Численное исследование задач об отрыве пограничного слоя тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

I. Прямые методы решения уравнений теории взаимодействия.

1. Введение

§2. Прямой метод решения уравнений теории взаимодействия плоского пограничного слоя в переменных завихренности

§3. Метод решения уравнений теории взаимодействия в переменных вектора скорости.

§4. Решение уравнений теории взаимодействия с периодическими краевыми условиями

II. Неединственность отрывного обтекания в области взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком.

§1. Отрывное течение в окрестности задней кромки тонкого профиля расположенного под малым углом атаки.

§2. Отрыв в окрестности угла малого излома.

§3. Вращение эллиптического цилиндра в покоящейся жидкости.

III. Отрыв потока и построение дополнительных решений уравнений плоского ламинарного пограничного слоя. 12Т

§1. Постановка задачи.

§2. Построение решений уравнений ламинарного пограничного слоя.

§3. Неединственность решения уравнений вязкого подслоя

§4. Отрывные течения в вязком подслое с малым поверхностным трением.

§5. Отрывное обтекание передней кромки тонкого профиля

IV. О построении дополнительных решений уравнений осесим-метричного ламинарного и плоского турбулентного пограничного слоя.

§1. Построение неединственных решений уравнений осесимметричного ламинарного пограничного слоя.

§2. Неединственность решения уравнений турбулентного пограничного слоя.

Выводы

Отрыв потока от обтекаемой поверхности тела сопровождает большинство течений жидкости и газа при больших числах Рейнольдса. Впервые рациональное объяснение этого явления было дано Прандтлем в работе [1], заложившей основу теории пограничного слоя.

Согласно теории Прандтля отрыв от гладкой поверхности твердого тела при больших числах Рейнольдса происходит в результате уменьшения скорости на внешней границе тонкого пристеночного вязкого пограничного слоя и сопровождается обращением в нуль в некоторой точке величины поверхностного трения. За этой точкой лежит область возвратных токов. Распределение скорости и давления на внешней границе пограничного слоя определяется из решения внешней задачи об обтекании тела потоком идеальной жидкости. Однако решение уравнений пограничного слоя при заданном регулярном неблагоприятном распределении градиента давления, как показали Хоуэрт [2] и Хартри [3], имеет особенность в точке нулевого поверхностного трения : т(х8) = 0 . Ландау и Лифшицем [4] впервые было установлено, что нормальная к поверхности тела составляющая вектора скорости неограниченно возрастает при подходе к этой точке. Гольд-штейном [5] было получено соответствующее решение в виде координатных асимптотических разложений, а также показано, что возникающая особенность неустранима: решение краевой задачи для уравнений пограничного слоя Прандтля нельзя в общем случае непрерывно продолжить в область рециркуляционного течения.

Противоречие, возникшее в теории, удалось разрешить после того, как была осознана роль процесса взаимодействия пограничного слоя с внешней невязкой частью течения. Именно взаимодействием можно объяснить обнаруженную в экспериментах передачу возмущений в направлении против внешнего потока при возникновении отрыва. Так при падении скачка уплотнения отрыв пограничного слоя происходит не из-под скачка, а на некотором расстоянии вверх по потоку от него [6], [7]. При этом в окрестности точки отрыва наблюдается рост толщины вытеснения пограничного слоя, сопровождающийся образованием во внешнем потоке веера волн сжатия.

Идея о взаимодействии пограничного слоя с внешним невязким потоком легла в основу теории, созданной в 1969 году Нейландом [8] и независимо Стюартсоном и Вильямсом [9]. Они одновременно рассмотрели задачу об отрыве пограничного слоя от плоской поверхности в сверхзвуковом потоке газа и применили к ее решению один итот же подход - анализ течения в окрестности точки отрыва был выполнен с помощью построения асимптотического решения уравнений Навье-Стокса при стремлении числа Рей-нольдса ( Яе ) к бесконечности. При этом использовался метод сращиваемых асимптотических разложений [10], [11], [12] получивший в последние годы широкое распространение не только в теории отрыва пограничного слоя, но и в других разделах теоретической гидродинамики.

Как было установлено, область взаимодействия, образующаяся в окрестности точки отрыва, простирается вдоль стенки на расстоянии порядка Де-3//8 и имеет трехслойную структуру. Толщина первого слоя, непосредственно примыкающего к стенке, величина порядка 0(11е~5,/8) . Здесь течение является вязким и описывается уравнениями Прандтля для пограничного слоя. Вследствии малой скорости движения газа, по отношению к скорости на внешней границе пограничного слоя она составляет величину порядка 0(Яе-1/8) , струйки тока проявляют повышенную чувствительность к изменению давления. Небольшое увеличение давления на величину порядка 0(Де-1/4) способно затормозить поток и привести к образованию возвратного течения вблизи обтекаемой поверхности. Торможение газа сопровождается увеличением толщины пристеночных струек тока, а следовательно и всего пограничного слоя.

Основная часть пограничного слоя области взаимодействия имеет толщину порядка 0(Ле-1/2) и включает в себя все струйки тока приходящего в область взаимодействия пограничного слоя за исключением пристеночных. Здесь в главном приближении сохраняется приходящий профиль скорости, и наклон линий тока поперек этой области остается неизменным. То есть на внешней границе пограничного слоя в основном приближении он тот же, что и на ее дне - внешней границе пристеночного подслоя.

Наконец внешняя часть области взаимодействия имеет поперечный размер 0(Ле~3/8) и охватывает часть потенциального потока. Здесь течение описывается системой линеаризованных уравнений Эйлера. Ее решение дает связь между изменениями давления в подслое с наклоном линий тока на его внешней границе. Эта связь выражается известной формулой Аккерета.

Таким образом, рассматривая самоиндуцированный отрыв пограничного слоя, мы по-прежнему имеем дело с уравнениями Прандтля. Однако теперь градиент давления не является заранее заданым, а должен определяться в процессе решения по формуле Аккерета. Это изменение является принципиальным. Оно, во-первых, делает невозможным появление особенности Гольдштейна и, во-вторых, меняет характер зависимости решения уравнений Прандтля от краевых условий, что требует постановки дополнительного условия, отвечающего за передачу возмущений против потока в пограничном слое.

Важный шаг в развитии теории отрыва сделал Сычев [13]. Он рассмотрел классическую проблему об отрыве пограничного слоя в потоке несжимаемой жидкости. Основная трудность состояла здесь в том, чтобы выбрать подходящее решение уравнений Эйлера, описывающее течение в области внешнего потенциального течения. Однако, обратившись к модели Кирхгофа [14] из теории струй идеальной жидкости, Сычев установил, что она обладает всеми необходимыми свойствам.

Хорошо известно, (см. [15], что при обтекании гладкого тела со сходящими с его поверхности свободными линиями тока это течение описывается однопараметрическим семейством решений (модель Кирхгофа). Свободным параметром здесь является положение точки схода (отрыва) свободной линии тока с поверхности тела. Градиент давления перед этой точкой возврас-тает по закону с(—ж)~1//2 , а кривизна оторвавшейся линии тока ведет себя как ае = — с(—ж)-1/2 . Здесь |ж| - расстояние до точки отрыва , а с - параметр зависящий от ее положения на контуре тела. Если с < 0 , то течение становится физически невозможным, поскольку свободная линия тока пересекает поверхность тела. Случаю с > 0 соответствует бесконечно большой положительный градиент давления, что приведет к более раннему отрыву пограничного слоя. Наконец с = О соответствует условию Бриллюена [16]-Вилля [17] о гладком отрыве, когда кривизна свободной линии тока в точке её схода равна кривизне тела. Однако в этом случае при с = О положительный градиент давления на поверхности тела отсутсвует вовсе, так что появление отрыва оказывается физически необъяснимым.

Выход из этой парадоксальной ситуации был найден в выше упомянутой работе Сычёва [13]. Основная идея её состоит в том, чтобы считать параметр с положительным, но стремящимся к нулю при Яе —» оо по закону с = 0(Ле-1/16) . Тогда на любом конечном расстоянии от точки отрыва решение задачи будет удовлетворять условию Бриллюена-Вилля. В то же время найдётся такая окрестность этой точки, уменьшающаяся в размерах при Яе оо , в которой градиент давления будет достаточен для отрыва пограничного слоя. Эта окрестность имеет протяжённость |ж| = 0(Яе~3/8) и представляет собой область взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком. Как и в сверхзвуковом случае она является трёхслойной. Сохраняют справедливость и уравнения Прандтля , которым подчиняется движение жидкости в вязком пристеночном слое. Необходимо только вместо формулы Аккерета для индуцированного давления использовать интеграл Гильберта из линейной теории потенциальных течений жидкости. Численное решение соответствующей краевой задачи для области взаимодействия впервые построил Смит [18], использовавший приближение Рейнера и Флюгге-Лотц [19] для области возвратного течения. В точной постановке она была решена Королёвым [20] и затем позднее Ван Доммеленом и Шеном [21].

Работы Нейланда [8], Стюартсона, Вилльямса [9], Сычёва [13], а также работы Стюартсона [22] и Месситера [23], посвященные исследованию течения в окрестности задней кромки пластины, установленной параллельно однородному набегающему потоку потоку, открыли один из важнейших механизмов действующих в среде с малой вязкостью. Взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком управляет движением жидкости не только в окрестности точки отрыва, но и в целом ряде других случаев, когда имеются условия для появления больших локальных градиентов гидродинамических функций.

Причиной появления области взаимодействия при обтекании задней кромки пластины является разрыв в краевом условии. При сходе с задней кромки частицы жидкости перестают тормозиться действием сил вязкости со стороны пластины. Это приводит к их резкому ускорению вблизи оси следа и уменьшению толщины пограничного слоя. Угол наклона линий тока в следе за пластиной оказывается пропорциональным Де~1//2ж~2/3 , где х -расстояние от задней кромки [24]. Величиной того же порядка является и индуцированное давление р . На расстояниях порядка х = 0(Не~3//8) давление становится величиной 0(-йе~1//4) , т.е. порядка изменения величины давления в области взаимодействия. Численное решение задачи о взаимодействии, сформулированной Стюартсоном [22] и Месситером [23], построили Джоб и Бюрграф [25] и несколько позднее Велдман и Ван де Вурен [26].

Выше упомянутые работы заложили основу для решения большого числа задач, связанных с изучением зарождения отрыва, т.е. течений с локальными замкнутыми линиями тока. Ключевую роль здесь по прежнему играет трёхслойная структура течения в области взаимодейстия.

Первое исследование в этом направлении принадлежит Нейланду [27]. В этой работе было рассмотрено течение в области взаимодействия, образующейся в окрестности точки падения слабого скачка уплотнения на пограничный слой и показано, что для появления отрыва необходимо иметь перепад давления на скачке порядка 0(Яе-1/4) . Математически эта задача эквивалентна задаче обтекания пластины с малым углом излома 9 = 0(Де~1//4) , которая была рассмотрена Стюартсоном [28], как для сверхзвукового так и дозвукового режимов течения. Стюартсоном было получено решение линеаризованной задачи. Численное решение нелинейной задачи было выполнено Нейландом [27], Енсоном и др. [29], Рубаном [30] для сверхзвукового течения . Решение соответствующей задачи в потоке несжимаемой жидкости построили Рубан [31] и несколько позднее Смит и Меркин [32]. Они установили, что при обтекании вогнутого угла зарождение отрыва происходит непосредственно в угловой точке, как и в сверхзвуковом потоке. В случае обтекания выпуклого угла в сверхзвуковом потоке отрыв не наблюдается вовсе, а в дозвуковом потоке он появляется на некотором расстоянии вниз по течению от угловой точки.

В дальнейшем Королёвым было установлено, что при увеличении угла излома поверхности структура отрывного течения в дозвуковом потоке значительно усложняется. В случае вогнутого угла обнаружено появление внутри замкнутой области рециркуляционного течения вторичного отрыва [33]. А в случае выпуклого угла показано, что решение поставленой задачи существует до вполне определённого значения угла излома поверхности [34], [35]. Также найдена область изменения угла излома поверхности, внутри которой имеется неединственность решения поставленной задачи [34].

Как уже отмечалось, взаимодействие возникает также при обтекании задней кромки пластины [22], [23]. Если же речь идёт о профиле ненулевой толщины, то в действие вступает эффект торможения жидкости перед задней кромкой. Этот процесс был исследован Райли и Стюартсоном [36], для профиля имеющего клиновидную кромку. Угол раствора задней кромки достаточной для отрыва потока оказывается равным 0(Ле~1//4) . Численное решение задачи о взаимодействии, сформулированной Райли и Стюартсоном , построил Рубан [37]. В своих рассчётах он проследил за тем, как по мере увеличения толщины профиля безотрывное его обтекание преобразуется в течение с локальной зоной отрыва, лежащей в окрестности задней кромки. Аналогичное исследование для профиля эллиптической формы выполнил Королёв [38]. Величина толщины профиля достаточная для возникновения отрыва потока в этом случае оказывается равной 0(Ле-7/16) .

Свехзвуковое симметричное течение около задней кромки пластины было рассмотрено Даниэльсом [39], а несимметричное, когда пластина установлена к набегающему потоку под углом атаки порядка 0(Ле~1//4) , рассмотрено им же в работе [40]. Используемый Даниэльсом метод расчёта позволил ему рассмотреть лишь предотрывный режим течения. Свойства симметричных зон отрыва около клиновидной задней кромки позднее исследовали Верле и Вер дон [41]. А несимметричный отрыв вблизи задней кромки пластины, установленной под углом атаки к набегающему сверхзвуковому потоку, подробно проанализировали Эллиот и Смит [42].

Проблему влияния угла атаки на отрыв потока несжимаемой жидкости при несимметричном обтекании задней кромки тонкого профиля впервые рассмотрели Браун и Стюартсон [43]. Они обнаружили, что влияние угла атаки становится существенным и может привести к отрыву потока, если угол атаки достигает значений порядка 0(Ке~1^16) . В этом случае в области взаимодействия индуцируемое давление, ускоряющее поток (за счёт разрыва в краевых условиях на задней кромке), и давление, обусловленное несимметрией течения, становятся величинами одного порядка. Причём, именно область взаимодействия, лежащая на задней кромке , определяет главную вязкую поправку к величине циркуляции вектора скорости, а следовательно - и к величине подъёмной силы, действующей на профиль. Решение задачи построили для этого случая Чау и Мельник [44]. Им удалось рассчитать весь предотрывный диапазон изменения угла атаки . Более подробным является анализ, который был выполнен Королёвым [45]. Он установил, что область отрыва, образующаяся на верхней поверхности пластины, остаётся локальной , т.е. не выходит за пределы области взаимодействия, при условии , что угол атаки не превосходит некоторого критического значения. Если это условие выполнено, то отрыв может принимать две различные формы, что, как надо полагать , связано с явлением гистерезиса отрывного течения.

Большое число работ было посвящено изучению зарождения отрыва, обусловленного малыми неровностями (бугорок ,впадина, ступенька и др.), расположенными на поверхности тела.Первые результаты в этом направлении были получены Боголеповым и Нейландом [46]. Если продольный размер неровности является величиной порядка 0(Де-3//8) , а её высота - величиной порядка 0(Ле~5//8) , то в окрестности неровности формируется область взаимодействия. При малых значениях параметра, который характеризует высоту неровности в масштабах вязкого подслоя, решение может быть получено путём линеаризации (Смит [47]). При конечных значениях решение задачи о взаимодействии было получено Бюрграфом и Даком [48], Королёвым [49] и другими авторами (см. обзор [50]). Характерным свойством течения около бугорка [49] является появление области возвратных токов как за, так и перед ним, начиная с некоторого значения высоты неровности.

Описаная задача для течений с локальными зонами отрыва является наиболее общей. Вместе с тем уменьшение или увеличение (по порядку величины) продольного размера и высоты неровности требует специального рассмотрения. Поскольку это приводит к изменению формулировки краевой задачи. Согласно классификации, проведённой Боголеповым и Нейландом [46],[51] при уменьшении размеров неровности возникает так называемый "компенсационный" режим течения, при котором вытесняющее действие на внешней границе вязкого пристеночного подслоя равно нулю. Для этого режима характерно отсутствие распространения возмущений вверх по потоку от неровности [46]. Численное решение краевой задачи для этого режима течения было получено Боголеповым [52] и Смитом [53].

Увеличение размеров бугорка приводит к течению в вязком подслое с заданным градиентом давления, определяемым его формой. Поэтому здесь неизбежно появление, начиная с некоторого значения параметра, определяющего высоту бугорка, особенности в точке нулевого поверхностного трения.

В дальнейшем эти результаты были распространены на большое число осесимметричных течений. В работе Бодони, Смита и Клювика [54] было исследовано дозвуковое течение около тела вращения, имеющего толщину г = 0(Де-1/2) , когда известное преобразование Степанова-Манглера, приводящее решение по виду к плоскому, неприменимо. Основное внимание было уделено ими анализу течения вблизи задней оконечности в предположении, что показатель степени п для ее формы меняется в пределах : 0<п<1/2,то есть для тел более затупленных, чем эллипсоид вращения. Задачу о сверхзвуковом течении осесимметричного тела, имеющего радиус порядка 0(^е~3//8) , с отрывом потока на линии сопряжения цилиндрической части тела с её конической частью была рассмотрена Життлером и Клювиком [55].

Сычёвым [56] было исследовано течение несжимаемой жидкости около тела вращения, имеющего толщину г — 0(Де~1//2) при всех значениях п > 1/2 , а также и для более толстых осесимметричных тел г >> Де~1//2 [57]. Установлена связь между толщиной г и показателем степени п , при которой течение остаётся в целом безотрывным, хотя взаимодействие течения в пограничном слое с внешним потенциальным потоком имеет место [58]. Получено численное решение этой задачи для показателей степени п — 1/2 и п = 1 .

Впервые теория взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком для пространственных течений была выполнена в рамках гиперзвуковой теории, когда индуцируемый вытесняющим действием пограничного слоя, градиент давления оказывается существенным по всей поверхности обтекаемого тела [59], [60].

Обобщение теории взаимодействия для плоских потоков на трёхмерные течения было проделано в работах Смита и др. [61], [62]. В первой из них было рассмотрено обтекание пространственной неровности, которая лежит на плоскости, а её поперечный размер совпадает по порядку величины с продольным размером области взаимодействия для двумерного течения , т.е. величиной порядка 0(Ле~3//8) . Как и в плоском течении градиент давления оказывается заранее неизвестным. Он должен определяться из условия взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком.

В работе [62] исследовалось течение в круглой трубе, имеющей на некотором отрезке пространственную деформацию. Изучению течений несжимаемой жидкости со стратификацией во внешней области были посвящены соответственно работы [63], а при гиперзвуковых скоростях набегающего потока [64],[65]. В работе [66] рассматривалось течение в компенсационном режиме, причём был обнаружен эффект передачи возмущений вверх по потоку от неровности, который, как отмечалось, не имеет места в плоском случае. Этот режим течения был рассмотрен также в работах [64],[67],[68]. Новый тип взаимодействия (продольно-поперечное взаимодействие) был изучен в работах [69],[70]. Данный вид взаимодействия, присущий в отличие от перечисленных ранее, только трёхмерным течениям, реализуется при обтекании пространственных неровностей, лежащих на искривлённой поверхности.

Во всех выше упомянутых работах решение сформулированных краевых задач для трёхмерных течений строилось путём их линеаризации. Решения исходных нелинейных задач получены в [71]-[74]. Так в [71] и [72] это было сделано для течений на компенсационном режиме около неровности, имеющей периодическую структуру в поперечном направлении, и для свободно развивающегося пограничного слоя, а в [73],[74] - для пограничного слоя несжимаемой жидкости со взаимодействием.

В работах [75]-[77]( см. также [67],[68]) была представлена классификация различных режимов пространственного течения в зависимости от геометрических размеров неровности.

В работе [130] рассмотрены трёхмерные течения около неровностей, лежащих на поверхности тонких осесимметричных тел. В зависимости от радиуса осесимметричного тела изучены все возможные типы режима взаимодействия, связывающие изменения давления и толщины трубок тока. Показано, как в зависимости от определяющих параметров пространственные течения на теле вращения переходят в пространственные и квазидвумерные течения на плоскости.

Результаты теории взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком также были распространены на многие трансзвуковые (см. обзор [79]) и гиперзвуковые течения (обзоры [80],[81]), а также на внутренние течения в каналах и трубах [50]. Существует ещё немало примеров использования этой теории. Современное состояние асимптотической теории взаимодействия и отрыва, не считая выше указанных обзоров, содержится также в работах [82]-[92] и монографии [93].

Исследование эффектов нестационарности в теории взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком позволило установить, что наиболее чувствительным к ним оказался вязкий пристеночный подслой. Характерный масштаб времени имеет величину 0(Яе1/4) . В этом случае течение в вязком подслое подчиняется нестационарным уравнениям Прандтля. В остальной части области взаимодействия (в основной части пограничного слоя и во внешнем потенциальном потоке) течение квазистационар но ( Шнайдер [95], Браун и Даниэльс [96], Рыжов и Терентьев [97]). Исследования в этом направлении в дальнейшем определили глубокую связь теории взаимодействия с теорией гидродинамической устойчивости (Смит [98], Жук и Рыжов [99], Михайлов [100]) и восприимчивостью потока к внешним возмущениям ( Терентьев [101]-[103], Рубан [104]). Обзор результатов всех этих исследований содержится в работах [105]-[108].

Существует ещё немало примеров использования этого плодотворного направления в современной механике жидкости и газа, но и сказанного выше достаточно, чтобы убедиться в этом.

Вместе с тем, в некоторых случаях результаты описаной теории не могут быть применены непосредственно. Как уже отмечалось, при заданном регулярном положительным градиенте давления в общем случае в точке нулевого поверхностного трения возникает неустранимая особенность [5]. В то же время, как было установлено Рубаном [109], существуют такие условия, при которых трение на поверхности тела , оставаясь всюду положительным, обращается в нуль лишь в одной точке. Иначе говоря, существуют некоторые, определяемые в процессе решения, критические значения параметров (например, это может быть угол атаки) при которых это происходит. Решение уравнений пограничного слоя ведёт себя в этой точке особым образом. В частности , линии тока претерпевают излом при прохождении этой точки. Однако такая особенность является более слабой и устранимой. Решение продолжимо через неё и следовательно имеет физический смысл.

Такие решения описывают течения близкие к отрывным и реализуются, например, при обтекании передней кромки тонкого профиля под углом атаки [109] или при обтекании вогнутых поверхностей [110]-[113].

Установление этого факта [109] привело к созданию теории коротких зон отрыва, получивших название теории кромочного отрыва( Рубан [114], Стю-артсон, Смит и Каупс [115]) В этих работах было показано, что классическая теория пограничного слоя становится несправедливой в окрестности такой точки поверхностного нулевого трения протяжённостью О^е"1/5) . В этой окрестности имеет место взаимодействие течения в пограничном слое с внешним потенциальным потоком.

В области взаимодействия, как и в случае с самоиндуцированным градиентом давления, течение имеет трёхслойную структуру. Своеобразие задачи для этой области состоит в том, что приходящий профиль скорости в пограничном слое является предотрывным (трение стремится к нулю при |ж| —> 0 ). Вследствии этого решение сводится к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению. В результате численного интегрирования этого уравнения была обнаружена неединственность его решения в зависимости от входящего в него параметра, который характеризует степень отклонения решения от исходного критического состояния. Более того, оказалось, что решение существует, если только значение этого параметра не превосходит некоторого значения [116], а при больших его значениях оно становится комплексно-значным [117].

Создание этой теории открыло новые возможности для исследования отрывных течений и инициировало появление целого ряда работ, опирающихся на её положения. Как показала Фомина [110], эта теория позволяет описать зарождение локальных зон отрыва в пограничном слое на поверхности твёрдого тела, контур которого имеет форму гиперболы. Заметаев [111] использовал её для анализа коротких зон отрыва, образующихся на искривлённой поверхности в пристенной струе. Тригуб [118] применил теорию кромочного отрыва для описания явления разрушения следа. Негода и Сычёв [119] использовали эту теорию для анализа пограничного слоя образующегося на поверхности цилиндра, помещённого в равномерный поток жидкости и приведённого во вращение вокруг своей оси.

Дальнейшее развитие теории кромочного отрыва идёт в нескольких направлениях. Рубан [120] и Смит [121] распространили её на случай нестационарных течений. В работе [120] была исследована устойчивость потока на передней кромке профиля. Работа Рубана [121], а также работы Рыжова, Смита, Эллиота [122]-[124] были посвящены анализу решения задачи Коши.

В ряде работ результаты теории кромочного отрыва были обобщены на трёхмерные течения. Так Браун [125] исследовала короткую зону отрыва на поверхности параболоида вращения под углом атаки. Однако её анализ был ограничен течением в плоскости симметрии. Впервые пространственную версию этой теории разработал Заметаев [126],[127]. В этих работах был рассмотрен процесс зарождения отрыва на тонком конусе, установленным под малым углом атаки. Заметаевым [128] были изучены также свойства пространственного пограничного слоя вблизи плоскости симметрии на теле вращения. Этим же вопросом занимался Дак [129] с целью обобщения результатов работы [125] на случай существенно пространственных течений. Сычёвым [130] было осуществлено дальнейшее развитие этой теории на течения около тонких тел вращения, на поверхности которых имеется пространственная неровность. Размеры этой неровности выбраны таким образом, чтобы её влияние проявлялось нелинейным образом в области взаимодействия.

Обзор результатов по теории кромочного отрыва, в частности и для плоских гиперзвуковых течений, содержится в работе Рубана [131].

Одним из интересных и сложных явлений, обнаруживаемых в результате исследования течений при больших числах Рейнольдса, является гистерезис отрывного течения. Классическим примером такого течения, обнаруживаемого в результате проведения многочисленных аэродинамических экспериментов, может служить квазистационарный гистерезис подъёмной силы тонкого крыла [132]. Это означает, что существует некоторый диапазон изменения угла атаки крыла, в котором величина подъёмной силы зависит не только от значения угла атаки, но и от пути, по которому крыло преведено в данное положение. Последние экспериментальные исследования показали, что гистерезис аэродинамических характеристик может носить множественный характер. В некоторых случаях не только одна, но две и даже три устойчивых квазистационарных гистерезисных петли аэродинамических сил и моментов действующих на модель могут существовать [133].

На фигуре 0.1, показаны характеристики коэффициента зависимости подъёмной силы и момента прямоугольного крыла профиля NACA 0018 от угла атаки, полученные авторами упомянутой работы, в результате проведения эксперимента в аэродинамической трубе ЦАГИ при числе Рейнольдса, определённой по хорде крыла Re = 2.105 . При увеличении угла атаки из положения 0 градусов отрыв на поверхности крыла впервые возникает при угле атаки близком к 17 градусам. Дальнейшее увеличение угла атаки приводит к росту отрывной зоны на поверхности крыла, и при угле атаки близком 24 градусам происходит срыв потока с обтекаемой поверхности, что сопровождается резким падением подъёмной силы (точка 2). Дальнейшая зависимость аэродинамических характеристик на прямом ходе угла rectangular wing, profile NACA 0018 с. ,с

L' m

1.00

0.75 —

0.50

0.25 —-

10 20 30 angle of attack, deg

4C

Фиг. 0.1: Гистериз аэродинамических характеристик прямоугольного крыла профиля NACA 0018. атаки показана на фигуре чёрными кружками (интервал точек 2-3). При обратном ходе крыла из положения 3 кривая зависимости пройдёт по белым кружкам, образуя внешнюю гистерезисную петлю, замыкая её при угле атаки 15 градусов.

Однако, если достигнув при прямом ходе точки 2, не продолжать далее увеличение угла атаки, а наоборот начинать его уменьшать, то кривая зависимости будет уже иная. Обратный ход, показанный на фигуре сплошной линией с белыми кружками, образует внутреннюю гистерезисную петлю.

Можно отметить следующие интересные особенности обтекания профиля при гистерезисе аэродинамических характеристик. Первое - гистерезис связан с образованием отрывных зон различной протяжённости на поверхности тела на прямом и обратном ходе изменения угла атаки. Второе-это затягивание отрыва на обратном ходе. Размеры области отрыва на обратном ходе в диапазоне углов атаки, где гистерезис обнаружен, больше чем при прямом. Угол атаки, при котором возникает отрыв, и угол атаки на обратном ходе, когда отрыв исчезает - разные. Третье- как отмечают экспериментаторы, явление гистерезиса характерно для больших, но докритических чисел Рей-нольдса. При числах Рейнольдса, когда поток на обтекаемой поверхности является практически весь турбулентным, гистерезис не обнаруживается.

С математической точки зрения явление гистерезиса означает неединственность решения уравнений, описывающих течение. Исследование некоторых двумерных стационарных течений несжимаемой жидкости, область отрыва которых локализована внутри пограничного слоя и которым присуще выше описанное явление, и составляет предмет данной диссертации.

Как указывалось ранее, в теории взаимодействия пограничного слоя основополагающими уравнениями являются уравнения Прандтля. Причём входящее в эти уравнения распределение давления заранее неизвестно и должно определяться с помощью условия взаимодействия, которое связывает толщину вытеснения пограничного слоя с формой тела и давлением. Точное решение этих нелинейных уравнений не может быть получено в общем случае аналитическими методами. Поэтому данная область исследования отрывных течений вызвала целое новое направление в создании численных методов решения уравнений теории пограничного слоя с условием взаимодействия. В данном введении мы не будем делать обзор, посвящённый численным методам решения этих уравнений. Подробный обзор существующих методов будет дан в §1 главы 1. Одним из элементов успеха в изучении отрывных течений является использование численного метода решения уравнений теории взаимодействия, который не только позволил бы получать решение в необходимом диапазоне изменения параметров задачи, но и мог бы находить (в случае существования неединственности) дополнительные решения. Построение такого метода решения является предметом главы 1. На основе метода Ньютона и метода матричной прогонки в §2 и §3 разрабатывается алгоритм решения уравнений теории взаимодействия для плоского течения в переменных и и, V соотвественно [49] , [93], [94] . Отличительной особенностью этого метода является высокая скорость сходимости решения ( достаточно 5-6 итераций для получения сходимости решения нелинейных уравнений с точностью порядка 106 ) независимо от размера расчётной сетки и размеров области отрыва, экономичный алгоритм обращения матрицы Якоби, позволяющий реализовывать численный метод на персональных ЭВМ для достаточно больших сеток порядка 100 х 70 и получать решение в течении нескольких минут. В §4 главы 1 описывается численный метод для решения уравнений взаимодействующего пограничного слоя с периодическими краевыми условиями. Особенностью в постановке такой задачи является неизвестность распределения начального профиля течения и некоторых других параметров, которые должны определяться из условия периодичности решения. Для такого типа задач также разработан метод решения, который также обладает всеми перечисленными выше свойствами.

Теоретические исследования процессов гистерезиса идут в нескольких направлениях.

Наиболее плодотворным и наглядным для описания возможных процессов, связаных с изучением гистерезиса, оказался подход оснований на использовании метода сращиваемых асимптотических разложений для анализа уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса. Пожалуй, это единственный теоретический метод позволивший изучить реальные течения с такой особенностью.

Условно здесь можно выделить течения , где область отрыва велика по сравнению с толщиной пограничного слоя, и пограничный слой отходит за точкой отрыва от поверхности тела. В этом направлении надо отметить работы Ченга и Смита [134], [135] Храброва [137], Тимошина [136], Ченга и Ли [138]. В этих работах внешнее обтекание строится с использованием моделей Киркгофа, а условия, определяющие точку схода пограничного слоя с поверхности тела, определяются из условия существования решения локальной задачи, сформулированной для области взаимодействия в окрестности точки ламинарного отрыва (Smith [18], Королёв [33]). Параметр, связывающий величину трения перед областью взаимодействия, величину кривизны отходящей линии тока и числа Рейнольдса, должен быть равен вполне определённому значению. Решение задачи в такой постановке оказывается неединственным, что указывает на возможность существования гистерезиса течения.

Другим направлением в этой области исследования служит изучение течений, описывающих зарождение отрыва в пограничном слое и его дальнейшее развитие внутри этого пограничного слоя. Впервые при изучении таких течений неединственность была обнаружена в работе Браун, Стю-артсон [116] при изучении кромочного отрыва на передней кромке тонкого профиля. Течение в области взаимодействия описывается нелинейным итег-ральным уравнением вида: где Л -некоторая константа, а а является параметром задачи и связана с величиной, характеризующей асимметрию обтекания профиля (с углом атаки или радиусом кривизны средней хорды профиля). В этом решении при некотором диапазоне изменения параметра а оказалось возможным существование до 4 решений. Первый результат в этом направлении для задач, постановка которых в конечном результате требует уже решения нелинейных уравнений Прандтля, зависящих от двух переменных, был получен Житлером и Клювиком [55] при рассмотрении зарождения отрыва в окрестности угла с малым изломом поверхности при сверхзвуковом обтекании осесимметричного тела. Оказалось, что если угол является выпуклым, то имеется некоторый диапазон изменения угла излома поверхности, внутри которого также имеется неединственность решения задачи.

Во второй главе диссертации рассматривается решение ряда задач теории взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком несжимаемой жидкости, характерной чертой которых является наличие неединственности решения при возникновении отрыва потока. В §1 главы 2 рассматривается обтекание задней кромки тонкого профиля, установленного под малым углом атаки порядка 0(Де~1//16) . Постановка этой задачи для области взаимодействия была осуществлена в работе Браун и Стюартсона [43]. Ими была решена линейная задача для этого случая. В работе Чау и Мельника [44] была предпринята первая попытка решить нелинейную задачу. Авторам удалось построить решение до углов атаки, соответствующих безотрывному обтеканию профиля. В §1 главы 2 на основе разработанного метода, представленного в первой главе, строится решение данной задачи для углов атаки, соответствующих появлению и развитию отрыва на верхней поверхности задней кромки. Показывается существование предельного угла атаки, при превышении которого стационарного решения данной задачи не существует. Этот угол атаки соответствует точке ветвления решения. Вторая ветвь решения характеризуется существенным увеличением области отрыва потока при уменьшении величины угла атаки. Найдена область изменения угла атаки, внутри которой при одном и том же угле атаки возможно два различных режима отрывного обтекания. Также определён диапазон угла атаки, где при одном и том же угле атаки может реализоваться как безотрывный режим обтекания, так и с отрывом потока [45] . Во §2 главы 2 рассматривается развитие отрыва в окрестности угла малого излома, величина которого порядка 0(Де~1//4) . Постановка этой задачи для области взаимодействмя была осуществлена Стюартсоном в [28]. Стюартсоном было получено решение линеаризованной задачи. Решение соответствующей задачи в потоке несжимаемой жидкости построили Рубан [31] и, несколько позднее, Смит и Меркин [32]. Они установили, что при обтекании вогнутого угла зарождение отрыва происходит непосредственно в угловой точке.

В случае обтекания выпуклого угла отрыв появляется на некотором расстоянии вниз по течению от угловой точки. Попытки в этих работах исследовать течения при увеличении угла излома поверхности оканчивались прекращением сходимости при решении нелинейной системы конечно-разностных уравнений. В §2 главы 2, на основе разработанного метода, исследовано развитие отрыва с увеличением угла излома. Оказалось,что в случае выпуклого угла существует предельный угол излома поверхности, при превышении которого решение краевой задачи перестаёт существовать. Этому углу излома соотвествует точка перехода на вторую ветвь решения. Найдена область изменения угла излома поверхности, внутри которой при одном и том же угле атаки возможно существование режимов обтекания с различными размерами отрывных зон. В случае выпуклого угла излома поверхности наблюдается с ростом угла монотонное увеличение области отрыва и усложнение структуры пограничного слоя, вызванное появлением вторичного отрыва внутри области возвратного течения [33], [35].

В §3 главы 2 рассматривается развитие отрывного обтекания около вращающегося эллиптического цилиндра с малым эксентриситетом в потоке вязкой несжимаемой жидкости, величина которого порядка 0(Яе~1^4) . Постановка этой задачи для области взаимодействия была осуществлена в Сычёвым В.В. и Сычёвым Вик.В. в работе [139]. Характерной особенностью в постановке этой задачи является периодичность решения и неизвестность величины циркуляции. Авторами было получено решение линеаризованной задачи. На основе метода решения задач с периодическим законом взаимодействия, представленного в главе 1 §4, строится решение соответствующей задачи в полной нелинейной постановке. Оказалось, что решение задачи существует до определённого значения величины параметра, связывающего величину эксентриситета и числа Рейнольдса, при превышении которого решение перестаёт существовать. Этому значению параметра соответствует точка перехода на вторую ветвь решения. Вторая ветвь решения характеризуется более развитой зоной области отрыва. При одном и том же значении эксентриситета возможно существование двух различных отрывных режимов обтекания с различными значениями величин циркуляции [141] .

Следующая глава 3 диссертации также посвящена исследованию неединственности отрывного обтекания, но для течений, где пограничный слой на поверхности тела описывается уравнениями Прандтля в классической постановке, т.е. при заданном распределении давления. Теоремы существования и единственности решения уравнений Прандтля доказаны только в случае плоского течения несжимаемой жидкости и для безотрывных течений. Таким образом, если внутри пограничного слоя возникает точка нулевого трения, то она может служить местом разветвления решения.

Вопросы неединственности решений уравнений стационарного ламинарного пограничного слоя для плоской поверхности ранее рассмотрены для некоторых автомодельных случаев в работах Стюартсона [142] при изучении решения уравнений Фолькнер-Скен, Диесперова [143] и Смита [144] при рассмотрении течений в следе и слоях смешения. Первые работы по исследованию неединственности решения автомодельных уравнений пространственного пограничного слоя были сделаны в работе Дака и Стоу [145]. Они получили семейство решений уравнений типа Фолькнер-Скен для трёхмерного течения, где также при некоторых значениях параметров течения обнаружена неединственность решения.

В общем случае вблизи точки отрыва при решении уравнений пограничного слоя по заданному распределению давления возникает особенность Гольдштейна. Возможность построения решений уравнений пограничного слоя с разрывом функций тока при заданном неблагоприятном распределении давлении рассматривалась в работе [146]. Если же предельное состояние течения найдено верно, то решение уравнений пограничного слоя перед точкой отрыва будет регулярным [93]. На основе локального асимптотического анализа решения уравнений плоского пограничного слоя вблизи точки нулевого трения показано, что регулярное решение через точку отрыва можно продолжить двумя способами. Первый из них обеспечивает гладкое решение с образованием вниз по потоку от этой точки области возвратного течения [5]. Во втором случае решение является особым: в частности, угол наклона линий тока и угол наклона поверхностного трения в пограничном слое терпят разрыв при переходе через линию х8 [109], [115]. В §1 главы 3 показано, как при одном и том же распределении давления, используя выше описанные особенности решения в окрестности точек нулевого трения, можно построить за точками отрыва и присоединения дополнительные решения. На основе численного метода, предложенного в главе 1, строится алгоритм построения таких решений и приводятся примеры их построения [147].

В §2 главы 3 рассматривается неединственность решения уравнений Прандтля для уравнений вязкого подслоя. Отличие состоит в иных краевых условиях для начального профиля и условий на верхней границе пограничного слоя. Для этого случая также была смоделирована задача с отрывом пограничного слоя в вязком подслое и показано, что неединственность решения уравнений Прандтля присутствует и при такой постановке краевых условий [147].

В §3 главы 3 рассматривается неединственность решения уравнений Прандтля для уравнений вязкого подслоя, где приходящий пограничный слой подходит к рассматриваемой области с малой величиной поверхностного трения. В этом случае отличие в постановки задачи будет состоять в иных краевых условиях для начального профиля и условий на верхней границе пограничного слоя. Для этого случая также была смоделирована задача с отрывом пограничного слоя в вязком подслое и показано, что неединственность решения уравнений Прандтля присутствует и при такой постановке краевых условий [147]. Непосредственный интерес решения такой задачи представляется ещё и в том, что полученные решения в данной нелинейной постановке можно сравнить с решениями, полученными для линеаризованной задачи. Эти решения, в силу того, что в главном приближении трение на стенке равно нулю, описывают как безотрывные течения, так и течения с возвратными линиями тока. Причём, если в решении линеаризованной задачи, возникает точка нулевого трения, то решение за ней оказывается неединственным [148].

В §4 главы 3 рассматривается решение задачи об обтекании параболической передней кромки тонкого профиля, расположенного под углом атаки, потоком вязкой несжимаемой жидкости. Первые решения этой задачи были выполнены в [152], позднее, более подробно, в-[153]. Как оказалось, течение в пограничном слое существенно зависит от параметра К . Если К < Ко , где Ко = 1.17 , то поверхностное трение всюду остаётся положительным и имеет минимум. При К = Ко этот минимум обращается в нуль, а при К > К0 в решении уравнений возникает особенность Гольдштейна. Решение становится невозможно продолжить во всю область течения. Детальное исследование решения при К = Ко , выполненое в [109], показало, что в окрестности точки нулевого трения реализуется решение с изломом наклона поверхностного трения и линий тока. Этот результат позволил построить асимптотическую теорию, описывающую возникновение и разрушение короткого пузыря на передней кромке при малых отклонениях от параметра К . Используя разработанную методику построения неединственных решений уравнений пограничного слоя, в данном параграфе показывается, что найденное ранее решение [152],[153],[109] при К — Ко является лишь одним из возможных. Строится второе решение этих уравнений при К = Ко с длинной отрывной зоной. Причём это решение является непрерывно продолжимым через точку отрыва. В предположении, что профиль возвратного течения определяется в основном распределением давления и эжектирую-гцим действием слоя смешения, разделяющего область отрыва и прямого течения, строится асимптотическое решение для течения на больших расстояниях от точки отрыва [35].

Первый параграф главы 4 диссертации также посвящен исследованию неединственности отрывного обтекания, но для течений осесимметричного ламинарного пограничного слоя. Теоремы существования и единственности для уравнений осесимметричного пограничного слоя недоказаны. В общем случае при заданном неблагоприятном распределении давления при решении уравнений осесимметричного пограничного слоя вблизи точки отрыва возникает особенность, рассмотреная Букмайстером [154] в случае отрицательной кривизны тела. Вблизи точки отрыва вертикальная составляющая вектора скорости растет как

Случай с положительной кривизной тела остается до сих пор не рассмотре-ным. В §1 главы 4 с помощью модельной задачи, в которой рассматривается обтекание осесимметричного тела, радиус кривизны которого порядка толщины пограничного слоя показывается, как при одном и том же распределении давления, подобранным соответствующим образом, можно построить за точками отрыва и присоединения дополнительные решения. На основе численного метода, предложенного в §4 главы 1, строится алгоритм построения таких решений и приводятся примеры их построения [147]. Отличительной особенностью этих решений оказалась зависимость существования дополнительных решений от радиуса кривизны обтекаемой поверхности. При малых значениях радиуса кривизны получить дополнительные решения за точками нулевого трения не удаётся [206]. а трение падает как

28

Во §2 главы 4 диссертации исследуется неединственность решения уравнений турбулентного пограничного слоя для плоской поверхности. Теоремы существования и единственности для уравнений турбулентного пограничного слоя также пока недоказаны. В §2 главы 4 с помощью модельной задачи, в которой рассматривается обтекание плоской пластины, показывается, как при одном и том же неблагоприятном распределении давления, подобранным соответствующим образом, можно построить за точками отрыва и присоединения дополнительные решения. Моделирование турбулентности осуществляется с помощью простейших алгебраических моделей турбулентности для отрывных течений [155], [156]. Интересной особенностью этих решений оказалась их слабая зависимость от используемых моделей турбулентности. Однако область существования таких решений оказалась ограниченной по числу Рейнольдса. При значениях чисел Рейнольдса более чем В,е > 4500 , получить дополнительные решения ни за точкой отрыва, ни за точкой присоединения не удалось [207].

Выводы.

1. Разработаны эффективные методы решения уравнений теории взаимодействия пограничного слоя потока несжимаемой жидкости с внешним невязким потоком с отрывом течения в пограничном слое. Методы позволяют не только находить решения в классической постановке уравнений теории взаимодействия, но и когда краевые условия являются периодическими. Методы позволяют проходить без потери эффективности предельные точки решения, появляющиеся при рассмотрении задач теории взаимодействия, а также строить дополнительные решения при рассмотрении уравнений классического пограничного слоя. Также методы легко распространяются для решения задач осесимметричного ламинарного и турбулентного пограничного слоя.

2. Полученные результаты показывают , что существуют предельные значения асимптотических параметров течения в задачах об отрыве ламинарного пограничного слоя в окрестности задней кромки тонкого профиля, расположенного под малым углом атаки, а также в задачах об отрыве потока в окрестности точки излома. При превышении этих параметров стационарного решения поставленной задачи не существует. Эти предельные значения соответствуют точкам перехода на другую ветвь решения. Построены вторые ветви решения этих задач.

3. Исследование обтекания вращающегося эллипса малого эксентриситета показало, что существование предельных значений асимптотических параметров течения присуще уравнениям теории взаимодействия с периодическими краевыми условиями. Неединственность отрывного обтекания в случае взаимодействия может реализовываться не только в малых зонах, но и в областях протяжённостью порядка характерного размера обтекаемого тела.

4. Анализ решения уравнений ламинарного пограничного слоя плоского течения в классической постановке показал, что при неблагоприятном воздействии градиента давления в случае возникновения точки отрыва или присоединения решение уравнений может быть неединственным. Показано, что свойство неединственности решения уравнений пограничного слоя также присутствует при постановке краевых условий для уравнений вязкого подслоя с конечной и малой величиной поверхностного трения. Найдены способы построения таких решений.

5. Неединственность решения уравнений пограничного слоя при возникновении отрыва потока носит довольно общий характер и может проявляться как в вязких подслоях пограничного слоя в малых локальных зонах, так и в пограничных слоях в зонах протяжённостью порядка характерного размера тела.

6. Анализ вязкого течения при обтекании передней кромки тонкого профиля показал, что существует второе решение для уравнений пограничного слоя при критическом значении параметра, характеризующего асимметричность обтекания передней кромки тонкого профиля. Это решение в отличии от ранее найденного является непрерывно-дифференцируемым и характеризуется растущей областью возвратного течения. Определена асимптотика решения для зоны возвратного течения.

7. Исследование обтекания тонкого осесимметричного тела показало, что неединственность решения уравнений ламинарного пограничного слоя также возникает при отрыве потока осесимметричного течения. Отличительной особенностью этих решений является их существенная зависимость от кривизны обтекаемой поверхности. При малых значениях радиуса тела неединственность решения отсутствует.

8. Полученные результаты показывают, что неединственность решения также возможна для уравнений плоского турбулентного пограничного слоя

1. Prandtl L. Ubr Flussigkeitsbewegung bei sehr Kleiner Reibung. Verh. d. 3 Int. Math.-Kongr., Heilderberg, 1904. Leipzig: Teubner, 1905. S.484-491.

2. Howarth L. On the solution of the laminar boundary layer equations. Proc. Roy. Soc. London, A, 1938, V. 164, No. 919, pp.547-579.

3. Hartree D.R. A solution of the laminar boundary layer equation for retarded flow. Aeronat. Res. Coun. Rep. and Memor., No. 2426, 1939 (issued 1949).

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. -М.: Гостехиз-дат., 1944.

5. Goldstein S. On laminar boundary-layer flow near position of separation. Quart. J. Mech. Appl. Math., 1948, Vol. 1, pt. 1, pp. 43-69.

6. Ackeret J., Feldman F., Rott N. Investigation of compression shocks and boundary layers in gases moving at high speed. NACA Tech. Note 1113, 1947. (Transl. from E.T.H.Zurich N. 10, 1946)

7. Liepmann H.W. The interaction between boundary layers and shock waves in transonic flow. J. Aeronaut. Sci., 1946, V. 13, N. 12, pp. 623-637.

8. Нейланд В.Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. Изв.АН СССР, МЖГ, 1969, N4, с. 53-57.

9. Stewartson К., Williams P.G. Self-induced separation. Proc. Roy. Soc. London, A, 1969, V. 312, N. 1509, pp. 181-206.

10. Van Dyke M.D. Perturbation methods in fluid mechanics. New York: Academic Press, 1964. (Рус. пер.: Методы возмущений в механике жидкости.- М.: Мир, 1967).

11. Cole J.D. Perturbation methods in applied mathematics. Waltham (Mass.): Blaisdell Publ. Co., 1968. (Рус. пер.: Методы возмущений в прикладной математике.- М.: Мир, 1972).

12. Lagerstrom Р.А., Casten R.G. Basic concepts underlying singular perturbations techniques. SIAM Rev., 1972, V. 14, N. 1, pp. 63-120.

13. Сычев В.В. О ламинарном отрыве. Изв.АН СССР, МЖГ, 1972, N3, с. 47-59.

14. Kirchhoff G. Zur Theorie freier Flussigkeitsstrahlen. J. reine angew. Math., 1869, Bd. 70, H.4, S.289-298.

15. Гуревич M.И. Теория струй идеальной жидкости,-М.:Наука, 1979.

16. Brillouin M .Les surfaces de glissement d'Helmholtz et la resistance de fluides. Ann. Chim. Phys., 8-e ser., 1911, T.23, pp.145-230.

17. Villat H. Sur la validité des solutions de certains problèmes d'hydrodynamique. J. Math. Pures Appl., 6-e ser., 1914, T.10, fasc. 3, PP.231-290.

18. Smith F.T. The laminar separation of an incompressible fluid streaming past a smooth surface. Proc. Roy. Soc. London, ser.A, 1977, V.356, No. 1687, pp. 443-463.

19. Flugge-Lotz I. &; Reyner T.A. (1968). The interaction of a shock wave with a laminar boundary layer. Intern. J. Non-linear Mech., Vol. 3, No. 2, pp. 173-199.

20. Королёв Г.JI. Численное решение асимптотической задачи об отрыве ламинарного пограничного слоя от гладкой поверхности. Учён. Зап. ЦАГИ, 1980, т. 11, 2, с. 27-36.

21. Van Dommelen L.L., Shen S.P. Interactive separation from a fixed wall. Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows 2. /ed. T. Cebeci.-New York: Springer-Verlag, 1984, pp.393-402.

22. Stewartson K. On the flow near the trailing edge of a fiat plate. Mathematika, 1969, V.16, pt.l, No.31, pp. 106-121.

23. Messiter A.F. Boundary-layer flow near the trailing edge of a flat plate. SIAM J. Appl. Math., 1970, V.18, No.l, pp.241-257.

24. Goldstein S. Concerning some solutions of the boundary layer equations in hydrodynamics. Proc. Camb. Phil. Soc.,1930, V.26, pt.l, pp.1-30.

25. Jobe C.E., Burggraf O.R. The numerical solution of the asymptotic equations of trailing edge flow. Proc. Roy. Soc. london, Ser.A., 1974, V.340, No.1620, pp. 81-111.

26. Veldman A.E.P., Van de Vooren A.I. Drag of finite flat plate. Proc. 4th Int. Conf. Num. Meth. in Fluid Dyn. /Lecture Notes in Phys., 1975, V.35, pp. 423-430.

27. Нейланд В.Я. К асимптотической теории взаимодействия сверхзвукового потока с пограничным слоем. Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, 4, с. 41-47.

28. Stewartson К. On laminar boundary layers near corners. Quart. J. Mech. Appl. Math., 1970, V.23, pt.2, pp.17-152.

29. Jenson R., Burggraf O.R., Rizzetta D.P. Asymptotic solutions for supersonic viscous flow past a compression corner. Lecture Notes in Phys., 1975, V. 35, pp. 218-224.

30. Рубан А.И. Численный метод решения задачи о свободном взаимодействии. Уч. Зап. ЦАГИ, 1976, т. 7, 2, с. 45-51.

31. Рубан А.И. К теории ламинарного отрыва жидкости от точки излома тврдой поверхности. Уч. Зап. ЦАГИ, 1976, т. 7, 4, с. 18-28.

32. Smith F.T., Merkin J.H. Triple-deck solutions for subsonic flow past humps, steps, concave or convex corners and wedged trailing edges. Int. J. Сотр. Fluids, 1982, V. 10, No. 1, pp.7-25.

33. Королёв Г.JI. К асимптотической теории ламинарного отрыва жидкости при обтекании угла малого излома. Изв. АН СССР, МЖГ, 1991, 1, с. 180-182.

34. Королёв Г.Л. О неединственности отрывного обтекания углов малого излома. Изв. РАН, МЖГ, 1992, 3, с. 178-180.

35. Riley N., Stewartson K. Trailing edge flows. J. Fluid Mech., 1969, V.39, pt.l, pp. 193-207.

36. К асимптотической теории течения вблизи задней кромки тонкого профиля. Уч. Зап. ЦАГИ, 1977, т. 8, 1, с. 6-11.

37. Королёв Г.Л. К асимптотической теории течения вблизи задней кромки эллиптического профиля. Уч. Зап. ЦАГИ, 1990, т. 11, 4, с.8-16.

38. Daniels P.G. Numerical and asymptotic solutions for the supersonic flow near the trailing edge og a flat plate. Quart. J. Mech. Appl. Math., 1974, V.27, pt.2, pp.175-191.

39. Daniels P.G. Numerical and asymptotic solutions for the supersonic flow near the trailing edge og a flat plate at incidence. J. Fluid Mech., 1974, V.63, pt.4, pp.641-656.

40. Werle M.J., Verdon J.M. Solutions for supersonic trailing edges including separation. AIAA Paper No.79-1544.

41. Elliot J.W., Smith F.T. Separated supersonic flow past a trailing edges at incidence. Int. J. Comput. Fluids, 1986, V.14, No.2, pp.109-116.

42. Brown S.N., Stewartson K. Trailing edge stall. J. Fluid Mech., 1970, V.42, pt.3, pp.561-584.

43. Chow R., Melnic R.E. Numerical solutions of the triple-deck equations for laminar trailing edge stall. Proc. 5th. Int. Conf. Num. Meth. in Fluid Dyn. /Lecture Notes in Phys., 1977, V.59, pp.135-144.

44. Королёв Г.JI. К теории отрывного обтекания задней кромки тонкого профиля. Изв. АН СССР, МЖГ, 1989, 4, с.55-59.

45. Боголепов В.В., Нейланд В.Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа. Тр. ЦАГИ, 1971, вып. 1363.

46. Smith F.T. Laminar flow over a small hump on a flat plate. J.Fluid Mech., 1973, V. 57, pt. 4, pp. 803-824.

47. Burggraf O.R., Duck P.W. Spectral computation of triple-deck flows. Numer. Phys. Aspects of Aerodyn. flows (ed. T. Cebeci), New York:Springer, 1982, pp.145-158.

48. Королёв Г.Л. Об одном методе решения задач асимптотической теории взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком. Ж ВМФ. 1987,т. 27, 8, с. 1224-1232.

49. Smith F.T. On the high Reynolds number theory of laminar flows. IMA J. Appl. Math., 1982, V. 28, No.3, pp. 207-281.

50. Боголепов В.В., Нейланд В.Я. Исследование локальных возмущений вязких сверхзвуковых течений. Сб. Аэромеханика, М.:Наука, 1976, с.104-118.

51. Боголепов В.В. Расчет взаимодействия сверхзвукового пограничного слоя с тонким препятствием. Уч. зап. ЦАГИ, 1974, т.5, 6, с.30-38.

52. Smith F.T. Flow through constricted or dilated pipes and channelsipart 1. Quart. J. Mech. Appl. Math., 1976, V.29, pt.3, pp.343-364.

53. Bodonyi R.J., Smith F.T., Kluwick A.Axisymmetric flow past a slender body of finite length. Proc. Roy. Soc. London, A, 1985, V.400, No.1818, pp. 37-54.

54. Gittler Ph., Kluwick A. Triple-deck solutions for supersonic flows past flared cylinders. J. Fluid Mech. , 1987, V.179, pp.469-487.

55. Сычёв Вик.В. О течении вблизи задней оконечности тонкого осесим-метричного тела. Изв. АН СССР, МЖГ, 1990, 5, с.10-18.

56. Sychev Vic.V. Asymptotic theory of a flow near the trailing lip of a slender axisymmetric body. Separated flows and Jets (eds. Kozlov V.V, Dovgal A.V.), Berlin:Springer, 1991, pp.171-174.

57. Королёв Г.Jl., Сычёв В.В. Асимптотическая теория обтекания задней оконечности тонкого осесимметричного тела. Изв. РАН, МЖГ, 1993, 5, с.67-77.

58. Козлова И.Г., Михайлов В.В. О сильном вязком взаимодействии на треугольном и скользящем крыльях. Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, 6, с.94-99.

59. Рубан А.И., Сычёв В.В. Гиперзвуковое вязкое течение газа около крыла малого удлинения. Уч. Зап. ЦАГИ, 1973, т.4, 5, с.18-25.

60. Smith F.T., Sykes R.I., Brighton P.W.M. A two-dimensional boundary layer encountering a three-dimensional hump. J. Fluid Mech., 1977, V.83, pt.l, pp.163-176.

61. Smith F.T. On entry-flow effects in bifurcating, blocked or constricted tubes. J. Fluid Mech., 1976, V.78, pt.4, pp.709-736.

62. Sykes R.I. Stratification effects in boundary layer flow over hills. Proc. Roy. Soc. London, A, 1978, V.361, No.1705, pp.225-243.

63. Липатов И.И. Обтекание локальных пространственных неровностей на дне ламинарного пограничного слоя. Тр. ЦАГИ, 1980, вып. 2079, с.3-19.

64. Липатов И.И. Пространственное обтекание малой неровности ламинарным пограничным слоем. Уч. Зап. ЦАГИ, 1980, т. 11, 2, с.122-127.

65. Smith F.T. Pipe flows distored by nonsymmetric indentation or branching. Mathematica., 1976, V.23, pt.l, No.45, pp.62-83.

66. Боголепов В.В., Липатов И.И. Исследование пространственных локальных ламинарных течений. ПМТФ, 1985, 1, с.28-36.

67. Боголепов В.В. Исследование малых пространственных возмущений ламинарного пограничного слоя. ПМТФ, 1987, 5, с.69-79.

68. Рожко С.Б., Рубан А.И. Продольно-поперечное взаимодействие в трехмерном пограничном слое. Изв. АН СССР, МЖГ, 1987, 3, с.42-50.

69. Рожко С.Б., Рубан А.И., Тимошин С.Н. Взаимодействие пространственного пограничного слоя с вытянутым препятствием. Изв. АН СССР, МЖГ, 1988, 1, с.39-48.

70. Sykes R.I. On three-dimensional boundary layer flow over surface irregularities. Proc. Roy. Soc. London, A, 1980, V.373, No.1754, pp.311329.

71. Smith F.T. A three dimensional boundary-layer separation. J. Fluid Mech., 1980, V.99, pt.l, pp.185-224.

72. Duck P.W., Burggraf O.R. Spectral solutions for the three dimensional triple-deck flow over surface topography. J. Fluid Mech., 1986, V.162, pp.l-22.

73. Bodonyi R.J., Duck P.W. A numerical m,ethods for treating strongly interactive three dimensional viscous-inviscid flows. Int. J. Comput. Fluids., 1988, V.16, No.3, pp.279-290.

74. Боголепов В.В. Общая схема режимов пространственных локальных течений. ПМТФ, 1986, 6, с.80-91.

75. Боголепов В.В. Анализ режимов обтекания малых пространственных неровностей на поверхности тела. Труды ЦАГИ, 1988, вып. 2376, с.З-29.

76. Боголепов В.В. Исследование режимов пространственного течения около искривлнной поверхности. ПМТФ, 1989, 1, с.87-93.

77. Сычёв Вик.В. О пространственных течениях около неровностей на поверхности осесимметричного тела. Уч. Зап. ЦАГИ, 1993, т.24, 1, с.12-28.

78. Ryzhov O.S. Asymptotic methods in transonic flow theory. Symp. Transonicum 3, Berlin: Springer, 1989, pp.143-155.

79. Нейланд В.В. Асимптотическая теория отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа. Усп. Мех., 1981, т.4, вып.2, с.3-62.

80. Нейланд В.В. Асимптотическая теория взаимодействия и отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке газа. Механика и научно-технический прогресс., т.2, М.: Наука, 1987, с.128-145.

81. Нейланд В.В. Асимптотические задачи вязких сверхзвуковых течений. Тр. ЦАГИ, 1974, вып.1529.

82. Stewartson К. Multistructured boundary layers on flat plates and related bodies. Adv. Appl. Mech., 1974, V.14, pp.145-239.

83. Рубан А.И., Сычёв В.В. Асимптотическая теория отрыва ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости. Усп. Мех. , 1979, т.2, вып.4, с.57-95.

84. Messiter A.F. Boundary layer separation. Proc. 8th US Natl. Congr. Appl. Mech., 1979, pp.157-179.

85. Adamson T.C.Jr., Messiter A.F. Analysis of two dimensional interactions between shock waves and boundary layers. Ann. Rev. Fluid Mech., 1980, V.12, pp. 103-138.

86. Stewartson K. D'Alembert's paradox. SIAM Rev., 1981, V.23, No.3, pp.308343.

87. Stewartson K. Some recent studies in triple-deck theory. Numer. Phys. Aspects of Aerodyn. Flows (ed. T.Cebeci), New-York:Springer, 1982, pp.129-143.

88. Messiter A.F. Boundary layer interaction theory. Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1983, V.50, No.48, pp.1104-1113.

89. Сычёв Вик. Теория нестационарного отрыва пограничного слоя и разрушения следа. Успехи мех., 1983, т.86, вып.1./2, с.13-51.

90. Smith F.T. Steady and unsteady boundary-layer separation. Ann. Rev. Fluid Mech., 1986, V.18, pp.197-220.

91. Kluwick A. Interacting boundary layers. ZAMM., 1987, V.67, No.4, pp.3-13.

92. Сычев В.В., Рубан А.И., Сычев Вик.В., Королёв Г.Л. Асимптотическая теория отрывных течений (под. ред. В.В.Сычёва), М.: Наука, 1987.

93. V.V.Sychev, A.I.Ruban, Vic.V.Sychev, G.L.Korolev. Asymptotic theory of separated flows. Cambridge University Press, 1998.

94. Scneider W. Upstream propagation of unsteady disturbances in supersonic boundary layers. J. Fluid Mech., 1974, V.63, pt.3, pp.465-485.

95. Brown S.N., Daniels P.G. On viscous flow about the trailing edge of a rapidly oscillating plate. J. Fluid Mech., 1975, V.67, pt.4, pp.743-761.

96. Рыжов О.С., Терентьев Е.Д. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением. ПММ, 1977, т.41, вып.6, с.1007-1023.

97. Smith F.T. On the non-parallel flow stability of Blasius boundary layer. Proc. Roy. Soc. London, A, 1979, V.366, No.1724, pp.91-109.

98. Жук В.И., Рыжов О.С. Свободное взаимодействие и устойчивость пограничного слоя в несжимаемой жидкости. ДАН СССР, 1980, т.253, N.6, с.1326-1329.

99. Михайлов В.В. Об асимптотике нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя. Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, N.5, с.39-46.

100. Терентьев Е.Д. Линейная задача о вибраторе в дозвуковом пограничном слое. ПММ, 1981, т.45, вып.6, с.1049-1055.

101. Терентьев Е.Д. Линейная задача о вибраторе, совершающем гармонические колебания на закритических частотах в дозвуковом пограничном слое. ПММ, 1984, т.48, вып.2, с.264-272.

102. Терентьев Е.Д. О формировании волнового пакета в пограничном слое на плоской пластине. ПММ, 1987, т.51, вып.5,с.814-819.

103. Рубан А.И. О генерации волн Толлмина-Шлихтинга звуком. Изв. АН СССР, МЖГ, 1984, N5, с.44-52.

104. Ryzhov O.S. Stability and separation of viscous flows. Laminar-Turbulent Transition (ed. Kozlov V.V.) -Berlin: Springer, 1985, pp.337-347.

105. Ryzhov O.S., Terent'ev E.D. Vortex spots in the boundary layer. Fluid Dyn. Trans., 1987, V.13, pp.205-234.

106. Kozlov V.V., Ryzhov O.S., Receptivity of boundary layers: asymptotic theory and experiment. Proc. Roy. Soc. London, A, 1990, V.429, No.1877, pp.341-373.

107. Goldstein M.E., Hultgren L.S. Boundary layer receptivity to long-wave free stream disturbances. Ann. Rev. Fluid Mech., A, 1989, V.21, pp.137-166.

108. Рубан А.И. Особое решение уравнений пограничного слоя , непрерывно продолжимое через точку нулевого поверхностного трения. Изв. Акад. Наук СССР, Мех. Жидк. и Газа, 1981, No. 6, стр. 42-52.

109. Фомина И.Г. К асимптотической теории обтекания угловых точек контура тврдого тела. Уч. Зап. ЦАГИ, 1983, т.14, 5, с.31-83.

110. Заметаев В.Б. Существование и неединственность локальных зон отрыва в вязких струях . Изв. Акад. Наук СССР, Мех. Жидк. и Газа, 1986, No. 1, стр. 38-45.

111. Заметаев В.Б. Асимптотический анализ интегро-дифференциального уравнения в теории кромочного отрыва. Уч. Зап. ЦАГИ, 1987, т.18, 3, с.120-124.

112. Kluwick A. Marginale Ablosung laminarer achsensymmetrischer Grenzschichten. Z. Flugwiss. Weltraumforsch.,1989, Bd.13, H.14, S.254-259.

113. Рубан А.И. Асимптотическая теория коротких отрывных зон на передней кромке тонкого профиля. Изв. Акад. Наук СССР, Мех. Жидк, и Газа, 1982, No. 1, стр. 42-51.

114. Stewartson К., Smith F.T., Kaups К. Marginal separation. Stud. Appl. Math., 1982, V.67, No.l, pp.45-61.

115. Brown S.N., Stewartson K. . On integral equation of marginal separation. SIAM J. Appl. Math., 1983, V.43. No. 5, pp. 1119-1126.

116. Чернышенко С.И. К асимптотике стационарных решений уравнений Навъе-Стокса при больших числах Рейнолъдса. ДАН СССР, 1985, т. 285, с.1353-1355.

117. Тригуб В.Н. Асимптотическая теория возникновения рециркуляционных зон в осесимметричном следе под воздействием неблагоприятного градиента давления. Изв. Акад. Наук СССР, МЖГ, 1987, No. 5, с. 54-60.

118. Негода В.В., Сычёв Вик.В. О пограничном слое на быстро вращающемся цилиндре. Изв. Акад. Наук СССР, МЖГ, 1987, No. 5, с. 38-45.

119. Рубан А.И. Об устойчивости предотрывного пограничного слоя на передней кромке тонкого профиля. Изв. АН СССР, МЖГ, 1982, с.55-63.

120. Smith F.T. Concerning dynamic stall. Aeronaut. Quart., 1982, V.33, pt.4, pp.331-352.

121. Ryzhov O.S., Smith F.T. Short length instabilities, breakdown and initial value problems in dynamic stall. Mathematica, 1984, V.31, pt.2,

122. Smith F.T., Elliot J.W. On the abrupt turbulent reattachment downstream of leading-edge laminar separation. Proc. Roy. Soc., London, A, V.401, No. 1820, pp.1-27.

123. Elliot J.W., Smith F.T. Dynamic stall due to unsteady marginal separation. J. Fluid Mech., 1987, V.179, pp.489-512.

124. Brown S.N. Marginal separation of a three-dimensional boundary layer on a line of symmetry. J. Fluid Mech., 1985, V.158, pp. 95-111.

125. Заметаев В.Б. Особое решение уравнений пограничного слоя на тонком конусе. Изв. Акад. Наук СССР, МЖГ, 1987, No. 2, стр. 65-72.

126. Заметаев В.Б. Локальный отрыв на тонком конусе, предшествующий появлению вихревой пелены. Изв. Акад. Наук СССР, МЖГ, 1987, No. 6, стр. 21-28.

127. Заметаев В.Б. Формирование особенностей в пространственном пограничном слое. Изв. Акад. Наук СССР, МЖГ, 1989, No. 2, стр. 58-64.

128. Duck P.W. Three-dimensional marginal separation. J. Fluid Mech., 1989, V.202, pp.559-575.

129. Сычёв Вик.В. О пространственных течениях около неровностей на поверхности осесимметричного тела. Уч. Зап. ЦАГИ, 1993, т.24, 1, с.12-28.

130. Ruban A.I. Marginal separation theory. Separated Flows and Jets (eds. Y.V.Kozlov, A.V.Dovgal), Berlin:Springer, 1991, pp.47-54.

131. Курьянов А.И., Столяров Г.И., Штейнберг Р.И. О гистерезисе аэродинамических характеристик. Учёные Записки ЦАГИ, 1979, Т.10, No.3, pp.

132. Kabin S.V., Kolin I.V., Soukhanov V.L., Svjtodukh V.K., Shuchovtsov D.V. Multiple hysteresis of the aerodynamic characteristics at low Reynolds numbers. EUROMECH 384 Colloquium on Steady and Unsteady Separated Flows, Manchester, UK, July 6-9, 1998.

133. Cheng H.K., Smith F.T. The influence of airfoil thickness and Reinolds number on separation. Z. angew. Math. Phys., 1982, V.33, N.2, pp.151180.

134. Cheng H.K. Laminar separation from airfoils beyond trailing-edge stall. AIAA Paper, 84-1612.

135. Тимошин C.H. Отрывное обтекание тонкого профиля с параболической передней кромкой при больших числах Рейнолъдса. Учёные Записки ЦАГИ, 1985, Т.16, No.2, с.24-32.

136. Храбров А.Н. Неединственность ламинарного отрыва при обтекании профиля под углом атаки в схеме Кирхгофа. Учёные Записки ЦАГИ, 1985, Т.16, No.5, с.1-9.

137. Cheng Н.К., Lee C.J. Laminar separation studies as an airfoil problem. Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows 1. /ed. T. Cebeci,-New York: Springer-Verlag, 1984, pp.102-125.

138. Сычёв В.В., Сычёв Вик.В. О течении вязкой жидкости около враща ющегося цилиндра. Журнал Вычисл. Матем. и Матем. Физики, 1995, т. 35, No. 6, стр. 1001-1008.

139. Wood W.W. Boundary layers whose streamlines are closed. J. Fluid Mech. 1957. V.2. part 1, P.77-87.

140. Королёв Г.Jl. Об одном методе построения решений уравнений периодического пограничного слоя со взаимодействием и отрывом. Журнал Вычисл. Матем. и Матем. Физики, 1998, т. 38, No. 12, с.2085-2095.

141. Stewartson, К. (1954). Further solutions of the Falkner-Skan equations. Proc. Camb. Phil. Soc., Vol. 50, pp. 454-465.

142. Диесперов B.H. О существовании и неедиственности автомодельных решений описывающих течение в слоях смешения. Доклады Акад. Наук СССР, 1984, т.276, No. 6, стр. 1341-1346.

143. Smith F.T. Non-uniqueness in wakes and boundary layers. Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 1984, V. 391, pp. 42-51.

144. Duck P.W., Stow S.R., Dhanak M.R. Three-dimensional alternatives to the Falkner-Skan family of solutions. EUROMECH 384 Colloquium on Steady and Unsteady Separated Flows, Manchester, UK, July 6-9, 1998.

145. Vojtkova G.V, Lunev V.V. Discontinuous solution of boundary layer equations with positive pressure gradient. Separated flows and jets. Springer-Verlag.Berlin. 1991. Eds. V.V. Kozlov, A.V. Dovgal., pp.67-76.

146. Королёв Г.JI. Отрыв потока и неединственность решения уравнений пограничного слоя. Журнал Вычисл. Матем. и Матем. Физики, 1991, т. 31, No. 11, стр. 1706-1715.

147. Сычёв Вик.В. О локальных возмущениях пограничного слоя с малым поверхностным трением. Изв. РАН, МЖГ, 1998, No.5, с.67-77.

148. Falkner V.M., Skan S.W. Some approximate solutions of the boundary layer equations. Aeronaut. Res. Comm., Rep. and Memor., 1930, No.1314, 58p.

149. Hartree D.R. On an equation occurring in Falkner and Skan's approximate treatment of the equations of the boundary layer. Proc. Camb. Phil. Soc. 1937, V.33, pt.2, pp.223-239.

150. Laine c., Reinhart L. Further numerical methods for the Falkner-Skan equations:shooting and continuation techniques. Int. J. Numer. Meth. Fluids, 1984, V.4, No.9, pp.833-852

151. Ермак Ю.Н. Обтекание передней закругленной кромки тонкого профиля вязким несжимаемым потоком. Труды ЦАГИ, М., 1969, вып. 1141.

152. Werle M.J., Davis R.T. Incompressible laminar boundary layers on a parabola of angle of attack: study of the separation point. Trans. ASME, ser.E, J. Appl. Mech., 1972, V.39, No.l, pp.7-12.

153. Buckmaster J. Effect of transverse curvature of the singularity at separation for laminar boundary layer. Ph. of Fluids, 1971, V.14, No.8, pp. 1593-1595. 1971

154. Pletcher R.H. Prediction of turbulent boundary layers at low Reynolds numbers. AIAA Journal, 1976, V. 14, No. 5,pp. 696-698.

155. Pletcher R.H. Prediction of incompressible turbulent separating flow. Transact, of the ASME, J. of Fluid Eng., 1978, V. 100, No. 4, pp. 427433.

156. Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows 2. /ed. T. Cebeci.-New York: Springer-Verlag, 1984.

157. Lock R.C., Firmin M.C.P. Servey of testing for estimating viscous effects in external aerodynamic. Proc. IMA Conference on numerical methods in aeronutical fluid dynamics. Acad. Press New-York, 1983.

158. Lock R.C., Williams B.R. Viscous-invicid interaction in external aerodynamics. Progres in aerospace sciences, V.24(2), 1987.

159. Рубан А.И. Численные методы в теории взаимодействия пограничного слоя с невязким потоком. Учёные Зап. ЦАГИ, 1990, т.21, No.5, с.3-25.

160. Гогиш JI.B., Степанов Г.Ю. Турбулентные отрывные течения. М.: Наука, 1979.

161. Crank J., Nicolson P. A practical method for numerical evaluation of solution of partial differential equations of the heat-conduction type. Proc. Camb. Phil. Soc., 1947, V.43, pt.l, pp.50-67.

162. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные сже<мы.М.:Наука, 1977.

163. Williams P.G. A revers flow computation in the theory of self-induced separation. Proc. 4th Int. Conf. Num. Meth. in Fluid Mech. Dyn. Lecture Notes in Phys., 1975, v.35, pp.445-451.

164. Murman E.M., Cole J.D. Calculation of plane steady transonic flows. AIAA Paper, 1970, No.70-188.

165. Klineberg J.M., Steger J.L. On laminar boundary-layer separation. AIAA Paper, 1974, No.74-94.

166. Carter J.E.Solutions for laminar boundary layers with separation and reattachment. AIAA Paper, 1974, No.74-583.

167. Werle M.J., Vatsa V.N. New method for supersonic boundary-layer separation. AIAA J., 1974, V.12, No.ll, pp.1491-1497.

168. Рубан А.И. Численное решение локальной асимптотической задачи о нестационарном отрыве ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. Жур. Выч. Мат. и Мат. Физ., 1978, т.18, No.5, с.1253-1265.

169. Napolitano М., Werle M.J., Davis R.T. Nimerical technique for the tripledeck problem. AIAA J., 1979, V.17, No.7, pp.699-705.

170. Veldman A.E.O. New, quasi-simultaneous method to calculate interacting boundary layers. AIAA J., 1981, V.19,No.l.

171. Veldman A.E.O., Dijkstra D. A fast method to solve imcompressible boundary-layer interaction problems. Proc. 7th. Int. Conf. Num. Meth. in Fluid Dyn., Lecture Notes in Phys., 1981, V.141.

172. Cebeci Т., Stewartson K., Williams P.G. Separation and reattachment near leading edge of a thin airfoil at incidence. AGARD CP No.291, Paper 20, 1081.

173. Davis R.T., Werle M.J. Progress on interacting boundary-layer computations at high Reynolds number. Numer. and Phys. Aspects od Aerod. Flows/ed.T. Cebeci, Springer-Verlag, 1982

174. Edwards D.E., Carter J.E. A quasi-simultaneous finite difference approach for strongly interacting flows. Numer. and Phys. Aspects od Aerod. Flows/ed.T. Cebeci, Springer-Verlag, 1982

175. Duck P.W. Laminar flow over unsteady humps: the formations of waves. J. Fluid Mech., 1985, V.160.

176. Duck P.W. The effect of small surface pertubations on the pulsatile boundary layer on semi-infinite flat plate. J. Fluid Mech., 1988, V.197.

177. Карась О.В., Ковалёв В.Е. Применение обратного метода расчета трехмерного пограничного слоя к задаче обтекания крыла с учетом влияния вязкости. Учён. Зап. ЦАГИ, 1989, т.20, No.5, стр.1-11.

178. Шевелёв Ю.Д. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя. Москва, изд. Наука, 1977, 224 стр.

179. Николаев К. В. Возникновение отрыва пограничного слоя на вращающемся цилиндре в потоке несжимаемой жидкости. Учён. Зап. ЦАГИ, 1982, т.13, No.6, стр.32-39.

180. Smith F.Т., Timoshin S.N. Blade-wake interactions and rotary boundary layers. Proc. R. Soc. London A., 1996, V.452, pp.1301-1329.

181. Самарский A.A., Николаев E.C. Методы решения сеточных уравнений. М.:Наука, 1978.

182. Рябенький B.C. Журнал Вычисл. Матем. и Матем. Физики, 1964, т. 4, No. 2, стр. 13-19.

183. Наумов B.C. Обтекание волнистой поверхности потоком вязкого газа. Учёные Записки ЦАГИ. 1981. Т. 12, No 4. С. 133-137.

184. Smith F.Т., Timoshin S.N. Blade-wake interactions and rotary boundary layers. Proc. R. Soc. London A., 1996, Y.452, pp.1301-1329.

185. Smith F.T., Khorrami A.F. The interactive brakdown in supersonic ramp flow. J. Fluid Mech., 1991, V.224, pp.197-215.

186. Казаков В. А. Сильно неявный попеременно-треугольный метод для решения задач асимптотической теории пограничного слоя. Журнал Вычисл. Матем. и Матем. Физики, 1985, т. 25, No. 9, стр. 1382-1390.

187. Kutta W.M.Auftriebskrafle in stromenden Flüssigkeiten. Illustr. Aeron. Mittheilungen., 1902, 6. Jahrg., H.3, S. 133-135.

188. Smith F.Т. Interacting flow theory and trailing edge separation-nostall. J. Fluid Mech. 1983, V.131, P.219-249.

189. Гоман М.Г. Дифференциальный метод продолжения решения нелинейных систем уравнений зависящих от параметра. Учёные Записки ЦА-ГИ, 1986, т.17, No.5, с.23-31.

190. Рубан А.И. К теории отрыва жидкости от точки излома тврдой поверхности. Учёные Записки ЦАГИ, 1976, т.7, No.4, с.18-28.

191. Smith F.Т., Daniels P.G.Removal of Goldsten's singularity at separation, in flow past obstacles in wall laters. J. Fluid Mech. 1981. V. 110. P. 1-37.

192. Лойцянский Л.П. (1962). Ламинарный пограничный слой. Физматгиз, Москва.

193. Nickel К. (1958). Einige Eigenschaften von Losungender Prandtlschen Grenzschicht-Differentialgleichungen. Arch. Ration. Mech. and Analys. Vol 2, No. 1, pp. 1-31.

194. Олейник O.A. О системе уравнений пограничного слоя. Журнал Вы-числ. Матем. и Матем. Физики, 1963, т.З, No. 3, стр. 489-507.

195. Хуснутдинова Н.В. О продолжении решения за точку с нулевым напряжением трения на стенке. В сб. "Динамика сплошной среды", Новосибирск, 1978, вып.33, с.147-159.

196. Stewartson К. Is the singularity removable ? J. Fluid Mech. 1970. V. 44. No 2. P. 347-364.

197. Седов Л.И Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. 1966, Москва: Наука.

198. Van Dyke M.D. Second-order subsonic airfoil theory including edge effects. NACA Rep. 1274.

199. Locc R.C. The velocity distribution in the laminar boundary layer between parallel streams. Quart. J. Mech. Appl. Math. 1951, V.4, Pt.l, pp.42-63.

200. Buckmaster J. D. Effect of transverse curvature of the singularity at separation for laminar boundary layer. Ph. of Fluids, 1971, Vol. 14, No.8, pp. 1593-1595.

201. Van Driest E.R. (1956). On turbulent flow near a wall. J. of the Aeron. Scien., Vol. 23, pp.1007-1011.

202. Pletcher R.H. Prediction of incompressible turbulent separating flow. Transact, of the ASME, J. of Fluid Eng., 1978, Vol. 100, No. 4, pp. 427-433.

203. Pletcher R.H. (1976). Prediction of turbulent boundary layers at low Reynolds numbers. AIAA Journal, 1976, Vol. 14, No. 5,pp. 696-698.

204. Cebeci T, Smith A.M.O. Analysis of turbulent boundary layers. New-York: Academic, 1974.

205. Королёв Г.JI. Отрыв потока и неединственность решения уравнений осесимметричного пограничного слоя. Журнал Вычисл. Матем. и Ма-тем. Физики, 1997, т. 37, No. 7, стр. 887-894.

206. Королёв Г.Л. Отрыв потока и неединственность решения уравнений турбулентного пограничного слоя. Журнал Вычисл. Матем. и Матем. Физики, 1998, т. 38, No. 6, стр. 1009-1016.