Волнообразное и волновое сопротивление при движении плоских тел в однородной и двуслойной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РГБ ОА

_ ж « с'>

1 о ?"э \ ч;

ё^ШЙ^-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МОТЫГИН Олег Валерьевич

ВОЛНООБРАЗОВАНИЕ И ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРИ ДВИЖЕНИИ ПЛОСКИХ ТЕЛ В ОДНОРОДНОЙ И ДВУСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТИ

01.02.05 - механика жидкостей, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена в лаборатории математических моделей механики Института проблем машиноведения РАН.

Научный руководитель - д.ф.-м.н. Кузнецов Н.Г.

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н. Алешков Ю.З.,

д.т.н. Басин М.А.

Ведущая организация - Государственный морской технический университет Санкт-Петербурга.

Защита диссертации состоится11 лщ/л _1996 г.

в часов на заседании диссертационного совета К 063.57.13

по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

198904, Санкт-Петербург. Старый Петергоф, Библиотечная площадь 2, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан _''_ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

М.А.Нарбут

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Вопрос о волнообразовании при движении тел вблизи свободной поверхности жидкости издавна привлекает к себе внимание исследователей. Этот интерес обусловлен обширными практическими приложениями, связанными, прежде всего, с проектированием судов. В связи с этим большое значение приобретает исследование математических моделей, описывающих волновые движения, и разработка на основе этих моделей эффективных методов вычисления гидродинамических характеристик.

Исследования проводились в соответствии с утвержденным планом научно-исследовательских работ ИПМаш РАН по теме: '"Математическое моделирование гидродинамических воздействий на конструкции технических средств освоения океана", per. №01.9.20005487 (1993-1995 гг.)

Целью работы является анализ линейных задач потенциального обтекания тела, находящегося в одном из слоев двуслойной жидкости, и тандема тел, пересекающих свободную поверхность однородной жидкости; определение волнового сопротивления; разработка эффективного метода численного решения задач теории поверхностных волн и проведение некоторых численных экспериментов.

Научная новизна

1) Предложены две новые постановки плоской задачи о потенциальном обтекании тандема полупогруженных тел. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости, подтверждающие математическую корректность предложенных постановок. Получена формула, выражающая полное сопротивление тандема через коэффициенты асимптотик в дальнем поле и возвышения свободной поверхности в точках пересечения контуров со свободной поверхностью жидкости. Проведено численное исследование волнового сопротивления.

2) Исследована плоская задача о движении тела в одном из слоев двуслойной жидкости. Изучена функция Грина - решение

линейной задачи о движении источника. Установлен общий вид волновых движений, возникающих в двуслойной жидкости при отсутствии погруженного тела. Построены интегральное представление решения задачи о движении тела в двуслойной жидкости и асимптотики решения в дальнем поле. Получена новая формула, выражающая волновое сопротивление через коэффициенты асимптотик решения в дальнем поле. Однозначная разрешимость задачи установлена кале для случая тела, движущегося в верхнем слое, так и для случая, когда тело расположено в нижнем слое.

Достоверность научных результатов следует из того, что проведенные исследования согласуются с выводами работ других авторов, являясь их продолжением и развитием.

Практическая ценность. Результаты работы представляют собой дальнейшее развитие в изучении математических аспектов теории волн, они важны для исследований в области корабельной гидродинамики.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на Международной научной конференции "Асимптотики в механике AiM-94" (Санкт-Петербург, 1994), Международном симпозиуме по гидродинамике судна, посвященном 85-летию со дня рождения A.M. Васина (Санкт-Петербург, 1995), X Международном семинаре по волнам на воде и плавающим телам (Оксфорд, 1995), обсуждались на семинарах Института проблем машиноведения РАН (Санкт-Петербург, 1993-1995), семинаре кафедры гидроаэродинамики СПГУ (1995).

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы, две приняты к печати и одна сдана в редакцию журнала Journal of Engineering Mathematics.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, трех приложений и списка литературы. Работа изложена на 114 страницах текста, подготовленного в издательской системе lATgX, содержит 1 таблицу и иллюстрирована 13 рисунками, список литературы насчитывает 64 наименования.

Содержание работы

Во введении сформулированы математические модели, изучению которых посвящена настоящая работа, приведены основные результаты, полученные ранее в данной области исследований. и дано краткое описание всех глав диссертации.

Поверхностные и внутренние волны являются предметом интенсивного изучения многих авторов. Первые фундаментальные результаты в этой области получены Н.Е.Кочиным, М.В.Келдышем, М.А.Лаврентьевым, Л.И.Седовым, М.Д.Хаскиндом. Основные результаты исследований по данному вопросу представлены в монографиях Дж.Дж.Стокера, А.А.Костюкова, Дж.В.Вехаузе-на и Е.В.Лейтона, Л.Н.Сретенского, М.Д.Хаскинда. М.А.Васина и В.П.Шадрина. В частности достаточно подробно изучена задача об установившемся движении полностью погруженного тела в однородной тяжелой жидкости бесконечной глубины со свободной поверхностью. В то же время, значительный интерес для приложений представляет задача об обтекании тандема тел. пересекающих свободную поверхность жидкости, которая рассмотрена в первой главе работы.

Вторая глава посвящена исследованию линейной краевой задачи, которая описывает движение цилиндра в тяжелой жидкости, состоящей из двух слоев различной плотности. Математическое исследование краевых задач, описывающих волновые движения двуслойной жидкости в присутствии тел началось в конце 50-х - начале 60-х годов в работах С.С.Войта, Л.И.Сретенского и П.Н.Успенского, когда уже были получены значительные результаты по волнам в однородной жидкости. В дальнейшем отдельные частные результаты в этом направлении были получены отечественными и зарубежными авторами (см. обзор Вместе с тем. достаточно общая теория установившихся поверхностных и внутренних волн в присутствии погруженных тел пока не по-

1 городцов В.А.. теодорович Э.В. К теории волнового сопротивления (поверхностные и внутренние волны). // Н.Е.Кочин и развитие механики. М.: Наука. 1984.

строена, хотя актуальность этой области динамики несжимаемой жидкости по-прежнему велика (см. например статью 2).

В первой главе исследуется плоская краевая задача, описывающая движение тандема полупогруженных тел. Основные обозначения введены в первом параграфе: пусть Б± ~ поперечные сечения движущихся цилиндров, а дуги 5± (смоченные поверхности цилиндров) принадлежат классу С2. Через И7 = К1 \ и/)_) обозначим поперечное сечение заполненной жидкостью области, а через Ро и Р_ - три компоненты свободной поверхности.

Будем предполагать, что односторонние касательные к дугам 5± в их конечных точках Pi, Р2, Рз и Р,\ образуют с осью абсцисс углы отличные от 0 и 7г.

Волновой след за поступательно движущимся тандемом в системе координат, движущейся вместе с ним (см. рис. 1), описывается в рамках линейной теории потенциалом скоростей и, который является решением следующей краевой задачи (задача Неймана-Кельвина):

V2u = 0 в W, ихх + vuy-Q на F - Р_ U Р0 U F+, (1 )

ди/дп = Ucos{n,x) на int S = S \ {Рь A}, (2) lim |Vu| = 0, sup{|Vu| : (x,y) € W \ E} < oc, (3)

x--h ce.

Jvvn£ < oc. (4)

2Zilman, G. к. mlloh. T. Hydrodynamics of a Body Moving over a Mud

Layer // Proc. 20th Svmp. Naval Hydrodynamics. Santa Barbara. California.

1994. pp. 117-133.

Здесь 5' = 5+u5_,ai/ = <7 U~2 - положительный параметр, причем U - постоянная скорость поступательного движения вдоль оси абсцисс, а д - ускорение силы тяжести; Е - произвольный компакт в R2_. такой что D С Е и F± П Е / 0, F0 П Е ф 0. Условие (4) выражает локальную конечность кинетической энергии и позволяет избежать сильных сингулярностей решения в точках Pi. i = 1,2,3,4.

Во втором параграфе получена асимптотика решения задачи (1)-(4) при |г| — оо (г — х + гу):

и(х, у) = С + Q log(i/|~|) + H{-x)evy{A sin их + В cos их) + ф. (5)

Здесь С - произвольная постоянная, Н - функция Хевисайда. и имеют место оценки -ф = 0(|~|_1), |Vi/-| = 0{\z\~7). Константы Q. Л и В определяются следующими формулами:

-pQ -f J>,(P3±i) - их(Р2±1)} = О,

±

\u-^-{el/y cos их) - cos ux]ds

s on on

Л = -2{

+ ^ ±[v~1ux(x, 0) cosvx + u(x, 0) sin ¿/x]*!^;} >

d Зи

\v-—(euy sinzAr)- — evy sin ux]d.$ s on on

B = 2{

+ ^ ±[f-1Ur(a:, 0) sini/i-t<(s,0)cos^c£=±t},

±

причем (} пропорционально дополнительном}' расходу жидкости в потоке обтекающем тандем.

В третьем параграфе, следуя 3, выведена формула выражающая полное сопротивление тандема:

д=м2+в2) - £ {мм)]*™+[*цх,о)у=а:а}. (6)

3 кузнецов н.г. Волновое сопротивление цилиндра, частично погруженного в жидкость бесконечной глубины // Гидродинамика больших скоростей. Чебоксары: Издательство ЧувГУ, 1990, С. 53-60.

±

Из (6) видно, что сопротивление состоит из двух компонент различной природы. Первое слагаемое зависит от амплитуд волн на бесконечности и поэтому выражает волновое сопротивление Ru,. По форме выражение для Rw совпадает с полученным Кочиным волновым сопротивлением полностью погруженного тела. Величины Q± = [i/-r(P2±i) _ иг(Рз±1)]/7Г1/ могут интерпретироваться как вклады в общий расход жидкости, обусловленные наличием брызг в носовой и кормовой точках правого и левого тела, что дает основания назвать R — Rw = 2-1р7Г Q±[«x(«±, 0)+их(±а. 0)] брызговым сопротивлением.

Задача (1)-(4) для одного полупогруженного тела была исследована и теоретически 4, 5 и численно 6. В этих работах было отмечено, что условий (1)-(4) недостаточно для однозначного определения потенциала скоростей (семейство решений является двухпараметрическим для одного тела и четырехпараметри-ческим для тандема) и были предложены различные варианты дополнительных условий.

В первой главе рассматриваются две новые постановки задачи Неймана-Кельвина для тандема полу погруженных тел. Первая из них сформулирована в четвертом параграфе, и приведенные там дополнительные условия гарантируют, что брызговое сопротивление отсутствует, а формула для волнового сопротивления имеет точно такой же вид, как и в случае полностью погруженных тел. Положим l± = \а± ^ а| (длина тела D± вдоль свободной поверхности), L = /++/_+2а (общая длина каравана). Потенциал и называется решением задачи (S). если он удовлетворяет условиям (1)-(4) и дополнительным условиям:

ux{Pi) = их(Р2), ит(Р3) = ит{Р4), (7)

4Ursell F. Mathematical notes on the two-dimensional Kelvin-Neumann problem // Proc. 13th Svmp. Naval Hydrodynamics, Tokyo. 1981, pp. 245251.

ьКузнецов Н.Г.. Мазья В.Г. Об однозначной разрешимости плоской задачи Неймана-Кельвина // Мат. сб. 1988. Т. 135. № 4. С. 440-462.

6Suzuki К. Numerical studies of the Neumann-Kelvin problem for a two-dimensional semisubmerged body. Proc. Third Int. Conf. on Numer. Ship Hydrodynamics. Paris. 1982. pp. 83-95.

A+ut+ ATu;+ B+T+ + Bj;T_ + CkYo = 0, к = 1,2, (8)

где Г± = u{P3±i) - и(Рг±1) - циркуляция скорости вдоль контура S± И Г'о = и(Рз) — и(-Рт) - циркуляция скорости вдоль свободной поверхности между телами, а коэффициенты в (8) задаются следующим образом:

-4f3=Fi)/2 = 2i/-1 sin(i//±/2), С(3±1)/2 = sin(W±/2) sin v(a + L/2) ■4(3±i)/2 = sin(^/±/2)cos^(a + L/2), "®(3Ti)/2 = ~ + W'2) sin va — cos{vL/2) cos v(a + 1T/2).

B(3±i)/2 = -™s(vl±/2)cosv(a + L/2).

Здесь верхний (нижний) знак должен использоваться одновременно как в верхнем, так и в нижнем индексе.

Вторая постановка, вводится в пятом параграфе. Потенциал скоростей и называется решением задачи (R), если и удовлетворяет (1)-(4). (7). и выполняются соотношения

Л = 0, 5 = 0, (9)

где А и В - коэффициенты в асимптотической формуле (5).

В сил}' условий (7) брызговая компонента сопротивления обращается в нуль, а благодаря (9) и Ru. = 0 (см. формулу

(6) и комментарии к ней). Таким образом, потенциал и являющийся решением задачи (R) описывает движение тандема без сопротивления.

В §§ 6 и 7 доказана разрешимость предложенных постановок. Доказательство базируется на теории потенциала. Решение представляется в виде суммы потенциала простого слоя с неизвестной плотностью ¡j и четырех источников неизвестной интенсивности fi{. расположенных в точках пересечения поверхностей цилиндров со свободной поверхностью жидкости. Условия (2).

(7) и (8) или (9) дают интегро-алгебраическую систему относительно вектора (/¿. . /у2. //3. Ца )'. Разрешимость данной систе-

мы устанавливается на основе метода, предложенного в ', который использует аналитическую зависимость оператора интегро-алгебраической системы от параметра v и разрешимость системы в предельном случае v —> 0.

Вопрос о единственности решения в постановках (S) и (R) рассмотривается в восьмом и девятом параграфах, следуя схеме, предложенной в упомянутой выше работе Н.Г.Кузнецова и В.Г.Мазьи (1988).

В десятом параграфе представлен численный алгоритм для постановки (S) и результаты численного исследования сопротивления тандема. Задача (1)-(4) сводится к граничному интегро-алгебраическому уравнению относительно потенциала обращенного движения ip(z) = u(z) — Ux:

2= [ <p{0j-G(z-,()dcs - Ux J s с

+ *-1E± fo& t> - 1^y-0)lftt' (10)

=b

где г € int 5 и G{z\ () - функция Грина задачи (1)-(4).

Для дискретизации уравнения (10) применяется метод кол-локации с кусочно-постоянной аппроксимацией решения. Учитываются условия (7) и (8). Кроме того, используя локальные асимптотики потенциала </?, величины ip(Pi), г = 1,2,3,4 выражены через значения функции </? в трех ближайших точках колло-кации.

Для численных исследований волнового сопротивления тандема в качестве контуров S± были выбраны полуэллипсы с отношением горизонтальной и вертикальной полуосей равным 2. Число Фруда определяется как Fr = 1/V^T.

На рис. 2(a) представлена зависимость волнового сопротивления тандема от числа Фруда при различном расстоянии между

7Kuznetsov, N.G. & Maz'ya, V.G. On a well-posed formulation of the two-dimensional Neumann-Kelvin problem for a surface-piercing body//1992, Linkoping University Preprint LiTH-MAT-R-92-47.

R/pgl2 (a) R/pgll (б)

I I I 1 U l | | i |

0.7 0.8 0.9 1 1.1 Fr 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 l±/¡o

R/pglo (в) R/pg'l (r)

Рис. 2

одинаковыми полуэллипсами (/ = /+ = /_). Графики (1), (2) и (3) соответствуют случаям, когда отношение а/1 равно 1/3, 2/3 и 1 соответственно. Рис. 2(6) показывает изменение волнового сопротивления в том случае, когда длина /+(/-) правого (левого) тела изменяется, а остальные длины фиксированы и а/10 = 1/3. где /о = /_(/+). Безразмерная скорость тандема U* — U/y/gTo равна 1.5—(1), 2.0-(2). Рис. 2(в) представляет зависимость волнового сопротивления от числа Фруда при различном расстоянии между телами асимметричного тандема. Графики, помеченные (+), соответствуют ситуации, когда правое тело в два раза длиннее левого (/_ = Iо, 1+ = 2/о), (-) на графике отвечает обратному соотношению длин (/+ = /о, /_ = 2/0). Величина а/10 равна 1/3 и 2/3 для кривых (1) и (2) соответственно. На рис. 2(г) показана зависимость волнового сопротивления от расстояния между телами для двух различных чисел Фруда (0.8 - (1) и 0.85 - (2)).

Как и на рис. 2(в) тандем асимметричен, и символы (+), (—) соответствуют тем же конфигурациям, что и выше.

Вторая глава работы посвящена исследованию линейных волн, возникающих при установившемся движении цилиндра в идеальной, несжимаемой, тяжелой жидкости, состоящей из двух слоев различной плотности, где верхний слой плотности р\ имеет конечную глубину /? и ограничен сверху свободной поверхностью, нижняя жидкость плотности р2 > Р1 имеет бесконечную глубину. Предполагается, что тело целиком содержится в верхнем (рис. 3,а) или нижнем (рис. 3,6) слое.

а)

б)

Ти'"(1)

Г

1 Г'2> \У

Р2

И'(2)

Р2

5

Рис. 3

__я/

(2)

x

Поместим начало координат на границе раздела. Пусть поперечное сечение движущегося цилиндра представляет собой од-носвязную область В, ограниченную замкнутой кривой 5 класса С2'а, 0 < а < 1. Через Х'1' = {(¡с, у) : 0 < у < /г} и I'2) = {(х,у) : у < 0} обозначим верхний и нижний слои в отсутствие тел, а через И*'1' = \ В и И7'2' = X'2' \ В будем обозначать области, занятые верхней и нижней жидкостью. Пусть = {(а1, у) : у = /г} и Р'2' = {(я, у): у = 0} - свободная поверхность жидкости и граница раздела соответственно. Положим 6 — Р21Р\ — 1 *

Задача Неймана-Кельвина для двуслойной жидкости состоит в отыскании функций € С '"(И^')), г = 1,2 удовлетворяющих следующей краевой задаче:

V2«'1'1 = 0 в И7(,'> » = 1,2. (11)

+ ии^] = р2[и™ + ииМ] на (12)

4V + Ч1' =0 на 41' = 42) на Fi2)■ (is)

ди^/дп = / на 5 при В С L('\ (14)

sup |W!)| < оо г'= 1.2. Ilm |Vu(i)| = 0 г'= 1.2, (15)

Здесь п - единичная нормаль к 5. направленная во внешность В. а V - положительный параметр.

При / = Ucos(n.x) и и = gU~2 эта задача описывает установившееся движение в жидкости двумерного твердого тела В с постоянной скоростью U, направленной вдоль оси абсцисс (д - ускорение силы тяжести). Функция и*1' (м'2') представляет собой потенциал скоростей установившегося движения верхней (нижней) жидкости в связанной с цилиндром системе координат. Очевидно, что функции и'1' и и'2' определены с точностью до произвольных постоянных, которые могут быть различными.

Решение приведенной задачи имеет различную асимптотику на бесконечности в зависимости от того, превосходит ли и критическое значение z/„ = (1 + £)/sh. С гидродинамической точки зрения при и = происходит смена режимов обтекания: если V > V* (т.н. докритический режим), то далеко за телом наряду с поверхностными волнами с волновым числом и имеются также волны на границе раздела с волновым числом i/o, которое является положительным корнем уравнения Q(u0) = 0. Здесь

Q(k) = (1 + е)к + (к - si') tanh(M).

Если и < и, (закритический режим), то внутренние волны на бесконечности за телом отсутствуют.

Второй параграф посвяшен функции Грина - потенциалу скоростей, описывающму движение жидкости, вызванное точечным источником. Последняя строится для всех возможных случаев расположения источника и точки, в которой функция Грина вычисляется. Проведена регуляризация расходящихся интегралов. построены асимптотики функций Грина на бесконечности.

Данные рассмотрения уточняют результаты работ 8 и 9, в которых функции Грина не регуляризованы, а для функции Грина с источником в верхнем слое пропущен существенный линейный член.

В третьем параграфе строится интегральное представление и асимптотики решения в дальнем поле. Рассмотрение базируется на вспомогательном утверждении, которое описывает общий вид потенциалов скоростей для свободного установившегося потока двуслойной жидкости и представляет самостоятельный интерес. А именно, пусть потенциалы и^ Е C2(L(')), i = 1,2 удовлетворяют условиям (12), (13) и

V^j,0 = 0. в L(iK sup г = 1.2.

L<0

Тогда

и(о\х., у) = к[1] + к£]х + + k2el'iy-ix) + E{v - v.)

х {k&iv°x + [1 + cosh(v0y) + sinh(n>t/)}

у) = к[2) + к(2)х + ¡не*"***) + k2^{y~ix) +H{v - vr){k3eMv+ix) + к4еио(-у~^},

где k\, к2, А'з и k4 - произвольные комплексные посто-

янные.

Последнее утверждение используется для доказательства единственности решения задачи о движении источника и для вывода следующего интегрального представления: Пусть гД') € C2'a(W^), 0 < а < 1, i = 1,2 является решением

8 ВоЙЦЕНЯ B.C.. О поступательном движении тела над поверхностью раздела двух жидкостей//Изв. вузов. Математика. 1963, № 2, С. 262-270.

sВоЙЦЕНЯ B.C., Плоская задача о поступательном движении тела под поверхностью раздела двух жидкостей//Труды Новочерк. политехи, института, 1959, Т. 104, С. 95-111.

задачи (11)—(15). Тогда

дп£ one

die + с i.

где z € И-«'), В С L^. Для функции Грина использовано обозначение у\г]). Здесь индекс i показывает в каком слое - верхнем или нижнем - находится точка (х.у), в которой вычисляется функция Грина, а индекс j совпадает с номером слоя, в котором находится источник, то есть (х, у) € L<') и (£,77) €

Из интегрального представления и асимптотик функции Грина на. бесконечности с учетом условий (12). (13) получены асимптотики решения в дальнем поле, которые имеют следующий вид:

= С± + v(±](z) + Н(-х){(А sin их + В cos их) е1,у + Н(и- и.) [(1 + г - ги/ и0) cosh и0у + sinh и0у] X (До sin ^О'Т + Во cos uqx) }. (16)

u<2>(-) = Ci + + H(-x){(A sin их + В cos ux)tl'v

• -f H(u — ur) {Aq sin щх -f Bq cos щх)еи°у}. (17)

if")

где C± и С2 - константы, и справедливы оцени = 0(|~|).

Когда В С коэффициенты в (16) и (17) задаются формулами:

ди^\х, у)

А

2

Ао

9

= С^

и^\х, у)

де"уcos их дп

дп

ds,

Mh

х.у)

дСо](у) cosи0х дп

C(¿\y)cosv0x

ди^\х. у) дп

ds.

ГдеС(1) = _(е2,А + £)-1. С(2) =

2 ик

Cl%) =

и cosh и0(у — h) + /'о sinh и0(у - h) (и - uq)Q'(u0) cosh u0h

(2) _ (1 +£)(vо - f tanhQVQ) y.y

0 " (v-Vo)QV'o) '

Через Q\vо) обозначена величина

v(\ + £)-sh{y + vQ)2fT'lVoh

d_Q dk

k=uo W-VQ

Для получения В, Во следует заменить cos на - sin в формулах для Л, Ль Кроме того, если В С имеет место соотношение

С+ - С_ = --г-г

+ 1 + £ - £l>h

г (i) 9а: Эц(1>1

иначе С+ — С_ = 0.

В § 4 для доказательства разрешимости задачи (11)-(1о) для докритических и закритических значений скорости развивается метод, предложенный в 10. Доказательство существования решения опирается на методы теории потенциала. Решение ищется в виде потенциала простого слоя, задача сводится к фредгольмо-ву интегральному уравнению с оператором, аналитически зависящим от двух параметров. Показано, что при стремлении одного из параметров к нулю или бесконечности предельное интегральное уравнение однозначно разрешимо (при всех значениях второго параметра за исключением счетного множества). Далее ссылка на. теорему об обращении оператор-функции, аналитически зависящей от параметра, позволяет сделать вывод о конечно-мероморфности резольвенты как функции параметра. Новым по сравнению с работой Б.Р.Вайнберга и В.Г.Мазьи является то, что интегральный оператор зависит аналитически от дв}'х параметров. Результат работы 11 позволяет точнее описать множества возможных полюсов резольвенты.

10ВаЙНБЕРГ Б.Р.. Мазья В.Г.. К плоской задаче о движении погруженного в жидкость тела//Труды Моск. матем. общ. 1973. Т. 28 С. 35-56.

пКреЙН С.Г.. Трофимов В.П. О голоморфных оператор-функциях нескольких комплексных переменных//Функц. анализ и его прил. 1969 Т. 3. .N"5 4. С. 85-86.

В пятом параграфе доказана теорема единственности решения задачи Неймана-Кельвина для двуслойной жидкости. Следуя работе 5. для доказательства единственности рассматривается задача с обратным направлением потока и строится интегральное тождество, связывающее решения с прямым и обратным направлением течения, из которого следует единственность решения при тех значениях параметров, при которых разрешимы интегральные уравнения этих задач.

В шестом параграфе получена формула, выражающая волновое сопротивление цилиндра в двуслойной жидкости через коэффициенты волновых членов в асимптотических формулах (16). (17):

Я = (£ + е2^') (А2 + В2) - Н(р - V,) (18)

4

p2s{v - i/0)

v eh(u + uo)e~2i/°h

v + Vq 1 + £

Ио]2+ [В0}[

Легко проверить, что при с — 0 формулы для Я переходят в выражение, которое хорошо известно в теории волнового сопротивления для однородной жидкости 12.

Показано, что формула (18) может быть записана в виде

Д = -Ц^Ё - Н(и - (19)

где с (со) - групповая скорость поверхностных (внутренних) волн, уносящих энергию на бесконечность позади тела, а Ё (Ёо) - среднее значение энергии поверхностных (внутренних) волн на единиц}' площади.

Формула (19) обобщает на случай двуслойной жидкости соотношение Я = —Е(и — с)/и, которое имеет место для случая движения цилиндра в однородной жидкости (см. 13).

J*K04]ih Н.Е.. О волновом сопротивлении и подъемной силе погруженных

в жидкость тел // Тр. конф. по теории волнового сопротивления. М ЦАГИ.

1937. с. 65-134 (см. Собр. соч. Т 2, М.:Л.: АН СССР. 1949, С. 105-182).

13Lamb, Н., Hydrodynamics, Cambridge University Press, 1932.

Основное содержание диссертации изложено в работах:

1. Kuznetsov N.G., motyg1n O.V. On the two-dimensional Neumann-Kelvin problem for a tandem of surface-piercing bodies. // Asymptotics in Mechanics, Abstracts of Int. Conf., St.Petersburg Marine Tech. University, 1994, pp. 61-62.

2. Кузнецов Н.Г., Мотыгин O.B. О волновом сопротивлении тандема полупогруженных тел. // Вычислительные технологии., Новосибирск, 1995, Т. 4, № 11, С. 154-163.

3. motygin O.V., Kuznetsov N.G. The 2-D Neumann-Kelvir problem for a surface-piercing tandem. // Proc. of 10th Workshop on Water Waves and Floating Bodies, Oxford, 1995, pp. 181-186.

4. Кузнецов Н.Г., Мотыгин O.B. О постановке плоской задачи Неймана-Кельвина, описывающей движение тандема полупогруженных тел без сопротивления. // Тр. меж.дунар. симпозиума по гидродинамике судна, посвященного 85-летию A.M. Ба сина. С.-Петербург, 1995, С. 154-162.