Численное моделирование течений жидкости со свободной поверхностью методом граничных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

I,

Штоколова Маргарита Николаевна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

01 02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6

По

Томск-2008

003172297

Работа выполнена на кафедре математической физики физико-технического факультета ГОУ ВПО «Томский государственный университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Якутенок Владимир Альбертович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Воеводин Анатолий Федорович, Институт гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН, г Новосибирск

доктор физико-математических наук, профессор

Бубенчиков Алексей Михайлович, Томский государственный университет, г Томск

Ведущая организация Институт механики сплошных сред

УрО РАН

Защита состоится 4 июля 2008 года в 10 час 00 мин на заседании диссертационного совета Д 212 267 13 при ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу 634050, г Томск, пр Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу г Томск, пр Ленина, 34а

Автореферат разослан 21 мая 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук

ЮФ Христенко \'

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена решению фундаментальных и прикладных задач о течениях идеальной и вязкой несжимаемых жидкостей со свободной поверхностью в плоской и осесимметричной постановках. Основой численного исследования рассматриваемых течений является метод граничных элементов.

Актуальность темы. Наличие свободной поверхности в области течения является характерной особенностью таких процессов, как распыление аэрозолей, нанесение покрытий, литье и многих других. Данное обстоятельство обуславливает неослабевающий интерес исследователей как к развитию методов решения, так и к более тщательному изучению конкретных задач, имеющих теоретическое и практическое значение.

В связи с нерегулярностью границ областей, характерной для исследуемых процессов, и сложностью математических постановок при количественном анализе трудно рассчитывать на получение аналитических результатов, и, как правило, решения большинства практических задач приходится искать с использованием численных методов Многообразие задач, связанных с исследованием течений жидкости со свободной поверхностью, породило значительное количество численных методик, учитывающих особенности той или иной рассматриваемой проблемы. Зачастую при создании алгоритмов и их численной реализации исследователи используют специальные приемы, связанные с отслеживанием эволюции свободной границы и выполнением граничных условий на ней. Выбор того или иного подхода в решении определяется спецификой задачи и особенностями методов, имеющихся в арсенале исследователя Эффективность метода напрямую влияет на возможность проведения точного численного эксперимента в заданном диапазоне изменения определяющих параметров

В настоящей работе предложена методика использования непрямого варианта метода граничных элементов для задач о течении жидкости со свободной поверхностью, как удобный эффективный инструмент при рассмотрении течений в областях сложной геометрии, с большими деформациями свободной границы, при наличии нескольких, значительно различающихся характерных размеров.

В работе исследуются две задачи о течении несжимаемой жидкости со свободной поверхностью: 1) моделирование процесса колебаний капли идеальной жидкости под действием сил поверхностного натяжения в невесомости в плоской и осесимметричной постановках; 2) течение высоковязкой жидкости в

частично заполненном горизонтальном цилиндре, вращающемся вокруг собственной оси с постоянной скоростью.

В задачах о течении жидкости со свободной границей представляет интерес не только изучение собственно самого процесса, но также рассмотрение вычислительных особенностей, возникающих при численном моделировании и, в конечном итоге, разработка эффективного вычислительного алгоритма расчета конкретных течений.

Вторая из рассматриваемых задач - исследование вязкого течения со свободной поверхностью в горизонтальном вращающемся цилиндре -представляет существенный прикладной интерес для процессов химической технологии. Характер движения жидкости определяет эффективность реализации таких технологических процессов, как смешение, центробежное литье, нанесение покрытий и других. В рассматриваемой задаче актуальными вопросами являются построение устойчивых вычислительных методик расчета режимов течения, позволяющих определять необходимые кинематические и динамические характеристики внутри области течения.

В работе большое внимание уделяется построению вычислительных процедур, включающих подробное рассмотрение особенностей сингулярных гранично-интегральных уравнений в каждой конкретной задаче.

В связи с вышеизложенным, целью диссертационной работы является

• Разработка устойчивых вычислительных методик расчета плоских и осесимметричных течений несжимаемой жидкости со свободной поверхностью на основе непрямого метода граничных элементов.

• Исследование процесса колебаний капли невязкой несжимаемой жидкости под действием сил поверхностного натяжения в невесомости.

• Моделирование течения высоковязкой жидкости в частично заполненном вращающемся горизонтальном цилиндре, проведение параметрических исследований процесса.

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждается как внутренними проверками используемых методик расчета (проверка аппроксимационной сходимости, выполнение законов сохранения), так и согласованием с известными экспериментальными данными, а также с теоретическими результатами, полученными другими авторами.

Научная новизна работы заключается в следующем:

❖ Разработан и протестирован алгоритм реализации метода граничных элементов для осесимметрияного случая; апробированы различные численные алгоритмы для расчета эволюции свободной поверхности, проведен их сравнительный анализ,

❖ Проведенное исследование колебаний капель идеальной жидкости позволило выявить влияние начальной деформации формы свободной поверхности на характеристики колебательного процесса.

❖ Сформулирована и реализована математическая постановка, позволяющая в рамках модели ползущего движения исследовать двумерное вязкое течение со свободной поверхностью внутри вращающегося горизонтального цилиндра. Разработана универсальная вычислительная методика на основе метода граничных элементов, использование которой позволило выявить установившиеся режимы течения высоковязкой жидкости внутри вращающегося горизонтального цилиндра; получить в широком диапазоне изменения определяющих параметров распределения кинематических и динамических характеристик внутри рассматриваемой области; исследовать эволюцию свободной границы.

Практическая значимость.

❖ Практическая ценность работ, посвященных исследованию процесса колебания капель, обусловлена широкими возможностями использования полученных результатов применительно к технологии спекания в порошковой металлургии, метеорологии, теории двухфазных потоков

❖ Исследуемое в работе течение вязкой жидкости в частично заполненном вращающемся горизонтальном цилиндре рассматривается как модель гидродинамического процесса, реализуемого в объемном (гравитационном) смесителе на стадии перемешивания. Предложенные модели позволяют получать хорошее согласование численных и экспериментальных данных по распределению характеристик течения, анализировать поля скоростей, распределения второго инварианта тензора напряжений, сдвиговых и сжимающих напряжений в области, занятой жидкостью, в широком диапазоне изменения определяющих параметров Определены диапазоны изменения определяющих параметров, для которых при определении характеристик течения можно использовать приближенное решение [Haji-Sheich А., Lakchimanarayanan R., Lou David Y.S Confined flow in a partially-filled rotating horizontal cylinder // Trans. ASME. J. Fluid Eng. 1985. V. 106. № 5. P. 270.]

Разработанные методики и пакеты прикладных программ внедрены в федеральном центре двойных технологий «Союз». Получено три акта внедрения программ расчета на предприятия ФГУП «ФЦДТ «Союз».

Работа выполнялась в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 06-08-00107а, 08-08-00064а), проекта ведомственной научной программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 60320), договоров с ФГУП «Федеральный центр двойных технологий «Союз» (х/д №1073 от 04.06.2003г., х/д № 1056 от 27.01.2005г., х/д № 1044 от 01.07.2005г., х/д № 1/18 (1059) от 11.01.2006г.), а также госконтракта с РоснаукоЙ на выполнение научно-исследовательской работы молодыми учеными во время проведения стажировок в российских научно-образовательных центрах (госконтракт №02.444.11.7137 от 26 октября 2005 г., конкурс по лоту N 2005-РИ-111.0/003).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритм реализации метода граничных элементов для расчета осесимметричных и плоских течений идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей;

2. Сравнительный анализ численных методик для расчета эволюции свободной поверхности;

3. Результаты численного анализа нелинейных колебаний капель идеальной несжимаемой жидкости под действием сил поверхностного натяжения;

4. Алгоритм решения задачи о течении вязкой жидкости, частично заполняющей вращающийся горизонтальный цилиндр;

5. Режимы течения, полученные при исследовании стационарных и квазистационарных гидродинамических процессов во вращающемся цилиндре;

6. Результаты расчетов кинематических, динамических характеристик и зависимости величины удельной мощности потока от определяющих параметров течения во вращающемся цилиндре.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции «Моделирование процессов в синергетических системах» (Улан-Удэ, 2002); на VIII Всероссийской научно-технической конференции «Механика летательных аппаратов и новые материалы» (Томск, 2003г); на IX Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Красноярск, 2003); на Всероссийской научной конференции молодых ученых (НГТУ, Новосибирск, 2003); на X всероссийской научно-технической конференции «Физика и химия

высокоэнергетических систем» (Томск, 2004), на научной сессии молодых ученых научно-образовательного центра «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2004); на IV и V Всероссийских научных конференциях «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2004, 2006), на I, И и III Всероссийских конференциях молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем». (Томск, 2005, 2006,2007); на VI Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (ИГиЛ СО РАН, Новосибирск, 2005); на Международной школе-конференции молодых ученых «Физика и химия наноматериалов» (Томск, 2005), на VI Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Ниж. Новгород, 2006); на XXII научной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Украина, Одесса, 2006); XLV Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (НГУ, Новосибирск, 2007); на XTV Международном симпозиуме «Оптика атмосферы и океана Физика атмосферы» (Бурятия, 2007) и на Всероссийской конференции «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» (ИГиЛ СО РАН, Новосибирск, 2007).

Публикации, Основные результаты диссертации представлены в трудах вышеперечисленных конференций, а также в журналах «Теоретические основы химической технологии», «Theoretical Foundations of Chemical Engineering», «Вычислительные технологии», «Известия вузов Физика», «Оптика атмосферы и океана». Всего по материалам диссертации опубликовано 28 работ [1-28].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Работа изложена на 137 страницах, содержит 30 рисунков, 4 таблицы, список литературы включает 201 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и практическая значимость проведенного в работе исследования, сформулированы его цели и задачи, представлены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

В первой главе приведен краткий обзор современных численных методов и методик, применяемых для моделирования течений идеальной и вязкой жидкостей со свободными границами.

Во второй главе рассматривается процесс нелинейных колебаний капли идеальной несжимаемой жидкости под действием сил поверхностного натяжения в отсутствии силы тяжести в плоской и осесимметричной постановках.

В п.2.1. представлен краткий обзор работ, посвященных исследованию указанного процесса, отмечается его практическая направленность.

Математическая постановка задачи приведена в п 2.2. В плоском приближении моделируется процесс колебаний бесконечного цилиндра идеальной жидкости, который в начальный момент времени покоится и имеет в поперечном сечении форму эллипса с полуосями а,Ь (рис. 1). В осесимметричном случае моделируется процесс колебаний капли, которая в начальный момент времени покоится и имеет форму вытянутого эллипсоида вращения с полуосями а, Ь, с = а (рис. 2).

Таким образом, начальная форма свободной границы задается уравнением

( г 2 л~У2 сое 9 вт 0

где Д9д) - функция, определяющая свободную границу, 0 -полярный угол, отсчитываемый от горизонтальной оси хь

Потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости описывается уравнением Лапласа для потенциала скорости:

У2ф = 0. (1)

В качестве характеристики начальной деформации капли в работе используется отношение большей и меньшей полуосей -к = Ь/а, к > 1. Начальное значение потенциала

Ф = 0. (2)

Граничное условие на свободной поверхности жидкости представляется в виде интеграла Коши-Лагранжа (безразмерная форма)

= -¿- + к (3)

Л 2

где к - кривизна свободной поверхности, VI, у2 - компоненты

вектора скорости V.

Поставленная задача в плоской и осесимметричной постановках решается методом граничных элементов (МГЭ) и методом конечных разностей (МКР), изложенными в п.2.3.

В данной задаче в качестве единственного параметра, определяющего характер течения и характеристики колебательного движения свободной поверхности выступает к = Ь/а .

х.

3

'а х-

ь

Рисунок 1 - Начальная форма области решения. Плоская постановка

Рисунок 2 -Начальная форма

области решения. Осесимметричная постановка

Для определения изменения формы свободной поверхности вдоль свободной границы располагается конечное число частиц, движение которых осуществляется в соответствии с эйлеровым (плоская и осесимметричная задачи) или лагранжевым (осесимметричная задача) представлением кинематического условия. В настоящей работе были исследованы следующие виды разностного представления кинематического условия на свободной границе: в лагранжевой форме со вторым порядком, в эйлеровой - с первым порядком, схема «предиктор-корректор» второго порядка и схема Рунге-Кутта четвертого порядка. Для реализации любого из используемых способов прежде всего необходимо решить краевую задачу (1)-(3), т.е. определить значения компонент вектора скорости на свободной поверхности.

В п 2 4. приведены результаты решения поставленной задачи. В плоском случае исходная задача решалась методом конечных разностей с использованием как метода Гаусса-Зейделя, так и метода установления на базе схемы продольно-поперечной прогонки. Величины периодов колебаний и последовательности форм свободной поверхности, полученные с применением различных схем, совпадают в диапазоне начальных деформаций 1.005 й к < 2.0.

Формы свободной поверхности, полученные с использованием конечно-разностного алгоритма, полностью аналогичны полученным с использованием метода граничных элементов, представленным на

рис.3. Как показало исследование, начиная с к = 1.9, в процессе колебаний наблюдаются гантелеобразные формы свободной поверхности (рис. 3).

В осесимметричном случае при решении поставленной задачи методом граничных элементов проведено тестирование различных алгоритмов расчета движения свободной поверхности.

Ь/а=1.2 Ь/а= 1.5

-2 -1 о 1 х, : -г и о

Ь/а= 2.1 Ь/а=2.3

Рисунок 3 - Формы свободной поверхности, плоский случай, МГЭ. Величина начальной деформации к = 1.2 (А), к = 1.5 (В),

к = 1.8(С), к = 1.9(Б), к = 2.1 (Е), к = 2.3(Р)

-1 0 1 *1 Ь/а=1.9

-1-'-!---—1-

-1 0 1

Ыа-1.8

в

Как показали расчеты, МГЭ для осесимметричной задачи удовлетворительно работает лишь при малых (начальное соотношение полуосей эллипсоида к < 1.2) деформациях свободной поверхности

вне зависимости от применяемого алгоритма расчета движения свободной границы. Этот результат отмечается также в работах [Lundgren T.S., Mansour N. N. Oscillations of drops in zéro gravity with weak viscous effects // J. Fluid Mech., 1988. -V. 194. - P. 479-510; Poznkidis C. Three-dimensional oscillations of mviscid drops induced by surface tension. H Computers & fluids. 2001. - V.30. - P.417-444], исследующих процесс колебаний капли невязкой жидкости гранично-интегральным методом.

Тестирование различных алгоритмов расчета эволюции поверхности показало, что при малых начальных деформациях поверхности все используемые методы дают практически одинаковые значения периода колебаний Характерной особенностью применения МГЭ к данной задаче является проявление неустойчивости движения свободной границы, что рано или поздно приводит к "развалу" расчетов. Основные отличия для примененных методов определяются двумя признаками: как скоро появится неустойчивость и произойдет прекращение расчета и каковы при этом будут ошибки вычисления массы капли. Проведенный анализ показал, что при реализации МГЭ в осесимметричном случае оптимальным алгоритмом для отслеживания эволюции капли является метод Эйлера (с использованием схемы разностей против потока). При сравнительно малых затратах вычислений траектории движения точек поверхности, полученные методом Эйлера первого порядка, практически идентичны (на этапе устойчивого счета) кривым, рассчитанным с использованием схемы Рунге-Кутга четвертого порядка, а также кривым, полученным с использованием лагранжевого представления второго порядка (рис. 4). При этом расчеты с помощью метода Эйлера с использованием схемы разностей против потока являются более устойчивыми по сравнению с другими применяемыми алгоритмами (например, для начальной деформации к=1 01 указанный метод позволяет вести расчет более четырех периодов, в то время как лагранжевый алгоритм - в лучшем случае два периода). Ошибки в вычислении объема при этом близки по величине и составили 0,21%, 0,89% и 0,63% для схемы второго порядка в лагранжевой форме и для эйлерова представления - схема разностей против потока и схема Рунге-Кутта соответственно. Это можно объяснить проявлением повышения устойчивости за счет схемной вязкости, присущей схеме Эйлера с разностями против потока.

Вывод о целесообразности использования схемы Эйлера для расчета эволюции поверхности жидкой капли получил подтверждение и в плоском случае в работе [Rush В. M., Nadim A. The shape oscillation

of a two-dimensional drop including viscous effects // Eng. Anal. Bound. Elements, 2000. - № 24. - P. 43-51].

Рисунок 4 - Траектории движения вершины о эллипсоида при начальной деформации к=1.01. Осесимметричный МГЭ. Наиболее устойчивые варианты расчетов для лагранжевого алгоритма (кривая 1), схем Рунге-Кутта (кривая 2) и Эйлера (кривая 3).

Таким образом, в осесимметричной постановке методом граничных элементов удалось исследовать лишь колебания капель, обладающих малой начальной деформацией поверхности до к=1.2.

Как и в плоском случае, с целью сопоставления полученных результатов задача в осесимметричной постановке решалась также с использованием конечно-разностного алгоритма. В результате расчетов МКР получены значения периодов колебаний и формы свободной поверхности в диапазоне изменения начальной деформации капли от к=1.005 до к=2.0.

Достоверность результатов определялась двумя параметрами, сохранением массы капли в течение процесса колебаний, а также сопоставлением полученного решения при малых начальных деформациях с аналитическим решением Рэлея. В процессе колебаний также велось наблюдение за изменениями кинетической, потенциальной энергий, а также за сохранением полной энергии капли

Согласно классическому результату Рэлея [Рэлей Д. Теория звука. Т. 2. М.: Гостехиздат, 1944. 476с] для малых колебаний капли невязкой жидкости в осесимметричной постановке справедлива формула

Т = 2я(п(п-1)(п + 2))-1/2. (4)

Так, для п = 2 период

Т = 2.2214. (5)

В таблице 1 приведены значения периода колебаний капли, вычисленные в плоской и осесимметричной постановках.

Таблица 1. - Значения периодов колебаний для плоского и

Соотношение Значение периода Т

полуосей к МКР МГЭ МКР МГЭ

(осесимм) (осесимм.) (плоек.) (плоек.)

1.01 2,18 2,22 2.47 2.55

1.1 2,19 2,23 2 48 2 57

1.2 2,20 2,24 2.50 2.61

1.5 2,25 - 2.56 2.72

1.7 2,30 - 2.60 2.79

1.8 2,32 - 2 62 2.82

Период колебаний капли, вычисленный МКР в осесимметричном приближении отличается от (5) при к<1.2 не более чем на 2% , а при 1 2<к<1 8 - не более чем на 4.5%. Значения периода колебаний полученные с использованием МГЭ для осесимметричной задачи отличаются от значения Рэлея не более чем на 1%. Таким образом, подтверждается вывод работы [Сметанин С.В, Шрагер ПР., Якутенок В.А. Численное исследование слияния капель вязкой жидкости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа 2000. - № 6. - С. 27-33] о применимости формулы Рэлея для случаев нелинейных колебаний при значительных начальных деформациях капли - до к=1.2 в осесимметричном случае

Потери массы капли при расчетах МКР и МГЭ практически не отличаются в плоском случае (0 002% и 0 001% соответственно), тогда как в осесимметричном случае МКР показал себя как более точный (0 01% по сравнению с 0 89% МГЭ) и устойчивый метод расчета (при начальных деформациях к>1 2).

Следует отметить, что, начиная с к =1.9, наблюдаются гантелеобразные формы свободной поверхности (рис. 3). С увеличением начальной деформации к период колебаний возрастает и в плоском, и в осесимметричном приближениях, что согласуется с выводами работы [Tsamopoulos J. A., Brown. R. A. Nonlinear oscillations of mviscid drops and bubbles // J. Fluid Mech., 1983. - V. 127. - P. 519537].

В главе 3 в рамках численного моделирования с использованием модели ползущего течения, исследовано поведение

объема вязкой жидкости, заполняющего часть горизонтального цилиндра, вращающегося с постоянной угловой скоростью.

В п.3.1. представлен краткий обзор работ, посвященных исследованию течений жидкости со свободной поверхностью внутри цилиндра.

В п.3.2. приведена постановка задачи. В рамках модели ползущего течения движение жидкости описывается уравнениями Стокса и уравнением неразрывности, которые в безразмерной форме имеют вид

= = (6) дх.}дх} бх,

£-0. (7)

где V, - компоненты вектора скорости, х, - декартовы координаты. В качестве масштаба скорости используется величина ©•Я, масштаба длины - Я, где со - угловая скорость вращения цилиндра, Я - радиус цилиндра. Безразмерная величина модифицированного давления представляется в виде р = р/(цсо)- Wx2, где р - размерная величина давления,

^ = /(цо) ~ безразмерный комплекс, характеризующий соотношение гравитационных и вязких сил в потоке, р - плотность жидкости, § - вектор ускорения силы тяжести.

Граничное условие на твердой стенке - условие прилипания У!=1-х2, У2=Х!-1. (8)

На свободной поверхности задается условие отсутствия касательных напряжений и равенство нормального напряжения давлению внутри цилиндра

ПМ^-ро+^ВДп,. (9)

Для нахождения новой формы свободной границы используется кинематическое условие, которое записывается в эйлеровой форме как ж

—-ч-у^с^О, (10а)

от

или в лагранжевой форме где Г = £(9,1) - функция, описывающая свободную границу.

* = (Юб)

(И

Задача рассматривается в плоской постановке, т е считается, что влиянием торцевых стенок на течение в рассматриваемом поперечном сечении цилиндра можно пренебречь.

Область течения в начальный момент времени и ее геометрические характеристики в безразмерном виде представлены на рис. 5. Начальная форма области, занятой жидкостью может быть задана в виде сегмента в нижней части цилиндра, при этом свободная поверхность горизонтальна, либо в виде окружности с центром на оси вращения цилиндра, что соответствует распределению жидкости слоем равномерной толщины на поверхности цилиндра

Решение поставленной задачи осуществлялось непрямым методом граничных элементов, описанным в п 3 3 Стационарная форма свободной поверхности определялась методом последовательных приближений с использованием кинематического условия (10) с начальной формы, представленной на рис 5 В

XI X]

Рисунок 5 - Течение в горизонтальном вращающемся цилиндре, начальная форма свободной поверхности А - сегмент высотой (1-г0) < Я, В - окружность с центром на оси вращения цилиндра

В п 3 4. представлены результаты численного исследования В рассматриваемой задаче наряду с параметром присутствует параметр X - коэффициент заполнения (отношение объемов жидкости и цилиндра) В результате исследования стационарного движения ньютоновской жидкости во вращающемся цилиндре установлено, что существуют два режима установившегося течения в горизонтальном цилиндре, вращающемся с постоянной скоростью с зоной возвратного течения и без нее

При W —> 0 реализуется случай квазитвердого движения, и свободная поверхность имеет вид окружности. При возрастании W увеличивается толщина слоя на поднимающейся стороне цилиндра и уменьшается на опускающейся. Далее, при достижении некоторого критического значения W = W , происходит образование наплыва на свободной поверхности и зарождение в месте наплыва циркуляционной зоны. С ростом величины X критическое значение W* уменьшается. При достаточно больших значениях числа W практически весь объем жидкости находится в нижней части цилиндра и поверхность цилиндра, расположенная выше уровня жидкости, покрыта тонкой пленкой. Эволюция свободной поверхности и соответствующая структура течения при изменении чисел W и А. показаны на рис.6.

Для режима течения, реализующегося при W < W , проведены сравнения получаемых форм свободной поверхности с данными [Orr F.M., Scriven L.E. Rimming flow: numerical simulation of steady viscous free surface flow with surface tension // J. Fluid Mech. 1978. - V. 84. - № 1. — P. 145.] при X =0.75, показанные на рис.7. На основе расчетов течения при различных значениях X построена зависимость критического значения W от X, показанная на рис. 8 сплошной линией.

Рисунок 6 - Формы свободной поверхности при А, = 0,19 (а, б, в) и X = 0,36 (г, д, е), W= 50 (а), 80 (б), 500 (в), 10 (г), 70 (д) и 500 (е).

0 50

046

0 я 2я

Рисунок 7 - Сравнение форм свободной поверхности при X = 0 75, W = 05 (1) и 2 (2) по результатам настоящей работы (сплошные кривые) и данным [Orr F.M., Scriven LE] (штриховые линии)

0 2 0 4 X

Рисунок 8 - Зависимость критического числа W* от коэффициента заполнения \ (1) -полученное расчетным путем (настоящая работа), (2) -вычисленное по формуле [Fomin S и др ], (3) - предложенная формула Точками отмечены данные эксперимента [Олицкий А Ф, Шрагер Г Р , Якутенок В А ] Выше этой кривой реализуется течение с циркуляционной зоной, ниже - без нее, с небольшими отклонениями свободной поверхности от окружности В работе [Fomin S, Watterson J, Raghunathan S , Harkin-Jones E. The run-off condition and hydraulic jump m rimming flow of a non-Newtonian fluid // Proceedings of the ASME 2001 Fluids Engineering Division Summer Meeting, New Orleans, 29 May-1 June 2001, Paper FEDSM 2001-18186] в приближении теории смазки получено условие перехода от первого вида течения ко второму Это условие в безразмерной форме для ньютоновской жидкости

формулируется с использованием равенства Численное

исследование, представленное в настоящей работе позволяет уточнить

условие существования однонаправленного течения WW" <-\/з,что согласуется с экспериментальными результатами, полученными в [Олицкий А.Ф , Шрагер Г Р, Якутенок В А Течение вязкой жидкости в частично заполненном вращающемся горизонтальном цилиндре // Изв. РАН. МЖГ. 1993 - № 3 - С 25-30]

На рис. 9 приведены экспериментальные и расчетные данные по зависимости средней толщины уносимого слоя h от числа W'1 (используется безразмерный параметр h/R, где R- радиус цилиндра)

За величину И приближенно принимали толщину уносимого слоя в верхней части потока, которую определяли по полученным в эксперименте фотографиям, либо по расчетной форме свободной

поверхности Экспериментальные зависимости И/Я = Г(\У"!) получены для модельной смеси, описываемой степенным

реологическим законом, при Х=0,3, К=34Па С", п=0,88, р=900 кг/м3 Параллельно построена расчетная кривая при Л.=0,3 Видно, что обе кривые весьма близки друг другу , что также подтверждает адекватность расчетной модели Незначительная разница может быть объяснена как экспериментальными погрешностями, так и влиянием аномалии вязкости модельной среды

В качестве характеристики интенсивности перемешивания жидкости в данном течении может использоваться величина удельной мощности [Стренк Ф Перемешивание и аппараты с мешалками Польша, 1971 Пер с польск Под ред Щупляка И А Л, "Химия", 1975] Представляет интерес выяснение характера зависимости величины Муд от скорости вращения цилиндра ш при прочих равных условиях Такой зависимости для заданного значения X соответствует

функция безразмерного комплекса Т = Иуд ^д/(ряК)2) от

безразмерного аргумента = цсо/(р§Я) Характер полученных в расчетах зависимостей иллюстрирует рис 10 наличие максимумов на кривых показывает возможность выбора частоты вращения цилиндра, обеспечивающей максимальную интенсивность перемешивания при прочих равных условиях Зависимость удельной мощности перемешивания от частоты вращения имеет экстремальный характер, что впервые показано расчетным путем и также подтверждено экспериментально [Меркулов В М , Банзула Ю Б , Ляханов Ю А , Глушков И А, Карязов С В , Муханова Л М, Шрагер Г.Р., , Якутенок В А Штоколова М Н Расчетно-экспериментальная оценка параметров течения во вращающемся объемном смесителе композиций с высокой адгезией к стенкам аппарата //ФГУП «ФЦДТ «Союз», г. Дзержинский, научно-технический отчет о НИР № 286/18,2004г]

Ь/Ч' 012008- 004■ ° ВычиспмпапыыО эксперимент) Физический ' ^^^^^ ...........Ш18ВШВШ

Э о'01 0 02 0 03 V*

Рисунок 9 - Зависимость безразмерной толщины уносимого слоя от числа Х=0 3, р=900 кг/мЗ , К=34Па-сп, п=0 88

Получены распределения нормального и касательного напряжений на стенке. Сравнение результатов расчета касательного напряжения на стенке с приближенным решением [Haji-Sheich А, Lakchimanarayanan R., Lou David Y S Confined flow in a partially-filled rotatmg horizontal cylmder//Trans ASME J Fluid Eng 1985 V 106 № 5. P. 270] представлено на рис 11 (сплошной линией изображены результаты настоящей работы)

Хорошее согласование представленной зависимости подтверждает обоснованность приближения, используемого в работе [Haji-Sheich А, Lakchimanarayanan R, Lou David YS], для описания предельного режима течения, когда практически весь объем жидкости находится в нижней части цилиндра

О 01-1 т

О 008-

0 006'

0 004-

0 002

30-

20-1'

—I—

О 08

—I-1

О 16 1/W

Рисунок 10 - Зависимость безразмерной величины удельной мощности Т от безразмерной скорости вращения 1ЛУ (кривая 1 - Х= 0,2; 2-Х= 0,3, 3-Х= 0,51)

0 л/2 л Зл/2 ф 2л

Рисунок 11 - Безразмерное касательное напряжение на стенке (сравнение с

приближенным решением [Haji-Sheich А, Lakchimanarayanan R, Lou David Y S ]), W = 500, X = 03

Метод граничных элементов позволяет непрерывным образом вычислять значения необходимых функций в области решения Вследствие этого, используя множество внутренних точек произвольной структуры и соответствующие графические программные средства, становится возможным визуализация рассчитанных полей

Вычисление энергии вязкой диссипации внутри области течения можно осуществить по формуле Ед = ц Е2 = Т2/ц, где Е2, Т2 -

вторые инварианты тензоров скоростей деформаций и напряжений соответственно

Безразмерный аналог этих равенств имеет вид Ед =Е2 = ^2-

Таким образом, вычисление распределения безразмерной величины Т2 позволяет одновременно оценивать напряженное состояние в области течения и тепловыделения за счет вязкой диссипации. Распределения Т2 для различных чисел ¡V и X приведены на рис. 12. Как следует из этих рисунков, увеличение коэффициента заполнения емкости X приводит к росту максимальных значений интенсивности напряжений, а, следовательно, и повышению локальных тепловыделений за счет вязкой диссипации.

) 0.20.40,60,8 1 1.21,41,61,8 2

О 0,20.40,60.8 1 1.21,41,61,8 2

1А 1.21

|50 ЙЗО

ч-М

0 0,20.40,60,8 1 1,21,41,61,8 2

0 0,20,40,60.8 1 1.21,41,61,8 2

0 0.20.40,60.8 1 1,21,41,61,8 2

Рисунок 12 - Распределение интенсивности напряжений по области течения при X = 0,2 (а, г), X = 0,3 (б, д) и X = 0,4 (в, е), Ш= 15 (а, б, в), 70 (г, д, е)

На рис. 13 представлены распределения безразмерных значений компонент тензора напряжений

1 дуг уе „<9Уг

ст

гб

г от

г эе дг

5

С целью исследования характера течения при переходе от начального горизонтального положения к некоторой стационарной форме начальная форма области задается в виде, представленном на рис. 5 А. Расчеты для этого случая проведены при X = 0.094 ч- 0.436 (г0 =0.7 + 0.1) и ^^З + ЗОСрис. 14).

Рисунок 13 - Распределения безразмерных значений компоненты Сд. (а, в) и ст^ (б, г) тензора напряжений в потоке при X = 0,4 , Ш = 15

(а, б), 70 (в, г)

Как следует из рис. 14 А) при W = 5, А, = 0.094 осуществляется фактически квазитвердое вращение объема жидкости с малыми деформациями свободной поверхности, по крайней мере, на протяжении двух периодов (значение безразмерного времени совпадает с углом поворота цилиндра вокруг своей оси). При этом величина смоченной поверхности твердой стенки растет чрезвычайно медленно. В случае, показанном на рис. 14 В, реализуется течение, сочетающее формирование пристеночного слоя жидкости и образование наплыва с элементами циркуляционного движения. Вариант 14 С показывает, что возможно появление каплевидных образований, что классифицируется в технологии центробежного литья как эффект «дождевания» [Юдин С.Б., Левин М.М., Розенфельд С.Е. Центробежное литье. М.: Машиностроение. - 1972. 280 с]. Наличие такого типа поведения свободной поверхности подтверждается также данными работы [Deiber J.A., Cerro R.L. Viscous flow with a free surface inside a horizontal rotating drum // Ind. and Eng. Chem., Fundam., 1976. -V. 15. - № 2. - P. 102]. Вариант D относится к случаю, когда основная масса жидкости остается в нижней части цилиндра, а на поднимающейся стенке образуется достаточно тонкая пленка. Смачивание внутренней поверхности для конкретных X происходит тем быстрее, чем больше число W .

АЕ А2 A3 АА

Рисунок 14 - Эволюция формы свободной поверхности при W = 5,

X = 0 094 (г0 = 0 7) А 1 (t = 0 069), А 2 (t = 3 082), А 3 (t = 5 172),

А 4 (t = 12 606), W = 10, X = 0 312 (г0 = 0 3). В 1 (t = 0 001),

В 2 (t = 2 313), В 3 (t = 7 173), В 4 (t = 8 640), W = 50, X =0 094 (r0 = 0 7) С 1 (t = 0 032), С 2 (t = 4 130), С 3 (t = 5 708), С 4 (t = 6 071) и

W = 50,Х = 0 436 (го = 0 1) D 1 (t = 0 074), D 2 (t = 1 103), D 3 (t = 2 621), D 4 (t = 3 942) - штриховой линией представлена установившаяся форма свободной поверхности

Формы свободной поверхности в момент ее замыкания хорошо согласуются со стационарными формами, полученными методом последовательных приближений из начального положения в виде, представленном на рис 5 В, что иллюстрируется рисунком 14 D 4) Штриховой линией показана стационарная форма

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Разработан и протестирован алгоритм реализации метода граничных элементов для осесимметричной задачи, апробированы различные алгоритмы расчета эволюции свободной поверхности, проведен их сравнительный анализ

2. Обнаружено, что период колебаний осесимметричной капли, а также бесконечного цилиндрического объема идеальной жидкости возрастает с увеличением начальной деформации.

3. При рассмотрении процесса колебаний во всех рассмотренных случаях, начиная с к =1.9 наблюдаются гантелеобразные формы свободной поверхности, что позволяет предположить существование критических начальных деформаций, приводящих к дроблению капель.

4. Выявлены два режима установившегося течения высоковязкой жидкости внутри вращающегося горизонтального цилиндра, получены критические значения параметров, разделяющие эти режимы Полученные данные подтверждаются результатами экспериментов

5 На основе непрямого метода граничных элементов разработан алгоритм расчета кинематических и динамических характеристик течения жидкости внутри вращающегося горизонтального цилиндра Проведены параметрические исследования указанных характеристик процесса в широком диапазоне изменения коэффициента заполнения X и безразмерного комплекса V/ Распределение сдвиговых и сжимающих напряжений позволяет оценить взаимодействие частиц жидкости в потоке и на границах области, а значение второго инварианта тензора напряжений - выделить зоны с максимальным тепловыделением

6 Представлены зависимости величины удельной мощности потока от определяющих параметров, позволяющие получить косвенное представление об эффективности перемешивания жидкости в рассматриваемом течении Зависимость удельной мощности перемешивания от частоты вращения имеет экстремальный характер, что впервые показано расчетным путем и также подтверждено экспериментально

7. Сформулирована и реализована математическая постановка задачи, позволяющая определить эволюцию свободной границы на начальном этапе вращения цилиндра из положения горизонтальной свободной границы. В результате параметрических исследований определены особенности формирования свободной границы на начальном этапе вращения в зависимости от определяющих параметров. Здесь выявлены четыре типа поведения свободной поверхности-

1) практически квазитвердое поведение (рис. 14 А) с небольшими искажениями плоской свободной поверхности на достаточно большом промежутке времени;

2) образование на переходном этапе наплывов на свободной поверхности, с последующим их исчезновением и установлением

формы в виде слоя, покрывающего всю внутреннюю поверхность цилиндра (рис 14 В),

3) течение с отрывом капель (рис 14 С),

4) образование зоны циркуляционного течения в нижней части цилиндра и тонкого слоя на остальной части твердой стенки (рис 14 D)

Список публикаций по теме диссертации

1 Штоколова М Н, Якутенок В А Нелинейные колебания объема жидкости под действием сил поверхностного натяжения // Моделирование процессов в синергетических системах Сб статей -Улан-Удэ - Томск. Изд-во ТГУ,2002 -С 65-67

2 Якутенок В А, Штоколова М Н Сравнение прямого и непрямого вариантов МГЭ для задачи с угловыми точками // Механика летательных аппаратов и новые материалы Сб избранных докладов VIII Всероссийской научно-технической конференции / Под ред Э Р Шрагера. -Томск Изд-во Том ун-та, 2003 - С 51-53

3 Штоколова МН О методах расчета потенциальных течений со свободной поверхностью // Девятая всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых Тезисы докладов' В 2 т Т 1 -Екатеринбург-Красноярск Изд-во АСФ России, 2003 - С 417-419

4 Штоколова М Н, Якутенок В А Исследование периода колебаний капли невязкой жидкости // Физика и химия высокоэнергетических систем. Сб избранных докладов научно-технической конференции / Под ред Э Р Шрагера - Томск Изд-во Том ун-та, 2003 - С 46-47

5 Штоколова М Н Моделирование процесса колебаний капли невязкой жидкости методами граничных элементов и конечных разностей // Материалы докладов всероссийской научной конференции молодых ученых в 6-ти ч - Новосибирск Изд-во НГТУ, 2003 -Ч 1 -С 169-170

6 Штоколова М Н Моделирование течения вязкой жидкости в частично заполненном вращающемся горизонтальном цилиндре методом граничных элементов // Физика и химия высокоэнергетических систем Материалы научной сессии молодых ученых научно-образовательного центра -Томск ИФПМ СО РАН, 2004 - С 73-74

7 Шрагер Г Р , Штоколова М Н , Якутенок В А Численное исследование процесса смешения в смесителях барабанного типа //Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики Доклады конференции -Томск изд-во Том ун-та, 2004 - С 325-326

8 Штоколова М Н Исследование колебания капли под действием поверхностного натяжения //Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики Доклады конференции - Томск" изд-во Том ун-та, 2004 -С 327-328

9. Банзула Ю. Б, Глушков И. А., Карязов С В , Меркулов В M, Милехин Ю. М., Шрагер Г. Р , Штоколова M H , Якутенок В А Исследование процесса течения вязко-текучих композиций в смеси~елях барабанного типа //Материалы II Всероссийской конференции "Энергетические конденсированные системы" памяти академика Б П Жукова (9-13 ноября 2004г.) - г Черноголовка 2004 г - С 83

10. Штоколова М.Н., Якутенок В А Вычислительные проблемы моделирования задачи о колебаниях капли //Материалы I всероссийской конференции молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем» - Томск- изд-во Том ун-та, 2005 - С 240-242

11 Шрагер Г.Р., Штоколова M H, Якутенок В А, Милехин Ю M, Меркулов В М., Банзула Ю Б, Карязов С В, Глушков И А Моделирование вязкого течения со свободной поверхностью внутри вращающегося горизонтального цилиндра //Теоретические основы химической технологии, 2005 -Т 39 -№3 -С 303-309

12 G R. Shrager, M N Shtokolova, V A Yakutenok, Yu M Milekhin, V M Merkulov, Yu В Banzula, S V Karyazov, and I A Glushkov Modeling of the Viscous Flow with a Free Surface inside a Rotating Horizontal Cylinder //J Theoretical Foundations of Chemical Engineering - Vol 39 - N 3, 2005 -pp 283-289

13 Шрагер ГР, Штоколова MH, Якутенок В А Моделирование задач динамики жидкости со свободными границами непрямым методом граничных элементов //Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» Тезисы докладов -Новосибирск. ИГ им MA Лаврентьева СО РАН, 2005 - С 181

14 Штоколова МН, Якутенок В А Моделирование течений неньютоновской жидкости методом граничных элементов //Физика и химия наноматериалов Сб материалов международной школы-конференции молодых ученых (13-16 декабря 2005г ) -Томск ТГУ, 2005 - С 499-502

15 Штоколова М.Н, Якутенок В А Применение линейной аппроксимации в методе граничных элементов для моделирования течений вязкой жидкости //Материалы II Всероссийской конференции молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем» - Томск изд-во Том унта, 2006 -С 348-351

16 Ю Б Банзула, C.B. Карязов, В M Меркулов, Ю M Милехин, А В Новошинцев, Г.Р Шрагер, В А , M H Штоколова, В А Якутенок Моделирование гидродинамических процессов в технологии переработки полимерных композиций методом свободного литья // Аннотации докладов IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород Изд-во Нижегород ун-та, 2006 -С 21-22 17. Штоколова М.Н, Якутенок В А Применение линейной аппроксимации в методе граничных элементов для моделирования течений вязкой

жидкости //Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики Докл V всеросс конференции. - Томск- изд-во Том. ун-та, 2006 - С. 561-562

18 Штоколова M H, Якутенок В А Численное моделирование колебаний невязкой капли под действием поверхностного натяжения //«Дисперсные системы» Тезисы докладов XXII научной конференции стран СНГ -Одесса, Одесский нац ин-т им И Мечникова, изд-во «Астропринт» -

2006 - С 373-374

19 Якутенок В А , Штоколова M H Численное моделирование плоских течений неньютоновской жидкости со свободной поверхностью методом граничных элементов // «Вычислительные технологии», 2006 — Т 11 — №5 -С 106-118

20 Шрагер Г Р , Якутенок В А , Штоколова M H Расчет динамических характеристик течения в частично заполненном вращающемся горизонтальном цилиндре //Изв вузов Физика - 2006 - Т 49 - № 6 Приложение - С 167-171

21 Шрагер ГР, Штоколова МН, Якутенок В А. Численное моделирование течения вязкой жидкости, частично заполняющей горизонтальный вращающийся цилиндр //Материалы XLV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» Математика/ Новосиб Гос Ун-т Новосибирск,

2007 - С 65

22 Штоколова M H, Формирование различных режимов течения вязкой жидкости в частично заполненном горизонтальном вращающемся цилиндре //Физика и химия высокоэнергетических систем Сб. материалов III Всероссийской конференции молодых ученых (24-27 апреля 2007г ) -Томск ТМЛ-Пресс, 2007 - С 250-252

23 Штоколова M H , Якутенок В А Численное моделирование колебаний невязкой капли под действием поверхностного натяжения //Оптика атмосферы и океана, 2007г -Т 20 -№07 - С 609-613

24 Шрагер Г Р , Штоколова M H , Якутенок В А Моделирование процессов слияния и колебаний капель в условиях невесомости //XIV Международный симпозиум «Оптика атмосферы и океана Физика атмосферы» Россия Бурятия 24-29 июня 2007 - С 179

25 Шрагер Г Р, Штоколова M H, Якутенок В А. Эволюция свободной поверхности вязкой жидкости внутри вращающегося горизонтального цилиндра //Всероссийская конференция «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» // Тезисы докладов - Новосибирск ИГ им MA Лаврентьева СО РАН, 2007 - С 188

26 Меркулов В М, Банзула Ю Б , Карязов С В , Глушков И.А, Шрагер Г Р, Штоколова M H, Якутенок В.А Закономерности процессов перемешивания высоковязких композиций в смесителях барабанного типа //Химическая технология Сб тезисов докладов Международной

конференции по химической технологии ХТ'07- M ЛЕНАНД, 2007 -Т 2 - С 204-206

27 M N. Shtokolova, V A Yakutenok Numerical simulation of mviscid drop oscillations induced by the surface tension HJ Atmospheric and Oceanic Optics, 2007, vol 20, No 07, p 557-560

28 Штоколова M H , Я кутенок В А Эволюция свободной поверхности объема вязкой жидкости внутри вращающегося горизонтального цилиндра // Математические модели физических процессов Материалы 12й международной научной конференции (14-15 сентября 2007г ) - Таганрог изд-во ТГПИ, 2007 -Т1 -С 121-126

Тираж 100 экз Отпечатано в КЦ «Позитив» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а

Перечень условных обозначений и сокращений

Введение

1 Моделирование течений жидкости со свободной поверхностью

1.1 Численные методы решения задач о течении невязкой жидкости со свободной поверхностью

1.2 Численные методы решения задач о течении вязкой жидкости со свободной поверхностью

2. Колебания капли невязкой жидкости под действием сил поверхностного натяжения

2.1 Введение

2.2 Постановка задачи

2.3 Методы решения

2.3.1 Метод граничных элементов 32 Плоский случай 32 Осесимметричный случай

2.3.2 Метод конечных разностей

2.3.3 Эволюционные алгоритмы расчета движения свободной поверхности

2.4 Результаты исследования 55 3 Моделирование вязкого течения со свободной поверхностью внутри вращающегося горизонтального цилиндра

3.1 Введение

3.2 Постановка задачи

3.3 Метод расчета

3.4 Результаты 89 Заключение 115 Литература

Перечень условных обозначений и сокращений

В список включены основные сокращения и условные обозначения, используемые при изложении. Вновь встречающиеся обозначения и сокращения оговариваются отдельно.

- компоненты вектора ускорения силы тяжести

§;

П1 - компоненты вектора нормали п; р - давление внутри жидкости; ро - внешнее давление; г, 0 - полярные координаты;

Я - радиус цилиндра;

Б - граница области;

I - время; - компоненты вектора усилий г; V = юЯ - характерная скорость; У[ - компоненты вектора скорости V; X; - декартовы координаты; ос - коэффициент поверхностного натяжения жидкости; к - кривизна свободной поверхности; X - объемный коэффициент заполнения; ц - коэффициент динамической вязкости;

Диссертационная работа посвящена решению фундаментальных и прикладных задач о течениях идеальной и вязкой несжимаемых жидкостей со свободной поверхностью в плоской и осесимметричной постановках. В качестве инструмента исследований применяется метод граничных элементов.

Класс задач о течении жидкости со свободной поверхностью представляет большой интерес для самых различных областей науки и техники, будь то химическая технология, гидрометеорология, охрана окружающей среды или аэрокосмические исследования. Наличие свободной поверхности в области течения является характерной особенностью таких процессов, как распыление аэрозолей, нанесение покрытий, литье и многих других. Данное обстоятельство обуславливает неослабевающий интерес исследователей как к развитию методов решения, так и к более тщательному изучению конкретных задач, имеющих теоретическое и практическое значение.

В связи с нерегулярностью границ областей, характерной для исследуемых процессов, при количественном анализе трудно рассчитывать на получение аналитических результатов, и, как правило, решения большинства практических задач приходится искать с использованием численных методов. Многообразие задач, связанных с исследованием течений жидкости со свободной поверхностью, породило значительное количество численных методик, учитывающих особенности той или иной рассматриваемой проблемы. Зачастую при создании алгоритмов и их численной реализации исследователи используют специальные приемы, связанные с отслеживанием эволюции свободной границы и выполнением граничных условий на ней. Также остро стоит вопрос о повышении точности расчетов в окрестности линий трехфазного контакта. Выбор того или иного подхода к решению определяется спецификой задачи и особенностями методов, имеющихся в арсенале исследователя. Эффективность метода напрямую влияет на возможность проведения точного численного эксперимента в заданном диапазоне изменения определяющих параметров.

В настоящей работе исследуются две задачи о течении несжимаемой жидкости со свободной поверхностью: 1) смоделирован процесс колебаний капли идеальной жидкости под действием сил поверхностного натяжения в невесомости; 2) проведено исследование течения высоковязкой жидкости в частично заполненном горизонтальном цилиндре, вращающемся вокруг собственной оси с постоянной скоростью.

Детальное изучение поведения жидкостей в капельном состоянии интересует исследователей на протяжении вот уже более полутора сотен лет. В первую очередь, этот класс задач интересен в связи со своей непосредственной практической значимостью, так как жидкости в капельном состоянии встречаются во многих природных и технологических процессах. Возрождение интереса к изучению колебаний капель в безгравитационной среде в последние два десятилетия связано с применением космических технологий, включающих бесконтейнерное производство материалов [1]. В геологии и кристаллографии исследование процессов разрыва капель и газожидких пузырьков в минералах позволяет судить об истории возникновения минералов. Возможность предсказания поведения капель важна в таких явлениях как распыление аэрозолей [2], нанесение покрытий методом напыления, гетерогенное горение, технологии бесконтейнерного производства материалов в космосе, клеточное деление в биологических системах, взаимодействие поверхностей радаров с влагой дождевых облаков [3], а также непрямое измерение реологических параметров жидкостей.

Существенную роль в изучении поведения жидкостей в капельном состоянии в том или ином процессе играют, конечно, натурные эксперименты и эксперименты, проводимые на модельных установках. Недавно было предложено оптическое измерение частоты колебаний как неагрессивный метод оценки динамики поверхностного натяжения и, возможно, прочих физических констант, связанных с поверхностной реологией [4-6]. Получение аналитических результатов для большинства рассматриваемых процессов затруднено сложностью используемого математического аппарата и нерегулярностью границ областей, поэтому важнейшим инструментом изучения здесь являются численные методы. Применительно к гидродинамике использование численного эксперимента часто оказывается наиболее информативным и дешевым инструментом исследования, позволяющим получать необходимые сведения о процессе в широком диапазоне изменения входных параметров.

В окружающей среде с нулевой гравитацией масса жидкости самопроизвольно уменьшает площадь своей • поверхности, преобразуясь в сферическую каплю, которая может колебаться в различных модах. Природа колебаний определяется начальными условиями, а амплитуда движения определяется энергией, сообщенной капле в процессе формирования.

Малые колебания невязких сферических капель, помещенных в другую невязкую окружающую жидкость, были впервые изучены Рэлеем [7] и Ламбом [8] в контексте линейной теории и много позднее их исследовали Tsamopoulos и Brown [9] в контексте слабо нелинейной теории. В настоящее время известно множество работ, посвященных анализу указанного процесса [10-37]. Однако в большинстве работ исследователи ограничиваются рассмотрением малых деформаций и, соответственно, колебаний капель. Предыдущие попытки моделирования процесса колебаний капель показали, что для проведения длительных по времени расчетов необходима высокая точность, более того, также необходимо применение какой-либо сглаживающей процедуры (или внесение другой значительной поправки в расчет), с тем, чтобы предотвратить рост вычислительной неустойчивости, причина появления которой неизвестна. Другим важным фактором является точность вычисления кривизны свободной поверхности, которая является основным параметром исследуемого процесса. Кроме того, значительное влияние как на устойчивость, так и на получаемые результаты оказывает и л выбранный исследователем алгоритм расчета эволюции поверхности во времени.

Таким образом, в рассматриваемой задаче, представляет интерес не только изучение течения, возникающего при колебаниях капель и эволюции свободной поверхности, но также рассмотрение вычислительных особенностей, возникающих при численном моделировании процесса и, в конечном итоге, разработка эффективного вычислительного алгоритма расчета конкретных течений.

Другой задачей, исследуемой в рамках диссертации, является математическое моделирование двумерного вязкого течения со свободной поверхностью внутри вращающегося горизонтального цилиндра.

Исследование вязкого течения со свободной поверхностью в горизонтальном вращающемся цилиндре представляет существенный прикладной интерес для процессов химической технологии. Характер движения жидкости определяет эффективность реализации таких технологических процессов, как смешение, центробежное литье, нанесение покрытий и других.

Математическое моделирование процесса перемешивания полимерных композиций в объемном смесителе осложняется пространственным характером процесса перемешивания, наличием свободной поверхности, а также изменением реологических свойств среды во времени. Именно поэтому до настоящего времени нет работ, использующих полную математическую постановку задачи исследования процесса смешения. Вместе с тем, актуальной является задача разработки инженерных методик расчета гидродинамических процессов, реализуемых в технологии переработки высоконаполненных полимерных композиций, позволяющих прогнозировать режимы перемешивания с целью правильной организации технологического процесса изготовления изделий с заданными эксплуатационными характеристиками. Процесс смешения с использованием объемных смесителей является одним из этапов переработки полимеров методом свободного литья. Стоит отметить, что число работ в этом направлении ограничено.

Данное обстоятельство, по-видимому, связано с необходимостью рассматривать течения при наличии свободных поверхностей, меняющихся со временем, что существенно усложняет их математическое описание и, как следствие, возможность получения количественных зависимостей. Первые попытки математического моделирования гидродинамических процессов переработки полимеров методом свободного литья с учетом эволюции свободных поверхностей представлены в работах [38-39].

В настоящем исследовании рассматривается установившееся течение вязкой несжимаемой жидкости в частично заполненном вращающемся горизонтальном цилиндре в приближении ползущего движения. В этом случае основным безразмерным критерием является величина, равная отношению числа Рейнольдса к числу Фруда и характеризующая соотношение вязких и гравитационных сил в потоке жидкости. В работе [40] показано, что в зависимости от значения этого критерия можно выделить два режима течения. При первом режиме, когда значение определяющего критерия мало, жидкость покрывает внутреннюю поверхность цилиндра слоем постоянной толщины, т.е. осуществляется течение, близкое к квазитвердому движению. В случае второго режима, который реализуется при достаточно больших значениях основного критерия, практически вся жидкость находится в нижней части цилиндра, и течение разделяется на зону циркуляционного движения внизу и пленочного течения в остальной части потока.

В существующих работах, использующих приближенные методы, в основном рассматривается случай, когда форма свободной поверхности незначительно отличается от окружности [41-46]. В [47-48] рассматривается течение, при котором форма свободной поверхности близка к горизонтальной, и реализуется течение с циркуляционной зоной. Эти работы выполнены при значительных упрощениях исходных дифференциальных уравнений, сводящих их к обыкновенным. Имеются также попытки использования метода конечных разностей для решения данной задачи [49]. Однако в большинстве работ представлены лишь кинематические характеристики течения. Вопрос об исследовании характера течения, формируемого на начальном этапе процесса смешения, ставился лишь в работе [49].

Более полный обзор численных и экспериментальных работ, посвященных исследованию рассматриваемого процесса, приводится в третье главе настоящей диссертации.

Таким образом, в рассматриваемой задаче актуальными вопросами являются построение устойчивых вычислительных методик расчета режимов течения, позволяющих также определять необходимые кинематические и динамические характеристики внутри области течения.

Для решения плоских задач гидродинамики течений со свободной поверхностью можно использовать различные конечно-разностные методы [39]. При рассмотрении течений в областях сложной геометрии, с большими деформациями свободной границы, при наличии нескольких, значительно различающихся характерных размеров, возникают вычислительные трудности, связанные с построением конечно-разностных сеток, которые, кроме того, должны адаптироваться к изменениям свободной поверхности. В связи с этим актуальность приобретают поиски подходов, позволяющих упростить и унифицировать алгоритмическую процедуру численного решения. Одним из путей преодоления этих трудностей является переход к системе граничных интегральных уравнений, эквивалентной исходной системе дифференциальных уравнений. В этом направлении большие успехи достигнуты в механике деформируемого твердого тела [50], опираясь на которые далее строится в общем виде непрямой вариант метода граничных элементов для задачи о плоском течении вязкой жидкости со свободной поверхностью.

В работе большое внимание уделяется построению вычислительных процедур, включающих численную реализацию гранично-интегральных уравнений, в том числе особенностям построения процедуры в каждой конкретной задаче. К задачам настоящего исследования также относится разработка эффективных численных алгоритмов решения поставленных задач на основе метода граничных элементов.

В связи с вышеизложенным, целью диссертационной работы является

• Разработка устойчивых вычислительных методик расчета плоских и осесимметричных течений несжимаемой жидкости со свободной поверхностью на основе непрямого метода граничных элементов.

• Исследование процесса колебаний капли невязкой несжимаемой жидкости под действием сил поверхностного натяжения в невесомости.

• Моделирование течения высоковязкой жидкости в частично заполненном вращающемся горизонтальном цилиндре, проведение параметрических исследований процесса.

Научная новизна работы заключается в следующем: Разработан и протестирован алгоритм реализации метода граничных элементов для осесимметричного случая; апробированы различные численные алгоритмы для расчета эволюции свободной поверхности, проведен их сравнительный анализ.

• Проведенное исследование колебаний капель идеальной жидкости позволило выявить влияние начальной деформации формы свободной поверхности на характеристики колебательного процесса.

• Сформулирована и реализована математическая постановка, позволяющая в рамках модели ползущего движения исследовать двумерное вязкое течение со свободной поверхностью внутри вращающегося горизонтального цилиндра. Разработана универсальная вычислительная методика на основе метода граничных элементов, использование которой позволило выявить установившиеся режимы течения высоковязкой жидкости внутри вращающегося горизонтального цилиндра; получить в широком диапазоне изменения определяющих параметров распределения кинематических и динамических характеристик внутри рассматриваемой области; исследовать эволюцию свободной границы.

Практическая значимость. Практическая ценность работ, посвященных исследованию процесса колебания капель, обусловлена широкими возможностями использования полученных результатов [51] применительно к технологии спекания в порошковой металлургии, метеорологии, теории двухфазных потоков. Исследуемое в работе течение вязкой жидкости в частично заполненном вращающемся горизонтальном цилиндре рассматривается как модель гидродинамического процесса, реализуемого в объемном (гравитационном) смесителе на стадии перемешивания. На основе метода граничных элементов разработана методика и создана программа расчета, проведены параметрические исследования. Выявлены режимы течения с образованием циркуляционной зоны и с формированием сдвигового течения по всей поверхности. Кроме того, выявлен режим течения, при котором часть поверхности цилиндра не смачивается жидкостью. Определены критические значения основных параметров (соотношения гравитационных и вязких сил в потоке \У и степени заполнения цилиндра жидкостью X), разделяющие разные режимы течения. Впервые для данной задачи получены поля скоростей, распределения второго инварианта тензора напряжений, сдвиговых и сжимающих напряжений в области, занятой жидкостью, в широком диапазоне изменения определяющих параметров. Распределение сдвиговых и сжимающих напряжений позволяет оценить силовое воздействие на агломераты порошкообразных компонентов, а второго инварианта тензора напряжений - выделить зоны с максимальными значениями диссипативной функции и наибольшей интенсивностью смешения.

В качестве характеристики эффективности перемешивания используется величина объемной мощности потока, равная произведению скорости сдвига и напряжения сдвига. Получены зависимости объемной мощности от определяющих параметров, установлен экстремальный характер этих зависимостей, что впервые показано расчетным путем и также подтверждено экспериментально. Максимуму удельной мощности отвечает оптимальная скорость вращения ротора смесителя. Определены диапазоны изменения определяющих параметров, для которых при определении характеристик течения можно использовать приближенное решение [48].

Исследование эволюции свободной границы на начальном этапе вращения цилиндра, из положения горизонтальной свободной границы к установившейся позволило определить четыре варианта поведения свободной поверхности.

В результате физического моделирования подтверждено наличие режимов течения, выявленных расчетным путем [52].

Разработанные методики и пакеты прикладных программ проходили апробацию в федеральном центре двойных технологий «Союз». Получено три акта внедрения программ расчета на предприятия ФГУП «ФЦДТ «Союз».

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается корректностью математических постановок задач, внутренними проверками разработанных методик и программ расчета (проверка аппроксимационной сходимости, выполнение законов сохранения и пр.), а также согласованием с известными экспериментальными данными, а также с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Материалы диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на международной конференции «Моделирование процессов в синергетических системах» (Улан-Удэ, 2002); на VIII Всероссийской научно-технической конференции «Механика летательных аппаратов и новые материалы» (Томск, 2003г); на IX Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Красноярск, 2003); на Всероссийской научной конференции молодых ученых (НГТУ, Новосибирск, 2003); на X всероссийской научно-технической конференции «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2004); на научной сессии молодых ученых научно-образовательного центра «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2004); на IV и V Всероссийских научных конференциях «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2004, 2006); на I, II и III Всероссийских конференциях молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем». (Томск, 2005, 2006, 2007); на VI Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (ИГиЛ СО РАН, Новосибирск, 2005); на Международной школе-конференции молодых ученых «Физика и химия наноматериалов» (Томск, 2005); на VI Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Ниж. Новгород, 2006); на XXII научной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Украина, Одесса,

2006); XLV Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (НГУ, Новосибирск, 2007); на XIV Международном симпозиуме «Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы» (Бурятия, 2007) и на Всероссийской конференции «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» (ИГиЛ СО РАН, Новосибирск,

2007).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в трудах вышеперечисленных конференций, а также в журналах «Теоретические основы химической технологии», «Theoretical Foundations of Chemical Engineering», «Вычислительные технологии», «Известия вузов. Физика», «Оптика атмосферы и океана». Всего по материалам диссертации опубликовано 27 работ [53-79], из них 21 в соавторстве с профессорами Г.Р. Шрагером и В.А. Якутенком.

Краткое содержание работы по главам

Во введении раскрывается актуальность и практическая значимость математического моделирования течений несжимаемой жидкости со свободными границами. Сформулированы цель и основные задачи исследований.

В первой главе приведен обзор современных численных методов расчета течений несжимаемой идеальной и вязкой жидкости со свободными границами.

В второй главе в плоской и осесимметричной постановках исследуется процесс нелинейных колебаний капли идеальной жидкости под действием сил поверхностного натяжения в отсутствии гравитации. Разработана методика использования метода граничных элементов применительно к моделированию осесимметричных течений невязкой несжимаемой жидкости со свободными границами. Приведен сравнительный анализ результатов использования конечно-разностного и гранично-элементного подходов к решению, в осесимметричном случае протестированы различные алгоритмы отслеживания эволюции свободной границы капли. Полученные результаты сравниваются с известными данными.

В третьей главе в рамках численного моделирования с использованием модели ползущего течения, исследовано поведение объема вязкой жидкости, заполняющего часть горизонтального цилиндра, вращающегося с постоянной угловой скоростью. Изучен характер эволюции свободной поверхности жидкости на начальном этапе вращения из начального положения горизонтальной свободной границы. Выявлена возможность реализации четырех различных вариантов трансформации свободной поверхности. Показано, что установившееся течение характеризуется двумя режимами движения: при первом режиме, который реализуется при быстром вращении цилиндра, жидкость в цилиндре образует малоподвижный пристеночный квазикольцевой слой; второй режим, возникающий при относительно медленном вращении цилиндра, характеризуется наличием зон циркуляционного течения в нижней части цилиндра и тонкого пристеночного слоя в верхней его части. Наличие указанных режимов течения подтверждается экспериментальными данными. На основе метода граничных элементов разработана методика расчета кинематических и динамических характеристик течения, оценки величины удельной мощности перемешивания.

В заключении подведены основные итоги проведенных исследований, намечены пути дальнейшего развития работы.

Основные положения, выносимые на защиту:

Алгоритм реализации метода граничных элементов для расчета осесимметричных и плоских течений идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей;

Сравнительный анализ численных методик для расчета эволюции свободной поверхности;

Результаты численного анализа нелинейных колебаний капель идеальной несжимаемой жидкости под действием сил поверхностного натяжения;

Алгоритм решения задачи о течении вязкой жидкости, частично заполняющей вращающийся горизонтальный цилиндр;

Режимы течения, полученные при исследовании стационарных и квазистационарных гидродинамических процессов во вращающемся цилиндре; Результаты расчетов кинематических, динамических характеристик и зависимости величины удельной мощности потока от определяющих параметров течения во вращающемся цилиндре.

2.4 Результаты исследования

В плоском случае методом конечных разностей исходная задача решалась с использованием как метода Гаусса-Зейделя, так и алгоритма продольно-поперечной прогонки. Величины периодов колебаний и последовательности форм свободной поверхности, полученные с применением различных методов, совпадают в диапазоне начальных деформаций 1.005 <к<2.0. Времена расчета одного периода колебаний с использованием различных методов отличаются незначительно, несмотря на результаты, представленные в таблице 1. Это объясняется тем, что при использовании метода Гаусса-Зейделя для расчета потенциала из уравнения Лапласа количество итераций на каждом последующем шаге по времени уменьшается гораздо быстрее, чем при использовании метода продольно-поперечной прогонки (рис. 2.2). N

5000

4000

3000

2000

1000 ->

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Рисунок 2.2 - Кривые зависимости числа итераций от времени расчета. Кривые 1,2 соответствуют методу Гаусса-Зейделя, кривые 3,4 - схеме 111111. В расчетах 1,3 шаг по времени А1 = 10-3, в расчетах 2,4 - Аг = Ю-4; 8 = 10"6.

Первоначально при расчете нового значения потенциала на свободной поверхности из формулы (2.5) кривизна кп+1 рассчитывалась для новой формы свободной границы. При этом расчет колебаний с начальной деформацией к > 1.5 оказывался невозможным в связи с появлением зигзагообразной неустойчивости на свободной границе. Данного эффекта удается избежать при использовании в (2.5) полусуммы кривизн: (к11 +кп+1)/2, где кп+1 - кривизна, рассчитываемая при новом положении свободной границы, а к" - кривизна, взятая с предыдущего "слоя по времени". Следует отметить, что для указанной модификации схемы ни значения периодов колебаний, ни наблюдаемые формы свободной поверхности не изменяются.

С использованием метода граничных элементов в плоском случае был проведен цикл расчетов с различными значениями начального отношения осей к в диапазоне 1.002 < к < 2.0. При этом граница разбивалась на N = 96 постоянных элементов. В расчетах, проведенных сЫ>96, отличий ни в величине периода, ни в наблюдаемых формах свободной поверхности не отмечалось. Эволюция свободной поверхности в процессе колебаний иллюстрируется рис. 2.3.

О

-1

-1 О

Ь/а=1.2

1 X, 0

-1 0 Ь/а= 1.5

1 X,

Хг 1 0

-1

1-,-(-,-!

-1 0 1 х,

Ь/а=1.8 1

-1

1 X,

Ь/а=1.9 ч2 1 О

-2

-2

Т" О

----1-1

1 X, 2 О

-2

-,-,-1-,-1-1-1

-2 -1 0 1 X, 2

Ь/а=2.3

Ь/а= 2.1

Рисунок 2.3 - Формы свободной поверхности, плоский случай, МГЭ. Величина начальной деформации к = 1.2(А), к = 1.5(В), к = 1.8(С), к = 1.9(0), к = 2.1(Е), к = 2.3(Р)

В данной работе при моделировании колебаний капли как конечно-разностным, так и гранично-элементным методом не использовались дополнительные «сглаживающие» процедуры для функции потенциала на свободной границе и для функции, описывающей границу (как например, в [18-20]), так как наложение подобных искусственных условий может исказить результаты моделирования. При этом процесс колебаний невязкой капли удалось смоделировать в достаточно широком диапазоне начальной деформации капель (до 1с = 2.3 МКР, МГЭ).

Рисунок 2.4. иллюстрирует характерные зависимости положения вершин эллипса в различные моменты времени.

Рисунок 2.4 - Зависимость от времени положения вершин а (1) и Ь (2) эллипса при начальной деформации к = 1.3, МГЭ.

Как показало исследование, начиная с к = 1.9, в процессе колебаний наблюдаются гантелеобразные формы свободной поверхности (рис. 2.3).

В результате расчетов конечно-разностными методами также получены значения периодов колебаний в широком диапазоне изменения начальной деформации, приведенные в таблице 3. Формы свободной поверхности, полученные с использованием конечно-разностного алгоритма, не указаны в виду их полной аналогии полученным ранее гранично-элементным методом (рис. 2.3).

Заключение

В диссертационной работе проведено численное исследование двух процессов, реализующих течение жидкости со свободной поверхностью: процесс колебаний капель невязкой несжимаемой жидкости под действием сил поверхностного натяжения в невесомости и течение вязкой жидкости в частично заполненном вращающемся горизонтальном цилиндре. Разработана методика численного расчета указанных задач на основе непрямого варианта метода граничных элементов.

На основе проведенных в работе исследований могут быть сделаны следующие выводы:

1. Разработан и протестирован алгоритм реализации метода граничных элементов для осесимметричной задачи; апробированы различные алгоритмы расчета эволюции свободной поверхности, проведен их сравнительный анализ.

2. Обнаружено, что период колебаний осесимметричной капли, а также бесконечного цилиндрического объема идеальной жидкости возрастает с увеличением начальной деформации.

3. При рассмотрении процесса колебаний во всех рассмотренных случаях, начиная с к =1.9 наблюдаются гантелеобразные формы свободной поверхности, что позволяет предположить существование критических начальных деформаций, приводящих к дроблению капель.

4. Выявлены два режима установившегося течения высоковязкой жидкости внутри вращающегося горизонтального цилиндра; получены критические значения параметров, разделяющие эти режимы. Предложено уточнение условия существования пленочного течения в видeÄJVj^ < л/3. Полученные данные подтверждаются результатами экспериментов [40, 52].

5. На основе непрямого метода граничных элементов разработан алгоритм расчета кинематических и динамических характеристик течения жидкости внутри вращающегося горизонтального цилиндра. Проведены параметрические исследования указанных характеристик процесса в широком диапазоне изменения коэффициента заполнения X и безразмерного комплекса \¥. Распределение сдвиговых и сжимающих напряжений позволяет оценить взаимодействие частиц жидкости в потоке и на границах области, а значение второго инварианта тензора напряжений - выделить зоны с максимальным тепловыделением.

6. Представлены зависимости величины удельной мощности потока от определяющих параметров, позволяющие получить косвенное представление об эффективности перемешивания жидкости в рассматриваемом течении. Зависимость удельной мощности перемешивания от частоты вращения имеет экстремальный характер, что впервые показано расчетным путем и также подтверждено экспериментально. Максимуму удельной мощности отвечает оптимальная скорость вращения ротора смесителя.

7. Сформулирована и реализована математическая постановка задачи, позволяющая определить эволюцию свободной границы на начальном этапе вращения цилиндра из положения горизонтальной свободной границы. В результате параметрических исследований определены особенности формирования свободной границы на начальном этапе вращения в зависимости от определяющих параметров. Здесь выявлены четыре типа поведения свободной поверхности:

1) практически квазитвердое поведение (рис. 3.12 а)) с небольшими искажениями плоской свободной поверхности на достаточно большом промежутке времени;

2) образование на переходном этапе наплывов на свободной поверхности, с последующим их исчезновением и установлением формы в виде слоя, покрывающего всю внутреннюю поверхность цилиндра (рис.3.12 б), в));

3) течение с отрывом капель (рис. 3.13 а));

4) образование зоны циркуляционного течения в нижней части цилиндра и тонкого слоя на остальной части твердой стенки (рис. 3.14 6), в)).

Достоверность и точность полученных результатов подтверждается выполнением закона сохранения массы жидкости, а также сравнением с известными аналитическими и численными работами.

Часть результатов, касающихся моделирования течения высоковязкой жидкости внутри вращающегося горизонтального цилиндра, внедрена в производство: разработанное программное обеспечение прошло апробацию во ФГУП «Федеральный центр двойных технологий «Союз» и используется при отработке существующих и разработке новых технологий производства смесевых композиций. Получено три акта внедрения программ расчета на предприятие ФГУП «Федеральный центр двойных технологий «Союз».

Автор диссертации выражает глубокую признательность научному руководителю профессору В.А. Якутенку и профессору Г.Р. Шрагеру за постоянное внимание, терпение, творческие идеи и неоценимую помощь при выполнении работы.

1.R., Testardi L.R. Material processing in the reduced-gravity of space // Ann. Rev. Mater. Science. - 1983. - V. 13. - P. 247-278.

2. Lin S.P., Reitz R.D. Drop and spray formation from a liquid jet // Ann. Rev. Fluid Mech. 1998. - V.30. - P.85-105.

3. Nelson A.R., Gokhale N.R. Oscillation frequencies of freely suspended water drops // J. Geophys. Res. 1972. - V. 77. - P. 2724-2727.

4. Hiller W.J., Kowalewski T.A. Surface tension measurements by the oscillating droplet method. // Physicho-Chem. Hydrodynam. 1989. V. 11. - P. 103-112.

5. Becker E., Hiller W.J., Kowalewski T.A. Nonlinear dynamics of viscous droplets // J. Fluid Mech. 1994. - V. 258. - P.191-216.

6. Chen X., Shi Т., Tian Y., Jankovsky J., Holt G., Apfel R.E. Numerical simulation of a Triton-bearing drop in microgravity // J Fluid Mech. 1998. — V. 367. - P. 205-220.

7. Рэлей Д. Теория звука: В 2 т. -М.: Гостехиздат, 1944. Т. 2. 476с.

8. Lamb Н. Hydrodynamics. Cambridge, MA: Cambridge University Press; 1932. 687 pp.

9. Tsamopoulos J. A., Brown. R. A. Nonlinear oscillations of inviscid drops and bubbles//J. Fluid Mech. 1983.-V. 127.-P. 519-537.

10. Lundgren T.S., Mansour N. N. Oscillations of drops in zero gravity with weak viscous effects // J. Fluid Mech. 1988. -V. 194. - P. 479-510.

11. Reid W.H. The oscillations of a viscous liquid drop // Q. Appl. Maths. 1960. -V. 18. - P. 86-89.

12. Prosperetti A. Normal-mode analysis for the oscillations of a viscous liquid drop in an immiscible liquid. // J. Mech. 1980. - V.19. - P. 149-182.

13. Trinh E., Wang T.G. Large-amplitude free and driven drop shape oscillations: experimental observations. // J. Fluid Mech. 1982. - Vol. 122. - P. 315-338.

14. Foote G.B. A numerical method for studying simple drop behavior: simple oscillation. // J. Сотр. Phys. 1973. - Vol. 11.- P.507-530.

15. Alonzo C.T. The dinamics of colliding and oscillating drops. // In Proc. Intl Colloq. on Drops and Bubbles (ed. D.J.Collins, M.S. Plesset). Jet Propulsion Laboratory. 1974. Vol.30. P.139-157.

16. Benner R.E. Equilibria, stability and bifurcation in the physics of fluid interfaces. Ph.D. thesis, University of Minnesota, Minneapolis, 1983.

17. Rush B. M., Nadim A. The shape oscillation of a two-dimensional drop including viscous effects // Eng. Anal. Bound. Elements. 2000. - № 24. - P. 43-51.

18. Pozrikidis C. Three-dimensional oscillations of inviscid drops induced by surface tension. // Computers & fluids. 2001. - V.30. - P.417-444.

19. Wang C., Khoo Y. An indirect boundary element method for three-dimensional explosion bubbles // Journal of Computational Physics. 2004. - № 194. - P. 451-480.

20. Pelekasis N.A, Tsamopoulos J.A., Manolis G.D. A hybrid finite-boundary element method for inviscid flows with free surface // J. Comp. Phys. 1992. -V. 101.-P. 231-251.

21. Zinchenko A.Z., Rother M.A., Davis R.H. Cusping, capture and breakup of interacting drops by a curvatureless boundary-integral algorithm // J. Fluid Mech. 1999. -V. 391. - P.249-292.

22. Diirr H.M., Siekmann J. Numerical studies of fluid oscillation problems by boundary integral techniques // Acta Astronáutica. 1987. - V. 15. - P.859-864.

23. Baker G.R., Meiron D.I., Orszag S.A. Generalized vortex methods for free-surface flow problems // J. Fluid Mech. 1982. - V. 123. -P. 477-501.

24. Baker G.R., Meiron' D.I., Orszag S.A. Boundary integral methods for axisymmetric and three-dimensional Rayleigh-Taylor instability problems // Physica. 1984. -V. 12D. - P. 19-31.

25. Baker G.R. Generalized vortex method for free-surface flows // Waves in Fluid interfaces. MRC, University or Wisconsin. 1983. pp. 53-81.

26. Patzelc T.W., Basaran O.A., Brenner R.E., Scriven L.E. Nonlinear oscillations of inviscid free drops//J. Comp. Phys. 1991. -V. 97. -P. 489-515.

27. Basaran O.A. Nonlinear oscillations of viscous liquid drops // J. Fluid Mech. -1992.-V. 241.-P. 169-198.

28. Mashayek F., Ashgriz N. Nonlinear oscillations of drops with internal circulation//Phys. Fluids. 1988. -V. 10. -P.l071 -1082.

29. Shao T., Apfel R.E. Oscillations of a deformed liquid drop in an acoustic field //Phys. Fluid. 1995. -V. 7.-P. 1545-1552.

30. Shao T., Apfel R.E. Instability of a deformed liquid drop in an acoustic field // Phys Fluids. 1995. -V. 7. - P. 2601-2607.

31. Wilkes E.D., Phillips S.D., Basaran O.A. Computational and experimental analysis of dynamics of drop formation // Phys Fluids. 1999. - V. 11. - P. 3577-3598.

32. Notz P.K., Basaran O.A. Dynamics of drop formation in an electric field // J Coll. Int. Sei. 1999. - P. 213. - P. 218-237.

33. Wilkes E.D., Basaran O.A. Forced oscillations of pendant (sessile) drops // Phys. Fluids. 1997. - V. 9. - P. 1512-1528.

34. Wilkes E.D., Basaran O.A. Hysteretic response of supported drops during forced oscillations // J. Fluid Mech. 1999. -V. 393. -P.333-356.

35. Patzek T.W., Brenner R.E., Basaran O.A., Scriven L.E. Nonlinear oscillations of two-dimensional, rotating inviscid drops // J. Comp. Phys. 1995. -V. 116. -P. 3-25.

36. Basaran O.A., Patzek T.W. Three-dimensional oscillations of liquid drops // AIChE Annual Meeting, Extended Abstracts. 1991. Paper 110a. P. 213.

37. Шрагер Г.Р., Козлобродов A.H. Анализ напряженного состояния поверхностного слоя полимерной массы при заполнении крупногабаритных пресс-форм // Механика композитных материалов. -2001. -Т.37. №4. - С. 559-570.

38. Шрагер Г.Р., Козлобродов А.Н., Якутенок В. А. Моделирование гидродинамических процессов в технологии переработки полимерных материалов. Томск: Изд-во ТГУ, 1999. - 229 с.

39. Олицкий А.Ф., Шрагер Г.Р., Якутенок В.А. Течение вязкой жидкости в частично заполненном вращающемся горизонтальном цилиндре // Изв. РАН. МЖГ. 1993. - № 3. - С. 25-30.

40. Ruschak К.J., Scriven L.E. Rimming flow of liquid in a rotating horizontal cylinder//J. Fluid Mech. 1976,- V. 76. ~№ l.-P. 113.

41. Deiber J.A., Cerro R.L. Viscous flow with a free surface inside a horizontal rotating drum // Ind. and Eng. Chem., Fundam. 1976. - V. 15. - № 2. - P. 102.

42. Orr F.M., Scriven L.E. Rimming flow: numerical simulation of steady viscous free surface flow with surface tension // J. Fluid Mech. 1978. - V. 84. - № 1. -P. 145.

43. Yih-Yih Lin. Numerical solutions for flow in a partially filled rotating cylinder // SIAM J. Set. Stat. Comput. 1986. - V. 7. - № 2. - P. 560.

44. Preziosi L., Joseph D.D. The run-off condition for coating and rimming flows // J. Fluid Mech. 1988. - V. 187. - P. 99.

45. Johnson R.E. Steady-state coating flow inside a rotating horizontal cylinder // J. Fluid Mech. 1988.-V. 190.-P. 321.

46. Хаджи-Шейх А., Лакшиманараянан P., Jly Д. Райан П. Течение в частично заполненном жидкостью вращающемся горизонтальном цилиндре // Теор. основы инж. расчетов. 1984. — № 3. - С. 101.

47. Haji- Sheich A., Lakchimanarayanan R., Lou David Y.S. Confined flow in a partially-filled rotating horizontal cylinder // Trans. ASME: J. Fluid Eng. -1985.-V. 106.-№5.- P. 270.

48. Науменко Ю.В. Численный расчет режимов течения жидкости, частично заполняющей горизонтальный вращающийся теплообменный цилиндр // ИФЖ.-2001.-Т. 74. -№3.-С. 145.

49. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. - 494 с.

50. Гегузин Я.Е. Капля. М.: Наука, 1977. - 176с.

51. Штоколова М.Н., Якутенок В.А. Нелинейные колебания объема жидкости под действием сил поверхностного натяжения // Моделирование процессов в синергетических системах: Сб. статей. -Улан-Удэ Томск: Изд-во ТГУ, 2002. С.65-67.

52. Штоколова М.Н. О методах расчета потенциальных течений со свободной поверхностью //Девятая всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых: Тезисы докладов: В 2т. Т. 1 Екатеринбург-Красноярск: Изд-во АСФ России, 2003. С. 417-419.

53. Шрагер Г.Р., Штоколова М.Н., Якутенок В.А. Численное исследование процесса смешения в смесителях барабанного типа. //Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Доклады конференции. -Томск: изд-во Том. ун-та, 2004. С. 325-326.

54. Штоколова М.Н. Исследование колебания капли под действием поверхностного натяжения. //Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Докл. конференции. Томск: изд-во Том. ун-та, 2004. С. 327-328.

55. Штоколова М.Н., Якутенок В. А. Вычислительные проблемы моделирования задачи о колебаниях капли //Материалы I всероссийской конференции молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем». Томск: изд-во Том. ун-та, 2005. С. 240-242.

56. Штоколова М.Н., Якутенок В.А. Моделирование течений неньютоновской жидкости методом граничных элементов //Физика и химия наноматериалов: Сб. материалов международной школы-конференции молодых ученых (13-16 декабря 2005г.). Томск: ТГУ,2005. С.499-502.

57. Якутенок В.А., Штоколова М.Н. Численное моделирование плоских течений неньютоновской жидкости со свободной поверхностью методом граничных элементов // Вычислительные технологии. 2006. - Т. 11. - № 5.-С. 106-118.

58. Шрагер Г.Р., Якутенок В.А., Штоколова М.Н. Расчет динамических характеристик течения в частично заполненном вращающемся горизонтальном цилиндре // Изв. вузов. Физика. 2006. - Т. 49. — № 6. Приложение. - С. 167-171.

59. Штоколова М.Н., Якутенок В.А. Численное моделирование колебаний невязкой капли под действием поверхностного натяжения //Оптика атмосферы и океана. 2007. - Т. 20. - № 07. - С.609-613.

60. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. -536с.

61. Киселев О.М., Котляр Л.М. Нелинейные задачи теории струйных течений тяжелой жидкости. Казань. Изд-во Казанского гос. Ун-та, 1978. - 47 с.

62. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.:Наука. 1972. -815с.

63. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977. - 407с.

64. Житников В.П. Обобщение метода Леви-Чевиты для исследования плоских и осесимметричных течений с нелинейными условиями на неизвестных границах: Автореф. дисс. доктора физ.-мат. наук. Казань, 1993.-32с.

65. Коковин Е.Т. Применение метода конформного отображения к решению осесимметричных задач потенциального обтекания // Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. Томск, 1989. - 17 с.

66. Маклаков Д.В. Предельные режимы докритического обтекания препятствия // Вычислительные технологии. 1993. — Т.2. — №4. — С 5570.

67. Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. М.: Янус-К, 1997. - 280 с.

68. Чубаров Л.Б. Численное моделирование волн цунами. Автореф. дисс. доктора физ.-мат. наук. Новосибирск, 2000.

69. Шокин Ю.И., Рузиев Р.А., Хакимзянов Г.С. Численное моделирование плоских потенциальных течений жидкости с поверхностными волнами. Препринт, № 12 ВЦСОАН СССР, Красноярск, 1990.

70. Франк A.M. Дискретные модели несжимаемой жидкости: Автореф. дисс. доктора физ.-мат. наук. Новосибирск, 1994. - 30с.

71. Богоряд И.Б. , Дружинин И.А., Дружинина Г.З. и др. Введение в динамику сосудов с жидкостью. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1987. -143 с.

72. Bertolazzi Е., Manzini G. Computer modeling of liquid-solid impacts // Mathematical and Computer Modelling. 2007. - V. 45.- Is. 1-2. P. 162-176.

73. Самарский А.А., Гулин A.B. Численные методы: учебн. Пособие для вузов. -М.:Наука, Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1989.

74. Терентьев А.Г., Афанасьев К.Е. Численные методы в гидродинамике: уч. Пособие / Чуваш. Ун-т им. И.Н. Ульянова. -Чебоксары:ЧГУ. -1987. -94с.

75. Cheng A. H.-D., Cheng D. Т. Heritage and early history of the boundary element method //Engineering Analysis with Boundary Elements. 2005. -Vol. 29. - Issue 3. - P. 268-302.

76. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987.-524 с.

77. Громадка Т, Лей Ч. Комплескный метод граничных элементов. М.: Мир, 1990.-303 с.

78. Evans W. А. В., Ford М. J. An integral equation approach to internal (2-layer) solitary waves // Phys. Fluids. 1996. - Vol. 8. - № 8. - P. 2032-2047.

79. Grue J., Friis H. A., Palm E., Rusas P.O. A method for computing unsteady fully nonlinear interfacial waves // J. Fluid Mech. 1997. - Vol. 351. - P. 223

80. Chalikov D., Sheinin D. Modeling extreme waves based on equations of potential flow with a free surface // Journal of Computational Physics. 2005. - V. 210. - Issue 1. - P. 247-273.

81. Bal S., Kinnas S.A. A BEM for the prediction of free surface effects on cavitating hydrofoils //Computational Mechanics. 2002. - V. 28. - № 3-4. -P. 260-274.

82. Афанасьев К.Е., Стуколов С.В. Моделирование опрокидывающихся волн методом комплексных граничных элементов // Труды VI научной школы «Гидродинамика больших скоростей». / Чуваш. Ун-т им. И.Н. Ульянова. -Чебоксары: ЧТУ, 1996. С. 11-17.

83. Афанасьев К.Е., Стуколов С.В. О наличии трех решений при обтекании препятствий сверхкритическим установившимся потоком тяжелой жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40. № 1. С. 27-35.

84. Афанасьев К.Е., Стуколов С.В. Циркуляционное обтекание профилей стационарным плоскопараллельным потоком тяжелой жидкости конечной глубины со свобдной поверхностью // Прикладная механика и техническая физика. 2000. - Т. 41. - № 3. -С. 17-22.

85. Harlow F. Н., Welch J. Е. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Phys. Fluids. 1965. - V. 8. — № 12.-P. 2182-2189.

86. Николе Б. Дальнейшее развитие метода маркеров и ячеек для течений несжимаемой жидкости // Численные методы в механике жидкостей. -М.: Мир, 1973.-С. 165-173.

87. Amsden A. A., Harlow F. Н. A simplified MAC-technique for incompressible fluid flow calculating// J. Сотр. Phys. 1970. - Vol. 6. - № 2. -P. 322-325.

88. Pracht W. E. A numerical method for calculating transient creep flows // J. Сотр. Phys. 1971. - № 7. - P. 46-60.

89. Прахт У. Неявный метод расчета ползущего движения с приложением к задаче о континентальном дрейфе // Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. - С. 174-182.

90. Wang S.S., Stunmiller J. Н. Modified partian-cell method for free surface incompressible flow simulations // Numer. Heat Trans. -1980. -Vol. 3. -№ 2. -P. 209-223.

91. ИЗ Петренко В. E. О методах расчета течений вязкой несжимаемой жидкости с большими деформациями // Колебания упругих конструкций с жидкостью. Новосибирск, 1974.-С. 145-152.

92. Чен Р., Стрит Р., Фромм Дж. Численное моделирование волн в воде -развитие метода SUMMAC // Численные методы в механике жидкостей. -М.: Мир, 1973. С. 183-188.

93. Chan R. К., Street R.L. A computer study of finite amplitude water waves// J. Сотр. Phys. 1970. - № 6. - P. 68-94.

94. Deville M. O. An altering direction implicit algorithm for viscous free surface flow//J. Mech.- 1975.-Vol. 14.-№ l.-P. 162-187.

95. Березин И. К. Численное решение задачи о ползущем движении жидкости со свободной поверхностью // Исследования по механике полимеров и систем. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1978. С. 3-8.

96. Березин И. К. Метод расчета течений с вязкостью, зависящей от времени // Исследование течений и фазовых превращений в полимерных системах. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. С. 10-15.

97. Березин И. К., Голубицкий А. М., Понамарчук А. И. Численные методы для расчета течений высоковязких жидкостей со свободнойповерхностью. Свердловск: Препринт УрО АН СССР, 1988. 90 с.

98. Васенин И.М., Сидонский О.Б., Шрагер Г.Р. Численное решение задачи о движении вязкой жидкости со свободной поверхностью // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 1972. С. 43-51.

99. Васенин И.М., Сидонский О.Б., Шрагер Г.Р. Численное решение задачи о движении вязкой жидкости со свободной поверхностью // Докл. АН СССР. 1974. -Т. 217. - № 2. -С. 295-298.

100. Васенин И.М., Шрагер Г.Р. Расчет свободного струйного течения вязкой жидкости// Аэрогазодинамика нестационарных процессов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1983. - С. 28-37.

101. Васенин И.М., Козлобродов А.Н., Шрагер Г.Р. Расчет течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью // Труды V Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск, 1975. С. 58-69.

102. Бутов В.Г., Васенин И.М., Шрагер Г.Р. Деформация капли в' вязком потоке и условия существования ее равновесной формы // Прикладная математика и механика. 1982. -Т. 46. -№ 6. - С. 1045-1049.

103. Воинов О.В., Петров А.Г., Шрагер Г.Р. О модели течения внутри жидкой капли, обтекаемой газом // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. -1989.-№ 6.-С. 167-170.

104. Сметанин C.B., Шрагер Г.Р., Якутенок В.А. Численное исследование слияния капель вязкой жидкости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2000. -№6.-С. 27-33.

105. Ищенко В. П., Козлобродов А. Н. Заполнение вертикальных цилиндрических каналов неныотоновской жидкостью // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. -1985. Вып. 2. - № 10. -С. 34-42.

106. Булгаков В. К., Липанов А. М., Чехонин К. А., Иванов О. Н. Моделирование течений неныотоновских жидкостей, имеющих предел текучести // Изв. АН Латв. ССР. Механика композитных материалов. 1988. —№6. - С. 1112-1116.

107. Шрагер Г. Р., Якутенок В. А. Метод численного решения задачи о течениинелинейно-вязкопластичной жидкости со свободной поверхностью // Динамика механических систем: Тезисы докл. Всесоюзн. научи, конф. Томск, 1986. С. 46.

108. Булгаков В. К., Липанов А. М., Чехонин К. А. Заполнение области между вертикальными коаксиальными цилиндрами аномально вязкой жидкостью в неизотермических условиях // Инженерно-физический журнал. 1989. -Т. 57. -№4.-С. 577-583.

109. Нефедов А. П. Численное моделирование пространственных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью // Математическое моделирование. 1994. -Т. 6. -№ 2. - С. 102-112.

110. Васенин И. М., Нефедов А. П., Шрагер Г. Р. Метод течений вязкой жидкости со свободной поверхностью // Численные методы механики сплошной среды. 1985. - Т. 16. - № 6. - С. 29-43.

111. Кроули У. FLAG свободно-лагранжев метод для численного моделирования гидродинамических течений в двух измерениях // Численные методы в механике жидкостей. — М.: Мир, 1973. -С. 135-145.

112. Херт С. Произвольный лагранжево-эйлеров численный метод // Численные методы в механике жидкостей. — М.: Мир, 1973. С. 156-164.

113. Hirt С W., Nichols В. D. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries //J. Сотр. Phys. 1981. - Vol. 39. -№ 1. - P.201-225.

114. Demuren A. O., Wilson R. V., Carpenter M., Kobayashi Toshio. Accurate schemes for the numerical simulation of incompressible flows // Mon. J. Inst. Ind. Sci. Univ. Tokyo. 1998. - Vol. 50. -№ 1. - P. 61-68.

115. Anlu Ren, Hong Ding. High accurate solution of incompressible viscous flow // Proc. 7th Int. Symp. Сотр. Fluid Dyn. Beijing, Sept. 15-19, 1997. Beijing, 1997. P. 286-291.

116. Jie Li, Marc Hesse, Johanna Ziegler, Andrew W. Woods An arbitrary Lagrangian Eulerian method for moving-boundary problems and its application to jumping over water // Journal of Computational Physics. 2005. -V. 208. -P. 289-314.

117. Dijk P.E., Janse A.M.C., Kuipers J.A.M., W.P.M. van Swaaij Hydrodynamicsof liquid flow in a rotating cone // International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow. 2001. - Vol.11. - № 5. - P. 386-412.

118. Tompson E.G., Mack L.R., Lin F.S. Finite element method for incompressible slow viscous flow with free surface // Dev. Mech. 1965. - Vol. 5. - P. 93111.

119. Washizu K. Some applications of finite elements techniques to nonlinear free surface fluid flow problems // AIAA J. 1985. - Vol. 34. - P. 3-15.

120. Washizu K., Ikegawa M. Finite element method applied to analysis of flow over a spillway crest // Int. J. for Numer. Meth. in Eng. 1973. -Vol. 6. -№ 2. -P. 179-189.

121. Bai K.J., Choo S.M., Chung S.K., Kim D.Y. Numerical solutions for nonlinear free surface flows by finite element methods //Applied Mathematics and Computation. 2005. - V. 163 - P. 941-959.

122. Finlayson B. A., TunaN. Y. Mathematical modeling of polymer flows // Proc. 4th Int. Symp. On Finite Element and Flow Problems. 1984. P. 363-370.

123. Dupret F. A method for the computation of viscous flow by finite elements with free boundaries and surface tension // J. of Non-Newt. Fluid Mech. -1985.-Vol. 17.-P. 495-502.

124. Thompson E. Use of pseudo-concentrations to follow creeping viscous flows during transient analysis // Int. J. for Numer. Mech. Fluids. 1986. - Vol. 6. -P. 749-761.

125. Иванов В. А., Березин И. К., Голубицкий А. М. Растекание неныотоновской жидкости под действием силы тяжести // Инженерно-физический журнал. 1990. -Т. 58. -№ 3. -С. 447-452.

126. Ramaswamy В., KawaharaM. Lagrangien lo finite element analysis applied to viscous free surface fluid flow // Int. S. for Numer. Meth. in Fluids, 1987. Vol. 7. P. 953-984.

127. Липанов A. M., Альес M. Ю., Константинов Ю. H. Численное моделирование ползущих течений неньютоновских жидкостей со свободной поверхностью // Математическое моделирование. -1993. -Т. 5. —№ 7. -С. 3-9.

128. Альес М. Ю., Константинов Ю. Н. Численное моделирование процессов течений высоковязких неньютоновских жидкостей с теплообменом // Гидрогазодинамические течения с тепломассообменом. 1990. - №4. -С. 136-140.

129. Чехонин К. А., Булгаков В. К. Моделирование процесса заполнения крупногабаритной формы полимерной массой с помощью метода конечных элементов // Молодые ученые Удмуртии ускорению научно-технического процесса. Ижевск, 1987. С. 136-138.

130. Чехонин К. А. Численное моделирование течений неньютоновских жидкостей методом конечных элементов. Хабаровск: Изд-во Хабар, политехи., ин-та, 1988. 19 с. Деп. в ВИНИТИ № 2656-В88.

131. Булгаков В. К., Потапов И. И., Сухинин П. А. Решение задач гидродинамики в переменных вихрь-скорость методом конечных элементов // Сборник научных трудов НИИ КТ. 1996. № 2. С. 84-86.

132. Sujatha K.S. Webster M.F, D.M. Binding, M.A. Couch Modeling and experimental studies of rotating flows in part-filled vessels: wetting and peeling // Journal of food engineering. 2003. -V.57. - P. 67-79.

133. Souli M., Zolesio J.P. Finite element method for free surface flow problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1996. - V. 129. -№ l.-P. 43-51.

134. Soulaimani A., Saad Y. An arbitrary Lagrangian-Eulerian finite element method for solving three-dimensional free surface flows //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1998. -V. 162. - № 25. - P. 79-106.

135. Nakayama Т., Shibata M. A finite element technique combined with gas-liquid two-phase flow calculation for unsteady free surface flow problems // Computational Mechanics. 1998. -V. 22. Is. 2. - P. 194-202

136. Березин И. К., Пономарчук А. И. Применение метода граничных элементов для расчета движений свободных границ вязкой жидкости. Свердловск: Препринт УрО АН СССР, 1989. 34 с.

137. Пономарчук А. И. Моделирование течения вязкой жидкости со свободной поверхностью методом граничных элементов. Диссертация кандидатафиз.-мат. наук. Томск, 1989. - 117 с.

138. Якутенок В. А. Численное моделирование медленных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью методом граничных элементов // Математическое моделирование. 1992. -Т. 4. —№ 10. — С. 62-70.

139. Якутенок В. А., Данько С. В. Численное исследование слива из конических емкостей // Всесибирские чтения по математике и механике. Т. 2. Механика. Избранные доклады. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1997. С. 167173.

140. Якутенок В. А. Численное решение трехмерных задач о ползущем течении вязкой жидкости со свободной поверхностью методом граничных элементов// Математическое моделирование. 1999. -Т. 11. - № 10. - С. 92-99.

141. Bush М. В., Phan-Thien N., Tanner R. I. A boundary element investigation of extrudate swell // J. Non-Newt. Fluid Mech. 1985. - Vol. 18. - №2. -P. 143-162.

142. Bush M. В., Phan-Thien N. Three dimensional flows with free surface: flow out of a long square die // J. Non-Newt. Fluid Mech. 1985. - Vol. 18. - №2. -P. 211-218.

143. Bush M. B. Boundary element simulation of polymer extrusion processes// Eng. Anal. 1987. - Vol. 4. - № 1. - P. 7-14.

144. Osswald T. A., Tucker С L. A boundary element simulation of compression mold filling// Polym. Eng. and Sci. 1988. - Vol. 28. - № 5. - P. 413-420.

145. Khayat R.E.,N. Ashrafi A hybrid spectral/boundary-integral approach for transient viscoelastic flow exiting a channel // International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow. 2003. - V. 13. - № 6. - P.769-792.

146. Mirmosadegh Jamali BEM modeling of surface water wave motion with laminar boundary layers // Engineering Analysis with Boundary Elements. -2006. Vol. 30, Iss. 1. - P. 14-21.

147. Hamamoto Takuji, Fujita Ken-ichi. Three dimensional BEM-FEM coupled dynamic analysis of module-linked large floating structures // Proc. 5th Int.

148. Offshore and Polar Eng. Conf. The Hague, June 11-16, 1995. Golden (Colo), 1995. Vol. 3. P. 392-399.

149. Colicchio G., Landrini M. On the use of boundary-integral methods for unsteady free-surface flows // Journal of ingeneering mathematics. 2003. -V.46.-P. 127-146.

150. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела: Пер. с англ. -М.: Мир, 1987.-328с.

151. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М. 1979. - 832с.

152. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. -М.: Наука. 1972. 368с.

153. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. - 400с.

154. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск.: Наука, 1967. 197с.

155. Nakayama Т. A computational method for simulating transient motions of an incompressible inviscid fluid with a free surface // International journal for numerical methods in fluids. 1990. - Vol.10. - P.683-695.

156. Davidson Malcolm R. Boundary integral prediction of the spreading of an inviscid drop impacting on solid surface // Chemical ingeneering science. -2000.-Vol. 55. -P.l 159-1170.

157. Moore D.W. A point vortex method applied to interfacial waves. // In Vortex Motion (ed. H.G. Hornung \& E.A. Muller), 1982. pp. 97-105.

158. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. -М.: Мир, 1980. —616 с.

159. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М.Теоретическая физика.- в 10-ти т. Гидродинамика.- М.: Наука, 1988. Т.6. 216 с.

160. Физические величины. Справочник. Под ред. И.С. Григорьева и Е.З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

161. Moffatt Н.К. Behaviour of viscous film on the surface of a rotating cylinder // J. Mecanique. 1977. - V. 16. - P. 651-673.л

162. Thoroddsen S.T., Mahadevan L. Experimental study of coating flows in a partially filled horizontally rotating cylinder // Exp. Fluids. 1997. - V. 23. — P. 1 - 13.

163. Tirumkudulu M., Acrivos A. Coating flows within a rotating cylinder: lubrication analysis, numerical computations, and experimental measurements //Phys. Fluids.-2001.-V. 13.-P. 14-19.

164. Wilson S.K., Hunt R., Duffy B.R. On the critical solutions in coating and rimming flow on a uniformly rotating horizontal cylinder // J. appl. Math. -2002. V. 55. —№ 3. - P. 357-383.

165. Fomin S., Hashida Т., Watterson J. Fundamentals of steady-state non-Newtonian rimming flow // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2003. - V. 111.— P. 19-40.

166. Villegas-Diaz M., Power H., Riley D.S. On the stability of rimming flows to two-dimensional disturbances // Fluid Dynamics Research. 2003. - V. 33. -P. 141-172.

167. Serre E., Pulicani J.P. A three-dimensional pseudospectral method for rotating flows in a cylinder // Computers & fluids. 2001. - V. 30. - P.491-519.

168. Юдин С.Б., Левин М.М., Розенфельд С.Е. Центробежное литье. -М.: Машиностроение, 1972. -280 с.

169. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. — 288 с.

170. Стренк Ф. Перемешивание и аппараты с мешалками. Польша, 1971. Пер с польск. Под ред. ЩуплякаИ.А. JL: Химия, 1975. - 384 с.

171. Шрагер Г.Р., Штоколова М.Н., Якутенок В.А Численное моделирование течения композиций, реализуемое при смешении в объемном смесителе: Научно-технический отчет о НИР по договору №1073. / Томский госуниверситет. — Томск, 2003. — 57 с.

172. Kim К., Khayat R. Three-dimensional transient free-surface rotating creeping flow // Engineering analysis with boundary elements. 2004. - №28. - P. 375388.

173. Longuet-Higgins M., Cokelet F., Cokelet E. The deformation of steep surface waves on water // Proc. R. Soc. Lond. 1976. A. 350. P. 1-26.

174. Floryan J., Rasmussen H. Numerical methods for viscous flows with moving boundaries // Appl. Mech. Rev. 1989. - P. 42:323.

175. Москвитин B.B. Сопротивление вязко-упругих материалов. M. Наука, 1972.-328 с.