Численное исследование свободных и вынужденных колебаний тел в потоке тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ЩУР Николай Алексеевич

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ТЕЛ В ПОТОКЕ

Специальность 01 02 05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ооз

164524

Санкт-Петербург - 2007

Работа выполнена на кафедре гидроаэродинамики ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет"

Научный руководитель кандидат физико-математических наук,

доцент Зайцев Дмитрий Кириллович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Стрелец Михаил Хаимович

кандидат технических наук, Лобачев Михаил Павлович

Ведущая организация ФГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный

университет"

Защита состоится Л* » _ 2008 года в_часов на заседании

диссертационного совета Д 212 229 07 при ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет" (195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул , 29, корпус 1, кафедра гидроаэродинамики)

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет"

Автореферат разослан « »_2008 года

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Зайцев Д К

Общая характеристика работы Актуальность проблемы

Существует обширный ряд задач гидродинамики, в которых имеет место взаимодействие между движением твердого тела в потоке и конфигурацией самого потока Это задачи аэроупругости К данному классу задач относятся флаттер крыла, колебания высотных зданий и сооружений под ветровой нагрузкой, автоколебания трубчатых теплообменников, опор нефтяных платформ, подвесных мостов, лопаток турбомашин, колебания гибких крыльев, деформация обтекаемых поверхностей и т д Практическая значимость задач аэроупругости во многих инженерных приложениях неоспорима Однако на данный момент для решения подобных задач используются, как правило, весьма упрощенные модели, основанные на интегральных балансовых соотношениях и, зачастую, не учитывающие взаимного влияния гидродинамической нагрузки и движения тела Между тем, точность и достоверность полученных таким образом данных вызывают серьезное сомнение

Применение упрощенных постановок связано, прежде всего, с тем, что численное решение задач, имеющих значение для практических приложений, в полной постановке является очень ресурсоемким Большие вычислительные затраты связаны как с большим временем установления для задач с обратной связью, так и с моделированием турбулентности От способа моделирования турбулентности зависит точность, а в некоторых случаях - и физическая адекватность решения Известно, в частности, что широко распространенные URANS модели турбулентности (fc-e, к-со и др ) не позволяют адекватно моделировать течение в случаях, когда крупномасштабные вихревые структуры составляют суть явления и/или оказывают существенное влияние на исследуемые характеристики течения (как, например, при расчете обтекания цилиндра) Подобная ситуация может иметь место и при рассмотрении интенсивных колебаний тел в потоке

Весьма эффективным средством решения задач с крупномасштабными вихрями является применение гибридных RANS-LES подходов (в частности, DES) Однако опыт применения подобных вихре-разрешающих формулировок к расчету обтекания колеблющихся тел крайне невелик, что определяет необходимость дальнейшего тестирования этого подхода применительно к данному классу течений

Исключительная сложность задачи аэроупругости о колебаниях тела в потоке жидкости усугубляется необходимостью вести расчет в области с изменяющейся геометрией Хотя подобная опция имеется во многих коммерческих

гидродинамических пакетах, учет взаимного влияния течения жидкости и движения обтекаемого тела является очень непростой задачей, требующей высокой квалификации исследователя Как следствие, подобные исследования встречаются крайне редко Фактически, численное решение задач аэроупругости с совместным интегрированием уравнений гидродинамики (с применением трехмерных вихре разрешающих подходов) и уравнений движения обтекаемого тела является передовым краем современной вычислительной гидродинамики

В настоящей работе рассмотрены две задачи, связанные с колебаниями тел в жидкости Это систематическое численное исследование автоколебаний круглого цилиндра в однородном потоке и расчет течения, создаваемого колебаниями упругой консольной пластины Обе задачи решены с полным учетом взаимного влияния течения жидкости и движения тела, с применением трехмерных вихре-разрешающих формулировок С учетом изложенного ранее, подобное исследование является безусловно актуальным и представляет несомненный интерес для вычислительной гидродинамики Помимо этого, обе рассмотренные задачи имеют и непосредственное практическое значение

Цели работы

Представляемая диссертационная работа направлена на

- Разработку и внедрение метода деформируемых сеток в программный комплекс общего назначения SINF Тестирование метода

- Доработку комплекса SINF для расчета автоколебаний цилиндра Проведение тестовых расчетов для ламинарного режима обтекания, сравнение результатов расчета и эксперимента

- Систематическое численное исследование автоколебаний цилиндра в турбулентном потоке с применением двумерной (URANS) и трехмерной (DES) постановок Сравнение полученных результатов с данными измерений Оценку применимости двумерной постановки Исследование структуры вихревого следа за колеблющимся цилиндром

- Численное моделирование струи, индуцируемой колебаниями упругой консольной пластины Исследование структуры полученного течения

Научная новизна работы

Исследования, проведенные в диссертационной работе, позволили получить ряд новых результатов

- Впервые проведено подробное численное исследование поперечных автоколебаний цилиндра в турбулентном потоке в рамках двумерной (URANS) и трехмерной (DES) формулировки Получены амплитудные и частотные характеристики колебаний, а также осредненные параметры силового воздействия на цилиндр в зависимости от приведенной скорости потока,

- Обнаружено, что результаты трехмерного расчета хорошо согласуются с экспериментальными данными как по амплитуде и частоте колебаний цилиндра, так и по уровню гидродинамической нагрузки, тогда как двумерный расчет недооценивает амплитуду колебаний цилиндра и дает более узкую область захвата частоты,

- Исследована структура вихревого следа за осциллирующим цилиндром, определены режимы схода вихрей внутри области захвата частоты Впервые обнаружен S+P режим схода вихрей вблизи правой границы области захвата частоты, а также чередование 2S и 2Р режимов схода вихрей в области "upper" режима, сопровождаемое существенным изменением амплитуды и частоты колебаний цилиндра,

- Впервые проведено численное моделирование течения, индуцируемого колебаниями упругой консольной пластины, в рамках трехмерной (DES) формулировки с учетом обратного влияния жидкости на движение пластины Получен эффект генерации струи, картина течения согласуется с данными наблюдений,

- Проанализирована структура потока Обнаружено, в частности, что вблизи передней кромки пластины имеется зона возвратных токов, угол раскрытия струи составляет около 45° Показано, что струя генерируется в основном боковыми кромками пластины

Достоверность полученных результатов Достоверность полученных численных результатов обосновывается использованием хорошо отлаженного программного комплекса SINF, верификация которого осуществлялась путем сопоставления результатов расчетов с данными

теории и экспериментов для ряда модельных и тестовых задач Приложение этого пакета к расчету канонических задач в настоящей работе служило основой при верификации реализованного автором метода деформируемых сеток Все расчеты выполнены с применением дискретизации второго порядка точности по времени и пространству Параметры расчетной схемы подбирались при проведении предварительных методических расчетов, результаты которых сопоставлялись с экспериментальными данными

Практическая ценность работы

Практическая значимость диссертационной работы состоит в следующем

- базовый программный комплекс SINF доработан для моделирования течений жидкости в областях с изменяющейся геометрией на основе метода деформируемых сетках, что существенно расширило область применимости комплекса,

- продемонстрирована эффективность трехмерного вихреразрешающего подхода (DES) для расчета турбулентного обтекания колеблющихся тел,.

- для течения генерируемого колебаниями упругой пластины получены осредненные поля скорости и давления, а также представительная выборка мгновенных полей, которые могут служить основой для будущего исследования пульсационных характеристик течения

Апробация работы

Результаты работы докладывались на российских и международных конференциях и семинарах XV школе-семинаре молодых ученых и специалистов под руководством акад РАН А И Леонтьева "Процессы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках" (Калуга, 2005), IX всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 22-28 августа 2006г), международной научной конференции "Параллельные вычислительные технологии" (Челябинск, 29 января - 2 февраля 2007г ), международной конференции по параллельным технологиям в вычислительной гидродинамике (Parallel CFD) (Анталия, Турция 2007), XVI школе-семинаре молодых ученых и специалистов под руководством акад РАН А И Леонтьева «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках» (С -Петербург, 21-25 мая 2007 г )

Публикации по теме диссертации

Основные результаты работы изложены в шести научных публикациях, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения Работа изложена на 105 страницах машинописного текста, включая 5 таблиц и 56 рисунков Список литературы содержит 126 наименований

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы исследования, ее научное и практическое значение, сформулированы основные задачи работы В первой главе приводится обзор литературы по тематике работы В разделе 1 1 рассмотрены работы по исследованию автоколебаний цилиндра в однородном потоке Пристальное внимание уделено режимам схода вихрей, которые определяют структуру следа за цилиндром Также приводятся результаты работ по исследованию вынужденных колебаний цилиндра

Помимо обзора экспериментальных исследований в разделе также присутствует обзор результатов большого числа расчетов, проделанных различными авторами Ряд работ посвящен исследованию ламинарного режима обтекания цилиндра, который не вносит дополнительной неопределенности, связанной с моделированием турбулентности, и, к тому же, позволяет использовать более экономичную двумерную постановку задачи Существенная часть этих исследований опирается на эксперимент (Anagnostopoulos & Bearman 1992), который, по сути, является единственным доступным экспериментом для ламинарного режима обтекания

В представленных численных исследованиях автоколебаний цилиндра в турбулентном потоке, преобладают исследования, использующие двумерную постановку задачи с применением (URANS) подхода для моделирования турбулентности Небольшое число расчетов на основе трехмерных вихре-разрешающих формулировок (DES подход) для моделирования турбулентности объясняется значительными вычислительными затратами при проведении подобных расчетов Отмечается, что расчеты автоколебаний цилиндра в турбулентном потоке с использованием вихре-разрешающих формулировок дают гораздо лучшее согласие с

экспериментом, чем двумерные расчеты Однако опыт применения трехмерных формулировок в этой области еще слишком мал для окончательных выводов

Раздел 1 2 посвящен исследованию течения генерируемого колебаниями упругой пластины в неподвижной жидкости Технологическим устройством, использующим этот эффект для охлаждения тепловыделяющих элементов внутри электронных приборов, является пьезовентилятор

Исследование структуры течения, создаваемого пластиной пьезовентилятора, находится в зачаточном состоянии Эксперименты направлены, главным образом, на оценку интегрального охлаждающего эффекта пьезовентилятора и/или визуализацию потока Измерение скоростей в струе было выполнено лишь для модельного двумерного случая Немногие расчеты также ограничиваются двумерной постановкой задачи, хотя для большинства серийных моделей пьезовентилятора геометрия пластины предполагает существенные трехмерные эффекты

С учетом сказанного, выполненное в настоящей работе трехмерное численное моделирование струи, генерируемой колебаниями упругой консольной пластины, является первым в своем роде и представляет несомненный интерес для более глубокого понимания механизма генерации струи и роли различных факторов в этом процессе

В разделе 13 приводится краткая характеристика и сравнительная оценка основных подходов к учету движения границ расчетной области в задачах гидродинамики С учетом особенностей различных подходов, показана целесообразность выбора метода деформируемых сеток для расчета обтекания колеблющихся тел (цилиндра и упругой пластины)

Во второй главе излагаются основы метода деформируемых сеток для решения задач гидродинамики в областях с изменяющейся геометрией В разделах 2 1 и 2 2 приведены уравнения гидродинамики для произвольного деформируемого объема и рассмотрены особенности их дискретизации В частности, обсуждается вопрос о способе вычисления скоростей граней ячеек В разделе 2 3 дано краткое описание программного комплекса БГИР и перечислены изменения, внесенные в данный комплекс в рамках настоящей работы для внедрения метода деформируемых сеток

В разделе 2 4 приводится описание разработанного автором алгоритма деформации блочно-структурированной сетки Разработанный алгоритм деформации сетки в некотором блоке исходит из того, что в блоке задан сегмент, положение которого в данный момент времени известно Пересчет координат узлов сетки вне

этого сегмента основан на поочередном расчете векторов перемещения узлов, расположенных вдоль сеточных линий, идущих от движущегося сегмента к границе блока При этом используется линейная интерполяция вдоль соответствующих сеточных линий

Достоинством данного способа деформации является его эффективность (отсутствие итераций) и возможность сохранять качество сетки вблизи твердой поверхности, где это наиболее актуально для получения точного решения

В разделе 2 5 представлены результаты тестирования блока процедур, ответственного за расчет на деформируемых сетках Первая серия тестовых расчетов была сделана для стационарных потоков, однако использовалась нестационарная формулировка задачи, причем расчетная сетка искусственно деформировалась во времени Были рассмотрены, в частности, однородный поток и неизотермическое течение в каверне с движущейся крышкой

Также была рассмотрена задача о внезапном приведении в движение шара, находящегося в безграничной несжимаемой покоящейся жидкости Суть теста состоит в том, что сравниваются решения, полученные в двух эквивалентных постановках В первой постановке шар и сетка неподвижны, а жидкость в области движется с единичной скоростью Во второй постановке шар движется вдоль оси х с отрицательной единичной скоростью, жидкость неподвижна, а сетка деформируется в соответствии с движением шара

Для всех рассмотренных тестов, деформация сетки не приводила к изменению результатов расчета относительно результатов на неподвижной сетке

В третьей главе приводятся результаты численного исследования поперечных автоколебаний упруго закрепленного круглого цилиндра в однородном ламинарном и турбулентном потоке

В разделе 3 1 дана общая постановка задачи об автоколебаниях цилиндра, приводится динамическое уравнение движения цилиндра, даны определяющие безразмерные параметры задачи Также приведено описание экспериментов, на которые опираются проведенные в настоящей работе расчеты

Для моделирования турбулентного следа за осциллирующим цилиндром, в работе использовалась как двумерная, так и трехмерная постановки В двумерной постановке для моделирования турбулентности использовалась низкорейнольдсовая SST модель Ментера Трехмерные расчеты выполнялись на основе DES подхода, в

котором SST модель использовалась в своей обычной RANS формулировке около стенки и плавно переходила в LES моду на удалении от нее

В разделе 3 2 показаны результаты методических расчетов по исследованию сеточной сходимости, а также зависимости получаемого численного решения от различных параметров расчетной схемы для ламинарного и турбулентного режима обтекания цилиндра

В пункте 3 2 1 проведено тестирование конечноразностной схемы, использованной для интегрирования уравнения движения цилиндра Показано, что численная диссипация схемы при расчете с шагами по времени, используемыми в гидродинамических расчетах, пренебрежимо мала по сравнению с демпфированием подвески

В пункте 3 2 2 даны результаты методических расчетов для ламинарного обтекания неподвижного цилиндра, в которых были подобраны шаги расчетной сетки и шаги по времени, необходимые для получения сеточно-независимого решения Полученная в расчетах зависимость числа Струхаля от числа Рейнольдса хорошо соответствует экспериментальными данными

В пункте 3 2 3 проведены методические расчеты для турбулентного обтекания неподвижного цилиндра при Re=5ООО В частности, для двумерного расчета турбулентного обтекания неподвижного цилиндра были подобраны шаги расчетной сетки и шаги по времени, достаточные для получения сеточно-независимого решения Приведены результаты трехмерных расчетов, проведенных для определения длины расчетной области и шага сетки вдоль осевого направления, достаточных для проведения основной серии расчетов

Обнаружено, что двумерные расчеты обтекания неподвижного цилиндра на порядок завышают амплитуду подъемной силы При этом амплитуда колебаний подъемной силы в двумерных расчетах практически не зависит от времени, тогда как в трехмерных расчетах наблюдаются ее хаотические низкочастотные пульсации

В разделе 3 3 приведены результаты численного моделирования автоколебаний цилиндра в ламинарном потоке На рис 1 результаты расчета сопоставлены с экспериментальными данными (Anagnostopoulos & Bearman 1992) Видно, что в расчете, как и в эксперименте, наблюдается синхронизация колебаний подъемной силы с колебаниями цилиндра (захват частоты), сопровождаемая резонансным увеличением амплитуды колебаний, частота колебаний цилиндра для этого режима соответствует его собственной частоте Вне области захвата частоты цилиндр

колеблется с естественной частотой схода вихрей. Амплитуда колебаний цилиндра максимальна вблизи левой границы области захвата частоты.

1.4 -

а) 1 1 1 1 1 1 .1 .Г к -1 7*1 1/1 к 1

I 1 ; / / У I / 1 1 1 1 1 1

' К 1 1 1 1 —1— -1- 1 1 1 1 1 1 -1-

б) ¡1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

V ^ 1 1 1 1 1 1 1

1 —1— 1 1 1 \ 1 1 '-Т- 1-

I ю Ле 120

90 100 110 йе 120 130 140 90 100

Рис. 1. Зависимость частоты схода вихрей (а) и амплитуды установившихся колебаний цилиндра (б) от числа Рейнольдса: > ,-в- - эксперимент (Аг^гкжЮроЫов & Веагтап 1992), ■ - настоящий расчёт, — ---неподвижный цилиндр

Однако можно отметить, что амплитуда колебаний, полученная в расчёте, существенно меньше, а область захвата частоты несколько уже, чем в эксперименте, и слегка сдвинута влево. Дополнительное методическое исследование обнаружило значительный разброс расчетных данных, полученных разиыми авторами, причем для ряда работ на основании косвенных признаков было выявлено неверное задание параметров задачи. Результаты настоящего расчета хорошо согласуются с результатами аккуратно проведённых расчётов других авторов. На основании проведенного анализа сделан вывод о непригодности результатов эксперимента (Anagnostopoulos & Веагтап 1992) для тестирования двумерных расчётов.

11омимо рассмотренного выше

-- 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 _ _ 1— 1 1 1 —1 _ _ 1 1 —1

-- 1 1 1 1 Т , 1 1 1 1 1 < 1 1 ' + 1 1 1 1

Ь 1 1 ; - + ~ -1 > й а 1 _ — 1 1 1 1 1 ' 1 1 1 _ _ |— 1 1 * 1 —^ _. ; —1 1 +

методического аспекта, проведённое исследование автоколебаний цилиндра в ламинарном потоке включало дополнительные серии расчётов с разными значениями удельной массы ш (до сих пор подобного параметрического исследования для ламинарного режима обтекания никем не проводилось). Результаты этих расчётов показаны

на рис.2. Можно отметить, в частности, что уменьшение удельной массы цилиндра вгдет к увеличению амплитуды резонансных колебаний и расширению области

90 100 110 Г*е 120 130 140

Рис.2. Зависимость амплитуды установившихся колебаний цилиндра от числа Рейнольдса (расчёт): ■ - т*= 149, • - т*=50, + - т*=17.85

захвата частоты; для случая ламинарного обтекания данная закономерность продемонстрирована впервые. Вблизи правой границы области захвата частоты обнаружен гистерезис, причём область гистерезиса становится шире с уменьшением массы цилиндра.

В разделе 3.4 приводятся результаты численного моделирования автоколебаний цилиндра в турбулентном потоке. Исследование было выполнено для режимных параметров, отвечающих условиям проведения экспериментов (Khalak & Williamson 1999) и (Govardhan & Williamson 2000). Па рис.3 показаны амплитудная и частотная характеристики колебаний цилиндра для удельной массы m =3.3. Видно, что двумерный расчёт дает заниженную амплитуду колебаний и явно недооценивает ширину области захвата частоты. Результаты трёхмерного расчёта хорошо согласуются с экспериментальными данными как по амплитуде, так и по частоте колебаний цилиндра. Можно отметить однако, что расчет не в полной мере воспроизводит локальное повышение амплитуды колебаний цилиндра вблизи левой границы области захвата частоты, отвечающее т.наз. "upper" режиму колебаний. Тем не менее наличие значительного подъёма амплитуды колебаний в упомянутой области можно считать серьёзным успехом настоящего расчёта, т.к. до сих пор ни в одном расчёте не удавалось воспроизвести данное явление.

Рисунок 3. Зависимость частоты (а) и амплитуды (б) автоколебаний цилиндра от скорости

потока (т*=3.3)

Помимо амплитудной и частотной характеристик получены зависимости амплитуды подъёмной силы и угла сдвига фаз между подъёмной силой и смещением цилиндра от приведённой скорости U . В окрестности резонансной частоты сдвиг фаз претерпевает изменение от значения, близкого к 0°, до почти 180°, что соответствует экспериментальным данным. Получено хорошее согласование между расчётом и

экспериментом для амплитуды подъёмной силы (некоторое рассогласование наблюдается только в области "upper" режима, где в эксперименте наблюдается более высокая амплитуда колебаний цилиндра, чем в расчёте).

На основании анализа структуры вихревого следа (рис.4) определены режимы схода вихрей с колеблюще-1 ося цилиндра. Вблизи левой границы области захвата частоты наблюдается 2S режим схода вихрей (рис.5а), когда за один период колебаний с цилиндра срываются два одиночных (Single) вихря. В середине области захвата частоты (рис.5б) режим схода вихрей соответствует 2Р моде, когда за один период колебаний с цилиндра срывается две пары (Pair) вихрей. Вблизи правой границы области захвата частоты обнаружен S+P режим схода вихрей; при этом наблюдалась перемежаемость двух «зеркальных» режимов асимметричного S+P скода вихрей. Также было обнаружено чередование 2S и 2Р режимов схода вихрей в области "upper" режима колебаний.

Рис.4. Трехмерная структура следа за колеблющимся цилиндром (изоповерхность Q-критерия; U =4.5, m =3.3)

Рис. 5. Поля завихренности м„ соответствующие 2Б (а) и 2Р (б) режимам схода вихрей

Четвертая глава посвящена численному исследованию течения, генерируемого колебаниями упругой консольной пластины.

В разделе 4.1 дана постановка задачи, приводится динамическое уравнение колебаний пластины и определяющие параметры задачи. Описана численная схема интегрирования уравнения движения пластины и результаты ее тестирования. Приводятся данные по размерам расчётной области и параметрам сетки, используемой в гидродинамическом расчёте.

В разделе 4.2 приведены результаты моделирования течения генерируемого упругой пластиной. На рис.6 представлена трёхмерная структура полученного течения. Можно отметить, что «видимая» внешняя граница струи на рис.6а сильно неоднородна и состоит из крупномасштабных всплесков и провалов, расположение которых существенно несимметрично относительно оси струи. Можно отметить также довольно большой (около 45°) угол раскрытия струи. Из особенностей вихревой структуры струи (рис.66) бросается в глаза хаотическое скопление вихрей различных масштабов, которые занимают почти сферический объём вблизи передней кромки пластины. Внутри этого вихревого облака идёт интенсивное перемешивание жидкости. При удалении от пластины интенсивность вихревых структур падает.

На рис.7 показано распределение осреднённой скорости в продольных сечениях струи. Видно, что вблизи передней кромки пластины расположена зона обратных токов, которая имеет сложную пространственную конфигурацию и, в частности, «охватывает» колеблющуюся пластину сверху и снизу (рис.76). Как видно из рис.7а, скорость нарастает вдоль боковых кромок от защемлённого к свободному концу пластины, а затем полученные струи, огибая застойную зону перед передней кромкой

Рис. 6. Мгновенная изоповерхность продольной составляющей скорости (а) и (^-критерия (б) в струе

пластины, сливаются, и формируют общую струю. Сравнивая поле скоростей на рис.7а с вихревой структурой струи (рис.66) можно заключить, что струя создается в основном линейными вихрями, срывающимися с боковых кромок пластины.

Также на рис.7 можно отметить, что скорости в струе сравнительно невелики и быстро убывают при удалении от пластины. В частности, на расстоянии 0.4/. от передней кромки пластины скорость струи не превышает 20% от скорости кончика пластины.

Рис. 7. Осреднённое поле продольной составляющей скорости в сечениях г=0 (а) и у=0 (б)

Помимо оереднённых полей скорости и давления в настоящей работе получена представительная выборка мгновенных полей, которые могут служить основой для будущего исследования пульсационных характеристик течения.

В заключении кратко сформулированы основные результаты настоящей работы, которые сводятся к следующему:

1. Базовый программный комплекс доработан для моделирования течений жидкости на деформируемых сетках, что позволяет вести расчёты в областях с изменяющейся геометрией. Тестирование части программы, ответственной за расчёт па деформируемых сетках показало, что движеиие сетки не вносит существенных погрешностей в получаемое решение.

2. Разработан эффективный алгоритм деформации многоблочных структурированных сеток в соответствии с движением границ. Реализовано совместное интегрирование уравнения движения обтекаемого тела (цилиндра или упругой пластины) и уравнений гидродинамики.

3. Проведено систематическое исследование поперечных автоколебаний цилиндра на упругой подвеске в однородном ламинарном потоке. 11родемонстрирован эффект захвата частоты. Обнаружен гистерезис амплитуды колебаний при изменении скорости потока. Результаты

13

настоящего расчета соответствуют результатам аккуратно проведенных расчетов других авторов

4 Впервые проведено подробное численное исследование поперечных автоколебаний цилиндра в турбулентном потоке в рамках двумерной (URANS) и трехмерной (DES) формулировки Получены амплитудные и частотные характеристики колебаний, а также осредненные параметры силового воздействия на цилиндр в зависимости от приведенной скорости потока

5 Результаты трехмерного расчета хорошо согласуются с экспериментальными данными как по амплитуде и частоте колебаний цилиндра, так и по уровню гидродинамической нагрузки, небольшое отличие наблюдается только в узкой области "upper" режима колебаний Двумерный расчет недооценивает амплитуду колебаний цилиндра и дает более узкую область захвата частоты

6 Исследована структура вихревого следа за осциллирующим цилиндром, определены режимы схода вихрей внутри области захвата частоты Впервые обнаружен S+P режим схода вихрей вблизи правой границы области захвата частоты, а также чередование 2S и 2Р режимов схода вихрей в области "upper" режима, сопровождаемое существенным изменением амплитуды и частоты колебаний цилиндра

7 Впервые проведено численное моделирование течения, индуцируемого колебаниями упругой консольной пластины, в рамках трехмерной (DES) формулировки с учетом обратного влияния жидкости на движение пластины Получен эффект генерации струи, картина течения согласуется с данными наблюдений

8 Проанализирована структура потока Обнаружено, в частности, что вблизи передней кромки пластины имеется зона возвратных токов, угол раскрытия струи составляет около 45° Показано, что струя генерируется в основном боковыми кромками пластины Получены осредненные поля скорости и давления, а также представительная выборка мгновенных полей, которые могут служить основой для будущего исследования пульсационных характеристик течения

Основные результаты диссертации опубликованы в работах.

1 Щур НА Применение метода деформируемых сеток для моделирования автоколебаний цилиндра в однородном потоке / Щур H А, Зайцев Д К // В кн Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках Тр XV школы-семинара под руководством акад А И Леонтьева, Калуга, 23-27 мая 2005г -M МЭИ, 2005, Т1 -С 125-129

2. Зайцев Д.К. Применение деформируемых сеток для численного моделирования течений в областях с подвижными границами / Д.К. Зайцев, H.A. Щур // Научно-технические ведомости СПбГТУ. - 2006. - №5/1 (47). - С. 15-22. (перечень ВАК)

3 Зайцев Д К Численное моделирование автоколебаний цилиндра в турбулентном потоке/ Зайцев Д К , Смирнов Е M , Щур НА //IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28 августа 2006г - Аннотации докладов, т II, с 88 Ниж Новгород Изд ННГУ, 2006 - С 194

4 Зайцев Д К Опыт параллелизации вычислений при расчете отрывных течений на основе трехмерных нестационарных формулировок/ Д К Зайцев, Е M Смирнов, П Е Смирнов, H А Щур, С А Якубов // Вычислительные методы и программирование -2007 -т8 - С 95-102

5 Щур H А Численное моделирование турбулентных течений для свободных и вынужденных колебаний тел в потоках/ H А Щур, Д К Зайцев // В кн Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках Тр XVI школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством акад РАН А И Леонтьева , г С -Петербург, 21-25 мая 2007 - т 2, M Изд МЭИ, 2007 - С 197-200

6 Zaitsev D К Numerical simulation of 3D turbulent flows around bodies subjected to vortex-induced and forced vibration/ D К Zaitsev, N A Schur and E M Smirnov // Int Conf on Parallel Computational Fluid Dynamics, May 21-24, 2007, Antalya, Turkey (Parallel CFD 2007) - CD-ROM Proceedings, ParCFD-2007-072 - 5 p

Список литературы

1 Anagnostopoulos, Р, Bearman, Р W (1992) Response characteristics of a vortex-exited cylinder at low Reynolds numbers // Journal of Fluids and Structures, 6, pp 39-50

2 Govardhan, R N & Williamson, С H К (2000) Modes of vortex formation and frequency response of a freely vibrating cylinder // J Fluid Mechanics 420, pp 85130

3 Khalak, A & Williamson, С H К (1999) Motions, forces and mode transitions in vortex-induced vibrations at low mass-damping // J Fluids Struct 13, pp 813-851

Лицензия ЛР №020593 от 07 08 97

Подписано в печать 18 01 2008 Формат 60x84/16 Печать цифровая Уел печ л 1,0 Тираж 100 Заказ 2485Ь

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул , 29 Тел 550-40-14

Тел/факс 297-57-76

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1 ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ ТЕЛ В ПОТОКЕ (ОБЗОР).

1.1 Колебания цилиндра в потоке.

1.2 Исследование течения, генерируемого колебаниями упругой пластины.

1.3 Методы решения задач гидродинамики в областях с изменяющейся геометрией.

2 МЕТОД ДЕФОРМИРУЕМЫХ СЕТОК В ЗАДАЧАХ ГИДРОДИНАМИКИ.

2.1 Запись уравнений гидродинамики на деформируемой сетке.

2.2 Дискретизация уравнений сохранения для движущейся сетки. Условие сохранения объёма.

2.3 Программная реализация расчёта на деформируемых сетках.

2.4 Алгоритм деформации сетки и его реализация.

2.5 Тестирование блоков программы, ответственных за расчёт на деформируемой сетке.

3 ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРА НА УПРУГОЙ ПОДВЕСКЕ В ОДНОРОДНОМ ПОТОКЕ.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Исследование сеточной сходимости. Методические расчёты.

3.3 Автоколебания цилиндра в ламинарном потоке. Результаты расчётов.

3.4 Автоколебания цилиндра в турбулентном потоке. Результаты расчётов

4 ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ, ИНДУЦИРУЕМОГО КОЛЕБАНИЯМИ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Генерация струи колебаниями упругой пластины. Результаты расчётов

Существует обширный ряд задач гидродинамики, в которых имеет место взаимодействие между движением твёрдого тела в потоке и конфигурацией самого потока. Это задачи аэроупругости. К данному классу задач относятся: флаттер крыла, колебания высотных зданий и сооружений под ветровой нагрузкой, автоколебания трубчатых теплообменников, опор нефтяных платформ, подвесных мостов, лопаток турбомашин, колебания гибких крыльев, деформация обтекаемых поверхностей и т. д. Практическая значимость задач аэроупругости во многих инженерных приложениях неоспорима. Однако на данный момент для решения подобных задач используются, как правило, весьма упрощённые модели, основанные на интегральных балансовых соотношениях и, зачастую, не учитывающие взаимного влияния гидродинамической нагрузки и движения тела. Между тем, точность и достоверность полученных таким образом данных вызывают серьёзное сомнение.

Применение упрощённых постановок связано, прежде всего, с тем, что численное решение задач, имеющих значение для практических приложений, в полной постановке является очень ресурсоёмким. Большие вычислительные затраты связаны, как с большим временем установления для задач с обратной связью, так и с моделированием турбулентности. От способа моделирования турбулентности зависит точность, а в некоторых случаях - и физическая адекватность решения. Известно, в частности, что широко распространенные URANS модели турбулентности (к-s, к-со и др.) не позволяют адекватно моделировать течение в случаях, когда крупномасштабные вихревые структуры составляют суть явления и/или оказывают существенное влияние на исследуемые характеристики течения (как, например, при расчете обтекания цилиндра). Подобная ситуация может иметь место и при рассмотрении интенсивных колебаний тел в потоке.

Весьма эффективным средством решения задач с крупномасштабными вихрями является применение гибридных RANS-LES подходов (в частности, DES). Однако опыт применения подобных вихре-разрешающих формулировок к расчету обтекания колеблющихся тел крайне невелик, что определяет необходимость дальнейшего тестирования этого подхода применительно к данному классу течений.

Исключительная сложность задачи аэроупругости о колебаниях тела в потоке жидкости усугубляется необходимостью вести расчет в области с изменяющейся геометрией. Хотя подобная опция имеется во многих коммерческих гидродинамических пакетах, учет взаимного влияния течения жидкости и движения обтекаемого тела является очень непростой задачей, требующей высокой квалификации исследователя. Как следствие, подобные исследования встречаются крайне редко. Фактически, численное решение задач аэроупругости с совместным интегрированием уравнений гидродинамики (с применением трехмерных вихре разрешающих подходов) и уравнений движения обтекаемого тела является передовым краем современной вычислительной гидродинамики.

В настоящей работе рассмотрены две задачи, связанные с колебаниями тел в жидкости. Это систематическое численное исследование автоколебаний круглого цилиндра в однородном потоке и расчет течения, создаваемого колебаниями упругой консольной пластины. Обе задачи решены с полным учетом взаимного влияния течения жидкости и движения тела, с применением трехмерных вихре-разрешающих формулировок. С учетом изложенного ранее, подобное исследование является безусловно актуальным и представляет несомненный интерес для вычислительной гидродинамики. Помимо этого, обе рассмотренные задачи имеют и непосредственное практическое значение.

Задача об автоколебаниях круглого цилиндра в однородном потоке привлекает внимание исследователей несколько десятилетий. Несмотря на простую, по сути -каноническую формулировку, данная задача, включающая широкий круг довольно сложных явлений и эффектов, имеет большое число практических приложений. До сих пор большая часть исследований автоколебаний цилиндра основывается на эксперименте. Начиная с 90-х годов стали появляться и численные исследования, однако они выполнены, как правило, в двумерном приближении и/или ограничиваются расчетом лишь нескольких вариантов. Выполненное в настоящей работе систематическое численное исследование автоколебаний цилиндра в рамках трехмерной формулировки является одним из первых в мире. Безусловно важным является также сопоставление результатов, полученных на основании двумерного и трехмерного подходов.

Задача моделирования течения, индуцированного колебаниями упругой пластины, является новой для вычислительной гидродинамики. Примером ее практического приложения может являться охлаждение тепловыделяющих элементов компьютера при помощи т.н. пьезоэлектрических вентиляторов вместо используемых ныне обычных вентиляторов. Представленные в литературе немногие численные исследования данного течения проведены исключительно в двумерной постановке, хотя геометрия большинства реальных и проектируемых устройств такого рода предполагает существенную трёхмерность течения. Выполненное в настоящей работе трехмерное численное моделирование струи, генерируемой колеблющейся упругой пластиной, является первым в своем роде.

Все расчеты, представленные в работе, выполнены с использованием академического программного комплекса общего назначения SINF, специально доработанного для возможности расчета течения жидкости на деформируемой сетке с одновременным интегрированием уравнения движения (деформации) обтекаемого тела.

Основные цели работы можно сформулировать следующим образом:

1) Разработка и внедрение метода деформируемых сеток в программный комплекс общего назначения SINF. Тестирование метода.

2) Доработка комплекса SINF для расчета автоколебаний цилиндра. Проведение тестовых расчетов для ламинарного режима обтекания; сравнение результатов расчета и эксперимента.

3) Систематическое численное исследование автоколебаний цилиндра в турбулентном потоке с применением двумерной (URANS) и трёхмерной (DES) постановок. Сравнение полученных результатов с данными измерений. Оценка применимости двумерной постановки. Исследование структуры вихревого следа за колеблющимся цилиндром.

4) Численное моделирование струи, индуцируемой колебаниями упругой консольной пластины. Исследование структуры полученного течения.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Щур H.A. Применение метода деформируемых сеток для моделирования автоколебаний цилиндра в однородном потоке / Щур H.A., Зайцев Д.К. // В кн.: Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках. Тр. XV школы-семинара под руководством акад. А.И. Леонтьева, Калуга, 23-27 мая 2005г. -М.: МЭИ, 2005, Т.1.-С. 125-129.

2. Зайцев Д.К. Применение деформируемых сеток для численного моделирования течений в областях с подвижными границами / Д.К. Зайцев, H.A. Щур // Научно-технические ведомости СПбГТУ. - 2006. - №5/1 (47). - С. 15-22. (перечень ВАК)

3. Зайцев Д.К. Численное моделирование автоколебаний цилиндра в турбулентном потоке/ Зайцев Д.К., Смирнов Е.М., Щур H.A. // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28 августа 2006г. - Аннотации докладов, т.И, с.88. Ниж.Новгород: Изд. ННГУ, 2006. - С. 194.

4. Зайцев Д.К. Опыт параллелизации вычислений при расчете отрывных течений на основе трехмерных нестационарных формулировок/ Д.К. Зайцев, Е.М. Смирнов, П.Е. Смирнов, H.A. Щур, С.А. Якубов. // Вычислительные методы и программирование. -2007. -т.8. - С.95-102.

5. Щур H.A. Численное моделирование турбулентных течений для свободных и вынужденных колебаний тел в потоках/ H.A. Щур, Д.К. Зайцев // В кн.: Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках. Тр. XVI школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева, г. С.-Петербург, 21-25 мая 2007. - т.2, М.: Изд. МЭИ, 2007. - С. 197-200.

6. Zaitsev D. К. Numerical simulation of 3D turbulent flows around bodies subjected to vortex-induced and forced vibration/ D. K. Zaitsev, N. A. Schur and E. M. Smirnov // Int. Conf on Parallel Computational Fluid Dynamics, May 21-24, 2007, Antalya, Turkey (Parallel CFD 2007). - CD-ROM Proceedings, ParCFD-2007-072. - 5 p.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

1. Базовый программный комплекс SINF доработан для моделирования течений жидкости на деформируемых сетках, что позволяет вести расчёты в областях с изменяющейся геометрией. Тестирование части программы, ответственной за расчёт на деформируемых сетках показало, что движение сетки не вносит существенных погрешностей в получаемое решение.

2. Разработан эффективный алгоритм деформации многоблочных структурированных сеток в соответствии с движением границ. Реализовано совместное интегрирование уравнения движения обтекаемого тела (цилиндра или упругой пластины) и уравнений гидродинамики.

3. Проведено систематическое исследование поперечных автоколебаний цилиндра на упругой подвеске в однородном ламинарном потоке. Продемонстрирован эффект захвата частоты. Обнаружен гистерезис амплитуды колебаний при изменении скорости потока. Результаты настоящего расчёта соответствуют результатам аккуратно проведённых расчётов других авторов.

4. Впервые проведено подробное численное исследование поперечных автоколебаний цилиндра в турбулентном потоке в рамках двумерной (URANS) и трёхмерной (DES) формулировки. Получены амплитудные и частотные характеристики колебаний, а также осреднённые параметры силового воздействия на цилиндр в зависимости от приведённой скорости потока.

5. Результаты трёхмерного расчёта хорошо согласуются с экспериментальными данными как по амплитуде и частоте колебаний цилиндра, так и по уровню гидродинамической нагрузки; небольшое отличие наблюдается только в узкой области "upper" режима колебаний. Двумерный расчёт недооценивает амплитуду колебаний цилиндра и даёт более узкую область захвата частоты.

6. Исследована структура вихревого следа за осциллирующим цилиндром; определены режимы схода вихрей внутри области захвата частоты. Впервые обнаружен S+P режим схода вихрей вблизи правой границы области захвата частоты, а также чередование 2S и 2Р режимов схода вихрей в области upper" режима, сопровождаемое существенным изменением амплитуды и частоты колебаний цилиндра.

7. Впервые проведено численное моделирование течения, индуцируемого колебаниями упругой консольной пластины, в рамках трехмерной (DES) формулировки с учетом обратного влияния жидкости на движение пластины. Получен эффект генерации струи; картина течения согласуется с данными наблюдений.

8. Проанализирована структура потока. Обнаружено, в частности, что вблизи передней кромки пластины имеется зона возвратных токов; угол раскрытия струи составляет около 45°. Показано, что струя генерируется в основном боковыми кромками пластины. Получены осреднённые поля скорости и давления, а также представительная выборка мгновенных полей, которые могут служить основой для будущего исследования пульсационных характеристик течения.

1. Белов H.A., Исаев С.А., Коробков В.А. (1989) Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. Д.: Судостроение, 256с.

2. Иванов Н.Г., Смирнов Е.М. (2002) Численное моделирование трехмерной нестационарной конвекции расплава кремния в емкости, типичной для установок метода Чохральского // ИФЖ, 2002, Т.75, №3, С.63-69.

3. Роуч П. (1980) Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 616с.

4. Смирнов Е.М., Зайцев Д.К., (2004а) Метод конечных объемов в приложении к задачам гидрогазодинамики и теплообмена в областях сложной геометрии // Научно-технические ведомости СПбГПУ, 2004, № 2 (36), С. 70-81.

5. Смирнов Е.М., Абрамов А.Г., Иванов Н.Г., Корсаков А.Б. (20046) Прямое численное моделирование и метод моделирования крупных вихрей в нестационарных задачах турбулентной термоконвекции // Научно-технические ведомости СПбГПУ, 2004, № 2 (36), С. 33-47.

6. Смирнов Е.М., Кириллов А.И., Рис В.В. (2004в) Опыт и перспективы численного анализа турбулентных течений в турбомашинах // Научно-технические ведомости СПбГПУ, 2004, № 2 (36), С. 55-70.

7. Флетчер, К. (1991) Вычислительные методы в динамике жидкости. М.: Мир, Т.1, 502с., Т.2, 552с.

8. Acikalin Т., Iverson B. D. (2004) Computational study of convection with moving wall boundary in an enclosure // Purdue University, 8p. (http://meweb.ecn.purdue. edu/~jmurthy/me608/projects/tolga-acikalin/tacikalin.pdf)

9. Acikalin Т., WaitS., Garimella S. V., Raman A. (2004) Experimental Investigation of the Thermal Performance of Piezoelectric Fans // Journal Heat Transfer Engineering Vol. 25, No 1, pp. 4-14

10. Anagnostopoulos, P. (1994) Numerical investigation of response and wake characteristics of a vortex exited cylinder in a uniform stream // Journal of Fluids and Structures, 8, pp.367-390.

11. Anagnostopoulos, P. (2000) Numerical study of the flow past a cylinder exited transversely to the incident stream // Journal of Fluids and Structures, 14, pp. 819882.

12. Anagnostopoulos, P., Bearman, P. W. (1992) Response characteristics of a vortex-exited cylinder at low Reynolds numbers II Journal of Fluids and Structures, 6, pp.39-50.

13. AnandN.M. & Torum A. (1985) Free span vibration of submerged pipelines in steady flow and waves // Proceedings of International Symposium on Separated Flow Atround Marine Structures, pp. 155-199, Trondheim, Norway.

14. Bearman P.W. (1984) Vortex shedding from oscillating bluff bodies // Annual Review of Fluid Mechanics, 16, 195-222.

15. Bearman, P. W., Currie, I. G. (1979) Pressure fluctuation measurements on an oscillating circular cylinder // Journal of Fluid Mechanics, 91, pp.661-677.

16. Bishop, R. E. D., Hassan, A. Y. (1964) The lift and drag forces on a circular cylinder oscillating in a flowing fluid // In: Proceedings of the Royal Society of London, Series A, 277, pp.51-75.

17. Blackburn H. & Karniadakis G. E. (1993) Two and Three dimensional simulations of vortex-induced vibration of a circular cylinder // 3rd International Offshore and Polar Engineering Conference, Vol. 3, pp. 715-720.

18. Brika, D., Laneville, A. (1993) Vortex-induced vibrations of a long flexible circular cylinder // Journal of Fluid Mechanics, 250, pp.481-508.

19. Burmann Ph., Raman A. and Garimella S. V. (2003) Dynamics and Topology Optimization of Piezoelectric Fans // IEEE transactions on components and packaging technologies Vol. 25, No. 4

20. Chen, H-C., Chen, C-R., Mercier R. S. (2006) CFD Simulation of Riser VIY / in Final Project Report MMS Project Number 481 (available online http://www.mms.gov/tarprojects/481/481 AB.pdf)

21. Chilukuri, R. (1987) Incompressible laminar flow past a transversely vibrating cylinder // ASME Journal of Fluids Engineering, 109, pp.166-171.

22. Atkins Research and Development Report, London, U.K.

23. Evangelinos C. (1999) Parallel Simulations of Vortex-Induced Vibrations in Turbulent Flow: Linear and Non-Linear Models, Ph.D. Thesis, Brown University.

24. Evangelinos, C. & Karniadakis, G. E. (1999) Dynamics and flow structures in the turbulent wake of rigmd and flexible cylinders subject to vortex-induced vibrations // J. Fluid Mech. 400, pp. 91-124.

25. Evangelinos, C., Lucor, D., Karniadakis, G.E. (2000) DNS-derived force distribution on flexible cylinders subject to vortex-induced vibration // Journal of Fluids and Structures 14 (3) pp. 429-440.

26. F. Saltara, J. R. Meneghini and R. A. Fregonesi (2002) Numerical Simulation of the Flow around an Elastically Mounted Cylinder // IJOPE-36

27. F. Saltara F., Yamamoto C.T., Meneghini J.R., Fregonesi R.A., Ferrari J.A. Jr. (2004) Numerical simulations of vortex-induced vibration on flexible cylinders // Journal of Fluids and Structures Vol. 19 pp. 467-489

28. Feng, C. C. (1968) The measurement of a vortex-induced effects in flow past stationary and oscillating circular and D-section cylinder. M.Sc. thesis, University of British Columbia, Vancouver, B.C., Canada.

29. Al.Ferziger, J. H., Peric, M. (1999) Computational methods for fluid dynamics. -Berlin: Springer, 389p.

30. Fey, U. König, M., Eckelmann, H. (1998) A new Strouhal-Reynolds number relationship for the circular cylinder in the range 47<Re<2*105 // Physics of Fluids, 10, 1547.

31. Gabbai R.D. & Benaroya H. (2005) An overview of modeling and experiments of vortex-induced vibration of circular cylinders // Journal of Sound and Vibration 282 pp. 575-616

32. Govardhan, R. N. & Williamson, C. H. K. (2000) Modes of vortex formation and frequency response of a freely vibrating cylinder // J. Fluid Mechanics 420, 85-130.

33. Griffin, O. M., Romberg, S. E. (1974) The vortex-street wakes of vibrating cylinders // Journal of Fluid Mechanics, 66, pp.553-576.

34. Griffin, O.M. and Hall, M.S. (1991). Review-vortex shedding lock-on and flow control in bluff body wakes // ASME J. Fluids Engrg., 113(4), 526-537.

35. Gu, W., Chyu, C., Rockwell, D. (1994) Timing the vortex formation from an oscillating cylinder // Physics of Fluids, 6, pp.3677-3682.

36. Guilmineau E., Quetey P. (2002) A numerical simulation of vortex shedding from an oscillating circular cylinder // Journal of Fluids and Structures 16 (6) 773-794.

37. Guilmineau, E., Queutey, P. (2000) Numerical simulation of the response of a vortex-excited cylinder // In: Proceedings of Seventh International Conference on Flow-Induced Vibration (eds. S. Ziada, T. Staubli), pp.257-264, Lucerne, Switzerland.

38. Honji, H., Taneda, S. (1968) Vortex wakes of oscillating circular cylinders // Reports of Research Institute for Applied Mechanics, Kyushu, 16, pp.211-222.

39. Hover F. S., Davis J. T., Triantajyllou M. S. (2004) Three-dimensionality of mode transition in vortex-induced vibrations of a circular cylinder // European Journal of Mechanics B/Fluids 23, pp. 29-40

40. Hover F. S., TechetA. H. & Triantafyllow M. S. (1998) Forces on oscillating uniform and tapered cylinders in cross flow // Journal of Fluid Mechanics 363, 97-114.

41. IharaA. and Watanabe H. (1994) On the flow around flexible plates, oscillating with large amplitude // Journal of Fluids and Structures Vol. 8 Iss. 6, pp. 601-619

42. Karniadakis G.E. & Triantafyllou G.S. (1989) Frequency selection and asymptotic states in laminar wakes // J. Fluid Mech., vol. 199, p. 447.

43. Kato M, Launder B.E. (1993) The modelling of turbulent flow around stationary and vibrating square cylinders // Proc. 9th Symposium on Turbulent Shear Flows, Kyoto, Japan, 10-4

44. Khalak, A., Williamson, C. H. K. (1996) Dynamics of a hydroelastic cylinder with very low mass and damping // Journal of Fluids and Structures, 10, pp.455-472.

45. Khalak, A. & Williamson, C. H. K. (1997) Fluid forces and dynamics of a hydroelastic structure with very low mass and damping // J. Fluids Struct. 11, 973982.

46. Khalak, A. & Williamson, C. H. K. (1999) Motions, forces and mode transitions in vortex-induced vibrations at low mass-damping // J. Fluids Struct. 13, 813-851.

47. Kim ¥., Wereley S. T., Chun Ch.(2004) Phase-resolved flow field produced by a vibrating cantilever plate between two endplates // Physics of Fluids, Jan. 2004, Vol. 16, Issue l,pp. 145-162

48. King R. (1974) Vortex-excited structural oscillations of a circular cylinder in flowing water // Ph.D. Thesis, Loughborough University of Technology, Loughborough, England.

49. Lecointe, Y., Piquet, J. (1989) Flow structure in the wake of an oscillating cylinder // ASME Journal of Fluids Engineering, 111, pp.139-148.

50. Leonard, B. P. (1979) A stable and accurate convective modeling procedure based on quadratic upstream interpolation // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 19, pp.59-98.

51. Lin J. C. & Rockwell D. (1999) Horizontal oscillations of a cylinder beneath a free surface: Vortex formation and loading // Journal of Fluid Mechanics 389 1-26.

52. Lu, X.-Y., Dalton, C. (1996) Calculation of the timing of vortex formation from an oscillating cylinder I I Journal of Fluids and Structures, 10, pp.527-541.

53. Meneghini J. R., Sahara F., at all (2004). Numerical simulations of VIV on long flexible cylinders immersed in complex flow fields // European Journal of Mechanics B/Fluids 2004 23 pp. 51-63

54. Mittal, S., Tezduyar, T. E. (1992) A finite element study of incompressible flows past oscillating cylinders and airfoils // International Journal of Numerical Methods in Fluids, 15, pp.1073-1118.

55. M?e G. & Overvik T. (1982) Current-induced motions of multiple risers // Proceedings of BOSS-82, Behavior of Offshore Structures, Vol. 1, pp. 618-639. Cambridge, MA, U.S.A.

56. Moe, G., Holden, K., Yttervoll, P. (1994) Motion of spring supported cylinders in subcritical and critical water flows // In: Proceedings of the Fourth International Offshore and Polar Engineering Conference, pp. 468-475.

57. Newman D. & Karniadakis G. E. (1996) Simulations of flow over a flexible cable: Comparison of forced and flow-induced vibration // Journal of Fluids and Structures 10, 439-453.

58. Nomura, T. (1993) Finite element analysis of vortex-induced vibrations of bluff cylinders // Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 46-47, pp.587-594.

59. Nomura, T. (1994) ALE finite-element computations of fluid-structure interaction problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 112 (1-4), pp.291-308.

60. Norberg, C. (1987a) Effects of Reynolds number and a low-intensity freestream turbulence on the flow around a circular cylinder // Publ. 87/2, Dept. Applied Thermodynamics and Fluid Mechanics, Chalmers University of Technology, Gothenburg, Sweden.

61. Norberg, C. (1987b) Reynolds number and freestream turbulence effects on the fluid forces for a circular cylinder in cross flow // Ph.D. Thesis, Chalmers University of Technology, Gothenburg, Sweden.

62. Norberg, C. (1989) An experimental study of the circular cylinder in cross .flow: transition around Re=5000 // In: Proc. of the Fourth Asian Congress of Fluid Mechanics, Ko, N.W.M., Kot, S.C. (Eds.), Suppl. Vol., University of Hong Kong.

63. Pesce C. P. & Fujarra A. L. C. (1999) Vortex-induced vibrations and jump phenomenon: experiments with a clamped flexible cylinder in water // International Journal of Offshore and Polar Engineering

64. Rhie, C. M., Chow, W. L. (1983) A numerical study of the turbulent flow past an isolated airfoil with trailing edge separation // AIAA Journal, Vol.21, pp. 1525-1532.

65. Sarpkaya, T. (1978) Fluid forces on oscillating cylinders // ASCE Journal of the Waterway, Port, Coastal and Ocean Division, 104, pp.275-290.

66. Sarpkaya, T. (1995) Hydrodynamic damping, flow-induced oscillations, and biharmonic response 11 Trans. ASME: J. Offshore Mech. Arctic Engng 117, 232-238.

67. Sarpkaya, T., Shoaff, R. L. (1979) A discrete vortex analysis of flow about stationary and transversely oscillating circular cylinders // Technical Report No. NPS-69SL79011, Naval Postgraduate School, Monterey, Cal., USA.

68. Shiels D., Leonard A. & Roshko A. (1998) Flow-induced vibration of a circular cylinder at limiting structural parameters 11 Journal of Fluids and Structures Vol. 21 Iss. 4, December 2005, Pages 429-434

69. Spalart P.R., (2000) Strategies for turbulence modelling and simulations 11 Int. J. Heat Fluid Flow. Vol.21. - P.252-263.

70. Spalart, P.R., Allmaras S.R. (1992) A one-equation turbulence model for aerodynamic flows // AIAA Paper 92-0439

71. Stansby, P. K. (1976) The locking-on of vortex shedding due to the cross-stream vibration of circular cylinders in uniform and shear flows. J. Fluid Mech. 74, 641665.

72. Strelets, M., (2001) Detached eddy simulation of massively separated flows // AIAA Pap. 2001-0879, 2001, 18p.110 .Thompson J.F., Soni B.K., Weather ill N. P. (1999) Hand Book of Grid Generation. -CRC Press, 1136 p.

73. Vickery B. J. & Watkins R. D. (1964) Flow-induced vibrations of cylindrical structures // Proceedings of the First Australian Conference on Hydraulics and Fluid Mechanics (ed. R. Silvester). New York: Pergamon Press.

74. Vikestad (1998) Multi-frequency response of a cylinder subjected to vortex shedding and support motions // Ph.D. Thesis Norwegian Institute of Technology, Trondheim, Norway.

75. Vinokur M. (1989) An analysis of finite-difference and finite-volume formulations of conservation laws // Journal of Computational Physics, Vol. 81, pp. 1-52.

76. Wait M., Basak S., Garimella S.V. and Raman A. (2005) Piezoelectric fans using higher flexural modes for electronics cooling applications // TCPT-2005-086, Computer and Information Technology, Purdue University, 19p.

77. Wang X. Q., So R. M. C., Liu Y. (2001) Flow-induced vibration of an Euler-Bernoulli beam, Journal of Sound and Vibration 243 (2) 241-268.

78. Wang, A. B., Trdvnicek, Z., Chia, K. C. (2000) On the relationship of the effective Reynolds number and Strouhal number for the laminar vortex shedding of a heated circular cylinder//Physics of Fluids, 12, 1401.

79. Wei, R., Sekine, A., Shimura, M. (1995) Numerical analysis of 2D vortex-induced oscillations of a circular cylinder // International Journal for Numerical Methods in Fluids, 21, pp.993-1005.

80. Wereley S. T., Kim Y-H. & Chun C-H. (2004) Phase-resolved flow field produced by a vibrating cantilever plate between two endplates // Journal Physics of Fluids, Vol. 16, Num. l,pp. 145-162

81. Williamson, C. H. K., Roshko, A. (1988) Vortex formation in the wake of an oscillating cylinder // Journal of Fluids and Structures, 2, pp.355-381.

82. Yoo J. H., Hong J. I., Cao W. (2000) Piezoelectric ceramic bimorph coupled to thin metal plate as cooling fan for electronic devices // Sensors and Actuators Vol. 79 pp. 8-12

83. Yorinaga M., Makino D., Kawaguchi K., Naito M. (1985) A Piezoelectric Fan Using PZT Ceramics : V: Piezoelectrics // Japanese journal of applied physics, Vol.24, No.3, pp. 203-205

84. Zdravkovich, M. M. (1982) Modification of vortex shedding in the synchronization range // ASME Journal of Fluids Engineering, 104, pp.513-517.

85. Zhang, J., Dalton, C. (1997) Interaction of a steady approach flow and a circular cylinder undergoing forced oscillations // ASME Journal of Fluids Engineering, 119, pp.808-813.