Численное моделирование и исследование нестационарных случайных процессов с периодическими характеристиками

Каргаполова, Нина Александровна

Численное моделирование и исследование нестационарных случайных процессов с периодическими характеристиками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Каргаполова, Нина Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Численное моделирование и исследование нестационарных случайных процессов с периодическими характеристиками»

Автореферат диссертации на тему "Численное моделирование и исследование нестационарных случайных процессов с периодическими характеристиками"

На правах рукописи

КАРГАПОЛОВА НИНА АЛЕКСАНДРОВНА

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

18 и;ол 7-013

Новосибирск - 2013

005531615

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН).

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Огородников Василий Александрович Официальные оппоненты:

Родионов Алексей Сергеевич доктор технических наук

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, заведующий лабораторией моделирования динамических процессов в информационных сетях Хлебникова Елена Ивановна кандидат физико-математических наук

Федеральное государственное бюджетное учреждение Главная геофизическая обсерватория им. А.И. Воейкова, заведующий лабораторией статистической интерпретации климатических данных Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новосибирский государственный технический университет

Защита состоится 18 сентября 2013 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003.061.01 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН) по адресу: 630090, Новосибирск, просп. академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан 27 июня 2013 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 003.061.01 ^ Рогазинский Сергей

доктор физико-математических наук ^ Валентинович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При решении различных прикладных задач в климатологии и метеорологии, океанологии, популяционной биологии, при исследовании телекоммуникационных и компьютерных сетей различного назначения, а так же в других областях науки с использованием методов статистического моделирования требуются реалистичные модели реальных процессов. Используемые модели должны адекватно описывать характерные особенности рассматриваемых процессов и должны быть согласованы с данными реальных наблюдений. Во многих задачах одной из наиболее существенных особенностей исследуемых реальных процессов является наличие у них суточного и годового хода. Таким образом, для их моделирования должны быть использованы те модели, которые позволяют строить реализации процесса, обладающие аналогичными осциллирующими свойствами. Существующие на данный момент модели негауссовских случайных процессов с осциллирующими характеристиками в большинстве случаев не позволяют проводить теоретическое исследование свойств различных характеристик моделируемого процесса. В связи с этим, разработка теоретических вероятностных моделей, а также эффективных алгоритмов моделирования негауссовских процессов с осциллирующими свойствами является актуальной научной задачей.

Цели и задачи исследования. Основными целями диссертационной работы являются разработка алгоритмов моделирования нестационарных негауссовских рядов с периодическими характеристиками, исследование их свойств, а также построение численных моделей нестационарных метеорологических процессов с учётом их суточного хода.

Главные задачи исследования:

1. Теоретическое исследование свойств некоторых классов нестационарных случайных процессов, построенных на основе неоднородных марковских цепей.

2. Разработка алгоритмов численного моделирования случайных процессов дискретного аргумента с конечным числом состояний, обладающих периодическими по времени свойствами.

3. Построение численных стохастических моделей метеорологических процессов и исследование их статистических характеристик.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертации впервые теоретически изучены свойства двоичных неоднородных марковских цепей с матрицей переходных вероятностей, являющейся периодической функцией времени.

Проведено обобщение алгоритма моделирования случайных скалярных последовательностей с периодическими по времени многомерными распределениями на основе векторных марковских цепей на случай процессов с произвольным конечным числом состояний.

Предложены новые алгоритмы моделирования кусочно-постоянных процессов дискретного аргумента с осциллирующими по времени коэффициентами корреляции.

Построены модели индикаторных рядов, характеризующих выход значения метеорологического процесса за заданный уровень, учитывающие суточный ход реальных процессов.

Предложенные алгоритмы моделирования нестационарных случайных процессов с периодическими свойствами могут быть использованы при решении практических задач в различных областях науки и техники, например, в климатологии и метеорологии, гидрологии, агрометеорологии, радиофизике, при исследовании компьютерных и телекоммуникационных сетей различного назначения.

Исследования были выполнены при поддержке РФФИ, грант 11-01— 00641-а.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Алгоритмы моделирования нестационарных процессов дискретного аргумента с осциллирующими характеристиками.

2. Результаты исследования свойств марковских цепей с матрицей переходных вероятностей, являющейся периодической функцией времени.

3. Результаты численного моделирования индикаторных рядов метеорологических процессов и исследования вероятностных свойств рассматриваемых процессов.

Личный вклад. Автор диссертации принимала активное участие в подготовке всех совместных публикаций, в особенности на стадиях теоретического исследования рассматриваемых процессов, разработки алгоритмов моделирования и комплекса вычислительных программ, а также при проведении численных экспериментов и анализе результатов.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на семинаре «Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике» ИВМиМГ СО РАН, на 3-х конференциях молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (г. Новосибирск, 2011-2013 гг.), на Seventh International Workshop on Simulation (Италия, г. Римини, 21-24 мая 2013 г.), XVIII и XIX Рабочей группе «Аэрозоли Сибири» (г. Томск, 29 ноября — 2 декабря 2011 г., 27-30

ноября 2012 г.), XIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Новосибирск, 15-17 октября 2012 г.), Всероссийской конференции «Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования» (г. Новосибирск, 12-15 июня 2012 г.), Всероссийской научной конференции «Современные проблемы стохастической гидрологии и регулирования стока» (г. Москва, 10-12 апреля 2012 г.), International Workshop «Applied Methods of Statistical Analysis. Simulations and Statistical Inference» (г. Новосибирск, 20-22 сентября 2011 г.), Международной конференции «Кубатурные формулы, методы Монте-Карло и их приложения» (г. Красноярск, 4-8 июля 2011 г.), Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2011 (г. Новосибирск, 29 июня - 1 июля 2011 г.), International German Summer School on Hydrology (Германия, г. Бохум, 28 августа — 11 сентября 2010 г.).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 10 работ, среди которых 3 работы в изданиях из списка ВАК и 2 работы в трудах международных конференций. Список публикаций размещён в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Объем диссертационной работы — 95 страниц.

Благодарности. Автор выражает искреннюю признательность и благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. В.А. Огородникову за постоянное внимание к работе и ценные советы, члену-корреспонденту РАН Г.А. Михайлову за поддержку, профессору Я.Я. Савельеву и д.ф.-м.н. С.М. Пригарину за сотрудничество и полезные обсуждения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, его цели и задачи, научная и практическая значимость полученных результатов, а также изложено краткое содержание диссертации по главам и параграфам.

В Первой главе диссертации приведены результаты исследования свойств неоднородных двоичных марковских процессов дискретного аргумента с матрицей переходных вероятностей, являющейся периодической функцией времени. Рассматриваемые марковские цепи

определены следующим образом: случайный процесс t = 0,1,2,...

есть двоичная неоднородная марковская последовательность с множеством

значении

Л/ = {0, 1}, начальньм вектором распределений А = {а], а0} = {а, 1 — а} и матрицей переходных вероятностей ГТ(/), обладающей следующим свойством: П(/) — периодическая функция

дискретного аргумента t, принимающая значение

' Ръ

АЩ AoWli Рк х~Рк^ PoiM Poo[*]J l1"^ Чк j

при t = mn + k>0, где п>2 - период функции П(/),

т= 0,1,2,..., к = 0,1,...,« — 1. Здесь — это вероятность перехода

из состояния f в состояние g 0, 1}) при t = тп + к, а а^ —

начальная вероятность состояния f .

В параграфе 1.2 рассмотрены вопросы, касающиеся распределений таких марковских цепей и их асимптотического поведения. Показано, что функция одномерного распределения цепи рассматриваемого вида, как функция времени, является осциллирующей, а асимптотически -периодической. Приведены аналитические выражения, описывающие это распределение для / = 0,1,2,...:

Р(&»=1 )=K+{a-bn)dmn, HLn+k =1) = ЪЛ +ьк -bkdk +{a-bn)dkd: при т> 0, 1 <к <п ■ Здесь (в предположении dk Ф 1, к = 1,2,...,п)

1 -d

П^Р к = 1,2,..„п.

V /=о

В параграфе 1.2. дано также теоретическое описание корреляционной структуры марковкой цепи. Коэффициенты корреляции

согг , с, (А ) являются осциллирующей по I функцией. Так, например,

при I = тп, к = ип (т,и > 1) коэффициент корреляции СОГГ + л ) может быть представлен в виде

согг

Ътп+ип / '

Параграф 1.3. посвящен исследованию свойств распределений 1-серий. 1-серией считается последовательность идущих подряд единиц, слева и справа ограниченная нулями. Получены аналитические выражения, описывающие распределения длительностей серий из единиц и их моменты.

В параграфе 1.4. для накрывающих серий, т.е. серий, принимающих заданное значение в фиксированный момент времени, дано описание распределений их длин на отрезке [О,^],^ > 0 и исследованы особенности

этих распределений. Показано, что при выполнении специальных условий на элементы матрицы переходных вероятностей, вероятность возникновения более длинной серии постоянных значений с фиксированной начальной или конечной точкой может быть больше, чем вероятность появления более короткой серии. На Рис. 1 приведён пример распределения длительности 1-серии, накрывающей = 1, на отрезке

[0,20]. Здесь /— длина серии, а — вероятность появления такой

серии.

0.3

0.2 -

0.1 -

0.0

Р(1)

"1-1 Г

1—I—I—I—I—I—I 0 2 4 б 8 10 12 14 16 18 20 22 Рис. 1. Распределение длительности накрывающей 1-серии.

В параграфе 1.5 затрагиваются вопросы, связанные с возможностью обобщения результатов, полученных для бинарных неоднородных марковских цепей, на случай цепей с большим числом состояний. В рамках проведённых численных экспериментов было показано, что при увеличении числа состояний цепи осциллирующие свойства различных характеристик сохраняются.

Во второй главе диссертации представлены алгоритмы для численного моделирования различных классов негауссовских случайных процессов дискретного аргумента с осциллирующей (или периодической) по времени корреляционной функцией.

В параграфе 2.1 предложены два алгоритма для моделирования кусочно-постоянных негауссовских рядов с осциллирующей во времени корреляционной функцией. Оба алгоритма основаны на использовании точечных потоков, порожденных сериями постоянных значений в марковских цепях с периодической по времени матрицей переходных вероятностей (свойства таких марковских цепей подробно рассмотрены в Главе 1). Первый алгоритм позволяет моделировать случайный процесс с

произвольно заданной функцией одномерного распределения .

Алгоритм 1.

1. Моделируется марковская последовательность ^ = 0,1,2,... с

матрицей переходных вероятностей, являющейся периодической функцией времени с периодом п.

2. Разыгрывается случайная величина СО с функцией распределения

^(х), Щ =0).

3. Для ^ > 1:

если £ = , то 77, = Т](_г;

если ^ Ф , то независимо разыгрывается СО с

одномерным распределением Р (х) и Т}1 = со .

Для построенного таким образом процесса Т]п t = 0,1,2... в диссертации

даны аналитические формулы, описывающие его корреляционную структуру. На Рис. 2 приведён график коэффициентов корреляции такого процесса при

^(х) = Ы0Л, п-2, а = 0.5,

(0.6 0.4' 0.1 0.3"

> Ру =

,0.1 0-9, ' 1 ч0.5 0.5,

Рис. 2. Коэффициенты корреляции процесса T]t как функции времени.

При применении второго алгоритма построенный процесс обладает одномерной плотностью распределения, являющейся смесью заданных

плотностей /0 (*),/, •;/„_! (х) с весами, периодически

меняющимися во времени и определяемыми параметрами марковской цепи.

Алгоритм 2.

1. Моделируется марковская последовательность t = 0,1,2,... с

матрицей переходных вероятностей, являющейся периодической функцией времени с периодом п.

2. Разыгрывается случайная величина СО с плотностью распределения

Л-iW»

3. Для t >1:

если = , то 1Jt = 77,;

если E)t Ф , то независимо разыгрьшается СО с

плотностью fi (.v), где i выбрано такое, что:

i = t (mod и), и T]t = о . В качестве примера на Рис. 3 приведены плотности одномерного распределения кусочно-постоянного процесса, построенного с использованием предложенного алгоритма при следующих параметрах марковской цепи

'0.9 0.8

п = 2, а

0.Р

0.2

0.5,

0.2

0.1

0.8 0.9

и при заданных плотностях /0 = ф0 р /1 = ф51 (плотности нормального распределения с единичной дисперсией и разными средними).

0-3 Г(х) - 1 3

2 - 4

-3 0 3 б

Рис. 3. Плотность распределения f (х) процесса Т]{ при различных /: 1 -при 1 = 20,2- при г = 21, 3 - при г = 24, 4 - при г = 25 .

Параграф 2.2 посвящен методу численного моделирования скалярных негауссовских процессов дискретного аргумента с функцией распределения, периодически зависящей от времени, основанному на специальном преобразовании однородных векторных марковских цепей. Полученные скалярные процессы не являются марковскими, однако значение скалярного процесса в каждый момент времени определяется его значениями не более чем на 2т -1 предыдущих шагах, где т — размерность вектора в исходном процессе.

В параграфе 2.3 приведены результаты исследования свойств корреляционной матрицы периодически коррелированного процесса. Для блочно тёплицевых матриц, удовлетворяющих специальному требованию, показано, что функция, полученная осреднением диагональных элементов матрицы, обладает кусочно-линейной мажорантой, значение которой совпадают со значениями самой функции только в точках, удалённых друг от друга на расстояние, равное размерности блока матрицы.

Третья глава диссертации содержит результаты численных экспериментов по моделированию индикаторных характеристик

метеорологических процессов и их комплексов, обладающих суточным ходом.

В параграфе 3.1 приведены результаты численного моделирования индикаторных рядов приземной температуры воздуха и модуля скорости ветра. Показано, что модель, основанная на марковских цепях, описанных в Главе 1, дает оценки распределения длительности периодов, когда значение метеоэлемента превышает заданный уровень, хорошо согласующиеся с реальными данными. Приведены результаты численного исследования влияния порядка марковской цепи на качество оценок. Приведены примеры ситуаций, когда увеличение порядка цепи до второго или третьего значительно улучшает точность оценок. При этом дальнейшее увеличение порядка не приводит к повышению качества оценок.

Параграф 3.2 посвящен результатам моделирования индикаторных последовательностей для комплексов метеорологических процессов. Результаты численных экспериментов показывают, что векторные неоднородные марковские цепи с периодически изменяющейся во времени матрицей переходных вероятностей могут эффективно применяться для оценок распределений длительности серий постоянных значений индикаторного ряда для комплексов из температуры воздуха и относительной влажности, и из температуры воздуха и модуля скорости ветра.

В параграфе 3.3 предложена модель индикаторных рядов, характеризующих наличие или отсутствие осадков в течение двенадцатичасовых интервалов времени. Модель основана на рассмотренном в параграфе 2.2 преобразовании векторных марковских цепей в скалярный процесс. Приведены результаты оценки максимальной длительности периодов времени с осадками. Показано, что эта модель дает более адекватные реальным данным оценки этой характеристики по сравнению с моделью, основанной на однородных марковских цепях, использующейся в большинстве стохастических генераторов погоды.

Отметим, что для оценки входных параметров всех моделей были использованы многолетние ряды наблюдений на различных метеостанциях России.

Заключение содержит перечень основных результатов диссертационной работы.

В приложении приведены результаты численного исследования того, как ошибка оценки входных параметров марковской цепи, описанной в Главе 1, по малой выборке реальных данных влияет на распределение цепи. Исследования проведены в условиях задачи, рассматриваемой в параграфе 3.1. Показано, что изменения начального распределения цепи и матрицы переходных вероятностей, не превышающие значения соответствующих среднеквадратичных отклонений при оценке по малой

выборке, дают малые изменения в распределении цепи, т.е. рассматриваемая марковская модель является устойчивой по отношению к малым изменениям входных параметров.

Заключение

Основные результаты, представленные в работе:

1. Получены аналитические формулы, описывающие распределение, корреляционную функцию, распределение длительности серий постоянных значений и его первые моменты, распределения накрывающих серий и их особенности для бинарных неоднородных марковских процессов с дискретным временем, матрицы переходных вероятностей которых являются периодическими функциями времени. Показано, что многие статистические характеристики таких процессов представляют собой осциллирующие, а асимптотически — периодические по времени функции.

2. Предложены алгоритмы для численного моделирования кусочно-постоянных случайных последовательностей, асимптотически являющихся периодически коррелированными. Плотность распределения таких последовательностей может быть как произвольно заданной и независящей от времени, так и представляющей собой смесь заданных плотностей с весами, периодически изменяющимися во времени.

3. Показано, что на основе векторных однородных марковских цепей с произвольным числом состояний можно строить скалярные последовательности, многомерные распределения которых являются периодическими по времени.

4. На основе предложенных алгоритмов реализован комплекс вычислительных программ для численного моделирования индикаторных рядов метеорологических процессов. Показано, что рассмотренные модели могут использоваться для исследования статистических характеристик индикаторных последовательностей метеоэлементов и их комплексов.

Список публикаций по теме диссертации

Публикации в журналах из списка ВАК

1. Kargapolova N.A., Ogorodnikov V.A. Inhomogeneous Markov chains with periodic matrices of transition probabilities and their application to simulation of meteorological processes // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2012, Vol. 27, No 3. P. 213-228.

2. Огородников В.А., Каргаполова Н.А., Басова К.В., Ильина А.А., Сересева О.В. Численные стохастические модели метеорологических процессов и полей и некоторые их приложения // Водное хозяйство России, 2012, No 4. С. 33-42.

3. Ogorodnikov V.A., Kargopolova N.A., Seresseva O.V. Numerical stochastic model of spatial fields of daily sums of liquid precipitation // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2013, Vol. 28, No. 2. P. 187-200.

Публикации в трудах конференций

1. Kargapolova N.A., Saveliev L.Ya., Ogorodnikov V.A. Modeling of nonstationary processes with periodic properties on basis of Markov chains // Proceedings of International Workshop «Applied Methods of Statistical Analysis. Simulations and Statistical Inference», Novosibirsk: Publishing house of NSTU, 2011. P. 323-330.

2. Огородников В.А., Савельев Л.Я., Каргаполова Н.А. Некоторые свойства неоднородных марковских последовательностей с периодическими матрицами переходных вероятностей // Труды международной конференции «Кубатурные формулы, методы Монте-Карло и их приложения», Красноярск: Издательство СФУ,

2011. С. 86-90.

3. Каргаполова Н.А. Марковские модели нестационарных временных рядов с периодическими свойствами // Труды конференции молодых учёных ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск: Издательство ИВМиМГ СО РАН, 2011. С. 21-31.

4. Огородников В.А., Каргаполова Н.А., Басова К.В., Ильина А.А., Сересева О.В. Численные стохастические модели метеорологических процессов и полей // Труды Всероссийской научной конференции «Современные проблемы стохастической гидрологии и регулирования стока», Москва, 2012. С. 469-478.

5. Каргаполова Н.А. Накрывающие серии и условные распределения марковских цепей с периодическими свойствами // Труды конференции молодых учёных ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск,

2012, [Электронный ресурс] http://parbz.sscc.ru/fcp/kmu2012/kargapolova.pdf

6. Огородников В.А., Каргаполова Н.А., Сересева О.В. Специальные численные алгоритмы стохастического моделирования гидрометеорологических процессов и полей // Труды всероссийской конференции «Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования», Новосибирск, 2012, [Электронный ресурс] http ://parbz. sscc.ru/fcp/apm2012/pdf/Qgorodnikov.pdf

7. Каргаполова Н.А. Марковские модели индикаторных рядов метеорологических процессов // Доклады XIII Всероссийской

конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Новосибирск, 2012, [Электронный ресурс]

http://conf.nsc.ru/files/conferences/ym2012/fulltext/137683/139424/Karga polova.pdf

Подписано в печать 21.06.2013 Формат 60x84 1\16 Усл. печ. л. 1 Объем 16 стр. Тираж 100 экз. Заказ № 115 Отпечатано Омега Принт 630090, г. Новосибирск, пр. Ак.Лаврентьева,6 email: omegap@yandex.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Каргаполова, Нина Александровна, Новосибирск

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук

На правах рукописи

04201361 384 Каргаполова Нина Александровна

01. 01. 07 - вычислительная математика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук

В. А. Огородников

Новосибирск - 2013

Оглавление

Введение 4 Глава 1. Неоднородные марковские последовательности с матрицей

переходных вероятностей, периодически зависящей от времени 14

1.1. Определения и обозначения 14

1.2. Основные свойства процесса 15

1.2.1. Распределение процесса 15

1.2.2. Предельное распределение процесса 20

1.2.3. Корреляционная функция 20

1.3. Свойства серий постоянных значений 23

1.3.1. Распределение длительности 1-серий 23

1.3.2. Средняя длительность и дисперсия 1-серий 25

1.4. Накрывающие серии 29

1.4.1. Определения и обозначения 29

1.4.2. Распределение концевых 1-серий 30

1.4.3. Средняя длительность концевых 1 -серий 31

1.4.4. Дисперсия концевых 1-серий 33

1.4.5. Особенности распределений концевых 1-серий 33

1.4.6. Свойства начальных и накрывающих 1-серий 39

1.5. Обобщение на случай марковских цепей с числом состояний, большим 2 41

Глава 2. Моделирование некоторых классов случайных процессов с

периодическими свойствами 43 2.1. Моделирование кусочно-постоянных негауссовских рядов

с колеблющейся корреляционной функцией 43

2.1.1. Моделирование рядов с функцией распределения,

не зависящей от времени 43

2.1.2. Моделирование процесса с меняющейся во времени плотностью распределения 47

2.2. Моделирование случайных рядов с периодической

функцией распределения на основе векторных марковских цепей 51

2.3. О свойствах корреляционной матрицы периодически коррелированного процесса 56

Глава 3. Численные модели метеорологических процессов и оценки их свойств 62

3.1. Оценки характеристик метеорологических процессов на основе неоднородных марковских цепей специального вида 63

3.2. Оценки характеристик комплексов метеорологических процессов на основе неоднородных марковских цепей специального вида 71

3.3. Об использовании векторных цепей Маркова при моделировании метеорологических процессов 75

Заключение 79

Список литературы 80

Приложение 89

Введение

При решении различных прикладных задач в климатологии и метеорологии [2, 6, 7, 13, 23, 25, 27, 43, 57-59, 66], океанологии [3, 8, 45^47], гидрологии [54], агрометеорологии [11], популяционной биологии [63-65, 77], радиофизике [50], при исследовании телекоммуникационных и компьютерных сетей различного назначения [40], при изучении влияния ветровых и температурных характеристик на строительные конструкции [5], а так же в других областях науки с использованием методов статистического моделирования требуются реалистичные модели реальных процессов. Используемые модели должны адекватно описывать характерные особенности рассматриваемых процессов и должны быть согласованы с данными реальных наблюдений. Во многих задачах одной из наиболее существенных особенностей исследуемых реальных процессов является наличие у них суточного и годового хода. Таким образом, для их моделирования должны быть использованы те модели, которые позволяют строить реализации процесса, обладающие аналогичными осциллирующими свойствами. Существующие на данный момент модели негауссовских случайных процессов с осциллирующими характеристиками в большинстве случаев не позволяют проводить теоретическое исследование свойств различных характеристик моделируемого процесса. В связи с этим, разработка теоретических вероятностных моделей, а также эффективных алгоритмов моделирования негауссовских процессов с осциллирующими свойствами является актуальной научной задачей.

Цель исследования. Основными целями диссертационной работы являются разработка алгоритмов моделирования нестационарных негауссовских рядов с периодическими характеристиками, исследование их свойств, а также построение численных моделей нестационарных метеорологических процессов с учётом их суточного хода.

Задачи исследования:

Научная новизна. В диссертации впервые теоретически изучены свойства двоичных неоднородных марковских цепей с матрицей переходных вероятностей, являющейся периодической функцией времени.

Научная и практическая значимость.

Аппарат численного стохастического моделирования различных классов случайных процессов к настоящему времени достаточно хорошо развит [1, 10, 12, 22, 26, 28-34, 42, 44, 55, 82, 87]. В зависимости от решаемой задачи и существующих требований на точность и время счёта выбираются те или иные

методы моделирования. Но, несмотря на обилие существующих методов и алгоритмов, при решении некоторых конкретных задач существующие методы не всегда дают приемлемые (по тем или иным критериям) результаты. Поэтому разработка гибких и легко адаптируемых под различные требования алгоритмов моделирования случайных процессов имеет очевидную научную и практическую ценность.

В работах [8, 45-47], связанных с изучение свойств ритмики океанологических процессов, были использованы процессы, относящиеся к классу периодически коррелированных. В этих работах была изучена спектральная структура таких процессов. Как оказалось, нестационарные случайные процессы с таким же свойством корреляционной функции могут быть использованы для описания не только процессов волнения океанической поверхности, но и для описания, например, метеорологических процессов, когда необходимо учитывать их суточный и годовой ход. Задача моделирования периодически коррелированных процессов решается различными способами. Разработаны, например, алгоритмы моделирования с использованием векторных процессов авторегрессии [7, 46, 49, 66, 82], модели с использованием некоторых типов точечных потоков [83]. Эти методы позволяют моделировать случайные процессы с заданной корреляционной структурой. Однако при решении конкретных задач возникают некоторые трудности, связанные с выбором матричных коэффициентов, гарантирующих стационарность процесса авторегрессии. А модели на точечных потоках позволяют моделировать только некоторый класс периодически коррелированных процессов. Кроме того, для указанных методов нет аналитического описания свойств распределений значений процесса и серий в нём. В связи с этим, в диссертационной работе предлагаются методы приближённого моделирования периодически коррелированных случайных рядов с конечным числом состояний, и для этих методов проведены аналитические исследования.

Ещё одним классом случайных процессов, которые активно изучаются и часто используются при решении прикладных задач, являются марковские процессы [4, 17, 48, 51-53, 56, 60, 61, 86]. Основное внимание в литературе уделяется изучению однородных скалярных марковских процессов. Что касается векторных марковских цепей, то их теория развита не столь широко [20]. Однако, использование однородных векторных цепей Маркова позволяет численно моделировать скалярные последовательности, многомерное распределение которых является периодическим по времени. Доказательство этого факта в частном случае, когда элементы вектора принимают значения из множества {0,1}, приведено в [35, 78]. В данной диссертации будет проведено

доказательство этого утверждения для случая произвольного числа состояний компонент векторов. Схема доказательства приведена в [15].

Особую роль при решении прикладных задач играют двоичные марковские последовательности. Так, например, они используются для моделирования индикаторных последовательностей, характеризующих наличие и отсутствие осадков [27, 75, 85]. Для случая однородных двоичных цепей подробное исследование их свойств и свойств серий постоянных значений проведено в работах [52, 53].

Задача исследования свойств неоднородных марковских цепей является ещё более сложной, в силу того, что неоднородность может иметь разный характер. Глава 1 данной диссертации посвящена исследованию свойств некоторого класса неоднородных марковских цепей и серий постоянных значений в них.

Что касается применения аппарата случайных процессов, то в качестве примеров прикладных областей, где он широко применяется, выше были приведены метеорология, гидрология и агрометеорология. Для решения многих задач в этих областях требуется знание статистических свойств различных метеорологических процессов и полей. Необходимо оценивать вероятности возникновения неблагоприятных сочетаний метеоэлементов, вероятности появления заморозков в весенне-летний период, среднее число засушливых

дней и др. Поскольку по реальным данным исследование таких явлений является затруднительным, в силу статистической ненадёжности оценок по малым выборкам, приходится использовать различные стохастические модели.

В связи с этим, в последние десятилетия бурное развитие переживает прикладная область математики, связанная с разработкой так называемых «генераторов погоды». По своей сути, генераторы являются пакетами программ, позволяющими численно моделировать длинные ряды случайных чисел, обладающих статистическими свойствами, повторяющими основные свойства реальных метеорологических рядов (например, одномерное распределение и корреляционную функцию). Чаще всего моделируются ряды приземной температуры воздуха, суточного минимума и максимума температуры, количества осадков и количество солнечной радиации. Наибольшее распространение получили WGEN и LARS-WG генераторы, разработанные Richardson и Wright (1984) на основе генератора построенного Richardson (1981), и Racsko (1991) соответственно. В работе [84] дано сравнение основных характеристик моделей, заложенных в WGEN и LARS-WG генераторы.

В генераторах типа WGEN в основе построения рядов осадков лежат однородные марковские индикаторные последовательности, характеризующие наличие или отсутствие осадков в заданный момент времени. В тех случаях, когда осадки имеются, их количество определяется как случайная величина с гамма-распределением. Значения максимальной и минимальной температуры в заданные сутки, а также количество солнечной радиации разыгрываются как величины с нормальным распределением.

Основным отличием LARS-генераторов от генераторов типа WGEN является то, что на первом шаге вместо индикаторной марковской цепи строится последовательность длин периодов с осадками и без них с распределением, оцененным по реальным данным. Кроме того, количество солнечной радиации обладает в этих моделях не нормальным распределением,

а тем эмпирическим распределением, которое получается оценкой по реальным данным в каждой точке, где эти данные собраны.

Существуют различные модификации этих генераторов. Основные изменения заключаются в смене плотностей распределения, аппроксимирующих гистограммы плотностей, построенные по реальным данным, изменении порядка марковской цепи (для генераторов типа WGEN), длине моделируемых с одними и теми же параметрами рядов. Информация о таких модификациях и некоторых других генераторах содержится, например, в [69, 70, 75, 85].

С помощью генераторов погоды моделируют не только одномерные случайные ряды, но случайные поля, с опорными точками, соответствующими местоположениям метеостанций. Описание алгоритмов построения таких полей, а также методы интерполяции в точки между станциями приведены, например, в [62, 74, 76].

Стоит отметить, что с помощью различных генераторов моделируют значения метеорологических процессов с шагом в одни сутки. Алгоритмы моделирования, предложенные в данной диссертации, дают возможность моделировать ряды с меньшим шагом, учитывая суточный ход реальных процессов. Поэтому они могут служить основой для построения нового класса генераторов, позволяющих работать с меньшим временным масштабом.

Таким образом, задачи, рассматриваемые в этой диссертационной работе, являются актуальными и имеют научную и практическую значимость.

Положения, выносимые на защиту:

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Объем диссертационной работы - 95 страниц, в том числе 24 рисунка, 15 таблиц. В списке литературы содержится 87 наименований на русском и английском языках.

В первой главе диссертации приведены результаты исследований свойств неоднородных двоичных марковских процессов дискретного аргумента с матрицей переходных вероятностей, являющейся периодической функцией времени. Рассмотрены вопросы, касающиеся распределений таких марковских цепей и их асимптотического поведения. Показано, что функция распределения цепи рассматриваемого вида, как функция времени, является осциллирующей, а асимптотически - периодической. Приведены аналитические выражения, описывающие корреляционную структуру цепи. Исследованы свойства распределений серий постоянных значений цепи и их моменты. Для серий, принимающих заданное значение в фиксированный момент времени (накрывающих серий), дано описание распределений их длин и исследованы особенности этих распределений. Доказано, что при выполнении специальных условий на элементы матрицы переходных вероятностей, вероятность возникновения более длинной серии постоянных значений с фиксированной начальной или конечной точкой может быть больше, чем вероятность

появления более короткой серии. Цепи рассматриваемого типа могут лежать в основе моделирования индикаторных последовательностей, характеризующих выход значений некоторого метеоэлемента (например, приземной температуры воздуха или модуля скорости ветра) за заданный уровень с учётом суточного хода реального процесса. Результаты численных экспериментов, связанных с применением таких цепей для решения задач статистической метеорологии, приведены в третьей главе диссертации.

Во второй главе диссертации рассматриваются вопросы, связанные с моделированием некоторых классов негауссовских случайных процессов дискретного аргумента с осциллирующей (или периодической) по времени корреляционной функцией.

В первом параграфе Главы 2 предлагаются алгоритмы построения кусочно-постоянных негауссовских рядов на основе точечных потоков, порожденных сериями постоянных значений в марковских цепях с периодической по времени матрицей переходных вероятностей (свойства таких марковских цепей подробно рассмотрены в Главе 1). Плотность распределения таких кусочно-постоянных процессов может быть постоянной, а может изменяться во времени и представлять собой смесь заданных плотностей с весами, определяемыми параметрами марковской цепи.

Следующий параграф второй главы посвящён методу численного моделирования скалярных негауссовских процессов дискретного аргумента с функцией распределения, периодически зависящей от времени, основанному на специальном преобразовани