Численный метод решения стационарных параболизованных уравнений Навье-Стокса тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М.Б. Ломоносова Институт механики МГУ

На правах рукописи

Глазков Юрий Валентинович

Численный метод решения стационарных параболизованных уравнений Навье-Стокса

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Г.А.Тирский

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук,

В.Г.Щербак

Москва - 1991

Работа выполнена в Институте механике МГУ.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Г.А.Тирский

Научный консультант: кандидат физико-математических наук, В.Г.Щербак

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.И.Толстых кандидат физико-математических наук, сг. н. с. В.Г.Громов . Ведущая организация - Институт автоматизации проектирования

АН СССР.

% /Г

Защита состоится "27» сУ^1991 г. в " " часов на

заседании специализированного совета Д 053.05.02 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: I19899, Москва, Ленинские горы, МГУ, Главное здание, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомится в читальном зале библиотеки механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан "

Ученый секретарь специализированного совета,

профессор 'Уд ^ ^ В.П.Карликов

I - <J i ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

та.-.-;) _ )

^ссортации Актуальность темы. Несмотря на развитие численных методов их состояние таково, что расчет зад^ч обтекания вязким газом реальных космических аппаратов на современных ЭВМ не достиг того уровня, при котором возможно параметрическое исследование, необходимое для конструкторских разработок. Учет физико-химических процессов в задачах гиперзвукового обтекания приводит к еще более сложным с вычислительной точки зрения проблемам. Возможности экспериментального моделирования ограничены, т.к. действительные условия обтекания- реальных аппаратов не могут быть воспроизведены в существующих наземных установках. Отсюда следует вывод о важности дальнейших разработок точных и эффективных численных методов.

Интерес к задачам аэродинамики и теплообмена с физико-химическими превращениями был связан в 70-х и 80-х годах с разработкой космических аппаратов типа Space Shuttle, Буран, движущихся по планирующей траектории входа с низкой орбиты Земли, а с середины 80-х годов такой интерес связан с разработкой транспортных космических аппаратов, движущихся по рикошагирувдей траектории. Все процессы на больших высотах из-за низкой плотности протекают неравновесно - время их протекания сравнимо с временем пребывания жидкой частицы в потоке около тела. Однако, до последнего времени все расчеты гилерзвукового обтекания велись в рамках модели одно-температурной кинетики. Поэтому исследование задач гиперзвукового обтекания тел с учетом явлений неравновесного возбувдения внутренних степеней свободы частиц является актуальной проблемой.

Дель работы:

- разработка численного метода решения стационарных параболизо-ванных уравнений'Навье-Стокса, описываюцих обтекание затупленных тел реальным газом;

- исследование с помощью этого метода задачи о сверхзвуковом

обтекании 'затупленных тел термодинамически неравновесной смесью газов в рамках параболизованных уравнений Навье-Стокса с учетом многокомпонентной диффузии, неравновесных гомогенных и гетерогенных химических реакций.

Основные результаты и их научная новизна.

1. Предлагается новый численный метод решения стационарных параболизованных уравнений Навье-Стокса с использованием глобальных итераций (ГИ) по поли давления. Метод позволяет решать задачу единообразно, без привлечения других расчетных данных. Сходимость достигается за 10-15 ГИ. Для решения задачи в оперативной памяти требуется хранить только искомые функции на двух соседних лучах, а также поле давления и физической координаты. Это существенно экономит память, и при заданных ресурсах ЭВМ позволяет решать задачи с более полным учетом различных физических процессов в реальном газе.

2. Рассмотрены три модели химической и термодинамической неравновесности. Показано, что учет термодинамической неравновесности приводит к увеличению размеров возмущенной области на 10^20%; повышению максимума поступательной температуры на ЮОО-гЗООО0 в ударном слое.

3. Показано, что рассмотренная часть траектории входа характеризуется отсутствием равновесия между колебательными и поступательными степенями свободы. Это приводит к уменьшению степени диссоциации и к значительному увеличению содержания окиси азота в ударном слое.

4. Учет взаимного влияния колебательной релаксации и химических реакций является необходимым для правильного количественного моделирования гиперзвуковых течений с физико-химическими превращениями. При развитой диссоциации пренебрежение влиянием химических реакций на колебательную релаксацию приводит к отбра

сыванию членов, по порядку величины соответствующих величине релаксационных членов Ландау-Теллера.

S. Показано, что учет термодинамической неравновесности приводит к значительному (до 407.) увеличению теплового потока на теплонапряженном участке рассмотренной части траектории входа. Неопределенность в значениях теплового потока при постановке различных граничных условий (прилипания или скольжения и скачка температуры) в верхней точке траектории (ПОкм) составляет 297. для термодинамически равновесной модели и 607. для термодинамически неравновесных моделей.

Практическая ценность. Предложенный метод позволяет рассчитывать сверх- и гиперзвуковое обтекание затупленных тел с минимальными затратами всех ресурсов ЭВМ и, следовательно, проводить параметрические расчеты различных режимов течения в широком диапазоне определяющих параметров в рамках параболизованных уравнений Навье-Стокса с наиболее полным учетом физико-химических процессов в реальном газе.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались в Институте механики МГУ на семинарах по физико-химической газовой динамике под руководством профессора Г.А.Тирского, на V Всесоюзной школе-семинаре "Современные проблемы механики жидкости и газа" (г.Иркутск, август 1990г.), на VIII Всесоюзном совещании по механике реагирующих сред (г.Кемерово, февраль 1990г.) и получили положительную оценку.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [1-7].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 144 наименований, включает 5 таблиц и 73 рисунка. Общий объём работы 133 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении - обосновывается актуальность теш диссертации;

- содержится обзор работ, посвященных численным методам решения параболизованных уравнений Навъе-Стокса (ПУНС);

- рассматриваются различные способы регуляризации начально-краевой задачи Коши, возникающей при маршевом интегрировании системы ПУНС;

- содержится обзор работ, посвященных задачам обтекания с учетом химической и термодинамической неравновесности;

- обосновывается необходимость учета процессов молекулярного переноса (вязкость, многокомпонентная диффузия, теплопроводность) , химической и термодинамической неравновесности и их взаимного влияния (модель СШ!);

- кратко излагается основное содержание работы.

В первой главе диссертации рассматривается постановка задачи о сверхзвуковом стационарном обтекании затупленных тел двумерным потоком вязкого совершенного однокомпонентного газа. Течение рассматривается в криволинейной ортогональной системе координат связанной с поверхностью тела: положение точки в потоке определяется расстоянием по нормали до поверхности тела (координата у) и длиной образующей контура тела от критической точки до основания нормали (координата х). Выписываются необходимые геометрические соотношения, связанные с системой координат. Осуществляется и обсуждается переход от системы полных уравнений Навье-Стокса (НС) к системе ПУНС:

(I)

- + ^ = О)

" 00

^ - ^ - +

+ (4)

р = (5)

■п-гта. /' /ди ® .л г> V д , гу _ Л»

где- Гг, = 7йп - л;») • 0 = 77; Тх + 11 э» ■ Яеоо - ——

Здесь к и, Кг>, р р, р У2р, т т - физические компоненты век-

00 00 оо со оо о А

тора скорости в проекции на Яох и Яоу, плотность, давление и температура соответственно (Го = К^г ); с /у/, /V, 7 - удельная теплоемкость, коэффициент вязкости, число Прандтля и показатель адиабаты; а/Л0, Н1 - кривизна контура тела и параметр Ламе. Индекс "<ю" относится к значениям параметров в набегающем потоке, Ко - радиус кривизны в критической точке.

Далее выписываются граничные условия в набегающем потоке и на поверхности обтекаемого тела (с учётом скорости скольжения и скачка температуры).

Во второй главе предлагается численный метод решения системы (1)-(Б), позволяющий рассчитывать течение во всем ударном слое с наличием до- и сверхзвуковых областей течения единым способом без привлечения других расчетных данных.

Численный алгоритм состоит из 2-х повторяющихся этапов: на 1-ом каким-либо образом задается продольный градиент давления в уравнении (2), после чего начально-краевая задача Коши становится корректной; на 2-ом система ПУНС интегрируется маршевым способом.

На первой ГМ продольный градиент давления определяется из дополнительного уравнения первого порядка в рамках локально-автомодельного приближения уравнений НС . Решение представляется в виде рядов по продольной координате. Если ограничиться первым

приближением, то для замыкания задачи следует учитывать следующий член в разложении для давления (Као Н.С. - AIM J. 1964. V. 2. N II), который определяет продольный градиент давления:

-rfe = 2 Pg as cosa sina

Корректность задачи Коши на последующих ГИ обеспечивается аппроксимацией 2-м порядком градиента давления по значениям давления вниз по потоку, вычисленным на предыдущей ГИ. При этом на критической линии используется свойство четности функции давления:

вниз по потоку выставляются мягкие граничные условия, а в точке разрыва кривизны (сопряжение конуса и сферы) используются соотношения :

вытекающие из непрерывности поля течения, индекс "-" соответствует значению слева от точки сопряжения ( область сферического затупления) , "+" - справа.

На каждой ГИ итерации при заданных "эллиптических членах" расчет проводится маршевым методом с использованием схемы 4-го порядка точности по поперечной координате (Петухов И.Б. - 1964г.) и 2-го по продольной (Чудов Л.А. - 1971г.). Для устранения особой точки системы на поверхности тела граничное условие ® —> - ¡та, у —>оо переносится на поверхность тела однократным интегрированием уравнения количества движения (3). Приведенная функция тока находится из уравнения (2), плотность - из уравнения (3), темпе

(6)

о

ратура - из уравнения притока тепла (4), давление - из уравнения состояния (5).

Сходимость метода исследовалась численно. Было обнаружено, что величина шага по нормали не накладывает ограничений (в отличии от метода установления) на скорость сходимости. При уменьшении шага по продольной координате устойчивость исчезает. Т.к. устойчивость нарушается высокочастотными возмущениями, то предлагается ввести сглаживание поля давления по продольной координате. В результате и при малых шагах по продольной координате наблюдается устойчивость. Сходимость ГИ по профилям искомых функций достигается за 10-15 ГИ, а по тепловым потокам и трению на поверхности тела за 5-7 ГИ (в неявных методах установления сходимость достигается за ~ 100 шагов по времени).

Были проведены методические расчеты на разных сетках (§3). Решения на сетках от 10 до 40 отрезков поперек слоя практически не отличаются. При обтекании гиперболоида с углом полураствора 10° отличие решений с шагом по продольной координате х равным 0.25 и 0.125 составляет менее 1Й, отличие решения с шагом 0.5 -менее 57.. Численные результаты получены для сверхзвукового обтекания -сферы до ~ 100°, затупленных по, сфере тонких конусов, гиперболоидов с малым углом полураствора, что продемонстрировало надежность и устойчивость алгоритма.

Для иллюстрации точности метода проведено (§4) сравнение решений с многочисленными экспериментальными данными (Russell D.A., Гусев В.Н., Ferri A., Vfhittliff С.Е., Vidal R.J., Boylan D.E.), результатами расчетов других авторов с использованием полных уравнений НС (Пасконов В.М., Ковеня В.М., Яненко H.H., Молодцов В.К., Рябов В.В.),_уравнениями вязкого ударного слоя и уравнений Больцмана (Николаев К.В., Vogenitz F.M., Takata G.J.). Показана точность определения газодинамических величин и потоков.

- ю -

Определены границы применимости модели вязкого ударного слоя и локально-автомодельного приближения уравнений Навье-Стокса.

В третьей главе рассматривается постановка задачи о сверхзвуковом стационарном обтекании затупленных тел химически и термодинамически неравновесной смесью (о,, Лгг, N0, N. о) в рамках системы ПУНС.

В |)1 выписывается система уравнений, которая кроме уравнений (1)-(3) содержит уравнение притока тепла:

Л; Л'

Л'

(V)

*=М *=М *=м

уравнения баланса колебательной энергии:

К-М

(8а)

О

+ -

(8Ь)

1-М

уравнения диффузии:

1-=М *=М

,> I) г] + л Г) = о , }=

ЛМУ

(9)

соотношения Стефана-Максвелла:

= Í[£wí - И • (10)

i=j

уравнение состояния:

р = л0£г ■ (п)

Vе $ - % «) . " = i + 'i • = ^ •

N

с°=ус е° ., «ГУ .1 5= -Ь

р Z-r ' р< ' »7 ^ * ' yj ' '

i=i J ¡=i ' - - ° _ о Де Л , -

- ek < ek ~ mk ехр(Ък1'Г) - í ' efc ~ гоЛ ёхр(<дк1Гп) - 1

i — 1 j = yi=J

Здесь с Tah, m - энтальпия и молекулярная масса смеси газов, состоящей из jv химических компонентов; с, г, т, с Г Л, с с0,,

г i i pao о Г poo pi

p<sVJi p«,vJl'JRo ~ тссовая и молярная концентрации, молекулярная масса, энтальпия, теплоемкость, физическая компонента вектора диффузионного потока по нормали и скорость образования массы ¿-го компонента соответственно; Т т..,, с Те,, Т - колебательная

о U' р« о f о к

температура, удельная колебательная энергия и характеристическая температура <-ой молекулы; vmTJR 0 ~~ время релаксации; с Г р V II,/И и с 7' Г I 'Jit - источниковые члены; S. - бинарные

рх о' co те к1 о рсо о со к о ' tj г

числа Шмидта; г - универсальная газовая постоянная.

Уравнение (7) записано в форме, в которой явно выделены члены. связанные с релаксацией колебательных степеней свободы. При приближении к термодинамическому равновесию 7 - о, добавочные члеьс' исчезают и уравнение притока тепла принимает обычный вид. когда колебательные и поступательные степени свободы находятся в равновесии. Входящие в (7) удельные энтальпии и теплоемкости ком-

понентов должны вычисляться при условии термодинамического равновесия, и они брались из таблиц Гурвича, в которых принимается также равновесное состояние по электронным степеням свободы.

Уравнение (8ь) представляет результат суммирования уравнений баланса колебательной энергии одного типа молекул (8а) в предположении равенства их колебательных температур (Tv=rvt).

В §2 выписаны граничные условия для системы ПУНС. Граничные условия ставятся в набегаицем потоке и на поверхности тела, где учитываются эффекты скольжения, скачка температуры и каталитической рекомбинации атомов на стенке.

В 53 рассмотрено феноменологическое описание химической кинетики без учета влияния релаксации внутренних степеней свободы. Система гомогенных химических реакций состоит из реакций ударной диссоциации и реакций рекомбинации, а также обменных бимолекулярных реакций. Константы скоростей прямых и обратных реакций брались из работы [Kang S.W., Dunn M.G. Tiieoretical and experimental studies of reentry plasmas // NASA CR-2232. 1973.]

В §4 рассмотрено взаимное влияние колебательной и диссоциа-ционной релаксации (модель CVDV). При этом влияние релаксации колебаний на реакции диссоциации проявляется в изменении константы скорости диссоциации:

KD{T,Tn) = КЛ(Т) V(T,Tyk) ,

где к {Т) - константа скорости диссоциации при термодинамическом равновесии. При задании V(T,Tvt) использовалась модель Маггопе-Тгеапог'а [Treanor С.Е., Маггопе P.V. Chemical relaxation with preferential dissociation from exicited vibrational levels // Phys. Fluids. 1963. V. 6. N 9. P. 1022-1026.], в которой предполагается, что диссоциация происходит с определенной вероятностью с любого колебательного уровня и не нарушает больцмановского рас

пределения молекул по колебательным уровням. Тогда в предположении о больцмановском распределении с температурой г функция г имеет следующий вид:

итт ч _ Zk^TFk> 1 111

Ч 1 -,1 и J — 7 I т—I '/ /_ГА . 71— - т--Т ~ V

Vk ¿к( ivk) ¿к( U) in JVk 1 I-

где Z - статсуммы по колебательным степеням свободы. Для модели обрезанного гармонического осциллятора они выражаются следующим образом:

et 1 - eip{-TDkl Т)

Zk(T) = exр(- jj) J _ exp^k/T)

Обратное влияния химических реакций на колебательную релаксацию учитывалось через источниковые члены Rk. Для молекулярного азота, например, он выражается следующим образом:

2 Л N ■

1 = 1 1 — 1

- е ( Kfi х0 х - Кн xN iff0)]

2

Здесь Л" , 1<ъь - константы скоростей прямых и обратных реакций; eDt' eRk " cPe№HQ изменения удельной колебательной энергии при единичном акте диссоциации и рекомбинации, имеющие - следующий вид:

Для расчета времени релаксации кг обмена использовалась формула Миликена-Уайта [Milllkan R.C., White D.R. Systematics of vibrational relaxation // J. Chem. Phys. 1963. V. 39. P. 32093213.], которая удовлетворительно описывает время релаксации в диапазоне температур от 280 до 8000°К, с поправкой для температур выше 8000°, предложенной Парком [Park С. Problems of rate chemistry in the flight regimes of aeroassited orbital transfer vehicles // AIAA Paper. 1984. N 1730. lip.]:

N

1 V 1 к

т = 2^,-ш + <t'i> " •

' Ы1 T, к

где <«> - средняя тепловая скорость молекулы, п - число частиц в единице объема, а - эффективное поперечное сечение, которое принималось равным 1(Г16см2, т?* - время релаксации при столкновении I—й молекулы с А-й частицей, которое вычисляется из следующей полуэмпирической формулы:

= 5-1<Г( т/к7 е'/з (Г1/3 - 0.015 т'*) - 8.0

1_ = 1 + 1

тй п- тк

Здесь т^ - выражена в г/моль, г^"' - в секундах; р - в атмосферах; © и Т - в градусах.

В §5 определены коэффициенты переноса. Коэффициент вязкости вычислялся из формулы Уилки, коэффициент теплопроводности из формулы Массона-Саксены с учётом поправки Эйкена. Соотношения Стефана-Максвелла разрешались относительно диффузионных потоков. Рассматриваемую смесь газов можно разделить, по диффузионным свойствам компонентов, на две группы: атомы и молекулы. При этом:

амм- V = ОгНгИО

1

Ж. % = аАЛ ' У = * 1

т. у

О, 1V , з = О N N0

т. и 1

»И . = Ог Уг N0 , ] = О, N

Тогда имеем [Гершбейн Э.А. К линейной теории ламинарных многокомпонентных слоев смешения при наличии градиента давления // В сб.: Проблемы современной механики. Часть II. М. 1983. С. 36-44.]:

дс, с. ц (аД - аМ1) В8А

^ + Щ -В Л *.(«,.- «„,) '

где 6. = Ус-, , В1 = , 1 = Л, М ,

>=, ¡=1 здесь 7-2 - количество групп (¡-А, 2-&[).

В четвертой главе численный метод решения системы ПУНС обобщен на случай учета физико-химических процессов в реальном газе: химической и термодинамической неравновесности. Рассмотрены модель термодинамически равновесной смеси, и две модели термодинамической неравновесности: в одной предполагается равенство колебательных температур молекул 0,„ Л^, хо (рассматривается уравнение (8Ь)); в другой модели колебательные температуры молекул О,, Л',, Л'О отличаются между собой (рассматриваются уравнения (8а)). Численное решение получено на высотах ог 86 до ПО км и сравнивается с результатами расчетов других авторов в рамках уравнений НС и Больцмана.

Показано, что учет термодинамической неравновесности приводит к увеличению размеров возмущенной области на 10^20Я; повышению максимума поступательной температуры на ЮОСНЗООО0. Средняя колебательная температура модели с одной колебательной температурой совпадает с колебательной температурой азота и сильно отличается от колебательных температур кислорода и окиси азота.

Показано, что рассмотренная часть траектории входа характеризуется отсутствием равновесия между колебательными и поступательными степенями свободы. Это приводит к уменьшению степени диссоциации и к значительному увеличению содержания окиси азота в ударном слое.

Учет взаимного влияния колебательной релаксации и химических реакций является необходимым для правильного количественного моделирования гиперзвуковых течений с физико-химическими превращениями. При развитой диссоциации пренебрежение влиянием химических реакций на колебательную релаксацию приводит к отбрасыванию членов, по порядку величины соответствующих величине релаксационных членов Ландау-Теллера.

Показано, что учет термодинамической неравновесности приводит, к значительному (до 40%) увеличению теплового потока на теп-лонапряженной части рассмотренной траектории входа. Неопределенность теплового потока при постановке различных граничных условий (прилипания или скольжения и скачка температуры) в верхней точке траектории (II 0км) составляет 297. для термодинамически равновесной модели и 60% для термодинамически неравновесных моделей.

Список опубликованных работ по теме диссертации.

1. Глазков Ю.В., Тирский Г.А., Щербак В.Г. Метод решения пара-болизованных уравнений Навье-Стокса с использованием итераций по градиенту давления // Отчет Института механики МГУ. N 3913. 1990. 77 стр.

2. Глазков Ю.В., Тирский Г.А., Щербак В.Г. Метод решения пара-болизованных уравнений Навье-Стокса с использованием глобальных итераций. // Математическое моделирование. 1990 г. Т. 2. N 8. С. 31-41.

3. Глазков Ю.В., Щербак В.Г. Численный метод расчета сверхзвукового обтекания тел в рамках параболизованных уравнений Навье-Стокса // Тезисы докладов У всесоюзной школы "Современные проблемы МЖГ", Иркутск, 1990 г.''С. 104-105.

4. Глазков Ю.В., Тирский Г.А., Щербак В.Г. Численный метод решения параболизованных уравнений Навье-Стокса в задачах сверхзвукового обтекания тел /У Док. АН СССР. 1990. Т. 315. N 6. С. 1322-1325.

5. Глазков Ю.В., Щербак В.Г. Метод глобальных итераций по градиенту давления для решения параболизованных уравнений Навье-Стокса // Моделирование в механике. Новосибирск, 1990г. Т. 4. N 5. С. 75-62.

6. Глазков Ю.В., Щербак В.Г. Решение параболизованных уравнений Навье-Стокса методом итераций по градиенту давления // Вестник МГУ, сер. "Математика, механика". 1991г. N 4. С. 52-57.

7. Глазков Ю.В., Тирский Г.А., Щербак В.Г. Численное исследование химически и термодинамически неравновесного вязкого обтекания затупленных тел в рамках параболизованных уравнении Навье-Стокса // Отчет Института механики МГУ. N 4053. 1991г. 73с.

Подписано к печати 1.УП.1991 г. Формат 60 X 90 1/16 Объем 1 п.л.

Заказ 4214 Тираж 100 экз.

Ротапринт Института механики МГУ