Численное исследование неупорядоченных решетчатых систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

У/

С)

О /0

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМЙЗДА^К

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЩСК ФИЗИКИ

' \ . л-------/ 1

имени Л.Д.-

***** УГ ^^

Л

правах рукописи

ЩУР Лев Николаевич

УДК 515.14:541.64

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ РЕШЕТОЧНЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.04.02 - Теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ЧЕРНОГОЛОВКА - 1998

Содержание

I Модель Изинга на случайной решетке. 15

I Введение. 15

II Алгоритмы 17

А Метод Метрополиса ..........................................................19

Б Кластерные алгоритмы и модель коррелированной перколяции..........21

В Алгоритм Вольфа..............................................................23

Г Кластерный специализированный процессор................................25

III Критическая область двумерной модели Изинга. 27

А Намагниченность и восприимчивость....................28

Б Теплоемкость..................................................................43

IV Теплоемкость модели Изинга с немагнитными примесями 49

А Постановка задачи............................................................50

Б Модель и детали вычислений................................................53

В Два максимума теплоемкости....................... . 62

V Влияние качества псевдослучайных чисел на результаты 71

А Скейлинг систематических ошибок для 2Б модели Изинга................76

Б Скейлинг систематических ошибок для ЗБ модели Изинга................86

В Практические выводы про генераторы......................................90

VI Заключение. 93

II Кластеры в критической точке. 94

VII Введение. 95

VIII Алгоритмы для перколяционных задач 100

IX Число протекающих кластеров 102

X Модель и алгоритм 103

XI Численные результаты 107

XII Точное решение Карди 117

XIII Обсуждение 119

III Псевдослучайные числа 120

XIV Линейно-конгруэнтные генераторы случайных чисел. 125

XV Сдвиговые регистры. 129

XVI Новый тест - направленное случайное блуждание. 134

А Отображение алгоритма Вольфа на модель случайного блуждания . . 135 Б Два алгоритма модели случайного блуждания..............137

XVII Резонансы в сдвиговых регистрах. 140

А Блуждание с вероятностью /л — 1/2.....................141

Б Блуждание с вероятностью ¡j, = 5/8.....................142

В Случайное блуждание с произвольной вероятностью...........145

Г Сравнение с численным экспериментом..................146

XVIIЖoppeляции в генераторах Фибоначчи 150

XIX Резонансы в генераторах Марсальи-Замана 153

XX Модификации алгоритмов генерирования случайных чисел 157

XXI Случайные числа и динамические системы. 164

XXII Выводы 177 ХХШСписок литературы 179

Список таблиц

I Положение Ттахх максимума восприимчивости и ее значение Хтах, как функции линейного размера решетки Ь при концентрации немагнитных примесей р..................................... 54

II Критическая: температура Тс при различных концентрациях р примесей . 57

III Восприимчивость х при Тс как функция Ь. Концентрация примесей р = 26. 58

IV Отклонение значений энергии Е и теплоемкости С от точных значений для двумерной модели Изинга на решетке Ь = 16. Из работы Ферренбер-

га, Ландау и Вонг................................. 72

V Зависимость знака отклонения энергии <5Е, теплоемкости 5С и отношения 50 от способа сравнения случайных чисел с вероятностью р = 1 — ехр{2«7/квТ) включения однонаправленного спина в кластер. Статистическая ошибка к последней значащей цифре показана в скобках. Использовался сдвиговый регистр длиной р — 89 и линейный размер системы 1 = 12..................................... 83

VI Отклонения энергии 5Е, теплоемкости 8С и отношения Статистическая ошибка к последней значащей цифре показаны в скобках. Использовались сдвиговые регистры длиной р — 36 для Ь — 7 и р = 89 для Ь = 12. Отклонения сильно зависят от числа тс скоррелированных бит согласно способа вычисления случайных чисел..................... 85

VII Максимально возможная ошибка при вычислении энергии 5Е, теплоемкости 8 С и безразмерного отношения 8 С} с помощью кластерного двумерного специализированного процессора СПП-2. Оценка произведена по формулам (45,46,47)............................... 90

VIII Сравнение вычисленных отклонений энергии 5Е, теплоемкости 5С и безразмерного отношения 5Q с помощью кластерного алгоритма Вольфа и генератора (9689, 471) при линейном размере L — 201 и рассчитанных по формулам (45,46,47)................................ 92

IX Вероятности более чем к пересекающих кластеров при критической пер-коляции по связям на квадратной решетке с линейным размером L и свободными граничными условиями. Вероятности Р(к > 1) умножены на коэффициент 103 и Р(к > 2) умножены на коэффициент 106. Для каждого размера L первая строка показывает вероятности протекания по горизонтали и вторая строка - по вертикали......................108

X Некоторые стандартные линейно-конгруэнтные генераторы.........126

XI Примитивные триномы хр + х\ с 1 < q <р/2, где р известные показатели Мерсены......................................131

XII Сравнение вероятности отклонений, полученных численно с использованием теста одномерного блуждания с генератором Фибоначчи (LF) и Марсальи-Замана (SWC) и предсказанного по формулам (80) и (81). . . . 155

Список рисунков

Отношение намагниченности М, вычисленной с помощью кластерного процессора СПП-2 для чистой модели Изинга с линейным размером Ь =

1024, к асимптотическому поведению М0.................... 30

Отношение восприимчивости х> вычисленной с помощью кластерного процессора СПП-2 для чистой модели Изинга с линейным размером Ь =

1024, к асимптотическому поведению Хо(т').................. 31

Отношение намагниченности М, вычисленной с помощью кластерного процессора СПП-2 для модели Изинга со случайными связями, к асимптотическому поведению М0 модели Изинга без примесей. Линейный размер

решетки Ь - 1024................................. 33

Отношение восприимчивости х> вычисленной с помощью кластерного процессора СПП-2 для модели Изинга со случайными связями, к асимптотическому поведению Хо(г') в отсутствие примесей. Линейный размер

решетки Ь — 1024................................. 34

Отношение намагниченности М(т)/М0(т) для двух различных решеток со случайными связями. Кружками обозначены данные для Ь = 512, а

темными ромбами - для Ь = 1024........................ 36

Отношение восприимчивости х(т>)/Хо(т') для двух различных решеток со случайными связями. Кружками обозначены данные для Ь = 512, а

темными ромбами - для Ь — 1024........................ 37

Намагниченность, усредненная по 1000 образцов со случайными связями для Ь = 1024. Отношение построено для М(г)/(Мо(г)гб). Значения е =

0.006, 0.0075 и 0.009 сверху вниз......................... 39

Отношение восприимчивости х(т')/(Хо(т')т'У), усредненное по 1000 образцов решеток со случайными связями для Ь = 1024. Значения е = -0.11, -0.135 и -0.17 сверху вниз........................ 40

2

3

4

5

6

7

9 Удельная теплоемкость С (г) для примесных решеток с линейными размерами L — 1024 (темные треугольники) и L = 512 (светлые квадраты). Пунктирной линией показана удельная теплоемкость чистой иодели Изинга. 44

10 Разница между функциями z(t) и С (г). Темными треугольниками обозначены данные для L = 1014, а светлыми квадратами для L = 512. Пунктирной линией показана разница между отклонением удельной теплоемкости в чистом случае от простого логарифмического закона. ... 46

11 Удельная теплоемкость в критической области примесной решетки размером L = 1024, усредненная по 1000 образцов. Показана разность функций

z(r) и С(т) для значений параметра д — 0.28,0.295 и 0.31 сверху вниз. . . 47

12 Фазовая диаграмма двумерной модели Изинга с немагнитными примесями. 51

13 Восприимчивость двумерной модели Изинга при концентрации немагнитных примесей р — 0.26 для размеров решетки L = 64,128,256 и L = 511 -показаны снизу вверх............................... 54

14 Зависимость отношения Q от температуры и размера решетки для концентрации немагнитных примесей р = 0.26. Пересечение кривых определяет критическую точку Тс(р = 0.26) = 1.250(5)................ 56

15 Зависимость восприимчивости х(^с) при критической температуре от линейного размера решетки. Численные данные обозначены точками. Сплошная кривая задана формулой 0.0177+-L1'867, а штриховая - формулой 0.015 L1-75(1 + 0.23 log L)............................. 59

16 Разность между аппроксимацией по формуле (37) и экспериментально полученными данными (жирная штриховая линия) и аналогичная разность между аппроксимацией по формуле (38) и экспериментально полученными данными (мелкая штриховая линия). Вертикальными линиями обозначены статистические погрешности определения восприимчивости. . . 61

17 Теплоемкость С двумерной модели Изинга с концентрацией немагнитных примесей р = .1 для линейных размеров решетки L — 8, 32 и 128. Вертикальной линией показано положение критической температуры, определенной ранее по поведению восприимчивости х{т) и универсального отношения Ql(t). Усреднено по 100 образцам. Статистические ошибки меньше размеров символов............................ 63

18 Зависимость теплоемкости в критической точке С (Тс) от размера решетки L для размеров L = 8,16,32, 64,128, 256 и 511. Усреднено по 100 образцам. Концентрация примесей р = 0.1. Шкала по горизонтали дважды логарифмическая. Сплошная линия - приближение методом наименьших

19 Теплоемкость С двумерной модели Изинга с концентрацией немагнитных примесей р == .25 для линейных размеров решетки Ь = 32,64 и 128. Вертикальной линией показано положение критической температуры, определенной ранее по поведению восприимчивости х(т) и универсального отношения С]ь(т). Усреднено по 100 образцам. Статистические ошибки меньше размеров символов............................ 65

20 Теплоемкость С двумерной модели Изинга для одного образца с линейным размером Ь = 64 при концентрациях немагнитных примесей

21 Теплоемкость С двумерной модели Изинга с концентрацией немагнитных примесей р = .3 для линейных размеров решетки Ь — 16 (левый треугольник), Ь — 32 (треугольник вниз), Ь = 64 (квадрат), Ь = 128 (ромб) и Ь -= 256 (треугольник вверх), усредненная по числу образцов М = 200,48,15,8 и 4, соответственно. Число шагов Монте-Карло для каждого образца от 106 до 107. Статистические ошибки меньше размеров символов...................................... 67

квадратов C(L) = 0.302(5) + 0.686(5)log(log{L))

64

р = 0.15, 0.26, 0.3, 0.55 и 0.7.

66

22 Теплоемкость С двумерной модели Изинга с концентрацией немагнитных примесей р ~ .3 при критической температуре Тс = 1.084. По горизонтальной оси использован дважды логарифмический масштаб........ 68

23 Теплоемкость С двумерной модели Изинга с концентрацией немагнитных примесей р -= .3 при критической температуре Тс = 1.084. По горизонтальной оси использован логарифмический масштаб............. 69

24 Зависимость от размера решетки отклонения 6С теплоемкости от точного значения С при моделировании двумерной модели Изинга с использованием генератора Киркпатрика-Штоля..................... 74

25 Зависимость от размера решетки отклонения 5Е энергии от точного значения Е при моделировании двумерной модели Изинга с использованием генератора Киркпатрика-Штоля........................ 75

26 Отклонение энергии 5Е для нескольких генераторов БЯ (36,11): о; (89,38): +; (127,64): □; и (250,103): А. Вставка показывает изменение максимума отклонения энергии 5Е как функцию р..................... 76

27 Отмасштабированное отклонение энергии 5Е в зависимости от отмас-штабированного размера системы Ь. Результаты получены для нескольких генераторов ЭИ (36,11): о; (89,38): +; (127,64): □; и (250,103): А. Звездочками обозначены результаты, полученные прореживанием последовательности псевдослучайных чисел....................... 78

28 Отмасштабированное отклонение теплоемкости 5С в зависимости от от-масштабированного размера системы Ь. Результаты получены для нескольких генераторов БЯ (36,11): о; (89,38): +; (127,64): □; и (250,103):

А.......................................... 80

29 Отмасштабированное отклонение безразмерного отношения в зависимости от отмасштабированного размера системы Ь. Результаты получены для нескольких генераторов ЭИ, (36,11): о; (89,38): +; (127,64): □; и (250,103): А.................................... 81

30 Отмасштабированное отклонение теплоемкости для трехмерной модели Изинга в критической точке ¡Зс — 0.2216545. Использовались три генератора случайных чисел типа сдвиговый регистр с длиной р = 36 : О, 89 : х

и 250 : □...................................... 87

31 Отмасштабированное отклонение универсального отношения Q для трехмерной модели Изинга в критической точке ,8С = 0.2216545. Использовались три генератора случайных чисел типа сдвиговый регистр с длиной

р = 36 : О, 89 : х и 250 : □.....'....................... 88

32 Отмасштабированное отклонение намагниченности М для трехмерной модели Изинга в критической точке (Зс = 0.2216545. Использовались три генератора случайных чисел типа сдвиговый регистр с длиной р = 36 : О,

89 : х и 250 : □.................................. 89

33 Пример решетки, используемой при вычислениях, с линейным размером L = 5 (сплошные линии) и дуальной к ней (пунктирные линии). Заметим, что числу узлов и связей в обоих направлениях и для обеих решеток в точности равно L.................................103

34 Вероятность существования более одного пересекающего кластера, умноженная на 1000, для перколяции по связям квадратной решетке в зависимости от 1/L2. Линейные размеры L — 8,12,16,20,30,32,64. Вероятность стремится к значению 0.00658(53) в пределе бесконечной решетки. Неопределенности значений вычислены разбиением на 100 групп по 106 образцов в каждой.................................111

35 Вероятность существования более двух пересекающих кластеров одновременно, умноженная на 106, для перколяции по связям квадратной решетке в зависимости от 1/L2. Линейные размеры L = 8,12,16, 20,30, 32, 64. Вероятность стремится к значению 0.00000148(21) в пределе бесконечной решетки. Неопределенности значений вычислены разбиением на 100 групп

по 106 образцов в каждой.............................113

36 Вероятности к — 1,2 и 3 одновременно протекающих кластеров на решетках со свободными и периодическими граничными условиями. Пунктирной линией обозначено приближение для решетки со свободными граничными условиями, а сплошная линия - приближение для решетки с периодическими граничными условиями в вертикальном направлении. . 116

37 Вероятности к = 1, 2 и 3 одновременно протекающих кластеров на решетках с периодическими и свободными граничными условиями. Координата

X равна Хрдс = к2 — 1/4 и Хрвс = к2 — к/2, соответственно.......119

38 Двумерная сетка, сформированная парой последовательных точек (г(п), г(п+ 1)) при использовании генератора г(п + 1) = (137г(п) + 187) тос1256. . . . 128

39 Графическое представление процесса блуждания. Каждый шаг вправо делается с вероятностью /л. Случайные числа г (к) используются для принятия решения о шаге из узла к в узел к + 1.................137

40 Отклонения <5Р вероятности блуждания длиной п от нескоррелированного значения в зависимости от длины блуждания п. Использовался Алгоритм Р, р = 31/32 и генератор сдвиговый регистр с (р, д) = (89,38). Часть резонансов отмечена линейными комбинациями длин р ид. Отклонение на длине п = 2р равно 5Р(2р) = 0.109(3) и находится за пределами масштаба рисунка.......................................147

41 Отклонения 5Р вероятности блуждания длиной п от нескоррелированного значения в зависимости от длины блуждания п. Использовался Алгоритм А/", [х = 31/32 и генератор сдвиговый регистр с (р, д) = (89,38). Отклонения равны —1 на длинах п = р и п — 2р...............148

42 Отклонения 5Р вероятности блуждания длиной п от нескоррелированного значения в зависимости от длины блуждания п. Использовался Алгоритм

Р, ¡1 = 31/32 и генератор сдвиговый регистр с (р, q) = (89,72, 55,38). . . . 149

43 Отклонения SP вероятности блуждания длиной п от нескоррелированного значения в зависимости от длины блуждания п. Использовался Алгоритм Р, fj, = 31/32 и генератор Фибоначчи с (р, q) = (89,38). Отклонение на длине п = р = 89 равно 8Р(р) — —0.4841(4) и находится за пределами масштаба рисунка.................................151

44 Отклонения 5Р вероятности блуждания длиной п п от нескореллиро-ванного значения. Использовался Алгоритм Р, ц = 31/32 и генератор Марсальи-Замана SWC с длинами (г, s) = (24,10). Показан результат усреднения по 108 блужданиям.........................154

45 Отклонения 8Р вероятности блуждания длиной п от нескореллированного значения. Использовался Алгоритм Р, ц = 31/32 и генератор Фибоначчи с длинами (г, £■) = (24,10). Показан результат усреднения по 108 блужданиям. 155

46 Зависимость от числа отброшенных членов последовательности псевдослучайных чисел. Отклонение ÔE энергии от точного значения Е при моделировании двумерной модели Изинга L = 16 с использованием генератора Киркпатрика-Штоля...........................158

47 Зависимость от числа отброшенных членов последовательности псевдослучайных чисел. Отклонение 5С теплоемкости от точного значения С при моделировании двумерной модели Изинга L — 16 с использованием генератора Киркпатрика-Штоля........................158

48 Отклонения ÔP вероятности блуждания длиной п от нескореллированного значения. Использовался Алгоритм Р, ц — 31/32 и генератор RANLUX с уровнем luxury=l и с длинами (г, 5) = (24,10). Показан результат усреднения по 10й блужданиям............................161

49 Отклонение вероятности 5Р{г) как функция разности уровня luxury р и длины генератора г. Генератор Фибоначчи с длинами (г, s) = (24,10) и вероятность ц, = 15/16..............................162

50 Отклонения 5Р вероятности блуждания длиной п п от нескореллиро-ванного значения. Использовался Алгоритм Р, р — 31/32 и генератор RANLUX с уровнем luxury=2 и с длинами (г, s) — (24,10). Показан результат усреднения по 10й блужданиям....................163

51 Последовательность Фибоначчи на торе: неустойчивая сепаратриса отображения кошки Арнольда............................166

52 Комплексная плоскость А собственных значения матрицы Якоби для генератора RA.NLUX с уровнем luxury