Численное моделирование внутренних течений методом конечных элементов

Акберов, Роальд Рифкатович

Численное моделирование внутренних течений методом конечных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Акберов, Роальд Рифкатович АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Численное моделирование внутренних течений методом конечных элементов»

Автореферат диссертации на тему "Численное моделирование внутренних течений методом конечных элементов"

»а правах рукописи

РГб од

; С Р'О

АКБЕРОВ РОАЛЬД РИФКАТОВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВНУТРЕННИХ ТЕЧЕНИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Казань-2000

Работа выполнена в Казанском государственном технологическом университете.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

- доктор технических наук, профессор А.В. Фафурин.

кандидат технических наук, доцент В.И. Понявин.

- доктор технических наук, профессор А.Ф. Дрегалин.

кандидат технических наук, доцент Р.Х. Хасанов

- Всероссийский научно-исследовательский институт расходометрии.

Защита состоится" 14 " 2000 г. в час.

ео

?" _______

на заседании диссергащгонного /Совета Д 063.43.01 в Казанском государственном техническом университете по адресу: г. Казань, ул. К.Маркса, 10, 420111

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГТУ (КАИ) Автореферат разослан " /'Л 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 063.43.01, кандидат

технических наук ~ У А.Г.Каримова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность проблемы.

Быстрое развитие вычислительной техники привело к интенсивному созданию, тестированию и улучшению численных методов расчета течений V жидкости. При осуществлении расчетов течений обычно бывает необходимо решать записанные в той или иной форме уравнения Навье-Стокса. Вследствие сложности этих уравнений получение аналитического решения возможно только для простейших случаев, поэтому использование численных методов для точного расчета многих течений зачастую является неизбежным. Среди множества численных методов решения задач гидродинамики выделяют два метода, которые имеют универсальную применимость: метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). До недавнего времени наиболее распространенным методом был МКР из-за своей простоты, малых затрат машинного времени и низких требований к оперативной памяти. С развитием вычислительной техники увеличились быстродействие вычислительных машин и объемы памяти, что сделало возможным реализацию V МКЭ на ЭВМ. Преимуществом МКЭ над МКР является возможность проводить расчет каналов любых форм из-за отсутствия необходимости составления ортогонального сеточного шаблона. Более простой учет граничных условий позволяет не вносить изменений в расчетную программу и расширяет круг решаемых задач. Еще одним преимуществом МКЭ является лучшая устойчивость и точность решения, особенно для областей сложных форм.

Несжимаемые и сжимаемые течения газа описываются отличающимися по форме уравнениями Навье-Стокса, неразрывности и энергии, и при решении обоих классов задач возникают свои специфические трудности, способы решения которых отличаются друг от друга. Результаты численного расчета для проверки должны сопоставляться с точным решением или имеющимся в наличии экспериментальным материалом.

Цель работы.

1. Разработать математическую модель для расчета несжимаемого течения в каналах различных форм. " ~

2. На базе математической модели и численной процедуры, основанной на МКЭ, разработать программное обеспечение для расчета несжимаемого потока в каналах различных форм.

3. Произвести расчеты несжимаемых стационарных и нестационарных течений в различных каналах.

4. Разработать математическую модель для расчета сжимаемых течений в каналах различных форм.

5. На базе математической модели и численной процедуры, основанной на МКЭ, разработать программное обеспечение для расчета сжимаемого потока в каналах различных форм.

6. Произвести расчеты сжимаемых течений в канале с углом сжатия и в канале с обратным уступом.

7. Произвести сравнения результатов для нескольких тестовых задач, полученных при помощи МКЭ, с результатами других авторов, полученных с помощью МКР.

Научная новизна.

Предложено математическое описание и алгоритм расчета несжимаемых и сжимаемых течений в каналах различных геометрических форм. Для расчета несжимаемых осесимметричных турбулентных течений был использован метод штрафа. Было предложено провести аппроксимацию демпфирующих функций модели турбулентности с помощью билинейных базисных функций элемента.

На защиту выносятся: 1) математическое описание и алгоритм расчета несжимаемых течений; 2) результаты численного расчета несжимаемого турбулентного стационарного течения жидкости в круглой трубе на участке развитого течения и на начальном участке, в коническом сопле, нестационарных несжимаемых турбулентных течений в круглой трубе, а также сравнение этих результатов с имеющейся экспериментальной информацией других авторов; 3) математическое описание и алгоритм расчета сжимаемых течений; 4) результаты численного расчета сверхзвукового невязкого и вязкого течения газа в канале с наклонной стенкой; 5) результаты численного расчета сверхзвукового турбулентного течения газа в канале с обратным уступом, а также сравнение этих результатов с имеющейся экспериментальной информацией других авторов.

Практическая значимость.

Созданы программы для расчета несжимаемых и сжимаемых течений жидкости в каналах различных форм. Методики, разработанные и опробованные в ходе выполнения данной работы по обеспечению точности, сходимости и устойчивости вычислительного алгоритма могут быть полезными для других исследователей, работающих в области вычислительной гидродинамики. Полученные результаты пополняют банк данных о закономерностях сжимаемых и несжимаемых течений в областях различных форм.

Апробация работы.

Основные результаты работа докладывались на научно - технических конференциях Казанского государственного технологического университета (КХТИ), Казанского государственного технического университета (КАИ), Казанского военного артиллерийского университета, института программных систем РАН, Владимирского государственного университета, семинарах на кафедре "Автоматизации и информационных технологий" КГТУ.

Публикации.

По результатам работы автором опубликовано четыре статьи в периодической печати и тезисы 13 докладов.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов, списка использованной литературы. Полный объем диссертации - 180 страниц, рисунков - 90. Список литературы включает 198 источников.

В введении раскрыта актуальность работы.

В первой главе приведен обзор результатов экспериментальных и теоретических исследований внутренних течений, а также актуальные вопросы, связанные с разработкой и использованием численных методов расчета для задач динамики жидкостей.

Первый раздел главы посвящен анализу результатов исследования дозвуковых и сверхзвуковых течений в областях различных форм, а также рассмотрению основных направлений моделирования турбулентных течений.

Во втором разделе рассмотрены существующие чи«ленные методы решения задач течения жидкости и особенности применения метода конечных элементов для этих задач. Выяснено, что для геометрически сложных областей и смешанных граничных условий самым привлекательным с точки зрения численной реализации на ЭВМ и получения высокой точности и устойчивости решения является метод конечных элементов.

Вторая глава посвящена математическому описанию, методу дискретизации и алгоритмам расчета несжимаемых и сжимаемых внутренних течений.

Первый раздел описывает моделирование несжимаемых течений.

Математическая модель турбулентного несжимаемого движения газа приведена ниже и состоит из уравнения неразрывности, осредненных по Рейнольд су двух, уравнений движения, уравнения энергии для температуры, двух уравнений переноса турбулентных характеристик к, е и алгебраического соотношения, связывающего турбулентную вязкость с турбулентными характеристиками. Область, непосредственно прилегающая к твердой стенке, т.е. вязкий подслой, учтена за счет введения демпфирующих функций Лэма-Бремхорста. Уравнения переноса турбулентных характеристик носят полуэмпирический характер, и поэтому в их состав входят эмпирические константы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

йи 3v v

(1)

Г д( 2Л а ( ди\ д( дч\ - \

------- р + - к + - утг — + — утг- \ -2v-(3)

р дг\ 3 ) 5x1, т дт) Эг1 т дг) с г

Р сТ

зт

эт

г-+ ш--+ гл'----11--н — |г

а дк дг дх{{Ре ат} дх.

дк дк 8к д г —- + ги — + ГУ----

сИ дх. дг дк

= Ю

■ г£ .

дс де де д

г— + ги--(-ГУ---

ей Эх дг дк

к к

в* =Ут-)2

; + + и;

уе=у+-ут; у = 1/Яе; ут = с^ к2/е-^ = [1 - ехр(- 0.0165 • Яу )]* (1 + 20.5/Их). {"1=1 + {ОЩ^У; Г,=1-ехр(- К*).

= 0. (4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

= Яе тку, 11т = Кек2/е; сц=0.09; сс,=1.44; се2=1.92; ок=1; с£=1.3. (10)

Ф(х,г)=Е^(х,г)Ф;, (И)

¡=1

где Ф = и,у,к,в,Т,р;

В формуле 11 показано конечно-элементное представление всех параметров потока через билинейные базисные функции.

При решении дифференциальных уравнений методом конечных элементов дискретизация решаемых уравнений возможна либо вариационным методом, если существует вариационный аналог, либо методами взвешенных невязок, например методом Галеркина. Общая формулировка метода взвешенных невязок:

^•11е-(Ю = 0. (12)

В методе Галеркина в качестве весовых функций выбираются базисные функции элемента ЭД. При решении несжимаемых уравнений Навье-Стокса методом Галеркина с конечными элементами необходимо использовать интерполяционные формулы для давления, как минимум, на один порядок ниже, чем для скоростей. Использование одинаковой интерполяции приводит к нарушению условия Ладыженской-Бабушки-Бреззи (ЛББ) и несовместной системе алгебраических . уравнений. Поэтому в данной работе для аппроксимации скорости и других параметров использована интерполяция

первого порядка, а для аппроксимации давления - нулевого, т.е. поле давления получается прерывистым и давление отыскивается в центре каждого элемента. Специальная методика наименьших квадратов позволяет рассчитать давление в основных узлах.

Для взаимосвязи скорости и давления в данной работе использован метод штрафа. Нулевая правая часть уравнения неразрывности не содержит давления, и ее можно заменить частным от деления давления на очень большой штрафной параметр.

• + (13)

дх дг г А.

<ди дч И

Тогда член, содержащий градиент давления, в уравнениях движения, можно проинтегрировать по частям и ■'в* полученное выражение подставить модифицированное уравнение неразрывности. Это позволяет исключить давление из числа неизвестных. Давление рассчитывается явно на основе рассчитанного поля скорости из уравнения неразрывности. Основным недостатком метода штрафа является плохая обусловленность системы линейных алгебраических уравнений, что требует использования только прямых методов решения. Необходимо отметить, что в литературе отсутствуют сведения о применении метода штрафа для турбулентных течений, поэтому в данной работе предпринята попытка расширения метода штрафа для случая турбулентных течений. Также в литературе не приводятся сведения о случаях применения метода штрафа для осесимметричных течений.

При расчетах течений с высокими числами Рейнольдса, когда вклад диффузионных членов в решение очень мал, возникают высокочастотные осцилляции в поле скорости, для подавления которых необходимо использовать какой-нибудь противопоточный метод стабилизации. В данной работе в качестве такого метода был использован метод против потока вдоль линии тока, по которому противопоточные весовые функции Пстрова-Галеркина применяются к конвективным членам всех уравнений, что эквивалентно введению искусственной диффузии против потока вдоль линии тока, когда роль основной диффузии стремится к нулю. Точное количество этой диффузии, а также налравление, в котором она должна быть добавлена, вычислялись для каждого элемента отдельно.

1 2|й|(, дк Вт ) 1 '

где Ье- характерный размер элемента;

у - противопоточный параметр, определяется как у = сЙ1 (Д)- 1/Д;

Д = Ке|й[Ье; |и| = -Уи2 + V2 .

Для получения стационарного решения методом установления использовалась полунеявная схема Эйлера интегрирования по времени. Схема

являлась неявной по отношению к диффузионным и штрафным членам, произошедшим от членов давления, и явной по отношению к конвективным членам, членам генерации и диссипации. Перенос этих членов в правую часть позволил линеаризовать систему получающихся алгебраических уравнений.

При дискретизации членов, содержащих вторую производную, т.е. диффузионных и штрафных членов, была использована формула Грина интегрирования по частям.

Получающиеся двойные интегралы вычислялись численно по квадратурным формулам Гаусса-Лежандра с двумя точками интегрирования по каждой координате. Для удовлетворения условию ЛББ для штрафных членов была использована только одна точка интегрирования в центре элемента. Для удобства численного интегрирования внутри каждого элемента было проведено изопараметрическое преобразование координат.

Второй раздел описывает моделирование сжимаемых невязких и ламинарных течений.

Математическая модель невязкого и ламинарного сжимаемого движения газа приведена ниже и состоит из уравнения неразрывности, двух уравнений движения, уравнения энергии для полной энергии и уравнения состояния для давления.

(Эр + Эри ^ Эру Й Зх 3у

= 0.

(16)

(17)

(18)

+ п(п-1)М2—(итхх+утху)+

(19)

Т = М2пр/р.

4 Эи__2_ЭУ. _ _1_ЭУ.

ЗЯеЭх ЗЯе ду' Тху ~Тух ~ КеЭу + КеЭх'

(20) (21)

= Т,

= __2_Эи

Туу~ЗКеду ЗЯеах'

п 5Т

п ЭТ

Яе Рг Зх' ЯеРг ду

В этих уравнениях изменение молекулярной вязкости в зависимости от температуры считается пренебрежимо малым. В случае расчета течения невязкой жидкости необходимо устранить все диффузионные члены из уравнений сохранения энергии и движения.

Для дискретизации двумерной области задачи были использованы билинейные изопараметрические четырехугольные конечные элементы. Дискретизация уравнений производилась методом Галеркина. Для стабилизации течений при высоких числах Рейнольдса были использованы весовые функции Петрова-Галеркина, аналогичные функциям для несжимаемого течения. Для получения стационарного решения методом установления использовалась явная схема Эйлера интегрирования по времени. При получении дискретного аналога использовалась усеченная ^форма матрицы массы нестационарного члена, что позволило легко получить решение без использования матричных решателей. Для обеспечения устойчивости явной схемы шаг по времени вычислялся на основе формулы Куранта-Фридрихса-Леви.

Третий раздел описывает моделирование сжимаемых турбулентных течений.

Математическая модель турбулентного сжимаемого движения газа приведена ниже и состоит из уравнения неразрывности, осредненных по Рейнольдсу двух уравнений движения, уравнения энергии для полной энергии, двух уравнений переноса турбулентных характеристик кию, уравнения состояния для давления и алгебраического соотношения, связывающего турбулентную вязкость с турбулентными характеристиками.

Й ЙХ Зу

Эи 1 ^хх ду

ду дк Ке дк

дч др 1 —Ё1 + — ду Ие ду

ду Эх

Эи <5и ¿я ох

дч ду Р — + ри —•

Эх.

дЕ дЕ дЕ ( Эру"}

дк ду \дк ду)

ду

+\*уу +

(24)

(25)

(26)

(17)

с?к дк дк ^ ди дч +

р а + ри ах+рУ ¿у= яеГхх гх + Тху Зх+х

ди

ду

^ду^^ду

-Р*ршк +

ЛеЭх

V ♦ \5к"1 1 д

да д& дса _ 1 (усо"

р а + ри ах +рУ ду ~ Яе

5а ду Эх * да

(ц + а'ц^

да

\дк ду Эу'

худу+Хууду

-Рр®

Л.А.

К.едх

(р + ацт)

да> дх

(ц + ацх)

да ду.

цт = Леу* рк/о.

р = (р/(м2п))[Е - М2п(п - 1)(к + 0.5(и2 + V2 ))]. Т = М2п р/р.

г, аи! 2„ .

2 Г„Эи 2 ,

тху ~тух _Нт

5и ду ду дх

}

ТУУ =

2— I 5у

:К.ерк.

_0и1 2 5х]~ 3

Яе^Рг Ргт;Эх у Ие^Рг Ргт>| Ь = Е - М 2п(а - 1)(к + 0.5(и2 + V2)- р/р).

Чх =-

дЪ ду'

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

Уравнение для ю выведено в предположении высоких турбулентных чисел Рейнольдса, и поэтому оно не применимо в вязком подслое, где числа Рейнольдса турбулентности являются низкими. В данной работе для расчета турбулентных сжимаемых течений газа используется модель высоких чисел Рейнольдса, при котором вязкий подслой не моделируется, а граничные условия со стенки сносятся в первый расчетный узел, находящийся в логарифмической области, при помощи функций стенки.

твердая сгеика

у - задаваемая величина р-^--

-о-

-О первый расчетный узел

11__о второй

расчетный узел

Рис.1. Фрагмент расчетной сетки вблизи твердой стенки

На рис.1, приведен фрагмент расчетной сетки вблизи твердой стенки. Граница расчетной области находится на смещении относительно твердой стенки на расстояние у, которое задается таким образом, чтобы первый расчетный узел находился в логарифмической области течения,

т.е.ЗО < у+ < 300. Турбулентная кинетическая энергия на расчетной границе к№ рассчиталась неявно на предыдущем шаге по времени из дифференциального уравнения для к. Стенка считалась адиабатической, и граничное условие для температуры на стенке не задавалось. Граничные условия в первом узле для и и со находились с использованием закона стенки.

где х=0.41; Е3=9.0; здесь у+с - безразмерная толщина вязкого подслоя; у -расстояние до стенки.

Использованный численный метод тот же, что и для невязких и ламинарных сжимаемых течений, и поэтому в третьем разделе он не описывается.

В третьей главе представлены результаты расчета несжимаемых ламинарных и турбулентных течений в сопоставлении с экспериментальными данными и аналитическим решением.

В первом разделе приводятся результаты расчета ламинарных несжимаемых течений: ламинарного течения между плоскими параллельными пластинами при Яе=10 и 100, тепловой конвекции в каверне, подогреваемой сбоку, при 11а=1000 и 10000 и Рг=1 и ламинарного течения в круглой трубе при

(43)

(44)

(45)

(41)

(42)

Яе=10 и 100.

Рис.2. Профиль безразмерной температуры в сеченни у=0.5 для задачи о тепловой конвекции в каверне, подогреваемой сбоку.

Для решения задачи о тепловой конвекции в каверне, подогреваемой сбоку, использовались уравнения, приведенные во второй главе, но с преобразованием их к плоскому ламинарному виду. При этом отбрасывались все уравнения, кроме уравнения неразрывиости, двух уравнений движения и уравнения для температуры. В этих оставшихся уравнениях отбрасывались все турбулентные члены, 1Л1е заменялась на число Прандгля Рг, 1/Ре заменялось на 1, а в правую часть уравнения для V добавлялся член Рг-Яа-Т. На рис.2, приведен профиль температуры в сечении у=0.5.

Во втором разделе приводятся результаты расчетов турбулентных несжимаемых течений: турбулентного несжимаемого течения на участке стабилизации круглой трубы при 11е=62000, 200000, развитого турбулентного течения в круглой трубе при Яе=50000, 62000, 150000, 300000, нестационарного течения в круглой трубе при уменьшении расхода жидкости и течения на участке с коническим соплом.

На рис.3, показано изменение скорости на оси по длине трубы при течении на участке стабилизации для двух значений к на входе. Расчет показал, что чем больше уровень турбулентности на входе в канал, тем быстрее происходит стабилизация осевой скорости.

Также результаты проведенных расчетов подтверждают результат, экспериментально полученный Ибрагимовым и Субботиным, что по длине участка стабилизации после смыкания пограничных слоев, которое происходит примерно на расстоянии 30 калибров от входа, скорость на оси еще не стабилизировалась, а стабилизация ее происходит примерно на расстоянии до 60 калибров от входа.

На рис.4, приведена зависимость турбулентной характеристики к« от

безразмерного расстояния до стенки, где к* = к/ри*. Результаты расчета хорошо согласуются с экспериментальными данными других авторов.

При расчете были опробованы два способа аппроксимации демпфирующих функций: кусочно-постоянная и через билинейные базисные функции. На рис.5, приведены результаты расчета касательного напряжения поперек пограничного слоя, полученные с использованием этих двух видов

аппроксимаций, в сопоставлении с аналитической зависимостью. Сравнение показало, что введение билинейной интерполяции для демпфирующих функций позволило значительно улучшить точность результатов.

Re 01 =200000

■ « t А « /

: /\г<>- Ю1

о 50 100 iso s/k

Рис.3. Распределение скорости на оси по длине трубы на участке стабилизации

о 20 40 60 80 у*" Рис.4. Распределение кинетической энергии турбулентности в пристеночной области

0.98 0.9« 0.94 0.92 0.90

qwwHMtTMwnu ♦ штряояячмдсмл- tundra Rwiffwmn

♦ X

♦

олю 0.02 0.04 0.06 0.08 г Рис.5. Распределение касательных напряжений в пристеночной области

О 4 8 12 1*10

Рис.6. Сравнение результатов расчета касательного напряжения на стенке с экспериментальными данными и расчетами других авторов при Ие = 2.5-105 1 - численный расчет нестационарного течения; 2 — квазистационарные значения; 3 - эксперимент Айтсмана; 4 - численный расчет Валуевой

На рис.6, приведена временная зависимость касательного напряжения на стенке при нестационарном течении с уменьшением расхода жидкости для Кео=250000, в сравнении с квазистационарными . значениями, экспериментальными данными Айтсмана и численным расчетом Валуевой по МКР. Здесь Т = 1у / й1 - безразмерное время (число Фурье).

ст

0.003 0.002

0.001 0.000

О 1000 2000 Не'

Рис.7. Зависимость коэффициента трения от числа Рейнольдса, вычисленного по толщине потери импульса, для стационарного течения газа на участке с коническим соплом

На рис.7, приведена зависимость коэффициента трения от числа Рейнольдса, вычисленного по толщине потери импульса, для стационарного несжимаемого турбулентного течения газа на участке с коническим соплом в сравнении с экспериментальными данными Юшко и расчета Понявина по МВСР. Длина сопла была 72 мм, диаметр на входе - 50 мм и модуль - 0.36. В качестве

д А А ДДА Л А Л Л А

~ -

д - расчет МКЭ о - течение в трубе О - вход в сопло • - эксперимент а-расчет МКР

□

граничных условий на входе были взяты результаты расчета стационарного течения в трубе. Из рисунка видно, что результаты расчета по МКЭ ближе к эксперименту, чем по МКР. Также расчеты показали, что продольный отрицательный градиент давления деформирует профиль продольной составляющей скорости, делая его более заполненным и увеличивает трение. К тому же под влиянием продольного отрицательного градиента давления профиль турбулентной кинетической энергии (ТКЭ) деформируется. Причем рост ТКЭ в основном происходит на оси потока, а профиль становится более равномерным.

В четвертой главе приведены результаты расчета невязких, ламинарных и турбулентных сверхзвуковых течений.

В первом разделе приведены результаты расчета канала с наклонной стенкой при невязком плоском течении для МВХ=2.28,5Д0, невязком осесимметричном течении для Мвх=2.28,15, вязком плоском течении для Мвх=2.28 и Яе= 10000.

Рнс.8. Картина изолиний числа Маха при Мв1=2.28 для невязкого течения -------аналитическое решение (46);_численный расчет

На рис.8, приведена картина изолиний числа Маха, полученная для невязкого плоского течения на равномерной селгке 126x75 при Мвх=2.28, угле наклона стенки Р1=15°.

■=! П + 1

(п + 1)М;

вх.

П-1

(п + 1)М;

х, + -

п + 1 2

(п + 1)МВ

= 0

— 1

х? +

(46)

(п + 1)М«Х

здесь х, =Ща\<х- угол скачка уплотнения;

Из одномерного приближения можно вывести формулу (46) для определения угла скачка уплотнения. По этой формуле для Мвх=2.28, Р1=15° и показателя адиабата п=1.4 скачок уплотнения исходит из угла сжатия под углом в 40° и отражается от верхней стенки под углом в 40.5е. Как видно из рис.8, местоположение обоих скачков было определено верно.

Рис.9. Картина изолиний числа Маха при Мвх=2.28 для вязкого течения

На рис.9, приведена картина изолиний числа Маха, полученная для вязкого плоского течения на равномерной сетке 51x30 при Мвх=2.28. На рисунке ясно видна картина взаимодействия скачков уплотнения с пограничным слоем, чего не наблюдалось для невязкого случая. В,результате такого взаимодействия на верхней стенке образовалась обширная замкнутая отрывная область.

Во втором разделе приведены результаты расчета сверхзвукового турбулентного течения в канале с обратным уступом при Мвх=2, числе Рейнольдса, вычисленном по высоте уступа Ь=3.18 мм, 11е=103300, ТВХЛ67 К, Рвх=0.35 атм, ивх-518 м/с, рвх=0.726 кг/м3.

Рис.10. Профиль температуры

На рис.10 приведен профиль температуры в поперечном сечении канала, расположенном на расстоянии 3.145*Ь от уступа в сравнении с экспериментом Хартфилда.

На рис. 11. приведена картина изолиний статического давления Из рисунка отчетливо видны волны разрежения перед уступом, скачок отрыва на обратной стороне уступа, скачок присоединения и рециркуляционная область, где давление практически постоянно.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработана математическая модель для расчета внутренних несжимаемых течений. Она основана на осредненных уравнениях Рейнольдса, замкнутых к-в моделью турбулентности с демпфирующими функциями для аппроксимации вязкого подслоя.

2. На базе математической модели и соответствующей численной процедуры, основанной на методе конечных элементов, разработано программное обеспечение для расчета параметров внутренних несжимаемых потоков.

3. Проведены тестовые численные расчеты внутреннего несжимаемого течения для осесимметричных и плоских задач. Сравнение результатов расчета с аналитическим решением и экспериментами других авторов показывает, что разработанный программный комплекс способен адекватно описывать данный класс задач.

4. Проведены численные расчеты внутреннего несжимаемого течения в трубе для участков стабилизации и участков развитого течения. Анализ результатов расчетов показал, что на длину участка стабилизации осредненных характеристик течения в трубе влияют условия на входе в трубу. Чем выше степень турбулентности на входе, тем меньше длина участка стабилизации для скорости.

5. Результаты проведенных расчетов подтверждают результат, экспериментально полученный Ибрагимовым и Субботиным, что по длине участка стабилизации после смыкания пограничных слоев, которое происходит примерно на расстоянии 30 калибров от входа, скорость на оси еще не стабилизировалась, а стабилизация ее происходит примерно на расстоянии до 60 калибров от входа.

6. Проведены численные расчеты нестационарного несжимаемого течения в трубе при уменьшении расхода. Получено хорошее соответствие расчета и эксперимента.

7. Проведено сравнение двух видов интерполяции демпфирующих функций на элементе: кусочно-постоянной и через билинейные базисные функции, аналогично основным параметрам потока. Сравнение показало, что использование билинейной интерполяции значительно улучшает точность решения вблизи твердой стенки.

8. Проведены расчеты развитого турбулентного течения на участке с коническим соплом. В результате анализа полученных данных и сравнения их с результатами расчетов методом конечных разностей, а также с результатами эксперимента, сделан вывод, что метод конечных элементов дает лучшее совпадение с экспериментом, чем метод конечных разностей для непрямоугольных областей.

9. Также расчеты показали, что продольный отрицательный градиент давления деформирует профиль продольной составляющей скорости, делая его более заполненным и увеличивает трение. К тому же под влиянием продольного отрицательного градиента давления профиль турбулентной кинетической энергии (ТКЭ) деформируется. Причем рост ТКЭ в основном происходит на оси потока, а профиль становится более равномерным.

10. Разработана математическая модель для расчета сжимаемого невязкого, ламинарного и турбулентного потока в каналах различных форм. Для расчета невязкого и ламинарного потока используются как уравнения Эйлера, так и Навье-Стокса. Для расчета турбулентного потока используются осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье Стокса, замкнутые к-со моделью турбулентности с пристеночными функциями.

11. На базе математической модели и соответствующей численной процедуры основанной на методе конечных элементов, разработано программное обеспечение для расчета параметров невязкого, ламинарного и турбулентного сжимаемого потока.

12. Проведены численные расчеты внутреннего сжимаемого течения в канале с наклонной стенкой с различными режимными параметрами. Получившиеся местоположения слабых косых скачков уплотнения, а также параметров потока за скачками уплотнения находятся в хорошем соответствии с аналитическими зависимостями.

13. В результате взаимодействия косого скачка уплотнения с пограничным слоем при вязком течении на верхней стенке образуется обширная замкнутая отрывная область.

14. В результате расчета сверхзвукового турбулентного потока в канале с обратным уступом, показано, что в рециркуляционной зоне за уступом давление практически постоянно, т.е. эта область является изобарической.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Яе - число Рейнольдса; Рг -число Прандтля: Ре - число Пекле; Яа - число Релея; т - модуль сопла; и - осевая составляющая скорости; v - радиальная составляющая скорости; г,у - поперечная координата; х - осевая координата; Я -текущий радиус сопла; I - время; Т - температура; т - касательное напряжение; к - турбулентная кинетическая энергия; е - скорость диссипации

турбулентной кинетической энергии; v- кинематическая вязкость; р -статическое давление; А - штрафной параметр; р - плотность; со - удельная скорость диссипации турбулентной кинетической энергии; h -энтальпия; q -тепловой поток; р - динамическая вязкость; Е - полная энергия; п - показатель адиабаты; cei, сс2, сгк, стс> стт, Р, р*, у, у*, ст, а*- константы турбулентности; 5-толщина пограничного слоя; Re** - число Рейнольдса, вычисленное по толщине потери импульса; и, динамическая скорость; i - локальный номер узла в элементе; N - базисная функция; W - весовая функция; Re - невязка; D -область определения решения; d - диаметр трубы.

Индексы: вх -параметры на входе в рассчитываемый участок; w -параметры на твердой стенке; Т - турбулентные параметры; е - эффективные параметры; р -размерные параметры; ос - параметры на оси; ср -среднерасходные параметры; 0 - параметры в начальный момент времени; + -безразмерные параметры в функциях стенки.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Акберов P.P., Понявин В.И. Расчет турбулентных течений в осесимметричных каналах методом конечных элементов// Известия ВУЗов, Проблемы энергетики. 1999. N 3-4. - С. 9-15.

2. Акберов P.P., Понявин В.И., Фафурин В.А. Применение метода конечных элементов для расчета гидродинамики и теплообмена в турбулентных потоках// Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении. Казань. 1999. С.116-119.

3. Акберов P.P., Понявин В.И., Фафурин В.А. Численное моделирование течений в осесимметричных каналах методом конечных элементов// Тепломассообменные процессы и аппараты химической технологии. Казань. 1998. С. 160-167.

4. Понявин В.И., Акберов Р.Р. Расчет течения газа в расходомерных соплах// Математические методы в химии и химической технологии. Тез. докл. Владимир. 1998. С. 53.

5. Понявин В.И., Акберов P.P. Расчет нестационарных течений в соплах, установленных на начальном участке// Внугрикамерные процессы в энергетических установках. Акустика, диагностика. Тез. докл. Казань. 1998. С.68-69.

6. Акберов P.P., Понявин В.И. Результаты расчета нестационарного турбулентного течения газа в соплах// Одиннадцатая международная научно-техническая конференция по компрессорной технике. Тез. докл. Санкт-Петербург. 1998. С. 118.

7. Акберов P.P., Понявин В.И. Расчетное исследование течения на входном участке цилиндрической трубы// Внутрикамерные процессы в энергетических установках, акустика, диагностика. Тез. докл. Казань.1999. С.31-33.

8. Акберов P.P., Понявин В.И. Использование метода конечных элементов для расчета течения вязкой жидкости// X юбилейная международная

/о

конференция. Вычислительная механика и современные прикладные программные системы. Тез. докл. Переслааль-Залесский. 1999. С. 24-25.

9. Акберов P.P., Понявин В.И. Особенности использования метода конечных элементов для расчета течения вязкой жидкости// Методы кибернетики химико-технологических процессов. Тез. докл. Казань. 1999. С.46-

10. Акберов P.P., Понявин В.И., Фафурин В.А. Особенности моделирования турбулентных течений вблизи твердой стенки// КГТУ. Научная сессия. Казань. 1999. С.73. ■

11. Акберов P.P., Понявин В.И., Фафурин В.А. Расчет поля температур турбулентного течения в трубе// КГТУ. Научная сессия. Казань. 1999. С.73

12. Акберов P.P., Понявин В.И., Толок Е.А. Использование пакета программ ANSYS для моделирования течений// КГТУ. Научная сессия. Казань.

13. Акберов P.P., Понявин В.И., Фафурин В.А. Расчет слабозакрученного течения в трубе// КГТУ. Научная сессия. Казань. 1999. С.73.

14. Акберов P.P., Понявин В.И. Использование граничного условия в виде "закона стенки" при расчете турбулентных течений// КГТУ. Научная сессия. Казань. 1999. С.74.

15. Акберов Р.Р., Понявин В.И., Фафурин В.А. Моделирование сверхзвуковых и гиперзвуковых течений методом конечных элементов// КГТУ. Научная сессия. Казань. 2000. С.108.

16. Понявин В.И., Акберов P.P., Фафурин В.А. Моделирование турбулентных сверхзвуковых течений методом конечных элементов// КГТУ. Научная сессия. Казань. 2000. С.108.

17. Акберов P.P., Понявин В.И. Численное моделирование внутренних течений методом конечных элементов. Казань. 2000. 24 с. (Препринт/ Казан, гос. техн. ун-т; П2).

47.

1999. С.73

Соискатель

Акберов P.P.

Заказ Z2C

Тираж 80 экз.

Издательство Казанского государственного технологического университета 420015, г.Казань, ул.К.Маркса, 68.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Акберов, Роальд Рифкатович

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1. Состояние вопроса.

1.1. Обзор экспериментальных и теоретических исследований внутренних течений.

1.1.1. Дозвуковые течения.

1.1.1.1. Турбулентное течение на участке стабилизации.

1.1.1.2. Влияние продольного отрицательного градиента давления на параметры потока.

1.1.1.3. Нестационарное дозвуковое течение.

1.1.2. Сверхзвуковые течения.

1.1.2.1. Двумерное взаимодействие плоского скачка уплотнения с пограничным слоем.

1.1.2.2. Течение в канале с обратным уступом.

1.1.3. Моделирование турбулентных течений.

1.1.3.1. Основные направления моделирования турбулентных потоков.

1.1.3.2. Краткая характеристика полуэмпирических моделей турбулентности.

1.2. Численный метод.

1.2.1. Численные методы для расчета течений.

1.2.2.1. Методы Галеркина.

1.2.2.2. Методы стабилизации при высоких числах

Рейнольдса.

1.2.2.3. Метод штрафа.

1.2.2.4. Схемы адаптации конечно-элементных сеток.

1.2.2.5. Изопараметрические конечные элементы.

1.2.2.6. Модификации обычного метода конечных элементов для его реализации на персональной ЭВМ.

1.2.3. Решение систем алгебраических уравнений МКЭ.

1.3. Выводы и задачи исследования.

1.3.1. Выводы из проведенного анализа.

1.3.2. Задачи исследования.

Глава 2. Математическая модель и численный метод.

2.1. Несжимаемые течения.

2.1.1. Исходная система уравнений.-.

2.1.2. Расчетная область с граничными условиями.

2.1.3. Метод дискретизации.

2.1.4. Построение системы уравнений.

2.1.5. Интегрирование по времени.-.

2.1.6. Весовые функции Петрова-Галеркина.

2.1.7. Учет давления.

2.1.8. Расчет давления.

2.1.9. Алгоритм расчета.

2.1.10. Вывод дискретных аналогов.

2.2. Сжимаемые невязкие и ламинарные течения.

2.2.1. Исходная система уравнений.

2.2.2. Метод дискретизации.

2.2.3. Усечение матриц массы.

2.2.4. Весовые функции Петрова-Галеркина.

2.2.5. Интегрирование по времени.

2.3. Сжимаемые турбулентные течения.

2.3.1. Исходная система уравнений.

2.3.2. Задание граничных условий на твердой стенке.

2.3.3. Численный метод.

Глава 3. Моделирование дозвуковых течений.

3.1. Расчет ламинарных течений.

3.1.1. Плоские ламинарные течения.

3.1.1.1. Течение между плоскими параллельными пластинами.

3.1.1.2. Тепловая конвекция в каверне, подогреваемой сбоку.

3.1.2. Ламинарное течение в круглой трубе.

3.2. Турбулентное течение в круглой трубе.

3.2.1. Участок стабилизации.

3.2.2. Развитое течение в круглой трубе.

3.2.3. Нестационарное течение в круглой трубе.

3.3. Турбулентное течение при наличии продольного отрицательного градиента давления.

3.3.1. Течение в коническом сопле.

Глава 4. Расчет сверхзвуковых течений.

4.1. Расчет ламинарных и невязких течений.

4.1.1. Расчет невязкого сверхзвукового течения при использовании расчетной сетки 51x30.

4.1.2. Расчет невязкого сверхзвукового течения при использовании расчетной сетки 126x75.

4.1.3. Осесимметричное течение.

4.1.4. Расчет ламинарного течения вязкой сжимаемой жидкости.

4.2. Расчеты турбулентного течения.

Введение диссертация по механике, на тему "Численное моделирование внутренних течений методом конечных элементов"

Для решения многих задач газовой динамики необходимо использовать записанные в той или иной форме уравнения Навье-Стокса. Эти уравнения являются нелинейными из-за наличия в них нелинейных конвективных членов, и поэтому решение этих уравнений возможно только численным методом. Среди множества численых методов, используемых для решения задач газовой динамики, можно выделить два основных метода, имеющих универсальную применимость: это метод конечных разностей и метод конечных элементов. До недавнего времени наиболее распространенным методом для решения уравнений Навье-Стокса был метод конечных разностей из-за своей простоты, малых затрат машинного времени и низких требований к оперативной памяти. С развитием вычислительной техники увеличились быстродействие ЭВМ и объемы памяти, что сделало возможным реализацию метода конечных элементов на ЭВМ. Преимуществом МКЭ над МКР является возможность проводить расчет каналов любых форм из-за отсутствия необходимости составления ортогонального сеточного шаблона. Более простой учет граничных условий позволяет не вносить изменений в расчетную программу и расширяет круг решаемых задач. Также, как показано в литературе по теории МКЭ, МКЭ имеет лучшую устойчивость и точность, особенно для областей сложных форм.

Как известно дозвуковые несжимаемые и сверхзвуковые сжимаемые течения газа описываются отличающимися по форме уравнениями Навье-Стокса, неразрывности и энергии, и поэтому при решении обоих классов задач возникают свои специфические трудности, способы решения которых отличаются друг от друга. Получившиеся при численном расчете результаты обычно сравнивают с экспериментом или точным решением.

Таким образом, в данной работе изложены методики расчета несжимаемых и сжимаемых течений методом конечных элементов и приведены результаты расчетов, полученных по этим методикам.

Глава 1. Состояние вопроса

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

Основные результаты и выводы

1. Разработана математическая модель для расчета внутренних несжимаемых течений. Она основана на осредненных уравнениях Рейнольдса, замкнутых к-8 моделью турбулентности с демпфирующими функциями для аппроксимации вязкого подслоя.

149

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Акберов, Роальд Рифкатович, Казань

1. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1969. 824 с.

2. Адаме, Ходж. Применение усовершенствованной теории пути смешения к сжимаемому турбулентному пограничному слою// Ракетная техника и космонавтика. 1978. - Т.16, N7. - С.5-7.

3. Айтсам A.A., Даниель Э.Н., Сарв Л.Э. Изменение локальных параметров при постоянном замедлении течения жидкости в цилиндрических трубах// Тр. Таллинского полит, ин-та. 1989.-N 686. - С. 19.

4. Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного метода// Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1966. -Т.6, N 5. -С.861-883.

5. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. 520 с.

6. Бибиков JI.H., Левченко Ю.Д., Субботин В.И., Ушаков П.А. Профили скорости жидкости на входном участке плотноупакованного пучка стержней// Атомная энергия. -1973. -35, N 1. С.19.

7. Боровой В.Я. Течение газа и теплообмен в зонах взаимодействия ударных волн с пограничным слоем. М.: Машиностроение, 1983. 144 с.

8. Бунэ А. В., Дубовик К. Г., Полежаев В. И., Федюшкин А.И. Тесты и модификации конечно-разностных схем для двумерных уравнений Навье-Стокса: Препр. ИПМ АН СССР №260. М., 1985. 60 с.

9. Бэк, Массье, Каффел. Исследование течения и конвективного теплообмена в коническом сверхзвуковом сопле// Ракетная техника и космонавтика. 1967. - Т.5, N10. - С.191-201.

10. Бэк, Каффел, Массье. Ламинаризация турбулентного пограничного слоя при течении в сопле// Ракетная техника и космонавтика. 1969. - Т.7, N4. -С.194-196.

11. Валуева Е.П., Попов В.Н. Математическое моделирование пульсирующего турбулентного течения жидкости в круглой трубе // Докл. РАН.-1993. -Т. 332, N1.- С. 44.

12. Валуева Е.П., Попов В.Н. Нестационарное турбулентное течение жидкости в круглой трубе // Изв. РАН. Энергетика. 1993. - N 5. - С. 150.

13. Валуева Е.П., Попов В.Н. Особенности гидродинамического сопротивления при турбулентном пульсирующем течении жидкости в круглой трубе // Изв. РАН. Энергетика. 1994. - N 2. - С. 122.

14. Валуева Е.П. Попов В.Н. Численное моделирование процессов теплообмена и гидродинамики при уменьшении расхода жидкости во времени // ТВТ. -1997. -Т. 35, N 2. -С. 249.

15. Валуева Е.П., Попов В.Н. Численное моделирование процессов нестационарного сопряженного теплообмена при турбулентном течении жидкости в канале // ТВТ. -1997. -Т. 35, N 6. -С. 917.

16. Валуева Е.П., Попов В.Н. Пульсирующее турбулентное течение сжимаемой жидкости и распространение волн давления в канале // Изв. РАН. МЖГ. -1998. N5.-С. 98.

17. Валуева E.JL, Попов В.Н., Романова С.Ю. Теплоотдача при турбулентном пульсирующем течении в круглой трубе // Теплоэнергетика. -1994. -N3.-C. 24.

18. Валуева Е.П., Попов В.Н., Романова С.Ю. Численное моделирование процессов теплообмена и гидродинамики при увеличении расхода жидкости во времени //ТВТ. -1996.- Т. 34, N 4. -С. 551.

19. Васильев О.Ф., Квон В.И. Неустановившееся турбулентное течение в трубе// ПМТФ. -1971. -N 6. -С. 132-140.

20. Глушко Г.С. Турбулентный пограничный слой на плоской пластине в несжимаемой жидкости// Изв. АН СССР. Сер. Механика. -1965.-N 4. -С. 13-23.

21. Глушко Г.С. Некоторые особенности турбулентных течений несжимаемой жидкости с поперечным сдвигом// МЖГ.-1971.-Ы 4. С. 128-136.

22. Грэхэм, Дисслер. Расчет влияния ускорения потока на турбулентную передачу// Тр. Амер. об-ва инж.-мех, сер. С, Теплопередача. 1967. - T.89, N4. -С.103-104.

23. Грязнов B.JI., Полежаев В.П., Исследование некоторых разностных схем и аппроксимаций граничных условий для численного решения уравнений тепловой конвекции: Препр. ИПМ АН СССР №40. М., 1974. 66с.

24. Гухман A.A., Кирпиков В.А., Гутарев В.В., Цирельман Н.М. Исследование теплообмена и гидродинамического сопротивления при турбулентном течении газа в поле продольного знакопеременного градиента давления// Инж. физ. журн. 1969. - Т. 16, N4. - С.581-591.

25. Давыдов Б.И. К статистической динамике несжимаемой турбулентной жидкости//ДАН СССР. -1959. -T.127,N4. -С.768-771.

26. Давыдов Б.И. К статистической теории турбулентности.// ДАН СССР. 1959. -Т.127, N 5. -С. 980-982.

27. Дайковский А.Г. Полежаев В.И. Федосеев А.И. Исследование структуры переходного и турбулентного режимов конвекции в вертикальном слое// Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. - №6. - С. 66-75.

28. Дайковский А.Г. Полежаев В.И. Федосеев А.И. Численное моделирование переходного и турбулентного режимов конвекции на основе нестационарных уравнений Навье-Стокса: Препр. ИПМ АН СССР №101. М., 1978.65с.

29. Дайковский А.Г., Португалов Ю.И., Федосеев А.И. Минимизация ширины ленты матрицы в МКЭ: Препр. ИФВЭ N 80-152. Серпухов, 1980.

30. Дворак. Расчет турбулентного пограничного слоя на шероховатой поверхности при наличии градиента давления// Ракетная техника и космонавтика. 1969. -Т.7, N9. - С. 112-121.

31. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984. 336 с.

32. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541с.

33. Зубков В.Г. Математическая модель пограничного слоя для широкого диапазона турбулентных чисел Рейнольдса// ИФЖ. -1985. Т.48, N 5. - С. 746754.

34. Зысина-Моложен Л.М. Турбулентный пограничный слой при наличии продольного перепада давления// Журн. техн. физ. 1952. - Т.22, вып.11. -С.1756-1772.

35. Зысина-Моложен Л.М. Турбулентный пограничный слой при наличии продольного градиента давления. В кн.: Тепломассообмен-VI, Проблемные доклады, ч.1, Минск, 1981, с.76-95.

36. Ибрагимов М.Х., Таранов Г.С., Кобзарь Л.Л., Гомонов И.П., Соколовский А.Р. Течение на начальном участке гладкой трубы// Теплофизика высоких температур. -1974. -Т. 12, N 3.- С.542.

37. Кадер Б.А. Изменение толщины несжимаемого турбулентного пограничного слоя при наличии продольного градиента давления// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1979. - N2. - С. 150-156.

38. Кадер Б. А. Гидродинамическая структура ускоряющихся турбулентных пограничных слоев// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1983. - N3. - С.29-37.

39. Кадер Б.А., Яглом A.M. Влияние шероховатости и продольного градиента давления на турбулентные пограничные слои. В кн.: Итоги науки и техники ВИНИТИ: 1984. сер. Механика жидкости и газа, т. 18, с.3-111.

40. Кирпиков В.А., Цирельман Н.М. К вопросу о методах обобщения основных данных по теплообмену и сопротивлению при градиентных течениях// Инж. физ. журн. 1970. - Т. 19, N2. - С. 188-197.

41. Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости// Изв. АН СССР. Сер. физ. -1942. -Т.6, N 1-2. -С. 56-58.

42. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса// ДАН СССР. -1941. -Т.30, N4.-0. 299-303.

43. Конт-Белло Ж. Турбулентное течение в канале с параллельными стенками. М.: Мир, 1968.

44. Коченов И.С.,.Фалий В.Ф. Нестационарный теплообмен в каналах// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. -1981.-К 2. С.143.

45. Кошкин В.К., Калинин Э.К., Дрейцер Г.А., Ярхо С.А. Нестационарный теплообмен. М.: Машиностроение, 1973.

46. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.

47. Кузнецов Ю.А. Блочно-релаксационные методы в подпространствах, их оптимизация и применение. Новосибирск: Наука, 1982. С. 119-143.

48. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Теплообмен и трение в турбулентном пограничном слое. М.: Энергия, 1972. 342 с.

49. Леонтьев А.И., Шишов Е.В., Афанасьев В.Н., Заболоцкий В.П., Исследование пульсационной структуры теплового турбулентного пограничного слоя в условиях ламинаризации потока. В кн.: Тепломассообмен-У1: т.1, ч.2, Минск, 1980, с.136-146.

50. Леонтьев А.И., Шишов Е.В. Закономерности пристенной турбулентности в градиентной области течения и при сложных тепловых граничных условиях. В кн.: Пристенные турбулентные течения, Новосибирск, 1984, с.105-111.

51. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. 904с.

52. Лондер. О расчете конвективного теплообмена в сложных турбулентных течениях // Соврем. Машиностроение. Сер. А. -1989. -Ы 9. С. 69-89.

53. Марченко А.Г. Исследование турбулентного пограничного слоя нагладких и шероховатых поверхностях при произвольных градиентах давления// Журн. прикл. мех. и техн. физ. 1971. - N3. - С. 126-134.

54. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.

55. Нэш-Уэббер, Оутс. Инженерный метод расчета ламинаризации течения в сопле// Тр. Амер. об-ва инж.-мех., сер.Д, Теор. осн. инж. расч. 1972. - Т.94, N4. - С.205-213.

56. Орсег С. Численное моделирование турбулентных течений. М.: Мир, 1980.

57. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.A. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 288 с.

58. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984.

59. Петренко И.И., Пуртов C.B., Федосеев А.И. Решение больших задач МКЭ многосеточным методом. Алгоритм с разбиением на подобласти: Препр. ИФВЭ N 86-200. Серпухов, 1986.

60. Полежаев В.И., Бунэ A.B., Верезуб H.A. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987. 270 с.

61. Понявин В.И. Кинематическая структура нестационарного потока в соплах: Дис. канд. техн. наук.: 01.02.05.-Казань, 1996. 142 с.

62. Попов В.Н., Валуева Е.П. Теплообмен и гидродинамика при нестационарном турбулентном течении жидкости в круглой трубе // Тепломассообмен- ММФ-92. Т. 1, Ч. 1. Минск: Ин-т тепломассообмена. 1992. - С. 133.

63. Репик Е.У., Кузенков В.К. Опытное определение коэффициента поверхностного трения в турбулентном пограничном слое с продольным градиентом давления// Инж. физ. журн. 1976. - Т.30, N5. - С.793-802.

64. Репик Е.У., Кузенков В.К. Экспериментальное исследование связимежду теплоотдачей и сопротивлением трения в турбулентном пограничном слое с продольным градиентом давления// Теплофизика высоких температур. -1980. Т.18, N6.-С.1196-1202.

65. Ротта И.К. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости. Л.: Судостроение, 1967, 232с.

66. Сасмен, Кресчи. Сжимаемый турбулентный пограничный слой с градиентом давления и теплообменом// Ракетная техника и . космонавтика. -1966. Т.4, N1. - С.23-31.

67. Себиси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. М.: Мир, 1987.

68. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.

69. Сейбен. Интегральный метод расчета невязкого вихревого потока в каналах с переменной площадью поперечного сечения// Ракетная техника и космонавтика. 1974. - Т. 12, N3. - С. 152-154.

70. Современное состояние аэродинамики больших скоростей. М.: Изд-во иностр. лит., т.1, 1955. 491 с.

71. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 349 с.

72. Субботин В.И., Ушаков П.А., Трубаков Ю.П., Габрианович Б.Н., Левченко Ю.Д. Усредненные характеристики турбулентного потока воздуха на входном участке круглой трубы: Препр. ФЭИ N 599. Обнинск, 1975.

73. Уайт. Новый интегральный метод анализа турбулентного пограничного слоя при произвольном градиенте давления// Тр. Амер. об-ва инж.-мех. сер.Д, Теор. осн. инж. расч. 1969. - Т.91, N3. - С.43-52.

74. Федоренко Р.П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений// УМН. -1973. Вып. 2.- С.121-182.

75. Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений// Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1961. -Т.1, N 5. -С.922-927.

76. Федосеев А.И. Повышение эффективности метода конечных элементов для решения задач механики сплошных сред// Аннот. докл. VI Всесоюз. съезда по теоретической и прикладной механике. Ташкент. -1986. С.669.

77. Федяевский К.К. Турбулентный пограничный слой крыла. 4.1. О профиле напряжений трения и скоростей// Тр. ЦАГИ. 1936. - Вып. 282. - С.1-23.

78. Федяевский К.К., Гиневский A.C. Метод расчета турбулентного пограничного слоя при наличии продольного градиента давления// Журн. техн. физ. 1957/ - Т.27, N2. - С.309-326.

79. Хейнрих Ю.К., Маршалл P.C. Решение уравнений Навье-Стокса для стационарного течения методом конечных элементов со штрафной функцией// Ракетная техника и космонавтика. 1979.- 17, N 7.- С. 145-146.

80. Хуссейн, Рамье. Влияние формы осесимметричного конфузорного канала на турбулентное течение несжимаемой жидкости// Тр. Амер. об-ва инж.-мех., сер.Д, Теор. осн. инж. расч. 1976.- Т.98, N2. - С.300-311.

81. Чжен А. Отрывные течения. М.: Мир, т.1, 1972. 300 с.

82. Шиллер J1. Движение жидкости в трубах. М.: ОНТИ, 1936.

83. Шишов Е.В., Афанасьев В.Н., Белов В.М. Структура "ассимптотического" турбулентного пограничного слоя и теплообмен в ускоренном потоке// Тр. МВТУ, Исследование процессов тепло- и массообмена. 1979. - N 302, вып.4. - С.5-30.

84. Шуманн У., Гретцбах Г., Кляйзер Л. Прямые методы численного моделирования турбулентных течений. М.: Мир, 1984.

85. Щукин В.К., Ковальногов H.H., Воронин В.Н. и др. Турбулентная структура, теплоотдача и трение внутренних осесимметричных потоков с большими отрицательными продольными градиентами давления. В кн.: Тепломассообмен-VII, т.1, ч. 1, Минск, 1984, с. 175-179.

86. Юшко С.В. Нестационарное течение газа а соплах: Дис. канд. техн. наук.: 01.02.05.-Казань, 1996. 190 с.

87. Abu-Hijleh B., Samimi M. An experimental study of a reattaching supersonic shear layer// AIAA Paper 89-1801.

88. Arai T., Sugiyama H., Homareda M., Uno, N. Turbulence characteristics of supersonic boundary layer past a backward facing step// AIAA Paper 95-6126.

89. Avva R., Smith C., Singhal A. Comparative study of high and low Reynolds number version of k-e models// AIAA 28th Aerospace Sciences Meeting, January 1993. AIAA- 90-0246.

90. Babuska I. The finite element method with lagrangian multipliers// Numer. Math.- 1973.- 20.-P. 179-192.

91. Babuska I. The finite element method with penalty// Num. Meth.- 1978.-27.-P. 221-228.

92. Baker A.J. On a penalty finite element CFD algorithm for high speed flow// Comp. Meth. Appl. Mech. Eng.- 1985.- 51.- P. 395-420.

93. Barbin A.R., Jones J.B. Turbulent flow in the inlet region of a smooth pipe// Transactions ASME. Ser. D. -1964. 85, N 1. - P.34.

94. Bercovier M., Engleman M. A finite element method for the numerical solution of viscous incompressible flows// J. Comp. Physics.- 1979.- 30.- P. 181-201.

95. Berger M.J. Adaptive finite difference methods in Fluid Dynamics// Technical Report DOE/ER/03077-277, Courant Mathematics and Computing Laboratory, New York University.- 1984.

96. Bogdanov S.M., Kepler C.E. Separation of a supersonic turbulent boundary layer// Journal of Aeron. Sc. 1955. -N 6. - P. 414-424.

97. Brezzi F. On the existence, uniqueness and approximation of saddle-point problems arising from Lagrange multipliers//RAIRO Ser. Rouge.- 1974.- 8. P. 129151.

98. Brooks A.N., Hughes T.J.R. Streamline Upwind/Petrov-Galerkin formulations for convective dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier-Stokes equations// Computer Methods in Applied Mechanics.- 1982.- 32.-P. 199-259.

99. Carey G.F., Krishnan R. Penalty approximation of Stokes flow// Comp. Meth. Appl. Mech. Eng.- 1982,- 35.- P. 169-206.

100. Carey G.F., Krishnan R. Penalty finite element method for Navier-Stokes equations// Comp. Meth. Appl. Eng.- 1984,- 42.- P. 183-224.

101. Carey G.F., Krishnan R. Continuation techniques for a penalty approximation of the Navier-Stokes equations// Comp. Meth. Appl. Mech. Eng.-1985.- 48.- P. 265-282.

102. Carey G.F., Krishnan R. Convergence of iterative methods in penalty finite element approximations of the Navier-Stokes equations// Comp. Meth. Appl. Mech. Eng.- 1987.- 60.- P. 1-29.

103. Cebeci T., Bradshow P. Physical and computational aspects of convective heat transfer. N.Y.: Springer, 1984.

104. Chapman D. R. An analysis of the base pressure at supersonic velocities and comparison with experiment// NACA TR 1051.-1951.

105. Chapman D., Kuehn D., Larson H. Investigation of separated flows in supersonic and subsonic streams with emphasis on the effect of transition// NACA Rep. N 1356.- 1958. 40 p.

106. Chorin A.J. Numerical solution of the Navier-Stokes equations// Math. Compul- 1968.- 23,- P. 341-354 .

107. Codina R. An iterative penalty method for the finite element solution of the stationary Navier-Stokes equations// Comp. Meth. Appl. Mech. Eng.- 1983.- 110.- P. 237-262.

108. Codina R., Cervera M., Onate E. A penalty finite element method for non-newtonian creeping flow// Int. J. Num. Meth. Eng.- 1993.- 36.- P. 1395-1412.

109. Correa S.M., Warren R.E. Supersonic sudden-expansion flow with fluid injection: an experimental and computational study// AIAA Paper 89-0389.

110. Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration// Bull. Am. Math. Soc.- 1943.- 49.- P. 1-23.

111. Donaldson I.S. On the separation of a supersonic flow at a sharp corner//

112. AIAA J. -1967.-5, N 6.- P. 1086-1088.

113. Droux J.-J., Hughes T.J.R. A boundary integral modification of the Galerkin Least Squares formulation for the Stokes problem// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.- 1994.- 113.- P. 173-182.

114. Eiseman P.R. Adaptive grid generation// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.- 1987.- 64.- P. 321-376.

115. Emvin P., Davidson L. A local mesh refinement algorithm applied to turbulent flow// Int. J. Numer. Methods Fluids.-1997.- 24, N 5.- P.519-530.

116. Engleman M.S., Sani R.L., Gresho P.M., Bercovier M. Consistent vs reduced integration penalty methods for incompressible media using several old and new elements// Int. J. Num. Meth. Fluids.- 1982.- 2.- P. 25-42.

117. Felippa C.A. Iterative procedure for improving penalty function solutions of algebraic systems// Int. J. Num. Meth. Eng.- 1978.- 12,- P. 165-185.

118. Finnicum D.C., Hanratty T.J. Influence of imposed flow oscillation on turbulence // Phys. Chem. Hydrodynamics. -1988. 10. - P. 58.

119. Franka L.P., Frey S.L. Stabilized finite element methods: II. The incompressible Navier-Stokes equations// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.- 1992.- 99. P. 209-233.

120. Gresho P.M., Chan S., Upson C., Lee R. A modified finite element method for solving the time-dependent, incompressible Navier-Stokes equations// Int. J. Numer. Meth. Fluids.- 1984.- 4, Part 1: Theory.- P. 557-598.

121. Gresho P., Lee R. Don't suppress wiggles-they are telling you something// Comput.Fluids.- 1981.- 9.- P. 223-253.

122. Hakkinen R.J., Trilling L. On the interaction of an oblique shock wave with a laminar boundary layer// IX-e Congress Internat. Mechanique Appliquée. -1957.-IV.-P. 5-15.

123. Halupovich Y., Natan B., Rom J. Numerical solution of the turbulent supersonic flow over a backward facing step// Fluid Dynamics Research. -1999. -24. -P. 251-273.

124. Hama F.R. Experimental studies on the lip shock// AIAA J. -1968. -6, N 2,- P. 212-219.

125. Hama F.R. Baundary-layer characteristics for smooth and rough surfaces// Trans. Soc. Naval Architects a. Marine Engrg. 62. 1954. - P.333-358.

126. Hansbo P., Szepessy A. A velocity-pressure streamline diffusion finite element method for the incompressible Navier-Stokes equations// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.- 1990.- 84.- P. 175-192.

127. Hartfield R. J., Hollo S. D., McDaniel J. C. Planar measurement technique for compressible flows using laser induced iodine fluorescence// AIAA J. -1993. -31, N3.-P. 483-490.

128. Heinrich J.C. A finite element model for double diffusion convection// Int. J. Num. Meth. Eng.- 1984.- 20,- P. 447-464.

129. Heinrich J.C., Marshal R.S. Viscous incompressible flow by a penalty function finite element method// Comp. Fluids.- 1981.- 9.- P. 73-83.

130. Heinrich J.C., Strada M. Penalty finite element analysis of natural convection at high Rayleigh numbers// Finite Elements in Fluids, Wiley, New York.-1982.- 4,-P. 285-303.

131. Heinrich J.C., Vionnet C.A. The penalty method for the Navier-Stokes equations// Archives of Computational Methods in Engineering.-1995.-2, N 2. P. 51-55.

132. Herrman L.N. Elasticity equations for incompressible or nearly incompressible materials by a variational theorem// AIAA J.- 1965.- 3.- P. 18961900.

133. Hood P., Taylor C. Navier-Stokes equations using mixed interpolation// Finite Element Methods in Flow Problems, UAH Press, Huntsville, AL.- 1974.- P. 121-132.

134. Hughes T.J.R., Brooks A.N. A multidimensional upwind scheme with no crosswind diffusion// Finite Element Methods for Convection Dominated Flows, New York, ASME.- 1979.- 34,- P. 19-35.

135. Hughes T.J.R., Brooks A.N. A theoretical framework for Petrov-Galerkin methods with discontinuous weighting functions: Application to the streamline upwind procedure// Finite Elements in Fluids, Chichester, Wiley.- 1982.- 4.

136. Hughes T.J.R., Liu W.K., Brooks A. Finite element analysis of incompressible viscous flows by the penalty function formulation// J. Comp. Physics.- 1979.- 30.-P. 1-60.

137. Hughes T.J.R., Taylor R.L., Levy J.F. High Reynolds number, steady, incompressible flows by a finite element method// Finite Elements in Fluids, Wiley, New York.- 1978,- 3.- P. 52-72.

138. Huntley S.C. Temperature-pressure-time relations in closed cryogenic containers// Adv. Cryog. Eng. 1960. - 3. - P.342.

139. Illinca F., Hetu J.-F., Pelletier D. On stabilized finite element formulations for incompressible flows// AIAA-97-1863.

140. Ilinca F., Hetu J.F., Pelletier D. A single formulation and finite element algorithm: a tool for comparing two-equation models of turbulence// AIAA-97-2073.- P.272-289.

141. Ismael J.O., Cotton M.A. Calculations of wall shear stress in harmonically oscillated turbulent pipe flow using a low-Reynolds-number k-s model // J. Fluids Eng.-1996.- 118.-P. 189.

142. Kawahara M., Ohmiya K. Finite element analysis of density flow using thevelocity correction method// Int. J. Numer. Methods Fluids.- 1985.- 5.- P. 308-323.

143. Korst H.H. A theory for base pressure in transonic and supersonic flow// J. Appl. Mech. -1956. -23,- P. 593-599.

144. Kurokawa J., Marivawa M. Accelerated and decelerated flows in cylindrical pipe// Bull. JSME. 1989. - 29, N 249. - P.758.

145. Kuruvila G., Anderson, J.D. A study on the effects of numerical dissipation on the calculations of supersonic separated flows// AIAA Paper 85-0301.

146. Ladyszhenskaya O.A. The mathematical theory of viscous incompressible flow. New York: Gordon and Breach, 1969.

147. Lam C.K.G., Bremhorst K. A modified form of the k-s model for predicting wall turbulence// Journal ofFluids Engineering.-1981.-103.-P.456-460.

148. Laufer J. The structure of turbulence in fully developed pipe flow// NASA Rep. 1954.-N 1174.-P.489-513.

149. Launder B.E., Spalding D.B. Mathematical models of turbulence. London.: Academic Press, 1972.

150. Lombard C.K., Luh R.C.-C., Nagaraj N., Bardina J., Venkatapathy E. Numerical simulation of backward step and jet exhaust flows// AIAA Paper 86-0432.

151. Malkus D.S. Eigenproblems associated with the discrete LBB condition for incompressible finite elements//Int. J. Eng. Sci.- 1981.- 19.- P. 1299-1310.

152. Malkus D.S., Hughes T.J.R. Mixed finite element methods reduced and selective integration techniques: A unification of concepts// Comp. Meth. Appl. Mech. Eng.- 1978.- 15.-P. 63-81.

153. Malkus D.S., Olsen T. Obtaining error estimates for optimally constrained incompressible finite elements// Comp. Meth. Appl. Mech. Eng.- 1984.- 45.- P. 331353.

154. Marshall R.S., Heinrich J.C., Zienkiewicz O.C. Natural convection in a square enclosure by a finite element, penalty function method using primitive fluid variables//Num. Heat Transfer.- 1978.- 1.- P. 315-330.

155. McDonald H. Turbulent shear layer reattachment with special emphasis onthe base pressure problem// Aeronaut. Quat. -1964. -15.- P. 247-279.

156. Oden J.T. RIP methods for stokesian flows// Finite Elements in Fluids, Wiley, New York.- 1982.- 4.- P. 305-318.

157. Oden J.T., Kiuchi N., Song Y.J. Penalty-finite element methods for the analysis of stokesian flows// Comp. Meth. Appl. Mech. Eng.- 1982.- 31.- P. 297-329.

158. Pepper D.W. A time-split finite element scheme for the PC// Advances in engineering software.-1995.-N 23.-P. 15-26.

159. Pepper D.W. .Modified finite element method for compressible flow// Numerical Heat Transfer.- 1994. -26, Part B.- P.237-256.

160. Pepper D.W., Singer P.S. Calculation of convective flow on the personal computer using a modified finite-element method// Numerical Heat Transfer.-1990.-17,Part A.- P.379-400.

161. Prakash C., Patankar S.W. A control volume based finite element method for solving the Navier-Stokes equations using equal order variable interpolation// Numer. Heat Transfer.- 1985.- 8.- P.259- 280.

162. Raithby G. A critical evaluation of upstream differencing applied to problems involving fluid flow// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1976.- 9.- P. 75-103.

163. Ramaswamy B. Finite element solution for advection and natural convection flows// Comput. Fluids.- 1988.- 16.- P. 349-388.

164. Reddy, J.N. On penalty function methods in the finite element analysis of flow problems//Int. J. Num. Meth. Fluids.- 1982,- 2.-P. 151-171.

165. Reddy J.N. Penalty finite element method in mechanics// AMD, ASME, New York.-1982.- 51.

166. Reddy J.N., Padhye V.A. A penalty finite element model for axisymmetric flows of non-newtonian fluids//Num. Meth. Partial Diff. Eqns.- 1988.- 4.- P. 33-56.

167. Reddy J.N., Satake A. A comparison of a penalty finite element method with the stream function-velocity model of natural convection in enclosures// ASME J. Heat Transfer.- 1980.- 102.- P. 659-666.

168. Rom J. Analysis of the near wake pressure in supersonic flow using the momentum integral method// J. Spacecraft Rockets. -1966. -3, N 10.- P. 1504-1509.

169. Roshko A., Thomke G.J. Observations of turbulent reattachment behind an axisymmetric downstream-facing step in supersonic flow// AIAA J. -1966.- 4, N 6.-P. 975-979.

170. Salonen E.M. An iterative penalty function method in structural analysis// Int. J. Num. Meth. Eng.- 1976.- 10.-P. 413-421.

171. Samimy M., Petrie H.L., Addy A.L. A study of compressible turbulent free shear layers using laser doppler velocimetry// AIAA Paper 85-0177.

172. Sani R.L., Gresho P.M., Lee R.L., Griffiths D.F. The cause and cure(?) of the spurious pressure generated by certain FEM solutions of the incompressible Navier-Stokes equations: Part I// Int. J. Numer. Methods Fluids.- 1981.- 1.- P. 17-43.

173. Scherberg M.G., Smith H.E. An experimental study of supersonic flow over a rearward facing step// AIAA J. -1967. -5, N 1.- P. 51-56.

174. Schneider G.E., Raithby G.D., Yovanovich M.M. Finite element analysis of incompressible fluid flow incorporating equal order pressure and velocity interpolation// Numerical Methods in Laminar and Turbulent Flow, Pentech.- 1978.

175. Shih T.M. Numerical heat transfer. N.Y.: Hemisphere Publ. Corp., 1984. 563 p.

176. Shultz-Grunow F. Neues Reibungswiderstandsgesetz. fur glatte Platten// Luftfahrtforsch. 1940. -17. - P. 239-246. Also available as NASA TM 986.

177. Simon B.R. Multiphase poroelastic finite element models for soft tissue structures// Int. Appl. Mech. Rev.- 1992.- 45.- P. 191-218.

178. Sparrow E.M., Lungren S.H. Flow development in the hydrodynamic entrance region of tubes and ducts// Phys. Fluids. 1964. -7, N 3. - P.338.

179. Spliker R.L., Maxian T.A. A mixed penalty finite element formulation of the linear biphasic theory for soft tissues// Int. J. Num. Meth. Eng.- 1990.- 30.- P. 1063-1082.

180. Talbert, Parkinson// International Journal for Numerical Methods in Engineering.- 1990.- 29.- P.1551-1567.

181. Thompson J.F. A Survey of dynamically-adaptive grids in numerical solution of partial differential equations// AIAA-84-1606.

182. Tucker R., Shyy W. A numerical analysis of supersonic flow over an axisymmetric afterbody// AIAA Paper 93-2347.

183. Wesseling P., Sonneveld P. Numerical experiment with a multiple grid and a preconditioned Lanczos type methods// Lecture Notes in Mathematics, Berlin. -1980. 771. -P.543-562.

184. Wilcox D. C. Reassessment of the scale determining equation for advanced turbulence models// AIAA J. 1988. - 11.- P. 1299-1310.

185. Yang A.S., Hsieh W.H., Kuo K.K. Theoretical study of supersonic flow separation over a rearward facing step// AIAA Paper 91-2161.

186. Zienkiewicz O.C. The finite element method. N.Y.: McGraw-Hill, 1977. 787 p.

187. Zienkiewicz O.C. Constrained variational principles and penalty function methods in finite element analysis// Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag, Berlin.- 1974,- 363.-P. 207-214.166

188. Zienkiewicz O.C., Godbole P.N. A penalty function approach to problems of plastic flow of metals with large surface deformations// J. Strain Analysis.- 1975.-10.-P. 180-183.

189. Zienkiewicz O.C., Godbole P.N. Viscous incompressible flow with special reference to non-newtonian (plastic) fluids// Finite Elements in Fluids, Wiley, New York.- 1978.- 1.- P. 25-55.

190. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. New York: McGraw-Hill,. 1989.

191. Zienkiewicz O.C., Vilotte J.P., Toyoshima S., Tand Nakazawa S. Iterative method for constrained and mixed approximation: An inexpensive improvement for F.E.M. perfomance// Comp. Meth. Appl. Mech. Eng.- 1985.- 51.- P. 3-29.

192. Zienkiewicz O.C., Wu J. A general explicit or semi-explicit algorithm for compressible or incompressible flows// Int. J. Numer. Methods Eng.- 1992.- 35.- P. 457-459.

193. Zienkiewicz O.C., Wu J. Incompressibility without tears-how to avoid the restrictions on mixed formulation// Int. J. Numer. Methods Eng.- 1991.- 32.- P. 1189-1203.

194. О внедрении научно-технической продукции.