Численное моделирование теплового и эрозионного воздействия сверхзвукового запыленного потока на обтекаемое тело тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

Способны Андрей Витальевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО И ЭРОЗИОННОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ СВЕРХЗВУКОВОГО ЗАПЫЛЕННОГО ПОТОКА НА ОБТЕКАЕМОЕ ТЕЛО

Специальность 01 02 05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1

003449

Москва-2008

003449130

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и программирования Московского авиационного института (государственного технического университета)

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Ревизников Дмитрий Леонидович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Циркунов Юрий Михайлович

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Артемов Валерий Иванович

Ведущая организация ФГУП Центральный Аэрогидродинамиче-

ский Институт

Защита состоится о t 2008 года в /О часов на заседании диссертационного совета Д212 125 14 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу 125993, г Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д 4

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского авиационного института

Автореферат разослан Ученый секретарь

диссертационного совета Д212 125 14, кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение воздействия сверхзвукового потока газа с примесью частиц на обтекаемую поверхность представляет большой интерес для задач аэродинамики летательных аппаратов, в частности, преодоления участков с различными естественными и искусственными образованиями, конструирования ракетных двигателей, задач резки материалов и нанесения покрытий В то же время мощность современных вычислительных систем позволяет осуществить численное моделирование двухфазного потока с учетом неоднородности примеси, взаимодействия частиц между собой, воздействия примеси на течение несущей фазы и поверхность находящегося в потоке тела, изменения формы тела Разработка комплекса алгоритмов численного моделирования эрозионного разрушения материалов в запыленных потоках с учетом обозначенных факторов представляет большой практический интерес, что обусловлено высокой сложностью получения и анализа результатов при проведении стендовых и натурных экспериментов

Цель работы.

1 Анализ современных подходов к численному моделированию двухфазных потоков и эрозионного разрушения тел

2 Построение математической модели динамики двухфазного ударного слоя и комплексной модели теплового и эрозионного воздействия запыленных потоков на обтекаемую поверхность

3 Разработка алгоритмов численного моделирования обтекания тел двухфазным потоком с учетом взаимного влияния ряда разнородных факторов - воздействия дисперсной фазы на картину течения и на обтекаемую поверхность, теплопереноса и эрозионного разрушения теплозащитного материала, изменения формы обтекаемого тела вследствие уноса массы и его влияния на течение в ударном слое

4 Реализация моделей и алгоритмов в виде комплекса программ

5 Численное исследование воздействия дисперсной фазы на обтекаемую поверхность и характеристики ударного слоя, разрушения материалов в двухфазном потоке

Научная новизна.

Построена комплексная математическая модель теплового и эрозионного воздействия сверхзвукового запыленного потока на обтекаемое тело, в состав которой входят модифицированная модель теплопереноса и эрозионного разрушения преграды и модель двухфазного ударного слоя, основанная на сопряжении моделей динамики дисперсной фазы и газовой динамики ударного слоя

Разработаны алгоритмы прямого численного моделирования движения примеси в ударном слое с учетом отражения частиц от преграды, их закрутки и соударений друг с другом, алгоритмы решения уравнений газовой динамики ударного слоя с учетом обратного влияния примеси, алгоритмы моделирования разрушения поверхности преграды под воздействием двухфазного потока

На основе разработанного аппарата математического моделирования выполнена оценка значимости учета вращения частиц и их столкновений друг с другом с точки зрения воздействия дисперсной фазы на поверхность обтекаемого тела Осуществлено детальное изучение механизмов усиления теплообмена на поверхности затупленных тел вследствие гетерогенности набегающего потока Проведено разделение конвективной составляющей, связанной с диссипацией кинетической энергии частиц при движении в ударном слое, и ударной составляющей, обусловленной потерей кинетической энергии частиц при их соударении с поверхностью, и исследован вклад этих составляющих при различных определяющих параметрах Выполнен анализ влияния столкновений частиц и обратного влияния примеси на несущую среду Рассмотрено обратное влияние изменения геометрии преграды на параметры двухфазного ударного слоя и ход процесса разрушения

Достоверность и обоснованность результатов диссертационной работы обеспечивается использованием общепринятой методологии исследований в области прикладной математики

• выполнение в математических моделях фундаментальных законов сохранения массы, импульса, момента импульса, энергии,

• оценка принимаемых допущений при построении математических моделей,

• физическая объяснимость получаемых результатов,

• качественное и количественное согласование получаемых результатов с результатами экспериментов и решений подобных задач другими авторами

Практическая ценность. Разработанный комплекс моделей, алгоритмов и программ позволяет проводить численное моделирование обтекания и разрушения тел двухфазным потоком и получать детальную картину механизмов интенсификации теплообмена и эрозионного разрушения конструкций в сверхзвуковых запыленных потоках Полученные данные вычислительных экспериментов позволяют выявить структуру гетерогенного потока вблизи обтекаемого тела, изучить влияние на параметры тепломассообмена таких факторов, как форма обтекаемого тела и ее изменение вследствие неравномерного уноса массы с поверхности, полидисперсность потока, наличие локальных зон повышенной концентрации дисперсной фазы, взаимодействие частиц в потоке Это создает возможность обоснованно подойти к решению такой практической задачи, как защита обтекаемого тела от те-плоэрозионного воздействия запыленного потока

Апробация работы Материалы диссертации докладывались и обсуждались на XIV и XV международных конференциях «Вычислительная механика и современные прикладные программные системы» (ВМСППС) (Алушта, 2005, 2007), на VI международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (ЫРЫ.1) (Санкт-Петербург, 2006), на Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену (РНКТ-4) (Москва, 2006), на V международном аэрокосмическом конгрессе (Москва, 2006), на XIII международной конференции по теплопереносу (1НТС-13) (Сидней, Австралия, 2006), на XVI шко-

ле-семинаре молодых ученых и специалистов «Проблемы газодинамики и теплообмена в энергетических установках» под руководством академика РАН Леонтьева А И (Санкт-Петербург, 2007), на VII международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ) (Алушта, 2008), на IV международном симпозиуме по вычислительному теплообмену (СНТ-08) (Марракеш, Марокко, 2008), на семинаре по механике жидкости, газа и плазмы кафедры плазмогазодинамики и теплотехники БГТУ «Военмех» им Д Ф Устинова (Санкт-Петербург, 2008), на семинаре ЦНИИМДШ под руководством проф Лунева В В и проф Липницкого Ю М (Королев, 2008), на семинаре НИО-8 ЦАГИ (Жуковский, 2008)

Публикации. Список публикаций автора по теме диссертационной работы приведен в конце автореферата

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект N° 05-08-01478)

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обоснование актуальности темы диссертационной работы, формулируются цели, кратко излагается ее содержание, приводятся данные по апробации

В первой главе работы дается обзор литературы, посвященной тематике двухфазных потоков и эрозионного разрушения материалов

Вторая глава работы посвящена численному моделированию движения дисперсной фазы при обтекании тела запыленным потоком Представлена математическая модель динамики дисперсной фазы, в основе которой лежит дискретно-элементный метод, предполагающий вычисление положения и соответствующих параметров каждой моделирующей частицы в различные моменты времени Это позволяет получить детальную пространственно - временную картину распределения примеси в исследуемой области В настоящей работе дискретно-элементный метод реализован в наиболее полном варианте

Модель динамики дисперсной фазы описывает движение частиц примеси и теплообмен с несущей средой, учитываются столкновения частиц в потоке и их отражение от обтекаемой поверхности Частицы моделируются однородными твердыми шарами заданной плотности Движение и теплообмен одиночной частицы в газовом потоке описывается системой уравнений

dv dco dT

m>lf = f>'I^ = T«'C>mplf = q<+q<'

где mp, Ip, vp, cap - масса, момент инерции, скорость и угловая скорость частицы, ср -удельная массовая теплоемкость материала частицы, Тр - средняя по объему температура частицы, qc - конвективный тепловой поток от газовой фазы к частице, qr - радиационный тепловой поток В качестве внешних сил, приложенных к частице, учитываются сила аэро-

3

динамического сопротивления Р0 и сила Магнуса Рм, вызванная вращением, = Рп + Рм . Угловая скорость частицы изменяется вследствие действия вращающего момента Тш.

Отражение одиночной частицы от преграды и столкновение пары частиц описывается моделью твердых сфер.

Выполняется численное моделирование движения набора частиц, распределение по размерам и пространственное расположение которых в начальный момент времени определяется условиями задачи. Каждая моделирующая частица ставится в соответствие одной реальной частице, число частиц в вычислительном эксперименте определяется исходя из объемной концентрации примеси в области невозмущенного течения.

На каждом временном шаге производится интегрирование системы уравнений движения и теплообмена частиц, затем осуществляется поиск соударений частиц друг с другом и с обтекаемой поверхностью. Для определения параметров столкновений частиц на интервале времени [1:к,1:к+1] используется аппроксимация траектории частицы кривыми

второго порядка по каждой из координат г(т) = г212 + г^ + г0. Условие столкновения пары частиц \ и ] выражается алгебраическим уравнением четвертой степени к(*)_г](*)| =(гр +гр])2> гДе гр> гй " радиусы частиц. Формируется единая очередь потенциально возможных событий, включающая столкновения пар частиц и удары о поверхность. События в очереди моделируются в хронологическом порядке, начиная с самого раннего. Изменение параметров частицы в результате столкновения приводит к аннулированию известных, но еще не произошедших событий очереди, в которых она принимает участие, и может приводить к возникновению новых столкновений (см. рис. 1). Методика расчета предполагает распараллеливание вычислений при решении уравнений движения и теплообмена частиц, а также на этапе поиска соударений.

Рис. 1. Моделирование столкновительной примеси Рис. 2. Квазитрехмерная модель столкновительной

Данный подход позволяет исследовать обтекание запыленным потоком тел произвольной формы в широком диапазоне концентраций примеси. Вместе с тем, в общем случае, даже при двумерном характере течения несущей фазы, динамика частиц столкновительной примеси должна рассматриваться в трехмерной постановке. Это приводит к рез-

примеси.

На основе изложенного подхода проводилось прямое численное моделирование поперечного обтекания запыленным потоком кругового цилиндра радиусом 3 см. Число Маха набегающего потока = 6 , число Рейнольдса Яе^ = 3 • 106. На рис. 3 представлены распределения частиц при входе объекта в пылевое облако. Наблюдается постепенное

кому повышению вычислительных затрат, что в значительной мере ограничивает возможность проведения широкомасштабного вычислительного эксперимента. В этой связи актуальным является вопрос об использовании экономичных моделей динамики дисперсной примеси.

В диссертационной работе показано, что применительно к задачам обтекания тел запыленным потоком в случае двумерного газодинамического поля достаточно высокая точность и существенная экономия вычислительных ресурсов достигается с использованием квазитрехмерной модели. Частицы располагаются в области, ограниченной двумя плоскостями, ортогональными направляющим цилиндра и расположенными на некотором расстоянии друг от друга. Уравнения движения частиц решаются в трехмерной постановке, при этом движение частиц замкнуто относительно границ области (см. рис. 2).

Рис. 4. Установившееся распределение примеси частиц диаметром 10 мкм в режимах: а) отражение; 6) отражение, закрутка; в) отражение, столкновения; г) отражение, столкновения, закрутка. С „ = 10*4 ■

Рис. 3. Эволюция распределения бесстолкновительной примеси частиц диаметром '

формирование в рамках ударного слоя четко очерченной зоны повышенной концентрации частиц вблизи обтекаемой поверхности. На рис. 4 представлены установившиеся распределения частиц для различных вариантов расчета. Видно, что вращение частиц способствует расширению границ обозначенной зоны. Учет столкновений частиц друг с другом приводит к размыванию границы зоны высокой концентрации и повышению концентрации примеси вблизи поверхности.

Третья глава диссертационной работы посвящена разработке алгоритмов численного моделирования двухфазного течения и теплообмена в ударном слое. Используемая модель представляет собой сопряжение полномасштабной модели столкновительной примеси и уравнений газовой динамики ударного слоя. Учитывается обратное влияние частиц на поле течения, что необходимо при высоких значениях концентрации примеси.

Система модифицированных уравнений Эйлера, описывающая течение газа с учетом обратного влияния дисперсной фазы, в декартовой системе координат имеет вид ЭЧ ЭС(д)_

с)! ах ау

4 =

Р

ри ру

РЕ,

, Е =

ри ри2+р

рда . РчН .

, С =

ру

риу ру2+р

. Р^Н .

О

где д - вектор консервативных переменных, а компоненты вектора N имеют смысл плотности источников импульса и полной энергии от частиц к газовой фазе, Гр, Тир - силы и момент сил, действующие на частицу примеси, - конвективный тепловой поток от газа к частице. Подразумевается осреднение воздействия частиц для каждой ячейки расчетной сетки.

Рис. 5. Адаптированная к геометрии расчетной об- Рис. 6. Аппроксимация краевых условий на криво-ласти прямоугольная сетка линейной границе

Дискретизация уравнений Эйлера осуществляется на адаптированной к геометрии расчетной области прямоугольной сетке (см. рис. 5). Для численного решения реализован ТУО-монотонизированный вариант метода Хартена-Лакса-Ван Лира второго порядка точ-

6

ности по пространству Аппроксимация краевых условий на криволинейной границе осуществляется согласно методу погруженной границы с фиктивными ячейками на прямоугольных сетках (см рис 6) Расчет конвективного теплообмена между двухфазным ударным слоем и обтекаемым телом осуществляется с помощью численного решения уравнений пограничного слоя При этом влияние примеси на пограничный слой учитывается опосредованно через параметры на его внешней границе

Проведена серия вычислительных экспериментов по моделированию поперечного обтекания кругового цилиндра радиусом 3 см двухфазным потоком в условиях атмосферы на высоте 10 км Число Маха набегающего потока М„ = б Плотность материала частиц

составляла 2400 кг/м3, диаметр частиц примеси варьировался в пределах от 2 до 50 мкм Объемная концентрация примеси в области невозмущенного течения СУ0 варьировалась

в пределах от 10~5 до 10"4 Цель экспериментов - анализ теплового и динамического воздействия двухфазного потока на обтекаемое тело и оценка значимости столкновений час-

диаметром 2 мкм (а, б), 5 мкм (в) и 10 мкм (г) Соу = 10~5 (а), Соу = 10"4 (б, в, г)

На рис 7 представлены изолинии поля температур газовой фазы двухфазного потока при различных параметрах примеси Сравнение рис 7 а и 7 б иллюстрирует влияние концентрации примеси в невозмущенном потоке на ударный слой, в то время как различие между рисунками 7 б, в, г соответствует изменению размера частиц при постоянной концентрации Отчетливо видно сокращение толщины ударного слоя по сравнению с однофазным течением, при этом влияние частиц на картину течения усиливается при повышении концентрации примеси и уменьшении размера частиц

При торможении частиц в ударном слое происходит диссипация кинетической энергии примеси, что приводит к повышению температуры газовой фазы Одновременно происходит теплообмен между фазами, проявляющийся в нагреве частиц и охлаждении газа (см рис 8) Эти противоборствующие тенденции приводят к существенным различиям параметров ударного слоя в зависимости от размера частиц примеси (см рис 7) Мелкие частицы тормозятся потоком и уносятся, не достигая поверхности тела, отход ударной волны при этом существенно сокращается, наблюдается рост температуры газа в ударном слое,

7

однако вблизи поверхности температура меняется слабо Частицы среднего размера достигают поверхности Потеряв значительную часть кинетической энергии при ударе, не успевая прогреться до температуры газа, они некоторое время пребывают вблизи поверхности, охлаждая несущий газ Крупные частицы и после отражения от поверхности обладают высокой скоростью, при их движении против потока диссипация кинетической энергии примеси преобладает над теплообменом, приводя к дополнительному нагреву всего ударного слоя

^ -"-1-0-2^3^4

1098-

I- 4-

-»з-К 2-

<н—■—I—■—I—'—I—.—I—■—I 15 14 13 12 11 10 г/гт

Рис 8 Температура газовой и дисперсной фазы в сечении критической точки однофазное течение (1), температура газа в двухфазном потоке (2), температура набегающих частиц (3), температура частиц, отразившихся от поверхности (4) Диаметр частиц примеси 10 мкм Соу = Ю-4

Рис. 9 Температура газовой фазы в сечении критической точки однофазное течение (1), двухфазное течение с примесью частиц диаметром 2 мкм (2, 3), 5 мкм (4), 10 мкм (5), 50 мкм (6) Cov =10"5 (2) и Cov = Ю-4 (3-6)

а,град

Рис 10 Температура газовой фазы вблизи обтекаемой поверхности однофазное течение (1), двухфазное течение с примесью частиц диаметром 2 мкм (2, 3), 5 мкм (4), 10 мкм (5), 50 мкм (6) Соу = 10~5 (2) и Соу =10"4 (3-6)

а, град

Рис. 11 Давление газовой фазы вблизи обтекаемой поверхности однофазное течение (1), двухфазное течение с примесью частиц диаметром 2 мкм (2, 3), 5 мкм (4), 10 мкм (5), 50 мкм (6) Cov =10"5 (2) и Cov =10"4 (3-6)

Распределения газодинамических параметров вдоль обтекаемой поверхности приведены на рис 10, 11 Воздействие крупных частиц приводит к существенному росту темпе-

ратуры газа вблизи обтекаемой поверхности (см кривую б на рис 10) Частицы среднего размера отражаются от поверхности с малой скоростью и охлаждают несущий газ в окрестности критической точки и ниже по потоку до угла 40° - 60° в зависимости от диаметра частиц (см кривые 4 и 5 на рис 10) При этом давление газа вблизи поверхности возрастает во всем рассматриваемом диапазоне размеров частиц (рис 11) Наблюдается прямая зависимость роста давления газа у поверхности от концентрации примеси и обратная зависимость от размера частиц На рис 12 показаны распределения касательной компоненты скорости газа, отнесенной к скорости набегающего потока Влияние размера частиц на эту величину неоднозначно Наличие в газовом потоке мелких частиц приводит к снижению, а крупных - к росту касательной компоненты скорости газа у поверхности

а, град

Рис. 12. Касательная компонента скорости газа вблизи обтекаемой поверхности однофазное течение (1), двухфазное течение с примесью частиц диаметром 2 мкм (2,3), 5 мкм (4), 10 мкм (5), 50 мкм (6) Соу =10~5 (2) и С0У =10^ (3-6)

а,град

Рис. 13 Конвективный тепловой поток от газовой фазы к обтекаемой поверхности однофазное течение (1), двухфазное течение с примесью частиц диаметром 2 мкм (2, 3), 5 мкм (4), 10 мкм (5), 50 мкм (6) Соу =10"5 (2)ИС0У =10"" (3-6)

На рис 13 приведены распределения конвективного теплового потока от газовой фазы к поверхности цилиндра Здесь величина плотности теплового потока, рассчитанная по модели турбулентного пограничного слоя, отнесена к плотности потока энергии набегающего потока Qg0 = PgougocpTp, где Tgs - температура торможения газового потока Тепловой поток возрастает по сравнению с однофазным течением на большей части поверхности При этом зависимость интенсификации теплового потока от размера частиц примеси носит немонотонный характер В проведенном эксперименте наибольшее увеличение теплового потока в критической точке происходит при добавлении примеси крупных частиц диаметром 50 мкм, а на периферии - при добавлении мелких частиц диаметром 2 мкм

Рассмотрим непосредственное воздействие примеси на обтекаемое тело На рис 14 и 15 приведены графики параметров динамического воздействия примеси на поверхность Учет столкновений частиц уже при концентрации примеси Cov = Ю-5 приводит к существенному увеличению числа ударов и снижению среднего значения нормальной компоненты скорости частицы при ударе о тело, т е наблюдаются повторные соударения частиц с преградой Столкновения частиц приводят к снижению энергетического воздействия при-

меси на обтекаемую поверхность вследствие экранирующего эффекта - рассеяния части энергии набегающих частиц отразившимися от тела (см рис 16) С ростом концентрации примеси отмеченные эффекты значительно усиливаются

-сн> 1

I/L 0-0-1

Рис 14 Интенсивность ударов о поверхность частиц диаметром 5 мкм Режимы бесстолкновительный (1, 2), столкновительный (3,4), пассивная примесь (1, 3), активная примесь (2,4), соу =10"5 (а, в), Соу = Ю"4 (б, г) На рис б кривые 3 и 4 отнесены к правой шкале

\Л,/и „ -0-0-1

О 30 г N

а б

Рис 15 Среднее значение нормальной компоненты скорости частиц диаметром 5 мкм в момент удара о тело Режимы бесстолкновительный (1, 2), столкновительный (3, 4), пассивная примесь (1, 3), активная примесь (2,4), Cov =10~5 (а, в), Cov = 1(Г4 (б, г) На рис б кривые 3 и 4 отнесены к правой шкале

При концентрации примеси КГ4 проявляется обратное влияние примеси на параметры газа Учет этого эффекта приводит к некоторому росту интенсивности ударов и одновременному увеличению скорости частицы при ударе Данный факт объясняется сокращением толщины ударного слоя и изменением параметров несущей фазы Как следствие, усиливается непосредственное воздействие дисперсной фазы на обтекаемое тело, возрастает плотность потока энергии от частиц к поверхности

20 40 60 а,град

Рис. 16 Плотность потока энергии от примеси частиц диаметром 5 мкм (а, б) к поверхности Режимы бес-столкновительный (1, 2), столкновительный (3, 4), пассивная примесь (1, 3), активная примесь (2, 4), С0У =1<Г5 (а, в), Соу =10^ (6,г)

Отметим, что полученные результаты хорошо согласуются с результатами, полученными ранее в работах Ю М Циркунова и соавторов с использованием метода Монте-Карло для моделирования динамики столкновительной примеси Факт существования относительно широкого диапазона концентраций дисперсной фазы, при которых важен учет столкновительного характера примеси, тогда как обратным влиянием частиц на несущую фазу можно пренебречь, существенно отличает обтекание тел запыленным потоком от других типов гетерогенных течений, таких, например, как течения в газодинамических трактах энергетических установок

Четвертая глава посвящена математическому моделированию процессов тепло-массомпереноса в разрушающемся теле под воздействием двухфазного потока Расчет уноса материала осуществляется с использованием модели, основанной на понятии эффективной энтальпии эрозионного разрушения Масса унесенного материала шег при ударе частицы о поверхность определяется соотношением

11рурО>

2Н„

1-ехр 0,

Г2^сг-л

о-

УР0СО5ап -Ус

здесь тр - масса частицы, ур0 - модуль скорости частицы в момент удара, ап - угол между вектором скорости частицы и внутренней нормалью к поверхности в точке удара, усг - пороговое значение скорости, определяющее начало эрозионного разрушения, Нег - эффективная энтальпия эрозионного разрушения, которая является характеристикой материала теплозащитного покрытия

Возникает задача моделирования изменения границы тела, которое подвергается эрозионному воздействию микрочастиц Граница тела моделируется многогранником с большим числом вершин Суммируется воздействие частиц на элементарную площадку

Унос материала тела моделируется путем изменения положения вершин многогранника, которое вычисляется исходя из накопленного воздействия за интервал времени (см рис 17, 18) Конвективный тепловой поток от газовой фазы к обтекаемой поверхности и взаимодействие частиц с поверхностью определяют прогрев тела Для расчета поля температур решается нестационарное двумерное уравнение теплопроводности в разрушающемся теле

Рис. 17. Модель учета эрозионного воздействия час- Рис 18 Изменение положения вершин многогранни-тицы на поверхность ка в процессе разрушения

Таким образом, сформулирована комплексная математическая модель тепломассообмена тел при обтекании сверхзвуковым запыленным потоком (см рис 19) Разработаны эффективные вычислительные алгоритмы компьютерной реализации основных ее составляющих алгоритмы прямого численного моделирования динамики дисперсной примеси, расчета сверхзвукового обтекания затупленных тел на прямоугольных сетках и моделирования теплопереноса в областях с криволинейными подвижными границами Осуществлено сопряжение разработанных алгоритмов и программ в рамках единого комплекса Немаловажную роль при этом играет использование декартовых сеток и единого метода аппроксимации краевых условий с использованием метода погруженной границы с фиктивными ячейками

Математическое моделирование воздействия запыленного потока на обтекаемое тело

Модель двухфазного ударного слоя

Модель динамики дисперсной фазы

Модель газовой динамики ударного слоя

Модель тепломассообмена в разрушающемся теле

Рис. 19 Комплексная модель воздействия запыленного потока на обтекаемое тело

•Л-1 ^-2-0-3

Рис. 20 Изменение формы тела (а) и суммарный унос материала (б) вследствие эрозионного разрушения Варианты расчета без учета столкновений (1,2), с учетом столкновений (3,4), без учета обратного влияния изменения формы тела на двухфазный ударный слой (1, 3), с учетом обратного влияния изменения формы тела на двухфазный ударный слой (2,4)

а б в

Рис. 21 Изолинии температуры газа Однофазное течение (1), двухфазное течение (2) Варианты расчета изменение формы тела (а - в), пассивная примесь (а), активная примесь (б, в), без учета столкновений частиц (а, б), с учетом столкновений частиц (в)

На рис 20 приведены графики, характеризующие изменение формы тела, а также суммарный унос материала в результате эрозионного разрушения при различных вариантах расчета Здесь в качестве характерного времени разрушения выступает время уноса под воздействием невозмущенного запыленного потока слоя материала толщиной, равной _ . 2НегЯ0рт

начальному радиусу тела К0, 1ег0 =—2— гл° Рт> Рр " плотность материала тела и

ррСу0иг0

частиц соответственно

Исследуется обратное влияние изменения формы тела на двухфазный ударный слой и, как следствие, результат разрушения В вариантах расчета без учета данного фактора значительно интенсивнее разрушается лобовая часть тела и менее интенсивно - периферия, что объясняется изменением параметров двухфазного ударного слоя (см рис 21) В то же время учет обратного влияния изменения формы оказывает незначительное влияние на

общую массу унесенного материала. Учет столкновений частиц приводит к возникновению экранирующего эффекта, что влечет существенное снижение интенсивности уноса.

Ход процесса эрозионного разрушения с учетом всех рассматриваемых факторов представлен на рис. 22. Наиболее интенсивный унос наблюдается в лобовой части поверх-

ности

Рис. 22. Результат численного моделирования эрозионного разрушения тела, обтекаемого запыленным потоком.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

В ходе выполнения диссертационной работы были получены следующие результаты:

1. Сформулирована комплексная математическая модель многофакторного воздействия сверхзвукового запыленного потока на обтекаемое тело, включающая модель динамики дисперсной фазы, модель газовой динамики ударного слоя и модель тепломассообмена в разрушающемся теле. Такой подход позволяет учитывать взаимное влияние различных факторов: воздействие дисперсной фазы на картину течения и на обтекаемую поверхность, теплоперенос и теплоэрозионное разрушение теплозащитного материала, изменение формы обтекаемого тела вследствие уноса массы.

2. Разработаны эффективные вычислительные алгоритмы реализации сопряженной математической модели. Отличительной чертой алгоритмов является прямое численное моделирование динамики дисперсной фазы в ударном слое. В качестве общей основы для сопряжения алгоритмов решения задач внешней аэродинамики, динамики дисперсной фазы, теплообмена и теплоэрозионного разрушения выступает метод погруженной границы аппроксимации краевых условий на криволинейных подвижных границах, позволяющий использовать стационарные прямоугольные сетки.

3. Создан комплекс программ для моделирования исследуемых процессов. Программная реализация выполнена для многопроцессорных компьютеров и использует методику параллельных вычислений как на этапе решения уравнений газодинамики и тепломас-сопереноса, так и в ходе решения уравнений движения частиц и моделирования столкновений между ними.

4 На основе разработанных программно-алгоритмических средств выполнено численное исследование теплового и динамического воздействия двухфазного потока на преграду в случае поперечного обтекания цилиндра и выявлена роль столкновений между частицами и обратного влияния частиц на газовую фазу. Показано, что с точки зрения воздействия примеси на преграду основным фактором является столкновительный характер примеси Взаимодействие частиц в потоке приводит к существенному изменению картины распределения примеси в пространстве, размывая границу области повышенной концентрации у поверхности Уже при малой концентрации примеси возникает экранирующий эффект, проявляющийся в снижении теплового воздействия дисперсной фазы на поверхность тела Обратное влияние дисперсной примеси на несущую фазу проявляется в сокращении толщины ударного слоя в случае средне- и мелкодисперсной примеси, увеличении конвективного теплового потока от газа к обтекаемой поверхности, а также к интенсификации непосредственного динамического и теплового воздействия дисперсной фазы на преграду

5 Проведено численное исследование эрозионного разрушения обтекаемого тела Проанализирована роль учета обратного влияния изменения формы тела на параметры двухфазного ударного слоя Показано, что пренебрежение данным эффектом приводит к более интенсивному разрушению лобовой части тела и менее интенсивному разрушению периферии При этом учет рассматриваемого фактора сравнительно слабо влияет на общую массу унесенного материала

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Михатулин Д С , Ревизников Д JI, Способин А В Математическое моделирование разрушения материалов в сверхзвуковых полидисперсных потоках // Материалы XIV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2005) - Алушта, Крым, 25-31 мая 2005 г, - М Вузовская книга, 2005 -с 329-330

2 Ревизников Д JI, Способин А В Моделирование воздействия дисперсной фазы на обтекаемое тело в сверхзвуковом запыленном потоке // Материалы VI международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2006) - Санкт-Петербург, Россия, 26 июня - 1 июля 2006 г, - М Вузовская книга, 2006 - с 277-278

3 Михатулин Д С , Ревизников Д JI, Способин А В Разрушение теплозащитных материалов в сверхзвуковых гетерогенных потоках // Тезисы докладов на V международном аэрокосмическом конгрессе IAC06 - Москва, Россия - 27-31 августа 2006 г - с 49

4 Михатулин Д С , Ревизников Д JI, Способин А В , Шехтер Ю Л Особенности тепло-эрозионного разрушения материалов в сверхзвуковом полидисперсном потоке // Материалы IV Российской национальной конференции по теплообмену - Москва, Россия -23-27 октября 2006 г - с 87-90

5 Ershova Т V , Mikhatulin D S , Revizmkov D L , Sposobin A V Modeling of Thermo-Erosion Destruction of Materials m Supersonic Heterogeneous Flows // Proc of 13-th Inter-

national Heat Transfer Conférence - Sydney, Australia - August 13-18 2006 -P 11 - On CD

6 Ревизников Д JI, Способны A В Алгоритмы прямого численного моделирования динамики дисперсной фазы при обтекании тела запыленным потоком // Электронный журнал «Труды МАИ» 2007, № 26,13 с

7 Ревизников Д JI, Способин А В Численное моделирование воздействия дисперсной фазы на поверхность затупленного тела в сверхзвуковом запыленном потоке // Математическое Моделирование, т 19, N11,2007, с 101-111

8 Винников В В , Ревизников Д JI, Способин А В Метод погруженной границы для моделирования течений и тепломассообмена в сложных геометрических областях // Труды XVI Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А И Леонтьева «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках», 21-25 мая 2007 г, Санкт-Петербург В 2 томах - M Издательский дом МЭИ, 2007, Т 2, с 94-97

9 Михатулин Д С , Ревизников Д Л, Способин А В Численное моделирование воздействия полидисперсной примеси на поверхность цилиндра при поперечном обтекании сверхзвуковым гетерогенным потоком // Труды XVI Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А И Леонтьева «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках», 21-25 мая 2007 г, Санкт-Петербург В 2 томах -М Издательский дом МЭИ, 2007, Т 1, с 230-232

10 Винников В В , Ревизников Д Л , Способин А В Применение метода погруженной границы с фиктивными ячейками для численного моделирования двухфазных течений // Материалы XV международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС 2007), 25-31 мая, Алушта -M Вузовская книга, 2007, с 119-120

11 Способин А В Комплекс программ для моделирования двухфазных течений на основе дискретно-элементного подхода // Материалы XV международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС 2007), 25-31 мая, Алушта -М Вузовская книга, 2007, с 464-466

12 Ershova Т V , Mikhatulm D S , Reviznikov D L , Sposobin A V, Vinnikov V V Numencal Simulation of Heat Transfer and Thermo-Erosion Destraction of a Blunt Body in a Supersonic Dusty Flow // Proceedmgs of CHT-08 ICHMT International Symposium on Advances in Computational Heat Transfer, May 11-16, 2008, Marrakech, Morocco, CHT-08-222, P 16

13 Винников BB, Ревизников ДЛ, Способин A В Численное моделирование теплоэро-зионного воздействия сверхзвукового запыленного потока на обтекаемое тело // Материалы VII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2008), 24-31 мая 2008 г .Алушта -М Изд-воМАИ,2008 -с 110-111

14 Винников В В, Ершова Т В , Михатулин Д С, Ревизников Д Л, Способин А В Численное моделирование процессов тепломасообмена при обтекании тел сверхзвуковым запыленным потоком // VI Минский международный форум по тепломассообмену [Электронный ресурс] - Минск ГНУ «ИТМО им А В Лыкова» НАНБ, 2008,11 с

Отпечатано в типографии ООО «Гипрософт» г Москва, Ленинский пр-т, д 37А Тираж 100 экз

ВВЕДЕНИЕ.

1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1 Подходы к математическому моделированию гетерогенных потоков.

1.2 Математическое моделирование обтекания преграды запыленным потоком.

1.3 Математические модели эрозионного разрушения.

2 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДИСПЕРСНОЙ ФАЗЫ

2.1 Математическая модель динамики дисперсной фазы.

2.2 Численное исследование обтекания тел запыленным потоком.

Выводы к главе 2.

3 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХФАЗНОГО УДАРНОГО СЛОЯ

3.1 Математическая модель двухфазного ударного слоя.

3.2 Численное исследование теплового и динамического воздействия двухфазного потока на поверхность преграды.

Выводы к главе 3.

4 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОЭРОЗИОННОГО РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ.

4.1 Математическая модель тепломассопереноса в разрушающемся теле.

4.2 Численное исследование эрозионного разрушения преграды при обтекании запыленным потоком.

Выводы к главе 4.

Диссертация посвящена вопросам численного моделирования обтекания тел сверхзвуковым газовым потоком с примесью частиц. Представлена комплексная математическая модель, включающая модель двухфазного течения в ударном слое и модель тепломассопереноса в разрушающемся теле. Выполнено численное исследование воздействия дисперсной фазы на обтекаемую поверхность и характеристики ударного слоя, разрушения материалов в двухфазном потоке.

Актуальность темы.

Изучение воздействия сверхзвукового потока газа с примесью частиц на обтекаемую поверхность представляет большой интерес для задач аэродинамики летательных аппаратов, в частности, преодоления участков с различными естественными и искусственными образованиями, конструирования ракетных двигателей, задач резки материалов и нанесения покрытий. В то же время, мощность современных вычислительных систем позволяет осуществить численное моделирование двухфазного потока с учетом неоднородности примеси, взаимодействия частиц между собой, воздействия примеси на течение несущей фазы и поверхность находящегося в потоке тела, изменения формы тела. Разработка комплекса алгоритмов численного моделирования эрозионного разрушения материалов в запыленных потоках с учетом обозначенных факторов представляет большой практический интерес, что обусловлено высокой сложностью получения и анализа результатов при проведении натурных экспериментов.

Цель работы.

1. Анализ современных подходов к численному моделированию двухфазных потоков и эрозионного разрушения тел.

2. Построение математической модели динамики двухфазного ударного слоя и комплексной модели теплового и эрозионного воздействия запыленных потоков на обтекаемую поверхность.

3. Разработка алгоритмов численного моделирования обтекания тел двухфазным потоком с учетом взаимного влияния ряда разнородных факторов - воздействия дисперсной фазы на картину течения и на обтекаемую поверхность, теплопереноса и эрозионного разрушения теплозащитного материала, изменения формы обтекаемого тела вследствие уноса массы и его влияния на течение в ударном слое.

4. Реализация моделей и алгоритмов в виде комплекса программ.

5. Численное исследование воздействия дисперсной фазы на обтекаемую поверхность и характеристики ударного слоя, разрушения материалов в двухфазном потоке.

Научная новизна.

Построена комплексная математическая модель теплового и эрозионного воздействия сверхзвукового запыленного потока на обтекаемое тело, в состав которой входят модифицированная модель теплопереноса и эрозионного разрушения преграды и модель двухфазного ударного слоя, основанная на сопряжении моделей динамики дисперсной фазы и газовой динамики ударного слоя.

Разработаны алгоритмы прямого численного моделирования движения примеси в ударном слое с учетом отражения частиц от преград, их закрутки и соударений друг с другом, решения уравнений газовой динамики ударного слоя с учетом обратного влияния примеси, моделирования разрушения поверхности преград под воздействием двухфазного потока.

На основе разработанной модели выполнена оценка значимости учета вращения частиц и их столкновений друг с другом с точки зрения воздействия дисперсной фазы на поверхность обтекаемого тела. Осуществлено детальное изучение механизмов усиления теплообмена на поверхности затупленных тел вследствие гетерогенности набегающего потока. Проведено разделение конвективной составляющей, связанной с диссипацией кинетической энергии частиц при движении в ударном слое, и ударной составляющей, обусловленной потерей кинетической энергии частиц при их соударении с поверхностью, и исследован вклад этих составляющих при различных определяющих параметрах. Выполнен анализ влияния столкновений частиц, обратного влияния на несущую среду, а также изменения геометрии преграды на интенсивность уноса массы и картину разрушения обтекаемого тела.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались и обсуждались

• на XIV и XV международных конференциях «Вычислительная механика и современные прикладные программные системы» (ВМСППС) (Алушта, 2005, 2007);

• на VI и VII международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ) (Санкт-Петербург, 2006; Алушта, 2008);

• на Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену (РНКТ-4) (Москва, 2006);

• на V международном аэрокосмическом конгрессе (Москва, 2006);

• на XIII международной конференции по теплопереносу (IHTC-13) (Сидней, Австралия, 2006);

• на XVI школе-семинаре молодых ученых и специалистов «Проблемы газодинамики и теплообмена в энергетических установках» под руководством академика РАН Леонтьева А.И. (Санкт-Петербург, 2007);

• на IV международном симпозиуме по вычислительному теплообмену (СНТ-08) (Марракеш, Марокко, 2008);

• на семинаре по механике жидкости, газа и плазмы кафедры плазмогазодинамики и теплотехники БГТУ «Военмех» им. Д.Ф. Устинова (Санкт-Петербург, 2008);

• на семинаре ЦДИИМАШ под руководством проф. Лунева В.В. и проф.

Липницкого Ю.М. (Королев, 2008);

• на семинаре НИО-8 ЦАГИ (Жуковский, 2008).

Публикации.

Основное содержание диссертации отражено в 14 опубликованных работах [120-133].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 05-08-01478).

В первой главе диссертационной работы дан обзор литературы, посвященной вопросам математического моделирования многофазных течений, а также исследованию и математическому моделированию эрозионного разрушения материалов. Освещаются особенности моделирования обтекания тел запыленным потоком.

Вторая глава работы посвящена численному моделированию движения дисперсной фазы при обтекании тела запыленным потоком. Представлена математическая модель динамики дисперсной фазы, в основе которой лежит дискретно-элементный метод, предполагающий вычисление положения и соответствующих параметров каждой моделирующей частицы в различные моменты времени. Модель динамики дисперсной фазы описывает движение частиц примеси и теплообмен с несущей средой, учитываются столкновения частиц в потоке и их отражение от обтекаемой поверхности. Каждая моделирующая частица ставится в соответствие одной реальной частице, число частиц в вычислительном эксперименте определяется исходя из объемной концентрации примеси в области невозмущенного течения. Проведено численное исследование распределения дисперсной фазы в пространстве и параметров динамического и энергетического воздействия примеси на поверхность при поперечном обтекании преграды сверхзвуковым запыленным потоком. Рассматривалась роль таких факторов как закрутка частиц и их столкновения друг с другом. Исследовано взаимное влияние фракций частиц разных размеров на примере бидисперсной примеси.

Третья глава настоящей работы посвящена разработке алгоритмов численного моделирования двухфазного течения и теплообмена в ударном слое. Используемая модель представляет собой сопряжение полномасштабной модели столкновительной примеси и уравнений газовой динамики ударного слоя. Учитывается обратное влияние частиц на поле течения, что необходимо при высоких значениях концентрации примеси. Исследуется усиление конвективного теплообмена между обтекаемой поверхностью и газовой фазой, которое обусловлено присутствием примеси частиц. Рассмотрено тепловое и динамическое воздействие двухфазного ударного слоя на преграду в широком диапазоне концентраций и размеров частиц примеси.

Четвертая глава посвящена математическому моделированию процессов тепломассомпереноса в разрушающемся теле под воздействием двухфазного потока. Расчет уноса теплозащитного материала под воздействием частиц примеси осуществляется с использованием модели, основанной на понятии эффективной энтальпии эрозионного разрушения. При моделировании отражения частицы от поверхности учитывается энергия, израсходованная на разрушение материала преграды. Решена задача моделирования изменения границы тела вследствие эрозионного воздействия микрочастиц. Граница тела моделируется многогранником с большим числом граней. Суммируется воздействие частиц на элементарную площадку. Унос материала тела моделируется путем изменения положения вершин многогранника, исходя из накопленного воздействия за интервал времени. Для определения поля температур в разрушающемся теле решается нестационарное двумерное уравнение теплопроводности. Сформулирована комплексная математическая модель тепломассообмена тел при обтекании сверхзвуковым запыленным потоком. Разработаны эффективные вычислительные алгоритмы компьютерной реализации основных ее составляющих: алгоритмы прямого численного моделирования динамики дисперсной примеси, расчета сверхзвукового обтекания затупленных тел на прямоугольных сетках и моделирования теплопереноса в областях с криволинейными подвижными границами. Выполнено численно исследование эрозионного разрушения преграды при обтекании сверхзвуковым запыленным потоком. Установлена роль такого фактора как обратное влияние изменения формы тела на параметры двухфазного ударного слоя с точки зрения результата эрозионного разрушения.

1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Интерес к математическому моделированию обтекания тел гетерогенным потоком обусловлен в первую очередь необходимостью решения ряда практических задач, таких как создание паровых и газовых турбин, движение летательных аппаратов в запыленной атмосфере, абразивная обработка материалов. В настоящее время накоплен значительный опыт математического моделирования гетерогенных потоков, построены модели различной степени сложности и разработаны алгоритмы их реализации. Наиболее подробно современные достижения в этой области изложены в широко известных монографиях и обзорах [1-8].

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 4

Представлена комплексная математическая модель теплоэрозионного разрушения материалов в запыленных потоках, сочетающая модель динамики дисперсной фазы, решение уравнений газовой динамики на декартовых сетках, модель тепломассопереноса в разрушающемся теле. Реализованы вычислительные алгоритмы в виде комплекса программ, проведены вычислительные эксперименты по моделированию теплоэрозионного разрушения кругового цилиндра при поперечном обтекании двухфазным потоком. Исследована роль таких факторов как обратное влияние изменения формы тела на течение в ударном слое, столкновений частиц и обратного влияния примеси на несущую фазу с точки зрения скорости уноса материала и результирующей формы тела. Показана необходимость учета всех обозначенных факторов при высоких значениях концентрации примеси. Наиболее ярко при этом проявляется роль экранирующего эффекта, обусловленного столкновением налетающих частиц с отраженными от поверхности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения диссертационной работы получены следующие результаты:

1. Сформулирована комплексная математическая модель многофакторного воздействия сверхзвукового запыленного потока на обтекаемое тело, включающая модель динамики дисперсной фазы, модель газовой динамики ударного слоя и модель тепломассообмена в разрушающемся теле. Такой подход позволяет учитывать взаимное влияние различных факторов: воздействие дисперсной фазы на картину течения и на обтекаемую поверхность, теплоперенос и эрозионное разрушение материала, изменение формы обтекаемого тела вследствие уноса массы.

2. Разработаны эффективные вычислительные алгоритмы реализации сопряженной математической модели. Отличительной чертой алгоритмов является прямое численное моделирование динамики дисперсной фазы в ударном слое. В качестве общей основы для сопряжения алгоритмов решения задач внешней аэродинамики, динамики дисперсной фазы, теплообмена и эрозионного разрушения выступает метод погруженной границы аппроксимации краевых условий на криволинейных подвижных границах, позволяющий использовать стационарные прямоугольные сетки.

3. Создан комплекс программ для моделирования исследуемых процессов. Программная реализация выполнена для многопроцессорных компьютеров и использует методику параллельных вычислений как на этапе решения уравнений газодинамики и тепломассопереноса, так и в ходе решения уравнений движения частиц и моделирования столкновений между ними.

4. Проведено численное исследование теплового и динамического воздействия двухфазного потока на преграду в случае поперечного обтекания цилиндра и выявлена роль столкновений между частицами и обратного влияния частиц на газовую фазу. Показано, что с точки зрения воздействия примеси на преграду основным фактором является столкновительный характер примеси. Взаимодействие частиц в потоке приводит к существенному изменению картины распределения примеси в пространстве. Уже при малой концентрации примеси возникает экранирующий эффект, проявляющийся в снижении теплового воздействия дисперсной фазы на поверхность тела. Возрастает интенсивность ударов частиц о поверхность, при этом средняя скорость частиц в момент удара оказывается ниже, чем в бесстолкновительном режиме. Обратное влияние дисперсной примеси на несущую фазу проявляется при больших значениях концентрации частиц в потоке. При этом наблюдается сокращение толщины ударного слоя в случае мелкодисперсной примеси. Влияние примеси на газовую фазу приводит к увеличению конвективного теплового потока от газа к обтекаемой поверхности, а также к интенсификации динамического и теплового воздействия дисперсной фазы на преграду.

5. Проведено численное исследование эрозионного разрушения обтекаемого тела. Проанализирована роль учета обратного влияния изменения формы тела на параметры двухфазного ударного слоя. Показано, что пренебрежение данным эффектом приводит к более интенсивному разрушению лобовой части тела и менее интенсивному разрушению периферии. При этом учет рассматриваемого фактора сравнительно слабо влияет на общую массу унесенного материала.

1. Машиностроение. Энциклопедия в 40 т. Т. 1-2 Теоретическая механика, термодинамика, теплообмен. Под ред. Колесникова К.С., Леонтьева А.И. IIМ.: Машиностроение, 1999. 600 с.

2. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. // М.: Наука, 1978.-336 с.

3. Crowe С.Т., Sommerfeld М, Tsuji Y. Multiphase flows with droplets and particles. // CRC Press LLC, 1998.-471 p.

4. Стернин JI.E., Маслов Б.Н., Шрайбер A.A., Подвысоцкий A.M. Двухфазные моно и полидисперсные течения газа с частицами. // М.: Машиностроение, 1980. 172 с.

5. Гилинский M.M., Стасенко А.Л. Сверхзвуковые газодисперсные струи. // М.: Машиностроение, 1990, 176 с.

6. Вараксин А.Ю. Турбулентные течения газа с твердыми частицами. // М.: Физматлит, 2003. 188 с.

7. Стасенко А.Л. Физическая механика многофазных потоков. // М.: Изд-во МФТИ, 2004. 136 с.

8. Тимошенко В.И., Зубкова Е.Ю. К оценке теплового и эрозионного воздействия сверхзвукового запыленного потока на затупленный конус. // Инженерно-физический журнал, 1991, т.61, №4, с. 564-569.

9. Головачев Ю. В., Шмидт А.А. Обтекание затупленного тела сверхзвуковым потоком запыленного газа. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1982, №3, с.73-77.

10. Volkov A.N., Tsirkunov Yu. М. and Oesterle В. Numerical simulation of a supersonic gas-solid flow over a blunt body: The role of inter-particlecollisions and two-way coupling effects. I I Int. J. Multiphase Flow, 2005, Vol. 31, pp.1244-1275.

11. Иванов M.C., Рогазинский С.В. Сравнительный анализ алгоритмов метода прямого моделирования статистического моделирования в динамике разреженного газа. // ЖВМ и МФ, 1988, т.28, №7, с. 1058 -1070.

12. Волков А.Н., Циркунов Ю.М. Кинетическая модель столкновительной примеси в запыленном газе и ее применение к расчету обтекания тел. // Изв. РАН, МЖГ, 2000, №3, с. 81 97.

13. Волков А.Н., Циркунов Ю.М. Влияние дисперсной примеси на течение и теплообмен при поперечном обтекании цилиндра сверхзвуковым потоком запыленного газа. // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 4. с. 68-85.

14. Брэдшоу П., Себеси Т., Фернголъц Г.-Г. и др. Турбулентность. // М.: Машиностроение, 1980. 344 с.

15. Шрайбер А.А., Гавин Л.Б., Наумов В.А., Яценко В.П. Турбулентные течения газовзвеси. // Киев: Наукова думка, 1987.-239.

16. Saffman P.G. The lift on a small sphere in a slow shear flow. // J. Fluid Mech, 1965, V.22, p. 385-400.

17. Rubinow S.I., Keller J.B. The transverse force on a spinning sphere moving in viscous fluid. I I J. Fluid Mech. 1961. V. 11. Pt. 3. P. 447-459.

18. Yatsenko V.P., Alexandrov V.V. Measurements of the magnus force in the range of moderate Reynolds numbers. I I Proc. Of 9th Workshop on Two-Phase Flow Predictions, Merseburg, Germany, 1999, p. 292-299.

19. Dennis S.C.R., Singh S.N., Ingham D.B. The steady flow due to a rotating sphere at low and moderate Reynolds numbers. // J. Fluid Mech. 1981, v. 101. Pt. 2. p. 257-280.

20. Медников Е.П. Турбулентный перенос и осаждение аэрозолей. // М.: Наука, 1981.- 174 с.

21. Фукс Н.А. Механика аэрозолей. // М.: Изд-во АН СССР, 1955.-352 с.

22. Soo S. L., Ihrig,H. K., El Kouh A. F. Experimental determination of statistical properties of two-phase turbulent motion. // Trans. ASME J. Basic. Engng. 1960, V.82 №3 p. 609-621.

23. Гавин JI. Б., Шрайбер А. А. Турбулентные течения газа с частицами. // Итоги науки и техники, сер. МЖГ т. 25 с. 90-182.

24. Вараксин А.Ю., Полежаев Ю.В., Поляков А.Ф. Уравнения пульсационного движения и пульсационного теплообмена нестоксовых частиц в турбулентных потоках. // Теплофизика высоких температур, 1998, т. 36 №1 с. 154-157.

25. Varaksin A. Yu. То question about fluctuated velocity and temperature of the non-stokesian particles moving in the turbulent flows. // Heat transfer 1998, Proc. of 11th Int. Heat Transfer Conf., Kyongju, Korea, 1998, v.2 p.147-150.

26. Varaksin A. Yu., Kurosaki Y., Satoh I. An analytical investigation of turbulence reduction by small solid particles. // Int. Symp. Heat Transfer Enhancement in Power Machinery. Abstract of papers, part I, Moscow, Russia, 1995, p.34-37.

27. Волков A.H., Циркунов Ю.М., Семёнов В.В. Влияние моно- и полидисперсной примеси на течение и теплообмен при сверхзвуковом обтекании затупленного тела потоком газовзвеси. // Математическое моделирование, 2004, том 16, №7, с. 6-12.

28. Michael D.H., Norey P.W. Particle collision efficiencies for a sphere. // J. Fluid Mech, 1969, v. 37, pt. 3, p. 565-575.

29. Morsi S.A., Alexander A.J. An investigation of particle trajectories in two-phase flow systems. // J. Fluid Mech., 1972, v. 55, pt. 2, p. 193-208.

30. Спокойный Ф.Е., Горбис З.Р. Особенности осаждения тонко диспергированных частиц из охлаждаемого газового потока напоперечно обтекаемой поверхности теплообмена. // Теплофизика высоких температур, 1981, т. 19, №1. с. 182-199.

31. Домбровский Л.А., Юкина Э.П. Критические условия инерционного осаждения частиц из газодисперсного потока в окрестности точки торможения. // Теплофизика высоких температур, 1983, т. 21, №3. с. 525-532.

32. Домбровский JI.A., Юкина Э.П. Критические условия инерционного осаждения частиц из газодисперсного потока в окрестности точки торможения. Влияние вдува. // Теплофизика высоких температур, 1984, т. 22, №4. с. 728-732.

33. Домбровский Л.А. Инерционное осаждение частиц из газодисперсного потока в окрестности точки торможения. // Теплофизика высоких температур, 1986, т. 24, №3. с. 558-563.

34. Виттэл Б.В., Табаков В.Р. Обтекание двухфазным потоком бесконечного цилиндра. // Аэрокосмическая техника, 1987, № 12. с. 5057.

35. Салтанов Г.А. Сверхзвуковые двухфазные течения. // Минск: Вышейшая школа, 1972.-480 с.

36. Салтанов Г.А. Неравновесные и нестационарные процессы в газодинамике однофазных и двухфазных сред. // М.: Наука, 1979. 286 с.

37. Давыдов Ю.М., Нигматулин Р.И. Расчет внешнего обтекания затупленных тел гетерогенным потоком газа с каплями или частицами. // ДАН СССР, 1981, т. 259, № 1. с. 57-60.

38. Давыдов Ю.М., Еникеев И.Х., Нигматулин Р.И. Расчет обтекания затупленных тел потоком газа с частицами с учетом влияния отраженных частиц на течение газовзвеси. // Прикладная механика и техническая физика, 1990, № 6. с. 67-74.

39. Varaksin A.Yu., Ivanov T.F. Effect of the particles concentration on their velocity distributions for heterogeneous flow near blunted body. // Proc.

40. Fourth Int. Conf. on Multiphase Flow (ICMF'01), New Orleans, USA, 2001, P793, p. 1-9 (CD-ROM).

41. Матвеев С.К. Математическое описание обтекания тел потоком газовзвеси с учетом влияния отраженныхчастиц. // Газодинамика и теплообмен. Л.: Изд. ЛГУ, 1982, вып. 7, с. 189-201.

42. Матвеев С.К., Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Обтекание тел газом с твердыми частицами с учетом отраженных и хаотически движущихся частиц. // Математическое моделирование, т. 15, №7, 2003, с. 123-128.

43. Оспицов А.Н. О структуре ламинарного пограничного слоя дисперсной примеси на плоской пластине. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1980, № 4. с. 4854.

44. Оспицов А.Н. Исследование зон неограниченного роста концентрации частиц в дисперсных потоках. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1984, № 3. с. 4652.

45. Осипцов А.Н. Движение запыленного газа в начальном участке плоского канала и круглой трубы. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1988, № 6. с. 80-87.

46. Kitron A., Elperin Т., Tamir A. Monte Carlo analysis of wall erosion and direct contact heat transfer by impinging two-phase jets. // J. Thermophysics and Heat Transfer, 1989, v. 3, № 2. p. 112-122.

47. Моллесон Г.В., Стасенко A.JI. Ускорение микрочастиц в газодинамической установке с большим расширением потока. // Теплофизика высоких температур, 2008, т. 46, № 1, с. 110-118.

48. Михатулин Д.С., Полежаев Ю.В., Ревизников Д.Л. Теплообмен и разрушение тел в сверхзвуковом гетерогенном потоке. // М.: ЯНУС-К, 2007. 392 с.

49. Клейс И.Р., Ууэмыйс Х.Х. Износостойкость элементов измельчителей ударного действия. // М.: Машиностроение, 1986. 157 с.

50. Перелъман Р.Г. Эрозионная прочность деталей двигателей и энергоустановок летательных аппаратов. // М.: Машиностроение, 1980. -245 с.

51. Перелъман Р.Г., Пряхин В.В. Эрозия элементов паровых турбин. // М.: Энергоатомиздат, 1986. 181 с.

52. Москалев А.Н., Пигида Е.Ю. Исследование процесса разрушения горных пород сверхзвуковым двухфазным потоком. Термомеханические методы разрушения горных пород. // К.: Наукова думка, 1969. — 230 с.

53. Тененбаум М.М. Сопротивление абразивному изнашиванию. // М.: Машиностроение, 1976.-271 с.

54. Гундаров В.И., Рысин Л.С., Захаров Б.М. Исследование эрозионной стойкости конструкционных материалов и защитных покрытий для элементов ГТД, работающих в условиях запыленного воздуха. // М.: ЦИАМ, 1975 № 665. - С (Сб. науч. тр.).

55. Смелтзер, Гулден, Комптон. Механизм эрозии металлов при ударном воздействии частиц пыли. // Теоретические основы инженерных расчетов, серия Д, т. 92, 1970, № 3. с. 225-238.

56. Тадолъдер Ю.А. Некоторые количественные зависимости изнашивания технически чистых металлов. // Труды ТПИ № 237, серия А. Таллин, 1966.-с. 3-15.

57. Тадолъдер Ю.А. Влияние геометрии абразивного зерна на интенсивность изнашивания металлов в потоке абразивных частиц. // Труды ТПИ № 237, серия А. Таллин, 1966. - с. 15-22.

58. Тадолъдер Ю.А. Об изнашивания металлов при повышенных скоростях струи. // Труды ТПИ № 237, серия А. Таллин, 1966. - с. 23-29.

59. Каримбаев Т.Д., Ножницкий Ю.А. Экспериментальное исследование и расчетная оценка эрозионной стойкости композиционных материалов. // М.: ЦИАМ, 1976.-ТО№011573.

60. Эванс А.Г. Механика разрушения при ударе твердых частиц. // Эрозия, под ред. К. Прис. -М.: Мир, 1982. с. 11-79.

61. Раф А. У., Видерхорн С.М. Эрозия при ударе твердых частиц. // Эрозия, под ред. К. Прис. М.: Мир, 1982. - С. 80-139.

62. Полежаев Ю.В. Теплогазодинамическая отработка JIA. // М.: МАИ, 1986.-69 с.

63. Lorenz G.C. Simulating of the erosive effects of multiple impacts in hypersonic flow. // Journal spacecraft and rocket. 1970, v. 7, № 2. p. 119— 125.

64. Клейс И. Об изнашивании металлов в абразивной струе. // Труды ТПИ № 183, серия А. Таллин. 1959.

65. Шелдон. Сходства и различия в эрозионном поведении материалов. // Теоретические основы инженерных расчетов. Серия Д. 1970, т. 92, № 3. -с. 209-214.

66. Шелдон, Финны. Механизм снятия хрупкого материала при эрозионном резании. // Конструирование и технология машиностроения. Серия В. 1966,т. 88, №4.-с. 58-68.

67. Шелдон, Финны. К вопросу о пластичности номинально хрупких материалов при эрозионном резании. // Конструирование и технология машиностроения. Серия В. 1966, т. 88, № 4. с. 51-57.

68. Шелдон. Влияние твердости поверхности и других свойств материала на эрозионный износ металлов при воздействии твердых частиц. // Теоретические основы инженерных расчетов. Серия Д. 1977, т. 99, № 2. -с. 38-43.

69. Tilly G.P. A two stage mechanism of ductile erosion. // Wear. 1973, v. 23. p. 87-96.

70. Winter R., Etchings I. Solid particles erosion study using single angular particle. // Wear. 1974, v. 29. p. 181-194.

71. Etchings I.M,. Winter R.E. Particle erosion of ductile metal: a mechanism of material removal. // Wear. 1974, v. 27. p. 121-128.

72. Tilly G.P. Erosion caused by airborne particles. // Wear. 1969, v. 14. p. 6379.

73. Kleis I.R. On problems of determining erosive wear in impact with a stream of hard, particles. // Wear. 1969, v. 13. p. 199-215.

74. Hutchings I.M. Prediction of the resistance of metals to erosion by solid particles. // Wear. 1975, v. 35. p. 371-374.

75. Humes D.H. Hypervelocity impact test on space shuttle orbiter RRC thermal protection material. // Journal of spacecraft and rocket. 1978, v. 15, № 4. p. 250-251.

76. Finnie I. Some observations on the erosion of ductile metals. // Wear. 1972, v. 19.-p. 81-90.

77. Rudinger G. Some effects of finite particle volume on the dynamics of gas particle mixtures. // AIAA Journal. 1965, v. 3, № 7. p. 1217-1222.

78. Rickerby D.G., McMillan N.H. The erosion of aluminum by solid particle impingement at oblique incidence. // Wear. 1972, v. 17. p. 171-190.

79. Rickerby D.G., McMillan N.H. Mechanism of solid particle erosion in crystalline materials. // Wear. 1980, v. 60. p. 369-382.

80. Finnie I. Erosion of surfaces by solid particles. // Wear. 1963, v. 3. p. 87103.

81. Bitter J. A study of erosion phenomena. // Wear. Part I. 1963, v. 6. p. 5-21. Wear Part II. 1963, v. 6.-p. 169-190.

82. Neilson J.H., Gilchrist A. Erosion by a stream of solid particles. // Wear. 1968, v. 11.-p. 111-112.

83. Head W.J., Harr M.E. The development of a model to predict the erosion of materials by natural contaminants. // Wear. 1975, v. 5. p. 1-46.

84. Tabakoff W., Grant G., Ball R. An experimental investigation of certain aerodynamic on erosion. // AIAA Paper. N 74-639.

85. Папелъ Т., Клейс И. О некоторых проблемах при создании стандартных методов испытания на аброзивное изнашивание. // Труды ТПИ № 381, сер. А. Таллин. 1975, с. 3-10.

86. Папелъ Т., Клейс И. Энергетический критерий для оценки износостойкости при абразивном изнашивании. // Труды ТПИ № 381, сер. А. Таллин. 1975,-с. 11-21.

87. Tilly G.P., Sage W. The interaction of particle and material behavior in erosion processes. // Wear. 1972, v. 21. p. 195-209.

88. Sheldon G.L., Kanhere A. An investigation of impingement erosion using single particles. // Wear. 1970, v. 16. p. 447-465.

89. Златин H.A., Красильщиков А.П., Мишин Г.Н., Попов Н.Н. Баллистические установки и их применение в экспериментальных исследованиях. // М.: Наука, 1974. 344 с.

90. Суур У.К. О влиянии температуры на механизм изнашивания металлов в струе абразива. // Труды ТПИ, сер. А. 1966, №237. с. 63-76.

91. Wakeman Т., Tabakoff W. Erosion behavior in a simulated jet engine environment. // Journal of aircraft. 1979, v. 16, № 6. p. 828-833.

92. Шебеко B.H. Вероятностная модель оценки эрозии материалов при воздействии запыленных потоков. // Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации (1982г.). М.: Наука, 1984. - с. 118-120.

93. Swain С.Е. The effects of particle shock laden interaction on reentry vehicle performance. // AIAA Paper. No 75-734.

94. Полежаев Ю.В. Процесс установления эрозионного разрушения материала преграды при многократном соударении с частицами. // Инженерно-физический журнал, 1979, т. 37, №3. с. 389-394.

95. Hooker W.Y., Watson R., Morsell A.L. Measurements with powdered solids in shock tubes. // The physics of fluids. 1969, v. 12, № 5. p. 1169-1172.

96. Laderman A.J., Lewis C.H. Experimental study of effects of particle clouds impingement. // AIAA Journal. 1968, v. 6, № 7. p. 1385-1387.

97. Laderman A.J., Lewis C.H. Particle clouds impingement damage. // Journal spacecraft and rocket. 1969, v. 6, № 11. p. 1327-1328.

98. Lewis C.H., Laderman A.J. Effect of debris shielding on energy partition. // Journal spacecraft and rocket. 1969, v. 6, № 12. p. 1470-1472.

99. Полежаев Ю.В. О механизме воздействия атмосферных образований на летательные аппараты. // Исследование высокоскоростных ударных явлений. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1983. - с. 29-43.

100. Зелепугин С. А. Численное моделирование высокоскоростного взаимодействия тел с учетом модели разрушения эрозионного типа. // Труды Международной конференции RDAMM-2001, 2001, т. 6, ч. 2, с. 163-167.

101. Johnson G. R. High velocity impact calculations in three dimensions. // J. Appl. Mech., 44, №. 1, 1977, p. 95-100.

102. Henderson C.B. Drag coefficients of spheres in continuum and. rarefied flows. // AIAA Journal Vol. 14, No. 6, June 1976. p. 707-708.

103. Oesterle В., Bui Dinh T. Experiments on the lift of a spinning sphere in a range of intermediate Reynolds numbers. // Experiments in Fluids. Vol. 25, No. 1, June 1998. p. 16-22.

104. McNamara S., Falcon E. Simulations of vibrated granular medium with impact-velocity-dependent restitution coefficient. // Physical Review E 71 2005. 031302-1 031302-6.

105. Weber H., Wellstein J. Энциклопедия элементарной математики. Том 1. Элементарная алгебра и анализ. // Одесса: Mathesis, 1906. 623 с.

106. Harten, A., Lax, P.D, van Leer В. On Upstream Differencing and Godunov-type Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. // SIAM Review 25. 1983,№ 1.-p. 35-61.

107. Винников В.В., Ревизников Д.Л. Применение декартовых сеток для решения уравнений Навье-Стокса в областях с криволинейными границами. //Математическое Моделирование, 2005, т.17, №8. с. 15-30.

108. Любимов А.К, Русанов В.В. Течение газа около тупых тел, 4.1. М., 1970.

109. Поляков А.Ф., Ревизников Д.Л. Численное моделирование сопряженного тепломассообмена при проникающем пористом охлаждении цилиндрической передней кромки. // Теплофизика высоких температур, 1998, т.36. 4, с.617-623.

110. Ревизников Д.Л., Способин А.В. Алгоритмы прямого численного моделирования динамики дисперсной фазы при обтекании тела запыленным потоком. // Электронный журнал «Труды МАИ» 2007, № 26, 13 с.

111. Ревизников Д.Л., Способин А.В. Численное моделирование воздействия дисперсной фазы на поверхность затупленного тела в сверхзвуковом запыленном потоке. // Математическое Моделирование, т. 19, N11, 2007, с. 101-111.