются конечно-разностные методы сеток. Среди них можно выделить методы «сквозного счета», позволяющие рассчитывать с приемлемой точностью поле течения около реальных летательных аппаратов без выделения неизвестных до решения задачи внутренних поверхностей разрыва газодинамических параметров

На базе метода установления нестационарных уравнений газовой динамики и химической кинетики по времени с использованием принципа разделения задачи обтекания по физическим процессам разработан эффективный численный метод решения полных (параболизованных) уравнений Навье-Стокса с учетом неравновесных физико-химических процессов. Использование криволинейной системы координат, локально-близкой к линиям тока течения, позволяет адекватно учитывать поведение параметров в областях больших градиентов и расширить применимость метода для расчётов обтекания тел под большими углами атаки. При этом используемая консервативная форма записи уравнений газовой динамики позволяет наиболее точно удовлетворять разностным аналогам интегральных законов сохранения. Кроме того, для расчета обтекания удлиненных 1ел используется разделение всей области интегрирования на ряд взаимно перекрывающихся подобластей и последовательный расчет в каждой из них. Данное разделение области возможно в силу слабой передачи возмущений вверх по потоку при обтекании тел сверхзвуковым набегающим потоком вязкого газа.

Качественное и количественное согласование параметров неравновесных течений с экспериментальными и теоретическими данными из других источников свидетельствует о надежности используемого численного метода для определения параметров и структуры вязкого ударного слоя, в том числе тепловых потоков к поверхности тела, в широком диапазоне параметров набегающего потока Количественные отличия обусловлены, скорее всего, различными моделями химических реакций сравниваемых методов, включающими в себя константы скоростей химических реакций и граничные условия. При этом отмечается хорошее согласование концентраций, достигших сравнительно больших величин (атомарный кислород). Несколько большие различия наблюдаются в концентрациях компонентов, величины которых малы. Для заряженных частиц (электронов с~) можно отметить удовлетворительное, с точки зрения использования расчетных значений в прогнозировании затуханий радиосигнала в прибортовой плазме, согласование концентраций с экспериментальными данными

Проведенное численное исследование пространственного неравновесного обтекания затупленного конуса под различными углами атаки выявило характерные особенности и закономерности трехмерных течений реального газа. Так, при изучении структуры ударного слоя для режимов с большими углами атаки было установлено, что максимальная степень ионизации газа с подветренной стороны тела до трех раз меньше, чем с наветренной. С другой стороны, ионизованный слой с подветренной стороны имеет гораздо большую (примерно в 13 раз) толщину, чем с наветренной. Отсюда следует, что ионизация и диссоциация газа происходит преимущественно с подветренной стороны тела. Эти же процессы оказывают решающее влияние на параметры газа, находящегося в следе за телом. Поперечное течение газа в отрывной области на подветренной стороне тела в значительной степени влияет на протекание химических реакций в этой зоне. Поэтому для детального изучения структуры течения и химического состава газа точность описания газодинамических и химических процессов в зоне отрывного течения имеет весьма важное значение

Исследование прохождения радиосигнала в пространственном неравновесном потоке показало, что величина отхода ударной волны с сохранением интенсивности уровня заряженных частиц на подветренной стороне оказывает существенное воздействие на характер затухания по сравнению с наветренной стороной. Так, для больших углов атаки на подветренной стороне величина затухания постоянно увеличивается по длине конуса.

Анализ полученных результатов свидетельствует о возможности применения предложенного метода для расчета параметров пространственного химически неравновесного вязкого ударного слоя, включая характеристики прибортовой плазмы, а также определение аэродинамических и тепловых нагрузок летательных аппаратов, интервалов прекращения радиосвязи. Затраты машинного времени остаются приемлемыми и значительно меньшими, чем при использовании полностью неявных схем во всей рассматриваемой области без выделения головной ударной волны.

Основные условные обозначения

ВУС - вязкий ударный слой, ДСК - декартовая система координат, КСК - криволинейная неортогональная система координат,

НССК - нормированная сферическая системы координат,

НСК - нормированная система координат,

ПВУС - полный вязкий ударный слой;

ПУНС - параболизованные уравнения Навье-Стокса,

ССК - сферическая система координат;

ТВУС - тонкий вязкий ударный слой;

ЦСК - цилиндрическая система координат;

А - произвольное целое число, задающее отношение наибольшего шага сетки к наименьшему; с - местная скорость звука; р. с = — - массовая концентрация / -ои компоненты; Р

С - удельная теплоемкость смеси при постоянном давлении;

С' - молярная теплоемкость / -ой компоненты при постоянном давлении,

I) - скорость распространения волны по частицам газа;

Div - дивергенция тензора;

Dt - эффективный коэффициент диффузии;

1 Р с =-— - внутренняя энергия единицы массы газа; у-\р а~ - электронная компонента; с - энергия колебательных степеней свободы; ( уЛ S

Ki 5 £2 'ft r р= ] р I р у-\р у — \ р р К у Р V2 2 к = 1.38-10"21 Дж/К° к к, К, L

Л Sct т т, тх

N. Р

- полная внутренняя энергия единицы объема,

- напряженности поля падающей, прошедшей и отраженной волн;

- матрица фундаментального метрического тензора,

- ковариантные базисные вектора; р е + — - энтальпия газа; Р

- энтальпия / -ой компоненты; -энтальпия образования / -ой компонент;

- полная энтальпия газа в однородном набегающем потоке;

- постоянная Больцмана;

- комплексное волновое число, характеризующее плазменную среду;

- константы скоростей обратных реакций;

- константы равновесия;

- характерный линейный размер;

- числа Льюиса;

- молекулярный вес смеси; -молекулярный вес / -ой компоненты;

- молекулярный вес набегающего потока;

- число Маха;

- определяет номер сеточного узла, с которого вводится неравномерная сетка;

- давление; fiC

Pr =-- = 0.72 - число Прандтля; X fdp q = Я

- тепловой поток; qJl{ - нормальная скорость скачка; R,0,<p - координаты в ССК;

Ra -универсальная газовая постоянная;

Re^. = ^ - число Рейнольдса;

Rn - радиус затупления носка;

R, Т - комплексные коэффициенты отражения и прохождения;

St = - - , - число Стантона;

S,,j - компоненты тензора скоростей деформации,

Sw - длина дуги на поверхности тела, отнесенная к радиусу затупления,

Sct = — D, - числа Шмидта / -ой компоненты; Р t - время;

Д?АФЛ - временной шаг по критерию Куранта-Фридрихса-Леви для линейных гиперболических уравнений в частных производных;

Т - температура; и, v, w - компоненты вектора скорости V;

J, = -pDt grad у, - массовый поток / -ой компоненты вследствие диффузии;

V - вектор скорости;

V„,Vt - проекции вектора скорости на нормаль и касательную плоскость к поверхности ударной волны;

Wt - источник образования / -ой компоненты; x,y,z - координаты в ДСК, с, т xt = —— - мольные концентрации; mt а -угол атаки;

Р - коэффициент прохождения радиосигнала; Р - угол поворота СК;

8* - толщина ударного слоя;

- характеристические потенциалы столкновений; у - показатель адиабаты, у, - эффективный показатель адиабаты;

П, с, у, = = — - размерные концентрации компонентов; тк т, rjt = -J—£- - концентрации компонентов; mt

Ф - функции для источниковых членов реакций;

Л - коэффициент теплопроводности;

Л - длина волны излучения; i - коэффициент вязкости неравновесной смеси; д - коэффициенты вязкости чистых однокомпонентных) газов; v - эффективная частота столкновений;

0 - угол полураствора конуса; р - плотность; р = ррл - размерная плотность; pt - плотность / -ой компоненты, сг - коэффициент запаса (~0.9), сг - диаметры столкновений; - координаты в НССК, Qj2 2]* - интегралы столкновений, VL - символы Кристоффеля,

Индексы верхние индексы

Н - обозначены невязкие члены уравнений; В - вязкие члены уравнений, нижние индексы нижний индекс означает дифференцирование по соответствующему аргументу; индекс / = 1, 2, 3,4, 5, 6, 7 ассоциируется с компонентами О, N, NO, ()2, N2, NO*, е~ соответственно;

О - соответствует параметрам в точке торможения; w - соответствует параметрам на стенке; оо - невозмущенный набегающий поток

1. Агафонов В.П , Вертушкин В.К., Гладков А А , Полянский О.Ю Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. М.: Машиностроение, 1972. - 344 с.

2. Андерсон Д, Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир. 1990. Т. 1. - 392 с , Т.2. - 336 с.

3. Бабенко К.И., Воскресенский Г П. Численный метод расчета пространственного обтекания тел сверхзвуковым потоком газа // ЖВМ и МФ, 1961. Т. 1, № 6. - С. 1051-1060.

4. Базжин А.П., Трусова О.Н., Челышева И.Ф. Влияние реальных свойств воздуха на параметры течения около эллиптического конуса Аэродинамические характеристики эллиптических конусов при больших углах атаки // Ученые записки ЦАГИ, 1970. Т. 1, № 2.

5. Белоцерковский О.М. и др Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. Теоретическое и экспериментальное исследование. ВЦ АН СССР. Препр., 1967. - 400 с.

6. Белоцерковский О.М. и др. Сверхзвуковое обтекание затупленных тел неравновесным потоком газа. Таблицы ВЦ АН СССР, 1976. Изд. 2-е.

7. Белоцерковский О.М., Расчет обтекания осесимметричных тел с отошедшей ударной волной (расчетные формулы и таблицы полей течений). ВЦ АН СССР, Москва, 1961.

8. Борн М., Вольф Э. Основы оптики, 1970.

9. Бурдельный А.К., Миносцев В.Б Расчет сверхзвуковой области пространственного обтекания тел неравновесным потоком воздуха // Изв АН СССР, МЖГ, 1972.-№2.

10. Власов В.И Метод расчета вязкого ударного слоя с учетом неравновесных физико-химических процессов // Космонавтика и ракетостроение. 1997. -№ 11. С. 5-12.

11. Воронкин В.Г. Неравновесный вязкий ударный слой на притуплённых конусах // Изв. АН СССР, МЖГ, 1979. № 6.

12. Воронкин В.Г. Расчет вязкого ударного слоя на притуплённых конусах // Изв. АН СССР, МЖГ, 1974. № 6.

13. Воронкин В.Г., Мягкова А К. Расчет тепловых потоков и параметров в неравновесном ударном слое на сферическом притуплении. ОФАП САПР, СИБ, вып.№ 41, 1988.

14. Годунов С.К., Забродин А.В., Прокопов Г.П. Разностная схема для двумерных нестационарных уравнений газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной // ЖВМ и МФ, 1961. Т. 1, № 6. - С. 1020-1050.

15. Епураш Н Ф., Михайлов А.В Методика и программа расчета прохождения радиоволн через неоднородную плазменную среду Б.М., 1976. НТО №271-2476-200.

16. Епураш Н.Ф., Михайлов А.В. Расчет прохождения радиоволн через неоднородную среду с учетом поляризации и угла падения волны, 1981, ОФАП САПР, СИБ, вып. № 19.

17. Жмакин А И , Попов Ф.Д , Фурсенко А.А. Метод сглаживания при расчете разрывных течений газа // В сб.: Алгоритмы и математическое обеспечение для физических задач. Л : 1977. № 2, - С 65-72.

18. Забарко Д.А., Котенев В.П. Численное исследование течений вязкого химически реагирующего газа около затупленных тел в рамках уравнений Навье-Стокса // Космическая наука и технология Человек и космос, Киев (НКАУ, НАНУ), 2005 Т 11,-№1 -С 36-42

19. Иванов М.Я., Никитин Т.В. К расчету пространственного обтекания сверхзвуковым потоком тел сложной формы // Ученые записки ЦАГИ, 1973 Т. 4, № 4.

20. Кань Сань-Вук Неравновесное ионизованное гиперзвуковое течение около затупленного тела при низких числах Рейнольдса // РТК 1970 Т 8,-№7.-С. 98-105

21. Кацкова О.Н., Чушкин П.И. Влияние неравновесной диссоциации на сверхзвуковое пространственное обтекание обратных конусов // Изв. АН СССР, МЖГ, 1970.-№2.

22. Кокошинская Н.С., Павлов Б.М., Пасконов В.М. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом М. МГУ, 1980. -248 с.

23. Комплексный аэротермохимический расчет летательного аппарата, движущегося в плотных слоях атмосферы. Том 5. Программный комплекс РАСКЕТ5 расчета газодинамики и конвективного теплообмена на теле произвольного очертания. НПО машиностроения. 2002г.

24. Котенев В П., Сахаров В И., Тирский Г.А. Влияние химических реакций на аэродинамические характеристики затупленных конусов // Отчет НИИ механики МГУ, 1985. № 3106.

25. Крайко А.Н. О расчете неравновесного течения газа в соплах Лаваля // Научные труды НИИ механики МГУ. 1973. -№21.

26. Лебедев С.И, Рычков А.Д Расчет течения идеального газа в осесимметричных соплах Лаваля с учетом неравновесного протекания химических реакций. Новосибирск, СО АН СССР, ВЦ ИТПМ, Численные методы МСС, 1980. Т. 11,-№5.

27. Лунев В.В. Гиперзвуковая аэродинамика. М." Машиностроение, 1975.-327 с.

28. Лунев В.В., Магомедов К М , Павлов В Г. Гиперзвуковое обтекание притуплённых конусов с учетом равновесных физико-химических превращений. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1968.

29. Любимов А.Н., Русанов В.В. Течение газа около тупых тел. М.: Наука, 1970. Т. 1. - 288 с. Т. 2. - 380 с.

30. Магомедов К.М., Холодов А.С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений //ЖВМиМФ, 1969. Т. 9,-№2.

31. Мак-Кормак У. и др. Обобщенный численный метод гиперболического типа для трехмерных сверхзвуковых течений с ударными волнами //Сб. «Численное решение задач гидромеханики», 1977.

32. Павлов Б.В., Макин В.Н. Теоретические исследования прохождения радиоволн через неоднородную плазменную среду Б М , 1974.

33. Покровский А.Н., Фролов Л.Г., Приближенные зависимости для определения давления на поверхности сферы или цилиндра при произвольном числе Маха набегающего потока // МЖГ, 1985. № 2.

34. Предводителев А.С., Ступоченко Е В., Плешанов А.С. Таблицы термодинамических функций воздуха (для температур от 6000 до 12000 К и давлений от 0.001 до 1000 атм) М • Изд-во ВЦ АН СССР, 1957

35. Предводителев А С , Ступоченко Е В , Плешанов А.С Таблицы термодинамических функций воздуха (для температур от 200 до 6000 К и давлений от 0.00001 до 100 атм). М : Изд-во ВЦ АН СССР, 1962

36. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М. Мир, 1980. - 616 с.

37. Савинов К.Г., Шкадова В.П. О применении метода установления в задаче обтекания затупленного тела неравновесным потоком // МЖГ, 1976. -№2.

38. Сахаров В И., Тирский Г.А. Расчет сверхзвукового обтекания затуплений методом установления по времени // Сб. науч. тр. университета /МГУ, «Гиперзвуковые пространственные течения при наличии физико-химических превращений», 1981

39. Сахаров В.И., Шевелев Ю.Д. О расчете стационарного невязкого обтекания пространственных тел // Изв. АН СССР, МЖГ, 1980. № 4

40. Синченко С.Г. Аппроксимация термодинамических функций воздуха // ЖВМ и МФ, 1968. Т. 8, № 4.

41. Стулов В.П., Теленин Г.Ф. Неравновесное обтекание сферы сверхзвуковым потоком воздуха// Изв АН СССР, Механика, 1965 -№ 1.

42. Численные методы в динамике жидкостей / Г.Вирц, Ж Смолдерн. Перевод под ред. О.М.Белоцерковского. М.: Мир, 1981. - 407 с.

43. Anderson Е.С., Lewis С.Н. Laminar or Turbulent Boundary-Layer Flows of Perfect Gases or Reacting Gas Mixtures in Chemical Equilibrium // NASA CR-1893, 1971.

44. Bhutta B.A., Lewis C.H. Nonequilibrium Lamihar Boundary Layer Flows of Ionized Air// Journal of Spacecraft and Rockets, 1989. -№3, 158-166 p

45. Blottner F.G., Nonequilibrium Laminar Boundary Layer Flow of Ionized Air // Rept. R64SD56, Space Sciences Laboratory, General Electric Co. -Philadelphia, Pa. Nov. 1964.

46. Boylan D.E. Laminar Heat Transfer on Sharp and Blunt Ten-Degree Cones in Conical and Parallel Low-Density Flow// AEDC-TR-106, Aug 1973.

47. Cleary, Joseph W Effects of Angle of Attack and Bluntness on Laminar Heating-Rate Distributions of a 15° Cone at a Mach number of 10.6 // NASA TN D-5450, 1969.

48. Davis R.T. Numerical solution of the hypersonic viscous shock-layer equation // AIAA Journal, 1970. V. 8, № 5, 843-851 p

49. Evans J.S., Schexnayder C.J., Huber P W. Boundary Layer electron profiles for high-altitudes entry of a blunt slender body // AIAA Journal, 1973. V. 11, -№ 10.

50. Hamilton H. Harris II. Calculation of Laminar Heating Rates on Three-Dimensional Configurations Using the Axisymmetric Analogue // NASA Technical Paper 1698, 1980

51. Hicks, Wooten. Numerical Divergence of tensor // Journal of computational physics, 1980. -№ 36

52. Huber P.W., Evans J S , Schexnayder С J. Comparison of theoretical and flight-measured ionization in a blunt body re-entry flow field // AIAA Journal, 1971. V. 9, № 6.

53. Kang S.W., Jones W Z., Dunn M G. Theoretical and measured electron-density distributions at high altitudes // AIAA Journal, 1973. V. 11, № 2.

54. Kim M.D., Thareja R.R., Lewis C.H. Three-dimensional viscous flow-field computations in a streemline coordinate system // Journal Spacecraft and Rockets, 1982. V. 19, № 1,41-46 p.

55. Kutler P., Reinhardt, Warming R. Multishocked three-dimensional supersonic flowfields with real gas effects // AIAA Journal, 1973. V 11, № 5.

56. Lax P.D., Wendroff. Systems of conservation lows // Communs Pure and Appl. Math, 1960. V. 13,-№2.

57. MacCormack R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact scattering // AIAA Paper, 1969. № 354. -17 p.

58. Murray A.L., Lewis С H. Hypersonic three-dimensional viscous shock-layer flows over blunt bodies // A1A A Journal, 1978. V 16, № 12, 1279-1286 p

59. Nachbar W., Williams F., Penner S. The conservation equations for independent coexistent continua and for multicoinponent reacting gas mixtures // Quart Appl Math , 1959. V. 17, № 1.

60. Rakich J.V, Bailey H E, Park С Computation of Nonequilibrium, Supersonic Three-Dimensional Inviscid Flow over Blunt-Nosed Bodies // AIAA Journal, 1983 V. 21, № 6, 834-841 p.

61. Reinhardt W. Parallel Computation of unsteady three-dimensional, chemically reacting, nonequilibrium flow using a time split finite-volume method on llliac IV // Journal Physic chemistry, 1977. V. 81, № 25.

62. Rizzi A.W, Bailey H.E Split Space-Marching Finite Volume Method for chemically Reacting Supersonic flow // AIAA Journal, 1976 V. 14, № 5.

63. Srivastava B.N., Werle M.L, Davis R.T. Viscous shock-layer solutions for hypersonic spherecones // AIAA Journal, 1978. V. 16, № 2, 137-144 p.

64. Swaminathan S., Kim M D., Lewis C.H. Nonequilibrium Viscous Shock-Layer Flows over Blunt Sphere-Cones at Angle of Attack // Journal of Spacecraft and Rockets, July-August 1983. V. 20, 331-338 p

65. Szema K.Y., Lewis C.H. Three-dimensional hypersonic laminar transitional and/or turbulent shock layer flows // Journal Spacecraft and Rockets, 1982. V. 19,-№ 1,88-89 p.

66. Thareja R., Szema K.Y., Lewis C.H Chemical equilibrium laminar or turbulent three-dimensional viscous shock-layer flows // Journal Spacecraft and Rockets, 1983. V. 20, № 5,454-460 p

67. Vinokur M. Conservation Equations of Gasdynamics in Curvilinear Coordinate Systems // Journal of computational physics, 1973.

68. Waskiewicz J.D., Lewis C.H. Hypersonic Viscouse Flows Over Sphere-Cones at High Angles of Attack // AIAA Paper 78-64, January 1978.

69. Waskiewicz J.D., Murray A L., Lewis C.H. Hypersonic viscous shock-layer flow over a highly cooled sphere // AIAA Journal, 1978 V. 16, -№2, 189192 p.