Турбулентность и сингулярности в нелинейных волновых системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

л

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ имени Л. Д. ЛАНДАУ

На правах рукописи

УДК 532.5:517.9

Турбулентность и сингулярности в нелинейных волновых

системах

Специальность 01.01.03 - Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук Е. Н. Пелиновский, Доктор физико-математических наук А. В. Колдоба Доктор физико-математических наук Н. А. Иногамов

Ведущая организация:

Институт гидродинамики им. М. А Лаврентьева Сибирского отделения Российской Академии Наук

Защита состоится 23 июня 2005 года в 11 часов 30 минут на заседании Диссертационного Совета Д 002.207.01 Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау по адресу:

142432, г. Черноголовка, Ногинского района, Московской области, проспект академика Семенова, 1а,

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан: " 20 " мая 2005 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета, Доктор физико-математических

Л. А. Фальковский

Общая характеристика работы Актуальность темы

Интерес к исследованию волн большой амплитуды, называемых обычно волны-убийцы, появляющихся на поверхности океана "из ниоткуда", и быстро исчезающих, вполне естественен. Они представляют угрозу для моряков, из-за них теряются человеческие жизни и суда. Они очень круты. В последней стадии их развития, крутизна становится бесконечной, образуя "стену воды". Кроме того, типичная волна-убийца - отдельное событие [3]. Изучение этих волн важно как для кораблестроения, так и для проектирования нефтяных и газовых платформ на морских шельфах. Также важным является разработка методов их прогноза. Нет никаких сомнений, что волны-убийцы являются нелинейными объектами. Естественно связать появление волн-убийц с модуляционной неустойчивостью волны Стокса. Линейная теория этой неустойчивости была разработана независимо в [19] и в [5]. В данной работе (в Главе 1) численно исследуется нелинейная стадия этой неустойчивости.

Хорошо известно, что уравнения описывающие идеальную жидкость со свободной поверхностью в поле силы тяжести вполне интегрируемы в нескольких важных случаях. Интегрируемость имеет место для длинных волн на мелкой воде (Кс1У[24], для уравнения Кадомцева-Петвиашвили [9], для приближения Буссинеска[6], для спектрально узкой волны в жидкости произвольной глубины (нелинейное уравнение Шредингера [8]). Слабо нелинейное движение жидкости в отсутствии поля силы тяжести также интегрируемо [29]. Очень естественно сформулировать гипотезу, что и произвольное одномерное движение идеальной жидкости в гравитационном поле интегрируемо. Во втрой главе исследуется этот вопрос, и хотя ответ, строго говоря, отрицательный, одномерная ситуация является почти интегрируемой.

Следующая важная проблема, затронутая в диссертации - проблема Колмогоровских спектров - является ключевой в теории слабой волновой турбулентности. Эти спектры являются точными решениями стационарного кинетического уравнения для среднеквадратичных амплитуд волн [49]. Несомненно, что слаботурбулентные Колмогоровские спектры должны теоретически объяснять степенные спектральные распределения энергии в ансамблях стохастических нелинейно взаимодействующих волн любой природы. Спектры такого типа наблюдаются систематически. Самый яркий

пример такого рода - спектр е(

~ ду/( 4 " ^ 'ииодается при

возбуждении ветром гравитационных волн в море. Однако, эта точка зрения разделяется не всеми. Кроме того, самая применимость кинетического уравнения для волн к реальной ситуации также дискутируется. (См., например [33].) Вывод кинетического уравнения из исходных динамических уравнений предполагает законность предположения о хаотичности фаз, которая может быть нарушена формированием некоторых когерентных структур, таких как волновые коллапсы, солитоны или Бозе-конденсат. Фактически, эта критика имеет серьезные основания. В реальных ситуациях когерентные структуры встречаются часто, но в то же время нет причин для полного отказа от теории слабой турбулентности. Действительность многообразна, и во многих конкретных ситуациях когерентные структуры сосуществуют со слаботурбулентной компонентой, участвуя в процессы переноса и диссипации энергии и других интегралов движения.

Следовательно, есть сильная мотивация, чтобы продолжить исследование теории слабой турбулентности, исследуя тот случай, где когеретные структуры важны, и случай, где такие структуры не важны.

Научная новизна

Основные результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Впервые получены кубически нелинейные, конформные уравнения, описывающие динамику потенциального течения двумерной идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей в гравитационном поле и с учетом капиллярных сил. Проведен ряд численных экспериментов по изучению образования волн-убийц на поверхности жидкости, и их опрокидывания. Доказана неинтегрируемостъ двумерной идеальной гидродинамики со свободной границей. Впервые применены конформные канонические переменные для вычислений матричных элементов нелинейного резонансного взаимодействия волн. Впервые показана, аналитически и численно, возможность коллапса двумерном обобщении уравнения Бенджамина-Оно. Впервые численно подтверждена справедливость теории слабой турбулентности в одномерном случае. Численно и аналитически исследовано влияние когерентных структур на слаботурбулентные спектры. В численном эксперименте впервые получен слаботурбулентный Колмогоровский спектр для флукту-аций поверхности жидкости в гравитационном поле. Построена численная схема для решения уравнений динамики поверхностных волн, сохраняющая Гамильтониан.

Цель работы

Целью работы является развитие теоретических и численных методов исследования нелинейных явлений в гидродинамике идеальной жидкости со свободной границей. Особое внимание уделяется разработке эффективных численных алгоритмов, сохраняющих интегралы движения.

Также важным здесь являлся поиск интегрируемых приближений. Кроме того, проведённое исследование слаботурбулентных режимов в различных моделях имело своей целью обосновать применимость кинетических уравнений, которые позволяют с гораздо большей эффективностью моделировать волновую турбулентность, чем исходные динамические уравнения.

Практическая и теоретическая ценность работы

Полученные кубически нелинейные уравнения безвихревой двумерной гидродинамики позволяют эффективное численное моделирование нелинейных процессов на поверхности жидкости, включая такие как обрушение волн, когда граница жидкости становится неоднозначной.

Новый подход к вычислению матричных элементов (с помощью конформных канонических переменных) позволяет эффективно вычислять резонансные взаимодействия волн в двумерной потенциальной гидродинамике.

Теоретическое и численное исследование коллапса в пограничном слое объясняет экперименты по генерации когерентных структур в пограничном слое.

Наблюдениие в численных экспериментах слаботурбулентных режимов, с Колмогоровскими спектрами флуктуаций, близких к экспериментальным, позволяет применять более простые, кинетические уравнения для предсказания океанского волнения в метеорологических приложениях.

Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались заседаниях Ученого Совета и семинарах Института теоретической физики им. JL Д. Ландау РАН, а также на международных научных конференциях:

• IV International Workshop "Nonlinear and Turbulent processes in physics", Kiev, 1989.

• International Conference on Space - Time Complexity in Nonlinear Optics, Univ. of Arizona, Tucson, USA, 1990.

• International Workshop on Dynamics Structures and Intermittencies in Turbulence, Arizona State University, Phoenix, USA, 1991.

• Nonlinear Optics Workshop, Univ. of Arizona, Tucson, USA, 1993.

• International School on Turbulence, Cargese, Prance, 1993

• Ocean Waves Workshop, Univ. of Arizona, Tucson, USA, 1994.

• New achievements in the Nonlinear Schrodinger Equation, Landau Institute for Theoretical Physics, Moscow, Russia, 1994.

• Nonlinear Optics Workshop, Univ. of Arizona, Tucson, USA, 1994.

• Workshop on Collapses and Patterns in Nonlinear Optics and Lasers, Cork, Ireland, 1994

• 30th Anniversary Landau Institute Conference, Landau Institute for Theoretical Physics, Moscow, Russia, 1995.

• Workshop on Ocean Dynamics, Los Alamos, USA, 1995

• Symposium on Applied Mathematics, 70 Anniversary of M.Kruskal, Boulder, Colorado, USA, 1995

• "Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives", Институт теоретической физики им. Л.Д.Ландау Черноголовка, Россия, 3-10 августа, 1999г.

• Workshop on Singularities in Classical, Quantum and Magnetic Fluids Mathematcs Institute - University of Warwick Coventry, UK, 20 - 23 October, 2000.

• Theory and Application of Problems with Free Boundaries, Бийск, Россия, 2-6 июль, 2002.

• Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives, Институт теоретической физики им. Л.Д.Ландау Черноголовка, Россия, 18-22 августа, 2002г.

• Международная симпозиум "Topical problems of Nonlinear wave Physics", Нижний Новгород, Россия, 6-12 сентября, 2003.

• Международная конференция "Free surface water waves", Торонто, Канада, 14-18 июня, 2004г.

• Международная конференция "Frontier of Nonlinear Physics", Нижний Новгород, Россия, 5-12 июля, 2004г.

• Международная конференция "Математическая гидродинамика: модели и методы", Ростов-на-Дону, 4-8 октября, 2004г.

По теме диссертации опубликовано 20 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, семи приложений и списка литературы.

Краткое содержание работы Введение

Во введении обсуждается история и обосновывается актуальность рассматриваемых вопросов, мотивирующих работу. Сформулированы цели и приведены основные результаты работы. Коротко описана структура диссертации.

Глава 1. Конформные преобразования и Гамильтонов формализм в гидродинамике несжимаемой идеальной жидкости со свободной границей

Во введении 1.1 изложен краткий обзор известных результатов для уравнений двумерного течения идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей. Это, в первую очередь, отностится к стационарным, установившимся гравитационным волнам. Применение теории функций комплексных переменных в этой области позволило получить важные результаты, первый из которых датирован серединой прошлого века и принадлежит Стоксу [42]. Им было показано, что с ростом амплитуды стационарных гравитационных волн происходит заострение гребней волн и образуется угол, равный 120°. В двадцатые годы этого века в этом направлении были

выполнены классические работы Некрасова [15] и Леви-Чивита [31], математические аспекты которых дали мощный импульс ряду направлений теории интегральных уравнений и функционального анализа.

Для исследования нестационарной динамики поверхности в шестидесятые годы, и позже, получил развитие подход, основанный на лагранжевом описании, предложенном Биркгоффом [20]. Ряд авторов (см. обзор [32] и ссылки в нем) пытался применить метод аналитического продолжения по лагранжевым переменным. Однако, эти координаты не допускают подходящего конформного преобразования, т.к. их аналитическое продолжение имеет особенности в обеих полуплоскостях комплексного переменного.

Удобный подход описания потенциальных течений жидкости со свободной поверхностью для произвольной размерности пространства основан на использовании канонического формализма, известного с 1968 г. (см. [4]). Для двумерной геометрии наиболее естественным является подход, сочетающий канонический формализм и конформные отображения.

Этот подход описан в разделе 1.2 для случая воды произвольной глубины с учетом поля тяжести и поверхностного натяжения. Этот раздел начинается с классической постановки задачи о потенциале Ф скорости течения двумерной идеальной несжимаемой жидкости

ДФ = 0. (1)

с граничными условиями

йп r)d) fin

(2)

дг] дФ дг) дФ dt дх дх ду

Ëî + if—ï2+ if—ï2 dt 2{дх> 2 {ду>

y~V

+ 9V = 0, (3)

у=п

на свободной границе. Далее, используя вариационный принцип и конформное преобразование области занимаемой жидкостью, на нижнюю полуплоскость конформной переменной, выводятся новые уравнения для двух аналитических функций, комплексного потенциала скорости и собственно конформного преобразования. Подобные уравнения были получены Овсянниковым в [16], но другим путём.

В следующем разделе 1.3 некоторые частные приближенные решения нестационарной динамики свободной границы в отсутствии гравитационного поля и сил поверхностного натяжения.

1. В первом и втором параграфах исследован случай динамики границы с большой кривизной. Показано, что в этом случае уравнения могут

быть упрощены, и сведены к одному уравнению для конформного преобразования z(u, t) только.

\m{ztz*u) = -\. (4)

Это уравнение известно в литературе с 1945 г. [14]. Обычно его называют Laplacian Growth Equation (LGE) - уравнение лапласовского роста. Оно широко используется при описании динамики границы двух жидкостей с существенно различными вязкостями, движения границы раздела двух фаз (например, льда и воды) и роста дендритов в частности.

Уравнение (4) является интегрируемым [34], и здесь исследован класс его решений, в которых поверхность имеет "N-пальцевый''вид. Одно-пальцевое же решение было найдено Саффманом и Тэйлором [40].

2. В третьем параграфе выодятся автомодельные уравнения движения поверхности. Уравнения являются нелокальными, имеют двухпара-метрическое семейство решений. Некоторые из этих решений описывают образование особенности на границе за конечное время (особенности типа "угол", или излом). Другие же соответсвуют коллапсу за бесконечное время.

В разделе 1.4 получены точные, кубически нелинейные уравнения, описывающие потенциальное течение двумерной несжимаемой жидкости в гравитационном поле. Переменными, в которых уравнения становятся кубическими, являются функция, обратная производной конформного преобразования области занимаемой жидкостью, на нижнюю полуплоскость, и комплексная потенциальная скорость течения:

R = —, Ф№ = ~iVzw. (5)

Для этих функций уравнения приобретают весьма изящную форму: Rt = i(UR' - U'R),

Ц = i(UV - RP'iVV)) + g(R - 1). (6)

Здесь

U = P{VR + VR).

P - линейный интегральный оператор, оператор проектирования. Они являются уравнениями переноса, но действуют в комплексной плоскости. Важную роль в этих уравнениях играет комплексная скорость переноса

U. Она переносит нули функции R(w,t), которые являются особыми точками конформного отображения z(w,t).

В уравнениях (6) легко учесть и поверхностное натяжение, следует лишь заменить второе уравнение на

Vt = i(UV' - rp(VV) + g(R - 1)) - 2oRP'(Q'Q - Q'Q),

где cr - это коэффициент поверхностного натяжения, a q = Vr.

Раздел 1.5 посвящен в основном численному моделированию образования волн-убийц.

В первом параграфе обсуждаются различные возможные механизмы образования гигантских волн, и в частности нелинейная стадия модуляционной неустойчивости волны Стокса. Теория этой неустойчивости была разработана независимо в [19] и в [5]. Развитие этой неустойчивости приводит к появлению волн чрезвычайно большой амплитуды, так называемых freak waves, волн-убийц или гигантских волн. Эти волны - хорошо известная опасность для моряков (см., например[30]).

Эволюция модулированной нелинейной волны Стокса описывается нелинейным уравнением Шредингера (NLSE), полученном в [4]. Это уравнение интегрируемо (см. [8]), и является первым членом в иерархии уравнений огибающих, описывающих пакеты гравитационных поверхностных волн. Второй член в этой иерархии был вычислен Дысте в[23], следующий был найден несколько лет назад в[43].

Начиная с первой работы [41], много авторов пробовали объяснить формирование волн-убийц в рамках NLSE и его обобщений, как уравнение Дысте. Обширная научная литература посвящена этому предмету. Список, представленный ниже длинен, но неполон: [18, 21, 35, 36, 37, 38, 43, 44, 45, 46]. Обзор различных возможных механизмов формирования волн-убийц дан в [27, 12].

Явление образования волны-убийцы можно было бы объяснить, если бы решения для уравнения огибающих с амплидудой, большей некоторой критической, были бы неустойчивы и коллапсировали. В то время как в рамках одномерного уравнения NLSE солитоны устойчивы, улучшенная модель должна иметь некоторый порог по амплитуде для устойчивости со-литона. Неустойчивость солитона большой амплитуды и его дальнейший коллапс могли бы быть надлежащим теоретическим объяснением происхождения волн-убийц.

Этот сценарий наблюдался в численном эксперименте в эвристической одномерной модели Maida-McLaughlin-Tabak (ММТ-модель) (см. [33]) для одномерной волновой турбулентности [48].

В наших численных экспериментах наблюдался другой сценарий. А именно, волна-убийца появляется в модулированном цуге волн. Образование волны-убийцы похожа на развитие некоторого дефекта на периодической сетке, являющейся периодической волной Стокса.

Самый прямой способ доказать справедливость вышеизложенных сценариев формирования волны-убийцы - численное моделирование уравнения Эйлера, описывающего потенциальные течения идеальной жидкости со свободной поверхностью в поле тяготения.

Во втором параграфе, вначале обсуждается конретный выбор уравнений, которые будут численно интегрироваться, выбраны уравнения (6), а схема интегрирования - метод Рунге-Кутта 4-го порядка аппроксимации по времени, и спектральная по пространству [50].

Начальные данные выбирались как цуг точных волн Стокса в котором было от 10 до 50 гребней (с периодическими ганичными условиями в области 2ж), и крутизной (I = 0.1 ~ 0.15. Этот цуг был промодулирован длинноволновым возмущением малой амплитуды. Для того, чтобы задать волну Стокса, необходимо было решить стационарное уравнение

-<?Уи + дууч + дН{у{ 1 + хи)) = о. (7)

Для его решения был разработан специальный алгоритм. Далее приведены типичные картины профиля границы жидкости до появления волны-убийцы, Рисунок 1, и в момент времени непосредственно перед её опроки-

дыванием, Рисунок 2.

Амплитуды волн, бегущих впереди волны-убийцы - относительно малы (в три раза меньше). Можно видеть глубокую впадину перед волной-убийцей. Это - так называемая "дыра в воде"или "hole in the water"(морской фольклор), которая предшествует волне-убийце. Можно видеть, что около гребня передний фронт волны очень крут. Это - действительно "стена воды". В некоторой области крутизна даже отрицательна (где поверхность неоднозначна). Начало опрокидывания представлено на Рисунке 3. Весьма важной характеристикой волны является также плотность импульса. Именно эта величина может представлять опасность для морских судов и платформ. Рисунок 4 демонстрирует как происходит концентрация плотности горизонтального импульса к моменту образования волны-убийцы.

В разделе 1.6 анализируются результаты численного моделирования, и делается вывод о том, что волна-убийца появляется в результате развития модуляционной неустойчивости (если порог неустойчивости не превышен, никакие волны-убийцы не появляются вообще), движется с групповой скоростью. Кроме того, имеется некоторый порог для крутизны начального условия, при превышении которого волна опрокидывается.

Глава 2. Интегрируема ли гидродинамика идеальной жидкости со свободной поверхностью ?

Эта глава построена следующим образом.

В разделе 2.1 перечислены некоторые частные интегрируемые систе-

Рис. 3: Увеличенное изображение формы поверхности жидкости вблизи гребня волны при Т = 458.842

Рис. 4: пространственная плотность горизонтального импульса перед опрокидыванием при Т = 456 (пунктирная линия), и в момент опрокидывания при Т = 458.5 (сплошная линия)

мы, получающиеся из точных уравнений потенциального течения идеальной несжимаемой глубокой жидкости со свободной границей.

В разделе 2.2 получен эффективный четырёхволновой Гамильтониан (исключены нерезонансные трёхволновые взаимодействия). В параграфе 2.2.1 сделана параметризация резонансного многообразия для одномерного случая. В параграфе 2.2.2 показано, что четырёхволновой матричный

элемент взаимодействия

з = О

тождественно равен нулю на резонансной поверхности.

В следующем параграфе, 2.2.3, исследованы четырёхволновые матричные элементы, первый, полученный Хассельманном в 1962 г. [25], и второй, полученный Захаровым в 1968 г. [4]. В 1980 г. в работе Crawford,D.E., Yuen,H.G. и Saffman,P.G.[22] был сформулирован вопрос об идентичности результатов Хассельманна и Захарова, однако ответа на него не было. Здесь, же, используя результат предыдущего параграфа, показано, что оба матричных элемента совпадают на резонансной поверхности. И это справедливо как в одномерном, так и в двумерном случае.

Следующий разделе 2.3 является подготовительным для вывода 5-ти волнового кинетического уравнения.

В параграфе 2.3.1 обсуждается структура кинетического уравнения в одномерной ситуации, и показывается, что четырёх волновое рассеяние не вмосит никакого вклада в кинетическое уравнение. Далее начинается вывод 5-ти волнового матричного элемента.

В параграфе 2.3.2 вводятся конформные канонические переменные, позволяющие сравнительно легко (хотя и громоздко) получить разложение Гамильтониана до 5-го порядка включительно. В параграфе 2 3.3, с помощью конформных канонических переменных получены все необходимые матричные элементы для процессов

УкХ Для 2 ^ 1 Ukik2k3 Для 3 О Для 4 & О G%k3ki Для 3 О 1 для 2^2 Qltkz Для 3 2.

Далее, в параграфе 2.3.4, вводится каноническое преобразование, которое позволяет избавиться от нерезонансных членов в Гамильтониане, в духе работ [7, 10], но с тем отличием, что теперь каноническое преобразование делается в конформных переменных. Кроме того в параграфе рассматривается случай периодических граничных условий, и для него получен четырехволновой Гамильтониан в нормальной форме Биркгоффа

00 1 ОО 1 00

Н = Е "n\bn\2 + - Е ^пп>п|2Ы2 + -7 Е Тпп\Ъп\*.

П=~ОО * n^ili 4 п=-оо

А это Гамильтониан интегрируемой системы.

В последнем параграфе раздела 2.3 представлена процедура вычисления матричного элемента, соответствующего процессу 3 Ф» 2 с учётом исключения нерезонансных процессов. Это сделано с помощью диаграмной техники Число диаграмм - велико. 60 - сконструированных из трехволно-вых процессов и и^к-^з, как например, таких

иг

Ц(к! ,кЗ-д,к2- р) У(к2,р, к2 - р) У(кЗ, д, кЗ - д) ^ ^ (о>{к2) - ш(к2 -р)- {ш{кЗ) - ш{кЗ - д) - ш{д))

Кроме того, к ним нужно ещё добавить 20 диаграмм, сконструированных из 4-х плюс 3-х волновых процессов, как например такой

2 3 У(к1 + кЗ, к1, кЗ) д, к2, к1 + кЗ)

ш(к1) + ш(к8) - ш(к1 + кЗ)

И наконец, к ним нужно добавить собственно одну 5-ти волновую диаграмму с матричным элементом ф^*3, всего 81 диаграмма. Резонансное многообразие, на котором необходимо вычислить всю эту сумму допускает полиномиальную трёхпараметрическую параметризацию. Результат суммирования был получен с помощью программы "МаШета1лса"[47], и несмотря на всю громоздкость диаграмм, он оказался чрезвычайно простым:

Т" 11

кгк^кз

*4*5 01/2^-3/2^

Шк^^кз кук2кзк^к5

ик^кь тах(ки к2, к3)'

Тот факт, что ф 0 на резонансном многообразии, означает, что

система уравнений, описывающая двумерное потенциальное, бесконечно глубокое течение несжимаемой идеальной жидкости в гравитационном поле является неинтегрируемой.

В разделе 2.4 выводится 5-ти волновое кинетическое уравнение, включающее в себя формально и 4-х волновые процессы. Для одномерных гравитационных волн 4-х волновые процессы не важны, и в нем остаётся только 5-ти волновой столкновительный член

^ = $г(п,п,п,п). (9)

Кинетическое уравнение (9) сохраняет два интеграла движения, энергию и импульс, и описывает прямой и обратный каскады (импульса и энергии соответственно). Для их потоков, зная степень однородности матричного элемета, закона дисперсии и учитывая одномерность системы, следуя [49] получены степенные стационарные решения, Колмогоровские спектры.

Глава 3. Волновая турбулентность в нелинейном уравнении Шре-дингера

В разделе 3.1 изучается влияние когерентных структур на слаботурбулентные спектры в рамках модели ММТ-модели (A.Maida, D.McLaughlin и E.Tabak [33]).

В параграфе 3.1.1 приводится пример слаботурбулентного спектра еш cz gv/ш4, который обычно наблюдается в системах возбуждаемых ветром гравитационных волн в море. С другой стороны, вывод кинетического уравнения (решением которого являются слаботурбулентные спектры) из исходных динамических уравнений предполагает законность предположения о хаотичности фаз, которая может быть нарушена формированием некоторых когерентных структур, таких как волновые коллапсы или солито-ны. Во многих конкретных ситуациях когерентные структуры сосуществуют со слаботурбулентной компонентой, участвуя в процессы переноса и диссипации энергии и других интегралов движения. В параграфе 3.1.2 приводится модель нелинейной волновой системы, ММТ-модель, являющейся обобщешшем нелинейного уравнения Шредингера, сохраняющего не только энергия и импульс, но также и волновое действие (число частиц). ММТ-модель демонстрирует сложное много-вариантное поведение, которое нельзя рассматривать как простое подтверждение слаботурбулентной теории теории. Отсутствие простого, явного подтверждения происходит из-за наличия когерентных структур, которые постоянно присутствуют во всех версиях ММТ-модели. В следующем параграфе 3.1.3, приводится постановка задачи и результата численного моделирования модифицированной ММТ-модели, которая включает в себя не только стандартные процессы рассеяния "два в два", но и процессы распада "один в три", которые не сохраняют волновое действие.

д / (|fc| NNN/^x

х(грк! Фк2 Фк, 5k-h-k2-h + 3 Фь Фк? Фк3 fo-kl+k2+kz)dki dk2 dk3

Оказывается, что такая модель, при надлежащем выборе параметров, ведет себя в соответствии со слаботурбулентной теорией. В частности, она демонстрирует существование степенного решения (Колмогоровского спектра) в широком инерционном интервале (больше двух декад).

Наличие в Гамильтониане "распадного"члена обеспечивает отсутствие локализованных структур, и создаёт условия для "наблюдения"слаботурбулентного режима.

На Рисунке 5 изображён типичный стационарный, усреднённый по времени, спектр для варианта с д = 0.15. Из Рисунка 5 хорошо видно, что в

Рис. 5: \фк\2, усреднённый по интервалу времени 100. Прямая линия соответствует степенному спектру 0.15|/г|~з

инерционном интервале 30 < к < 300 этот спектр аппроксимируется степенным Колмогоровским спектром с показателем А = Следует отметить, что представленные в этом параграфе результаты являются первыми, подтверждающими справедливость теории слабой турбулентности именно в одномерном случае.

В разделе 3.2 рассматривается турбулентность в нелинейной волновой среде, сопрововождающаяся возникновением локализованных существенно нелинейных структур, солитонов. Даётся обоснование утверждения о центральной роли солитонов в асимптотическом состоянии турбулентности данного типа и показывается, тем самым, что солитонный газ является своеобразным статистическим аттрактором уменьшающейся со временем размерности в неинтегрируемой гамильтоновской системе с бесконечным числом степеней свободы.

В параграфе 3.2.1 дается качественная картина солитонной турбулентности в рамках неинтегрируемого нелинейного уравнения Шредингера в условиях отсутствия волновых коллапсов. Впервые солитонная турбулентность рассматривалась, по-видимому, в 1973 г. в работе [28].

В параграфе 3.2.1 предлагается модель волновой турбулентности, модифицированное нелинейное уравнение Шредингера (см., например, [13])

Щ + + 1{\ф\2)ф = 0, (10)

Нелинейность Л\ф\2) выбиралась такой, чтобы уравнение было неинтегри-руемым, и имело решение в виде устойчивого (неколлапсирующего) соли-тона. В этом случае турбулентность является солитонной. Фундаментальный общефизический интерес представляет вопрос о характере эволюции этой турбулентности. В неинтегрируемом случае качественное термодинамическое рассмотрение взаимодействия солитонов со свободными волнами [13] показывает, что поведение системы определяется накоплением слабых эффектов, которые обусловлены нескомпенсированностью процессов, протекающих в противоположных направлениях. При взаимодействии солитонов со слаботурбулентным спектром термодинамически выгодными являются процессы, приводящие к увеличению амплитуд солитонов при уменьшении их числа. Рассмотрены элементарные процессы взаимодействия солитонов друг с другом и со слабонелинейными свободными волнами. Показано,что происходит перекачка энергии из волны в солитон и происходит торможение солитона и увеличение волнового вектора волны. При взаимодействии же двух солитонов происходит усиление более интенсивного и ослабление менее интенсивного солитона.

В параграфе 3.2.3 представлены результаты численного моделирования одно- и двумерной турбулентности для уравнения (10). Результаты расчетов продемонстрировали полное соответствие наблюдаемой пространственно-временной динамики системы предсказанной качественной картине солитонной турбулентности. Взаимодействие солитонов друг с другом и со свободными волнами приводит к постепенной перекачке числа волн из солитонов в более интенсивные, амплитуды солитонов растут с уменьшением их числа. На больших временах система приходит к единственному солито-ну малого размера и большой амплитуды. Измеренная скорость солитона много меньше групповой скорости, что вполне естественно: неподвижный солитон реализует минимум энергии.

В параграфе 3.2.4 делается вывод о том, что в процессе эволюции дол-гоживущей солитонной турбулентности неинтегрируемая система приближается к состоянию солитонного газа, что позволяет считать это состояние статистическим аттрактором. В реальных физических системах всегда имеется затухание волн с большими волновыми числами, а также различные нелинейные механизмы затухания. Эти эффекты приведут к тому, что

солитоны достаточно малого размера и большой интенсивности будут быстро диссипировать. Тем самым концентрация энергии в солитонах малых размеров оказывается сильно нелинейным механизмом поглощения энергии, который можно сравнить с "коллапсным"механизмом диссипации за счет катастрофического развития особенностей волнового поля. Итак, оказывается, что "солитонпый"и "коллапсный"варианты волновой турбулентности качественно отличаются друг от друга не слишком сильно.

В разделе 3.3 рассматривается турбулентность в двумерном уравнении Шредингера с отталкиванием (уравнение Гросса-Питаевского [2])

гф( + Аф- \ф\2ф = 0. (11)

В параграфе 3.3.1 обсуждаются особенности нелинейной волновой системы с дефокусирующей нелинейностью. В сильной турбулентности в рамках уравнения (11) могут одновременно присутствовать и конденсат, и фононы, и ударные волны, и тёмные солитоны и квантовые вихри. Такая сложность, тем не менее, не подразумевает невозможным существование универсального скэйлинга для корреляционных функций, а лишь затрудняет установить его.

В параграфе 3.3.2 обсуждаются результаты численного моделирования уравнения (11), в которое добавлены накачка и затухание для волн. При умеренных накачках турбулентность выходила на стационарный режим, в котором присутствовали линейно растущий конденсат и анизотропные вне-конденсатные флуктуации. Анизотропия (в отличие от анизотропного спектра, предсказываемого теорией слабой турбулентности) обусловлена нелинейными эффектами (такими как образование кинков и ударных волн) см. Рисунок 6.

Для характеристики вне-конденсатных флуктуаций строились корреляционные функции

Нетрудно видеть из Рисунка 7 (а), что парная корреляционная функция имеет логарифмическую асимптотику на больших масштабах, на временах, когда достигается стационарный режим.

Для того, чтобы определить насколько вне-конденсатные флуктуации отклоняются от Гауссовой статистики, вычислялись нормированные корреляционные функции 4-го (" Навезя") ¿^/'^г (должна быть равна 2 для Гауссовой статистики) и 6-го 5б/5| (должна быть равна 8 для Гауссовой статистики) порядков. "Р1аЛпеяй"растет до времени £ « 55 (когда относительный рост конденсата насыщается), а затем "Йа<;пе88"уменынается.

Рис. 6: Профили |Ф| (сплошная), Ие Ф (пунктирная) 1т Ф (точечная), взятые вдоль диагонали и вдоль границ области моделирования, t = 135.7

Рис. 7: а,Ь,с) Корреляционные функции в раличные времена:---t = 32,---4 = 55,

• ■ - 4 = 92, сплошная t = 127; (1) полное число волн N и число волн в конденсате Л'0.

"Р1аШе88"почти одинакова на всех масштабах при г > Го, где корреляци-

—1У2

онная длина го — уменьшается со временем.

В параграфе 3.3.3 делается заключение о том, что, наблюдались две качественно различных компоненты в турбулентности неравновесного Бозе-конденсата. Умеренная накачка приводит

• к слаботурбулентному режиму в области накачки, в котором также присутствует и сильнотурбулентная компонента (кинки, ударные волны)

• обратный каскад производит линейно растущий конденсат, который стабилизирует впе-конденсатные флуктуации, т.е. служит стоком в турбулентности, которая стационарна при всех к ^ 0.

В разделе 3.4, в рамках обобщенного двумерного уравнения Бенджа-мина-Оно аналитически и численно показано, что в пределе малой вязкости неустойчивость одномерных длинноволновых солитонов в пограничном слое приводит к их самофокусировке и коллапсу. Найдена точная верхняя граница для полной энергии возмущений, когда коллапс все еще невозможен и когда любое возмущение асимптотически исчезает с течением времени. Теоретические предсказания находятся в качественном согласии с экспериментами [11].

В параграфах 3.4.1 и 3.4.2 обсуждается возможный механизм коллапса, и отмечается различие между одно- и двумерным случаем. Отмечается также, что уравнение Бенджамина-Оно для флуктуаций скорости в сдвиговом потоке, обобщенное на двумерный случай в [17] (уравнение Шриры)

щ = ~-ки — 6 иих (12)

ах

не предполагает малости отношения компонент ку/кх, что является важным при коллапсе.

Далее в параграфе 3.4.3 рассматриваются свойства двумерного солито-на, полученного численно в работе [1]. Выводятся интегральные соотношения для такого солитона, позволяющие получить зависимость Гамильтониана от масштабного параметра солитона. Эта зависимость существенно различна в одно- и двумерной ситуации. В одномерии Гамильтониан всегда ограничен снизу, и таким образом, солитон устойчив, и коллапс невозможен. В двумерном же случае, Гамильтониан равен нулю на солитонном решении. Это, в свою очередь, означает, что возмущение солитонного решения может нарушить баланс в любую сторону. А именно, одни возмущения

приводят к расплыванию солитона, а другие, наоборот, к коллапсу. Вопрос о конкретном выборе таких возмущений остаётся открытым.

В следующем параграфе 3.4.4 показано, что одномерный солитон неустойчив относительно двумерных возмущений (изгибных возмущений его фронта), найден его инкремент. В параграфе 3.4.5 обсуждается сценарий развития неустойчивости одномерного солитона. Он разбивается на отдельные кластеры, кождый из которых коллапсирует, поскольку исходный одномерный солитон имеет отрицательный Гамильтониан. Такая система должна коллапсировать. Хотя получить аналог теоремы вириала, как это сделано для нелинейного уравнения Шредингера, не удалось. Важную роль здесь должен сыграть численный эксперимент.

Однако, в парагафе 3.4.6 доказано другое утверждение, о достаточных условиях отсутствия коллапса: если продольный импульс начального условия меньше критического,

Рх Рх,СГ

(который определяется солитопным решением), то такое решение асимптотически "расплывается".

В параграфе 3.4.7 представлены результаты численного эксперимента. Главная трудность здесь в том, что солитон, и коллапсирующий, и устойчивый имеет степенные, медленно спадающие хвосты, пэтому численное моделирование проводилось на разностной сетке 512x512 узлов. Исследовались два вопроса:

1. Порог коллапса для начальных условий, у которых Гамильтониан близок к нулю, Н ~ 0. Здесь было получено, что если для начальных условий (Лоренцев профиль сворости) выполнено Рх > Рх>Сг и Н < 0, мы наблюдаем коллапс (см. Рисунок 8). Если же Рх < Рх,ст и Я > 0 наблюдается медленное расплывание начального условия.

2. Неустойчивость одномерного солитона. В качестве начального условия бралось точное решение одномерго уравнения (12, возмущенное в поперечном направлении. Временная эволюция линий уровня показана на Рисунке 9.

В параграфе 3.4.8 обсуждаются экперименты по генерации когерентных структур [11]. Отмечается совпадение "шипов"на профиле скорости в эксперименте, с коллапсирующими кластерами в нашем численном эксперименте. Так же отмечается, наличие порога образования "шипов"в эксперименте, и порога коллапса в теории.

Рис. 8: Линии уровня и(х, у) при t = 45 в режиме коллапса. Изображены контуры от -10,0 до 0,8. Интервал - 0,9.

Глава 4. Слабая волновая турбулентность волн на поверхности жидкости

В разделе 4.1 приведены уравнения динамики слабонелинейных волн на поверхности жидкости, следуя работам В.Е. Захарова и H.H. Филоненко 60-х годов. Гамильтониан для дальнейших целей нужно удерживать до 4-го порядка, у уравнения при этом, кубически нелинейные:

1] = кф - (Ч{г]Чф)) - к[фф] + к(ф[фф])+

ЦА[п2щ + Щт?&ф), (13)

ф = стАт) -дп-\ |(V^)2 - (кф)2] - [кф]к[фф] - [г]кф]Аф,

Здесь Т] — т](х, у, t) — это отклонение поверхности жидкости от положения равновесия, ф = ф(х, у\t) — потенциал скорости на поверхности, a g и а — это гравитационная постоянная и коэффициент поверхностного натяжения соответственно.

Одним из краеугольных камней в теории слабой турбулентности является резонансное взаимодействие волн. Однако, в численных экспериметах, условия резонанса для волн на дискретной сетке не могут быть выполнены точно [26]. Поэтому вопрос о влиянии дискретности волновых чисел в чис-

8

Рис. 9: Эволюция и(х, у)

ленном моделировании несомненно важен. Он рассматривается разделе 4.2.

В параграфе 4.2.1 рассматривается резонансное взаимодействие капиллярных волн на поверхности глубокой жидкости. В этом случае закон дисперсии имеет вид = \/ а к3. Главным процессом здесь являются трехвол-новые распады и слияния волн с резонансными условиями

кх + к2 = к3, + шк2 = шкз. (14)

Даже в отсутствии точных резонансов на дискретной сетке, нелинейный сдвиг частоты приводит к появлению у резонансной кривой конечной ширины, что и обеспечивает волновое взаимодействие в численном экспери-

менте.

Было проведено численное исследование распада монохроматической капиллярной волны при различных амплитудах. Продемострирован рост гармоник, близких к резонансной кривой. Измеренные в численном эксперименте инкременты распадной неустойчивости согласуются аналитической моделю взаимодействия трех волн с учетом расстройки резонанса. Получена картина вторичных распадов, формирующих Колмогоровский каскад.

• В параграфе 4.2.2 рассмотрено резонансное взаимодействие гравитаци-

онных волн на поверхности глубокой жидкости. Закон дисперсии для таких волн имеет вид = л/дк- Здесь главным являются четырехволновые процессы рассеяния волн. Уравнения (14) в этом случае нетривиальных решений не имеют. Для процессов рассеяния условия резонанса таковы:

Ь + к2 = к3 + к4, 0^+0^=0^3+0;^. (15)

Численно была исследована задача о "распаде"гравитационной волны,когда

кг = к2 и шк1 = и)к,г

Резонансная кривая такого процесса (так называемая восьмёрка Филлип-са) также не имеет целочисленных решений. Однако при конечном уровне амплитуды "распадающейся"волны ширина резонанса становится порядка дискретности в пространстве волновых чисел, и процесс "распада"идёт в соответствии с теорией.

Важно понимать, что при слишком малых амплитудах волн в численном эксперименте резонансные взаимодействия отсктствуют. А слишком большая амплитуда волн может привести к нарушению условий применимости теории слабой турбулентности. Полученные результаты могут быть использованы при выборе параметров моделей, использующихся в экспериментах по численному моделированию турбулентности волн на поверхности жидкости.

Раздел 4.3 посвящён численному моделированию слабой турбулентности гравитационных волн на поверхности глубокой жидкости. Одним из самых успешных экспериментов по численному моделированию слабой турбулентности волн на поверхности трехмерной жидкости следует признать работу [39], где моделировалась турбулентность капиллярных волн. Для гравитационных же волн, несмотря на значительные затраченные усилия, получить слаботурбулентный режим не удавалось.

В параграфе 4.3.1 вводится статистическое описание волнового поля на поверхности жидкости для случая гравитационных волн на глубокой воде.

Здесь рассматривается спектр, отвечающий потоку энергии в малые масштабы (прямой Колмогоровский каскад). Теория слабой турбулентности дает такой ответ для флуктуаций поверхности жидкости:

< ы2 >=

<у/2рУ3 к1/2 '

(16)

здесь Р - поток энергии в область малых масштабов, Ср - безразмерная Колмогоровская константа.

В параграфе 4.3.2 приведены результаты расчетов. Было проведено численное моделирование уравнений (13) с накачкой и затуханием. Применялась численная схема, описанная в Приложении .6, которая сохраняет Гамильтониан (если нет затухания и накачки). Все расчеты проводились в периодической области 2ттх2п, колличество узлов менялось от 128x128 до 256x256.

Достигается состояние динамического равновесия, в котором энергия накачки прямым Колмогоровским каскадом переносится в область затухания и там поглощалась В этом состоянии была вычислена парная корреляционная функция отклонения поверхности от состояния равновесия: При

Ж

Рис. 10: Парная корреляционная функция отклонения поверхности в двойном логарифмическом масштабе.

этом в значительной части области инерционного интервала наблюдалось степенной спектр, такой как предсказывает теория (16) При увеличении инерционного интервала (что достигалось увеличением разностной сетки)

область, в которой наблюдается слаботурбулентный спектр, также увеличивалась. Также была показана независимость показателя степенного убы-

Рис. 11' Упгарение области "правильного"степенного спектра при увеличении количества точек на сетке. Показан скомпенсированный спектр.

вания спектра от уровней накачки и затухания. Это позволяет сделать вывод об универсальности слаботурбулентного спектра гравитационных волн.

Заключение

В заключении сформулированы результаты работы. Приложения

В приложения вынесен подробный вывод некоторых формул, приведение которых в основном тексте прерывало бы связность изложения из-за их излишней громоздкости. Кроме того, в Приложение .5 вынесены диаграммы, 5-ти волновых процессов.

Основные результаты

Используя канонический формализм для описания динамики свободной поверхности двумерной идеальной жидкости произвольной глубины и конформное отображение в горизонтальную полосу, получена простая система псевдо-дифференциальных уравнений на форму поверхности и гидродинамический потенциал скорости. Эта система может быть эффективно изучена аналитически в случае, когда якобиан конформного отображения принимает большие значения в окрестности некоторой точки поверхности. Применяя разложение по обратным степеням якобиана, система может быть сведена к одному уравнению, которое совпадает с хорошо известным уравнением лапласовского роста. В рамках этой модели найден ряд точных решений, которые описывают образование конфигураций типа "пальцев". Получены точные конформные уравнения, кубически нелинейные, для формы поверхности и гидродинамической скорости. Уравнения допускают эффективное численное моделирование. Они описывают перенос особенностей конформного преобразования в верхней полуплоскости. Проведено численное исследование волн-убийц на поверхности жидкости, исследован механизм их образования, мдуляционная неустойчивость, её нелинейная стадия.

Доказана неинтегрируемость двумерной идеальной гидродинамики. С помощью конформных канонических переменные получены явные выражения для матричных элементов резонансного взаимодействия волн четвертого (который оказался равным нулю для!) и пятого порядков. Получено кинетическое уравнение для волн, учитывающее 5-ти волновое резонансное взаимодействие. Получены его стационарные решения, Колмого-ровские спектры.

Предложена модифицированная ММТ-модель одномерной волновой турбулентности, позволяющая избавиться от когерентных структур в слаботурбулентных режимах. Проведено численное моделирование, продемостри-ровано существование степенных Колмогоровских спектров.

Аналитически и численно исследована солитонная турбулентность для неинтегрируемого уравнения типа НУШ, показано, что система асимптотически приближается к состоянию солитонного газа. Показывается, что "со-литонный"и "коллапсный"варианты волновой турбулентности качественно отличаются друг от друга не слишком сильно.

Численно исследована турбулентность в модели НУШ с отталкиванием, турбулентность конденсата. Наблюдалось две качественно различных

компоненты в турбулентности неравновесного Бозе-конденсата: обратный каскад производит линейно растущий конденсат, который стабилизирует вне-конденсатные флуктуации, (включая кинки) т.е. служит стоком в турбулентности. Посроены корреляционные функции высших порядков, которые оказались близки к гауссовой статистике.

Численно и аналитически исследована возможность коллапса двумерном обобщении уравнения Бенджамина-Оно (уравнение Шриры). Найдена точная верхняя граница для полной энергии возмущений, когда коллапс все еще невозможен, и когда любое возмущение асимптотически исчезает с течением времени. Теоретические предсказания находятся в качественном согласии с экспериментами.

Исследовано влияние дискретности (в численных экспериментах) на резонансное взаимодействие волн для капиллярных и гравитационных волн на поверхности жидкости. Получены некоторые критерии на правильный выбор параметров моделирования. Разработана численная схема для решения динамических уравнений трехмерной потенциальной гидродинамики, сохраняющая гамильтониан. Проведено численное моделирование слабой турбулентности гравитационных волн. В значительной части области инерционного интервала наблюдалось степенной спектр, совпадающий с теоретическим.

Публикации по теме диссертации

1. А.И. Дьяченко, В.Е. Захаров, А.Н. Пушкарев, В.Ф. Швец, В.В. Янь-ков, Солитонная турбулентность в неинтегрируемых волновых системах, ЖЭТФ, 96, Вып. 6(12), стр. 2026-2031 (1989).

2. Dyachenko A.I., Pushkarev A.N., Shvets V.F., et al. Ргос IV Int. Workshop "Nonlinear and Turbulent processes in physics", Kiev, 1989.

3. A.I.Dyachenko, A.C.Newell, A.N.Pushkarev, and V.E.Zakharov, Optical Turbulence, Physica D, 57, pp. 96-160 (1992).

4. A.I.Dyachenko, E.A.Kuznetsov, Instabihty and Self-Focusing of Solitons in the Boundary Layer, Письма в ЖЭТФ, 59, Вып. 2, стр. 103-108 (1994).

5. A.I.Dyachenko, V.E.Zakharov, Is the free-surface hydrodynamics an integrable system? Phys. Lett. A 190, pp. 144-148 (1994).

6. A.I.Dyachenko, Y.V.L'vov, On the Hasselmann's and Zakharov's approaches

to the kinetic equations for the gravity waves J.Phys. Oceanography 25 N12, pp. 3237-3238 (1995).

7. A.I.Dyachenko, Y.V.L'vov and V.E.Zakharov, Five-wave interaction on the surface of deep fluid, Physica D 87, pp. 233-261 (1995).

8. A.I.Dyachenko, E.A.Kuznetsov, Two-Dimentional Wave Collapse in The Boundary Layer, Physica D 87, pp. 301-313 (1995).

9. A.I.Dyachenko, E.A.Kuznetsov, M.D.Spector and V.E.Zakharov, Analytical Description of the Free Surface Dynamics of an Ideal Fluid, Phys. Lett. A, 221, pp. 73-79 (1996).

10. A.I.Dyachenko, V.E.Zakharov, Toward an Integrable Model of Deep Water, Phys. Lett. A, 221 pp. 80-87 (1996).

11. А.И. Дьяченко, B.E. Захаров, E.A. Кузнецов, Нелинейная динамика свободной поверхности идеальной жидкости, Физика плазмы, 22, Вып. 10, стр. 916-928 (1996).

12. A.I.Dyachenko, G.Fal'kovich, Condensate Turbulence in Two Dimensions, Physical Review E, 54, # 5, pp. 5095-5099 (1996).

13. V.E.Zakharov, A.I.Dyachenko, High-Jacobian approximation in the free surface dynamics of an ideal fluid, Physica D 98, pp. 652-664 (1996).

14. А.И. Дьяченко, О динамике идеальной жидкости со свободной поверхностью, Доклады Академии Наук, 376, Вып. 1, стр. 27-29 (2001).

15. V.E. Zakharov, О.A. Vasilyev and A.I. Dyachenko, Kolmogorov spectra m one-dimensional weak turbulence, Письма в ЖЭТФ, 73, Вып. 2, стр. 68-70 (2001).

16. V.E. Zakharov, A.I. Dyachenko and O.A. Vasilyev, New method for numerical simulation of a nonstationary potential flow of incompressible fluid with a free surface, European Journal of Mechanics B-Fluids, 21, No. 3, pp. 283-291 (2002).

17. A.I. Dyachenko, A.O. Korotkevich, V.E. Zakharov, Decay of the monochromatic capillary wave, Письма в ЖЭТФ, 77, Вып. 9-10, стр. 572-576 (2003)

18. A.I. Dyachenko, A.O. Korotkevich, V.E. Zakharov, Weak turbulence of gravity waves, Письма в ЖЭТФ, 77, Вып. 9-10, стр. 649-653 (2003).

19. A.I. Dyachenko, А.О. Korotkevich, V.E. Zakharov, Weak Turbulent Kol-mogorov Spectrum for Surface Gravity Waves, Phys. Rev. Lett., 92, No. 13, pp. 134501-1-134501-4 (2004).

20. A.I. Dyachenko, V.E. Zakharov, Modulation Instability of Stokes Wave —> Freak Wave, Письма в ЖЭТФ, 81, Вып. 6, стр. 318-322 (2005).

Список литературы

[1] Абрамян Л.А, Степанянц Ю А., Шрира В.И., ДАН СССР, 327, No. 4-6, (1992), 460.

[2] Гинзбург В.Л. Питаевский Л.П., ЖЭТФ 34, (1958), 85.

[3] Дивинский Б.В., Левин Б.В., Лопатухин Л.И., Пелиновский Е.Н., Слю-няев А.В. Доклады РАН, 395, (2004), 438.

[4] Захаров В.Е., Журнал прикл. мех. и техн. физики, 2, (1968), 190.

[5] Захаров В.Е., ЖЭТФ 51, (1966), 668.

[6] Захаров В.Е., ЖЭТФ, 38, (1973), 108.

[7] Захаров В.Е., Изв. Высших учеб. завед.,, 17, (1974), 431.

[8] Захаров В.Е., Шабат А.Б., ЖЭТФ, 61, (1971), 118.

[9] Захаров В.Е., Шабат А.Б., Функц. анализ и прил., 8, No. 3, (1974), 43.

[10] Красицкий,В.П., ЖЭТФ, 71,(1990), 921.

[11] Качанов Ю.С., Рыжов О.С., Сиб. физ.-техн. журнал, 1, (1992), 34; Kachanov Yu.S., Ryzhov O.S. and Smith F.T., J. Fluid Mech., 251, (1993), 273.

[12] Куркин, A.A., Пелиновский, E.H., Волны-убийцы: факты, теория и моделирование. Нижегородский государственный университет, (2004).

[13] Петвиашвили В.И., Яньков В.В., Вопросы теории плазмы, 14, Под редакцией Б.Б. Кадомцева. М.:Энергоатомиздат, (1985), 5.

[14] Полубаринова-Кочина П.Я., ДАН СССР т. 47 (1945), 254; Галин Л.А., ДАН СССР т. 47 (1945), 246.

[15] Некрасов А.И. О волнах установившегося вида., Изв. Иваново-Вознесенского политехнического ин-та, 3, (1921).

[16] Овсянников JT.B., Динамика сплошной среды, Изд. ИГ им. М.А. Лаврентьева СОАН СССР, вып.15, (1973), 104.

[17] Шрира В.И., ДАН СССР, 308, (1989), 732.

[18] Ablovitz, M.I., Hammack, D., Henderson, J. and Scholder, C.M., Phys. Rev. Lett. 84, (2000), 887;

Ablovitz, M.I., Hammack, D., Henderson, J. and Scholder, C.M., Physica D 152-153, (2001), 416.

[19] Benjamin, T.B. and Feir, J.E., J. Fluid Mech. 27, (1967), 417.

[20] Birkhoff G., In: Proc.Sympos.Appl.Maths. XII, Providence, R.I.: AMS (1962).

[21] Clamond, D. and Grue, J. C.R. Mecanique 330, (2002), 575.

[22] Crawford D.E., Yuen H.G. and Saffman P.G., Wave Motion, 2, (1980), 1.

[23] Dysthe, K.B., Proc. Roy. Ser. A 369, (1979), 105.

[24] Gardner,C.S., Greene,J.M., Kruskal.M.D. and Miura,R.M., Phys. Rev. Lett., 19, (1967), 1095.

[25] Hasselmann K., J. Fluid Mech., 12, (1962), 481. (Part I) pp. 481-500, (Part I);

Hasselmann K., J. Fluid Mech., 15, (1963), 273. (Part II)

[26] Kartasheva E., in Nonlinear Waves and Weak Turbulence, A.M.S. Translations - Series 2, edited by V. Zakharov (AMS, Providence, RI, 1998), 95; Connaughton C., Nazarenko S. and Pushkarev A., Phys. Rev. E, 63, (2001), 046306.

[27] Kharif, C., and Pelinovsky, E., Europ. J. Mech. B/Fluids, 22, (2003), 603.

[28] Kingsep A.S., Rudakov L.I. and Sudan R.N., Phys. Rev. Lett., 31, (1973), 1482.

[29] Kuznetsov E.A., Spector M.D. and Zakharov V.E., Phys. Rev. E, 49 # 2, (1994), 1283.

[30] Lavrenov, I.V., Natural Hazards 17, (1998), 117.

[31] Levi-Civita T., Mathematische Annalen 93 (1925), 264.

[32] Longuet-Higgins M.S., In: Nonlinear Water Waves, ed. L.Denath., Academic Press, Boston, (1994)

[33] Majda, A., McLaughlin, D. and Tabak, E., J. Nonlinear Science 7, (1997), 9.

[34] Mineev M.B. and Dawson S.P., Phys. Rev. E, 50, (1994), 24.

[35] Onorato, M., Osborne, A.R., Serio, M. and Bertone, S., Phys. Rev. Letters 86, (2001), 5831.

[36] Onorato, M., Osborne, A.R. and Serio, M., Phys. of Fluids 14, (2002), L25.

[37] Peregrine, D.H., J. Austral. Math. Soc. B 25, (1983), 16.

[38] Peregrine, D.H., Skyner, D., Stiassnie, M. and Dold, N., in: Proc. 21th Intl. Con}, on Coastal Engng. Vol. 1, Chap. 54, (1988), 732.

[39] Pushkarev A.N. and Zakharov V.E., Phys.Rev.Lett., 76, (1996), 3320.

[40] Saffman P.G. and Taylor G.I., Proc. Roy. Soc. A 245, (1958), 312.

[41] Smith, R., J. Fluid Mech. 77, (1976), 417.

[42] Stokes G.G.,. Mathematical and Physical Papers, Vol. 1, 197 and 317. (Cambridge University Press, 1880).

[43] Traisen, K. and Dysthe, K.B., Wave Motion 24, (1996), 281.

[44] Trulsen, K. and Dysthe, K.B., in: Proc. 21st Symposium on Naval Hydrodynamics, (1997), 550;

http://www.nap.edu/books/0309058791/html/550.html

[45] Trulsen K., in Rogue waves 2000: Brest, Prance, November 2000, eds. M. Olagnon and G.A. Athanassoulis, Ifremer, (2001), 265.

[46] Trulsen K., Kliakhandler I., Dysthe K.B. and Velarde M.G., Phys. Fluids, 24 (2000), 32.

[47] Wolfram V.P., Mathematica, Addison-Wesley Pub.Comp., (1988)

[48] Zakharov, V.E., Dias, F. and Pushkarev, A.N., Phys. Reports 398, (2004), 1.

[49] Zakharov V.E., L'vov V.S., Falkovich G., Kolmogorov spectra of turbulence I, v.l, Springer-Verlag, 1992.

[50] V.E. Zakharov, A.I. Dyachenko and O.A. Vasilyev, 21, No. 3, (2002), 283.

РНБ Русский фонд

2006^4 20201

Э14175

Введение

1 Конформные преобразования и Гамильтонов формализм в гидродинамике несжимаемой идеальной жидкости со свободной границей

1.1 Введение.

1.2 Лагранжиан для идеальной жидкости в конформных переменных

1.2.1 Уравнения движения в явной форме.

1.3 Некоторые частные случаи.

1.3.1 Приближение большой кривизны.

1.3.2 "Пальцеобразные" решения.

1.3.3 Автомодельные уравнения для глубокой воды.

1.4 Кубически нелинейные уравнения.

1.5 Модуляционная неустойчивость волны Стокса. Волны-убийцы. 48 1.5.1 Введение.

1.5.2 Численный эксперимент 1.6 Заключение.

2 Интегрируема ли гидродинамика идеальной жидкости со свободной поверхностью ?

2.1 Частные интегрируемые случаи

2.2 Уравнения и 4-х волновой матричный элемент.

2.2.1 Резонансное многообразие в одномерии.

2.2.2 Тккикгкз = 0.

2.2.3 Кинетические равнения Захарова и Хассельманна

2.3 5-ти волновое взаимодействие . *.

2.3.1 Введение.

2.3.2 Конформные канонические переменные.

2.3.3 5-й порядок в разложении Гамильтониана.

2.3.4 Эффективный 4-х волновой гамильтониан

2.3.5 5-ти волновое взаимодействие на резонансной поверхности

2.4 Кинетическое уравнение.

3 Волновая турбулентность в нелинейном уравнении Шредин

3.1 Слабая волновая турбулентность в одномерном нелинейном уравнении Шредингера.

3.1.1 Введение.

3.1.2 ММТ-модель.

3.1.3 Численный эксперимент.

3.2 Солитонная турбулентность.

3.2.1 Слабонелинейная волновая турбулентность и "газ" со-литонов.

3.2.2 Элементарные процессы столкновений.

3.2.3 Численный эксперимент.

3.3.2 Численный эксперимент.129

3.3.3 Заключение.134

3.4 Неустойчивость и самофокусировка солитонов в сдвиговом потоке .134

3.4.1 Предыстория.135

3.4.2 Модель .136

3.4.3 Солитоны и их свойства.139

3.4.4 Неустойчивость одномерного солитона.144

3.4.5 Коллапс.146

3.4.6 О пороге коллапса.148

3.4.7 Численный эксперимент.149

3.4.8 Ремарки.152

Слабая волновая турбулентность волн на поверхности жидкости 167

4.1 Введение.168

Л 4.2 Резонансные взаимодействия волн на дискретной сетке . 173

4.2.1 Капиллярные волны.175

4.2.2 Гравитационные волны .183

4.3 Колмогоровские спектры в турбулентности гравитационных волн.191

4.3.1 Введение. Решения кинетического уравнения.192

4.3.2 Численное моделирование.195

4.3.3 Заключение.200

Заключение 201

Приложения 204

1 Стационарные волны.204

2 Гамильтониан 4-го и 5-го порядков.206

3 Элементы диаграммной техники.210

4 5-ти волновые диаграммы.213

5 Численная схема моделирования гравитационных и капиллярных поверхностных волн.224

5.1 Построение численной схемы.225

5.2 Выбор шага по времени.227

5.3 Обобщение численной схемы.229

5.4 Заключение.230

6 Дискретная вариация Гамильтониана.230

Литература 232

Публикации автора по теме диссертации 243

Список иллюстраций

1.1 Развитие модуляционной неустойчивости: Фурье-спектр R(k) в различные моменты времени. 57

1.2 Поверхность жидкости в начальный момент времени. 57

1.3 Поверхность жидкости в момент времени t = 80. 59

1.4 Пространственная плотность кинетической энергии в момент времени t = 80. 60

1.5 Пространственная плотность потенциальной энергии в момент времени t = 80. 60

1.6 Пространственная плотность полной энергии в момент времени t = 80. 61

1.7 Форма поверхности жидкости при Т = 422 . 63 щ

1.8 Форма поверхности жидкости при Т = 458.56 . 64

1.9 Форма поверхности жидкости вблизи гребня волны при Т = 458,61 . 64

1.10 Увеличенное изображение формы поверхности жидкости вблизи гребня волны при Т = 458.842 . 65

1.11 Кривизна поверхности при Т = 458.842 . 65

1.12 Плотность кинетической енергии перед опрокидыванием при Т = 456 (пунктирная линия), и в момент опрокидывания при

Т = 458.5 (сплошная линия) . 66

1.13 пространственная плотность горизонтального импульса перед опрокидыванием при Т = 456 (пунктирная линия), и в момент опрокидывания при Т = 458.5 (сплошная линия). 67

3.1 Полная энергия системы как функция времени для различных значений коэффициента д ("один в три"процесс).114

3.2 l^itl2, усреднённый проинтервалу времени 100. Изображены отдельно спектры для положительных и отрицательных к. Прямая линия соответствует степенному спектру 0А5\к\~% . . . . 115

3.3 Фрагменты эволюции решения уравнения itpt + Фхх + \Ф\Ф — 0 с параметрами фо = 1, L = 60; время t равно 17,4 (а), 365,4 б) и 730,8 (в).123

3.4 Фрагменты эволюции решения уравнения гфъ + фхх + |"0|2[(1 + 0.1|^|2)/(1 + 0.5|^|2)]^ = 0 с параметрами ф0 = 1, L = 40; время t равно 52,2 (а), 765,4 (б).154

3.5 Фрагменты эволюции решения уравнения г^ + фхх + фуу + \ф\ъф = 0 с параметрами ф0 — 1, L = 37,7; а -1 = 13, \фтах\2 =

33,2; б - 1 = 277, \фтах\2 = 63,9; в - 1 = 2681, \фтах\2 = 137,3 . 155

3.6 a,b,c) Корреляционные функции в раличные времена: — • — t = 32,---t = 55, • • • t = 92, сплошная t = 127; d) полное число волн N и число волн в конденсате No.156

3.7 а) Линии уровня спектра п{кх,ку) усреднённого по времени t = (119 -J-127), b) "Срезы"спектра по разным напрвлениям в ^-пространстве: — • — кх = 0,---ку = 0, • • • кх = —ку, сплошная кх = ку.157

3.8 Профили |Ф| (сплошная), ИеФ (пунктирная) 1тФ (точечная), взятые вдоль диагонали и вдоль границ области моделирования, t = 135.7.158

3.9 Эволюция на большие времена при умеренной накачке: а) полное число квантов N и число квантов в конденсате Nq, b) отношение квадрата числа квантов к Гамильтониану, с) гистограмма внеконденсатных флуктуаций, d) параметр нелинейности

Я4/#2 = I \Ф\А dxdy/2 J | V^|2 dxdy.159

3.10 а) Начальная стадия эволюции при большой накачке: полное число частиц N и число квантов в конденсате Nq, b) пространственная зависимость \ф(х, 7г)|2 при t = 42.4.159

3.11 Профили |Ф| (сплошная), Re Ф (пунктирная) и 1тФ (точечная) вдоль диагонали и вдоль границ области, t = 45.4 . 160

3.12 Зависимость максимума амплитуды от времени в режиме коллапса, Я < 0.161

3.13 Зависимость максимума скорости от времени в режиме коллапса 162

3.14 Линии уровня и(х,у) при t = 45 в режиме коллапса. Изображены контуры от -10,0 до 0,8. Интервал - 0,9.163

3.15 Зависимость и(х, 0) при t = 45.164

3.16 Эволюция Гамильтониана в режиме коллапса. Гамильтониан уменьшается из-за излучения волн.165

3.17 Эволюция и(х,у) (линии уровня) с начальными условиями в * виде возмущенной периодической волны (3.49). Видно развитие неустойчивости.166

4.1 Резонансное множество для ко = 68.176

4.2 Фрагмент резонансной кривой. Хорошо видна разная расстройка для разных узлов сетки.178

4.3 Эволюция различных гармоник при распадающейся волне ко = (00,68). 178

4.4 Резонансные гармоники начинают расти. Момент времени t=1.4.179

4.5 Начинаются вторичные процессы распада. Момент времени t=ll.180

4.6 Линии уровня поверхности \ак\2. Хорошо видны вторичные м распады. Момент времени t=14.181

4.7 Поверхность |а&|2 в момент времени t—57.182

4.8 Резонансная кривая для ко = (0; 30).184

4.9 Фрагмент резонансной кривой. Хорошо заметна разная расстройка для разных узлов сетки.185

4.10 Рост гармоник как функция времени. Видно, что есть резонансные и не резонансные гармоники.185

4.11 Начало роста гармоник при ко = (0; 30).186

4.12 Начало роста гармоник. Линии уровня \а^\2 = 1.5 х Ю-18. . . 187

4.13 Продолжение роста гармоник.187

4.14 Продолжение роста гармоник. Линии уровня \а^\2 = 1.5 х Ю-18.188

4.15 Начальная волна окружена порожденными вторичными распадами волн гармониками.188

4.16 Начальная волна окружена порожденными вторичными распадами гармониками. Линии уровня |а^|2 = 1.5 х 10~18.189

4.17 Рост гармоник в случае начальных условий в виде двух волн с противоположными волновыми векторами.190

4.18 «Квази-резонансная» кривая для трехволнового взаимодействия гравитационных волн, fco = (0; 30).191

4.19 Гамильтониан системы как функция времени.197

4.20 Корреляционная функция отклонения поверхности в двойном логарифмическом масштабе.198

4.21 Скомпенсированный коррелятор отклонения поверхности при различных степенях компенсации: z = 3.5 сплошная линия (теория слабой турбулентности), z — 4.0 прерывистая линия (теория Филлипса).198

4.22 Уширение области степенного спектра при увеличении количества точек на сетке.199

4.23 Инерционный интервал спектра при различных уровнях накачки.

Введение

Ядром данной работы, вокруг которого построен весь материал диссертации, являются уравнения потенциального течения несжимаемой идеальной жидкости со свободной границей. Эти уравнения представляют собой один из классических обектов исследований, который явился основой, стимулом для построения различных физических моделей. В данной работе представлены исследования по нескольким направлениям, и все они так или иначе связаны с гидродинамикой жидкости со свободной границей.

Система уравнений, описывающие течение несжимаемой жидкости (не обязательно потенциальное) в области ограниченной свободной границей г)(х, у, £), хорошо известна. Это уравнение Эйлера, условие несжимаемости жидкости, и кинематическое условие на свободной границе:

Здесь V - вектор скорости течения жидкости, Р - давление жидкости, д

V ■ V = О

0.1) вектор гравитационного ускорения. Для потенциального же течения, когда

V = УФ, У2Ф = 0 (0.2)

Ф(x,y,z,t) - потенциал скорости) уравнение Эйлера принимает вид: v(f4|v*|2+pH (°-3)

На свободной же границе, где давление Р постоянно, эти уравнения эквивалентны следующей краевой задаче для потенциала, с граничным условием на переменной границе:

0, const | , (уравнение Бернулли) Vs\ (кинематическое условие). (0.4)

Конечно, сюда ещё нужно добавить граничное условие для потенциала на остальной границе. Это могут быть такие условия, как отсутствие движения жидкости на бесконечности, периодические условия, условия непротекания на "дне".

Отметим здесь, что если ещё учесть поверхностное натяжение, тогда к const в уравнении Бернулли следует добавить член (i - \А+1 v^i2) • (°-5)

Здесь <7 - коэффициент поверхностного натяжения.

Кратко остановимся на основных результатах, известных для этих уравнений.

У2Ф = дг) = Vdr} + vx---\- Vy— — ox y oy дф 1 .™.s t + О 1УФГ dt

1. Первый важный результат для уравнений (0.4) датирован 1880 годом и принадлежит Стоксу [144, 32]. Его гипотеза относится к установившимся, стационарным гравитационным волнам предельной амплитуды. Гравитационная волна называется волной предельной амплитуды, если на её профиле есть точка, в которой скорость жидкости обращается в нуль. Стоке высказал гипотезу о том, что особая точка волны предельной амплитуды является угловой точкой на вершине волны, и этот угол равен 120°. Гипотеза Стокса была доказана в работах Толанда и Плотникова [148, 49, 39].

2. В 1921 г. Некрасов [36], а в 1925 г. независимо Леви-Чивитта доказали, что эти уравнения имеют решение в виде установившейся, стационарной, бегущей волны.

3. В 1957 г. Краппер [70] нашел точное решение задачи о установившихся двумерных капиллярных волнах, в отсутствии силы тяжести (д = 0).

4. В 1974 г. Налимов доказал [35], что задача Коши для (0.4) имеет единственное решение на конечном интервале времени 0 < t < Т, если д > 0, и начальное условие достаточно мало. Был рассмотрен случай двумерного течения. В 1999 г. Wu доказала [157], что такое же утверждение справедливо и для более общего, трехмерного течения.

Известы некоторые частные решения уравнений (0.4) без гравитации и поверхностного натяжения. Движущаяся граница опысывается кривыми второго порядка: эллипсом, гиперболой и параболой. Эти решения были найдены Дирихле ещё в 1860 году. Они подробно описаны в работе [114].

Несомненно, особый интерес представляют гравитационные волны большой амплитуды, так называемые волны-убийцы, появляющеся на поверхности океана "из ниоткуда", и быстро исчезающие. Они представляют угрозу для моряков, из-за них теряются человеческие жизни и суда. Они очень круты. В последней стадии их развития, крутизна становится бесконечной, образуя "стену воды". Кроме того, типичная волна-убийца - отдельное событие [6]. Изучение этих волн важно как для кораблестроения, так и для проектирования нефтяных и газовых платформ на морских шельфах. Также важным является разработка методов их прогноза. Нет никаких сомнений, что волны-убийцы являются нелинейными объектами. Естественно связать появление волн-убийц с модуляционной неустойчивостью волны Стокса. Линейная теория этой неустойчивости была разработана независимо в [8] и в [57]. В данной работе численно исследуется нелинейная стадия этой неустойчивости.

Хорошо известно, что уравнения описывающие идеальную жидкость со свободной поверхностью в поле силы тяжести вполне интегрируемы в нескольких важных случаях. Интегрируемость имеет место для длинных волн на мелкой воде (KdV[86], для уравнения Кадомцева-Петвиашвили [19], для приближения Буссинеска[161], для спектрально узкой волны в жидкости произвольной глубины (нелинейное уравнение Шредингера [18]). Слабо нелинейное движение жидкости в отсутствии поля силы тяжести также интегрируемо [104]. Очень естественно сформулировать гипотезу, что и произвольное одномерное движение идеальной жидкости в гравитационном поле интегрируемо. Во втрой главе исследуется этот вопрос, и хотя ответ, строго говоря, отрицательный, одномерная ситуация является почти интегрируемой.

Следующая ввжняя проблема, затронутая в диссертации - проблема Кол-могоровских спектров - является ключевой в теории слабой волновой турбулентности. Эти спектры являются точными решениями стационарного кинетического уравнения для среднеквадратичных амплитуд волн [167]. Несомненно, что слаботурбулентные Колмогоровские спектры должны теоретически объяснять степенные спектральные распределения энергии в ансамблях стохастических нелинейно взаимодействующих волн любой природы. Спектры такого типа наблюдаются систематически. Самый яркий пример такого рода - спектр еш ~ gv/uA, который обычно наблюдается при возбуждении ветром гравитационных волн в море. Однако, эта точка зрения разделяется не всеми. Кроме того, самая применимость кинетического уравнения для волн к реальной ситуации также дискутируется. (См., например [117].) Вывод кинетического уравнения из исходных динамических уравнений предполагает законность предположения о хаотичности фаз, которая может быть нарушена формированием некоторых когерентных структур, таких как волновые коллапсы, солитоны или Бозе-конденсат. Фактически, эта критика имеет серьезные основания. В реальных ситуациях когерентные структуры встречаются часто, но в то же время нет причин для полного отказа от теории слабой турбулентности. Действительность многообразна, и во многих конкретных ситуациях когерентные структуры сосуществуют со слаботурбулентной компонентой, участвуя в процессы переноса и диссипации энергии и других интегралов движения.

Следовательно, есть сильная мотивация, чтобы продолжить исследование теории слабой турбулентности, исследуя тот случай, где когеретные структуры важны, и случай, где такие структуры не важны.

Структура диссертации следующая.

В Главе 1 изложен краткий обзор известных результатов для уравнений двумерного течения идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей. Это, в первую очередь, отностится к стационарным, установившимся гравитационным волнам. Применение теории функций комплексных переменных в этой области позволило получить важные результаты, первый из которых принадлежит Стоксу [144]. Им было показано, что с ростом амплитуды стационарных гравитационных волн происходит заострение гребней волн и образуется угол, равный 120°. Для двумерной геометрии наиболее естественным является подход, сочетающий конформные отображения и канонический формализм гамильтоновой системы. Этот подход разработан для случая воды произвольной глубины с учетом поля тяжести и поверхностного натяжения. Найдены некоторые частные приближенные решения нестационарной динамики свободной границы в отсутствии гравитационного поля и сил поверхностного натяжения, исследован случай динамики границы с большой кривизной. Получены точные, кубически нелинейные уравнения, описывающие потенциальное течение двумерной несжимаемой жидкости в гравитационном поле. Переменными, в которых уравнения становятся кубическими, являются функция, обратная производной конформного преобразования области занимаемой жидкостью, на нижнюю полуплоскость, и комплексная потенциальная скорость течения. С помощью полученных уравнений проведено численное моделирование образования волны-убийцы, и её опрокидывания. Делается вывод, что волна убийца образуется в результате развития модуляционной неустойчивости.

В Главе 2 рассмотрен вопрос о интегрируемости уравнений двумерной гидродинамики идеальной жидкости со свободной поверхностью. Получен эффективный четырёхволновой Гамильтониан (исключены нерезонансные трёхволновые взаимодействия). Сделана параметризация резонансного многообразия для одномерного случая и двумерного случаев. Показано, что четырёхволновой матричный элемент взаимодействия тождественно равен нулю на резонансной поверхности. Рассмотрен вопрос о идентичности кинетических уравнений Хассельманна и Захарова. Введены конформные канонические переменные, позволившие сравнительно легко (хотя и громоздко) получить разложение Гамильтониана до 5-го порядка включительно. Представлена процедура вычисления матричного элемента, соответствующего процессу 3 2 с учётом исключения нерезонансных процессов. Это сделано с помощью диаграмной техники. Он оказался не рававным нулю и , тем самым, доказано, что система уравнений, описывающая двумерное потенциальное, бесконечно глубокое течение несжимаемой идеальной жидкости в гравитационном поле неинтегрируема. Кроме того в этой Главе выводится 5-ти волновое кинетическое уравнение и получены его стационарные решения, Колмогоровские спектры.

В Главе 3 изучается влияние когерентных структур на слаботурбулентные спектры в рамках модифицированной ММТ-модели (A.Maida, D.McLaughlir и E.Tabak [117]). Наличие в модифицированной модели "распадного"члена обеспечивает отсутствие локализованных структур, и создаёт условия для слаботурбулентного режима.

Кроме того в этой главе, численно и аналитически, рассматривается также солитонная турбулентность в неинтегрируемом нелинейном уравнении Шре-дингера. Поведение системы определяется накоплением слабых эффектов, которые обусловлены нескомпенсированностью процессов, протекающих в противоположных направлениях. При взаимодействии солитонов со слаботурбулентным спектром термодинамически выгодными являются процессы, приводящие к увеличению амплитуд солитонов при уменьшении их числа.

Также рассматривается турбулентность в двумерном уравнении Шредин-гера с отталкиванием (уравнение Гросса-Питаевского), в которой присутствуют и конденсат, и фононы, и тёмные солитоны и квантовые вихри. Для характеристики вне-конденсатных флуктуаций построены корреляционные функции. Качественно объясняется анизотропия полученных численно турбулентных спектров.

Численно и аналитически исследовано обобщенное двумерное уравнение Бенджамина-Оно, найдена интегральная граница на энергию возмущений двумерного солитона, когда коллапс ещё невозможен. Исследована неустойчивость одномерного солитона относительно изгибных возмущений. Отмечается совпадение численного и реального экспериментов.

В Главе 4 рассмотрен вопрос о влиянии дискретности волновых чисел в численном моделировании слаботурбулентных режимов, когда важным является резонансное взаимодействие волн. Численно и аналитически изучено резонансное взаимодействие капиллярных и гравитационных волн. Кроме того, проведено численное моделирование слабой турбулентности гравитационных волн на поверхности трёхмерной жидкости, и впервые получены для неё Колмогоровские спектры. Для решения этой задачи была разработана численная схема, сохраняющая Гамильтониан в бездиссипативном случае.

В Заключении сформулированы результаты работы.

В Приложения вынесен подробный вывод некоторых формул, приведение которых в основном тексте прерывало бы связность изложения из-за их излишней громоздкости, диаграммы 5-ти волновых процессов.

Целью работы является развитие теоретических и численных методов исследования нелинейных явлений в гидродинамике идеальной жидкости со свободной границей. Особое внимание уделяется разработке эффективных численных алгоритмов, сохраняющих интегралы движения.

Также важным здесь являлся поиск интегрируемых приближений.

Исследование роли когерентных структур в развитой волновой турбулентности также было одной из целью работы.

Кроме того, проведённое исследование слаботурбулентных режимов в различных моделях имело своей целью обосновать применимость кинетических уравнений, которые позволяют с гораздо большей эффективностью моделировать волновую турбулентность, чем исходные динамические уравнения.

Практическая и теоретическая ценность работы

Полученные кубически нелинейные уравнения безвихревой двумерной гидродинамики позволяют эффективное численное моделирование нелинейных процессов на поверхности жидкости, включая такие как обрушение волн, когда граница жидкости становится неоднозначной.

Новый подход к вычислению матричных элементов (с помощью конформных канонических переменных) позволяет эффективно вычислять резонансные взаимодействия волн в двумерной потенциальной гидродинамике.

Теоретическое и численное исследование коллапса в пограничном слое объясняет экперименты по генерации когерентных структур в пограничном слое.

Наблюдениие в численных экспериментах слаботурбулентных режимов, с Колмогоровскими спектрами флуктуаций, близких к экспериментальным, позволяет обосновать применение более простых, кинетических уравнений для предсказания океанского волнения в метеорологических приложениях.

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. J1. Д. Ландау Российской Академии Наук.

По теме диссертации опубликовано 20 работ, список которых приведен в конце диссертации.

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

Используя канонический формализм для описания динамики свободной поверхности двумерной идеальной жидкости произвольной глубины и конформное отображение в горизонтальную полосу, получена простая система псевдо-дифференциальных уравнений на форму поверхности и гидродинамический потенциал скорости. Эта система может быть эффективно изучена аналитически в случае, когда якобиан конформного отображения принимает большие значения в окрестности некоторой точки поверхности. Применяя разложение по обратным степеням якобиана, система может быть сведена к одному уравнению, которое совпадает с хорошо известным уравнением лапласовского роста. В рамках этой модели найден ряд точных решений, которые описывают образование конфигураций типа "пальцев". Получены точные конформные уравнения, кубически нелинейные, для формы поверхности и гидродинамической скорости. Уравнения допускают эффективное численное моделирование. Они описывают перенос особенностей конформного преобразования в верхней полуплоскости. Проведено численное исследование волн-убийц на поверхности жидкости, исследован механизм их образования, мдуляционная неустойчивость, её нелинейная стадия.

Доказана неинтегрируемость двумерной идеальной гидродинамики со свободной границей. С помощью конформных канонических переменные получены явные выражения для матричных элементов резонансного взаимодействия волн четвертого (который оказался равным нулю) и пятого порядков. Получено кинетическое уравнение для волн, учитывающее 5-ти волновое резонансное взаимодействие. Получены его стационарные решения, Колмо-горовские спектры.

Предложена модифицированная ММТ-модель одномерной волновой турбулентности, позволяющая избавиться от когерентных структур в слаботурбулентных режимах. Проведено численное моделирование, продемостриро-вано существование степенных Колмогоровских спектров.

Аналитически и численно исследована солитонная турбулентность для неинтегрируемого уравнения типа НУШ, показано, что система асимптотически приближается к состоянию солитонного газа. Показывается, что "со-литонный"и "коллапсный"варианты волновой турбулентности качественно отличаются друг от друга не слишком сильно.

Численно исследована турбулентность в модели НУШ с отталкиванием, турбулентность конденсата. Наблюдалось две качественно различных компоненты в турбулентности неравновесного Бозе-конденсата: обратный каскад производит линейно растущий конденсат, который стабилизирует вне-конденсатные флуктуации, (включая кинки) т.е. служит стоком в турбулентности. Посроены корреляционные функции высших порядков, которые оказались близки к гауссовой статистике.

Численно и аналитически исследована возможность коллапса двумерном обобщении уравнения Бенджамина-Оно (уравнение Шриры). Найдена точная верхняя граница для полной энергии возмущений, когда коллапс все еще невозможен, и когда любое возмущение асимптотически исчезает с течением времени. Теоретические предсказания находятся в качественном согласии с экспериментами.

Исследовано влияние дискретности (в численных экспериментах) на резонансное взаимодействие волн для капиллярных и гравитационных волн на поверхности жидкости. Получены некоторые критерии на правильный выбор параметров моделирования. Разработана численная схема для решения динамических уравнений трехмерной потенциальной гидродинамики, сохраняющая гамильтониан. Проведено численное моделирование слабой турбулентности гравитационных волн. В значительной части области инерционного интервала наблюдалось степенной спектр, совпадающий с теоретическим.

Автор также благодарен членам Ученого Совета ИТФ им. JI. Д. Ландау РАН за полезные замечания.

5.4 Заключение

Вычисляя дискретную вариацию Гамильтониана, нам удалось построить численную схему для решения динамических уравнений (4.9), сохраняющую Гамильтониан. В этом случае мы получаем удобный инструмент для контроля за величиной шага по времени. Данная схема легко обобщается на случай наличия в уравнениях накачки и затухания. Это позволяет использовать полученную схему при моделировании турбулентности, а так же при рассчете свободной эволюции поверхностных волн.

6 Дискретная вариация Гамильтониана

Выпишем почленно разность Гамильтонианов Нп+1 — Нп, пользуясь свойЛ ством оператора к\

15)

Далее, для краткомти, опустим знаки интегралов. Квадратичные члены:

16)

Кубические члены: s(\jrim2d2r} —

5ф (V, (7}П+1 + 7}n)V(lpn+1 + фП)) + +\5r) (|W>n+1|2 + |W>n|2) ;

18) -\бфк (jin+1 + г)п)к(фп+1 + фп))

-\5г) ((кфп+х)2 + (кфпУ) .

Члены четвертого порядка:

6(\l {^Щ к (г)Щ d2r) —► \5фк [(r)n+1 + rjn) х х к (г)п+1кфп+1 + г)пкфп) +\5ф [('фп+1 + фп) х х к (г]п+1кфп+1 + г]пкфп)

6 (i /(Лф)(кф)т]Ч2г^ —► [((ту"*1)2 + (т/*)2) х х + +

Цбфк [((Г+1)2 + (Г)2) х l6r)(r)n+l+rin)x х(Афп+1кфп+1 + Афпкфп).

1. Абрамян Л.А, Степанянц Ю.А., Шрира В.И., ДАН СССР, 327, (1992), No. 4-6, стр. 460-466;

2. Барышев М.Ю., Юнаковский А.Д., Препринт No. 105, ИПФ АН СССР, Горький, (1984).

3. Галин Л.А., ДАН СССР т. 47 (1945) стр. 246.

4. Гинзбург B.JI. Питаевский Л.П., ЖЭТФ 34, (1958), 85; Gross Е., J. Math. Physics 4, (1963), 195.

5. Дегтярев Л.М., Маханьков В.Г., Рудаков Л.И., ЖЭТФ, 67, (1974), стр. 533.

6. Дивинский Б.В., Левин Б.В., Лопатухин Л.И., Пелиновский Е.Н., Слюняев А.В. Доклады РАН, 395, (2004), 438.

7. Жук В.И., Рыжов О.С., ДАН СССР, 263, (1982), стр. 56; Sov. Phys. Doklady, 27, No. 3, (1982), pp. 177-179. Рыжов O.C., ЖВМиМФ, 29, (1990), стр. 1804.

8. Захаров В.Е., ЖЭТФ 51, 668 (1966)

9. Захаров В.Е., Журнал прикл. мех. и техн. физики, 2, (1968), 19010. Захаров В.Е.„ ЖЭТФ

10. Sov. Phys. JETP, 35, (1972), p. 908.

11. Захаров,В.Е., Изв. Высших учеб. завед., 17, (1974) 431.

12. Захаров В.Е., "Основы физики плазмы", Том 3, под ред. А. Галеева и Р. Судана, Энергоатомиздат, Москва, (1984).

13. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А., ЖЭТФ, 91, (1986); Sov. Phys. JETP, 64, (1986), p. 773-780.

14. Захаров B.E., Кузнецов Е.А., ЖЭТФ, 86, (1998), 1035.

15. Захаров В.Е., Манаков С.В. ЖЭТФ, 69, (1975), 1654-1673.

16. Захаров В.Е., Пушкарев А.Н., Швец В.Ф., Яньков В.В., Письма в ЖЭТФ, т. 48, (1988), стр. 79.

17. Захаров В.Е., Филоненко Н.Н., ДАН СССР 170, (1966), 1292-1295.

18. Захаров В.Е. и Шабат А.Б, ЖЭТФ , 61, (1971), 118-134. Soviet Physics JETP 34 (1972), no. 1, 62-69.

19. Захаров В.Е. и Шабат А.Б., Функц. анализ и прил., 8, No. 3, (1974), стр. 43-53.

20. Кадомцев Б.В., "Коллективные явления в плазме", изд Наука, Москва, (1976); Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И., Sov. Phys. Doklady, 15, (1970), p. 539.

21. Качанов Ю.С., Козлов В.В., Левченко В. Я., Рамазанов П.М., Изв. СО АН СССР, 2, (1989), стр. 124-158.

22. Качанов Ю.С., Рыжов О.С., Сиб. физ.-техн. журнал, 1, (1992), стр. 34-52; Kachanov Yu.S., Ryzhov O.S. and Smith F.T., J. Fluid Mech., 251, (1993), p. 273.

23. Коган В., Кузнецов E.A., Захаров В.Е., Письма в ЖЭТФ.

24. Красицкий,В.П., ЖЭТФ, 71,(1990), стр. 921.

25. Крылов С.Ф., Яньков В.В., ЖЭТФ, 79, (1980), стр. 82.

26. Кузнецов Е.А., Мушер С.Л., ЖЭТФ, 91, (1986), стр. 1605; Sov. Phys. JETP, 64, (1986), p. 947.

27. Кузнецов Е.А, Мушер С.Л., Шафаренко А.В., Письма в ЖЭТФ, 37, (1983), стр. 204; JETP Lett. 37, (1983), р. 241.28