Численное исследование периодических и стационарных течений вязкой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

005005869

КАЛИНИН Евгений Игоревич

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ И СТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ЛЕК 2011

Казань-2011

005005869

Работа выполнена на кафедре аэрогидромеханики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Официальные оппоненты:

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент,

Мазо Александр Бещианавич

доктор физико-математических наук, профессор,

Аганин Александр Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор,

Исаев Сергей Александрович

Институт механики Московского государственного университета

! ¿2^часов на заседании диссертационного совета 212.081.11 при Казанском (Приволжском) федеральном университете, расположенном по адресу: 420008, Казань ул. Кремлевская, 18

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета.

Автореферат разослан 2$ноября 2011 г.

Ведущая организация: Защита состоится 2^цекабря 2011

Ученый секретарь

диссертационного совета, У7\ /

к.ф.-м.н., доцент Цк/' А. А. Саченков

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Исследование взаимодействия потока вязкой жидкости с твердыми телами является одной из центральных проблем механики. Известно, что режим таких течений может существенно зависеть от параметров и геометрии задачи. Выделение точек бифуркации (условий, при которых происходит смена режима течения) важно для понимания природы гидродинамических явлений и анализа возникающих неустой-чивостсй, которые необходимо учитывать при проектировании инженерных конструкций.

Одной из модельных задач, для которой в зависимости от параметров течения существуют как периодические, так и стационарные решения, является задача об обтекании цилиндра, вращающегося вокруг своей оси с постоянной скоростью. Многочисленные эксперименты показывают, что для умеренных чисел Рейнольдса в случае, когда линейная скорость вращения цилиндра превышает скорость набегающего потока более чем в два раза, течение в следе за цнлиндром стационарно. Однако, в недавних численных исследованиях этой задачи в двумерной постановке были получены устойчивые периодические решения и для больших скоростей вращения. Детального параметрического анализа таких решений до сих пор проведено не было.

Особый теоретический н практический интерес представляют задачи о термоконвективных течениях. Исследование режимов конвекции вязкой теплопроводной жидкости около нагревателей в каналах и трубах вкупе с изучением поведения локальных характеристик потока позволило бы существенно продвинуться в понимании термогидродинамических процессов, а также выявить новые возможности для интенсификации теплообмена.

Решение названных задач гидродинамики предполагает численное интегрирование уравнений Навье-Стокса. В настоящее время для этого широко используются универсальные коммерческие пакеты программ, такие как FLUENT, CFX, StarCD и др. Унифицированные подходы к построению рас-

четных алгоритмов, применяемые в этих пакетах, наряду с очевидными преимуществами содержат и недостаток, связанный с относительно невысокой скоростью расчетов. К тому же, выявление специфических гидродинамических взаимодействий зачастую требует тонкой настройки решателя, что бывает затруднительно из-за закрытости программного кода. Поэтому построение и тестирование новых экономичных численных алгоритмов для конкретных задач гидродинамики остается актуальной проблемой.

Цель диссертационной работы состоит в разработке метода численного решения уравнений Навье-Стокса и исследовании на его основе стационарных и периодических эффектов, возникающих в течениях вязкой теплопроводной жидкости при обтеканни твердых препятствий.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

- разработан алгоритм численного решения задач внешнего обтекания системы тел потоком несжимаемой теплопроводной жидкости;

- произведено детальное тестирование предложенного метода на репрезентативных задачах;

- исследовано вынужденное течение около вращающегося кругового цилиндра в широком диапазоне чисел Рейнольдса и скоростей вращения; построена параметрическая карга режимов течения;

- выполнено математическое моделирование естественной конвекции в вертикальном канале около системы нагревателей; исследовано влияние формы и компоновки нагревателей на режим течения и интенсивность теплообмена.

Научная новизна.

- Предложен новый метод численного решения системы уравнений Навье-Стокса в терминах функция тока - завихренность в областях с многосвязной границей.

- По результатам численного моделирования обтекания вращающегося цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости впервые построена карта стационарных и периодических режимов течения в широком диапазоне изменения числа Рейнольдса и скорости вращения; обнаружена область отрицательных значений коэффициента сопротивления.

- Изучены стационарные и периодические режимы естественной конвекции в канале с системой нагревателей различных форм и компоновок.

Практическая значимость. Предложенный численный метод решения системы уравнений Навье-Стокса может быть использован для решения широкого класса задач вычислительной гидродинамики, включая расчет обтекания крыловых профилей, решеток нагревателей и пакетов труб. Результаты моделирования естественной конвекции и теплообмена в каналах с системой нагревателей различных форм и компоновок могут быть применены при проектировании теплообменных аппаратов.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Метод решения системы уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока-завихренность с произвольными числами Рейнольдса для двумерных задач внешнего обтекания системы тел, позволяющий моделировать как вынужденные течения, так и естественную конвекцию в каналах.

2. Детальное тестирование метода на репрезентативных задачах: развитие течения Пуазейля в канале, вязкое безграничное обтекание цилиндра, эллипса и крылового профиля при числах Рейнольдса 11с < 106, естественная конвекция в вертикальном канале около квадратного нагревателя.

3. Параметрическая карта режимов обтекания вращающегося цилиндра в широком диапазоне изменения числа Рейнольдса и скорости вращения,

включающая два периодических и два стационарных течения, а также течения с отрицательным коэффициентом сопротивления.

4. Закономерности влияния форм и компоновок нагревателей на интенсивность теплообмена, скорость и режим течения при естественной конвекции в вертикальном канале.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Итоговая научно-образовательная конференция студентов КГУ, 2007, 2008; Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях, г. Алушта, 2010 г.; Международная школа-семинар «Модели и методы аэродинамики», г. Евпатория, 2008-2011 гг., Пятая Российская национальная конференция по теплообмену, г. Москва, 2010 г.; Всероссийская молодежная конференция-школа «Современные проблемы математического моделирования», п.Абрау-Дюрсо, 2009 г.; Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, г. Алушта, 2009, 2011 гг.; Всероссийская конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения», г. Казань, 2009 г.; Итоговая научная конференция КФУ 2008-2011 гг.

Достоверность представленных результатов обеспечивается использованием классических уравнений гидромеханики при математической постановке задач, применением апробированных методик к построению вычислительных схем и алгоритмов, тестированием предложенных алгоритмов на репрезентативных задачах, а также хорошим согласованием полученных результатов с известными численными, аналитическими и экспериментальными данными.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 19 печатных работах, из них 4 статьи в изданиях, рекомендуемых ВАК.

Личный вклад автора. Автор диссертации участвовал в постановке задач и обсуждении результатов исследования. Им разработан и запрограммирован экономичный конечноэлементный алгоритм расчета двумерных за-

дач обтекания в переменных функция тока - завихренность. Все расчеты н обработка их результатов выполнены лично автором.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 4 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 142 страницы, включая 64 рисунка. Библиография включает 147 наименований на 17 страницах.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследований, отмечена научная новизна и практическая значимость полученных результатов; представлены положения, выносимые на защиту. Далее приводится обзор литературы для задач о вязком обтекании вращающегося цилиндра и естественной конвекции в вертикальном канале, а также обзор существующих методов расчета течений вязкой несжимаемой жидкости.

В первой главе представлен метод расчета нестационарных задач обтекания системы тел потоком вязкой несжимаемой жидкости.

В п. 1.1 рассмотрена дифференциальная постановка плоских задач о течении вязкой жидкости в переменных функция тока ф - завихренность ш. Система определяющих уравнений в безразмерных переменных имеет вид

где - заданная касательная скорость жидкости на контуре 7,-, а С,(£) - неизвестные функции, для определения которых постановка задачи дополняется

ди! ^ дф ди> дфды _ 1 д ^ д}у д]х

дЬ ду дх дх ду 11е дх ду

(1)

-А-ф = ик

(2)

нелокальными условиями -к

На боковых стенках 70, используются либо условия прилипания

70: Ф = Сй{1), ^ = 0, JN+1: ф = 0, ^ = 0

для задач о течении в канале, либо условия идеального скольжения

7о : ф = C0(t), ш = 0, 7лг+1 : ф = 0, ш = 0

для задач о безграничном течении.

В задачах с неизвестным расходом Co(t) и заданным перепадом давления [р]о между входным и выходным сечениями канала для определения Со записывается нелокальное условие

То

Во входном сечении 7,-„ используются однородные граничные условия второго рода

дф „ дш

На выходной границе 7o„f в задачах о течении в канале также применяются "мягкие" условия

дф Л дш

при рассмотрении безграничных течений на 7^ используются неотражающие конвективные условия

дфдф дшдш

7out: ~di ^9n = т + д^==0' В п. 1.2 проводится дискретизация по времени определяющей системы (1), (2) с использованием двухслойной линеаризованной схемы; приводится

алгоритм решения подудискретизованной системы уравнений с нелокальными граничными условиями (3), (4).

В п. 1.3 строится пространственная аппроксимация определяющих дифференциальных соотношений методом конечных элементов на сетке билинейных четырехугольных элементов. Для подавления нефизичных осцилляций в численном решении уравнения (1) при Re » 1 аппроксимация конвективного слагаемого осуществляется с применением TVD-подхода. Система сеточных уравнений решается итерационным многосеточным алгебраическим методом (AMG). Параллельная программная реализация вычислительного алгоритма производится на платформе NVIDIA CUDA.

Во второй главе проводится тестирование предложенного метода решения уравнений Навье-Стокса в терминах tp-uj на репрезентативных задачах.

В п. 2.1 представлены результаты тестирования алгоритма на двух задачах с известным точным решением. Решение первой задачи описывает периодическое во времени течение в области с многосвязной границей1. Вторая тестовая задача — установление из состояния покоя течения Пуазейля с числом Re = 100 в канале с заданным перепадом давления. Для обеих задач показана сходимость численного решения к точному с уменьшением пространственного шага сетки.

Тестирование алгоритма на известных приближенных решениях и сравнение с известными численными и экспериментальными результатами других авторов проводится в п. 2.2. В качестве тестовых выбраны три задачи.

1). Обтекание неподвижного кругового цилиндра при Re < 500.

2). Обтекание эллипса и крылового профиля с большими Re.

3). Обтекание кругового цилиндра при Re > 104; моделирование турбулентности и кризиса сопротивления.

В задаче 1 подсчитаны распределения давления и касательных напряжений по границе цилиндра, а также коэффициенты сопротивления и числа

1 Liu J. G., Wang С. High order finite difference methods for unsteady incompressible flows in multi-

connccCcd domains/VCoinp. & Fluids. 2003. №33. Гр. 223-255

Струхаля в зависимости от числа Re; полученные результаты хорошо согласуются с численными и экспериментальными данными других авторов.

Полученные при решении задачи 2 в диапазоне 104 < Re < 10® осреднен-ные по времени распределения коэффициентов давления и касательного напряжения по поверхности обтекаемого тела хорошо согласуются с решением2 для эллипса (с отношением полуосей 6:1) и крылового профиля NACA 64А015 в указанном диапазоне чисел Рейнольдса.

Рис. 1. Поле ш при Re = 104 (a), Re = 106 (б); осредненное поле ф при Re = 106 (в)

Рис. 2. Кризис сопротивления по расчетным и экспериментальным данным. 1 - наш расчет. 2 - расчет3, 3 - 3D расчет в пакете Fluent, 4 - эксперимент А. Рошко, 5 - расчет4

г Петров А. Г. Аналитическая гидродинамика // М.:ФИЗМАТЛИТ, 2009

3 Singh S.P., Mittal S. Flow Past a Cylinder: Shear Layer Instability and Drag Crisis // Int. J. for Num. Meth. in Fl. 2005. v.47. Pp. 75-98

4 Dynnikova G.Ya. The Viscous Vortex Domains (WD) method for non-stationary viscous incompressible flow simulation // Proc. of the IV European Conference on Computational Mechanics, Paris, May 16-21, 2010. http://www.eccm2010.org/complet/fullpaper_193.pdf

а

26

2а

2

О

Re

100

200

300

400

500

Рис. 3. Параметрическая карта режимов течения (периодические зоны заштрихованы)

Численное решение тестовой задачи 3 воспроизводит известные особенности качественной перестройки течения при увеличении числа Рейнольдса. На рис. 1 показаны мгновенные поля завихренности для ламинарного при Re = 104 (а) и турбулентного при Re = 10е (б) режима течения, а также осредненные по времени линии тока (в). Хорошо видно смещение линий отрыва потока вниз по течению и сужение турбулентного следа за телом.

Осредненные коэффициенты сопротивления (рис. 2) отражают эффект кризиса сопротивления при Re « 105 и удовлетворительно согласуются с альтернативными результатами прямого численного решения двумерной системы Навье-Стокса. С помощью решения задачи в трехмерной постановке с применением пакета FLUENT показано, что причиной отклонения полученных Сх при Re < 105 от экспериментальных данных является применение двумерной постановки.

В третье главе проводится детальное параметрическое исследование задачи об обтекании кругового цилиндра, вращающегося с безразмерной скоростью а в диапазоне 50 < Re < 500, 0 < а < 7. На основе проведенных расчетов построена параметрическая карта режимов течения (рис. 3), на которой выделена область периодического течения с образованием дорожки Кармана в следе за цилиндром (зона 1), области стационарного течения с no-

ложительным (зона 2а) и отрицательным (зона 26) коэффициентом сопротивления, область периодического течения со срывом крупных вихрей с верхней кромки цилиндра (зона 3) и область стационарного течения при больших скоростях вращения (зона 4). Мгновенное поле завихренности для второго периодического режима представлено на рис. 4.

На рис. 5 показано, что для больших скоростей вращения коэффициент сопротивления стремится к нулю, а подъемная сила неограниченно возрастает по закону, близкому к линейному Су - 2тга, что подтверждает асимптотическое решение задачи при а оо5.

Рис. 5. Зависимость коэффициентов Сх и Су от скорости вращения а для Re = 200. 1 - наш расчет; 2 - решение задачи о циркуляционном обтекании

Рассчитанные линии тока вязкого течения при больших а близки к линиям тока потенциального течения (рис. 6).

В четвертой главе рассматривается задача о естественной конвекции в вертикальном канале с теплоизолированными стенками и помещенными

5 Moore D. W. The flow past a rapidly rotating circular cylinder in a uniform stream // Л. Fluid Mech. 1957. №2. Pp. 541-550

Рис. 6. Линии тока при вязком (Яе = 200) (а) и потенциальном (б) обтекании вращающегося со скоростью а = 5 цилиндра

в него нагревателями. Температурное расширение жидкости учитывается в рамках приближения Буссинеска. В декартовой системе координат с осью х, направленной против силы тяжести, ускорение массовых сил в безразмерном виде записывается как f = (Т, 0). Для расчета температурного поля постановка задачи (1), (2) дополняется уравнением конвективной теплопроводности

dt ду дх дх ду Ре

дТ п дТ п

lin ■ -тг- = о, ~/out : = о, \й)

on Oïl

Tb,7*+i: ъ- Т = 1, г =

on

В рассматриваемой задаче безразмерные числа Re и Ре определены через

характерную скорость естественной конвекции щ = Р{Т\ — То) Дд.

Сеточная схема для задачи (5) строится по аналогии со схемой для уравнения переноса завихренности (1): используется метод конечных элементов и TVD-подход для аппроксимации конвективной производной.

Для тестирования метода численного решения задач о естественной конвекции в вертикальном канале производится расчет течения около квадратного нагревателя. Полученные картины и скорости течения, а также интегральные числа Нуссельта Nu при Gr = Re2 < 105, Pr = Pe/Re = 0.72 хорошо совпадают с известными численными и экспериментальными данны-

ми6.

Рис. 7. Интегральное число Nu в зависимости от чисел Gr при конвекции около кругового (кривая 1) и профилированного (2) нагревателей (а); отношение чисел Нуссельта для кругового Nui и профилированного Nu2 нагревателей (б)

В п. 4.2 рассматривается задача о конвекции около одиночных изопе-риметрических нагревателей круговой (с диаметром D) и профилированной (NACA 0040) формы при Рг = 0.72, 103 < Gr < 105. Нагреватели расположены в канале длины 60£> ширины 5D на расстоянии 15D от входного сечения. Показано, что для кругового нагревателя в зависимости от числа Gr наблюдается стационарное (Gr < Gr' и 3 • 103) либо периодическое (Gr > Gr") течение. При смене режима происходит заметное увеличение интенсивности теплообмена. Для профилированного нагревателя в указанном диапазоне параметров течение стационарно. Установлено, что в стационарном режиме обтекания теплоотдача кругового цилиндра ниже, чем профилированного; однако при Gr > Gr* сравнительные показатели интенсивности теплообмена меняются (рис. 7).

В п. 4.3 проведено моделирование естественной конвекции около системы нагревателей различных компоновок при Gr = 104, Рг = 0.72.

Показано, что расположение нагревателей на линии поперек потока оказывается более эффективным по скорости конвективного течения и по тепло-

6 Khodary К., BhatUcharyya Т. К. Optimum natural convection from square cylinder in vertical channel // Int. J. of Heat and Fluid Flow. 2006. №27. Pp. 167-180.

/

I I

на моменты времени Ь = 130 (а), £ = 20 (б), г = 80 (в), * = 360 (г)

съему с поверхности нагревателей, по сравнению с расположением на линии вдоль потока. При конвекции около четырех цилиндрических нагревателей, расположенных квадратом, скорость течения оказывается большей, а интенсивность теплообмена - меньшей, по сравнению с шахматным расположением.

В п. 4.3.3 изучается развитие конвективного течения в канале из состояния покоя. Рассмотрены случаи трех изопериметрических нагревателей круговой и профилированной формы, расположенных поперек потока. Течение около круговых цилиндров оказывается квазипериодическим (рис. 8, а), а около профилированных - развивается в несколько этапов. Сначала над нагревателями образуются грибовидные температурные факелы, которые с

продвижением по каналу объединяются в один (рис. 8, б). При достижении скорости в канале критического значения и « 3 в следе над нагревателями образуется вихревая дорожка Кармана (рис. 8, в). Когда факел покидает верхнюю границу канала, скорость конвекции уменьшается, и дорожки Кармана в следе за нагревателями затухают. Окончательно устанавливается стационарный режим конвекции (рис. 8, г). В итоге профилированные нагреватели обеспечивают больший расход жидкости, а круговые - ббльшую интенсивность теплообмена.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Список публикаций по теме диссертации

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Калинин Е.И. Численное решение задач обтекания системы тел в переменных «функция тока-завихренность» / Калинин Е.И., Мазо A.B. // Ученые записки КазГУ. Серия физ.-мат. науки. 2009. - т.151, кн.З. С. 149-159.

2. Калинин Е.И. Численное моделирование естественной конвекции в вертикальном канале с системой нагревателей / Калинин Е.И., Мазо А.Б. // Изв. высших уч. заведений. Сев.-Кав. регион. Серия естественные науки.

2010. - №6. С. 19-23.

3. Калинин Е.И. Стационарные и периодические режимы обтекания вращающегося цилиндра / Калинин Е.И., Мазо A.B. // Ученые записки ЦАГИ.

2011. -т.42, №5. С. 59-71.

4. Калинин Е.И. Влияние формы нагревателей на теплообмен при естественной термоконвекции в вертикальном канале / Калинин Е.И., Мазо А.Б. // Тепловые процессы в технике. 2011. - №4. С. 159-1G4.

Работы, опубликованные в других изданиях:

5. Гарнышев М.Ю. Численное моделирование естественной конвекции вязкой жидкости в канале с несколькими нагревателями / Гарнышев М.Ю.,

Калинин Е.И., Мазо A.B. // Тр. Мат. центра им. Н.И. Лобачевского. 2006. - т.34. С. 51-54.

6. Калинин Е.И. Стационарные и периодические режимы естественной конвекции около горизонтальной решетки цилиндрических нагревателей / Калинин Б.И.// Сборник статей итоговой научно - образовательной конференции студентов КГУ 2007. - С. 48-51.

7. Мазо А. Б. Решение задач обтекания в переменных «функция тока - вихрь» методом конечных элементов с применением TVD-подхода / Мазо А.Б., Калинин Е.И.// Модели и методы аэродинамики. Материалы VIII Международной школы-семинара, г. Евпатория, 4-13 июня, 2008. - С. 100-101.

8. Калинин Е.И. Численное моделирование сложных термоконвективных течений / Калинин Е.И.// Сборник статей итоговой научно - образовательной конференции студентов КГУ. 2008. - С. 68-70.

9. Калинин Е.И. Численное решение задачи об обтекании системы тел в переменных «функция тока - завихренность» / Калинин Е.И.// Тр. Мат. Центра им. Н.И. Лобачевского. 2008. - №37. С. 67-69.

10. Калинин Е.И. Математическое моделирование термоконвективных процессов в переменных функция тока-завихренность / Калинин Е.И., Мазо A.B.// Сборник трудов XIII Всероссийской молодежной конференции-школы «Современные проблемы математического моделирования», п. Абрау-Дюрсо, 2009 г. - С. 252-258.

11. Калинин Е.И. Метод расчета сложных термоконвективных течений на основе уравнений Навье-Стокса в преобразованных переменных / Калинин Е.И., Мазо A.B.// Материалы XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, г. Алушта, 2009 г. - С. 368-370.

12. Калинин Е.И. Алгоритмы расчета давления при решении уравнений Навье-Стокса в преобразованных переменных / Калинин Е.И., Мазо А.Б.// Модели и методы аэродинамики. Материалы IX Международной школы-

семинара, г. Евпатория, 2009 г. - С. 100-101.

13. Калинин Е.И. Расчет вязкого обтекания тела при больших числах Рей-нольдса при помощи МКЭ / Калинин Е.И., Мазо А.Б.// Материалы VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях, г. Алушта, 2010 г. - С. 303-306.

14. Калинин Е.И. Расчет вязких отрывных течений на основе МКЭ с помощью технологии CUDA / Калинин Е.И.,// Материалы VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях, г. Алушта, 2010 г. - С. 371-373.

15. Калинин Е.И. Расчет вязкого обтекания вращающегося цилиндра в дои закритических режимах / Калинин Е.И., Мазо А.Б.// Модели и методы аэродинамики. Материалы X Международной школы-семинара, г. Евпатория, 2010 г. - С. 78-79.

16. Калинин Е.И. Теплообмен при свободной конвекции в канале с нагревателями различной формы / Калинин Е.И., Мазо А.Б.// Труды пятой Российской национальной конференции по теплообмену. т.З, Свободная конвекция. Теплообмен при химических превращениях. 2010. - С. 82-85.

17. Калинин Е.И. Численное моделировании ламинарного обтекания вращающегося цилиндра / Калинин Е.И., Мазо А.Б.// Материалы VIII Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых зада и приложения». 2010. - С. 228-233.

18. Калинин Е.И. Численное моделирование развития турбулентности в отрывных течениях / Калинин Е.И., Мазо А.Б./'/ Модели и методы аэродинамики. Материалы XI Международной школы-семинара, г. Евпатория, 2011 г. - С. 78-79.

19. Калинин Е.И. Прямое численное моделирование кризиса сопротивления при обтекании кругового цилиндра / Калинин Е.И., Мазо А.Б.// Материалы XVII Международной конференции по выч. механике и современным прикладным программным системам, г. Алушта, 2011 г. - С. 368-370.

Подписано в печать 22.11.11. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Формат 60x84 1/16. Гарнитура «Times New Roman». Усл. печ. л. 1,1 Уч.-изд. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 141/11

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательства Казанского университета

420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел. (843) 233-73-59,292-65-60

Введение

Обзор литературы

Задача о вязком обтекании вращающегося цилиндра.

Задача о естественной конвекции в вертикальном канале с помещенным в него нагревателем

Обзор методов численного моделирования вязких несжимаемых течений.

Глава 1. Математическая и численная модель обтекания системы тел вязкой несжимаемой жидкостью.

1.1. Постановка задач обтекания вязкой несжимаемой жидкостью

1.1.1. Определяющие уравнения.

1.1.2. Граничные условия.

1.1.3. Коэффициенты сопротивления и подъемной силы

1.2. Полудискретизованная схема и общий алгоритм численного решения.

1.2.1. Дискретизация по времени.

1.2.2. Итерационный процесс на временном слое.

1.2.3. Реализация итерационного процесса.

1.3. Пространственная копсчноэлементпая аппроксимация

1.3.1. Аппроксимация дифференциальных уравнений

1.3.2. Определение нормальных производных сеточных решений.

1.3.3. Сборка глобальных матриц.

1.3.4. Модификация матрицы переноса с применением подхода ТУБ

1.4. Решение систем алгебраических уравнений.

1.5. Выводы.

Глава 2. Тестирование вычислительного алгоритма

2.1. Тестирование на точных решениях

2.1.1. Точное периодическое решение в квадратной области

2.1.2. Течение Пуазейля.

2.2. Тестирование на приближенных решениях.

2.2.1. Обтекание кругового цилиндра при Ле <

2.2.2. Обтекание эллипса и профиля МАСА 64А015 при

11е = 103 106.

2.2.3. Обтекание цилиндра при 11е > 104. Кризис сопротивления

2.3. Выводы.

Глава 3. Стационарные и периодические режимы ламинарного обтекания вращающегося кругового цилиндра

3.1. Постановка задачи.

3.2. Течения с числом Н,е = 200 и скоростью вращения, изменяющейся в диапазоне 0 < а <

3.2.1. Течение при малых скоростях вращения.

3.2.2. Течение при умеренных скоростях вращения

3.2.3. Течение при скоростях вращения 4.3 < а < 4.

3.2.4. Течение при больших скоростях вращения.

3.2.5. Коэффициенты сопротивления и подъемной силы

3.3. Параметрическая карта течения.

3.4. Выводы.

Глава 4. Термоконвекция в вертикальном канале с системой нагревателей.

4.1. Математическая модель термоконвективного течения около нагревателя в канале

4.1.1. Определяющие соотношения.

4.1.2. Дискретизация по времени.

4.1.3. Естественная конвекция около квадратного нагревателя

4.2. Естественная конвекция в вертикальном канале с одиночным нагревателем.

4.3. Примеры нестационарных термоконвективных течений около системы нагревателей.

4.3.1. Естественная конвекция около двух цилиндрических нагревателей.

4.3.2. Естественная конвекция около четырех цилиндрических нагревателей

4.3.3. Конвекция около трех цилиндрических и профилированных нагревателей

4.4. Выводы.

Актуальность работы. Изучение течений вязкой жидкости является одной их центральных проблем механики. Актуальность подобных исследований обусловлена широким распространением таких течений в природе и технических приложениях: в теплообмепиых аппаратах [76, 80, 85, 140], градирнях [131], турбинах [72, 114], ветрогенерато-рах [141] и т. д. Большой практический интерес представляет исследование взаимодействия потока жидкости или газа с твердыми телами, в частности расчет гидродинамического сопротивления судов [65], летательных аппаратов и автомобилей [64, 126], а также решеток нагревателей и пакетов труб в теплообмениых устройствах [67]. Режим течения в таких задачах может существенно зависеть от параметров и геометрии задачи. Выделение точек бифуркации (условий, при которых происходит смена режима течения) важно для понимания природы описываемых гидродинамических явлений и анализа возникающих неустойчиво-стей, которые необходимо учитывать при проектировании инженерных конструкций [3. 5, 47].

Первые значимые аналитические исследования задач внешнего обтекания тел вязкой жидкостью относятся к началу и середине XX века и связаны с именами Праидтля, Эпплера, Кармана и др. [112, 132]. Существенный вклад в развитие аналитических методов расчета потенциального обтекания на основе аппарата теории функций комплексного переменного внесли Жуковский, Чаплыгин и многие другие [87, 143]. Классические модели динамики жидкости содержатся в учебниках и мо-ногрфиях Бэтчелора [71], Ламба [116], Лойцянского [120]. Черного [144]. Фундаментальные исследования термоконвективных течений представлено в работах Леонтьева, Полежаева и др. [115, 130]. Основным недостатком аналитических методов гидродинамики является существенное упрощение физики и геометрии течений.

Наряду с аналитическими исследованиями традиционно большое внимание уделяют натурному эксперименту. Классическим источником иллюстраций самых разнообразных течений является атлас Ван Дайка [73]. Обширные экспериментальные данные по движению вязкой теплопроводной жидкости представлены, например, в работах [4, 8, 14, 44, 45, 52, 129J

Однако, проведение натурных экспериментов в гидромеханике зачастую связано со значительными материальными и временными затратами. Прогресс компьютерной техники во второй половине прошлого века способствовал развитию вычислительной гидродинамики. Богатый выбор существующих на сегодняшний день численных методов позволяет решать широкий спектр прикладных задач в короткие сроки и с минимальными финансовыми затратами. Методам численного решения задач гидромеханики посвящены классические работы Патанкара [127], Флэт-чера [142], Роуча [135], Белоцерковского [68], Самарского и Попова [138].

В настоящее время для решения прикладных задач широко используются универсальные коммерческие пакеты программ вычислительной гидродинамики, такие как FLUENT, CFX, StarCD и др. Они являются средством не только инженерных разработок, но и ряда научных исследований |17, 66, 78, 90-92|. Однако, унифицированные подходы к построению расчетных алгоритмов, применяемые в этих пакетах, наряду с очевидными преимуществами содержат и недостаток, связанный с относительно невысокой скоростью расчетов. К тому же, выявление специфических гидродинамических взаимодействий зачастую требует тонкой настройки решателя, что бывает затруднительно из-за закрытости программного кода. Поэтому построение новых экономичных численных алгоритмов для конкретных задач гидродинамики остается актуальной проблемой.

С научной точки зрения интерес представляет применение вычислительных методов для решения модельных задач, для которых существует экспериментальная база и аналитические решения. Это позволяет не только тестировать новые численные схемы и алгоритмы, но и изучить основные гидродинамические эффекты и закономерности.

Общепринятой практикой тестирования методов расчета нестационарных двумерных несжимаемых течений 51вляется решение задачи об обтекании кругового цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости. Такое течение целиком определяется единственным безразмерным параметром - числом Рейнольдса Яе = и^П/и. где Ьгх - скорость набегающего потока, I) - диаметр цилиндра, ь> - кинематическая вязкость. Многочисленные экспериментальные данные [51, 61] показывают, что при 11е > 50 в следе за цилиндром образуется вихревая дорожка Карма-па. Картины течений, наблюдаемые в экспериментах, хорошо воспроизводятся с помощью двумерного численного моделирования [43, 62] при Яе < 300. При больших числах Рейнольдса в реальных течениях начинают проявляться трехмерные эффекты, которые не могут быть получены с помощью численного решения плоской задачи. Однако, некоторые важные особенности течения имеют двумерную природу и могут быть исследованы на качественном уровне с помощью двумерных расчетов. Подобным образом, например, могут быть изучены аспекты развития турбулентности в пограничном слое [113, 117, 147]. Тесно связан с возникновением турбулентности эффект кризиса (резкого падения) сопротивления кругового цилиндра при Ые « 105 [117]. Немногочисленные публикации [12, 48] подтверждают, что кризис сопротивления может быть получен в результате решения двумерной задачи, однако, этот вопрос требует более пристального изучения.

Теоретический и практический интерес представляет задача об обтекании цилиндра, вращающегося вокруг своей оси с постоянной скоростью, которое определяется безразмерным параметром а = где в - угловая скорость вращения. В таком течении возникает сила Магнуса [120], действующая па цилиндр перпендикулярно направлению потока жидкости. Движители Флеттнера, использующие эту силу, находят свое применение в судостроении [41, 133]. Экспериментальные и численные данные показывают, что вращение изменяет структуру нестационарного вихревого следа, а при достаточно больших а подавляет его. При критическом значении а* ^ 2 течение в следе становится стационарным. Однако. по некоторым данным [34, 50], при а > а* существуют устойчивые периодические решения плоской задачи, принципиально отличающиеся от известной дорожки Кармана; детального параметрического анализа этих решений до сих пор проведено не было.

Особый практический интерес представляют задачи о конвективных течениях. Процесс конвективного теплообмена характеризуется совокупностью тепловых и гидродинамических взаимодействий в жидкости и весьма сложен для анализа. Поэтому па сегодняшний день инженерные методики, используемые для теплофизических расчетов, основываются па грубых полуэмпирических моделях [86, 129]. Исследование режимов конвекции вязкой теплопроводной жидкости около нагревателей в каналах и трубах вкупе с изучением поведения локальных характеристик потока позволило бы существенно продвинуться в понимании термогидродинамических процессов, а также выявить новые возможности для интенсификации теплообмена.

Цель диссертационной работы состоит в разработке метода численного решения уравнений Навье-Огокса и исследовании на его основе стационарных и периодических эффектов, возникающих в течениях вязкой теплопроводной жидкости при обтекании твердых препятствий.

Для достижения поставленных целей были ретпеиы следующие задачи:

- разработан алгоритм численного решения задач внешнего обтекания системы тел потоком несжимаемой теплопроводной жидкости;.

- произведено детальное тестирование предложенного метода на репрезентативных задачах;

- исследовано вынужденное течение около вращающегося кругового цилиндра в широком диапазоне чисел Рейнольдса и скоростей вращения; построена параметрическая карта режимов течения;

- выполенено математическое моделирование естественной конвекции в вертикальном канале около системы нагревателей; исследовано влияние формы и компоновки нагревателей на режим течения и интенсивность теплообмена.

Научная новизна.

- Предложен новый метод численного решения системы уравнений Навье-Стокса в терминах функция тока - завихренность в областях с многосвязной границей.

- По результатам численного моделирования обтекания вращающегося цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости впервые построена карта стационарных и периодических режимов течения в широком диапазоне изменения числа Рейнольдса и скорости вращения; обнаружена область отрицательных значений коэффициента сопротивления.

- Изучены стационарные и периодические режимы естественной конвекции в канале с системой нагревателей различных форм и компоновок.

Практическая значимость. Предложенный численный метод решения системы уравнений Навье-Стокса может быть использован для решения широкого класса задач вычислительной гидродинамики, включая расчет обтекания крыловых профилей, решеток нагревателей и пакетов труб. Результаты моделирования естественной конвекции и теплообмена в каналах с системой нагревателей различных форм и компоновок .могут быть применены при проектировании теплообменных аппаратов.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Метод решения системы уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока-завихрепиость с произвольными числами Рейиольд-са для двумерных задач внешнего обтекания системы тел, позволяющий моделировать как вынужденные течения, так и естественную конвекцию в каналах.

2. Детальное тестирование метода на репрезентативных задачах: развитие течения Пуазейля в канале, вязкое безграничное обтекание цилиндра, эллипса и крылового профиля при числах Рейнольдса Яе < 106, естественная конвекция в вертикальном канале около квадратного нагревателя.

3. Параметрическая карта режимов обтекания вращающегося цилиндра в широком диапазоне изменения числа Рейнольдса и скорости вращения, включающая два периодических и два стационарных течения, а также течения с отрицательным коэффициентом сопротивления.

4. Закономерности влияния форм и компоновок нагревателей на интенсивность теплообмена, скорость и режим течения при естественной конвекции в вертикальном канале.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 19 печатных работах [75, 95- 111, 123], из них 4 статьи в изданиях, рекомендуемых ВАК [105, 107, 109, 111].

Личный вклад автора. Автор диссертации участвовал в постановке задач и обсуждении результатов исследования. Им разработан и запрограммирован экономичный конечноэлементный алгоритм расчета двумерных задач обтекания в переменных функция тока - завихренность. Все расчеты и обработка их результатов выполнены лично автором.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 4 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 142 страницы, включая 64 рисунка. Библиография включает 147 на именований на 17 страницах.

4.4. Выводы

В настоящей главе представлен алгоритм расчета задач естественной конвекции около системы нагревателей в вертикальном канале. Для тестирования работы алгоритма решена задача о конвекции около квадратного нагревателя. Сравнение с экспериментальными и численными данными, представленными в работе [22] показало хорошее совпадение результатов для стационарных течений, реализующихся при Сг < 105.

Рассмотрена задача о естественной конвекции в канале с одиночными изопериметрическими нагревателями круговой и профилированной формы при Рг = 0.72, 103 < Сг < Ю5. Течение около профилированного нагревателя стационарно во всем указанном диапазоне. В случае кругового нагревателя при Сг < Сг* = 3000 реализуется стационарное течение, а при Сг > Сг* - периодическое, характеризующееся образованием вихревой дорожки Кармана. При Сг < С г* теплообмен в случае профилированного нагреватель оказывается более эффективным. Возникающие при Сг > Сг" периодические срывы вихрей с кругового нагревателя приводят к скачкообразному увеличению его теплоотдачи. В указанном диапазоне интегральное число Нуссельта кругового нагревателя выше, чем профилированного.

Произведено моделирования ряда задач о конвекции около системы цилиндрических нагревателей различных форм и компоновок при Сг = 10\ Рг — 0.72. Показано, что при конвекции около двух круговых цилиндрических нагревателей расположение нагревателей поперек потока оказывается более эффективным как по скорости индуцированного конвективного течения, так и по теплосъему с поверхности нагревателей по сравнению с тапдемпым расположением. При конвекции около четырех круговых нагревателей, расположенных квадратом, скорость тече

Заключение

В диссертации разработан метод расчета нестационарных задач обтекания системы тел потоком вязкой несжимаемой жидкости, основанный па прямом численном решении системы уравнений Навье-Стокса в постановке функция тока-завихренность, дополненной нелокальными интегральными условиями. Представленный метод позволяет моделировать как вынужденные течения, так и сложные неизотермические процессы в каналах, когда движение жидкости обусловлено выталкивающими силами (задачи о естественной конвекции) с произвольно большими Re.

Предложенный метод протестирован на репрезентативных задачах: развитие течения Пуазейля в канале, обтекание стационарного кругового цилиндра, эллипса и крылового профиля при Re < 106, естественная конвекция в вертикальном канале около квадратного нагревателя. Полученные решения хорошо согласовались с известными аналитическими, численными и экспериментальными данными. Построена зависимость коэффициента сопротивления кругового цилиндра от Re, па которой отражен эффект кризиса сопротивления при Re w 105.

Произведено параметрическое исследование задачи об обтекании кругового цилиндра, вращающегося со скоростью а при 50 < Re < 500, 0 < (х < 7. Построена параметрическая карта режимов течения, па которой выделена область периодического течения с образованием дорожки Кармана, области стационарного течения с положительным и отрицательным коэффициентом сопротивления, область периодического течения со срывом крупных вихрей с верхней кромки цилиндра и область стационарного течения при больших скоростях вращения. Показано, что для больших а коэффициент сопротивления стремится к нулю, а подъемная сила неограниченно возрастает по закону С,, — '2тга, что иодтверждает известное асимптотическое решение при а —> оо.

Рассмотрена задача о естественной конвекции в вертикальном канале с одиночными изопериметрическими нагревателями круговой и профилированной формы при Рг = 0.72, 103 < Сг < 105. Показано, что при Сг « 3000 происходит смена режима конвекции около кругового нагревателя со стационарного на периодический, а течение около профилированного нагревателя стационарно во всем указанном диапазоне. В результате сравнения рассматриваемых течений выделено три параметрических диапазона: при Сг < 3000 скорость конвективного течения и интенсивность теплообмена в случае профилированного нагревателя оказывается выше, чем кругового; при 3000 < Сг < 15000 скорость течения и число N11 выше у кругового нагревателя; при Сг > 15000 конвекция около кругового нагревателя происходит с большей теплоотдачей, но меньшей скоростью.

Произведено моделирование конвекции около системы нагревателей различных компоновок при Сг = 104, Рг = 0.72 в вертикальном канале. Показано, что расположение двух круговых нагревателей поперек потока оказывается более эффективным как по скорости течения, так и по теплоотдаче по сравнению с тандемным расположением. При конвекции около четырех круговых нагревателей, расположенных квадратом, скорость течения оказывается большей, а интенсивность теплообмена -меньшей, по сравнению с шахматным компоновкой. Рассмотрена конвекции около трех изопериметрических нагревателей круговой и профилированной формы, расположенных поперек канала. Из-за различных режимов индуцированных течений профилированные нагреватели обеспечивали больший расход жидкости, а круговые - большую интенсивность теплообмена.

1. Bassi F., Crivellin A., Daniele A. ct al. An implicit high-order discontinuous Galerkin method for steady and unsteady incompressible flows // Computers & Fluids. 2007. no. 36. Pp. 1529-1546.

2. Bassi F., Crivellin A., Di Pietro D. A., Rebay S. An artificial compressibility flux for the discontinuous Galerkin solution of the incompressible Navier-Stokes equations // Journal of Computational Physics. 2006. no. 218. Pp. 794-815.

3. Benjamin T. B. Bifurcation phenomena in steady flows of a viscous fluid. I. Theory, II. Experiments //' Proc. Roy. Soc. London Ser. A. 1978. no. 359. Pp. 1-43.

4. Boffcta G., Cencini M., Espa S., Querzoli G. Experimental evidence of chaotic advcction in a convective flow // Europhysics Letters. 1999. no. 48. Pp. 629-633.

5. Busse F. The stability of finite amplitude cellular convection and its relation to an extrenium principle // J. Fluid Mech. 1967. no. 30. Pp. 625-650.

6. Chen Y.-M., Ou Y.-R., Pearlstein A. J. Development of the wake behind a circular cylinder impulsively started into rotary and rectilinear motion // J. Fluid Mech. 1993. no. 253. Pp. 449-484.

7. Chen Y. S. A numerical methods for three-dimensional incompressible flows using nonorthogonal body-fitted coordinate systems / / AIAA Paper. 1986. no. 86-1654.

8. Coutanceau M., Bouard R. Experimental determination of the main features of the viscous flow in the wake of a circular cylinder in uniform translation: steady flow //' J. Fluid Mech. 1977. no. 70. Pp. 231-256.

9. Coutanceau iYl., Menard C. Influence of rotation on the near-wake development behind an impulsively started circular cylinder //J. Fluid Mech. 1985. no. 158. Pp. 399-446.

10. Davis T. A. Direct methods for sparse linear systems. SIAM, 2006. 217 pp.

11. Dimopoulous H., Hanratty T. Velocity gradients at the wall for flow around a cylinder for Reynolds number between 60 and 360 // J. Fluid Mech. 1968. Pp. 303-319.

12. Dynnikova G. Ya. The Viscous Vortex Domains (WD) method for non-stationary viscous incompressible flow simulation /7 Proc. of the IV European Conference on Computational Mechanics, Paris, May 16-21. 2010.

13. E W., Liu J.-G. Vorticity boundary condition and related issues for finite difference schemes // J. of Comp. Phys. 1996. no. 124. Pp. 368-382.

14. Fenstermacher P. R., Swinney H. L., Gollub J. P. Dynamical instabilities and the transition to chaotic Taylor vortex // J. Fluid Mech. 1979. no. 94. Pp. 103-128.

15. Fico V., Emerson D., Reese J. A parallel compact-TVD method for compressible fluid dynamics employing shared and distributed-memory paradigms //' Computers and Fluids. 2011. Vol. 45, no. 1. Pp. 172-176.

16. Glowinski R. Finite element methods for incompressible viscous flow. Handbook of numerical analysis. V. 9. Numerical Methods for Fluids. (Part 3). Amsterdam: North-Holland, 2003. 1176 pp.

17. Herrmann E., Lihavainen H., Hyvarinen A.-P. et al. Nucleation simulations using the fluid dynamics software FLUENT with the fine particle model FPM // The Journal of Physical Chemistry. 2006. Vol. 110, no. 45. Pp. 12448-12455.

18. Hirscli C. Numerical Computation of Internal and External Flows. Vol 2. Chichester: Wiley, 1990. 715 pp.

19. Homann A. Influence of higher viscosity on flow around cylinder /'/ Gebiete Ingenieur. 1936. Pp. 1-10.

20. Kang S., Choi H., Lee S. Laminar flow past a rotating circular cylinder // Phvs. Fluids. 1999. Vol. 11, no. 11. Pp. 3312-3321.

21. Karim F., Farouk B., Narrier I. Natural convection heat transfer from a horizontal cylinder between vertical confining adiabatic walls // J. Heat Transfer. 1986. no. 108. Pp. 291 -298.

22. Khodary K., Bhattacharyya T. K. Optimum natural convection from square cylinder in vertical channel /'/ Int. J. of Heat and Fluid Flow. 2006. no. 27. Pp. 167-180.

23. Konka W. T. Natural convection heat transfer around horizontal tube in vertical slot // Int. J. Heat Mass Transfer. 2000. no. 43. P. 447-455.

24. Kumar B., Mittal S. Prediction of the critical Reynolds number for flow past a circular cylinder //' Cornput. Meth. Appl. Mecli. Eng. 2005. Pp. 6046- 6058.

25. Kuzmin D., Turek S. High-resolution FEM-TVD schemes based on a fully multidimensional flux limiter // J. of Cornp. Physics. 2004. Vol. 198. Pp. 131-158.

26. Lam K. M. Vortex shedding flow behind a slowly rotating circular cylinder // Journal of Fluids and Structures. 2009. no. 25. Pp. 245-262.

27. Laney C. B. Computational Gas Dynamics. Cambridge University Press, 1998. 613 pp.

28. Latimer B. R., Pollard A. Comparison of pressure-velocity coupling solution algorithms /'/ Nurner. Heat Transfer. 1985. Vol. 8, no. 6. Pp. 635-652.

29. Lax P. D. Systems of conservation Laws and mathematical theory of shock waves. Philadelphia: SIAM publications, 1973. 59 pp.

30. Liu J.-G., Wang C. High order finite difference methods for unsteady incompressible flows in multi-connected domains // Computers & Fluids. 2003. no. 33. Pp. 223-255.

31. Lomfcev I., Karniadakis G. E. A discontinuous Galerkin method for the Navier-Stokes equations // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1999. no. 29. Pp. 587-603.

32. Mills A. F. Heat Transfer. New Jersey: Prentice-Hall, 1999.

33. Mittal S. Three-Dirnensional Instabilities in Flow Past a Rotating Cylinder // Journal of Applied Mechanics. 2004. Vol. 71. Pp. 89-95.

34. Mittal S., Kumar B. Flow past a rotating cylinder // J. Fluid Mecli. 2003. Vol. 476. Pp. 303-334.

35. Napolitano M., Pascazio G., Quartapelle L. A review of vorticity conditions in the numerical solution of the £ — -ip equations // Computers & Fluids. 1999. no. 28. Pp. 139-185.

36. Naylor D., Tarasuk J. O. Natural convective heat transfer in a divided vertical channel: Part I numerical study // J. Heat, Transfer. 1993. no. 115. Pp. 377-387.

37. Norbcrg C. Pressure forces on a circular cylinder in cross flow, in: H. Eckelmann, J.M. R Graham, P. Huerre, P.A. Monkewitz (Eds.). Bluff-Body Wakes Djmamics and Instabilities. Berlin: Springer-Verlag, 1993. Pp. 275 -278.

38. Orlanski I. A simple boundary condition for unbounded hyperbolic flows // J. of Comp. Phys. 1976. Vol. 21, no. 3. Pp. 251-269.

39. Prandtl L. The Magnus effect and windpowered ships // Naturwissenschaften. 1925. no. 13. Pp. 93-108.

40. Quartapclle L. Numerical solution of the incompressible Navier-Srokes Equation. Berlin: Birkhauscr, 1983.

41. Rajani B. N. Kandasamy A. Majunidar S. Numerical simulation of laminar flow past a cyrcular cylinder // Applied Mathematical Modelling. 2009. no. 33. Pp. 1228-1247.

42. Roshko A. On the development of turbulent wakes from vortex streets // Supersedes NACA TN 2913. 1953.

43. Roshko A. Experiments on the flow past a circular cylinder at very high Reynolds number // Journal of Fluid Mechanics. 1961. no. 10. Pp. 345-356.

44. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. SIAM, 2003. 528 pp.

45. Sattinger D. H. Bifurcation and symmetry breaking in applied mathematics /'./ Bull. Amer. Math. Soc. 1980. Vol. 3, no. 2. Pp. 779-819.

46. Singh S. P. Mittal S. Flow Past a Cylinder: Shear Layer Instability and Drag Crisis /'/ International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2005. Vol. 47. Pp. 75-98.

47. Sparrow E. M., Pfeil D. R. Enhancement of natural convection heat transfer from a horizontal cylinder due to vertical shrouding surface /,' J. Heat Transfer. 1984. no. 106. Pp. 124—130.

48. Stojkovic D., Breuer M. Durst F. Effect of high rotation rates on the laminar flow around a circular cylinder /./ Pliys. Fluids. 2002. Vol. 14, no. 9. Pp. 3160-3178.

49. Taneda S. Experimental investigation of the wakes behind cylinder and plates at low Reynolds number //' J. Phys. Soc. Jpn. 1956. Vol. 11, no. 3. Pp. 302-306.

50. Taneda S. Flow Visualization: Scientific Images, Ed. by R. Takaki. Sci-Press, 2000. 431 pp.

51. Thorn Л. The flow past circular cylinder at low speeds // Proc. Royal Soc. A. 1933. Pp. 651-669.

52. Tokumaru P. Т., Dimotakis P. E. Rotary oscillation control of cylinder wake // J. Fluid Mech. 1991. no. 224. Pp. 77-90.

53. Trottenberg U., Oosterlee C., Schuller A. Multigrid. Academic Press, 2001. 631 pp.

54. Van Doormaal J. P., Raithbv G. D. Enhancements of SIMPLE method for predicting incompressible fluid flow / / Nurner. Heat Transfer. 1984. Vol. 7, no. 2. Pp. 147-163.

55. Verst.eeg H. K., Malalasekera YV. An introduction to computational fluid dynamics: the finite volume method. Harlow: Pearson Education Limited, 2007. 412 pp.

56. Vortex Dynamics and Vortex Methods, Ed. by C. Anderson, C. Green-gard. American Mathematical Society, 1991. 737 pp.

57. Wcsseling P. An introduction to multigrid methods. J. Wiley. 1992. 284 pp.

58. Williamson C. Vortex dynamics in the cylinder wakes // Ann. Rev. Fluid Mech. 1996. no. 28. Pp. 477-539.

59. Zdravkovich M. M. Flow around Circular Cylinders. New York: Oxford University Press. 1997. 694 pp.

60. Алексюк А. И. Шкадова В. П., Шкадов В. Я. Гидродинамическая неустойчивость отрывного обтекания кругового цилиндра вязкой жидкостью // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2010. Т. 5. С. 51-57.

61. Андронов П. Р., Гувернкж С. В., Дыпникова Г. Я. Вихревые методы расчёта нестационарных гидродинамических нагрузок. М.: Из-во Московского ун-та, 2006. 184 с.

62. Аэродинамика автомобиля: Пер. с нем., Под ред. Г. Гухо. М.: Машиностроение, 1987. 424 с.

63. Басин А. М., Анфимов В. Н. Гидродинамика судна. Л.: Речной транспорт, 1961. 684 с.

64. Белов И. А., Исаев С. А., Коробков В. А. Задачи и методы расчетао-трьгвных течений несжимаемой жидкости. М.: Судостроение, 1989. 256 с.

65. Белов И. А., Кудрявцев Н. А. Теплоотдача и сопротивление пакетов труб. Л.: Эпергоатомиздат, 1987. 223 с.

66. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1988. 424 с.

67. Белоцерковский С. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газодинамике. М.: Наука, 1982. 392 с.

68. Быстров Ю. А., Исаев С. А., Кудрявцев Н. А., Леонтьев А. И. Численное моделирование вихревой интенсификации теплообмена в пакетах труб. Спб.: Судостроение, 2005. 390 с.

69. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости: Пер. с нем. М.: Мир, 1973. 760 с.

70. Валландер С. В. Протекание жидкости в турбине // ДАН СССР. 1952. Т. 8. № 4. С. 435- 444.

71. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа: пер. с англ. М.: Мир, 1986. 184 с.

72. Галагер Р. Метод конечных элементов. Основы: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 428 с.

73. Гарнышев М. Ю.; Калинин Е. И., Мазо А. Б. Численное моделирование естественной конвекции вязкой жидкости в канале с несколькими нагревателями // Тр. Мат. центра им. Н.И. Лобачевского. 2006. Т. 34. С. 51-54.

74. Гебхарт Б., Джалурия И., Махаджан Р., Саммакия Б. Свободнокон-вективные течения, тепло- и массообмен: в 2 т. М.: Мир, 1991.

75. Гилъманов А. Н., Кулачкова Н. А. Численное исследование двумерных течений газа со скачками методом TVD па физически адаптивных сетках // Матем. моделирование. 1995. Vol. 7, по. 3. Pp. 97 -106.

76. Гильфаиов А. К. Зарипов Т. Ш. Возможности параллельных вычислений при решении задач газовой динамики в среде CFD программы FLUENT // Известия ВУЗов. Авиационная техника. 2009. № 1. С. 40-44.

77. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Мат. сборник. 1959. Vol. 47 (89), по. 3. Pp. 271-306.

78. Гортышов Ю. Ф., Олимииев В. В. Теплообмепные аппараты с интенсифицированным теплообменом. Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 1999. 176 с.

79. Даутов Р. 3., Кармсвский М. М. Ведение в теорию метода конечных элементов. Казань: Изд-во КРУ, 2004. 239 рр.

80. Демидов Д. Е., Егоров А. Г., Нуриев А. Н. Решение задач вычислительной гидродинамики с применением технологии NVIDIA CUDA // Физико-математические науки, Учен. зап. Казан, гос. унта. 2010. Т. 1-52, ки.1. С. 142-154.

81. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений: Пер. с англ. М.: Мир. 1984. 333 с.

82. Дынникова Г. Я. Лагранжев подход к решению нестационарных уравнений Навье-Стокса// ДАН. 2004. Т. 399, № 1. С. 42-46.

83. Жукаускас А. А. Конвективный теплообмен в теплообменниках. М.: Наука, 1982. 472 с.

84. Жукаускас А. А., Улинскас Р. В. Теплопередача поперечно-обтекаемых пучков труб. Вильнюс: Мпитис, 1986. 204 с.

85. Жуковский Н. Е. Собрание сочинений. Т.2. Гидродинамика. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. 765 с.

86. Зенкевич О., Моргай К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. М.: Мир, 1986.

87. Ильгамов М. А., Гпльманов А. Н. Неотражающие граничные условия па границах расчетной области. М.: Физматлит. 2003. 240 с.

88. Калинин Е. И. Численное решение задачи об обтекании системы тел в переменных «функция тока завихренность» // Тр. Мат. Центра им. Н.И. Лобачевского. 2008. Т. 37. С. 67 69.

89. Калинин Е. И. Расчет вязких отрывных течений на основе МКЭ с иомогцыо технологии CUDA // Материалы VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. 2010. С. 371-373.

90. Калинин Е. И., Мазо А. Б. Алгоритмы расчета давления при решении уравнений Павье-Стокса в преобразованных переменных // Модели и методы аэродинамики. Материалы Девятой Международной итколы-ссмииара, г. Евпатория, 4-13 июня 2009 г. С. 100-101.

91. Калинин Е. И., Мазо А. Б. Расчет вязкого обтекания вращающегося цилиндра в до- и закритических режимах // Модели и методы аэродинамики. Материалы Десятой Международной школы-семинара, г. Евпатория, 4-13 июня 2010 г. С. 78-79.

92. Калинин Е. И., Мазо А. Б. Численное моделирование развития турбулентности в отрывных течениях // Модели и методы аэродипамики. Материалы Одиннадцатой Международной школы-семинара, г. Евпатория, 4-13 июня 2011 г. С. 78-79.

93. Калинин Е. И., Мазо А. Б. Численное решение задач обтекания системы тел в переменных «функция тока-завихреипость» // Ученые записки КазГУ. Серия физ.-мат. науки. 2009. Т. 151, кп.З. С. 149-159.

94. Калинин Е. И., Мазо А. Б. Расчет вязкого обтекания тела при больших числах Рейнольдса при помощи МКЭ // Материалы VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и стрз'ях. 2010. С. 303-306.

95. Калинин Е. И. Мазо А. Б. Численное моделирование естественной конвекции в вертикальном канале с системой нагревателей // Известия Высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия Естественные пауки. 2010. № 6. С. 19-23.

96. Калинин Е. И. Мазо А. Б. Численное моделировании ламинарногообтекания вращающегося цилиндра // Материалы Восьмой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых зада и приложения». 2010. С. 228-233.

97. Калинин Е. И. Мазо А. Б. Влияние формы нагревателей на теплообмен при естественной термокопвекции в вертикальном канале // Тепловые процессы в технике. 2011. №4. С. 159-164.

98. Калинин Е. PI., Мазо А. Б. Прямое численное моделирование кризиса сопротивления при обтекании кругового цилиндра // Материалы XVII Международной конференции по вычислительной меха-пике и современным прикладным программным системам. 2011. С. 368-370.

99. Калинин Е. PI., Мазо А. Б. Стационарные и периодические режимы обтекания вращающегося цилиндра // Ученые записки ЦАГР1. 2011. Т. 42, № 5. С. 59-71.

100. Карман Т. Аэродинамика. Избранные темы в их историческом развитии: Пер. с англ. Ижевск: НР1Ц «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 208 с.

101. Качапов Ю. С. Козлов В. В. Левченко В. Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое. Новосибирск: Наука, 1982. 151 с.

102. Колтоп А. Ю. Основы теории и гидродинамического расчета водяных турбин. М.: Машгиз. 1958. 358 с.

103. Кутатсладзе С. С., Леонтьев А. И. Теплообмен и трение в турбулентном пограничном слое. М.: Энергия, 1972. 342 с.

104. Ламб Г. Гидродинамика: пер. с англ. М.-Л.: ГР1ТТЛ, 1947. 928 с.

105. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6: Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

106. Лапин Ю. В., Стрелец М. X. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989. 368 с.

107. Лобачев М. П. Разработка алгоритма расчета поля давления в потоке вязкой жидкости конечноразностным методам. Технический отчет ЦНИИ им. акад. А.Н.Крылова, вып. 35535. 1993. 21 рр.

108. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Мир, 1973. 760 с.

109. Мазо А. Б. Численное моделирование свободной конвекции вязкой жидкости в канале с нагретым цилиндром // Ученые записки Казанского ун-та. Серия Физ.-мат. Науки. 2005. Т. 147, кн.З. С. 141-147.

110. Мазо А. В., Даутов Р. 3. О граничных условиях для уравнений Навье- Стокса в переменных функция тока завихренность при моделировании обтекания системы тел // ИФЖ. 2005. Т. 78, 2. С. 75-79.

111. Мазо А. В., Морепко И. В. Численное моделирование вязкого отрывного обтекания вращающегося кругового цилиндра // ИФЖ. 2006. Т. 79, № 3. С. 75-81.

112. Основы работы с технологией С1ЛЭА, Под ред. Л. В. Боресков, А. А. Харламов. М.: ДМК-Пресс, 2010. 232 с.

113. Остославский И. В. Аэродинамика самолета. М.: Оборонгиз, 1957. 562 с.

114. Патанкар С. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах: Пер. с англ. М.: Изд. МЭИ, 2003. 312 с.

115. Петров А. Г. Аналитическая гидродинамика. М.: Физматлит, 2009. 520 с.

116. Письменный Е. Н. Теплообмен и аэродинамика пакетов поперечпо-оребренных труб. Киев: Альтерпрес. 2004. 244 с.

117. Полежаев В. И., Бунэ А. В., Верезуб П. А. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена па основе уравнений Навье-Стокса, Под ред. В. С. Авдуевского. М.: Наука, 1987. 342 с.

118. Пономоренко В. С., Арефьев Ю. И. Градирни промышленных и энергетических предприятий. Справочное пособие. М.: Энергоатом-издат, 1998. 376 с.

119. Прапдтль Л. Гидроаэромеханика: Пер. с англ. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 576 с.

120. Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика. В 2-х т.: пер. с нем. М.-Л.: Гос. технико-теоретическое изд-во, 1933-1935.

121. Приходько А. А., Редчиц Д. А. Численное моделирование нестационарного отрывного обтекания вращающегося цилиндра песжимаемой вязкой жидкостью // Механика жидкости и газа. 2009. № 6. С. 32-39.

122. Роуч П. Вычислительная гидромеханика: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 618 с.

123. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

124. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука. 1989. 432 с.

125. Самарский А. А., Попов Ю. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992. 424 с.

126. Себиси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен.: Пер. с англ. М.: Мир, 1987.

127. Теплообменные аппараты газотурбинных установок. Основы проектирования, Под ред. И. А. Богова. СПб: Полигон, 2010. 208 с.

128. Фатеев Е. М. Ветродвигатели и ветроустановки. М.: Государственное изд-во сельскохозяйственной литературы, 1948. 546 с.

129. Флегчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2 т.: Пер. с англ. М.: Мир. 1991.

130. Чаплыгин С. А. Собрание сочинений в четырех томах. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.

131. Черный Г. Г. Газовая динамика. М.: Мир, 1973. 760 с.

132. Шкадов В. Я., Запрянов 3. Д. Течения вязкой жидкости. М.: Издательство МГУ, 1984. 200 с.

133. Шкадова В. П. Вращающийся цилиндр в потоке вязкой несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1982. № 1. С. 16-21.

134. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя: пер. с нем. М.-Л.: Наука, 1974. 712 с.