Численное моделирование и оптимизация слабоконтрастных брэгговских световодов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

ООЭ4Ьгэои

На правах рукописи

Прокопович Дмитрий Валерьевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ СЛАБОКОНТРАСТНЫХ БРЭГГОВСКИХ СВЕТОВОДОВ

Специальность 01.04.21 - лазерная физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Г ?

Г. . I 1

7^3

Москва 2009

003467530

Работа выполнена в Научном центре волоконной оптики Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Попов Алексей Владимирович

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

Виноградов Александр Владимирович

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Буфетов Игорь Алексеевич

Защита диссертации состоится 18 мая 2009 года в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.063.03 Института общей физики им. А.М. Прохорова РАН по адресу: 119991, Москва, ул. Вавилова 38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института общей физики им. A.M. Прохорова РАН

кандидат физико-математических наук Еременко Виктор Антонович

Ведущая организация: Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН

Автореферат разослан «_» апреля 2009 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Воляк Т.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы работы

В последнее время в оптике интенсивно развивается новое научное направление - фотонные кристаллы [1]. Фотонные кристаллы - это структуры с периодически изменяющейся диэлектрической проницаемостью. Периодичность приводит к дисперсии распространяющихся волн, в частности к появлению фотонных запрещенных зон. Протяжённые дефекты (отклонения от симметрии) в фотонных кристаллах приводят к образованию волноведущих структур - световодов на основе фотонных кристаллов. Механизм распространения излучения в таких световодах принципиально отличается от полного внутреннего отражения и связан с интерференцией, возникающей при отражении от периодической оболочки, окружающей сердцевину. Простейшими одномерными фотонными кристаллами являются цилиндрический брэгговский световод и планарный брэггов-ский волновод в случае плоской симметрии.

Впервые идея использования резонансного отражения в волоконных световодах была предложена в 1978 г. [2]. Изменение структуры брэгговских световодов (размеров и показателей преломления слоев и сердцевины) дает широкие возможности в получении световодов с различными оптическими свойствами.

На данный момент имеется множество численных методов исследования брэгговских световодов. Почти все методы моделирования брэгговских световодов, так или иначе, связаны с методом матрицы перехода [3]. Поиск модовых решений осуществляется путем решения трансцендентного дисперсионного уравнения. Данный подход имеет ряд недостатков, связанных с накоплением ошибок из-за плохой обусловленности многократно перемножаемых матриц [4], а также со сложностью поиска корней дисперсионного уравнения, требующего больших вычислительных затрат. Все эти проблемы обостряются при моделировании световодов с большим числом ступенчатых слоев или с гладким профилем показателя преломления. В связи с этим актуальной проблемой является развитие прямых методов моделирования, одинаково применимых для любого распределения профиля показателя преломления и в то же время достаточно быстрых и точных.

Помимо задачи расчёта световода с заданными параметрами, очень важны задачи оптимизации: получение наилучшей локализации моды в сердцевине брэгговского световода и минимизация радиационных потерь на определённой длине волны. Как правило, оптимизация сводится к анализу плоскопараллельной

ступенчатой структуры [5]. В то же время нет ни одной работы, посвященной оптимизации структур с гладким профилем показателя преломления. Трудность решения этой задачи заключается в том, что даже для одномерного распределения показателя преломления в общем случае невозможно выписать аналитическое решение волнового уравнения и, как следствие, найти явный вид декремента затухания.

Одним из важнейших направлений представляется использование брэг-говских световодов в качестве волноведущих структур для волоконных лазеров и усилителей [6]. В этой области актуальной задачей является расчет брэггов-ской структуры для подавления нежелательного излучения на линиях генерации активного вещества в сердцевине брэгговского световода.

Хотя в идеализированных моделях могут быть получены очень малые потери для основной моды брэгговского световода, при практическом изготовлении возникают проблемы устойчивости к малым изменениям. Наиболее часто встречающееся отклонение от идеальной формы - это изгиб световода, приводящий к искажению поля и дополнительным потерям. Точные методы решения этой задачи довольно сложны. Тем не менее для обычных оптических волокон получены надежные асимптотические оценки [7]. Изгиб брэгговских световодов изучен гораздо меньше, получены лишь качественные оценки дополнительных потерь на излучение [8]. Пока не изученными для брэгговских световодов с изгибом остаются интересные эффекты, такие как изменение структуры поля вдоль волокна, интерференция волн в периодической оболочке, межмодовое перетекание энергии при уменьшении радиуса кривизны.

Перспективы широкого применения брэгговских световодов и необходимость создания надежной теоретической основы для анализа их оптических свойств, позволяющей ответить на поставленные выше вопросы, определили тему диссертации.

Цели работы

1. Разработка прямого метода расчёта полного спектра мод брэгговского световода.

2. Решение задачи о наилучшей локализации моды в сердцевине брэгговского световода и связанная с ней минимизация радиационных потерь.

3. Расчет частотного фильтра, обеспечивающего минимум радиационных потерь на рабочей длине волны и подавление моды на близкой длине волны отсечки.

4. Разработка численного метода вычисления изгибных потерь для брэггов-ских волноводов.

Научная новизна работы

1. Разработан новый численный метод расчёта полного спектра мод брэггов-ского световода.

2. Показано, что относительно небольшое уменьшение показателя преломления сердцевины позволяет существенным образом изменить спектр потерь брэгговского световода.

3. Для одномерного волнового уравнения получены явные выражения для фундаментальной системы решений и декремента затухания при произвольной зависимости показателя преломления от фазового параметра.

4. Предложен и численно реализован способ моделирования изгиба в слабоконтрастных брэгговских волноводах, основанный на использовании метода параболического уравнения с граничными условиями прозрачности.

Практическая значимость работы

1. Реализованный в виде программы, конечно-разностный метод может быть использован для поиска нужных решений волнового уравнения, оптимизации структуры и конструирования брэгговских световодов в соответствии с поставленными физическими задачами.

2. Рассчитан брэгговский световод с депрессированной сердцевиной для не-одимового волоконного лазера.

3. Предложен метод, позволяющий точно моделировать пространственное распределение поля любых изогнутых слабоконтрастных планарных вол-новодных структур.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Полный спектр мод брэгговского световода (захваченные и вытекающие моды) может быть найден с помощью разработанного в диссертации конечно-разностного метода.

2. Относительно малое уменьшение показателя преломления сердцевины брэгговского световода позволяет при наилучшей локализации основной моды на рабочей длине волны изменить спектр потерь таким образом, чтобы подавить эту же моду на заданной близкой длине волны.

3. Декремент затухания поля в периодической структуре в точности пропорционален второй гармонике разложения логарифма показателя преломления в ряд Фурье как функции фазового параметра.

4. Пространственное распределение поля и радиационные потери в изогнутом брэгговском волноводе могут быть с большой точностью вычислены предложенным в диссертации вариантом метода параболического уравнения с граничными условиями прозрачности.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации докладывались на российских и международных конференциях: I Всероссийской конференции по волоконной оптике (Пермь, 10-12 октября, 2007г.); 4th International Workshop on Electromagnetic Wave Scattering (Gebze, Turkey, September 18-22, 2006); 9th International Conference on Transparent Optical Networks (Rome, Italy, July 1-5, 2007); 10th International Conference on Transparent Optical Networks (Athens, Greece, June 2226, 2008). Обсуждались на семинарах в Научном центре волоконной оптики РАН, на семинарах в Отделении квантовой радиофизики и в Отделении теоретической физики Физического института им. П.Н.Лебедева РАН.

Материалы диссертации опубликованы в 8 работах, из них 4 публикации [А1-А4] в трудах конференций и 4 публикации [А5-А8] в рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех основных глав, выводов и списка литературы, включающего 81 наименование. Работа содержит 107 страниц текста, 2 таблицы, 46 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении (глава 1) обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и описаны методы исследования. Также приведены: основные результаты и выводы, выносимые на защиту положения, апробация работы и публикации по теме диссертации.

Глава 2 посвящена разработке численного метода расчета модовой структуры брэгговского световода с заданным профилем показателя преломления.

Предложенный метод наглядно можно проиллюстрировать, используя

плоскую модель волновода с периодически меняющимся показателем преломления п(х~). Пусть электромагнитная волна распространяется вдоль оси г волновода. Напряжённость электрического поля ТЕ волны ищется в виде Ev = M(x)exp(//?z). Из уравнений Максвелла легко получается уравнение для амплитуды и{х):

и" + [к2п\х)-/32]и = О, (1)

где к = 2ж/ X — волновое число для свободного пространства, /? - продольная постоянная распространения. Граничные условия для четного решения уравнения (1), заключаются в обращение в нуль производной при х = 0 и излучатель-ном поведение на бесконечности:

и'(0) = 0, и(х) —> Texp(iqx) при х -»со, (2)

где q(x) = ^kln1(x)- р1 - поперечная постоянная распространения. Решением

уравнения (1) с граничными условиями (2) является спектр мод рассматриваемого брэгговского волновода, а именно дискретный набор собственных значений Р и собственных функций и(х;Р). В силу комплексности /? = /?' + //Г, физический смысл имеют те моды, для которых /?' > 0 (распространяющиеся в положительном направлении оси z) и р">0 (не возрастающие вдоль оси z). Кроме того, слабозатухающие локализованные в сердечнике решения характеризуются малостью мнимой части Р" по сравнению с действительной |/Г|« \р'\.

При построении разностной схема для решения краевой задачи (1)-(2) предложена замена и(х) = u(x)exp(iqx), избавляющая уравнения (1)-(2) от нелинейности по q, что существенно упрощает формулировку задачи на собственные значения. После разностной аппроксимации волнового уравнения (1) и граничных условий (2), задача сводится к матричному уравнению на собственные значения вида

IА|| й = ;>||В|| и, (3)

где IАI и IВI - матрицы размерности (М + 1)х(А/ + 1), компоненты которых зависят от показателя преломления п(х) и шага сетки h ; fj = qh - спектральный параметр; и = (й0 й1 ■■■ (М + 1) - количество узлов разбиения области

решения хт = mh e[0;S], т = 0,1,...,М. Таким образом, решение дифференциального уравнения (1) свелось к линейно-алгебраической задаче на собственные значения (3).

-1,465

-1,460 ю5

-1,455 ю4

-1,450 103

-1,445

-1,440 10*

1,435 10'

20 30 х, мкм

Рис.1. Амплитуды поля ТЕ, и ТЕ2 мод брэг-говского волновода при X = 1 мкм.

ТЕ,

0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

мкм

Рис.2. Зависимость потерь от длины волны ТЕ, и ТЕ2 мод брэгговского волновода.

Результаты численного решения уравнения (3) представлены в виде поперечной структуры мод и зависимости излучательных потерь от длины волны (Рис. 1-2). Для проверки точности предложенного метода проведено сравнение потерь для брэгговских волноводов, рассчитанных с помощью других различных методов. Показано, что конечно-разностный метод дает хорошее совпадение с другими результатами.

При рассмотрении цилиндрического волновода с радиальным профилем п(г) из уравнений Максвелла получается система для поперечных составляющих электрического поля Ег и Е . После выделения амплитуд векторных угловых гармоник Ег =[и,(г) + v,(r)]sinfy>, Е =[н,(г)-v,(r)]cos/#? выводиться система двух связанных волновых уравнений. Разностная аппроксимация этой системы выполняется с помощью интегро-интерполяционного метода. Граничные условия, аналогичные (2), получаются из того, что иДг) и v,(r) при г—>0 ведут себя как функции Бесселя, а во внешней однородной оболочке как функции Хан-келя первого рода. Таким образом, система двух связанных уравнений для цилиндрического волновода сводиться к задаче на собственные значения, аналогичной задаче (3). В диссертации главным образом исследуются брэгговские световоды с малым контрастом показателя преломления

пг(г) = п2\\ + а(г)\, |ог|«1 и «-»0 при >•->«), (4)

в этом случае система уравнений для и,(г) и v,(r) распадается и достаточно решать одно скалярное волновое уравнение.

Как пример, с помощью разработанного метода смоделирован резонанс,

10

ю4

10

Рис.3. Резонансный эффект, возникающий в области между брэгговскими кольцами и полимерной оболочкой при X = 1.0312 мкм.

0.8 0,9 1,0 1,1 1.2 1.3 x, мкм

Рис.4. Зависимость потерь от длины волны для брэгговского световода с полимерной оболочкой.

возникающий между брэгговскими кольцами и полимерной оболочкой (Рис.3-4). Качественно рассчитанный спектр потерь хорошо согласуется с результатами эксперимента [9]. Для получения полного количественного совпадения требуются более точные данные о профиле показателя преломления и материальных потерях в оболочке.

Глава 3 посвящена расчету частотного фильтра на основе брэгговского световода, обеспечивающего минимум радиационных потерь А на заданной длине волны \ и подавление моды на близкой длине волны Л, > Я^. Такая задача возникает при конструировании волоконного лазера на основе брэгговского световода. Основная сложность заключается в том, что если заданы показатели преломления слоев и, и п2, показатель преломления сердцевины пп и её радиус а, то однозначно определяются толщины соответствующих слоев /, и /2, удовлетворяющие условию локального минимума потерь, на длине волны \ для основной моды. При этом на другой длине волны Д, невозможно наложить какие-либо дополнительные условия, т.к. все параметры структуры световода уже найдены. В этой главе предлагается алгоритм нахождения структуры брэгговского световода, удовлетворяющего одновременно условиям минимальности потерь на рабочей длине волны Я^ и подавлению основной моды на длине волны отсечки

= А^^со (5)

для произвольных и Л,.

0,8 0.9 1.0 1.1 1.2 1,3 1,4 1,5

/., мкм

Рис.5. Зависимость потерь от длины волны для брэгговских световодов, оптимизированных для \ = 0.925 мкм с различными показателями преломления сердцевины и0.

-20 0 20 40 г, мкм

Рис.6. Амплитуды поля основной ЬР0| моды для брэгговского световода с показателем преломления сердцевины па = п2 -0.001 при Яд =0.925 мкм.

Общее решение волнового уравнения для амплитуды поля н(г) и его производной и (г) можно в явном виде выписать для каждого слоя с постоянным показателем преломления и, и п2. При учете непрерывности тангенциальных компонент поля на границах раздела получается рекуррентное соотношение в матричном виде, так называемая матрица перехода. Из уравнения на собственные значения для матрицы перехода определяются области прозрачности и непрозрачности брэгговского световода. Предложенный в главе 3 метод позволяет проследить изменение зонной структуры брэгговского световода при варьировании различных параметров - п0, и,, пг, а, /,, /2. Показано, что для выполнения условия (5) достаточно относительно небольшой вариации показателя преломления сердцевины, которая позволяет существенно менять зонную структуру, а значит и спектр потерь брэгговского световода.

В одном из практических приложений для неодимового волоконного лазера необходим световод, который имел бы для основной моды минимум потерь на длине волны Л^ = 0.925мкм, а на длине волны Л, = 1.06мкм эта мода отсутствовала [10]. При этом потери на Я^ должны быть не больше чем 10дБ/км. Расчётный радиус сердцевины а = Юмкм, показатели преломления слоев пг =1.449, и, =п2 +0.015. На основании анализа, изложенного в главе 3, предложен брэг-говский световод, с депрессированной сердцевиной п0 = п2 -0.001 и слоями толщиной /,=5.29мкм, /2=3.59мкм. Потери при шести периодических слоях

Л(Лц)~ 5дБ/км, при этом длина волны Л, = 1.06мкм соответствует границе зоны прозрачности и потери Л(Л,)>105 дБ/км. Изменение спектра потерь с уменьшением показателя преломления сердцевины, рассчитанное с помощью конечно-разностного метода, наглядно иллюстрируется на Рис.5. Поле основной ЬР01 моды и профиль показателя преломления представлены на Рис.6.

Глава 4 посвящена параметрическому описанию волн в периодических . средах.

Распространение монохроматических волн в среде с переменным показателем преломления п{х) описывается волновым уравнением

и" + д\х)и = 0, д(х) = кп(х), (6)

При вещественном д(х) решение уравнения (6) имеет колебательный характер. Предлагается ввести новую переменную Ц/(х):

д(х)и(х)

Ей можно придать смысл фазы осциллирующей волновой функции и(х). Если рассматривать у/ как независимый параметр и положить Ч(х)= 2(с) = </ехр[£Г(У)]> т0 можно найти в новых переменных явное решение исходного волнового уравнения (6):

1 Г1

х = Х{у) = х0 + —I-ехр[-£(^)]зт 1ц/ + 2 ]ехр[-^)]5т2 (р ¿Л, (8)

и{х) = и(у) = ]^ьтч/ ехр Я

у

-¿'(У)сов2 у/ - с1<р

(9)

где ы(х0) = 0, и'(х0) = 1. Формулы (8)-(9) описывают решения уравнения (6) для очень широкого класса коэффициентов </(х). В главе 4 показано, что при произвольном периодическом коэффициенте g(l// + я) = g(y/), волновая функция имеет хорошо известный блоховский вид и(х) = и^д:)ехр(-уд:/Л), -м{х + 2А) = -м(х), и, самое главное, что декремент затухания и(х) равен

'= ]#(?') Б"! 2<р с!<р. (10)

V -

о

Выражение (10) является точным математическим описанием параметрического резонанса: при совпадении периода модуляции параметров осциллятора или периода среды распространения соответственно с полупериодом колебаний или с

u(x), от.ед. 2,0

t\/v\

10 X, мкм

n(x) -2,5

2,0 1,5 1.0 0,5 0,0 -0,5

Рис.7. Решение ы(лг) и показатель преломления п(х), случай без затухания Ь2= 0.

и(х), от.ед. 2,0 1.5 1,0 0,5 0,0 -0,5 -1.0

10 x. мкм

П(х)

-2,5

Рис.8. Решение и(х) и показатель преломления п(х), случай с затуханием Ь2 *0.

длиной полуволны.

Предложенный способ построения волнового поля и соответствующего ему профиля показателя преломления радикально упрощает решение обратной задачи оптимального синтеза. Имея в замкнутой форме решение для произвольной функции . можно в явном виде выписать параметр, подлежащий оптимизации и найти функцию вор,(^)> удовлетворяющую заданным требованиям. Затем получить соответствующую волновую функцию £/ор1(у) и по формулам (8)-(9) вернуться к физической переменной х = Х(\(/). Таким образом, будет найден оптимальный профиль <7ор1(х) = и явный вид волнового поля

"орД*)= с искомыми параметрами.

В общем случае, т.к. л -периодическая функция g(y) разлагается в ряд Фурье, вклад в затухание поля в периодическом многослойнике дает только гармоника Ьг эт 2у/, при этом декремент затухания равен у = я"£2/2. Это позволяет конструировать бесконечное число структур, в которых волны не затухают или затухают с заранее определенным декрементом затухания. Например, на Рис.7 изображена незатухающая волна в структуре с периодически изменяющимся показателем преломления, логарифм которого \пп(х) = g(^|/) + \nq не содержит гармонику Ь2ъ\п2у/ в разложении по фазовому параметру. Добавление ненулевой компоненты Ь2 в функцию g{^^/) автоматически приводит к убывающей волне (Рис.8).

С помощью приведенного анализа можно построить гладкий профиль по-

казателя преломления, близкий к оптимальному четвертьволновому профилю. Для этого необходимо принять (){ч/) = 1] е.щ>(8$\п2ц/), ц = к^п1п2 , 3 = 1п. Тогда декремент затухания волны будет равен У = ят1т1/4, где максимальный декремент затухания = \п(п1/п2) соответствует четвертьволновому профилю (Рис.9).

Нужно отметить ряд привлекательных свойств предлагаемой модели:

- простота и возможность явного вычисления интересующих параметров решения;

- адекватность физическим представлениям о параметрическом резонансе;

- пригодность для описания высококонтрастных многослойни-ков (в отличие от теории возмущений);

- более реалистичный (гладкий) профиль показателя преломления по сравнению с обычно используемыми ступенчатыми структурами;

- для гладкого профиля, близкого к ступенчатому четвертьволновому, декремент затухания составляет т/4 от абсолютного максимума.

Глава 5 посвящена разработке метода параболического уравнения (МПУ) для моделирования изгиба слабоконтрастных брэгговских волноводов.

Поясним коротко приближение МПУ [И]. Пусть электромагнитная волна, распространяющаяся преимущественно вдоль оси г, имеет только одну компоненту электрического поля Ег-Е{х,г). В случае малого контраста (4) напряженность электрического поля можно представить в виде Е = и(х,г)ехрОкг), к = кп , при этом медленно меняющаяся амплитуда и(х,г) удовлетворяет параболическому уравнению Ик ди/дг + д2и/дх2 + к 2а(х,г) = 0.

Поскольку основными модами брэгговского волновода являются выте-

Рис.9. Решения и(х) и показатели преломления п(х): сплошные и штриховые линии относятся соответственно к ступенчатому четвертьволновому профилю и профилю, содержащему только одну фазовую гармонику Ь2 8Ш2((/ .

кающие моды, выбранный вычислительный метод должен корректно описывать эффекты их излучения в свободное пространство. Важной особенностью МПУ является возможность постановки точных условий прозрачности на границе моделируемой области, где среда считается однородной. Такие условия получаются из сшивки решения параболического уравнения на границе вычислительной области с аналитическим решением в однородной среде [12]. В главе 5 развивается этот метод в применении к задачам установления и вытекания мод в брэг-говских волноводах с изгибом.

Параболическое уравнение в криволинейных координатах (х,г), где г -длина дуги кривой с кривизной % (радиус кривизны р = \/х)> а х ~ расстояние по нормали к этой кривой, записывается как

~.тди ди Г2 2ik— + —т+к & дх

п

и= 0.

(И)

Брэгговский волновод, заданный показателем преломления п = п{х), ограничен в поперечном направлении |х| < В. При |х| > В среда считается однородной с и = п . Граничное условие прозрачности, описывающее свободное вытекание, было найдено в работе [12]. В главе 5 получены более простые формулы, справедливые в приближении малой кривизны|р|» В:

дu(B,z) \du(B,z-z')

дх

2+(г') = -ехр(-/>/4),

F

dz

-Q*(z')dz ,

■¡Juv

ехр(/]xkBz')-2iJxkBz J exp(it2)dt

(12)

Разностная аппроксимация параболического уравнения (11) выполнялась с помощью абсолютно устойчивой неявной шеститочечной схемы Кранка-Николсона, затем система разностных уравнений решалась методом прогонки.

Первоначально рассматривался прямолинейный плоский брэгговский волновод с тремя периодическими слоями, оптимизироваными под длину волны Я = 1 мкм. Начальная амплитуда пучка выбиралась в виде косинуса г/|_о = со$(л:х/2а) при |х| < а и 0 =0 при |х| > а. На Рис.10-11 показано рассчитанное численно распределение амплитуды поля в продольном сечении волновода. Эти рисунки наглядно показывают роль интерференционных эффектов в формировании волноводной моды. Найдя поток энергии

Рис.10. Амплитуда поля в брэгговском волноводе при Л = 1 мкм, брэгговские слои имеют эффективную оптическую толщину кратную Л/4 (Л-«поперечная длина волны»).

Рис.11. Амплитуда поля в брэгговском волноводе при Л = 0.5мкм, брэгговские слои имеют оптическую толщину кратную Л/2.

50 .. ■

■ (

V г

40---

30

7 7.5 8 г, мкм х 10

60

3 40": ш

4

<" 20 -0.

43

42" 41

4.42

4.45 2, мкм хЮ5

43 42 41

1.498 1.499 1.5 2, мкм Х106

О 3 6 9 12 15 г,мкм хЮ5

Рис.12. Зависимость потерь в брэгговском волноводе от расстояния вдоль волновода г, штриховая линия соответствует потерям, полученным конечно-разностным методом.

Л =1мкм.

Р = |г/(х,б/л", несложно вычислить потери /Г = {-1/2Р)(с/Р/с/г) (Рис.12). Для малых 2 0 10 см количество возбужденных в волноводе мод велико, а так как каждая мода имеет свою комплексную /?, то амплитуда результирующей волны и(х,г) осциллирует и, как следствие, потери тоже . При г -30-^50 см интерферируют две слабозатухающие моды - колебания потерь имеют вид гармонической функции; далее при увеличении г амплитуда осцилляции уменьшается - остается практически одна ТЕ, мода с наименьшим затуханием. Потери, вычисленные с помощью конечно-разностного метода (.4 = 41.37 дБ/км), совпа-

15

дают с потерями, вычисленными с помощью МПУ (А = 41.5±0.3дБ/км). Это демонстрирует хорошую точность МПУ и возможность его применения для вычисления затухания в изогнутых брэгговских волноводах.

При изгибе брэгговского волновода его зонная структура изменяется таким образом, что эффективный модовый показатель преломления /?'¡к выходит из запрещенной зоны [8]. Это приводит к резкому уменьшению коэффициента отражения брэгговской оболочки и увеличению излучательных потерь. В главе 5 МПУ используется для количественного расчета этого эффекта.

На Рис.13 представлено вычисленное с помощью МПУ распределение амплитуды поля |и(х,г)| в брэгговском волноводе с радиусом изгиба р = 8см. Интенсивное вытекание излучения происходит через верхнюю по отношению к центру кривизны оболочку. Это хорошо видно по асимметричному поперечному распределению поля (Рис. 14). При уменьшении радиуса изгиба волновода возрастают потери. Критический радиус изгиба, т.е. радиус, при котором значительно увеличиваются излучательные потери, рс~50см (Рис.15). Действительно, при р :» рс потери почти не зависят от р, тогда как при р < рс они резко увеличиваются по сравнению с прямым волноводом. Если еще увеличить изгиб, то при р~1ш произойдет срыв основной ТЕ, моды. В волноводе останутся (с малой амплитудой) только захваченные оболочкой моды, локализованные в слоях с повышенным показателем преломления (Рис.16) Процесс такой трансформации мод при увеличении изгиба имеет весьма сложный характер и вряд ли может быть количественно описан без детальных численных расчетов.

Рис.13. Амплитуда поля в брэгговском волноводе с радиусом изгиба /о = 8см, Л = ! мкм.

-50 -40 -30 -20 -10 О 10 20 30 40 50 X. мкм

Рис.14. Поперечное распределение амплитуды г/(.г,г) в брэгговском волноводе с радиусом изгиба р - 8см, Л = 1 мкм.

А, дБ/км

ю4

10

102

10'

■л = 0

Р ~50см

50

0

с! -50

-100

м

X -150

3

-200

-200

20 40 60 80 100 г. см

Рис.15. Зависимости потерь в брэгговском волноводе от радиусах изгиба р, штриховая линия соответствует потерям полученным конечно-разностным методом, Л = 1 мкм.

п(х)

т

и(х.г)

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 X, МКМ

Рис.16. Поперечное распределение амплитуды и(х, г) в брэгговском волноводе с радиусом изгиба р = 7см (г = 150см, Л = 1мкм).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Для решения задачи поиска полного спектра мод брэгговского световода разработан конечно-разностный метод, сводящий спектральную задачу к матричному уравнению на собственные значения, которое решается методами линейной алгебры. Этот подход позволяет избежать решения трансцендентного дисперсионного уравнения, обладает высокой вычислительной эффективностью и единым образом описывает захваченные и вытекающие моды. С помощью данного метода выполнено моделирование реальных брэгговских световодов.

2. Проведён анализ областей прозрачности брэгговского волновода с диэлектрической сердцевиной. Показано, что относительно небольшое уменьшение показателя преломления сердцевины позволяет увеличить радиационные потери на нежелательном участке спектра, сохраняя низкие потери основной моды на рабочей длине волны. Рассчитан брэгговский световод с депрессированной сердцевиной для неодимового волоконного лазера, в котором потери основной моды на длине волны 0.925мкм в ~ 104раз меньше, чем на близкой длине волны 1 .Обмкм.

3. Предложен метод фазовой параметризации одномерного волнового уравнения, позволяющий найти его аналитическое решение при произвольной зависимости показателя преломления от фазового параметра. Найденная форма решения использована для исследования структуры волновой функ-

ции при периодической модуляции показателя преломления. Впервые получены явные выражения для фундаментальной системы решений и декремента затухания. Приведены примеры применения метода к задачам оптимального конструирования многослойного интерференционного зеркала и брэгговского волновода.

4. Найдена аналитическая форма и осуществлена численная аппроксимация граничных условий прозрачности для параболического волнового уравнения в криволинейных координатах. Продемонстрировано соответствие решений, получаемых методом параболического уравнения, решениям спектральной задачи, определяющей моды брэгговского волновода. Выполнено численное моделирование амплитуды поля, потока энергии и из-гибных потерь в зависимости от радиуса кривизны и параметров брэгговского волновода.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] J.D. Joannopouls, S.G. Johnson, J.N. Winn, et al., Photonic Crystals (New Jersey: Princeton University Press, 2008).

[2] P. Yeh, A. Yariv, and E. Marom, "Theory of Bragg fiber", J. Opt. Soc. Am., 68, pp.1196-1201 (1978).

[3] Y. Xu, G.X. Ouyang, R.K. Lee, and A. Yariv, "Asymptotic Matrix Theory of Bragg Fibers", J. Lightwave Techno!., 20, pp.428-440 (2002).

[4] A. Mayer, J.-P. Vigneron, "Accuracy-control techniques applied to stable transfer-matrix computations", Phys. Rev.E, 59, pp.4659-4666 (1999).

[5] A. Abeeluck, N. Litchinitser, C. Headley, and B. Eggleton, "Analysis of spectral characteristics of photonic bandgap waveguides", Opt. Express, 10, pp. 13201333 (2002).

[6] S. Février, D. Gaponov, P. Roy, M.E. Likhachev, et al., "High-power photonic-bandgap fiber laser", Opt. Lett., 33, pp.989-991 (2008).

[7] А. Снайдер, Дж. Лав, Теория оптических волноводов (Москва: Радио и связь, 1987).

[8] Т.А. Birks, F. Luan, G.J. Pearce, A. Wang, J.C. Knight, and D. M. Bird, "Bend loss in all-solid bandgap fibres", Opt. Express, 14, pp.5688-5698 (2006).

[9] Yu.A. Uspcnskii, E.E. Uzorin, A.V. Vinogradov, M.E. Likhachev, et al., "Effect of polymer coating on leakage losses in Bragg fibers", Optics Letters, 32(10), pp. 1202-1204 (2007).

[10] И.А. Буфетов, В.В. Дудин, А.В. Шубин, А.К. Сенаторов и др., "Эффективный неодимовый одномодовый волоконный лазер, работающий в области 0.9 мкм", Квант, электроника, 33 (12), с.1035-1037 (2003).

[11] В.А Фок, Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн (Москва: Советское радио, 1970).

[12] A.V. Popov, "Accurate modeling of transparent boundaries in quasi-optics", Radio Science, 31(6), pp.1781-1790 (1996).

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[Al] A.V. Popov, D.V. Prokopovich, A.V. Vinogradov: "Analytical and Computational Aspects of Bragg Fiber Design", 4th International Workshop on Electromagnetic Wave Scattering, Gebze, Turkey, September 18-22 (2006), abstract book: pp.255- 258.

[A2] A.V. Popov, D.V. Prokopovich, A.V. Vinogradov: "Analytical Approach to Bragg Fiber Design: Scalar Approximation", 9th International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON '07), Rome, Italy, July 1-5 (2007), Vol.2, pp.84-87.

[A3] Д.В. Прокопович, А.В. Попов, А.В. Виноградов: "Аналитическая оптимизация структуры брэгтовских световодов", Фотон-Экспресс, 6(62), с. 149150 (2007).

[А4] A.V. Popov, A.V. Vinogradov A., D.V. Prokopovich: "Model problem of Bragg fiber design", 10th International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON '08), Athens, Greece, June 22-26 (2008), Vol.1, pp.242-245

[A5] Д.В. Прокопович, А.В. Попов, А.В. Виноградов: "Скалярная теория слабоконтрастных брэгтовских волноводов", Квантовая Электроника, 37(9), с.873-880 (2007).

[А6] D.V. Prokopovich, A.V. Popov and A. V. Vinogradov: "Analytical and Numerical Aspects of Bragg Fiber Design", Progress In Electromagnetics Research B, 6, pp.361-379 (2008).

[A7] Д.В. Прокопович, А.В. Попов, А.В. Виноградов: "Численное моделирование изгиба пленарных брэгтовских волноводов", Краткие сообщения по физике ФИАН, 35(12), с.39-50 (2008).

[А8] Д.В. Прокопович: "К расчету частотной полосы брэгговского световода", Квантовая Электроника, 39(1), с. 105-109 (2009).

Подписано в печать //у

Формат 60x84/16. Заказ № 30■ Тираж/#?экз. Х\.п./,У.

Отпечатано в РИИС ФИАН с оригинал-макета заказчика. 119991 Москва, Ленинский проспект, 53. Тел. 499 783 3640

Глава 1. Введение.

1.1 Актуальность темы работы.

1.2 , Цели работы.

1.3 Научная новизна работы.

1.4 Практическая значимость работы.

1.5 Основные методы.

2.2 Уравнения для планарного волновода.14

2.3 Конечно-разностная схема решения краевой задачи для планарного волновода.16

2.4 Уравнения для цилиндрического волновода.19

2.5 Конечно разностная схема решения краевой задачи для цилиндрического волновода.22

2.6 Скалярное приближение.25

2.7 Выводы.30

Глава 3. Оптимизация брэгговских световодов.31

3.1 Введение.;.31

3.2 Модель брэгговского волновода.32

3.3 Анализ модели.37

3.4 Практическое применение модели.39

3.5 Выводы.41

Глава 4. Параметрическое описание волн в периодических средах.42

4.1 Введение.42

4.2 Параметрическое решение волнового уравнения.43

4.3 Периодический показатель преломления. Решения Флоке.46

4.4 Приложение к задаче синтеза интерференционного зеркала.50

4.5 Приложение к задаче синтеза брэгговского волновода.56

4.6 Выводы.59

Глава 5. Численное моделирование процессов установления мод и изгибных потерь в планарных брэгговских волноводах методом параболического уравнения.60

5.1 Введение в метод параболического уравнения.60

5.2 Основные уравнения.64

5.3 Численная реализация.69

5.4 Результаты численного моделирования для однородной среды.71

5.5 Моделирование брэгговского волновода без изгиба.74

5.6 Моделирование брэгговского волновода с изгибом.77

5.7 Выводы.83

Приложение А.85

Приложение Б.87

Приложение В.89

Приложение Г.92

Основные результаты и выводы.94

Список публикаций по теме диссертации.96

Список литературы.98

Основные результаты и выводы

В работе получены следующие основные результаты

1. Для решения задачи поиска полного спектра мод брэгговского световода разработан конечно-разностный метод, сводящий спектральную задачу к матричному уравнению на собственные значения,ь которое решается методами линейной алгебры. Этот подход позволяет избежать решения трансцендентного дисперсионного уравнения, обладает высокой вычислительной эффективностью и единым образом, описывает захваченные и вытекающие моды. С помощью данного метода выполнено моделирование реальных брэгговских световодов.

2. Проведён анализ областей прозрачности брэгговского волновода с диэлектрической сердцевиной. Показано; что относительно небольшое уменьшение показателя преломления сердцевины позволяет увеличить радиационные потери на нежелательном участке спектра, сохраняя низкие потери основной моды на рабочей длине волны. Рассчитан брэггов-ский световод с депрессированной сердцевиной-для неодимового волоконного лазера, в* котором потери основной моды на длине волны 0.925 мкм в ~104раз меньше, чем на близкой длине волны 1.06мкм\

3. Предложен метод фазовой параметризации одномерного волнового уравнения, позволяющий найти его аналитическое решение при произвольной зависимости показателя преломления от фазового параметра. Найденная форма решения использована для исследования структуры волновой функции при периодической модуляции показателя преломления. Впервые получены явные выражения для фундаментальной системы решений и декремента затухания. Приведены примеры применения метода к задачам оптимального конструирования многослойного интерференционного зеркала и брэгговского волновода.

4. Найдена аналитическая форма и осуществлена численная аппроксимация граничных условий прозрачности для параболического волнового уравнения в криволинейных координатах. Продемонстрировано соответствие решений, получаемых методом параболического уравнения, решениям спектральной задачи, определяющей моды брэгговского волновода. Выполнено численное моделирование амплитуды поля, потока энергии и изгибных потерь в зависимости от радиуса кривизны и параметров брэгговского волновода.

Список публикаций по теме диссертации

Al] A.V. Popov, D.V. Prokopovich, A.V. Vinogradov: "Analytical and Computational Aspects of Bragg Fiber Design", 4th International Workshop on Electromagnetic Wave Scattering, Gebze, Turkey, September 18-22 (2006), abstract book: pp.255- 258.

A2] A.V. Popov, D.V. Prokopovich, A.V. Vinogradov: "Analytical Approach to Bragg Fiber Design: Scalar Approximation", 9th International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON '07), Rome, Italy, July 1-5 (2007), Vol.2, pp.84-87.

A3] Д.В. Прокопович, A.B. Попов, A.B. Виноградов: "Аналитическая оптимизация структуры брэгговских световодов", Фотон-Экспресс, 6(62), с. 149150 (2007).

А4] A.V. Popov, A.V. Vinogradov A., D.V. Prokopovich: "Model problem of Bragg fiber design", 10th International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON '08), Athens, Greece, June 22-26 (2008), Vol.1, pp.242-245.

A5] Д.В. Прокопович, A.B. Попов, A.B. Виноградов: "Скалярная теория слабоконтрастных брэгговских волноводов", Квантовая Электроника, 37(9), с.873-880 (2007).

А6] D.V. Prokopovich, A.V. Popov and A. V. Vinogradov: "Analytical and Numerical Aspects of Bragg Fiber Design", Progress In Electromagnetics Research B, 6, pp.361-379 (2008).

А7] Д.В. Прокопович, A.B. Попов, A.B. Виноградов: "Численное моделирование изгиба планарных брэгговских волноводов", Краткие сообщения по физике ФИЛИ, 35(12), с.39-50 (2008).

А8] Д.В. Прокопович: "К расчету частотной полосы брэгговского световода", Квантовая Электроника, 39(1), с.105-109 (2009).

1. J.D. Joannopouls, S.G. Johnson, J.N. Winn, et al., Photonic Crystals (New Jersey: Princeton University Press, 2008).

2. J.D. Joannopoulos, "Photonics: Minding the gap," Nature, 375, 278 (1995).

3. P. Yeh, A. Yariv, and E. Marom, "Theory of Bragg fiber," J. Opt. Soc. Am., 68, 1196-1201 (1978).

4. Y. Fink, D.J. Ripin, S. Fan, C. Chen, J.D. Joannopoulos, and E.L. Thomas, "Guiding Optical Light in Air Using an All-Dielectric Structure," J. Lightwave TechnoL, 17, 2039 (1999).

5. S. Johnson, M. Ibanescu, M. Skorobogatiy, O. Weisberg, T. Engeness, M. Soljacic, S. Jacobs, J. Joannopoulos, and Y. Fink, "Low-loss asymptotically singlemode propagation in large-core OmniGuide fibers," Opt. Express, 9, 748-779 (2001).

6. M. Soljacic, E. Lidorikis, M. Ibanescu, S. Johnson, J. Joannopoulos, and Y. Fink, "Optical testability and cutoff solitons in photonic bandgap fibers," Opt. Express, 12, 1518-1527 (2004).

7. T. Engeness, M. Ibanescu, S. Johnson, O. Weisberg, M. Skorobogatiy, S. Jacobs, and Y. Fink, "Dispersion tailoring and compensation by modal interactions in OmniGuide fibers," Opt. Express, 11, 1175-1196 (2003).

8. B. Pal, S. Dasgupta, and M. Shenoy, "Bragg fiber design for transparent metro networks," Opt. Express, 13, 621-626 (2005).

9. А.В. Виноградов, А.Н. Митрофанов, "Структура границы сердцевина -оболочка и излучательные потери планарных брэгговских волноводов с полой сердцевиной," Квант, электроника, 38(11), 1039-1044 (2008).

10. А.С. Бирюков, Е.М. Дианов, "Передача энергии по волоконным световодам," Квантовая электроника, 37(4), 379-382 (2007).

11. С.М. Bowden and A.M. Zheltikov, "Nonlinear Optics of Photonic Crystals," J. Opt Soc. Am. B, 19, 2046-2048 (2002).

12. S. Johnson, M. Ibanescu, M. Skorobogatiy, O. Weisberg, T. Engeness, M. Soljacic, S. Jacobs, J. Joannopoulos, and Y. Fink, "Low-loss asymptotically singlemode propagation in large-core OmniGuide fibers," Opt. Express, 9, 748-779 (2001).

13. S. Février, R. Jamier, J. Blondy, S.L. Semjonov, M.E. Likhachev, M.M. Bubnov, E.M. Dianov, V.F. Khopin, M.Y. Salganskii, and A.N. Guryanov, "Low-loss singlemode large mode area all-silica photonic bandgap fiber," Opt. Express, 14, 562-569 (2006).

14. J Marcou, F Brechet and Ph. Roy, "Design of weakly guiding Bragg fibres for chromatic dispersion shifting towards short wavelengths," J. Opt. A: Pure Appl. Opt.,3, 144-153(2001).

15. Y. Xu, G.X. Ouyang, R.K. Lee, and A. Yariv, "Asymptotic Matrix Theory of Bragg Fibers," J. Lightwave Technol., 20,428 (2002).

16. Y. Xu, A. Yariv, J. Fleming, and S. Lin, "Asymptotic analysis of silicon based Bragg fibers," Opt. Express, 11, 1039-1049 (2003).

17. T. Kawanishi and M. Izutsu, "Coaxial periodic optical waveguide," Opt. Express, 7, 10-22 (2000).

18. C.M. de Sterke, I.M. Bassett and A.G. Street, "Differential losses in Bragg fibres," J. Appl. Phys., 76, 680 (1994).

19. A. Mayer, J.-P. Vigneron, "Accuracy-control techniques applied to stable transfer-matrix computations," Phys. Rev.E, 59. 4659-4666 (1999).

20. A. Argyros, "Guided modes and loss in Bragg fibres," Opt. Express, 10, 14111417 (2002).

21. T. Engeness, M. Ibanescu, S. Johnson, O. Weisberg, M. Skorobogatiy, S. Jacobs, and Y. Fink, "Dispersion tailoring and compensation by modal interactions in OmniGuide fibers," Opt. Express, 11, 1175-1196 (2003).

22. M. Борн, Э. Вольф, Основы оптики (Москва: Наука, 1973, гл. 1).

23. А. Ярив, П. Юх, Оптические Волны в Кристаллах (Москва: Мир, 1987).

24. S. Février, D. Gaponov, P. Roy, M.E. Likhachev, S.L. Semjonov, M.M. Bubnov, E.M. Dianov, M.Yu. Yashkov, V.F. Khopin, M.Yu. Salganskii, and A.N. Guryanov, "High-power photonic-bandgap fiber laser," Opt. Lett., 33, 989-991 (2008).

25. А. Снайдер, Дж. Лав, Теория оптических волноводов (Москва: Радио и связь, 1987).

26. Д. Маркузе, Оптические волноводы (Москва: Мир, 1974).

27. Т.А. Birks, J.C. Knight, and P.St J. Russell, "Endlessly single-mode photonic crystal fiber," Opt. Lett., 22, 961-963 (1997).

28. J.C. Baggett, T.M. Monro, K. Furusawa, D.J. Richardson, "Understanding bending losses in holey optical fibers," Optics Communications, 227, 317-335 (2003).

29. A. Argyros, T.A. Birks, S.G. Leon-Saval, C.M.B. Cordeiro, and P.St.J. Russell, "Guidance properties of low-contrast photonic bandgap fibres," Opt. Express, 13, 2503-2511 (2005).

30. T.A. Birks, F. Luan, G.J. Pearce, A. Wang, J.C. Knight, and D.M. Bird, "Bend loss in all-solid bandgap fibres," Opt. Express, 14, 5688-5698 (2006).

31. C. Durniak and J.D. Love, "Bending Effects in Finite-Cladding Single-Mode Slab Waveguides," J. Lightwave Technol., 25, 3634-3640 (2007).

32. A.V. Popov, A.V. Vinogradov, R.M. Fechtchenko, Y.A. Uspenskii, and E.M. Dianov, "Qualitative theory and modeling of hollow Bragg waveguides," ICTON-2003, Warsaw (2003), Conf. Proc., Vol.1,206-211.

33. S. Fevrier, P. Viale, F. Gerome, P. Leproux, P. Roy, J.-M. Blondy, B. Dussardier, and G. Monnom, "Very large effective area singlemode photonic bandgap fiber," Electron. Lett., Vol.39, No. 17, 1240-1242 (2003).

34. S. Fevrier, S. Semjonov, V. Khopin, et al., "Low loss large mode area Bragg fibre," ECOC-2005, Glasgow, UK (2005), Proc., Th. 4.4.3.

35. R. Ramaswami and K.N. Sivarajan, Optical Networks: A Practical Perspective (London: Academic Press, 1998).

36. Е.И. Голант, K.M. Голант, "Новый метод расчета спектра и радиационных потерь вытекающих мод многослойных оптических волноводов," ЖТФ, 76(8), 100 (2006).

37. В. Liu, A. Shakouri, J.E. Bowers, "Characteristic equations for different ARROW structures," Optical and Quantum Electronics, Vol.31, No.12, 1267-1276 (1999).

38. А.А Самарский, Теория разностных схем (Москва: Наука, 1977).

39. JI.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Квантовая механика (Москва: Наука, 1989).

40. R. Jamier, P. Viale, S. Fevrier, J.M. Blondy, S.L. Semjonov, M.E. Likhachev, M.M. Bubnov, E.M. Dianov, V.F. Khopin, M.Y. Salganskii, and A.N. Guryanov,

41. Depressed-index-core singlemode bandgap fiber with very large effective area," OFC/NFOEC2OO6, Anaheim, California, USA (2006) Tech. Digest.

42. Yu.A. Uspenskii, E.E. Uzorin, A.V. Vinogradov, M.E. Likhachev, S.L. Semjonov, M.M. Bubnov, E.M. Dianov, R. Jamier, S. Fevrier, "Effect of polymer coating on leakage losses in Bragg fibers", Optics Letters, 32(10), 1202-1204 (2007).

43. G.R. Hadley, J.G. Fleming, and S.-Yu Lin, "Bragg fiber design for linear polarization," Opt. Lett., 29, 809-811 (2004).

44. Д.В. Богданович, "Минимизация потерь и расчет оптических свойств брэгговских волоконных световодов с полой сердцевиной," Письма в ЖЭТФ, 86(4), 265-269 (2007).

45. С. Lin, W. Zhang, Y. Huang et al., Applied Physics Letters, 90, 031109 (2007).

46. A. Wang, A.K. George, and J.C. Knight, "Three-level neodymium fiber laser incorporating photonic bandgap fiber," Opt. Lett., 31, 1388-1390 (2006).

47. L. Bigot, V. Pureur, Y. Jaouen, et al., "Ytterbium-doped 2D solid core photonic bandgap fiber for laser operation at 980 nm," ECOC-2007, Berlin, Germany (2007), Proc., Th. 1.4.5.

48. A. Abeeluck, N. Litchinitser, C. Headley, and B. Eggleton, "Analysis of spectral characteristics of photonic bandgap waveguides," Opt. Express, 10, 13201333 (2002).

49. N.M. Litchinitser, S.C. Dunn, B. Usner, BJ. Eggleton, T.P. White, R.C. McPhedran, and C. Martijn de Sterke, "Resonances in microstructured optical waveguides," Opt. Express, 11, 1243-1251 (2003).

50. I. Alam and J. Sakai, "Classification and properties of radiation and guided modes in Bragg fiber," Opt. Commun., 250, 84 (2005).

51. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, ч. 3 (Москва: Наука, 1967).

52. Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон, Курс современного анализа, ч. 2. (Москва: УРСС, 2002).

53. JI.M. Бреховских, Волны в слоистых средах (Москва: АН СССР, 1957).

54. В.В. Бабиков, Метод фазовых функций в квантовой механике (Москва: Наука, 1988).

55. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика, т.1, Механика (Москва: Наука, 1988).

56. М.А. Leontovich, V.A. Fock, "Solution of propagation of electromegnetic waves along the earth's surface by the method of parabolic equations," J. Phys. USSR, 10, 13-23 (1946).

57. Г.Д, Малюжинец, "Развитие представлений о явлениях дифракции (к 130-летию со дня смерти Томаса Юнга)," УФН, 69(10), 320-334 (1959).

58. Ф.Д. Тапперт Метод параболического уравнения / В кн. Распространение волн и подводная акустика, под ред. Дж.Б. Келлера и Дж.С. Пападакиса (Москва: Мир, 1980).

59. J.Claerbout, Fundamentals of geophysical data processing with applications to petroleum prospecting (New York: McGraw-Hill, 1976).

60. H. Kogelnik, "On the Propagation of Gaussian Beams of Light Through Lenslike Media Including those with a Loss or Gain Variation," Appl. Opt., 4, 1562-1569 (1965).

61. J.R. Kuttler, and G.D. Dockery, "Theoretical description of the PE/Fourier split-step method of representing electromagnetic propagation in the troposphere," Radio Sci., 26, 381-393 (1991).

62. K.Kawano and T.Kitoh, Introduction to optical waveguide analysis (New York: John Wiley & Sons, 2001).

63. A.V. Popov, A.V. Vinogradov, Yu.V. Kopylov, A.N. Kurokhtin, Numerical simulation of X-ray diffractive optics (Moscow: A&B Published House, 1999).

64. M. Levy, Parabolic equation methods for electromagnetic wave propagation (London: IEE, 2000).

65. Дж. Коул, Методы возмущений в прикладной математике (Москва: Мир, 1972).

66. V.A. Baranov, A.V. Popov, "Generalization of the parabolic equation for EM waves in a dielectric layer of nonuniform thickness," Wave Motion, 17, 337-347 (1993).

67. Ю.Н. Черкашин и B.A. Чернова, "Применение метода параболического уравнения для вычисления волновых полей в неоднородной ионосфере," в ¡Дифракционные эффекты для декаметровых радиоволн в ионосфере, 22-26 (Москва: Наука, 1977).

68. Ю.Н. Черкашин, "Вычисление волновых полей в неоднородных средах используя метод параболического уравнения," Распространение декаметровых радиоволн, 5-18 (Москва: ИЗМИР АН, 1980).

69. V.A. Baskakov, A.V. Popov, "Implementation of transparent boundaries for numerical solution of the Schroedinger equation," Wave Motion, Vol.14, No.l, 123-128(1991).

70. S.W. Marcus, "A generalize impedance method for application of the parabolic approximation to underwater acoustic," J. Acoust. Soc. Am., 89, 391-398 (1991).

71. A.V. Popov, "Accurate modeling of transparent boundaries in quasi-optics", Radio Science, 31(6), 1781-1790 (1996).

72. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, Уравнения математической физики (Москва: Наука, 1977).

73. A.V. Popov, and N.Y. Zhu, "Modeling Radio Wave Propagation in Tunnelswith a Vectorial Parabolic Equation", IEEE Transactions On Antennas and Propagation, Vol.48, No.9, 1403-1412 (2000).

74. B.A Фок, Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн (Москва: Советское радио, 1970).

75. В.М. Бабич, B.C. Булдырев, Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн (Москва: Наука, 1972).

76. Г.И. Марчук, Методы вычислительной математики (Москва: Наука, 1977).

77. Р.П. Федоренко, Введение в вычислительную физику (Москва: из-во МФТИ, 1994).

78. Д.В. Сивухин, Общий курс физики, Том IV Оптика (Москва: Физматлит 3-е изд., стереот, 2005).

79. W.A. Gambling, Н. Matsumura, and С.М. Ragdale, "Curvature and microbending losses in single-mode optical fibres," Opt. Quantum Electron., 11, 43-59 (1979).

80. G. Ren, P. Shum, L. Zhang, M. Yan, X. Yu, W. Tong, and J. Luo, "Design of All-Solid Bandgap Fiber With Improved Confinement and Bend Losses," IEEE Phot. Tech. Lett., Vol.18, No.24, 2560 (2006).

81. Ю.В. Сидоров, M.B. Федорюк, М.И. Шабунин, Лекции по теории функций комплексного переменного (Москва: Наука, 1989).