Численное моделирование волновых движений жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВВДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МЕТОД РЕШЕНИЯ

§ I.I. Математическая постановка задачи

§ 1,2. Схема расщепления.

§ 1.3. Первый этап вычислительного алгоритма.

§ 1.4. Второй этап вычислительного алгоритма.

§ 1.5. Граничные условия.

§ 1.6. Анализ устойчивости разностной схемы.

§ 1.7. Последовательность вычислений

ГЛАВА П. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

§ 2.1. Методические расчеты

§ 2.2. Стационарное течение жидкости через преграду с опрокидыванием фронта волны

§ 2.3. Режимы течения жидкости через преграду

ГЛАВА Ш. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВНУТРЕННИХ ВОЛН

§ 3.1. Методические расчеты

§ 3.2. Взаимодействие внутренних волн с пикноклином и свободной поверхностью

Исследование волновых движений жидкости - одна из наиболее важных и в то же время сложных проблем современной гидродинамики, Этому вопросу уделяется существенное внимание в гидромеханике, гидравлике, акустике, океанологии и физиологии кровообращения» Особо следует отметить актуальность задач движения тела конечных размеров в жидкости, задач гидродинамики судна, задач строительства сооружений береговой защиты, а также возросший в последнее время интерес к моделированию климата планеты, В данной работе детально рассматриваются лишь два основных вида волн - волны на поверхности воды и внутренние волны в стратифицированной среде.

Изучение волновых движений жидкости, как уже отмечалось, является предметом интенсивных теоретических и экспериментальных исследований, В режимах, представляющих практический интерес, характер волновых процессов определяется нелинейными вихревыми эффектами (как, например, опрокидывание волн). Все известные аналитические методы решения основаны на предположении потенциальности течения. Они позволяют изучить волновые процессы лишь до момента начала опрокидывания волн. После начала опрокидывания такая модель волновой структуры становится неприемлемой. Физические же эксперименты оказываются весьма сложными, трудоемкими и дорогостоящими. Кроме того, ряд быст-ропротекающих процессов (в частности и опрокидывание волн) не поддается тщательному изучению в физическом эксперименте, В связи с этим возрастает роль математического моделирования соответствующих физических процессов, В этих случаях применение численных методов дает возможность получить более полный объем информации при меньших затратах и часто оказывается просто единственным источником информации о поле течения.

Наиболее общий подход к математическому моделированию указанного класса задач заключается в численном интегрировании полных нестационарных уравнений гидродинамики. Известные методы расчета течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью не позволяют получать с высокой точностью решения вблизи свободной поверхности и в областях больших градиентов гидродинамических параметров потока. В связи с чем возникает необходимость дальнейшей разработки методов численного интегрирования полных уравнений гидродинамики со свободной поверхностью.

Опрокидывание поверхностных волн - широко распространенный процесс, который находится в сфере постоянного повышенного интереса исследователей. Тем не менее сведения о нем недостаточны. В 1880 году Стоксом [il была аналитически получена предельная форма волны, распространяющейся с постоянной скоростью в момент начала ее опрокидывания. Форма этой волны характерна тем, что угол при ее вершине равен 120°. Эта работа выполнена в предположениях стационарности и потенциальности потока.

Беннер и Филлипс [21 предположили существование вязкого слоя вблизи свободной поверхности, что привело к увеличению расчетного значения орбитальной скорости частиц жидкости и уменьшению амплитуды волны, при которой скорость жидкости в некоторой точке (точке начала опрокидывания) становится равной фазовой скорости волны. Лонге-Хиггинс и Коклит Гз, 4] разработали численный метод и решили нестационарную задачу о развитии волновой поверхности вплоть до момента начала опрокидывания под действием первоначального импульса давления. Фобе и Шварц

5] численно рассчитали предельную стационарную форму свободной поверхности, получив, как и в работе Стокса, тот же угол при вершине волны»! Прайс [6] исследовал некоторые детали начала опрокидывания волны максимальной амплитуды. Бенжамин и Фейер [7] сделали вывод о возможности опрокидывания волны под воздействием возмущения, наложенного на нее.

Как отметил Лонге-Хиггинс [81 , принципиальный шаг заключается в переходе от рассмотрения потенциального течения жидкости к вихревому течению и изучению структуры волны после момента начала опрокидывания. В последнее время появился ряд работ [2, 8-14] , связанных с созданием модели возвратно-циркуляционной зоны разрушенной волны.

Изучению опрокидывания поверхностных волн посвящен также ряд экспериментальных работ [15-18] . На основании лабораторных экспериментов Галвин [15] выделил четыре основных типа опрокидывающихся волн, возникающих при набегании волн на пологий берег: рассыпающееся опрокидывание, ныряющий бурун, вздымающийся бурун и коллапсирующее опрокидывание. Им же Г15] получена зависимость типа опрокидывания от безразмерного па-"Н раметра , где Н- высота разрушенной волны, О ускорение свободного падения, Ш- уклон дна, 1 - период волны. Лабораторные опыты позволяют смоделировать полную картину опрокидывания. Однако в связи с кратковременностью исследуемого процесса тщательные измерения удается провести лишь после того, как разрушенная волна остановлена и получена стационарная картина течения. Поэтому данные физического эксперимента желательно дополнить информацией численного эксперимента по моделированию нестационарного быстропротекающего процесса опрокидывания. В настоящее время развит целый ряд методов, позволяющих численно моделировать нестационарные течения вязкой жидкости (см., например, обзор [19] ). В этих методах обычно используются два подхода - эйлеров и лагранжев, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки.

В эйлеровом подходе используется фиксированная пространственная сетка, которую пересекают при своем движении жидкие частицы [20] • Эйлерово описание сплошной среды удобно применять для расчета внутренних областей течения. Однако при этом возникают сложности как при постановке нелинейных граничных условий на свободной поверхности, так и при определении местоположения самой подвижной границы в каждый момент времени. Используя этот подход для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью Фром и Харлоу [21] разработали метод MAC (метод маркеров и ячеек), В дальнейшем этот метод неоднократно модифицировался [22-31] . В основе метода MAG лежит решение конечно-разностных уравнений на фиксированной расчетной сетке и последующее получение траекторий частиц жидкости. Однако форма свободной поверхности, получаемая с помощью метода MAC, не является гладкой, что связано с недостаточно точным моделированием течения вблизи свободной поверхности. Оказывается, что наиболее интересная приповерхностная область рассчитывается наименее точно.

При исследовании течений, где не происходит значительного перемещения жидкости, используется лагранжев подход. При этом область течения разбивается на ячейки, которые перемещаются и деформируются вместе со средой. Этот подход является очень удобным для слежения за свободной поверхностью. Но при больших деформациях жидкой частицы происходит сильное искажение сетки« Это, в свою очередь, приводит к снижению точности расчета и требует уменьшения шага интегрирования по времени. Типичным примером лагранжева подхода является метод LIN С [32-331 )лагранжев метод для несжимаемой жидкости),

В работах [34-36] имеются сведения о возможности разработки методов, свободных от недостатков чисто лагранжевых или чисто эйлеровых подходов. Это, так называемые, совместные лагранжево-эйлеровы методы, например, произвольный лагранжево-эйлеров численный метод ALE [34-36], Такие методы разрабатываются для изучения сложных течений, где чисто лагранжевы и чисто эйлеровы методы не могут быть применены. Как утверждают авторы, совместные лагранжево-эйлеровы методы позволяют свободно управлять расчетной сеткой, перестраивая ее произвольным образом, и допускают, в частности, проведение расчета либо по чисто лагранжевой, либо по чисто эйлеровой методике.

Однако для метода ALE не существует конечно-разностной аппроксимации сил давления jpTiAs , такой, чтобы тождество s1 vx vp = 0 выполнялось точно на разностной сетке данного метода. Следовательно, безвихревой поток жидкости не обязательно будет оставаться безвихревым в отсутствии источников завихренности. Кроме того, в методе ALE отмечена численная неустойчивость, в результате чего происходит рост нефизических возмущений. Попытки избавиться от неустойчивости путем введения искусственной вязкости приводят к нежелательному сглаживанию решения.

Отметим также общий недостаток всех рассмотренных выше методов: наличие криволинейных твердых поверхностей влечет за собой столь большие трудности» что в литературе практически отсутствуют расчеты в областях с непрямоугольными твердыми границами»

Обращаясь далее к рассмотрению внутренних волн в стратифицированной среде, следует отметить, что они существенно влияют на поля гидродинамических величин в жидкости, В связи с этим в ряде задач эффекты плавучести играют определяющую роль, ' Вопросы генерации, распространения и взаимодействия внутренних волн рассматриваются в большом числе работ (см,, например, [37-44] )• Наиболее простые модели неоднородной среды получаются в предположении малости амплитуды внутренней волны -это, так называемые, линейные внутренние волны [45-48] , Существенное внимание уделяется изучению волн на границе раздела жидкостей различных плотностей [37, 49-50] .

Среди задач о внутренних волнах конечной амплитуды важное место занимает задача о генерации нелинейных подветренных волн. Значительный прогресс в решении указанной задачи был достигнут после серии экспериментальных и теоретических работ Лонга [51-53 ] • Разработанная Лонгом математическая модель основывается на следующих приближениях: движение двумерное и стационарное, жидкость невязкая и несжимаемая, все линии тока начинаются на бесконечности (замкнутые линии тока отсутствуют). При этих условиях Лонг проинтегрировал полные уравнения движения и свел решение задачи к решению дифференциального уравнения второго порядка. При дополнительном предположении о постоянстве динамического давления в набегающем потоке задача становится линейной и сводится к решению уравнения Гельмгольца где частотное число Фруда ¥г Щ\ , §" - отклонение линии тока от первоначального уровня в набегающем потоке. На основании этой модели Лонг решил некоторые задачи внутренней гидродинамики и получил хорошее качественное соответствие с экспериментальными данными, В дальнейшем модель Лонга использовалась для решения задач обтекания расположенной на дне преграды наперед заданной формы и задач внешней гидродинамики [54-61] • Среди этих работ особое место занимают работы Майлса и Хапперта [58-61] , в которых приводится решение задачи обтекания преграды, расположенной на дне полубесконечной области. Получены картины линий тока, вычислены коэффициенты сопротивления преграды, оценено критическое значение числа Фруда Гг*Р (т.е. значение, при котором в рассматриваемой области впервые появляется вертикальный наклон линий тока). Несмотря на то, что модель Лонга дает возможность решить довольно широкий класс задач о нелинейных подветренных волнах, ей присущи и некоторые недостатки. Если в набегающем потоке профили скорости и плотности таковы, что динамическое давление нельзя . считать постоянным, то задача перестает быть линейной. При этом эффективно используемый для решения уравнения Гельмголь-ца метод преобразования Фурье становится неприменимым. Другое важное ограничение относится ко всем отмеченным ранее моделям и связано с предположением о стационарности течения, В закри-тическом режиме возникают замкнутые линии тока. При этом мо^ жет существовать, например, устойчивая периодическая картина срыва вихрей и предположение о стационарности теряет смысл. Структура верхнего слоя океана включает в себя область пикноклина с резким изменением плотности и область квазиоднородного перемешанного слоя жидкости, прилегающую к свободной поверхности. Достигая области квазиоднородной жидкости, внутренние волны растут по амплитуде, могут потерять устойчивость и опрокинуться.* Вопросы устойчивости волн в стратифицированном потоке со сдвигом скорости рассматривались Майлсом [62-63*] и Ховардом [64]. Они показали, что в общем случае достаточным условием устойчивости невязкого, непрерывно стратифицированного течения по отношению к малым возмущениям является выполнение неравенства > 0.25 во всем течении. Здесь £(т|у-)2] - локальное число Ричардсона.

Если в некотором объеме Кл <0.25, поток не обязательно будет неустойчивым. Тем не менее, критерий Майлса является полезным при определении областей вероятного появления неустойчивости.

Для моделирования нестационарных волновых процессов, обусловленных плавучестью, наиболее целесообразным представляется использование методов решения полных нестационарных уравнений гидродинамики. В последнее время был разработан ряд таких методов [65-72], и с их помощью решалась задача о коллапсе "пятна" однородной жидкости в стратифицированной среде.

Взаимодействие поверхностных и внутренних волн изучалось в ряде работ [73-78]. Однако следует заметить, что большая часть работ выполнена в линейном приближений. В полной постановке задача о взаимодействии поверхностных и внутренних волн при наличии пикноклина не ставилась. Обусловлено это тем, что возникает целый ряд уже отмеченных выше затруднений, связанных с моделированием свободной поверхности и учетом эффектов плавучести. Процессы, происходящие при этом, могут носить ярко выраженный нестационарный характер, когда возможен рост и разрушение как поверхностных, так и внутренних волн.

Целью данной работы является разработка эффективного численного метода решения задач вязкой несжимаемой неоднородной жидкости со свободной поверхностью и исследование с его помощью как стационарных, так и нестационарных волновых движений жидкости.

Диссертация состоит из трех глав.

Первая глава посвящена разработке метода решения задач вязкой несжимаемой неоднородной жидкости со свободной поверхностью,

В § 1,1 приводится математическая постановка задачи. При решении задач со свободной поверхностью приходится проводить расчет в областях сложной формы с изменяющейся во времени конфигурацией. Для преодоления этой трудности предлагается использовать подвижную расчетную сетку. Специальное преобразование координат в каждый момент времени "Ь отображает расчетную область на прямоугольник. При этом исходные уравнения существенно усложняются, но это компенсируется тем, что их нужно решать в области простой формы - прямоугольнике,

В § 1,2 описывается подход к решению системы уравнений гидродинамики при помощи расщепления ее по физическим факторам,

§ 1,3 посвящен разработке конечно-разностной схемы расчета первого этапа. На первом этапе вычисляются поле плотности на новом временном слое и поле промежуточных значений скорости с учетом эффектов конвекции, сил вязкости и сил плавуче сти,: При численном моделировании опрокидывания поверхностных волн, как правило, возникают области больших градиентов гидродинамических параметров потока, что налагает дополнительные требования на конечно-разностную схему. Для получения решения с высокой точностью необходимо использовать схему повышенного порядка аппроксимации, имеющую минимальную аппроксимационную вязкость, монотонную, устойчивую в широком диапазоне чисел Рейнольдса. В одномерном случае предложена неоднородная разностная схема, удовлетворяющая указанным выше требованиям. На примере решения модельных уравнений данная схема сравнивается с известными схемами первого, второго и третьего порядков точности. Приводятся результаты методических расчетов. Проведено обобщение данной конечно-разностной схемы на двумерный случай,

В § 1,4 дается описание алгоритма расчета второго этапа метода расщепления. Для расчета поля давления предложен алгоритм экономичного решения уравнений эллиптического типа с переменными коэффициентами и смешанными производными, В его основу положен двухслойный итерационный процесс, на каждом шаге которого происходит прямое обращение более простого, чем исходный, оператора эллиптического типа (без смешанных производных и допускающего разделение переменных). Найдены константы энергетической эквивалентности этих операторов, что позволило использовать чебышевский набор итерационных параметров. На примере решения модельной задачи проводится сравнение данного метода расчета с некоторыми известными методами. Отмечаются основные свойства данного метода обращения операторов эллиптического типа.

В § 1,5 дается реализация граничных условий на свободной поверхности, на дне и на открытой границе области,

В § 1.6 дается анализ устойчивости конечно-разностной схемы, приводится достаточное условие устойчивости.

В § 1.7 описана последовательность вычислений.

Вторая глава посвящена изучению волновых движений на свободной поверхности.

§ 2.1. Для проверки эффективности и точности представленного метода решения задач со свободной поверхностью проведены расчеты тестовых модельных задач. Результаты расчетов сравниваются с результатами расчетов других авторов и результатами аналитических исследований.

В § 2.2 приводится решение задачи о стационарном течении жидкости через преграду с опрокидыванием фронта волны. Исследуется структура получающегося при этом гидравлического прыжка. Приводится сравнение с известными экспериментальными данными.

В § 2.3 приводится решение нестационарной задачи о течении жидкости через преграду. В зависимости от числа Фруда набегающего потока выделены три основных режима течения. На основании расчетов уточнена кривая "нейтральной устойчивости". Особое внимание уделяется опрокидыванию поверхностной волны, описываются основные моменты опрокидывания. Показывается, что течение вблизи свободной поверхности определяется кроме числа Фруда набегающего потока только двумя геометрическими характеристиками преграды - высотой и ее площадью.

Третья глава посвящена численному моделированию внутрен- -них волн.

В § 3.1 представлены результаты методических расчетов.

- 15

Исследуются подветренные волны за преградой, расположенной на дне жидкости. Приводится сравнение с известными расчетами других авторов.

В § 3,2 рассматривается решение задачи об обтекании преграды неоднородной жидкостью при наличии свободной поверхности, Выделяются три основных режима течения: а) потенциальное обтекание преграды, б) стационарный режим с генерацией внутренних волн конечной амплитуды, в) нестационарный режим с периодическим образованием областей возвратно-циркуляционного движения жидкости,

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации,

В приложении I приведена конечно-разностная схема расчета первого этапа,

В приложении 2 доказывается самосопряженность исходного оператора эллиптического типа с переменными коэффициентами и со смешанными производными,

В приложении 3 приведены энергетические оценки для исходного оператора эллиптического типа и для более простого, чем исходный оператора (без смешанных производных и допускающего разделение переменных),

В приложении 4 решена задача на собственные значения для простейшего разностного оператора второго порядка.

В приложении 5 дается анализ устойчивости линеаризованной двумерной системы исходных конечно-разностных уравнений. Получено достаточное условие устойчивости.

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах лаборатории вычислительной шизики ВЦ АН СССР под руководством академика О.М.Белоцерковского (1980-1984 гг.), в МФТИ на семинаре под руководством профессора А.Т.Онуфриева (1983 г»), в МОТ на семинарах под руководством профессора Ю#Г.Красникова (1981-1982 гг.), на ХХУ1 (1980 г.) и ХХУ111 (1982 г.) Научных конференциях МФТИ, на семинаре в институте проблем механики (1982 г.), на Всесоюзной школе-семинаре "Методы гидрофизических исследований" (Солнечногорск, 1983г), на IX Научной конференции молодых ученых и специалистов МФТИ (1984 г.), на X Всесоюзной школе по численным методам механики вязкой жидкости (Новосибирск, 1984 г.), на Ш респуб^ ликанской конференции по прикладной гидромеханике "Проблемы гидромеханики в освоении океана" (Киев, 1984 г.).

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [108-112] .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение отметим основные полученные результаты.

I. Для расчета нестационарных течений несжимаемой вязкой жидкости со свободной поверхностью разработан численный метод, использующий подвижную расчетную сетку. В основе метода лежит специальное преобразование координат, отображающее в каждый момент времени расчетную область на прямоугольник, что позволяет с высокой степенью точности ставить граничные условия на свободной поверхности.

Метод обобщен на случай стратифицированной среды, что дает возможность исследовать взаимодействие поверхностных и внутренних волн.

Для одномерного случая построена монотонная неоднородная конечно-разностная схема, по своим диссипативным свойствам сравнимая с однородными схемами второго и третьего порядков точности. Сделано обобщение предложенной схемы на двумерный случай. Показано, что в двумерном случае схема на гладких решениях имеет второй порядок аппроксимации по пространственным переменным. Получено достаточное условие устойчивости конечно-разностной схемы в двумерном случае.

Для расчета поля давления разработан алгоритм экономичного обращения операторов эллиптического типа с переменными коэффициентами и смешанными производными.

На примере тестовых задач показано, что результаты, получаемые с помощью разработанного метода, хорошо согласуются с аналитическими решениями и расчетами по другим численным методам.

2. Решена задача о стационарном течении жидкости через преграду с опрокидыванием фронта волны. Исследована структура получающегося при этом гидравлического прыжка и показано, что фронт разрушенной волны содержит область возвратно-циркуляционного движения. Расчетные профили скорости и форма свободной поверхности хорошо согласуются с известными экспериментальными данными.

Решена нестационарная задача об опрокидывании фронта поверхностной волны. Определен момент начала опрокидывания и описана картина развития зоны возвратно-циркуляционного движения на вершине разрушенной волны.

Исследованы различные режимы течения жидкости через преграду. Показано, что течение вблизи свободной поверхности определяется кроме числа Фруда набегающего потока только двумя геометрическими характеристиками преграды - высотой и ее площадью.

3. Решена задача об обтекании преграды неоднородной жидкостью при наличии свободной поверхности. В зависимости от параметров набегающего потока выделено три основных режима течения: потенциальное течение, стационарный режим с генерацией внутренних волн конечной амплитуды и нестационарный режим с периодическим образованием зон возвратно-циркуляционного течения. Показано, что в области пикноклина внутренние волны могут значительно увеличивать свою амплитуду, существенно изменяя поля плотности и скорости.

1. Stokes G.G. Supplement to a paper on the theory of oscillatory waves. Mathematical and. Physical Papers. 1880, vol. 1, 314-326. Cambridge University Press.

2. Banner M.Z., Phillips O.M. On small-scale breaking waves. J. Fluid Mech. 1974, vol. 65, 647-657.

3. Longuet-Higgins M.S., Gokelet E.D. The deformation of steep surface waves on water. I. A numerical method of computation. Proc. R. Soc. Lond. 1976, A 350, 1-26.

4. Longuet-Higgins M.S., Cokelet E.D. The deformation of steep surface waves on water. II. Growth of normal-mode instabilities. Proc. R. Soc. Lond. 1978, A 364, 1-28.

5. Forbes L.K., Schwartz L.W. Free-surface flow over a semicircular obstruction. J. Fluid Mech. 1982, vol. 114, 299-314.

6. Price R.K. Detailed Structure of the Breaking Wave. J. Geophysical Research. 1970, vol. 75, N 27, 5276-5278.

7. Benjamin T.B., Feir J.E. The disintegration of wave trains in deep water. Part 1. Theory. J. Fluid Mech. 1967, vol. 27, 417-430.

8. Longuet-Higgins M.S. A model of flow separation at a free surface. J. Fluid Mech. 1973, vol. 57, 129-148.

9. Longuet-Higgins M.S., Turner J.S. An "entraining plume" model of a spilling breaker. J. Fluid Mech. vol. 63, 1974, 1-20.

10. Longuet-Higgins M.S. Advances in the calculation of steep surface waves and plunging breakers. The proceeding

11. Second International Coference on numerical ship hydro-dinamics. 1977, Berkeley, 332-346.

12. Longuet-Higgins M.S. Bubbles, breaking waves and hyperbolic jets at a free surface. J. Fluid Mech. 1983, vol. 127, pp. 103-121.

13. Nakagawa T. On characteristics of the water-particle velocity in a plunging breaking. J. Fluid Mech. 1983, vol. 126, pp. 251-268.13* Madsen P.A., Svendsen J.A. Turbulent bores and hydraulic jumps. J. Fluid Mech. 1983, vol. 129, pp. 1-25.

14. Greenhow M. Free-surface flows related to breaking waves. J. Fluid Mech. 1983, vol. 134, pp. 259-275.

15. Galvin C.J. Breaker Type Classification on Three Laboratory Beaches. J. Geophysical Research. 1968, vol. 73,1. N 12, 3651-3659.

16. Красников Ю.Г., Бурынин E.E., Ураков П.Я. Исследование стационарного течения жидкости через преграду с обрушением. НТО Б939841. Долгопрудный: МФТИ. 1979. № гос. per. 79031642.

17. Melville W.K. The instability and breaking of deep-water waves. J. Fluid Mech. 1982, vol. 115, pp. 165-185.

18. Koga M. Direct production of droplets from breaking wind-waves its observation by a multy-colored overlapping. Tellus. 1981, vol. 33, pp. 552-563.

19. Березин И.К., Левина Г.В. Методы расчета течений со свободными границами (обзор). В кн.: Реологические свойства полимерных систем. Свердловск, 1979, 20-28.

20. Bourianoff G.I., Penumalli B.R. Numerical simulation of- 61 ship motion by eulerian hydrodynamic techniques. The proceedings Second International Conference on Numerical Ship hydrodynamics. 1977,Berkeley, 358-370.

21. Fromm J.E., Harlow F. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface. Phys. Fluids. 1963,v.6,N 7, 975-982.

22. Чен Р., Стрит Р., Фромм Дж. Численное моделирование волн в воде развитие метода SUM MAC . в кн.: численные методы в механике жидкостей. М.:Мир,1973, 183-188.

23. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical stady of large-amplitude free-surface motions. Physics of Fluids,1966,v.9, N 5, 842-851.

24. Nicols B.D., Hirt C.W. Nonlinear hydrodynamic forces on floating bodies. The proceeding Second International- 62

25. Conference on numerical ship hydrodinamics. 1977, Berkeley, 382-394.

26. Hirt C.W., Nicols B.D. Volume of Fluid (VOF) method for the dynemics of free-boundaries. J. Comput. Phys.,1981, v.39,N 1, 201-225.

27. Hirt C.W., Cook J.L., Butler T.D. A lagrangian method for calculating the dynamics of an incompressible fluid with free surface. J. Comput. Phys.,1970,v.5,N 1,103-124.

28. Батлер Т. Развитие метода LIN С . В кн.: Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973, 146-155.

29. Херт С. Произвольный лагранжево-эйлеров численный метод. В кн.: Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973, 156-164.

30. Chan R.K.-C. A generalized arbitrary lagrangian-eulerian method for incompressible flow with sharp interfaces.

31. J. Comput. Phys.,1975,v.17,N 3, 311-331.

32. Hirt C.W., Amsden A.A., Cook J.L. An arbitrary lagrangi-an-eulerian computing method for all flow speeds.

33. J. Comput. Phys.,1974,v.14,N 3, 227-253.

34. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977, 816 с.

35. Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. Ленинград. Гидрометеоиздат, 1980, 320 с.

36. Лайтхил Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981, 598 с.- 63

37. Скорер Р. Аэродинамика окружающей среды. М.: Мир,1980, 549 с.

38. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях, м.: Мир,1977, 431 с.

39. Кочин Н.Е., Кибелъ И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1963, t.i-t.2.

40. Госсард Э.Э., Хук Ч.Х. Волны в атмосфере. М.: Мир,1978, 532 с.

41. Нелинейные волны. Под редакцией Лейбовича С., Сибасса А. Мир, 1977, 319 с.45* Corby G.A., Wellington С.Е. Airflow over mountains: the lee-wave amplitude. Quart.J.Roy.Met.Soc.1956,v.82, 266-274.

42. Scorer R.S. Theory of airflow over mountains, III. Air-stream characteristics. Quart.J.Roy.Met.Soc.1954,v.80, 417-428.47« Pearce r.p., White P.W. Lee wave characteristics devi-ded from a three layer model. Quart.J.Roy.Met.Soc.1967, v.93, 155-165.

43. Дородницын А.А. Некоторые задачи обтекания неровностей поверхности земли воздушным потоком. Труды главной геофизической обсерватории. Выпуск 31(8). Гидрометеорологическое изд. Л.-М. 1940, 3-41.

44. Дородницын А.А. Возмущения воздушного потока, вызванные неровностями на поверхности земли. Труды главной геофизической обсерватории. Выпуск 23(6). Гидрометеорологическое изд. Л.-М. 1938, 3-17.

45. Кочин Н.Е. Собрание сочинений. Том I. М.-Л.: Издат. АН СССР, 1949, 616 с.- 64

46. Long R.R. Some aspects of the flow of stratified fluids.I. A theoretical investigation. Tellus.1953,v.5, 42-57.

47. Drazin P.G., Moore D.W. Steady two-dimensional flow of variable density over an obstacle. J.Fluid Mech.1967, v.28, 353-370.57« Yih C.-S. Exact solutions for steady two-dimensional flow of a stratified fluid. J.Fluid Mech.1960,v.9, 161-174.

48. Miles J.W. Lee waves in a stratified flow. Part I. Thin barrier. J.Fluid Mech.1968,v.32, 549-567.

49. Miles J.W. Lee waves in a stratified flow. Part II. Semicircular obstacle.J.Fluid Mech.1968,v.33, 803-814.

50. Huppert H.E., Miles J.W. Lee waves in a stratified flow. Part III. Semi-elliptical obstacle. J.Fluid Mech. 1969,v.35, 482-486.

51. Miles J.W., Huppert H.E. Lee waves in a stratified flow. Part IV. Perturbation approximations. J.Fluid- 65 -Mech.1969,v.35, 497-525.

52. Miles J.W. On the stability of heterogeneous shear flows. J.Fluid Mech.1961,v.10, 496-508.

53. Miles J.W. On the stability of heterogeneous shear flows. Part 2. J.Fluid Mech.1963,v.16, 209-227.

54. Howard L.N. Note on a paper of John W.Miles. J.Fluid Mech.1961,v.10, 509-512.

55. Гущин В.А. Метод расщепления для задач динамики неоднородной вязкой несжимаемой жидкости. Ж.вычисл. матем. и матем. физ. 1981, т.21, № 4, I003-I0I7.

56. Симуни JI.M. Численное исследование явления "блокировки" при обтекании препятствия стратифицированной жидкостью. Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1976, № 4, I5I-I53.

57. Латыкин Ю.М., Черных Г.Г. О внутренних волнах, индуцируемых коллапсом зоны смешения в стратифицированной жидкости. Динамика сплошной среды, 22. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1976, II6-I32.

58. Кузнецов Б.Г., Черных Г.Г. Численное исследование поведения однородного "пятна" в идеальной стратифицированной по плотности жидкости. Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1973, № 3, 120-126.физ. 1973, № 3, 120-126.

59. Wessel W.R. Numerical study of the collapse of a perturbation in infinite density stratified fluid. The Physics of Fluids,1969,v.12, 171-176.

60. Joung J.A., Hirt C.W. Numerical calculation of internal wave motions. J.Fluid Mech.1972,v.56, 256-276.

61. Еленин Г.Г. Длинноволновые движения невязкой тяжелой жидкости переменной плотности со свободной поверхностью. М., 1981. - 23 с. (Препринт № 47 ИПМ им. М.В.Кеддыша АН СССР).

62. Segur Н. Resonant interactions of surface and internal gravity waves. Phys. Fluids.1980,v.23,N 12,2556-2557.

63. Gargett A.E., Hughes B.A. On the interaction of surface and internal waves. J.Fluid Mech.1972,v.52, 179-191.

64. Lewis J.E., Lake B.M., Ко D.R.S. On the interaction of internal waves and surface gravity waves. J.Fluid Mech. 1974,v.63, 773-800.

65. Олейник А.Я., Стеценко А.Г., Никишов B.H. Волновые движения, генерируемые коллапсом "пятна" под свободной поверхностью стратифицированной жидкости. В кн.: Поверхностные и внутренние волны. М1И АН СССР. Севастополь, 1979, I06-II2.

66. Ma Y.-G. Effect of long internal waves on the evolution of deep-water surface gravity waves. Phys. Fluids, 1982,v.25,N 3, 411-419.

67. Бэтчелор Д. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973, 758 с.

68. Белоцерковский О.М., Северинов Л.И. Консервативный метод "потоков" и расчет обтекания тела конечных размеров вязким теплопроводным газом. Ж. вычисл. матем. иматем. физ., 1973, 13, № 2, 385-397.

69. Hirt C.W. Heuristic stability theorie for finite-difference equations. J.Comput. Phys.1968,v.2, 339-355.

70. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета раз- 68 рывных решений гидродинамики. Матем. сб., 1959, т.47, 271-306.

71. Холодов А.С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа. Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1978, 18, № 6, 1476-1492.

72. Bran von Leer. Towards the ultimate conservative difference scheme. III. Upstream-centered finite-difference scheme for ideal compressible flow. J.Comput. Phys. 1977,v.23,N 3, 263-276.

73. Белоцерковский O.M., Холодов А.С. Численное исследование некоторых задач газовой динамики сеточно-характе-ристическими методами. У1 Международная конференция по численным методам в гидродинамике. Сборник докладов. Т. П, M., 1978, 37-47.

74. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М., Наука, 1978, 592 с.

75. Четверушкин Б.Н. Об одном итерационном алгоритме решения разностных уравнений. Ж.вычисл.матем. и матем. физ., 1976, 16, № 2, 519-524.

76. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., Наука, 1977, 656 с.

77. Camerlengo A.L., O'Brien J.J. Open boundary conditions in rotating fluids. J.Comput. Phys.1980,v.35, 12-35.

78. Israeli M., Orszag S.A. Approximation of radiation boundary condition. J.Comput. Phys.1981,v.41, 115-135.

79. Han T.Y., Meng J.C.S., Innis G.E. An open boundary condition for incompressible stratified flows. J.Comput. Phys.1983,v.49, 276-297.

80. Стокер Дж.Дж. Волны на воде. Математическая теория и приложения. М.: Иностранная литература, 1959, 617 с.

81. Hirt C.W., Nicols B.D. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries. J.Comput. Phys. 1981,v.39, 201-225.

82. Longuet-Higgins M.S. The unsolved problem of breaking waves. Proceeding of the 17th Coastal Engeneering Conference. Sydney,1980,v.1, 1-29.

83. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М., Наука, 1977.

84. Ю7. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики. Ученые записки ЦА1И, 1972, т.Ш, № 6, с.68-77.

85. Гущин В.А., Коньпшн В.Н. Численное моделирование течений со свободной поверхностью. М.: Изд-во МФТИД981, в сб. Аэрофизика и прикл. матем. с.124-126.

86. Белоцерковский О.М., Бурынин Е.Е., Гущин В.А., Конь-шин В.Н., Красников Ю.Г., Ураков П.Я. Поле скоростей в окрестности зоны опрокидывания. В кн.: Проблемы гидромеханики в освоении океана. Часть II. А. Киев:1. АН УССР, 1984, с.156-157.

87. Гущин В.А., Коныиин В.Н. Численное исследование опрокидывания поверхностных волн. В кн.: Проблемы гидромеханики в освоении океана. Часть H.A. Киев: АН УССР, 1984, с. 164-165.