Численное моделирование слабой турбулентности поверхностных волн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

I. Динамические уравнения для волн

II. Влияние эффекта Доплера на закон дисперсии волн

II. 1. Формулирование задачи и обозначения.

11.2. Спектр в присутствии эффекта Доплера

11.3. Удобный набор безразмерных переменных

И.4. Случай глубокой воды.

11.5. Результаты численного моделирования

Нелинейные волны — это одно из самых широкоизвестных и в то же время сложных физических явлений в природе. Волны в океане и рябь на поверхности чая в чашке могут быть описаны практически одинаковыми уравнениями. Все эти явления существенно нелинейны, но при этом амплитуды волн обычно намного меньше характерной длины волны. В этих условиях волны являются слабонелинейными.

Для описания статистических свойств процессов такого рода была предложена теория слабой турбулентности [1]. Были найдены точные решения полученного в рамках этой теории кинетического уравнения Хассельмана-Захарова. Данные частные решения представляют собой Колмогоровские (степенные) спектры [9].

Теория слабой турбулентности нашла применение в широком спектре областей физики: Альфеновские волны в плазме [4], турбулентность в нелинейной оптике [5], Ленгмюровские волны [6] и т.д.

Одной из важнейших областей, где может быть применена теория слабой турбулентности, являются волны на поверхности жидкости. В работе [32] в результате численного эксперимента были получены слаботурбулентные спектры для капиллярных волн на поверхности глубокой жидкости, а в работах [2, 3] эти спектры были получены прямым измерением турбулентности волн на поверхности жидкого водорода.

Но наиболее интересным представляется случай гравитационных волн на поверхности глубокой жидкости. Начиная с работы [19] и в новейших наблюдениях [24] за поверхностью океана, множество экспериментаторов получает спектры, предсказанные теорией слабой турбулентности. Однако эти эксперименты не могут трактоваться как полное и неопровержимое доказательство правоты теории, так как спектры Захарова-Филоненко [8] являются изотропными, тогда как наблюдаемые в эксперименте спектры существенно анизотропны. Кинетическое уравнение, являющееся одним из краеугольных камней теории слабой турбулентности, было выведено с использованием ряда предположений. Например, предполагается, что фазы всех взаимодействующих волн случайны и хаотически меняются. Верность этих предположений априори не ясна.

Прямое численное моделирование динамических уравнений может дать ответ на данный вопрос. Но для случая гравитационных волн численное подтверждение отсутствовало, несмотря на значительные усилия в этом направлении. Единственной относительно удачной попыткой следует признать моделирование свободно спадающих волн в работе [25]. По нашему мнению, причина этого заключается в трудности правильного выбора параметров численной схемы. Численное моделирование этих уравнений чрезвычайно чувствительно к резонансному четырехволновому взаимодействию. Амплитуды гармоник должны быть не слишком малы (чтобы обеспечить достаточную ширину резонансной кривой), но и не слишком велики (так как в этом случае на дискретной сетке могут открыться нерезонансные взаимодействия). Поэтому исследование влияния дискретности сетки волновых векторов на резонансные взаимодействия волн являлось важной задачей.

Представляло интерес разработать такую численную схему, которая сохраняет Гамильтониан системы, так как еще в конце 60-х было показано [7], что данная система является Гамильтоновой.

Кроме того, было необходимо проверить гипотезу о возможности интерпретации наблюдаемых спектров как спектров Филлипса [11], искаженных Доплеровским эффектом, обусловленным длинноволновым фоном.

Структура диссертации следующая.

В Главе I, «Динамические уравнения для волн на поверхности жидкости», приведен вывод динамических уравнений на поверхности жидкости. Записаны Гамильтониан системы и уравнения Гамильтона.

В Главе II, «Влияние эффекта Доплера на закон дисперсии волн», рассмотрена гипотеза Баннера о том, что наблюдаемые в эксперименте спектры есть не что иное, как спектры Филлипса, искаженные эффектом Доплера от длинноволнового фона.

Эта глава построена следующим образом: в разделе II. 1 мы вводим общие обозначения: в II.2 выведена общая формула для спектра в присутствии эффекта Доплера; более удобный для дальнейших выкладок набор безразмерных переменных введен в II.3; в разделе II.4 мы исследуем важный случай гравитационных волн на глубокой воде; в II.5 помещены численные результаты; раздел II.6 является заключением.

Основные результаты диссертации состоят в следующем (более подробно результаты обсуждались в Заключениях к каждой главе):

Проверена гипотеза о возможности интерпретации наблюдаемых спектров поверхностных волн как спектров, обусловленных обрушениями и возникновением острых гребней, искаженных Доплеровским эффектом от длинноволнового фона. Показано, что в случаях изотропного и сильно анизотропного спектров доплеровский сдвиг частоты не может объяснить наблюдаемого расхождения с экспериментальными данными.

Исследовано влияние дискретности сетки волновых векторов на возможность осуществления резонансных взаимодействий волн. Для случая капиллярных волн промоделирован распад монохроматической волны и начальная стадия перераспределения энергии между различными масштабами.

В случае гравитационных волн продемонстрировано рассеяние двух волн с одинаковым волновым числом в гармоники, расположенные на резонансной кривой. Наблюдалось постепенное расширение области роста, вызванное дальнейшими взаимодействиями волн.

Построена численная схема для решения уравнений динамики поверхностных слабонелинейных волн, сохраняющая Гамильтониан системы. Продемонстрирован способ обобщения данной схемы на случай присутствия накачки и затухания, важный при моделировании турбулентности поверхностных волн.

Произведено численное моделирование поверхностных гравитационных волн в случае глубокой воды. В случаях накачки разной величины получены слаботурбулентные Колмогоровские спектры, соответствующие потоку энергии в область малых масштабов. Результаты получены на сетках 256 х 256 и 512 х 512 точек. Полученные спектры поверхностных волн хорошо согласуются как с предсказаниями теории слабой турбулентности, так и с экспериментальными наблюдениями.

Автор чрезвычайно признателен проф. В. Е. Захарову за научное руководство, интересные поставленные задачи и ценные советы. Также автору хотелось бы поблагодарить А. И. Дьяченко за чрезвычайно полезное и приятное сотрудничество.

Работа над диссертацией проходила при финансовой поддержке программы Президиума РАН «Нелинейная динамика и солитоны», грантов Министерства промышленности, науки и технологий РФ N- НШ-1716.2003.1 (Государс программа поддержки научных школ) и Российского Фонда Фундаменталь

81 ных Исследований № 03-01-00289, а также Программы INTAS (Грант 00 0292) и фонда Landau Scholarship от Forschungszentrum Jtilich (Германия).

Заключение

1. V.E. Zakharov and N.N. Filonenko, ДАН СССР 170, 1292-1295 (1966).

2. M. Yu. Brazhnikov at al., Письма в ЖЭТФ 74, 12, 660-663 (2001).

3. M. Yu. Brazhnikov, G. V. Kolmakov and A. A. Levchenko, ЖЭТФ 122, 3, 521-529 (2002).

4. S. Galtier, S.V. Nazarenko, A. C. Newell and A. Pouquet, Astrophys. J., 564 L49 (2002).

5. A. I. Dyachenko, AC. Newell, A. Pushkarev and V. E. Zakharov, Physica D 57, 96 (1992).

6. S. L. Musher, A. M. Rubenchik and V. E. Zakharov, Phys. Rep. 252, 178 (1995).

7. V.E. Zakharov, J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2, 190 (1968).

8. V.E. Zakharov and N.N. Filonenko, J. Appl. Mech. Tech. Phys. 4, 506-515 (1967).

9. V. E. Zakharov, G. Falkovich, and V. S. Lvov, Kolmogorov Spectra of Turbe-lence I (Springer-Verlag, Berlin, 1992)

10. V.E. Zakharov, Eur. J. Mech. В 18, 3, 327 (1999).

11. Phillips, O.M., J. Fluid Mech.,4, 426-434, (1958).

12. Hasselman, K., J. Fluid Mech., 12, 481-500, (1962).

13. Hasselman, K., J. Fluid Mech., 15, 273-281 and 385-398,(1963).

14. Forristall, G.Z., J. Geophys. Res., 86, c9, 8075-8084, (1981).

15. Kahma, K.K., J. Phys. Oceanogr., 11, 1503-1515, (1981).

16. Donelan, M.A., Hamilton J. and Hui W.H., Phil. Trans. R. Soc. London, A315, 509-562, (1985).

17. Donelan, M.A., In: Physical Processes in Oceans and Lakes (J. Imberger, Ed.), AGU Coastal and Estuarine Studies, 54, 19-36, (1998).

18. Hansen at al., J. Phys. Oceanogr., 20, 1264-1277, (1990).

19. Y. Toba, J. Oceanogr. Soc. Jpn. 29, 209-220 (1973).

20. Phillips, O.M., J. Fluid Mech., 156, 505-531, (1985).

21. Banner, M.L., J. Phys. Oceanogr., 20, 966-984, (1990).

22. Phillips, O.M., J. Fluid Mech. 107, 465-485, (1981).

23. Kitaigorodskii, S.A., Krasitskii, V.P., Zaslavskii, M.M., J. Phys. Oceanogr., 5, 410-420, (1975).24 2526 27 [28 [2930 31 [32 [33

24. P. A. Hwang at al., J. Phys. Oceanogr. 30, 2753-2787 (2000).

25. M. Onorato, A. R. Osborne, M. Serio at al, Phys. Rev. Lett. 89, 14, 144501 (2002).

26. V. E. Zakharov and M. M. Zaslavskii, Izv. Atm.Ocean.Phys. 18, 747 (1982). А. А. Самарский, Введение в численные методы, (М.: Наука, 1982).

27. F. Dias, P. Guyenne, V.E. Zakharov, Physics Lett. A 291, 139-145 (2001).

28. V. E. Zakharov, O. A. Vasilyev and A. I. Dyachenko, Письма в ЖЭТФ 73, 2, 68-70 (2001).

29. S.Y. Annenkov and V.I. Shrira, J. Fluid Mech. 449, 341 (2001)

30. G. Falkovich, Phys. Fluids 6, 1411 (1994).

31. A. N. Pushkarev and V. E. Zakharov, Phys. Rev. Lett. 76, 3320 (1996).

32. C. Connaughton, S. Nazarenko and A. Pushkarev, Phys. Rev. E, 63, 046306 (2001).

33. E. Kartasheva, in Nonlinear Waves and Weak Turbulence, A.M.S. Translations Series 2, edited by V. Zakharov (AMS, Providence, RI, 1998), pp. 95-129.