Численное моделирование физических процессов в плазме установок токамак при воздействии электромагнитных волн альфвеновского диапазона частот тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Численное моделирование выхода на стационарный режим:плазменно-физических параметров реактора-токамака на альфвеновских волнах

§ I.I. Физическая постановка задачи^.

§ 1.2. Уравнения переноса, начальные и граничные условия.

§ 1.3. Дискретная модель. Построение разностных схем с использованием операторного метода.

§ 1.4. Обсуждение результатов расчетов

Глава 2. Построение и исследование разностных схем для задачи расчета электромагнитных полей и поглощаемой мощности при альфвеновскомнагреве трех- и двухкомпонентной плазмы

§ 2.1. Физическая постановка задачи, уравнения и граничные условия

§2.2. Построение операторных разностных схем для уравнения Максвелла.

§2.3. Исследование аппроксимации разностных операторов.

§ 2.4. Сходимость разностной схемы для первой краевой задачи.

§ 2.5. Повышение порядка аппроксимации граничных условий третьего рода.

Адаптирующиеся сетки. *?©

§ 2.6. Влияние примесей на структуру полей и поглощаемой мощности в плазме.

Глава 3. Расчет динамики создания тока увлечения альфвеновскими волнами с учетом процессов переноса в плазме в рамках самосогласованной модели.

§3.1. Формулировка самосогласованной модели.

§3.2. Расчет эволюции параметров плазмы

§ 3.3. Дисперсионные свойства плазмы.

В настоящее время мощным инструментом при анализе сложных физических и математических проблем становится.численное моделирование на основе конечноразностных алгоритмов» В частности, широкое распространение вычислительный эксперимент получил в актуальной области современной физики - исследование плазмы. Сложность уравнений, описывающих поведение плазмы, состоит прежде всего в их нелинейности, что делает практически невозможным получение аналитического решения. При решении подобных сложных задач для наиболее адекватного отражения сущности исследуемых явлений необходимо принимать во внимание целый ряд физических процессов протекающих в ионизованном газе. Необходимо учитывать теплопроводность, проводимость, излучение плазмы, распространение и поглощение высокочастотного (ВЧ) излучения и другие физические явления, существенным образом зависящие от термодинамического состояния среды. Все это затрудняет исследование проблемы и делает необходимым использование вычислительного эксперимента р] .

К настоящему времени в Институте прикладной математики АН СССР в отделе № В под руководством академика А.А.Самарского, где выполнена настоящая диссертационная работа, накоплен большой опыт по численному моделированию актуальных задач физики плазмы и управляемого термоядерного синтеза (УТС).

Настоящая работа посвящена проведению полномасштабного вычислительного эксперимента по исследованию широко класса явлений, происходящих в высокотемпературной плазме в тороидальных системах типа токамак при воздействии высокочастотных (ВЧ) полей альфвеновского диапазона частот.

Проблема высокочастотного нагрева плазмы,в термоядерных установках представляет особый интерес в настоящее время не только с точки зрения достижения высоких температур плазмы, но и о точки зрения безиндукционного поддержания продольного тока в тока-маке, что в перспективе привело бы к созданию стационарного реактора [2] - [3] . В физике высокотемпературной плазмы на установках токамак'достигнут достаточно высокий уровень теоретических и экспериментальных исследований, что выдвигает на первый план задачу создания установки реакторных масштабов.

Стационарный режим работы реактора снимает ряд серьезных проблем, связанных с термоустойчивостью материалов при циклическом режиме термоядерного горения в установке. В качестве одного из способов поддержания продольного безиндукционного тока в то-камаке можно использовать поглощение электронами плазмы ВЧ мощности бегущих волн [4] - [?]. В настоящее время в термоядерных установках успешно используются различные методы ВЧ нагрева: электронно-циклотронный нагрев (8ЦН), нижнегибриднай (НГН), ионноциклотронный (ИЦН), альфвенОБСкий (АН ). ~

Распространение'и поглощение ВЧ волн в плазме во всех этих диапазонах сопровождается явлением генерации постоянного тока увлечения [7] . Однако в каждом из диапазонов эффективность нагрева и генерации"и кинетическая структура тока увлечения существенно отличаются.

В настоящей работе исследуется плазма в тороидальных системах токамак при воздействии электромагнитных полей альфвеновско-го диапазона частот*

Перспективность альфвеновских волн для нагрева и генерации токов увлечения связана с следующими соображениями:

I. Высокая эффективность передачи импульса электронам (на единицу поглощенной мощности), связанная с достаточно малой фазовой скоростью альфвеновской волны по сравнению с тепловой электронной скоростью.

2» Наличие мощных генераторов на частотах альфвеновского диапазона в районе I МГц.

К настоящему времени проведены успешные эксперименты по нагреву и созданию токов увлечения в альфвеновской диапазоне частот [8]-[l8j • Теоретический анализ дисперсионных свойств плаэ-мы в рассматриваемом диапазоне проводится в работах [7], [id] -[35]. Альфвеновская волна в однородной плазме скинируется на границе плазменного шнура и исключает тем самым объемный нагрев [19] - [21]. Неоднородность параметров плазмы поперек магнитного^ поля, что имеет место в реальных системах, существенно изменяет условия распространения ВЧ-полей в плазме и делает возможным возбуждение альфвеновской волны за счет трансформации быстрой маг-нито-звуковой волны (БМЗ) в альфвеновскую моду [7], [22] - [Зб], что существенно повышает эффективность объемного поглощения."

В настоящее время альфвеновский диапазон частот интенсивно исследуется как теоретически, так и экспериментально* При поиске оптимальных режимов трансформации, оценке эффективности генерации токов увлечения в имеющихся и проектируемых установках и получении других важных количественных и качественных особенностей нелинейного взаимодействия альфвеновских волн с плазмой важную роль играет вычислительный эксперимент. Численное моделирование такой сложной физической задачи в достаточно полном объеме при учете различных нелинейных процессов, происходящих в плазме, позволяет анализировать структуру ВЧ полей и поглощаемой мощности в плазме, исследовать влияние поглощения энергии альфвеновских волн на нагрев, диффузию частиц и полоидального магнитного поля, исследовать импеданские свойства плазмы для различных параметров плазмы и ВЧ-поля.

Настоящая диссертационная работа отражает все этапы вычислительного эксперимента по исследованию структуры ВЧ-полей из поглощаемой мощности в двух- и трехкомпонентнрй плазме токамака, численно моделируется процесс создания продольного тока в тока-маке альфвеновскими волнами при наличии процессов переноса в плазме в условиях выхода плазменно-физических параметров на стационарный режим при замене индукционного тока током увлечения.

На первом этапе вычислительного эксперимента при выборе физической модели и математической постановке задачи в настоящей диссертационной работе используется самосогласованная модель переноса в плазме с учетом распространения и поглощения электромагнитных полей альфвеновского диапазона частот. В ках этой модели решается система четырех нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих перенос частиц, тепла и диффузию магнитного поля с учетом циклотронного и тормозного излучений, термоядерного горения и вклада ВЧ мощности бегущих ВЧ волн в электронную компоненту плазмы. Учитывается дополнительный дрейф частиц в поле сил увлечения й генерация альфвеновского тока, заменяющего первоначальный индукционный ток. Включение ВЧ-поля и тока увлечения происходит в момент, когда запасенный в индукторе токамака магнитный поток близок к нулю и установились стационарные распределения плотности, температуры и магнитного поля, которые являются начальными условиями решаемой задачи динамики замены индукционного тока током увлечения. Совместно с транспортными уравнениями решается система уравнений Максвелла, описывающих структуру ВЧ-полей. Рассмотрение транспортных явлений в плазме производится в приближении цилиндрической геметрии для одномерного случая. Уравнения Максвелла решались также в цилиндрической геометрии в пространстве комплексных векторов.

Тензор диэлектрической проницаемости выбирался в достаточно общем виде, учитывающим недиагональные операторные члены и наличие примесной компоненты в плазме. Компоненты тензора являются функциями параметров плазмы - температуры, плотности и магнитного поля и параметров волны - частоты, продольного и поперечного волновых чисел.

В настоящее время имеется ряд работ, описывающих одномерные модели процессов переноса в плазме токамака [Зб]-[39], [67]. В настоящей работе сформулирована математическая модель переноса в двухкомпонентной плазме при выходе на стационарный режим по току увлечения реактора - токамака на альфвеновских волнах.

Такая постановка задачи существенно изменяет характер процессов переноса в плазме, характерные времена физических ' процеосов, профили температур, плотности! полоидального поля по сравнению с [36 ] - [39].

Проводимые ранее расчеты в альфвеновском диапазоне частот [32], : [35] рассматривали беспримесную плаэму без учета транспортных явлений в токамаках* В настоящей работе впервые проводятся математическая модель и результаты расчетов динамики поглощения альфвеновской ВЧ мощности с учетом процессов переноса, а также проводится исследование структуры электромагнитных полей в трех-компонентной плазме, то есть при наличии примесных ионов»

Для реализации описанной математической модели исследуемого достаточно широкого клаоса физических явлений возникает необходимость в создании эффективного вычислительного алгоритма. При построении разностных схем для подобных сложных физических задач необходимо оценивать качество алгоритмов не только с точки зрения классических критериев теориии численных методов, но и с точки зрения наиболее адекватного отражения дискретной моделью физических особенностей процесса и прежде всего законов сохранения. формулировка Тихоновым А.Н. и Самарским А.А. принципа консервативности [I] , согласно которому в разностной схеме должны выполняться аналоги основных законов сохранения положила начало поиску конструктивных способов построения консервативных и полностью консервативных схем [40] . С формальной точки зрения выполнение законов сохранения в дифференциальном случае обусловлено выполнением некоторых интегральных соотношений, содержащих инвариантные дифференциальные операторы первого порядка. Развитие этой концепции привело к созданию операторного метода построения разностных аналогов инвариантных операторов векторного и тензорного анализа, удовлетворяющих интегральным соотношением, связанным с законами сохранения.

В настоящей работе при построении вычислительного алгоритма использовался метод опорных операторов, предложенный в работах [41] - [49]. Полностью консервативные схемы, полученные на основе операторного метода хорошо зарекомендовали себя при численном решении задач математической физики на реальных сетках [50], [51].

В настоящее время метод опорных операторов интенсивно развивается. Требуют дальнейшего исследования вопросы аппроксимации и сходимости полученных схем. При решении конкретных физических задач остается определенный произвол в выборе пространств сеточных функций, скалярных произведений, аппроксимации интегралов по расчетной области при построении согласованных операторов, аппроксимации граничных условий* В настоящей диссертационной работе метод опорных операторов не только интенсивно используется в вычислительном эксперименте по исследованию взаимодействия альфвеновских волн с плазмой токамака, но и получает свое дальнейшее развитие с точки зрения теории численных методов. В данной работе построены операторные разностные схемы для системы транспортных уравнений, описывающих выход на стационарный режим плазменных параметров токамака альфвеновских волнах, а также для системы уравнений Максвелла, описывающих структуру высокочастотных электромагнитных полей и поглощаемую мощность. При построении разностных схем для транспортных уравнений в цилиндрической геометрии для одномерного случая получены аналоги инвариантных дифференциальных операторов ^ХЖ?/, cfrif удовлетворяющие интегральным тождествам, обеспечивающим выполнение аналогов законов сохранения для разностных схем. Схемы для уравнений Максвелла второго порядка с комплексным тензором диэлектрической проницаемости плазмы строятся методом опорных операторов в пространстве комплекснозначных векторов для цилиндрической системы координат. При построении разностного аналога инвариантного оператора wtwt' считается, что векторы зависят от всех трех координат цилиндрической системы ( ^ ^ & ). Необходимость учета зависимости от трех пространственных переменных приводит к дополнительным сложностям в определении скалярных произведений в пространствах сеточных функций и при построении разностных схем, которое проводится для общего трехмерного случая, а затем сводится к одномерному в приближении явной зависимости компонент векторов от координат ^ и ё- в виде фазовых множителей.

Построенные разностные схемы допускают реализацию на произвольных неравномерных сетках, что оказалось существенным при моделировании трехкомпонентной плазмы. Профиль поглощаемой мощности в случае плазмы с примесью имеет ярко выраженную резонансную структуру, причем области резонансов, обусловленных различными физическими механизмами локализованы в достаточно узкой пространственной зоне.

Специфика решаемой задачи требует при построении и реализации вычислительного алгоритма постоянной корреляции с физическим содержанием модели исследуемых процессов. Для наиболее адекватного моделирования физических явлений возникает необходимость в использовании адаптирующихся к решению сеток^ £52] - [53] . В настоящей работе при адаптации сеток используется существенным образом априорная информация о локализации резонансов в системе. Для передачи пространственной структуры профиля поглощаемой мощности используются гладкие неравномерные сетки, сгущающиеся к областям резонансов по закону геометрической прогрессии.

В настоящей диссертационной работе исследуется вопрос о повышении порядка аппроксимации граничных условий для уравнений Максвелла, что существенно улучшает качество полученных схем при использовании неравномерных пространственных сеток. Уравнения Максвелла для Ш полей решаются в цилиндрической области О ^ ^ ^ а- .На границе плазма-вакуум задается третье краевое условие, получаемое из требования непрерывности тангенциальной компоненты вектора напряженности электрического поля и нормальной компоненты вектора магнитного поля. В настоящей диссертационной работе получена аппроксимация третьего краевого условия порядка Of на неравномерной сетке с использованием метода опорных операторов. Доказательство аппроксимации полученных разностных аналогов оператора %,ot в граничных точках проводится с использованием инвариантного определения оператора %0-tzvt через циркуляцию по соответствующим контурам.

В данной работе показано существенное улучшение схемы на адаптирующихся к решению сетках для случая граничных условий полученных из операторного подхода ( порядок аппроксимации

Of*')) по сравнению со схемами, использующими естественную аппроксимацию граничных условий на неравномерной сетке порядка

0(0) по пространственной переменной .

В диссертационной работе проведен анализ операторных раз ностных схем для уравнений Максвелла в пространстве комплексных векторов. Показано, что построенный разностный аналог дифференциального оператора обладает вторым порядком локальной аппроксимации на неравномерной сетке и первым - на неравномерной. Доказана сходимость схемы для первой краевой задачи в сеточной норме flj. Доказательству сходимости операторных схем в тех или иных частных случаях посвящены работы [55] - [57] . В работе [57 ] отроятся операторные схемы для системы уравнений Максвелла первого порядка, доказана локальная аппроксимация полученных схем, теоремы устойчивости и сходимость. В настоящей работе исследуется схема для уравнения второго порядка для комплексных векторов напряженности электрического поля, что вносит определенные сложности в доказательство сходимости разностного решения к решению дифференциальной задачи. Согласованность построенных в настоящей работе разностных аналогов операторов первого порядка делает применение метода энергетических неравенств [i] наиболее эффективным при доказательстве сходимости операторных схем.

Построенные вычислительные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ для SBM БЭСМ-6, включающего в себя программы рао-чета транспортных явлений с учетом нелинейного взаимодействия плазмы с внешним ВЧ полем и программу расчета структуры полей и поглощаемой мощности в двух- и трехкомпонентной плазме, а также комплекса программ по обработке результатов расчетов* При численной реализации схем для транспортных уравнений использовались неявная схема с итерациями по нелинейности. Для решения полученных систем линейных уравнений применялись прямые методы - простой и матричной прогонки .

По описанной выше методике были проведены серии расчетов эволюции плазменных параметров при выходе на стационарный режим токамаков с безиндукционным поддержанием продольного тока альф-веновскими волнами. Расчеты производились для установок с параметрами реактора ИНТ0Р„[58] и установок с большим аспектным отношением ( #>/0 Произведено сравнение результатов, полученных при численной реализации модели транспорта в плазме с учетом самосогласованной замены индукционного тока альфвеновским током увлечения в случае моделирования поглощаемой ВЧ мощности гауссовским профилем на резонансной поверхности в плазме и в случае учета реальной структуры ВЧ полей, полученной в результате решения уравнений Максвелла. В настоящей работе приводятся результаты расчетов структуры полей и поглощаемой мощности для двух- и трехкомпонентной плазмы для широкого класса установок. В процессе проведения вычислительного эксперимента получен ряд новых и актуальных физических результатов. На основании полученных в расчетах численных значений полной поглощаемой ВЧ мощности и эффективности генерации тока увлечения для установок различных масштабов можно сделать вывод о принципиальной возможности существования стационарного режима работы реактора - токамака с поддержанием продольного тока монохроматической альфвеновской волной* В расчетах было обнаружено, что достаточно быстрое включение ВЧ мощности за времена существенно меньше скиновых приводит к возникновению сильной противо эдс индукции и соответственно к появлению провалов на профиле плотности тока с обеих сторон от альфвеновской резонансной поверхности. В зависимости от скорости включения и параметров плазмы эти провалы могут достигать отрицательных значений} то есть возможно существование локальных токов противоположного направления на временах порядка скиновых. Стационарный профиль тока определяется структурой профиля поглощаемой мощности и носит гауссов характер при прямом вращении Ш волны, т.е. /&///!/ >0 , где Л/ - поперечное волновое число, /{/ - продольное волновое число.

В исследованной модели существует два режима динамики замены омического тока. В случае #/Л/>0 область вклада мощности фиксирована. В случае ЛУ/А/^- О в расчетах был впервые обнаружен эффект, так называемых релаксационных колебаний точки трансформации.

В рассматриваемой модели особенности нелинейного взаимодействия плазмы с ВЧ полем приводят к тому, что в случае /&//1/ < О возможно перемещение зоны трансформации практически по всему радиусу плазмы, что приводит к объемному вкладу мощности, на стадии зажигания это обстоятельство является принципиальным. На стационарной стадии горения при ^//1/ создается сложный немонотонный профиль тока. Для различных классов установок проводится анализ импедансных свойств плазмы на основании полученных зависимостей полной поглощаемой ВЧ мощности от частоты.

В области частот ниже пороговой частоты обнаружено возбуждение дрейфовой альфвеновской моды и трансформация ВЧ поля в ионно-звуковую моду в точке, где компонента тензора диэлектрик-ческой проницаемости ~ О в системе координат, связанной с полем.

На основании анализа импедансной кривой и идентификации резонансов поглощения в области частот выше пороговой наиболее целесообразным для целей нагрева является режим винтового /КИНК/ резонанса при М * О , //<(? . в настоящей работе проведено численное исследование влияния примесей в плазме токамака с неоднородным продольным магнитным полем на характер распространения электромагнитных полей и распределение двух областей трансформации ВЧ поля типа быстрой магнитозвуковой волны в коротковолновую альф-веновекую моду и ее переход в ион-ионную гибридную волну-вблизи циклотронного резонанса на примесях. Существование второй зоны трансформации связано с наличием циклотронного резонанса. Приведены результаты расчетов по исследованию влияния концентрации и температуры примеси на характер поглощения ВТ мощности. Описанные в настоящей работе расчеты, моделирующие трех-компонентную плазму при воздействии электромагнитных волн, были проведены впервые.

Результаты диссертационной работы приведены в [59] - [бз] , [88].

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Основные результаты, представляемые к защите изложены во введении диссертационной работы. В заключении остановимся на вопросе возможных способов применения токов увлечения, ив связи с этим возможного использования результатов настоящей работы.

Проблема генерации токов увлечения связана прежде всего с созданием стационарного реактора - токамака [2][- [7]. Действительно, как показывают современные исследования, эффективность генерации тока в альфвеновском и нижнегибридном диапазонах достаточно высокая и уровень мощности, необходимый для поддержания тока в 2 * 10 МА в широком диапазоне класса установок и параметров плазмы составляет 5 * 80 МВт. Проиллюстрируем это данными для нескольких проектируемых и строящихся установок [7] :

Установка 8(f) Jfm) Qer тип ВЧ

J А/ТО Я 14 5,2 5 6,5 15 12 А

12 7,0 5,8 11,4 20 80 НГ

T-I5 10 2,4 3,5 2 6 6 А , НГ

10 2,5 5,2 2,5 10 5 НГ, А

Разработанные в настоящей работе вычисленные алгоритмы позволяют проводить расчеты выхода на стационарный режим плаз-менно-физических параметров различных типов установок. Анализировать импедансные свойства плазмы, рассчитывать эффективность генерации тока увлечения, структуру ВЧ полей и поглощаемой мощности. Все это позволяет использовать разработанный комплекс программ для расчетов как действующих так и создаваемых новых установок.

Расчеты самосогласованной динамики генерации тока увлечения с учетом процессов переноса, проводимые по предложенным в настоящей работе алгоритмам, позволяют оценивать перспективность тех или иных направлений экспериментальных исследований с точки зрения энергетических затрат.

Отметим, что в рассматриваемом приближении цилиндрической геометрии задача замены индукционного тока током увлечения решалась в одномерной постановке. В связи с этим вопросы МГД устойчивости не рассматривались.

Однако, в настоящее время имеется ряд работ, исследующих полые токи в токамаке. В [83] предложен стационарный токамак с полым током, генерируемым альфвеновскими волнами, в работе [84] - на нижнегибридных волнах. Устойчивость идеальных винтовых мод и тиринг-неустойчивости в токамаках с полым и обратными токами рассматриваются в работах [85] , [87J .

Разработанные в настоящей диссертационной работе алгоритмы моделирования структуры полей и поглощаемой мощности для трех--компонентной плазмы /см. гл. 2 / могут быть использованы при оценке энергетических затрат при использовании токов увлечения для; выведения тяжелых примесей из плазмы за счет дрейфа ионов примеси в поле сил увлечения [7 J .

Расчеты циклотронного поглощения на ионах близких по атомному весу, которые достаточно легко реализуются по алгоритмам, изложенным в главе 2, могут показать перспективность применения альфвеновских волн в проблеме разделения изотопов.

Созданный комплекс программ используется в расчетах альф-веновского нагрева для имеющихся и проектируемых установок, проводимых ИПМ АН СССР и Сухумским физико-техническим институтом.

Таким образом, разработанные в диссертационной работе методы могут найти дальнейшее применение при решении актуальных задач физики плазмы и управляемого термоядерного синтеза.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., Наука, 1977, 656 с.

2. Wort Tiie Peristaltic tokamak, Plasma Phys. ,107.1 p. 258

3. Кадомцев Б.Б., Шафранов В.Д. Стационарный токамак.

4. Proceedings.of 4th Int. Conf. on Plasma Phys. and

5. Controlled nuclear Fusion Research, vol. 2, Vienna, IAEA, 1971, p.479 -488.

6. Демирханов P.А., Киров А.Г., Ручло 1ьф.э Сухачев А*В. Генерация стационарных токов и управление переносом в тороидальной магнитной ловушке при альфвеновском нагреве. Письма в }1©ТФ, 1981 г., т. 33, № I, стр. 31.

7. Кагаеу С. F, P., Fich IT. J. Numerical stadies of current generation by radio- frequency trevelling waves, Phys. of Fluids , 1979, 22(9), p. 1817,

8. Параил В.В., Переверзев Г.В. Создание стационарного тока в токамаке электронными циклотронными волнами. Физика плазмы, 1982 г., т. 8, N> X, с. 45.

9. Елфимов А.Г., Киров А.Г., Сидоров В.П. Альфвеновский нагрев плазмы и генерация токов увлечения. В сб.: Высокочастотный нагрев плазмы. Материалы Всесоюзного совещания г. Горький, июнь 1982 г., Г. 1983 г., с. 211-252.

10. Plasma heating in toroidal system by helical quadrou-pole RF field withU><Wai , Plasma Phys. andContr. Fusion Res., 1976, IAEA, Vienna, 1977, vol. 3, p. 31

11. Демирханов P.А., Киров А.Г., Ильинский C.E* и др.

12. ВЧ нагрев плазмы на установке Р-05. Труды Всесоюзного совещания по ВЧ методам нагрева плазмыв торах. Бакуриани 1980. Из-во СФТЙ, Сухуми, 1981, с. 44. .

13. Демирханов Р.А., Киров А.Г., Ильинский С.Е. и др. Нагрев плазмы в тороидальной ловушке винтовым ВЧ мультиполь-ным магнитным полем. Препринт СФТИ-3, Сухуми, 1976 г.

14. Dikiy A.G., Kalijiichenco S. S., Kusnetsov tJu.K. High-frequency heating and equilibrium plasmss in the U-2 stellarator . Plasma Vhys, and Contr. Ifucl. Fusion Res., 1976, IAEA, Vienna 1977, vol.2, p. 129.

15. Obiki Т., Mutoch Т., Adachi S.,et al. Alfven wave heating experiments in the Heliotron-D. Phys. Rev. Letters,1977,19»P*812«

16. Golovato S.N. Shohet J. L., Plasma heating by Alfven wave excitation in the Proto -Cleo stellarator.Phys. Fluids, 1978, 21 p.1421

17. Witherspoon F.D., Prager S. C., Sprott J. C. Shear Alfven resonances in Tokapol 11 ,3trd Inter. Symposiumon Heating in Toroidal Plasmas, March 1982, Brussels 1982, vol.1 p.197.

18. Bengston R. D., Benesh J. F., Chen G.L. et al, Alfven wave heating in the Pretext tokamak, 3rd Int. Symp. on Heating in Toroidal Plasmas, march, 1982, brussels, 1982, vol. 1, p. 151.- Ill

19. Карплюк K.C., Колесниченко Я.й., Ораевский В.Н. Магнитогидродинамические волны в цилиндрическом плазменном столбе. Укр. физ. журн., 1968, 13, 1071.

20. Gutkin T.I., Losovsky S. N., Boleslavskaya G.I., Equilibrium of a plasma pinch in a toroidal constant magnetic fields and a helical HF magnetic field. Nucl. Pusion, 1968, 8, p. 109.

21. Demirkhanov R.A., Kirov A.G., Sidorov V.P., et al, Plasma stability control in a toroidal system by feedback and

22. HP fields. Plasma Phys. and Contr. Pusion Res., 1978, IAEA,Vienna 1979, 2,p.373

23. Лонгинов А.В., Степанов K.H. О высокочастотном нагреве неоднородной плазмы. Препринт ХФТЙ, 72-1, ХАРЬКОВ, 1972.

24. Долгополов В.В., Степанов К.Н. О черенковском поглощении альфвеновской и ШЗ волн в неоднородной плазме. Яд. синтез, 1965, 5, 276.

25. ChenL.,Hasegava А., Plasma heating by spatial resonance of Alfven wave, Physics of Pluids, 1974, 17 ,7»p. 1399-1403

26. Греков Д.Л., Каладзе Т.Д., Степанов К.Н. Высокочастотный нагрев плазмы конечного давления магнитогидродинамическими волнами. Физика плазмы, 1980, т.6, № 2, с. 319.

27. Греков Д.Л., Степанов К.Н., Татаронис Дж.А. Возбулздение аксиально-несимметричных волн в плазме при наличии локального альфвеновского резонанса. Шизика плазмы, 1981, т.7, № 4, с.752.

28. Елфимов А.Г. Возбуждение и поглощение Ш полей в неоднородной плазме в альфвеновском диапазоне) частот при Препринт СФТИ-3, Сухуми, 1979.

29. Елфимов А.Г. Ш нагрев плазмы в токамаке в альфвеновском диапазоне частот. В сб. трудов Всесоюзного совещания!по Щ методам нагрева плазмы в торах, Бакуриани, февраль I960, йзд-во С$ТИ, Сухуми, 1981, с.24.

30. Elfimov A.G.,High frequency plasma heating in tokamaks within the Alfven frequency range. Proc, 2nd Inter. Symp. on Heating in Toroidal Plasmas, Como, Sept., 1980, Brussels 1981, 2,p.683.

31. Boordo O.S. , Gorin V.V., Dmitrenko A.G.,Elfimov A.G., Numerical calculations of plasma HP heating within Alfven Frequency range in a tokamak. 10th Europ. Conf. on Contr. Fusion and Plasma Phys., v. 1, H 10.

32. Appert K., Balet В., Gruher R., et al, Plasma Phys. and Go Controlled Hucl. Fusion Res., 1980, Vienna ,IAEA, v.2, p.43

33. Appert K. ,Vaclavic^.,Effects of finite ion ciclotron frequency on the absorption of magnitohydrodinnamic waves at the spatial Alfven resonance ,LRP 207/82, Lausanne( Suisse) 1982.

34. Ross D.W., Chen G.L., Mahajan S.M., Kinetic discription of Alfven wave heating,Phys. of Fluids, 1882, 2£, p. 652.36«Byrne N.R., Klein H.H., G-2M, a two- dimentional diffusion time- scale tokamak code,Jornal of Сотр. Phys., 26(1978),p.352- из

35. Уоткинс М.П., Хьгоджес М.Х., Роберте К.В., Кипинг П.М., Киллин Дж. ТСМУЗ- одномерная модель диффузии плазмы.

36. В кн. Вычислительные методы в физике. Управляемый термоядерный синтез. М., I960 г., с. 178-221.

37. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П., Вычислительные методы в физике плазмы. В сб. Итоги науки и техники. /ВИНИТИ/, сер. Физика плазмы, т.2, М., 1981 г., с 190-226.

38. Бесполуденнов С.Г., Вабищевич П.Н., Галкин С.А., Дегтярев JI.M., Дроздов В.В., Медведев С.Ю., Пистунович В.И.

39. Расчет равновесия, эволюции и устойчивости плазмы токамака- реактора ИНТОР. Препринт ИПМ АН СССР, W 30, 1983 г., 30 с.

40. Самарский А.А., Попов Ю.П., Полностью консервативные разностные схемы. ЖЕМ и МФ, 1969 г., т.9, №4, с.953-958.

41. Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.ЗО. О представлении разностных схем математической физики в операторной форме. ДАН СССР, т.258, № 5, 1981 г., с.1092-1096.

42. Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы. Диф. уравнения, IP 7, 1981 г.,с. I3I7-I327.

43. Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Разностные схемы основных дифференциальных операторов первого порядка. Препринт ИПМ АН СССР, Р 8, 1981 г., 29 с.

44. Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Построение полностью консервативных разностных схем для уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах на основе операторного подхода. Препринт ИГОЛ АН СССР, W 63, 1981 г., 16 с.

45. Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы. Препринт ИПМ АН СССР, № 9, 1981 г., 32 с.

46. Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Использование топологических методов для построения дискретных моделей. Препринт ИПМ АН СССР, № 96, 1983 г., 18 с.

47. Арделян Н.В., Гущин И.С. Об одном подходе к построению полностью консервативных разностных схем. Вестник МГУ, сер. 15, № 31, 1982 г., с 3-10.

48. Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Б. Использование метода опорных операторов для построения разностных аналогов операций тензорного анализа. Диф. уравнения,1982 г., т. 13, № 7, с. I25I-I256.

49. Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Попов С.Б., Попов Ю.П. Численное моделирование динамики нагрева и разлета вещества при поглощении сильноточного релятивистского пучка электронов. Диф. уравнения, 1980 г., т. 16, № 7, с.1235-1244.

50. Бурдиашвили М.Ш., Войтенко Д.А., Иванов А.А., Киров А.Г., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Магнитное поле-тороидаль ной спирали с экраном. Препринт ИПМ АН СССР, Ш 63, 1984 г., 19 с.

51. Russel R.D., Christiansen J. Adaptive mesh selection stadies for solving boundary value problems. .Siam J.numerical Analysis, Feb. 1978, 15, p. 59-80.

52. Andrew B., White J.R., On selection of equidistributing meshes for two-point boundary -value problems. Siam J. Numerical Analysis, June 1979,Ц, p. 472-502

53. Гинзбург В.П., Рухадзе А.А. Волны в магнитной плазме. М., Наука, 1975 г., 255 с.

54. Шашков М.Ю. Построение и исследование разностного аналога оператора Лапласа на прямоугольной сетке. Препринт ИМ АН СССР, № 47, 1977 г., 28 с.

55. Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Аппроксимация потоковых схем для уравнения теплопроводности на нерегулярных криволинейных сетках. Препринт ИПМ АН СССР, W- 93,1981 г., 20 с.

56. Арделян Н.В. Сходимость разностных схем для двумерных уравнений акустики и Максвелла. ЖЕМ и Mi, 1983 г., 23, Р 5,с. II68-II76.

57. Кадомцев Б.Б. О концепции и основных параметрах реактора ИНТОР. Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез, 1980 г., вып. I /5/ .

58. Дмитриева М.В., Комошвили К.Г., Миненко В.П., Сидоров В.П., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Стационарный реактор--токамак на альфвеновских волнах. Препринт ИПМ АН СССР, № 195,1982 г., 24 с.

59. Дмитриева М.В., Комошвили К.Г., Миненко В.П., Сидоров В.П., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Стационарный реактор--токамак на альфвеновских волнах. ВАНТ, сер. Термоядерный синтез, 2 /12/, 1983 г., с. 47-58.

60. Дмитриева М.В., Комошвили К.Г., Елфимов А.Г., Некрасов Ф.М., Сидоров В.П., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Расчет электромагнитных полей и поглощаемой мощности при альфвеновском нагреве плазмы с примесями. Препринт ИПМ АН СССР, № 4, 1964 г., 27 с.

61. Дмитриева М.В., Комошвили К.Г., Елфимов А.Г., Некрасов Ф.М., Сидоров В.П., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Динамика создания тока увлечения альфвеновскими волнами с учетом процессов переноса. Препринт ИПМ АН СССР, № 121, 1964 г., 15 с.

62. Коган В.И., Мигдал А.Б. Зависимость спектра тормозного излучения от электронной температуры плазмы. В кн. Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций, т. I,с. 176, М., 1958 г.

63. Трубников Б.А. Универсальный коэффициент выхода циклотронного излучения из плазменных конфигураций. В кн. Вопросы теории плазмы, т. 7, с. 274, М., 1973 г.

64. Козлов Б.Н. Сечения термоядерных реакций. Атомная энергия, 1962 г., Р 12, 238 с.

65. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. М., "Наука", 1982 г.

66. Duch D.3?. post D.E., Ruterford P.H., A computer modelof radial transport in tokamaks, Hucl. Pusion, 1977, 17, 3, p.565

67. Jassby D.L., Conn D.R., Parker R.R, Reply to Comment of the Paper: Characteristics of High- Density Tokamak Ignition Reactors, Hucl. Pusion 1974, 14, 3,p.419-429

68. Александров А.Ф., Богданкевич JI.C., Рухадзе A.A. Основы электродинамики плазмы. М., 1978 г., 407 с.

69. Leonov M. jMere-zJciu V.G., Muhovatov V.S. et al Ohmic heating at nutral heam ingection studies on the T-11 tokamak Plasma Phys. and Controlled Hucl. Fusion, Vienna, 1981,1 , p.3

70. Степанов K.H. Кинетическая теория магнитогидродинами-ческих волн. ЖЗТФ, 1958 г., т.34, № 5, с. I292-I30I.

71. Электродинамика плазмы, под ред. Ахиезера А.И., М., "Наука", 1974 г., с. 229-233.

72. Бурдо О.С., Горин В.В., Дмитренко А.Г., Елфимов А.Г. Численные расчеты Ш-нагрева плазмы в альфвеновском диапазоне частот. Шизика плазмы, 1983 г., 9, № 4, с.697-706.

73. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Электродинамика сплошных сред., М., 1982 г., 620 с.

74. Демирханов Р.А., Елфимов А.Г., Киров А.Г. и др. Система генерации и возбуждения альфвеновских волн для нагрева плазмы и поддержания тока в токамаке-реакторе ЙНТОР. В сб. Вопросы атомной науки и техники. Термоядерный синтез, 1982 г., вып. 2 /10/ .

75. Брагинский С.М. Явления переноса в плазме. В сб. Вопросы теории плазмы., Вып. I, М., 1963 г.

76. Klima R., Longinov А.В., Stepanov K.H., High- frequency heating of plasma with two ion species, Nucl. Fusion, 15,1975, p.1157

77. Терентьев H.M., Фадцеева B.H. Таблицы значений интеграла вероятностей от комплексного аргумента. М., ТИТТП, 1954 г.

78. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М., "Наука", 1973 г., 415 с.

79. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 2, М., 1951 г., с. 544.

80. Ehst D.A., Boley Ch. D., Evans K., Lower Hybrid Heating and Current Drive System for a Tokamak Reactor, J. of Fusion Energy, 1982,2 , p. 83

81. Дегтярев JI.M., Киров А.Г., Мартынов А.А., Медведев С.Ю., Стотланд M.A. Устойчивость идеальных винтовых мод в токамакес полым и обратными токами. Препринт ИПМ АН СССР, W 28, 1983 г., 27 с.

82. Демирханов Р.А., Киров А.Г., Ручко П.Ф., Сухачев А.В. Генерация стационарных токов и управление переносом в тороидальной магнитной ловушке при альфвеновском нагреве. Письма в ЖЭТФ, 1981 г., 33, № I, с. 31.

83. Дегтярев П.М., Киров А.Г., Мартынов А.А., Медведев C.I0., Стотланд М.А., Тиринг неустойчивости в токамаке с полым током. Препринт ИПМ АН СССР, W 130, 1964 г., 26 с.

84. Дмитриева М.В., Иванов А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Построение и исследование операторных разностных схем для уравнений Максвелла в цилиндрической геометрии. Препринт ИПМ

85. АН СССР, W 27, 1985 г., 24 с.1. КОЖУХ1. ЪЧ КОНТУР ; ПЛАЗМ/2?Гг»2 7Г1. Рис. I.I Рис. 1.2

86. Температура электронов при Плотность тока при заменеальфвеновском нагрве. индукционного тока токомтшфпр, увлечения.is 60 с021 0Л2 0^5 0.84 /X О021 ОAZ 0.65 О-в* *1. Рис. 1.3 1/ Рис. 1.4

87. Замена индукционного тош током увлечения. Провалы обусловлены распадающимся индукционным противотоком, со = 15 МО6 с. , М«-3, У7 = 4

88. Изменение концентрации Вымораживание индукционного токаплазмы при осевой инжекции. при осевой инжекции. Точкаальфвеновской трансформации смещается к центру плазмы.021 0.42 0.65 0.84 X Q 0.21 0.42. 0.63 O.fr1. Рис. 1.7 Рис. 1.8

89. Профили температур в случае Распределение плотностиосевой инжекции. при объемной инжекции.о10 ■1. О 00о аа ьО3