Численное исследование устойчивости плазменных конфигураций с сепаратрисами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯЬРЬСКОИ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 621.039.623 + 518.12

ЗОТОВ Игорь Викторович

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЕННЫХ КОНФИГУРАЦИЙ С СЕПАРАТРИСАМИ

Специальность 01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА — 1986

Диссертация выполнена на кафедре математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук А. М. Попов

Официальные оппоненты —

доктор физико-математических наук Б. Н. Четверушкин, доктор физико-математических наук, профессор А. Г. Ягола

Ведущая организация —

Институт атомной энергии им. И. В. Курчатова

Защита диссертации состоится « » оССЬ , 1986 г. в « { О» час. «'Ъ-О » мин. на заседании специализированного совета Д.053.05.37 № 3 по математике при МГУ по адресу: 119899 Москва ГСП, В-234, Ленинские горы, МГУ, факультет ВМиК, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан « '/¿Ц» . 1986 г.

Ученый секретарь специализированного совета профессор

Е. И. Моисеев

- Общая характеристика работы

Актуальность темы При проектировании установок Токамак следующего Поколения, в которых термоядерное энерговыделение сравнило о тепловыми потеряли, возникает проблеял очистки плазмы от примесей. Одним из возможных вариантов решения этой проблемы, принятом для крупных установок ШПОР, ^^ЪЕХ и др., является формирование особого устройства - полоидального дивертора. В основе данного устройства лежит использование специальной магнитной конфигурации с сепаратрисой, при которой крайние магнитные поверхности разомкнуты и служат для отвода примесей и продуктов термоядерной реакции из плазмы. Создание математических моделей стационарных состояний плазменных конфигураций с сепаратрисами, исследования их устойчивости и диагностики, а также разработка элективных численных алгоритмов расчета таких моделей имеет гарное значение для прогнозирования поведения плазм в токамаках-реакторах.

Возрастаний интерес к изучению плазш со свободной границей при стационарных условиях определяется увеличением времени удержания плазш в современных токамаках. Учет эффектов, связанных с конечной проводимостью, позволяет поставить самосогласованную задачу о медленном квазистационарном развитии идеального магнитогидродинамичес-кого равновесия при сохранении магнитных потоков.

Переход к ограниченному сепаратрисой вытянутому поперечному сечению плазш обуславливает появление нового типа неустойчивости, отсутствующего в "стандартных" токомаках с круглым сечением шнура. Поэтому важное значение приобретают проблемы устойчивого формирования и поддержания конфигураций при наличии сепаратрис. В этих условиях, наряду с созданием двух и трехмерных моделей устойчивости, актуальна разработка упрощенных моделей, анализ которых может проводиться в ходе физического эксперимента. Необходимо сравнение эффективности таких моделей о более полными, определение возможностей исследования пассивной и активной стабилизации на их основе.

Решение вопросов устойчивого формирования плазменных конфигураций существенно зависит от расположения элементов стабилизирующей системы, положения и формы сепаратрисы, распределения продольного электрического тока в плазме. Необходимость контроля границы плазменного шнура, профиля тока требует эффективного решения обратных задач диагностики плазш по внешним магнитным измерениям. Наиболь-

-г -

ший прогресс в решении таких некорректных задач может быть достигнут на основе метода регуляризации А.Н.Тихонова.

Цель работы

1. Разработка математических моделей для описания стационарных состояний неидеальной плазмы с сепаратрисой, исследования их аксиально-симметричной устойчивости и магнитной диагностики равновесных плазменных конфигураций.

2. Создание эффективных численных алгоритмов и разработка комплекса программ для интерпретации магнитных измерений и устойчивого формирования тороидального плазменного шнура с сепаратрисой.

3. Моделирование устойчивости и диагностики плазменных конфигураций для проектируемых токамаков с полоидальным дивертором.

Научная новизна

Разработана модель стационарного состояния неидеальной тороидальной плазш со свободной поверхностью, ограниченной сепаратрисой, и создан численный метод ее решения. С помощью созданных программ проведено численное моделирование стационарных плазменных конфигураций. На основе согласованного расчета стационарных состояний и исследования их устойчивости предложен способ формирования плазменной конфигурации с вытянутым сечением.

Предложена и исследована одномерная модель аксиально-симметричной неустойчивости плазмы. Для исследования данной неустойчивости при наличии дискретных стабилизирующих проводников с продольными разъемами разработан эффективный численный алгоритм.

Изучена постановка нелинейной обратной задачи о нахождении свободной границы плазш и профиля тока по результатам внешних магнитных измерений. Создан численный метод решения обратной задачи МГД— равновесия, содержащий два этапа - определение неизвестной свободной границы, а затем определение нелинейной правой части эллиптического уравнения по дополнительной информации на границе. Разработан и исследован регуляризирующий алгоритм решения обратной задачи восстановления правой части квазилинейного эллиптического уравнения.

Практическая ценность

Разработанный комплекс программ может быть использован даш анализа и прогнозирования режимов работы установок токамак с реактор-

ными параметрами при наличии сепаратрис. Комплекс программ позволяет изучать различные способы формирования плазменных конфигураций с полоидальньсл дивертором. Предложенный подход к численному решении задачи пассивной и активной стабилизации аксиально-симметричной неустойчивости монет быть непосредственно использован при проработке проектов тороидальных систем с некруглым сечением плазменного шнура.

Алгоритмы обработки результатов магнитных измерений могут применяться в экспериментах для определения границы плазмы и профиля тока в установке с полоидальным дивертором КНТОР и в токамаке с железным сердечником Т-15.

Аппробация работы

Результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции по физике плазмы и УТС (г.Звенигород, 1983), на семинарах отдела Тока-маков СЗП ИАЭ им. К.В.Курчатова, на конференции молодых ученых факультета ВМиК МГУ (г.Москва, 1985), на научно-исследовательском семинаре кафедры математической физики факультета В'.!иК МГУ.

Основные результаты опубликованы в [1] -[б].

Структура диссертации

Диссертация состоит из зведения, трех глав, заключения и приложения. Объем диссертации без приложения - 161 стр. Библиография включает 90 наименований. Диссертация содержит 44 рисунка , 9 таблиц.

Краткое содержание работы

Во введении излагается круг вопросов, определяемый темой диссертации, дается обзор литературы, описывается структура работы.

В первой главе диссертации рассматривается задача о нахождении аксиально-симметричных стационарных состояний плазмы с конечной проводимостью в тороидальных магнитных системах с сепаратрисой. В §1 приводятся основные уравнения модели, описывающие этот процесс. В модель включены стационарные уравнения одножидкостной МГД: непрерывности, движения, магнитного поля, а такхсе закон Ома и уравнение состояния. Инерция и вязкость пренебрегаются. Полученная система допускает медленные диффузионные движения, связанные с конечной проводимостью плазмы. В отличие от идеальных МГД-уравнений, содержащих две произвольные функции - распределение давления р(Ф) и тороидально-

го поля по магнитным поверхностям, в ралжах модели стацио-

нарного состояния эти функции связаны между собой. При этом достаточно задания только одной функции р(ЧЛ , а вторая - ВуО^) ~ определяется на основе необходимых интегральных условий разрешимости идеальных МГД-уравнений и закона Ома. Ставится задача о квазистационарном развитии плазмы внутри идеально проводящего кожуха. В аксиально-симметричном случае дай потенциала магнитного поля эта задача формулируется как задача Дирихле в ограниченной области для квазилинейного эллиптического уравнения Грэда-Шафранова. Правая часть уравнения определяется в результате решения системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В §2 строится итерационный алгоритм решения данной задачи. В §3 приведены результаты сравнения величин геометрических коэффициентов, входящих в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, с тестами. В §4 численно моделируются стационарные состояния плазмы в кояухе прямоугольной форш и показывается сходимость разработанного итерационного метода.

Постановка задачи о нахождении стационарного состояния плазмы со свободной поверхностью в магнитном поле внешних кольцевых токов рассматривается в §5. Задача формулируется в неограниченном пространстве. Ее постановка имеет вид:

(I)

Ы

при дополнительных условиях

ф(0,з)= 0, &тЦ>(%2)=0.

Здесь Ф=МАу , А - вектор-потенциал магнитного поля,

А:

(У , Ч. 2) - цилиндрические координаты, ^ - распределение тороидального тока по сечению шнура,Ф_- значение потенциала Ф на границе плазма-вакуум, 1(У) и 3(\/) - потоки плотности тока в тороидальном и полоидальном направлениях, и - напряжение на обходе плазменного витка,<\ усреднение по магнитной поверхности ф = с объемом

V , проводимость плазмы вдоль магнитного поля, р(V) - распределение давления по магнитным поверхностям, - магнитная проницаемость вакуума. Штрих обозначает производную по V . Положение внешних токов , определяемое координатам! (?£; , задано. Величины этих токов находятся в процессе решения таким образом, чтобы получить конфигурацию с заданными свойствами: формой сечения плазменного шнура, положением магнитной оси и величиной полного тока. Свободная граница плазмы задается условием ф(*£,1) = фр , где Фр= ФС^,^^ •

- стационарная точка сепаратрисы. Неизвестные потоки I и I находятся из системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

т' бТ,и I р' ^

(2)

КУРНР, КУГ)=1Г

я дополнительного условия 1(0) = 0 дет определения I/ . Здесь объем плазмы. Уравнения (2) получены из параллельной компоненты закона Ома после усреднения по магнитной поверхности с учетом уравнения Грэда-Шафранова (I) и выражений для магнитных потоков через I и

3 •

В §6 описан итерационный алгоритм решения задачи (1)-(2). Он реализован с помощью системы двух вложенных циклов. Внутренний цикл - итерационное решение уравнения (I) в ограниченной области. Цри этом на каждом шаге внутреннего цикла для определения ^ с помощью сплайн-аппроксимации строятся линии уровня потенциала ф , а система (2) интегрируется методом Рунге-Кутта. Внешний цикл - пересчет граничных условий. Приведены модификации алгоритма, позволяющие получать плазменную конфигурацию с заданными параметрами.

В §7 представлены результаты моделирования квазистационарных состояний при повшении давления в проектируемой установке ШТОР. Определены возникающие при этом диффузионные поток*: через сепаратрису. В §8 на основе моделей стационарного состояния и аксиально-симметричной неустойчивости предложен способ формирования плазменной конфигурации с вытянутым сечением в ИНТОРе. Моделирование осуществляется путем расчета серии стационарных состояний, связанных между собой одинаковым распределением давления, и исследования их вертикальной устойчивости.

Вторая глава диссертации посвящена разработке модели и эффективного численного метода для решения задачи аксиально-симметричной устойчивости тороидального плазменного шнура. Формулировка модели устойчивости твердого сдвига и система двумерных линеаризованных МГД -уравнений приведены в §1. В §2 предложен численной метод расчета устойчивости плазмы на заданном смещении. В основе метода лежит использование интегральных уравнений для описания возмутения вакуумного магнитного поля. Для устойчивости несжимаемой плазмы необходимо и достаточно положительности вариации потенциальной энергии плазмы для любых возможных аксиально-симметричных смещений у = о") .

В системах с полоидальным дивертором наиболее неустойчивым является

направлении стационарной точки сепаратрисы, где полоидальное магнитное поле обращается в нуль. При вычислении вариации потенциальной энергии основная трудность заключается в определении поля вне плазмы. Потенциал возмущения вакуумного магнитного поля Ц/е удовлетворяет уравнению

Граничные условия для (з) вытекают из непрерывности нормальной компоненты магнитного поля на границе плазма-вакуум Гр • идеальной проводимости стабилизирующих проводников и их замыкания, условий регулярности:

смещение плазмы как целого по вертикали

Ч=цМг

О, к=4,т2 ,

ФеСо,г>0, {¿т%С*&=От е С*д)-«>

Здесь ф-^ - потенциал возмущения магнитного поля внутри плазш, Г^ -границы пассивных стабилизирующих проводников, К= 1,т , т = ГТЦ+ т2, т1,т2 - число замкнутых и изолированных проводников С -

неизвестная константа. Трудности численного решения задачи (з)-(4) на основе разностных методов обусловлены неограниченностью вакуумной области и малостью размеров Гц по сравнению с размерами области плазш. Используется интегральный подход к решению задачи (3)-(4). Из потенциала Фе выделяется вакуумное магнитное поле, обусловленное токами наведенными в стабилизирующих проводниках при смещении плазш. Оставшаяся часть ищется в виде потенциала простого слоя

с плотностью : „

г ш

ФеОО = Н ¿Р№>б(Н,Р)скр +1 Д^СМ.О,

^ _ I 1 К.-1

Т

где 0 - фундаментальное решение уравнения (з), которое выражается через полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода. Для о пред ведения неизвестных токов , К = 1,т. , плотности простого слоя и константы С из (4) получаем следующую задачу:

Аи = Р

т,

tl.rO

где

а -(¿1.1".^. Ю. ^МФЦШ

М Мк- центры Гк , [ ] - конечная после-

довательность, состоящая из элементов.

В §3 проведено численное исследование свойств предлагаемого алгоритма. Описана система тестов для оценки эффективности алгоритма и точности получаемых результатов. Модельные расчеты показали, что в случае, когда собственная функция является константой, точность определения инкремента неустойчивости примерно равна 1%. Густота сетки при этом составляет 20-25 точек на диаметр сечения плазменного шнура.

Сравнений упрощенной модели устойчивости и модели, основанной на двумерных линеаризованных МГД-уравненкях, посвящен §4. Определяется область применимости редуцированной модели. На основе полученных результатов даются рекомендации по использованию полной к упрощенной моделей.

В §5 формулируется задача об оптимизации системы дискретных пассивных проводников, описывается двухэтапный алгоритм оптимизации. Упрощенная модель вертикальной устойчивости плазмы с учетом конечной проводимости пасси&гых проводников приводится в §6. Модель состоит из электротехнических уравнений для пассивных изолированных проводников и уравнения вертикального движения плазмы. Коэффициенты, входящие в уравнения модели конечной проводимости, определяются с помощью модели твердого смещения. Задача определения инкрементов неустойчивости сводится к задаче на собственные значения. Для равновесных конфигураций установок Т-12М и ИНТОР результаты анализа аксиально-симметричной неустойчивости приведены в §§7-8.

В третьей главе изучаются обратные задачи МГД-равновесия. В §1 приведены постановки задач о нахождении свободной границы плазмы и профиля тока по измерениям магнитного поля вне плазмы. Постановка задачи об определении границы плазмы в случае, когда известно внешнее магнитное доле, создаваемое кольцевыми проводниками с током 1к, К в I,и , имеет вид:

(5)

Щ =г

1К0,2)=0, АтУ(хг) = 0

Задача (5) ставится в неограниченном пространстве - вне области плазмы лср . Здесь Ф - функция потока равновесного магнитного поля, и ^~ координаты и число внешних токов. Магнитное поле измеряется на контуре ¿, , окружающем плазму. По заданной функции Р необходимо продолжить ф вплоть до границы плазмы Гр= ~д0.р, которая определяется как линия уровня '

Константа фр находится из конкретных условий удержания плазменного шнура:

Ф =тахФСед . или

г р 3 '

где С - диафрагма, (^Дд) - стационарная точка сепаратрисы.

В случае, когда затруднительно выделить внешнее поле, например, из-за присутствия ферромагнетика, вместо задачи продолжения (б-) формулируется задача Коли для однородного уравнения (5) в двухсвязной области, ограниченной контурами Гр и .

После нахождения границы плазменного шнура ставится задача определения профиля тока внутри плазш. Она формулируется как задача определения нелинейной правой части эллиптического уравнения по дополнительной информации на границе области. Задача о нахождении равновесного профиля тока ^Ос.Ф) = 4б(и0-»-т^£ формулируется следующим образом. Необходимо найти функции ^ 2-3(ЦОг из условий „ ч гА1,„\ , ' ^ '

Здесь рСФ) и

т

- распределение давления и продольного магнитного поля по магнитным поверхностям. Изучается также зависимость начальных данных обратной задачи (б) ф от различных параметров плазменного шнура: аспектного отношения, эллиптичности, треугольно-сти, давления. Эти зависимости определяются на основе расчетов прямой задачи равновесия.

*

В §2 рассмотрены численные методы решения задачи определения границы плазменного шнура. Наличие неизвестной свободной границы затрудняет использование разностных методов и методов, основанных на разложении функции потока в ряд по собственным функциям дифференциального оператора. Поэтому применяется метод интегральных уравнений. При решении интегральных уравнений первого рода используется регуля-ризирующий алгоритм А.Н.Тихонова. В §3 проводится сравнение полученного численного решения задачи с тестами. В §4 представлены результаты исследования информативных возможностей метода обработки магнитных измерений для определения границы плазмы в установке с железным сердечником Т-15 и в установке с вытянутым поперечным сечением шнура ШТОР.

В §5 разрабатывается численный метод решения задачи (б) о нахождении распределения равновесной плотности тока. Характерной особенностью (б) является неустойчивость решения по начальным данным, неединственность решения при недостаточной точности начальных данных. Рассматривается случай одной неизвестной функции:

Здесь Я. - константа, пропорциональная величине полного тока, ^ -большой радиус плазмы, параметр, характеризующий отношение давления плазмы к давлению магнитного поля. Строится итерационный алгоритм типа простой итерации:

аде г,,

где б"- итерационный параметр, номер итерации. На каждом шаге рассматривается линейная обратная задача определения неизвестных функций <^04^). Линейная обратная задача сводится к одномер-

ному интегральному уравнению первого рода относительно функции ^СФ). При этом определяется из задачи Дирихле для уравнения (7), решение которой проводится в квазиполярных потоковых координатах методом обращения переменных. Решение интегрального уравнения Фредгольма

первого рода основано на методе регуляризации. Сеточная фумпия £СФ) ищется в пространстве . При этом параметр регуляризации выбирается по одному из следующих способов: принципу невязки, критерию квазиопткмальности, модельных примеров. Модельные расчеты показывают, что предлагаемый метод обладает высокой точностью. Исследована его сходимость.

§6 посвящен применению разработанного численного кода к исследованию возможности определения профиля тока в условиях установки о вытянутым поперечным сечением ШТОР и установки с нелезным сердечником Т-15. Рассматривается случай дополнительной априорной информации о принадлежности множеству выпуклых или монотонно невозрастаю-

щих неотрицательных функций.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Методам математического моделирования гроведено исследование стационарных состояний, их устойчивости и диагностики равновесных плазменных конфигураций с сепаратрисами.

Разработана модель описания стационарного состояния йеидеальной тороидальной плазмы со свободной поверхностью, ограниченной сепаратрисой. Предложена и исследована одномерная модель аксиально-симметричной неустойчивости, эффективно учитывающая пассивные стабилизирующие элементы. Изучена постановка нелинейной обратной задачи о нахождении свободной границы плазмы и профиля тока по внешним магнитным измерениям.

Создан численный метод решения задачи о стационарных состояниях плазмы со свободной границей. Разработан эффективный численный алгоритм, основанный на интегральных уравнениях, для исследования аксиально-симметричной неустойчивости плазмы при наличии дискретных стабилизирующих проводников. Проведено подробное численное сравнение двумерных и одномерных, предлагаемых в работе, моделей аксиально-симметричной неустойчивости. Исследован и реализован в виде программ итерационный метод решения нелинейной обратной задачи теории потенциала для эллиптического уравнения.

С помощью созданных программ проведено численное моделирование стационарных плазменных конфигураций для параметров установки ИНТОР.

Предложен и исследован способ формирования плазменной конфигурации с вытянуты,1 сечением, ограниченным сепаратрисой. Проведен анализ развития аксиально-симметричной неустойчивости в случае системы пассивных кольцевых проводников.

Показана возмоетюсть определения границы плазмы и профиля тока в установке с полоидальным дивертором ИНТОР и в установке с железным сердечником Т-15.

1. Сычугов Д.Ю., Зотов И.В. Стабилизация аксиально-симметричной неустойчивости в токамаке с дивертором. - В кн.: Вычислительная математика и математическое обеспечение ЭВМ. - М.: Изд-во МГУ, 1985, с.130-138.

2. Сычугов Д.Ю., Зотов И.В. Математическое моделирование процессов развития вертикальной неустойчивости плазмы. - Вестн. Моск. ун-та, сер.15. Вычисл. матем. и киберн., 1985, J6 3, с.35-43.

3. Гасклов H.A., Зотов И.В. Вертикальная неустойчивость тороидальной плазмы при конечной проводимости стабилизирующих элементов. - В кн.: Методы математического моделирования, автоматизация обработки наблюдений и их применения. - М.: Изд-во МГУ, 1986,

с.266-273.

4. Зотов И.В. Решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения

^¡^i^Vt) ® в ^w®002®110® неограниченной области

с вычислением нормальной производной на границе. Инф. бшл."Алгоритмы и программы". - М.: ВНТИЦ, 1986, J& 3 (72), инв. й 50850000809.

5. Зотов И.В. Численное исследование стационарных состояний в плазме. Моск. ун-т, М., 1986. Деп. в ВИНИТИ 26.08.86, » 6I23-B86.

6. Вабищевич П.Н., Зотов И.В. Определение границы плазменного шнура по данным магнитных измерений. Моск. ун-т, М., 1986. Деп. в ВИНИТИ 26.08.86, Ji 6I24-B86.

Работы, опубликованные по теме диссертации