Численное моделирование течений жидкости с прерывными волнами

Борисова, Наталья Михайловна

Численное моделирование течений жидкости с прерывными волнами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Борисова, Наталья Михайловна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2007 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Численное моделирование течений жидкости с прерывными волнами»

Автореферат диссертации на тему "Численное моделирование течений жидкости с прерывными волнами"

На правах рукописи

003054035 Борисова Наталья Михайловна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ

ЖИДКОСТИ С ПРЕРЫВНЫМИ ВОЛНАМИ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

НОВОСИБИРСК - 2007

003054035

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете (г. Новосибирск)

Научный руководитель: д.ф.-м.н.

Остапенко Владимир Викторович

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н.

Чубаров Леонид Борисович,

д.ф.-м.н.

Шлычков Вячеслав Александрович

Ведущая организация: Институт математического

моделирования РАН г. Москва

Защита состоится « 14 » марта 2007 года в 15-00 на заседании диссертационного совета Д 003.061.01 при Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (г. Новосибирск) по адресу: 630090, Новосибирск, просп. М.А.Лаврентьева, 6. E-mail: kuzn@ommfao.sscc.ru

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИВМиМГ СО РАН (г. Новосибирск, просп. М.А.Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан «. / _» февраля 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного сове' д.ф.-м.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ. В настоящее время широкое распространение получили разностные схемы повышенной точности для сквозного расчета разрывных решений гиперболических систем законов сохранения (в частности законов сохранения газовой динамики и гидравлики). Однако в большинстве работ, посвященных построению таких схем, под точностью схемы понимается порядок ее тейлоровского разложения на гладких решениях, что не гарантирует повышенной точности при передаче условий Гюгонио через "размазанные фронты" нестационарных ударных волн. Несмотря на это долгое время было распространено ошибочное мнение о том, что указанные схемы сохраняют повышенный порядок сходимости во всех гладких частях рассчитываемых обобщенных решений. Однако, в работах (Годунов С.К., Остапенко В.В. 1997, Casper J., Carpenter M.N. 1998, Engquist В., Sjogreen В. 1998) было показано что все эти схемы имеют не более чем первый порядок сходимости в области влияния нестационарной ударной волны и тем самым по существу схемами повышенной точности не являются.

Такое снижение точности разностных схем сквозного счета привело к тому, что в последние годы заметно повысился интерес к численным методам с выделением разрывов, в основе которых лежит классический метод характеристик, часто используемый одновременно с некоторой разностной схемой повышенной точности, применяемой только в областях гладкости рассчитываемого решения. Несмотря на достаточно широкое распространение численных методов с выделением разрывов, до последнего времени отсутствовал детальный анализ их реальной точности при расчете нестационарных ударных волн и прежде всего висячих скачков, возникающих внутри расчетной области в результате градиентной катастрофы.

Уравнения первого приближения теории мелкой воды, которые аналогичны уравнениям изоэнтропической газовой динамики с показателем адиабаты 7 = 2, представляют собой простейший пример сильно нелинейной строго гиперболической системы законов Сохранения. Эти уравнения широко применяются при численном моделировании процесса распространения прерывных волн (гидравлических боров), возникающих при полном или частичном разрушении плотины гидросооружения, или при выходе крупных морских волн типа цунами на мелководье. Известно, что классическая система базисных законов сохранения теории мелкой • воды, состоящая из законов сохранения массы и полного импульса, пра-' вильно передавая параметры прерывных волн, распространяющихся по

жидкости конечной глубины, не допускает распространения прерывных волн по сухому руслу. Точные решения, описывающие в рамках этой системы процесс течения воды по сухому руслу, являются непрерывными волнами понижения. Учет донного трения, которое представляет собой распределенный источниковый член, не дающий вклада в условия Гю-гонио на фронте прерывной волны, никак не может изменить эту ситуацию. В то же время лабораторные эксперименты и результаты натурных наблюдений показали, что эти непрерывные решения существенно завышают скорость распространения передней кромки волны и заметно искажают профиль ее поверхности. В опытах фронт волны, распространяющейся по сухому руслу, является существенно более крутым и на нем происходят обрушения, характерные для прерывных волн.

ЦЕЛЬЮ диссертационной работы является анализ реальной точности методов с выделением разрывов и разработка численного алгоритма, позволяющего в рамках теории мелкой воды моделировать процесс распространения прерывных волн по сухому руслу.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА:

1. Впервые теоретически и численно проведен анализ максимально возможной точности, которую могут обеспечить численные методы с выделением разрывов при расчете по ним нестационарных ударных волн и прежде всего висячих скачков, возникающих внутри расчетной области в результате градиентной катастрофы.

2. Впервые предложена и верифицирована путем согласования с экспериментом модифицированная система базисных законов сохранения теории мелкой воды, допускающая распространение по сухому руслу прерывных волн конечной амплитуды.

3. На основе метода расщепления по физическим процессам и метода фиктивных ячеек впервые разработан численный алгоритм сквозно-

го счета, позволяющий в рамках модифицированных уравнений теории мелкой воды моделировать процесс распространения прерывных волн по сухому руслу.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Полученные в первой части работы результаты можно использовать для оценки реальной точности методов с выделением разрывов в конкретных прикладных задачах газовой динамики и волновой гидродинамики. Разработанный во второй части численный алгоритм может быть использован при расчете процесса распространения прерывных волн, возникающих при полном или частичном разрушении плотины гидросооружения или при выходе крупных морских волн типа цунами на мелководье.

ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов обеспечена корректностью постановок рассматриваемых задач и методов их решения, сравнением с известными аналитическими решениями и согласованием с результатами лабораторных экспериментов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: XXXIX, ХШ Международных научных конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2001; 2004); Четвертой Сибирской школе-семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 2001); Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Казахстан, Усть-Каменогорск, 2003); Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, 2004); Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004); на семинарах института математического моделирования РАН, института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН; института вычислительных технологий СО РАН, института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, кафедры дифференциальных уравнений НГУ.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 5 статей в научных журналах, а также тезисы докладов на научных конференциях. Список публикаций приведен в конце автореферата. СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 94 наименования, и приложения. Общий объем диссертации составляет 95 страниц. Работа включает 15 таблиц, 22 иллюстрации.

Автор считает своим долгом выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. Остапенко Владимиру Викторовичу за всестороннюю поддержку на всех этапах выполнения работы,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, а также результаты, определяющие научную новизну работы. Приведено краткое содержание диссертации.

dx/dt = D(x, t), х(t*) = x*, (1)

где D(x, t) - скорость распространения прерывной волны, (x*,t*) - точка ее образования. При этом предполагается, что параметры течения в области его гладкости, точка образования ударной волны (x*,t*) и скорость ее распространения определяются с достаточно высокой точностью, существенно превышающей точность соответствующих методов Рунге-Кутта. В пункте 1.1 описана процедура проверки реальной точности этих методов путем проведения трех численных расчетов на сетках с временными шагами п = г, тг = г/2, тз = г/4. Для вычисления порядка сходимости метода и ошибки численного решения используются формулы Рунге:

п 1 AV „г

д = ёХг = ЩЩШ' (2)

в которых ôXi = ХТ1 - ХТ2, 6Х2 = ХТ2 - Хтз, где Хт> - численное значение положения линии фронта, полученное на сетке с шагом т%.

Рис. 1: Точное решение задачи (3) в случае разрывных (а) и гладких (Ь) начальных данных. Жирная линия - троектория фронта ударной волны, тонкие линии - приходящие на нее характеристики.

В пункте 1.2 методом с выделением разрыва решается задача Коши для нелинейного уравнения переноса

щ + (и2/ 2)х = О, «(0,®) = |>(;с) (3)

с кусочно-линейными начальными данными г)(ж). Показано, что в этом случае, когда ударная волна возникает в начальный момент времени (£* = 0) как разрыв конечной амплитуды (см. рис. 1а), реальная точность методов с выделением разрыва совпадает с порядком аппроксимации соответствующего метода Рунге-Кутта. В пунктах 1.3-1.6 рассматривается задача Коши для нелинейного уравнения переноса (3) с гладкой начальной функцией у(х), удовлетворяющей условиям:

и(0) = с > 0, у'(х) > «'(0) = -Ь< 0 Ух ф 0,

«Ю(0) = 0, к = у(2п+1)(0) = с1>0, (4)

(будем говорить, что такая функция у(х) имеет в нуле точку перегиба п-го порядка). Для начальной функции (4) ударная волна возникает внутри расчетной области в результате градиентной катастрофы как разрыв первоначально бесконечно малой амплитуды (см. рис. 1Ь). Координаты

Таблицы 1, 2: Порядки сходимости и ошибки разностного решения задачи Коши (3) при г = 0.06 для конкретной начальной функции (4), имеющей при минимуме производной точку перегиба первого (таблица 1) и второго (таблица 2) порядков

_Таблица 1_

t Схема 1 порядка Схема 2 порядка Схема 4 порядка

6Хг1 Я2 6Х-г2 Я4 6ХТ4

1.06 1.5900 3.863Б-05 1.7379 1.129Б-05 2.5052 5.129Е-07

1.66 1.0089 3.356Е-04 1.7610 1.282Е-05 2.6141 2 467Е-07

2.26 1.0033 5.735Б-04 1.7124 1.076Е-05 2.6138 2.435Е-07

2.86 1.0021 7.621Б-04 1.6658 9.809Е-06 2.6138 2.578Е-07

3.46 1.0018 9.200Б-04 1.6302 9.496Е-06 2.6139 2.766Е-07

Таблица 2

t Схема 1 порядка Схема 2 порядка Схема 4 порядка

Я1 6Хт1 Я2 8ХГ 2 Я4 6Хт4

1.06 1.4686 1.100Е-04 1.9165 1.517Е-05 1.7570 2.783Е-06

1.66 1.1164 2.482Е-04 1.9696 1.613Е-05 1.7630 2.294Е-06

2.26 1.0978 3.406Е-04 1.9713 1.997Е-05 1.7630 2.668Е-06

2.86 1.0923 4.183Е-04 1.9717 2.361Е-05 1.7630 3.094Е-06

3.46 1.0902 4.891Е-04 1.9719 2.714Е-05 1.7630 3 531 Е-06

точки образования такой ударной волны (ж*, £*) определяются по явным формулам.

В пунктах 1.3 и 1.4 рассматривается случай п = 1 (см. таблицу 1), а в пунктах 1.5 и 1.6 - случаи п = 2 (см. таблицу 2) и п = 3. Из таблиц 1 и 2 следует, что при решении задачи (3), (4) реальные порядки сходимости методов с выделением разрыва, в которых используются методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядков аппроксимации, оказываются заметно ниже их формальной точности.

Для объяснения такого снижения сходимости построена асимптотика функции £)(ж, ¿) в окрестности точки образования ударной волны (х*, £*):

= ГГТ (£ ~ I ^ -

\ т=1 /

(5)

где Рт(Х, ¿) - аналитические функции, в которых X = х/!^1, х = х - х*, 4 = 4 — 4*. В частности при п = 1:

Из формул (5) и (6) следует, что снижение порядков сходимости методов с выделением разрыва при решении задачи (3), (4) связано с тем, что в окрестности точки образования ударной волны (x*,t*) функция D(x,t) имеет корневую особенность, степень которой возрастает с увеличением порядка точки перегиба начальной функции (4).

В случае гиперболической системы законов сохранения устойчивые ударные волны образуются в результате пересечения характеристик некоторого к-го семейства. Если такая ударная волна индекса к возникает при решении задачи Коши с гладкими начальными данными как висячий скачок первоначально бесконечно малой амплитуды, то в малой окрестности точки образования такого скачка излом остальных "проходящих" характеристик при пересечении ими линии фронта является достаточно малым и в первом приближении его влиянием на асимптотику функции D(x,t) можно пренебречь. Это означает, что реальная точность методов Рунге-Кутта при расчете нестационарных ударных волн, возникающих при решении гиперболических систем законов сохранения, должна быть близка к той которая была получена выше для случая скалярного закона сохранения (3). Для подтверждения этого, во второй главе рассматривается система уравнений изоэнтропического газа с показателем адиабаты 7 = 3:

Pt + Чх = 0, qt + (qu + р3/3)х = 0, (7)

которая в области гладкости своего решения распадается на два нелинейных уравнения переноса для инвариантов системы г = и — р и s — и + р

П + (г2/2)х = 0, et + (s2/2)х = 0.

В пункте 2.1 для системы (7) описывается алгоритм численного метода с выделением разрыва. В пункте 2.2 при помощи этого алгоритма решается задача Коши с разрывными начальными данными. Приведены порядки сходимости и ошибки вычисления линии фронта ударной волны и проходящего инварианта на отрезке, лежащем в области ее влияния, из которых видно, что, также как и в случае скалярного закона сохранения, при разрывных начальных данных метод с выделением разрыва обеспечивает реальный порядок сходимости, совпадающий с формальной точностью соответствующей ему схемы Рунге-Кутта. В пункте 2.3 для системы (7) решается задача Коши с гладкими начальными данными

г(0,®) = -1, в(0,яг) = (8)

где функция v(x) удовлетворяет условиям (4). По аналогии со скалярным случаем расчеты проводятся при п = 1,2,3, т.е. когда начальная

функция у(х) имеет в нуле точку перегиба первого, второго и третьего порядков. Из проведенных расчетов следует, что, также как и в случае скалярного закона сохранения, при решении задачи Коши (7), (8) с гладкими начальными данными (4) методы с выделением разрыва 2-го и 4-го порядков аппроксимации обеспечивают скорость сходимости как к линии фронта ударной волны, так и к инварианту г в области ее влияния, заметно ниже их формальной точности.

В третьей главе предложен метод, позволяющий в рамках первого приближения теории мелкой воды моделировать процесс распространения прерывных волн по сухому руслу. В пункте 3.1 дается обзор работ, посвященных теоретическому и экспериментальному моделированию задачи о разрушении плотины. В пункте 3.2 рассматривается классическая система базисных законов сохранения теории мелкой воды, состоящая из закона сохранения массы и полного импульса:

Ы+Ях= 0, (9)

И + (он + = И - дЪЬх, (10)

где к(х, £), <7(ж, £), и = д//г - глубина, расход и скорость потока, д - ускорение свободного падения, Ь(х) - отметка дна, Л = ~ сила донного трения, задаваемая по формуле Маннинга, в которой г - коэффициент шероховатости русла. Показано, что система (9), (10) не допускает распространения прерывных волн по сухому руслу, что противоречит результатам многочисленных лабораторных экспериментов (см., например, [7]) и натурных наблюдений. Как показано в пункте 3.3, причина этого заключается в том, что в классической системе (9), (10) не учитываются сосредоточенные потери полного импульса на фронте прерывной волны, распространяющейся по сухому руслу. В этом пункте исследована энергетическая устойчивость прерывных волн, распространяющихся по сухому руслу.

В пункте 3.4 предложен модифицированный закон сохранения полного импульса:

и + +7 (иг + ^у + дк^ ^ = - дЬх^ , (11)

представляющий собой линейную комбинацию законов сохранения полного импульса (10) и локального импульса:

являющегося дифференциальным следствием системы (9), (10). В уравнении (11) 7 = SH = const, где Я - характерная глубина потока, S 1 - безразмерный параметр. Показано, что на гладких решениях модифицированная система (9), (11) эквивалентна классической (9), (10), а на разрывных решениях эти системы несовместны.

В отличие от классической системы (9), (10), модифицированная система (9), (11) допускает распространение прерывных волн конечной амплитуды по сухому руслу (рис. 2Ь). Из условий Гюгонио для системы (9), (11) следует, что глубина h\ и скорость щ за фронтом такой волны связаны соотношением щ = y/dghi, в котором в = 2 + di/6 - число Фру-да, di = hi/H - безразмерная глубина. В пункте 3.4 также показано, что с ростом глубины ho перед фронтом прерывной волны модифицированные условия Гюгонио, получаемые из законов сохранения (9), (11), достаточно быстро асимптотически переходят в классические условия Гюгонио, получаемые из законов сохранения (9), (10).

В пункте 3.5 приводится сравнение решений задачи о разрушении плотины

M®,0) = { 2 , U(s,0) = 0, (13)

где Но > h0 > 0, по классической (9), (10) и модифицированной (9), (11) системам законов сохранения теории мелкой воды (см. рис. 2). При решении по модифицированной системе (9), (11) задачи о разрушении плотины (13) с сухим руслом в нижнем бьефе (До = 0) получено соотношение

S =-—т=-, (14)

(в-2)(г/0 + 2)2' V '

связывающее параметр 6 с числом Фруда в. Эксперименты (Букреев В.И., Гусев A.B., Малышева A.A., Малышева И.А., МЖГ, 2004) показали, что характерное значение в = 6.7 S = 0.05. При таком значении S заметные различия между классическим и модифицированным решениями задачи (13) возникают только при cfo — ho/H < d* и 0.14, где Н = Но, когда течение за фронтом прерывной волны становится сверхкритическим, и особенно при do -¥ 0 (рис. 2, 3).

В четвертой главе предложен эффективный численный алгоритм сквозного счета, позволяющий на основе модифицированных базисных законов сохранения теории мелкой воды численно моделировать процесс распространения прерывных волн по сухому руслу. В пункте 4.1 для модифицированной системы уравнений мелкой воды (9), (11) методом расщепления по физическим процессам на разнесенной по пространству сетке строится разностная схема, допускающая явную реализацию (эта

а) Ь)

Рис. 2: Точное решение задачи (13) по модифицированной (9), (11) с 6 = 0.05 (сплошная линия) и классической (9), (10) (штриховая линия) системам законов сохранения мелкой воды (на рис. (а) эти линии визуально совпадают). Кружками изображены результаты численного моделирования по модифицированной системе (9), (11).

а) Ь)

Рис. 3: Зависимость <¿1 («¿о)> получаемая при решении для задачи о разрушении плотины (13) по классической системе (9), (10) (сплошная линия) и по модифицированной системе (9), (11) с <5 = 0.05 (штриховая линия).

к, и

Рис. 4: Численное решение по модифицированной системе (9), (11) задачи о разрушении плотины (13) с локальным препятствием и сухим руслом в нижнем бьефе.

схема подробно описана в [6]). В пункте 4.2 описан алгоритм, позволяющий моделировать движение свободной границы жидкости внутри расчетной области на основе метода "фиктивных ячеек". В пункте 4.3 приводятся результаты численного моделирования процесса формирования и распространения по сухому руслу прерывной волны, возникающей в результате разрушения плотины и резкого локального подъема дна (волны типа цунами). Рассматриваются случаи горизонтального (рис. 26) и наклонного дна, а также дна с локальным препятствием в нижнем бьефе (рис. 4).

В пункте 4.4 по аналогии с одномерным случаем получена пространственно двумерная (плановая) модифицированная система базисных законов сохранения теории мелкой воды, допускающая распространение прерывных волн по сухому руслу. В пункте 4.5 для этой системы строится пространственно двумерная разностная схема, аналогичная одномерной схеме из пункта 4.1.

В пункте 4.6 приведены результаты численного расчета по этой схеме задачи о распространении прерывной волны, возникающей в результате частичного разрушения плотины в русле с горизонтальным и трапециевидным дном, горизонтальным дном, имеющим в нижнем бьефе препятствие в виде полуэллипса (рис. 5); задачи о набегании на наклонный берег прерывной волны, возникающей в результате частичного разрушения

плотины и задачи о набегании на наклонный берег (на котором расположено локальное препятсвие в виде полуэлипсоида) прерывной волны типа цунами, возникающей в результате резкого подъема участка дна.

В заключении приведены основные результаты работы:

1. Исследована максимально возможная точность, которую могут обеспечить методы с выделением разрывов при расчете по ним пространственно одномерных ударных волн, распространяющихся с переменной скоростью. Показано, что эти методы сохраняют повышенный порядок сходимости, совпадающий с их формальным порядком точности, при решении задачи Коши с разрывными начальными данными, когда в начальный момент времени формируется ударная волна конечной амплитуды. В то же время при расчете положения висячего скачка, возникающего при гладких начальных данных как ударная волна первоначально бесконечно малой амплитуды, методы с выделением разрывов обеспечивают порядок сходимости заметно ниже их формальной точности. Показано, что причина этого связана с корневой особенностью точного решения в окрестности точки образования висячего скачка.

2. Предложена и верифицирована путем согласования с экспериментом модифицированная система базисных законов сохранения теории мелкой воды, допускающая распространение по сухому руслу прерывных волн конечной амплитуды. Показано, что на фронтах таких прерывных волн, из закона сохранения массы следуют согласованные потери полного импульса и полной энергии набегающего потока. Исследована устойчивость прерывных волн, распространяющихся по сухому руслу. Построено неклассическое решение задачи о разрушении плотины с сухим руслом в нижнем бьефе, в котором по сухому руслу распространяется прерывная волна.

3. На основе метода расщепления по физическим процессам и метода "фиктивных ячеек" разработаны пространственно одномерный и двумерный численные алгоритмы сквозного счета, позволяющие в рамках модифицированной системы базисных законов сохранения теории мелкой воды эффективно моделировать процесс распространения прерывных волн по сухому руслу и мелководью, их выход на берег и перетекание через различные береговые препятствия.

а)

Рис. 5: Численное решение задачи о частичном разрушении пло тииы г. локальным эллипсоидальным препятствием и сухим ру слом в ттижпом бьефе.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Затульветер Н.М. О точности методов выделения разрывов при расчете нестационарных ударных волн // Материалы XXXIX Международной научной студенческой конференции "Студент и начно-технический прогресс": Математика. Новосиб. гос. университет. Новосибирск. 2001. С. 107-108.

2. Затульветер Н.М., Остапенко В.В. О точности метода характеристик при расчете нестационарных ударных волн // Динамика сплошной среды, вып. 118. С. 35-42. Новосибирск. Из-во СО РАН, 2001. Материалы Четвертой Сибирской школы-семинара "Математические проблемы механики сплошных сред"

3. Борисова Н.М., Остапенко В.В. О точности расчета нестационарных ударных волн в методах с выделением разрывов //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т.43. № 10. С. 1494-1516.

4. Борисова Н.М. О распространении прерывных волн по сухому руслу // Материалы XLII Международной-научной студенческой конференции "Студент и научнр-^ёхнический прогресс": Математика / Новосиб. гос. университет. Новосибирск. 2004. С. 21-22.

5. Борисова Н.М., Остапенко B.B. Ö распространении прерывных волн по сухому руслу -// Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение. Тезисы докладов Всероссийской конференции, приуроченной к 85-летию академика JI.B. Овсянникова. 10-14 мая 2004 года, Новосибирск. С.38

6. Борисова Н.М., Остапенко В.В. О численном моделировании процесса распространения прерывных волн по сухому руслу //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. № 7. С. 1254-1276.

7. Борисова Н.М., Гусев A.B., Остапенко В.В. О распространении прерывных волн по сухому руслу // Изв. РАН. МЖГ. 2006. JV® 4. С. 135-148.

8. Борисова Н.М. О моделировании процесса набегания прерывной волны на наклонный берег // Сибирский ж. вычисл. матем. 2007. Т. 10. №1. С. 43-60.

Борисова Наталья Михайловна

ЧИСЛОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ С ПРЕРЫВНЫМИ ВОЛНАМИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 01.02.2007 Формат 60x84 1\16. Усл. печ.л. 1. Усл.изд.л. 1,1. Тираж 80. Заказ № 27.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Борисова, Наталья Михайловна

Введение

1 Точность методов с выделением разрывов в случае скалярного закона сохранения

1.1 Алгоритм расчета изолированной ударной волны.

1.2 Задача Коши с разрывными начальными данными.

1.3 Задача Коши с гладкими начальными данными (висячий скачок).

1.4 Асимптотика функции D(x,t) в окрестности точки образования ударной волны.

1.5 Задача Коши с гладкой начальной функцией, имеющей при минимуме производной точку перегиба более высокого порядка.

1.6 Асимптотика функции D(x,t) в случае начальных данных, имеющих при минимуме производной точку перегиба n-ого порядка.

2 Точность методов с выделением разрывов в случае системы законов сохранения

2.1 Система уравнений изоэнтропической газовой динамики с показателем адиабаты 7 = 3.

2.2 Задача Коши с разрывными начальными данными.

2.3 Задача Коши с гладкими начальными данными.

3 Моделирование волновых процессов в задаче о разрушении плотины с сухим руслом в нижнем бьефе

3.1 Лабораторное моделирование задачи о разрушении плотины с сухим руслом в нижнем бьефе.

3.2 Базисные законы сохранения теории мелкой воды

3.3 Прерывные волны, распространяющиеся по сухому руслу, и их устойчивость

3.4 Модифицированный закон сохранения импульса, допускающий распространение прерывных волн по сухому руслу.

3.5 Задача о разрушении плотины.

4 Численное моделирование процесса распространения прерывных волн по сухому руслу

4.1 Разностная схема

4.2 Алгоритм распространения воды по сухому руслу

4.3 Результаты одномерных тестовых расчетов

4.4 Плановые уравнения теории мелкой воды.

4.5 Разностная схема в двумерном случае

4.6 Численные расчеты в двумерном случае.

Введение диссертация по математике, на тему "Численное моделирование течений жидкости с прерывными волнами"

Настоящая работа посвящена анализу реальной точности расчета нестационарных ударных (прерывных) волн в методах с выделением разрывов, а также разработке численного алгоритма, позволяющего в рамках модифицированных уравнений первого приближения теории мелкой воды моделировать процесс распространения прерывных волн по сухому руслу.

Актуальность. В настоящее время широкое распространение получили разностные схемы повышенной точности для сквозного расчета разрывных решений гиперболических систем законов сохранения [18, 33, 80, 82] (в частности законов сохранения газовой динамики [54] и гидравлики [52, 56]). Однако в большинстве работ, посвященных построению таких схем (см., например, [19, 24, 31, 53, 55, 58, 62, 67, 73, 74, 76, 81, 90]), под точностью схемы понимается порядок ее тейлоровского разложения на гладких решениях, что, как показано в [41, 43] не гарантирует аналогичного повышения порядка слабой аппроксимации на разрывных решениях и, следовательно, не обеспечивает повышенной точности при передаче условий Гюгонио через "размазанные фронты" нестационарных ударных волн [45]. Несмотря на это долгое время было распространено ошибочное мнение о том, что указанные схемы сохраняют повышенный порядок сходимости во всех гладких частях рассчитываемых обобщенных решений. Однако, в работах [20, 44, 65, 71,47] было показано что все эти схемы имеют не более чем первый порядок сходимости в области влияния нестационарной ударной волны (т.е. ударной волны, распространяющейся с переменной скоростью) и тем самым по существу схемами повышенной точности не являются.

Такое снижение реальной точности разностных схем сквозного счета (shock-capturing schemes) привело к тому, что в последние годы заметно повысился интерес к численным методам с выделением разрывов (shock-fitting methods), в основе которых лежит классический метод характеристик [26, 54], часто используемый одновременно с некоторой разностной схемой повышенной точности, применяемой только в областях гладкости рассчитываемого решения [68, 77]. Такие методики, позволяющие отслеживать взаимодействие движущихся разрывов, а также их возникновение и исчезновение с течением времени, иногда называют выделением плавающих разрывов [6, 33, 84]. При этом широко распространен подход, особенно в стационарных задачах обтекания решаемых методом установления, при котором выделяются только основные разрывы, существование которых заранее известно [34, 36, 59]; остальные разрывы рассчитываются по схемам сквозного счета. Эффективным способом выделения разрывов является применение подвижных сеток [23] в сочетании с методом Годунова [22], основанном паточном решении задачи Римана о распаде произвольного разрыва, а также самоподстраивающихся сеток в схемах сквозного счета [30, 75], использующих метод Роу [86] приближенного решения задачи Римана. Несмотря на достаточно широкое распространение численных методов с выделением разрывов до последнего времени отсутствовал детальный анализ их реальной точности при расчете нестационарных ударных волн и прежде всего висячих скачков возникающих внутри расчетной области в результате градиентной катастрофы.

Уравнения первого приближения теории мелкой воды [18, 35, 40], которые аналогичны уравнениям изоэнтропической газовой динамики [54] с показателем адиабаты 7 = 2, представляют собой простейший пример сильно нелинейной строго гиперболической системы законов сохранения [52, 33, 80], имеющей четко выраженный физический смыл [56]. Эти уравнения широко применяются при численном моделировании процесса распространения прерывных волн [4, 16, 17, 42] (гидравлических боров [67, 73, 91]), возникающих при полном или частичном разрушении плотины гидросооружения, или при выходе крупных морских волн типа цунами [61] на мелководье. Известно, что классическая система базисных законов сохранения теории мелкой воды, состоящая из законов сохранения массы и полного импульса [18,33, 52], правильно передавая параметры прерывных волн, распространяющихся по жидкости конечной глубины [56], не допускает распространения прерывных волн по сухому руслу. Точные решения, описывающие в рамках этой системы процесс течения воды по сухому руслу, являются непрерывными волнами понижения (простейший пример такой волны, возникающей при разрушении плотины над горизонтальным дном, впервые был построен в работе [85]). Учет донного трения, которое представляет собой распределенный источниковый член, не дающий вклада в условия Гюгонио на фронте прерывной волны, никак не может изменить эту ситуацию [57, 70, 93]. В то же время лабораторные эксперименты [8, 12, 13, 69, 83, 89] и результаты натурных наблюдений [61] показали, что эти непрерывные решения существенно завышают скорость распространения передней кромки волны и заметно искажают профиль ее поверхности. В опытах фронт волны, распространяющейся по сухому руслу, является существенно более крутым и на нем происходят обрушения, характерные для прерывных волн.

Необходимо также отметить, что численное моделирование волновых течений по мелководью и сухому руслу в рамках классических законов сохранения массы и полного импульса теории мелкой воды сопряжено с трудностью обеспечения в процессе расчетов неотрицательности глубины жидкости Д. Связано это с тем, что после нахождения расхода q из уравнения для полного импульса скорость потока определяется по формуле v = q/h, которая имеет особенность при h —> 0. В результате практически ни один из известных в настоящее время численных алгоритмов не обеспечивает положительности глубины жидкости h без какого-либо специального сглаживания, искусственной коррекции или вынужденного измельчения шагов по времени или пространству. Так, например, с целью обеспечения неотрицательности глубины применяют специальные итерационные алгоритмы [38]; используют бессеточный метод, основанный на радиальных базисных функциях, с помощью которого в [94] решается одномерная начально-краевая задача с одной фиксированной и одной свободной границей; применяют разбивку области течения на произвольные четырехугольные элементы [92], что позволяет рассматривать каналы не только с сухим дном, но и с нерегулярными границами; используют фиксированную систему конечных элементов, различая сухие, частично смоченные и полностью наполненные жидкостью элементы [64], вводя в уравнение неразрывности функцию, характеризующую наполнение конечного элемента жидкостью. Применяют также нестандартные методы, в которых движение ограниченного объема жидкости описывается не моделью сплошной среды, а механической моделью с конечным числом степеней свободы [1, 79]. При этом при больших значениях глубины практически все известные ранее методы дают вполне удовлетворительные результаты.

Математическое моделирование процесса распространения волн по сухому руслу представляет собой достаточно сложную задачу не только в рамках осредненных по вертикали уравнений мелкой воды, но и в рамках полных уравнений гидродинамики. Как показано в [66], ее решения, получаемые при помощи численных методов, основанных на уравнениях Эйлера и Навье-Стокса, существенно завышают скорость распространения передней кромки волны. В численных расчетах задачи о разрушении плотины, приведенных в [66], эта скорость асимптотически выходит на скорость распространения соответствующей волны понижения, получаемой из классических уравнений мелкой воды. При этом указанные численные решения могут заметно искажать профиль головной части волны, распространяющейся по сухому руслу. Кроме того на основе полных уравнений гидродинамики, позволяющих описывать волновые течения только в регулярных областях, в принципе нельзя моделировать процесс обрушения волн, приводящий к нарушению односвязности расчетной области [5, 25, 32]. В уравнениях мелкой воды такой процесс обрушения приближенно описывается разрывом параметров течения, т.е. прерывной волной, на фронте которой происходит потеря полной энергии набегающего потока [52] (в рамках теории мелкой воды потеря полной энергии на прерывных волнах означает, что в реальном течении некоторая ее часть переходит в энергию движения вертикальных вихрей).

В результате уравнения первого приближения теории мелкой воды представляют собой одну из наиболее распространенных и широко применяемых на практике моделей для описания волновых процессов [4, 60, 67, 73, 88] (в том числе и катастрофических [16, 17]) в системах открытых русел и в прибрежных зонах морей и океанов. Не смотря на это до последнего времени отсутствовали эффективные численные алгоритмы, которые бы позволяли в рамках этой модели описывать процесс распространения прерывных волн по мелководью и сухому руслу.

Целью диссертационной работы является анализ реальной точности методов с выделением разрывов и разработка численного алгоритма, позволяющего в рамках теории мелкой воды моделировать процесс распространения прерывных волн по сухому руслу.

Научная новизна:

1. Впервые теоретически и численно проведен анализ максимально возможной точности, которую могут допускать числениые методы с выделением разрывов при расчете по ним нестационарных ударных волн и прежде всего висячих скачков, возникающих внутри расчетной области в результате градиентной катастрофы.

З.На основе метода расщепления по физическим процессам и метода фиктивных ячеек разработан эффективный численный алгоритм сквозного счета, позволяющий в рамках модифицированных уравнений теории мелкой воды моделировать процесс распространения прерывных волн по мелководью, их выход на берег и перетекание через различные береговые препятствия.

Краткое содержание работы. Работа состоит из введения, четырех глав и заключения.

В первой и второй главах изучается максимальная точность, которую могут обеспечить численные методы с выделения разрывов при расчете нестационарных ударных волн и, прежде всего, висячих скачков, возникающих внутри расчетной области при гладких начальных данных. В первой главе точность этих методов изучается в случае скалярного закона сохранения, а во второй главе — в случае системы законов сохранения. В пункте 1.1 описан алгоритм расчета пространственно одномерной изолированной ударной волны с помощью классических методов выделения разрывов и процедура проверки реальной точности этих методов путем проведения трех численных расчетов на сетках с временными шагами т, т/2 и т/4. Проверка точности методов выделения разрывов будет проводиться на этапе численного интегрирования методами Рунге-Кутта 1-го, 2-го и 4-го порядков обыкновенного дифференциального уравнения dx/dt = D(x,t), где D(x,t) - скорость распространения прерывной волны, в предположении что на всех предшествующих этапах вычисления проведены с высокой точностью. В пункте 1.2 методом выделения разрыва решается задача Коши для нелинейного уравнения переноса щ + (и2/2)s = 0, и( 0,x) = v(x) с кусочно-линейньши начальными данными. Вычисляются реальные порядки сходимости и ошибки разностного решения, из которых видно, что в данном случае реальная точность методов Рунге-Кутта совпадает с их формальной точностью. В пункте 1.3 рассматривается та же задача Коши для нелинейного уравнения переноса, но уже с гладкой начальной функцией v(x,t) со следующими свойствами: u(0) = c>0, v'(x) > */(0) = -Ь < 0 Va; ф 0, г/'(0) = О, t/"(0) = d>0, из которых следует, что производная функции v{x) достигает своего абсолютного отрицательного минимума в точке х = 0, являющейся для нее точкой перегиба первого порядка. Для функции с такими свойствами описана процедура точного вычисления координат точки, в которой внутри расчетной области происходит градиентная катастрофа, и методика построения начальной функции такого вида. Вычисляются реальные порядки сходимости и ошибки разностного решения для данной задачи, из которых видно, что в данном случае методы Рунге-Кутта обеспечивают скорость сходимости к линии фронта ниже их формальной точности. Для определения причины снижения точности в пункте 1.4 строится асимптотика функции D(x, t) в окрестности точки образования ударной волны в случае начальной функции, имеющей в нуле точку перегиба первого порядка, и показано, что функция D(x, t) имеет в окрестности это точки корневую особенность, что и объясняет снижение точности методов Рунге-Кутта при вычисление висячих скачков, так как эти методы сохраняют повышенный порядок сходимости только при условии достаточной гладкости интегрируемой функции. В пункте 1.5 рассматривается задача Коши для нелинейного уравнения переноса с гладкой начальной функцией, имеющей в нуле точку перегиба n-го порядка: v(0) = с > 0, v'(x) > v'(0) = -b< 0 Ух ф О, v(h)(0) = 0, к = 272n, t/2n+1)(0) = d > 0.

Построены начальные функции, имеющие в нуле точку перегиба 2-го и 3-го порядков. Для данных начальных функций вычисляются реальные порядки сходимости и ошибки разностного решения при т = 0.06, из которых видно заметное снижение, по сравнению со случаем п = 1, реальной скорости сходимости метода Рунге-Кутта четвертого порядка: при п = 2,3 реальный порядок точности R4 этой схемы не только становится заметно ниже двух, но оказывается даже ниже реальной скорости сходимости R2 метода Рунге-Кутта второго порядка. Для объяснения кажущегося несоответствия проведены дополнительные расчеты этих задач на более мелкой сетке с шагом г = 0.006. В пункте 1.6 показано, что дальнейшее снижение при n = 2,3 (по сравнению с п = 1) реальной точности методов Рунге-Кутта связано с увеличением степени корневой особенности у функции D(x, t) в окрестности точки градиентной катастрофы, из которой образуется висячий скачок, что обнаруживается путем построения ее асимптотики в окрестности этой точки.

В пункте 2.1 рассматривается система уравнений изоэнтропического газа [54] с показателем адиабаты 7 = 3

Pt + qx = 0, qt + (qu + p3/3)* = О, которая в области гладкости своего решения распадается на два линейно-независимых уравнения переноса для инвариантов системы г = и — р и s = и + р : rt + {r2/2), = 0, st + (s2/2)x = О, что удобно для проведения численных тестовых расчетов. Проводится анализ этой системы, описывается алгоритм решения задачи Коши для этой системы методом выделения разрывов. В пункте 2.2 для системы уравнений изоэнтропического газа с показателем адиабаты 7 = 3 решается задача Коши с разрывными начальными данными. Приведены порядки сходимости и ошибки вычисления линии фронта ударной волны и "проходящего" инварианта на отрезке, лежащем в области влияния ударной волны, из которых видно, что, также как и в случае скалярного закона сохранения, при разрывных начальных данных метод выделения разрыва обеспечивает реальный порядок сходимости, совпадающий с формальной точностью соответствующей ему схемы Рунге-Кутта, как при расчете линии фронта ударной волны, так и при вычислении инварианта в области ее влияния. В пункте 2.3 для системы уравнений изоэнтропического газа с показателем адиабаты 7 = 3 решается задача Коши с гладкими начальными данными г(0, х) - -1, s(0, х) = vn(x).

По аналогии со скалярным случаем рассматривается три варианта, а именно когда начальная функция vn(x) имеет в нуле точку перегиба первого, второго и третьего порядка. Из проведенных расчетов видно, что, также как и в случае скалярного закона сохранения, при решении задачи Коши с гладкими начальными данными методы Рунге-Кутта второго и четвертого порядков обеспечивают скорость сходимости как к линии фронта ударной волны, так и к инварианту г в области ее влияния, заметно ниже их формальной точности. Проведен детальный сравнительный анализ всех численных расчетов, который показывает, что при переходе от скалярного уравнения к системе при всех п = 1,2,3 реальная точность методов Рунге-Кутта второго и четвертого порядков становится несколько ниже, а метода первого порядка - несколько выше.

В третьей главе предложен метод, позволяющий в рамках первого приближения теории мелкой воды моделировать процесс распространения прерывных волн по сухому руслу. В пункте 3.1 демонстрируется несоответствие результатов лабораторных экспериментов и натурных наблюдений, в которых прерывные волны распространяются по сухому руслу, с результатами численного моделирование аналогичных процессов в рамках классических уравнений теории мелкой воды. В пункте 3.2 рассматривается система базисных законов сохранения теории мелкой воды (система уравнений Сен-Венана) в случае прямоугольного русла постоянной ширины и переменной глубины, состоящая из закона сохранения массы и полного импульса. Показано, что эта система не допускает распространения прерывных волн конечной амплитуды по сухому руслу. В пункте 3.3 обнаружено, что скорость прерывных волн, распространяющихся по сухому руслу, совпадает со скоростью жидкости за их фронтом (D = щ), что на таких волнах происходит потеря полного импульса (5q < 0) и полной энергии (5е < 0) набегающего потока, что такие волны удовлетворяют энтропийному и эволюционному критерию устойчивости. В пункте 3.4 получена система законов сохранения массы и модифицированного импульса, представляющего собой линейную комбинацию законов сохранения полного и локального импульсов, в который входит эвристический параметр, подбираемый путем согласования с экспериментом. Показано, что получаемое из нее условие Гюгонио с одной стороны допускает распространение прерывных воли по сухому руслу, а с другой стороны с ростом глубины ho перед фронтом прерывной волны достаточно быстро асимптотически переходит в классическое соотношение. В пункте 3.5 проводится сравнение решения задачи о разрушении плотины по классической и модифицированной системе уравнений мелкой воды как в случае наличия жидкости, так и в случае ее отсутствия в нижнем бьефе. Показано, что заметные различия между классическим и модифицированным решением имеют место только при do <0.14 и особенно при do —> 0, где d0 - отношение начальных глубин жидкости в нижнем и верхнем бьефе плотины.

В четвертой главе предложен эффективный численный алгоритм сквозного счета, позволяющий на основе модифицированных базисных законов сохранения первого приближения теории мелкой воды численно моделировать процесс распространения прерывных волн по сухому руслу. В пункте 4.1 для модифицированной системы уравнений мелкой воды методом расщепления по физическим процессам на разнесенной по пространству сетке строится условно устойчивая разностная схема. Данная схема с учетом искусственных вязкостей, коэффициенты которых выбираются из тестовых расчетов, имеет первый порядок аппроксимации как по времени, так и по пространству и обладает заметно более высокой разрешимостью по сравнению с монотонными схемами формально повышенной точности (типа TVD или ENO) при расчете сложных волновых течений. В пункте 4.2 описан алгоритм, позволяющий моделировать движение свободной границы жидкости внутри расчетной области на основе метода "фиктивных ячеек". В пункте 4.3 приводятся результаты численного моделирования процесса формирования и распространения по сухому руслу прерывной волны, возникающей в результате разрушения плотины и резкого локального подъема дна (волны типа цунами). Рассматриваются случаи горизонтального и наклонного дна, а также дна с локальным препятствием в нижнем бьефе. Значения коэффициентов искусственных вязкостей выбираются как минимальные среди тех значений, которые обеспечивают отсутствие осцилляций за фронтами прерывных волн. В пункте 4.4 по аналогии с одномерным случаем получены пространственно двумерные уравнения модифицированного импульса, которые будут использоваться для численного моделирования задач о распространении прерывных волн по сухому руслу. В пункте 4.5 строится разностная схема для модифицированной системы уравнений мелкой воды. В пункте 4.6 приведены результаты численного моделирования задачи о распространении прерывной волны, возникающей в результате частичного разрушения плотины в русле с горизонтальным и трапециевидным дном, горизонтальным дном, имеющим в нижнем бьефе препятствие в виде полуэллипса, задачи о набегании на наклонный берег прерывной волны, возникающей в результате частичного разрушения плотины и задачи о набегании на наклонный берег, на котором расположено локальное препятсвие в виде полуэлипсоида, прерывной волны типа цунами, возникающей в результате резкого подъема локального участка дна.

В заключении приведены основные результаты работы.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: XXXIX, XLII Международных научных конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2001; 2004); Четвертой Сибирской школе-семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 2001); Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Казахстан, Усть-Каменогорск, 2003); Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, 2004); Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004); на семинарах института математического моделирования РАН, института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН; института вычислительных технологий СО РАН, института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, кафедры дифференциальных уравнений НГУ.

Заключение диссертации по теме "Вычислительная математика"

Заключение

3. На основе метода расщепления по физическим процессам и метода фиктивных ячеек разработан эффективный численный алгоритм сквозного счета, позволяющий в рамках модифицированной системы базисных законов сохранения теории мелкой воды моделировать процесс распространения прерывных волн по мелководью, их выход на берег и перетекание через различные береговые препятствия.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Борисова, Наталья Михайловна, Новосибирск

1. Абу-Халава М.И., Гладъшев М.Т. Механическая модель движения ограниченного объема жидкости по сухой наклонной плоскости // Инж.-физ. ж. 1998. Т. 71. № 6. С. 1126-1130.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука. 1975. 631 с.

3. Беликов В.В., Семенов А.Ю. Численный метод распада разрыва для решения уравнений теории мелкой воды // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. № 8. С. 1006-1019.

4. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Конъшин В.В. Метод расщепления для исследования течения стратифицированной жидкости со свободной поверхностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 4. С. 594-609.

5. Борисов В.М., Куриленко Ю.В. Расчет установившихся сверхзвуковых пространственных течений с головной ударной волной методом характеристик // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 4. С. 659-668.

6. Борисова Н.М. О моделировании процесса набегания прерывной волны на наклонный берег // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2007. - Т. 10, № 1. - С. 1-18.

7. Борисова Н.М., Остапенко В.В. О численном моделировании процесса распространения прерывных волн по сухому руслу. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. № 7. С. 1254-1276.

8. Букреев В.И., Гусев А.В. Гравитационные волны при распаде разрыва над уступом дна открытого канала // ПМТФ. 2003. Т. 44. № 4. С. 64-75.

9. Букреев В.И., Гусев А.В. Начальная стадия генерации волн при разрушении плотины // ДАН. 2005. т. 401. № 5. С. 1-4.

10. Букреев В.И., Гусев А.В., Малышева А.А., Малышева И.А. Экспериментальная проверка газо-гидравлической аналогии на примере задачи о разрушении плотины // Изв. РАН. МЖГ. 2004. ДО 5. С. 143-152.

11. Букреев В.И., Гусев А.В., Остапенко В.В. Волны в открытом канале, образующиеся при удалении щита перед неровным дном типа шельфа // Водные ресурсы. 2004. Т. 31. № 5. С. 540-546.

12. Букреев В. И., Гусев А.В., Остапенко В.В. Распад разрыва свободной поверхности жидкости над уступом дна канала // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 6. С. 72-83.

13. Васильев О.Ф., Гладышев М.Т. О расчете прерывных волн в открытых руслах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. № 6. С. 120-123.

14. Воеводин А.Ф., Остапенко В.В. О расчете прерывных волн в открытых руслах // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2000. Т. 3. № 4. С. 305-321.

15. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эволюционных систем. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1993. 368 с.

16. Ворожцов Е.В., Яненко Н.Н. Методы локализации особенностей, при численном решении задач газодинамики. Новосибирск: Наука, 1985. 224 с.

17. Годунов С.К. Воспоминания о разностных схемах. Новосибирск. Научная книга. 1997. 40 с.

18. Годунов С.К. Интересный класс квазилинейных систем // Докл. АН СССР. 1961. Т. 139, № 3. С. 521-523.

19. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики // Мат. сборник. 1959. Т. 47. № 3. С. 271-306.

20. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука. 1976. 400 с.

21. Голъдин В.Я., Калитин Н.Н., Шитова Т.В. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т. 5. № 5. С. 938-944.

22. Гущин В.А., Конъшин В.Н. Численное моделирование волновых движений жидкости. М.: Вычислительный центр АН СССР. 1985. 36 с.

23. Жуков А.И. Применение метода характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики // Труды Матем. ин-та им. Стеклова АН СССР. 1960. Т. 58. С. 1-152.

24. Иванов М.Я., Крайко А.Н. Об аппроксимации разрывных решений при использовании разностных схем сквозного счета // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1978. Т. 18. № 3. С. 780-783.

25. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука. 1989. 336 с.

26. Каменецкий В.Ф., Семенов А.Ю. Самосогласованное выделение разрывов при сквозных расчетах газодинамических течений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т.34, № 10. С. 1489-1502.

27. Колган В.П. Применение операторов сглаживания в разностных схемах высокого порядка точности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1978. Т. 18. ДО 5. С. 1340-1345.

28. Конъшин В.Н. Численное моделирование волновых движений жидкости: Дис. . кан. физ.-мат. наук / Моск. физ.-техн. ин-т. М. 1985. 131 с.

29. Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит. 2001. 607 с.

30. Любимов А.Н., Русанов В.В. Течения газа около тупых тел. М.: Наука. 1970. 4.1. 287 с. 4.2. - 379 с.

31. Ляпидевский В.Ю., Тешуков В.М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 420 с.

32. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. М.: Наука. 1988. 287 с.

33. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука. 1988. 63 с.

34. Маханов С. С., Семенов А.Ю. Моделирование движения жидкости со свободной поверхностью при обмелениях // Вод. ресурсы. 1995. Т. 22. ДО 4. С. 389-394.

35. Нажесткина Э.И., Русанов В.В., Шаракшанэ А.А. Тесты для проверки численных методов одномерной газовой динамики. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, N 135, 1985.

36. Овсянников Л. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1985. 318 с.

37. Остапенко В.В. Об аппроксимации законов сохранения разностными схемами сквозного счета. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т. 30. ДО 9. С. 1405-1417.

38. Остапенко В.В. О сквозном расчете прерывных волн // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т. 33, № 5. С. 743-752.

39. Остапенко В.В. О повышении порядка слабой аппроксимации законов сохранения на разрывных решениях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. № 10. С. 146-157.

40. Остапенко В.В. О сходимости разностных схем за фронтом нестационарной ударной волны. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37, № 10. С. 1201-1212.

41. Остапенко В.В. Аппроксимация условий Гюгонио явными консервативными разностными схемами на нестационарных ударных волнах // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1998. Т. 1. № 1. С. 77-88.

42. Остапенко В.В. Численное моделирование волновых течений, вызванных сходом берегового оползня // Прикладн. матем. и техн. физика. 1999. Т. 40. № 4. С. 109-117.

43. Остапенко В.В. О построении разностных схем повышенной точности для сквозного расчета нестационарных ударных волн. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 12. С. 1857-1874.

44. Остапенко В.В. Устойчивые ударные волны в двухслойной мелкой воде // При-кл. матем. и механ. 2001. Т. 65, вып. 1. С. 94-113.

45. Остапенко В.В. О разрывных решениях уравнений мелкой воды над уступом дна // Прикладн. матем. и техн. физика. 2002. т. 43. № 6. С. 62-74.

46. Остапенко В.В. Течения, возникающие при разрушении плотины над ступенькой дна // Прикладн. матем. и техн. физика. 2003. Т. 44. № 4. С. 51-63.

47. Остапенко В.В. Течения, возникающие при разрушении плотины над уступом дна // Прикладн. матем. и техн. физика. 2003. Т. 44. № 6. С. 107-122.

48. Остапенко В.В. Гиперболические системы законов сохранения и их приложение к теории мелкой воды. Новосибирск. Изд-во НГУ. 2004. 180 с.

49. Пинчуков В.И. О построении монотонных схем типа предиктор-корректор произвольного порядка аппроксимации // Матем. моделирование. 1991. Т. 3. № 9. С.95-103.

50. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука. 1978. 687 с.

51. Русанов В.В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного расчета разрывных решений // Докл. АН СССР 1968. Т. 180. № 6. С. 1303-1305.

52. Стокер Дж.Дж. Волны на воде. М.: Изд-во иностр. лит. 1959. 618 с.

53. Судобичер В.Г., Шугрин С.М. Движение потока воды по сухому руслу // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1968. № 13. вып. 3. С. 116-122.

54. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. М.: Наука. 1990. 232 с.

55. Шевелев Ю.Д. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики. М.: Наука. 1986. 368 с.

56. Шлычков В.А. Численное исследование переноса нефтезагрязнителей в прибрежной зоне водоема с помощью вихреразрешающей модели // Оптика атмосферы и океана. 2004. Т. 17. № 7. С. 605-608.

57. Шокин Ю.И., Чубарое Л.В., Марчук А.Г., Симонов К. В. Вычислительный эксперимент в проблеме цунами. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1989.167 с.

58. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука. 1985. 368 с.

59. Alcrudo F., Benkhaldoun F. Exact solutions to the Rieman problem of the shallow water equations with bottom step // Comput. and Fluids. 2001. V. 30. N. 6. P. 643671.

60. Bates P.D., Hervouet J.-M. A new method for moving-boundary hydrodynamic problems in shallow water // Proc. Roy. Soc. London. A. 1999. V. 455. № 1988. P. 3107-3128.

61. Casper J., Carpenter M.N. Computational consideration for the simulation of shock-induced sound // SIAM J. Sci. Comput. 1998. V. 19. № 1. P. 813 828.

62. Colicchio G., Colagrossi A., Greco M., Landrini M. Free-surface flow after a dam break: a comparative study // Shiffstechnik (Ship technology research). 2002. Bd. (V.) 49. № 3. P. 95-104.

63. Delis A., Skeels C.P. TVD schemes for open channal flow // Int. J. Numer. Methods in Fluids. 1998. V. 26. P. 791-809.

64. Di Giacinto M., Valorani M. Shock detection and discontinuity tracking for unsteady flows // Compurters and Fluids. 1989. V. 17. № 1. P. 61-84.

65. Dressier R.F. Comparison of theories and experiments for the hydraulic dam-break wave // Intern. Assoc. Sci. Hydrology. 1954. V. 3. № 38. P. 319-328.

66. Dressier R.F. Hydraulic resistance effect upon the dam-break functions //J. Res. Nat. Bur. Stand. 1952. V. 49. № 3. Sept. P. 217-225.

67. Engquist В., Sjogreen B. The convergence rate of finite difference schemes in the presence of shocks. // SIAM J. Numer. Anal. 1998. V. 35. P. 2464-2485.

68. Friedrichs K.O., Lax P.D. Systems of conservation equation with convex extension // Proc. Nat. Acad. Sci: USA. 1971. V. 68. N 8. P. 1686-1688.

69. Gottardi G., Venutelli M. Central schemes for open channal flow // Int. J. Numer. Methods in Fluids. 2003. V. 41. P. 841-861.

70. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws. // J. Сотр. Phys. 1983. V.49. P.357-393.

71. Harten A., Hyman J.M. Self-adjusting grid methods for one-dimensional hyperbolic conservation laws // J. Сотр. Phys. 1983. V. 50. № 2. P. 235-269.

72. Harten A., Osher S. Uniformly high-order accurate nonoscillatory schemes 11 SIAM J. Numer. Anal. 1987. V. 24. № 2. P. 279-309.

73. Henshaw W.D. A scheme for numerical solution of hyperbolic systems of conservation laws // J. Сотр. Phys. 1987. V. 68. № 1. P. 25-47.

74. Jensen A., Pedersen G.K., Wood D.J. An experimental study of wave run-up at a steep beach // J. Fluid Mech. 2003. V. 486. P. 161 188

75. Koshizuka S., Nobe A., Oka Y. Numerical analysis of breaking waves using the moving particle semi-implisit method // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1998. V. 26. P. 751-769.

76. Lax P. D. Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves. Philadelphia: Soc. Industr. and Appl. Math. 1972.

77. Lax P. D., Wendroff B. Systems of conservation laws // Comm. Pure andAppl. Math. 1960. V.13. P. 217-237.

78. LeVeque R.J. Numerical Methods for Conservation Laws. Basel, Boston: Birkhauser Verlag, 1992.

79. Martin J.C., Moyce W.J. An experimental study of the collaps of liquid columns on a rigid horizontal plane // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1952. 244A. P. 312-324.

80. Moretti G. A technique for integrating two-dimensional Euler equations // Compurters and Fluids. 1987. V. 15. ДО 1. P. 59-75.

81. Ritter A. Die fortpflanzung der wasserwellen // Z. Ver. deut. Ing. 1892. V. 36. P. 947-954.

82. Roe P.L. Approximate Riemann problem solvers, parameter vectors, and difference schemes // J. Сотр. Phys. 1981. V. 43. ДО 2. P. 357-372.

83. Schacht W., Vorozhtsov E. V., Voevodin A. F., Ostapenko V. V. Numerical modelling of hydraulic jumps in a spiral channel with rectangular cross section // Fluid Dynamics Research. 2002. V. 31. P. 185-213.

84. Shlychkov V.A. Numerical research currents channel with the help of flat plain model 11 Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. ICM MG Publisher. Novosibirsk, 2005. Issue 10. P. 85-91.

85. Stansby P.K., Chegini A., Barnes T.C.D. The initial stages of dam-break flow // J. Fluid Mech. 1998. V. 374. P. 407-424.

86. Van Leer В. Toward the ultimate conservative difference scheme. V.A second-order sequel to Godunov's method // J. Сотр. Phys. 1979. V. 32. № 1. P. 101-136.

87. Wang J., Ni H., He Y Finite-difference TVD schemes for computation of dam-breeak problems //J. Hydr. Engrg. ASCE. 2000. V. 126. P. 253-262.

88. Wang Zia-song, He You-sheng Finite volume TVD algorithm for dam-break flows in open channels // J. Hydrodyn. B. 2003. V. 15. № 3. P. 28-34.

89. Whitham G.B. The effects of hydraulic resistance in the dambreak problem // Proceed of the Royal Society, Ser. A. V. 227. 1955. № 1170. P. 399-407. РЖ Механика, 1960, № 6, реф. 7419.

90. Zhou X., Hon Y.C., Cheung K.F. A grid-free nonlinear shallow-water with moving boundary // Eng. Anal. Boundary Elem. 2004. V. 28. № 8. P. 967-973.b)