Численное моделирование трансзвуковых пространственных течений вязкого газа в проточных частях турбомашин на основе CUSP схемы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Оглавление. Основные обозначения.

Введение.

1. Современные подходы к численному моделированию трансзвуковых течений газа.

1.1. Исходные положения.

1.1.1. Уравнения одномерной газовой динамики.

1.1.2. Общий обзор известных численных схем.

1.2. Противопоточные схемы. ф 1.2.1. Методы расщепления векторов потоков.

1.2.2. Схема Годунова.

Ф 1.2.3. Схема Ошера.

1.2.4. Схема Роу.

1.3. Схемы с искусственной диссипацией. CUSP схема.

1.3.1. Концепция искусственной диссипации.

1.3.2. Базовые положения CUSP схемы.

1.3.3. CUSP схема, обеспечивающая постоянство полной энтальпии в стационарном потоке.

1.4. Повышение порядка точности схем.

1.4.1. MUSCL подход и метод экстраполяции потоков.

1.4.2. Монотонные, TVD и LED схемы.

1.4.3. JST схема. ф 1.4.4. Введение ограничителей. SLIP схема.

1.4.5. Мягкий ограничитель.

1.4.6. Обобщение на систему уравнений Эйлера.

1.5. Методы регуляризации уравнений газовой динамики.

1.5.1. Предварительные замечания.

1.5.2. Регуляризация несжимаемых уравнений Эйлера.

1.5.3. Регуляризация сжимаемых уравнений Эйлера.

1.5.4. Определение параметра сжимаемости.

• 2. Математическая модель и численный метод.

2.1. Математическая модель.

2.1.1. Определяющие уравнения.

2.1.2. Введение обобщенных координат.

2.1.3. Геометрические характеристики и индексация конечных объемов.

2.2. Моделирование турбулентности.

2.2.1. Концепция турбулентной вязкости.

2.2.2. Модель Спаларта-Аллмараса.

2.2.3. Высокорейнольдсовая к-е модель.

2.3. Дискретизация стационарного оператора.

2.3.1. Дискретизация конвективных потоков.

2.3.2. Дискретизация вязких и диффузионных членов.

2.4. Неявная схема и дискретизация стабилизирующего оператора.

2.4.1. Регуляризация уравнений по методу масштабирования сжимаемости.

2.4.2. Построение неявной схемы.

2.4.3. Метод приближенной факторизации.

2.4.4. Дискретизация конвективной части стабилизирующего оператора по схеме, вводящей скалярную диссипацию.

2.4.5. Дискретизация конвективной части стабилизирующего оператора по схеме расщепления матрицы коэффициентов.

2.4.6. Дискретизация диффузионной составляющей стабилизирующего оператора.

2.4.7. Решение результирующей системы.

2.4.8. Ускорение сходимости за счёт введения локального шага установления по времени.

2.5. Использование блочно-струюурированных сеток.

3. Методические и тестовые расчеты.

3.1. Квазиодномерное невязкое течение в сопле Лаваля.

3.2. Невязкое двумерное обтекание крылового профиля МАСА-0012.

3.3. Ламинарный сверхзвуковой пограничный слой на продольно обтекаемой пластине.

3.4. Турбулентный пограничный слой на продольно обтекаемой пластине.

3.5. Двумерное турбулентное обтекание решетки турбинных лопаток.

4. Пространственные турбулентные течения в диффузорах и межлопаточных каналах турбомашин.

4.1. Влияние геометрии поворотного участка и входных условий на течение газа в осерадиальных диффузорах.

4.2. Течение в осерадиалыюм диффузоре при наличии локального тангенциального вдува.

4.2.1. Предварительные замечания.

4.2.2. Описание экспериментов ЦКТИ.

4.2.3. Численное моделирование.

4.3. Расчет трехмерного течения и потерь давления в выхлопном патрубке мощной паровой турбины.

4.3.1. Предварительные замечания.

4.3.2. Описание экспериментов JIM3.

4.3.3. Трехмерное численное моделирование.

4.4. Численное моделирование трехмерного течения в трансзвуковой турбинной решетке.

4.4.1. Предварительные замечания.

4.4.2. Описание эксперимента.

4.4.3. Трехмерное численное моделирование.

Исследование и инженерный анализ сложных течений вязкого газа методами численного моделирования приобрели в последнее время широкое распространение. Это связано как с разработкой эффективных численных методов, так и с развитием высокопроизводительных ЭВМ.

Одним из важных аспектов численного моделирования является сравнение результатов вычислений с данными эксперимента. Если экспериментальные данные точны, то расхождение с результатами численного моделирования свидетельствует о наличии эффектов, неучтенных или неправильно воспроизведенных в используемой математической модели или же о недостатках/погрешностях численного метода, требующих устранения. Совершенствование численных методов и исследование диапазона их применимости - актуальная задача, успешное решение которой может происходить только во взаимодействии с экспериментом. В ряде случаев численное моделирование способно заменить эксперимент, однако в большинстве случаев они дополняют друг друга. Для исследователей, производящих измерения на опытных установках, численное моделирование позволяет лучше понять изучаемое явление, а для численного моделирования эксперимент помогает определить диапазон применимости модели и находить пути ее улучшения.

Применительно к проточным частям турбомашин проведение измерений связано с определенными трудностями, в частности, с высокими требованиями к разрешающей способности аппаратуры или большими размерами исследуемых моделей, что обуславливает высокую стоимость проведения экспериментов. В связи с этим численное моделирование имеет особо большое значение для практического применения, поскольку позволяет снизить объем дорогостоящих экспериментов, а также предсказать в процессе проектирования новых машин характеристики течения для широкого диапазона режимных параметров.

В проточных частях турбомашин весьма часто реализуются трансзвуковые течения. Особую важность при численном моделировании таких течений приобретает способ аппроксимации конвективных потоков в уравнениях Навье-Стокса. Одно из главных требований, предъявляемых к методам аппроксимации конвективных слагаемых, заключается в обеспечении возможности достаточно точно разрешать ударные волны на небольшом числе внутренних точек. Другим, не менее важным требованием, является отсутствие осцилляций поля течения в окрестности ударных воли.

Указанными свойствами обладают получившие большую популярность за последние десятилетия методы, основанные на использовании решения задачи Римана о распаде разрыва. Среди них особенное распространение получил метод Роу [Roe 1981, 1985, 1986], основанный на решении линеаризованной задачи Римана. Однако при проведении сложных трехмерных расчетов матричные операции, необходимые для вычисления конвективных потоков в схеме Роу становятся весьма затратными. В связи с этим в последние годы появились более экономичные схемы, использующие идеи, заложенные в схеме Роу, и не уступающие ей по качеству получаемых решений. Среди них - так называемая CUSP (Convective Upwind Split Pressure) схема, которую, по существу, можно трактовать, как схему с матричной искусственной диссипацией [Jameson 1995а; Swanson et al. 1997]. В то же время при практической реализации CUSP схемы матричных операций при вычислении конвективного потока удается избежать.

Для получения стационарных решений уравнений Навье-Стокса часто применяется метод установления по псевдовремени в дельта-форме. Известно, что эффективность этого метода снижается в случае существенно дозвуковых течений. Это связано с «жесткостью», которую приобретают уравнения динамики сжимаемого газа при существенно дозвуковых скоростях потока вследствие сильного различия характерных времен процессов конвективного переноса и распространения акустических возмущений. Для построения метода, одинаково хорошо работающего при любых числах Маха, необходимо применять специальные процедуры регуляризации уравнений. Одним из таких методов является метод масштабирования сжимаемости [Стрелец, Шур 1988].

Исходя из изложенных соображений, определены следующие цели и задачи работы:

1) разработка и реализация трехмерной версии CUSP схемы в сочетании с методом масштабирования сжимаемости для расчетов трансзвуковых течений на основе базового программного комплекса SINF, развиваемого сотрудниками кафедры гидроаэродинамики СПбГПУ;

2) проведение ряда методических расчетов с целью определения возможностей реализованного алгоритма по разрешению ударных волн, а также ламинарных и турбулентных пограничных слоев;

3) апробация разработанной расчетной схемы на примере двумерного трансзвукового турбулентного обтекания решетки турбинных лопаток;

4) проведение параметрических расчетов турбулентного дозвукового течения в осерадиальных диффузорах с целью выяснения влияния геометрии поворотного участка и входных условий на течение газа и коэффициент полных потерь;

5) проведение численного моделирования течения в осерадиальном диффузоре при наличии локального тангенциального вдува;

6) расчет трехмерного трансзвукового турбулентного течения газа и потерь давления в проточной части выхлопного патрубка мощной паровой турбины;

7) численное моделирование трехмерного течения в трансзвуковой турбинной решетке.

Первая глава диссертации посвящена обзору методов численного моделирования трансзвуковых течений. Проводится классификация численных методов для моделирования такого рода течений, приводится детальное описание некоторых расчетных схем для решения одномерных уравнений Эйлера. Рассматривается вопрос повышения порядка аппроксимации и связанная с ним проблема возникновения осцилляций в численном решении в окрестности ударных волн. Также приводится классификация методов регуляризации уравнений с целью ускорения сходимости к стационарному решению. В рамках введенных классификаций излагаются одномерная версия CUSP схемы и метод масштабирования сжимаемости, использующиеся при расчетах в настоящей работе.

Во второй главе дается изложение математической модели и численного метода, на основе которого были проведены расчеты. Проводится обобщение CUSP схемы на случай трехмерных уравнений Навье-Стокса применительно к использованному для расчетов программному "конечно-объемному" комплексу SINF, второго порядка точности. Дается описание неявной итерационной схемы и дискретизация стабилизирующего оператора, рассматриваются некоторые способы ускорения сходимости к сошедшемуся решению.

В третье главе приводятся результаты методических и тестовых расчетов. С целью определения возможностей CUSP схемы по разрешению ударных волн рассматриваются две задачи о течении невязкого газа. Первая из них формулируется для нерасчетного квазиодномерного режима течения в сопле Лаваля. Расчетные распределения газодинамических параметров сравниваются с точным (аналитическим) решением. Вторая задача, рассматриваемая в невязкой постановке, -трансзвуковое обтекание крылового профиля NACA-0012. Результаты расчетов по CUSP схеме сопоставляются с высокоточными результатами численного моделирования, доступными в литературе. Далее в третьей главе, с целью определения точности CUSP схемы при разрешении пограничных слоев, рассматриваются задачи о течении в пограничном слое на продольно обтекаемой теплоизолированной пластине. Расчетные значения коэффициентов пристенного трения и восстановления полной температуры, полученные при моделировании ламинарного сверхзвукового пограничного слоя, сравниваются с результатами, следующими из теории пограничного слоя. Моделирование турбулентного пограничного слоя проводится с использованием модели турбулентности Спалларта-Аллмараса. Расчетные значения коэффициентов трения и восстановления, а также формпараметра пограничного слоя сравниваются с экспериментальными данными. Наконец, представляются результаты численного моделирования двумерного течения в решетке турбинных направляющих лопаток. Расчеты проводятся в широком диапазоне выходного числа Маха как для ламинарного, так и для турбулентного режимов течения. Расчетные значения статического давления по обводу лопатки, коэффициент потерь энергии и угол выхода потока сравниваются с опытными данными.

В четвертой главе излагаются постановка задачи и результаты расчетов пространственных турбулентных течений в диффузорах и межлопаточиых каналах турбомашин. Анализируется влияние геометрии поворотного участка и входных условий, а также локального тангенциального вдува на течение газа в осерадиальных диффузорах. Расчетные значения полных потерь и потерь давления сравниваются с экспериментами, проведенными в ЦКТИ и "Skoda Energo". Представляются данные расчетов трехмерного течения и потерь давления в выхлопном патрубке мощной паровой турбины. Расчетные значения общих потерь сравниваются с экспериментальными значениями, полученными на испытательном стенде J1M3. На основе детального анализа сложного трансзвукового течения в выхлопном патрубке предлагается оптимизировать форму и положение дефлектора с целью уменьшения интенсивности ударных волн и снижения потерь давления. Описываются расчетные данные, полученные для трехмерного трансзвукового турбулентного течения в плоской решетке турбинных профилей. Результаты выполненных расчетов сравниваются с экспериментальными данными и с результатами аналогичных расчетов, проведенных с использованием коммерческого пакета Fluent. Проводится анализ вторичных течений, выясняется влияние вторичных вихревых структур на потери полного давления.

В заключении представлены основные результаты и выводы, полученные в работе.

Основные выводы по диссертационной работе сводятся к следующему:

1) В рамках программного комплекса SINF реализован метод численного решения уравнений динамики вязкого газа, ориентированный на анализ трансзвуковых течений в областях сложной геометрии. Метод основан на использовании обобщенной на трехмерный случай CUSP схемы второго порядка точности и метода масштабирования сжимаемости;

2) При тестовых расчетах двумерных течений невязкого газа достигнуты хорошее разрешение ударных волн (с одной-двумя внутренними точками) и полное согласие с теоретическими данными и результатами расчетов других авторов;

3)В ходе верификации реализованного метода на задаче развития ламинарного сверхзвукового пограничного слоя, установлен факт длительного сохранения эффектов неавтомодельности, исходно возникающей в окрестности передней кромки пластины. При задании же во входном сечении расчетной области профиля скорости, даваемого известным решением автомодельной задачи, полученное численное решение полных уравнений Навье-Стокса очень близко к результатам теории пограничного слоя, это, в частности, подтверждает свойство CUSP схемы уменьшать численную диссипацию при уменьшении числа Маха;

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. БахваловН.С. (1975).Численные методы. М., Наука.

2. Венедиктов В.Д. и др. (1990). Атлас экспериментальных характеристик плоских решеток охлаждаемых газовых турбин. ЦИАМ.

3. Владимирова H.H., Кузнецов Б.Г., Яненко H.H. (1966). Численные расчеты симметричного обтекания пластинки потоком вязкой несжимаемой жидкости // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики, Новосибирск: Наука, С. 186-192.

4. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н. (1976). Численное решение многомерных задач газовой динамики, М.: Наука.

5. Годунов С.К. (1959). Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический сборник, т. 47, вып. 3., С. 271-306.

6. Головачев Ю. П., Колешко С. Б., Шур М. Л. (1997). Численные методы решения уравнений гидрогазодинамики, уч. пособие, СПб, изд-во СПбГТУ.

7. Гудков Э.И., Басов В.А., Конев В.А. (1992). Имитация реальных условий входа потока при статических испытаниях моделей выхлопных патрубков // Труды ЦКТИ, Вып. 274, СПб, С. 122-128.

8. Дэйч М.Е., Зарянкин А.Е. (1970). Газодинамика диффузоров и выхлопных патрубков. М.: Энергия.

9. Зябриков В.В., ЛойцянскийЛ.Г. (1987). Демпфирующий фактор в теории пути смешения Прандтля // Известия АН СССР, Механика жидкости и газа, №5, С. 4553.

10. Ю.Иванов Н.Г. (2000). Трехмерная нестационарная конвекция в емкостях, вращающихся вокруг вертикальной оси: численное моделирование для малых чисел Прандтля / Дисс. канд. физ.-мат. наук СПб: СПбГТУ.

11. ХЪ.Лапин Ю.В., Лойцянский Л.Г. (1961). Применение метода Кармана к расчету турбулентного пограничного слоя на пластине в газовом потоке / Труды ЛПИ, №217.

12. ХА.Лапин Ю.В. (1982) Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа, 2 изд., М.:, Наука, С. 343.

13. Лойцянский Л.Г(1987). Механика жидкости и газа. М.: Наука.

14. Мигай В.К., Гудков Э.И. (1981). Проектирование и расчет выходных диффузоров турбомашин, JI.: Машиностроение.

15. П.Николаев М.А. (1999). Апробация ряда монотонных схем для численного решения одномерных и многомерных стационарных задач газовой динамики, Магистерская диссертация СПб: СПбГТУ.

16. СебесиТ., Брэдшоу П. (1987). Конвективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы, М. Мир.

17. Флетчер К. (1991). Вычислительные методы в динамике жидкостей, т. 2, М.: Мир.

18. Шлихтинг Г. (1974). Теория пограничного слоя. М.: Наука.

19. Anderson, W.K., Thomas, J.L., Van Leer, В. (1986). Comparison of Finite Volume Flux Vector Splitting for the Euler Equations // AIAA Journal, v. 24, pp. 1453-1460.

20. Beam, R.M., Warming, R.F. (1978). An implicit factored scheme for the compressible Navier-Stokes equations // AIAA Journal, v. 16, pp. 393-402.

21. Boris, J.P., Book, D.L. (1973). Flux corrected transport, 1 SHASTA, a fluid transport algorithm that work // Journal of Computational Physics, v. 11, pp. 38-69.

22. Briley, W.R., McDonald, H. (1977). Solution of multidimensional compressible Navier-Stokes equations by generalized implicit method // Journal of Computational Physics, v. 24, pp. 372-397.

23. Cabuk, H., Sung, C.-H., Modi, V. (1992). Explicit Runge-Kutta method for three-dimensional internal incompressible flows // AIAA Journal, v. 30, pp. 2024-2031.

24. Chakravarthy, S.R., Osher, S. (1983b). High Resolution Applications of the Osher Upwind Scheme for the Euler Equation // AIAA Paper 86-1943, Proc. AIAA 6th Computational Fluid Dynamics Conference, pp. 363-373.

25. Chang, J.L., Kwak, D. (1984). On the Method of Pseudo Compressibility for Numerically Solving Incompressible Flow // AIAA Paper, 84-0252.

26. Choi, Y.H., Merkle, C.L. (1993), The Application of Preconditioning in Viscous Flows // Journal of Computational Physics, v. 105, pp. 207-223.

27. Chorin, A.J. (1967). A Numerical Method for Solving Incompressible Viscous Flow Problems // Journal of Computational Physics, v. 26, pp. 12-26.

28. Darmofal, D.L., Schmid, P.J. (1995). The Importance of Eigenvectors for LocaljL

29. Preconditioners of the Euler Equations / In Proceedings of 12 AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, pp. 102-117.

30. Darmofal, D.L., Siu, K. (1998). A Robust Locally Preconditioned Multigrid Algorithm for the Euler Equations // AIAA Paper, 98-2428.

31. Engquist, B., Osher, S. (1980). Stable and Entropy Satisfying Approximation for Transonic Flow Calculation // Mathematics of Computation, v 34, pp. 45-75.

32. Engquist, B., Osher, S. (1981). One-sided Difference Approximations for Nonlinear Conservation laws //Mathematics of Computation, v 36, pp. 321-352.

33. FLUENT(1998). User's Guide.43 .Garg, V.K., Ameri, A.A. (2001). Two-equation turbulence models for prediction of heat transfer on a transonic turbine blade // International Journal of Heat and Fluid Flow, v. 22, pp. 593-602.

34. Giel, P.W., Gaugler, R.E. (2001a). NASA Blade 1. Endwall Heat Transfer Data. Version 1 // NASA Glenn Research Center, Turbine Branch, CD ROM, June 2001.

35. Giel, P.W., Gaugler, R.E. (2001b). NASA Blade 1. Blade Heat Transfer Data. Version 2 //NASA Glenn Research Center, Turbine Branch, CD ROM, June 2001.

36. Giel, P. W., Thurman, D.R., Lopez, I., Boyle, R.J., Van Fossen, G.J., Jett, T.A., Camperchioli, W.P., La, H. (1996a). Three-dimensional flow field measurements in a transonic turbine cascade // ASME-Paper 96-GT-l 13, p. 14.

37. Giel, P. W., Thurman, D.R., Van Fossen, G.J., Hippensteele, S.A, Boyle, R.J. (1996b). Endwall heat transfer measurements in a transonic turbine cascade // ASME Paper 96-GT-l 80, p. 15.

38. Giel, P.W., Van Fossen, G.J., Boyle, R.J., Thurman, D.R., Civinskas, K.C. (1999). Blade heat transfer measurements and predictions in a transonic turbine cascade // ASME Paper 99-GT-125, p. 15.

39. Harten, A (1983). High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws // Journal of Computational Physics, v 57, pp. 357-393.

40. Harten, A (1984). On a Class High resolution Total Variation Stable Finite Difference Schemes // SI AM Journal Numerical Analysis, v. 21, pp. 1-23.

41. Harten, A., Engquist, B., Osher, S., Chakravarthy, S. (1987). Uniformly High Order Essentially non-Oscillatory Schemes, III // Journal of Computational Physics, v. 71, pp. 231-303.

42. Harten, A., Hyman,J.M. (1983). Self Adjusting Grid Methods for One-Dimensional Hyperbolic Conservation Laws // Journal of Computational Physics, v. 50, pp. 235-269.

43. Harten, A., Hyman, J.M., Lax, P.D. (1976). On Finite Difference Approximations and Entropy Conditions for Shocks // Communications Pure and Applied Mathematics, v. 29, pp. 297-322.

44. Hemker, P.W., Spekreijse, S.P. (1986). Multiple Grid and Osher's Scheme for the Efficient Solution of the Steady Euler Equations // Applied Numerical Mathematics, v. 2, pp. 475-93.

45. Hirsch, C. (1990). Numerical computation of internal and external flows, v. 2, John Wiley & Sons.

46. Holmes, D.G., Tong, S.S. (1985). A Three-Dimensional Euler Solver for Turbomachinery Blade Rows // Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, v. 107, pp. 258-264.

47. Huang, P. G., Bradshaw, P., Coakley, T.J. (1993). Skin friction and velocity profile family for compressible turbulent boundary layers I I AIAA Journal, v. 31, pp. 16001604.

48. Jameson, A (1995a). Positive Schemes and Shock Modeling for Compressible Flow I I International Journal for Numerical Methods in Fluids, v. 20, pp. 743-776.

49. Jameson, A, Schmidt, W., Turkel, E. (1981). Numerical Solution of the Euler Equations by Finite Volume Methods with Runge-Kutta Time Stepping Schemes // AIAA Paper, 81-1259, pp. 1-14.

50. Jameson, A. (1987). Successes and challenges in computational aerodynamics // AIAA Paper 87-1184-CP, AIAA 8th Computational Fluid Dynamic Conference, Honolulu, Hawaii.

51. Jameson, A. (1995c). The Present Status, Challenges, and Future Developments in Computational Fluid Dynamics / In Proceedings of the 7th AGARD Fluid Dynamics Panel Symposium, Seville, October.

52. Jameson, A., Baker, T.J., Weatherill, N.P. (1986). Calculation of Inviscid Transonic Flow over a Complete Aircraft // AIAA Paper 86-0103, AIAA 24th Aerospace Sciences Meeting, Reno, Nevada, January.

53. Jameson, A., Baker, T. (1983). Solution of the Euler Equations for Complex Configurations // AIAA Paper, 83-1929, pp. 293-302.

54. Kato, M., Launder, B.E. (1993). The Modelling of Turbulent Flow around Stationary and Vibrating Square Cylinders // In Proceedings of the 9th Symposium on Turbulent Shear Flows, Kyoto, Japan, Aug. 16-18, pp. 10.4.1-10.4.6.

55. Launder, B.E., Spalding, D.B. (1974). The Numerical Computation of Turbulent Flows // Comput. Methods Appl. Mech. Eng., v. 3, pp. 269-289.

56. Lax, P.D. (1973). Hyperbolic Systems of Conservation Laws and Mathematical Theory of Shock Waves, Philadelphia: SIAM Publications.

57. Lax, P.D. (1954). Week Solutions of non Linear Hyperbolic Equations and Their Numerical Computation // Communications Pure and Applied Mathematics, v. 7, pp. 159-193.

58. Lax, P.D., Wendroff, B. (1960). System of Conservation Laws // Communications Pure and Applied Mathematics, v. 13, pp. 217-237.

59. Liu, F., Jameson, A. (1993). Multigrid Navier-Stokes Calculations for Three-Dimensional Cascades // AIAA Journal, NO. 10, October.

60. Liu, J.J., Hynes, T.P. (2002). The Investigation of Turbine and Exhaust Interactions in Asymmetric Flows. Part 2 Turbine-Diffuser-Collector Interactions / In Proceedings of ASME TURBO EXPO, June 3-6, Amsterdam, the Netherlands, GT-2002-30343, p. 10

61. MacCormak, R.W., Baldwin, B.S. (1975). A Numerical Method for Solving the Navier-Stokes Equations with Application to Shock-Boundary Layer Interaction / AIAA Paper 75-1.

62. S4.Murman, E.M., Cole, J.D. (1971). Calculation of Plane Steady Transonic Flows, AIAA Journal, v 9, pp. 114-121.

63. Osher, S., Chakravarthy, S.R. (1983). Upwind Schemes and Boundary Conditions with Applications to Euler Equations in General Coordinates, Journal of Computational Physics, v 50, pp. 447-481.

64. Osher, S. (1981). Numerical Solution of Singular Perturbation Problems and Hyperbolic Systems of Conservation Laws / In Axelsson, O. et al. (eds), Mathematical Studies, No. 47, Amsterdam: North Holland.

65. Osher, S., Solomon, F. (1982). Upwind Difference Schemes for Hyperbolic Systems of Conservation Laws // Mathematics of Computation, v 38, pp. 339-374.

66. Peyret, R., Taylor, T. (1983). Computational Methods for Fluid Flow, Springer, New York.

67. Rai M.M. (1986). A Conservative Treatment of Zonal Boundaries for Euler Equation Calculation // Journal of Computational Physics, v. 62, pp. 472-503.

68. Rodi, W. (1980). Turbulence Models and Their Application in Hydraulics, Delft, Netherlands: International Association for Hydraulic Research (IAHR).91 .Roe, P.L. (1981). Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors, and Difference

69. Rogerson, A., Meiberg, E. (1990). A Numerical Study of the Convergence Properties of ENO Schemes// Journal of Scientific Computing, v. 5, pp. 151-167.

70. Schoenherr, K.E. (1932). Resistance of Flat Surfaces Moving through a Fluid // Trans. SNAME, v. 40, pp. 279-313.

71. Shu, C.-W. (1997). Essentially Non-Oscillatory and Weighted Essentially Non-Oscillatory Schemes for Hyperbolic Conservation Laws / NASA/CR-970206253, ICASE Report No. 97-65, Nov.

72. Shu C.-W., OsherS. (1988). Efficient Implementation of Essentially Non-Oscillatory Shock Capturing Schemes // Journal of Computational Physics, v 77, pp. 439-471.

73. Shu C.-W., OsherS. (1989). Efficient Implementation of Essentially Non-Oscillatory Shock Capturing Schemes II //Journal of Computational Physics, v. 83, pp. 32-78.

74. Sieverding, C.H. (1982). Workshop on Two- and Three-Dimensional Flow Calculations in Turbine Bladings / von Karman institute, Apr.

75. Smirnov, E.M. (2000). Solving the Full Navier-Stokes Equations for Very-Long-Duct Flows Using the Artificial Compressibility Method / In: ECCOMAS-2000, Barcelona, Spain (CD-ROM publication), p. 17.

76. Spalart, P.R., Allmaras, S.R. (1994). A one-equation turbulence model for aerodynamic flows // La Recherche Aerospatiale, No. 1, pp. 5-21.

77. Steger,J.L. (1978). Implicit Finite Difference Simulation of Flow about Two-Dimensional Geometries // AIAA Journal, v. 16, pp. 679-686.

78. Steger, J.L., Warming R.F. (1981). Flux Vector Splitting of the Inviscid Gas-Dynamic Equations with Application to Finite Difference Methods // Journal of Computational Physics, v. 40, pp. 263-293.

79. Swanson, R., Radespiel, R., Turkel, E. (1997). Comparison of Several Dissipation Algorithms for Central Difference Schemes // AIAA-Paper, 97-1945, pp. 580-598.

80. Swanson, R.C., Turkel, E. (1992). On Central Difference and Upwind Schemes // Journal of Computational Physics, v. 101, pp. 297-306.

81. Tajc, L., Bednar, L., Goudkov, E.I. (1994). Exhaust Hoods of Double-FlowL

82. Arrangement // In Proceedings of the 4 European Conference on Turbomachinery, Florence, Italy, pp. 161-168.

83. Tatsumi, S., Martinelli, L., Jameson, A (1995). A New High Resolution Scheme for Compressible Viscous Flow with Shocks // AIAA Paper, 94-0466 pp. 1-15.

84. Taylor ,C., Thomas, C.E., Morgan, K. (1981). Modelling Flow over a Backward-Facing Step Using the FEM and Two-Equation Model of Turbulence // International Journal for Numerical Method in Fluids, v. 1, No. 4, pp. 295-304.

85. Türkei, E. (1987). Preconditioned Method for Solving the Incompressible and Low Speed Compressible Equations // Journal of Computational Physics, v. 72, pp. 277-298.

86. Türkei, E (1985). in Progress and Supercomputing in Computational Fluid Dynamics, edited by Murman, E. and Abarbanel, S., Birkhauser, Boston, p. 155.

87. Türkei, E. (1993). Review of Preconditioning Methods for Fluid Dynamics, Applied Numerical Mathematics, v. 12, pp. 257-284.

88. Türkei, E. (1996). Preconditioning Methods for Low-Speed Flow / A collection of technical paper: 14th AIAA Applied Aerodynamics Conference, June 17-19, New Orleans, LA, 96-2460-CP, pp. 650-660.

89. Türkei, E. (1998). Review of Preconditioning for Compressible Fluid Dynamic Equations / CFD Review, John Wiley and Sons, Hafez M.M. and Oshima K. editors.

90. Türkei, E. (1999). Preconditioning Techniques in Fluid Dynamics // Annual Review of Fluid Mechanics, v. 31, pp. 385-416.

91. Türkei, E., Filterman A., Van Leer, B. (1994). Preconditioning and the Limit to the Incompressible Flow Equations / In Computing the Future: Frontiers of Computational Fluid Dynamics, eds. Caughey D.A. and Hafez M.M., Willey, New York, pp. 215-234.

92. Türkei, E., Kroll, N., Radespiel, R. (1997). Assessment of Preconditioning Methods for Aerodynamic Problems // Computers and Fluids, v. 26, pp. 613-634.

93. Türkei, E., Vatsa, V.N., Radespiel, R. (1996). Preconditioning Methods for Low-Speed Flows // AIAA Paper, 96-2460-CP, pp. 650-660.

94. Van Leer (1979). Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme. V: A Second Order Sequel to Godunov's Method // Journal of Computational Physics, v. 32, pp. 101-136.

95. Van Leer (1982). Flux Vector Splitting for the Euler Equations / In Proceedings of the 8th International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, Springer Verlag.

96. Van Leer B. (1984). On the Relation between the Upwind Differencing Schemes of Godunov, Engquist-Osher and Roe // SIAM Journal Sei. Stat. Computing, v. 5, pp. 1-20.

97. Van Leer, B., Lee, W., Roe P. (1991). Characteristic Time-Stepping of Local Preconditioning of the Euler Equations // AIAA Paper, 91-1552.

98. Volpe, G. (1993). Performance of Compressible Flow Code at Low Mach Numbers // AIAA Journal, v. 31, pp. 49-56.

99. Von Neumann, J., Richtmyer, R.D. (1950). A method for the Numerical Calculations of Hydrodynamical Shocks // Journal of Mathematical Physics, v 21.

100. Wang, H.P, Olson, S.J, Goldstein, R.J, EckertE.R.G (1997). Flow Visualization in a Linear Turbine Cascade of High Performance Turbine Blades // ASME Journal of Turbomachinery, v. 119, pp. 1-8.

101. Xu, X., Kang, S., Jiang, H. (2001). Numerical Simulation of the 3d Viscous Flow in the Exhaust Casing of a Low-Pressure Steam Turbine // ASME paper, 2001-GT-487, p. 8.

102. Zalesak, S. T. (1979). Fully Multidimensional Flux-Corrected Transport Algorithms for Fluids I I Journal of Computational Physics, v. 31, pp. 335-362.