Волнообразование и волновое сопротивление при движении плоских тел в однородной и двухслойной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

|

1 МОТЫГИН Олег Валерьевич

ВОЛНООБРАЗОВАНИЕ И ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРИ ДВИЖЕНИИ ПЛОСКИХ ТЕЛ В ОДНОРОДНОЙ И ДВУСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТИ

' 01.02.05 - механика жидкостей, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена в лаборатории математических моделей механики Института проблем машиноведения РАН.

Научный руководитель - д.ф.-м.н. Кузнецов Н.Г.

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н. Алешков Ю.З.,

д.т.н. Басин М.А.

Ведущая организация - Государственный морской технический университет Санкт-Петербурга.

Защита диссертации состоится _1996 г.

в ~~ часов на заседании диссертационного совета К 063.57.13 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

198904, Санкт-Петербург. Старый Петергоф. Библиотечная площадь '2, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург. Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан £ '' (-1._ 1996 г.

Ученый, секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

М.А.Нарбут

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Вопрос о волнообразовании при движении тел вблизи свободной поверхности жидкости издавна привлекает к себе внимание исследователей. Этот интерес обусловлен обширными практическими приложениями, связанными, прежде всего, с проектированием судов. В связи с этим большое значение приобретает исследование математических моделей, описывающих волновые движения, и разработка на основе этих моделей эффективных методов вычисления гидродинамических характеристик.

Исследования проводились в соответствии с утвержденным планом научно-исследовательских работ ИПМаш РАН по теме: ''Математическое моделирование гидродинамических воздействий на конструкции технических средств освоения океана"', per. .N'»01.9.20005487 (1993-1995 гг.)

Целью работы является анализ линейных задач потенциального обтекания тела, находящегося в одном из слоев двуслойной жидкости, и тандема тел, пересекающих свободную поверхность однородной жидкости; определение волнового сопротивления; разработка эффективного метода численного решения задач теории поверхностных волн и проведение некоторых численных экспериментов.

Научная новизна

1) Предложены две новые постановки плоской задачи о потенциальном обтекании тандема полупогруженных тел. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости, подтверждающие математическую корректность предложенных постановок. Получена формула, выражающая полное сопротивление тандема через коэффициенты асимптотик в дальнем поле и возвышения свободной поверхности в точках пересечения контуров со свободной поверхностью жидкости. Проведено численное исследование волнового сопротивления.

2) Исследована плоская задача о движении тела в одном из слоев двуслойной жидкости. Изучена функция Грина - решение

линейной задачи о движении источника. Установлен общий вид волновых движений, возникающих в двуслойной жидкости при отсутствии погруженного тела. Построены интегральное представление решения задачи о движении тела в двуслойной жидкости и асимптотики решения в дальнем поле. Получена новая формула, выражающая волновое сопротивление через коэффициенты асимптотик решения в дальнем поле. Однозначная разрешимость задачи установлена как для случая тела, движущегося в верхнем слое, так и для случал, когда тело расположено в нижнем слое.

Достоверность научных результатов следует из того, что проведенные исследования согласуются с выводами работ других авторов, являясь их продолжением и развитием.

Практическая ценность. Результаты работы представляют собой дальнейшее развитие в изучении математических аспектов теории волн, они важны для исследований в области корабельной гидродинамики.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на Международной научной конференции "Асимптотики в механике AiM-94" (Санкт-Петербург, 1994), Международном симпозиуме по гидродинамике судна, посвященном 85-летию со дня рождения A.M. Басина (Санкт-Петербург, 1995), X Международном семинаре по волнам на воде и плавающим телам (Оксфорд, 1995), обсуждались на семинарах Института проблем машиноведения РАН (Санкт-Петербург, 1993-1995), семинаре кафедры гидроаэродинамики СПГУ (1995).

Публикации. По теме диссертации опубликовало четыре работы, две приняты к печати и одна сдана в редакцию журнала Journal of Engineering Mathematics.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, трех приложений и списка литературы. Работа изложена на 114 страницах текста, подготовленного в издательской системе IATjtjX, содержит 1 таблицу и иллюстрирована 13 рисунками, список литературы насчитывает 64 наименования.

Содержание работы

Во введении сформулированы математические модели, изучению которых посвящена настоящая работа, приведены основные результаты, полученные ранее в данной области исследований. и дано краткое описание всех глав диссертации.

Поверхностные и внутренние волны являются предметом интенсивного изучения многих авторов. Первые фундаментальные результаты в этой области получены Н.Е.Кочиным, М.В.Келдышем, М.А.Лаврентьевым, Л.И.Седовым, М.Д.Хаскиндом. Основные результаты исследований по данном}- вопрос}' представлены в монографиях Дж.Дж.Стокера, А.А.Костюкова, Дж.В.Вехаузе-на и Е.В.Лейтона, Л.Н.Сретенского, М.Д.Хаскинда, М.А.Васина и В.П.Шадрина. В частности достаточно подробно изучена задача об установившемся движении полностью погруженного тела в однородной тяжелой жидкости бесконечной глубины со свободной поверхностью. В то же время, значительный интерес для приложений представляет задача об обтекании тандема тел. пересекающих свободную поверхность жидкости, которая рассмотрена в первой главе работы.

Вторая глава посвящена исследованию линейной краевой задачи, которая описывает движение цилиндра в тяжелой жидкости, состоящей из двух слоев различной плотности. Математическое исследование краевых задач, описывающих волновые движения двуслойной жидкости в присутствии тел началось в конце 50-х - начале 60-х годов в работах С.С.Войта, Л.Н.Сретенского и П.Н.Успенского, когда уже были получены значительные результаты по волнам в однородной жидкости. В дальнейшем отдельные частные результаты в этом направлении были получены отечественными и зарубежными авторами (см. обзор а). Вместе с тем. достаточно общая теория установившихся поверхностных и внутренних волн в присутствии погруженных тел пока не по-

1 Городцов В.А.. теодорович Э.В. К теории волнового сопротивления (поверхностные и внутренние волны). // Н.Е.Кочлн и развитие механики. М.: Наука. 1984.

строена., хотя актуальность этой области динамики несжимаемой жидкости по-прежнему велика (см. например статью 2).

В первой главе исследуется плоская краевая задача, описывающая движение тандема полупогруженных тел. Основные обозначения введены в первом параграфе: пусть Б± - поперечные сечения движущихся цилиндров, а дуги 5± (смоченные поверхности цилиндров) принадлежат классу С2. Через И' = \ (В+ и£>_) обозначим поперечное сечение заполненной жидкостью области, а через Ро и Л - три компоненты свободной поверхности.

Будем предполагать, что односторонние касательные к дугам 5± в их конечных точках Р\. Ро. Рг и Р4 образуют с осью абсцисс углы отличные от 0 и 7г.

Волновой след за поступательно движущимся тандемом в системе координат, движущейся вместе с ним (см. рис. 1), описывается в рамках линейной теории потенциалом скоростей и, который является решением следующей краевой задачи (задача Неймана-Кельвина):

V2u = 0 в И". ихх + ииу = 0 на F - U F0 U F+, (1)

dti/dn = lTcos(n,z) на int 5 = 5 \ {РъР7,Рг, Р4}, (2) lim |Vu| = О, sup{|Vu| : {х,у) 6 И'\ Г} < со, (3)

х--Нес

Jn-n£- < ос.-. (4)

2zllman, g. ic mlloh. т. Hydrodynamics of a Body Moving over a Mud Layer // Proc. 20th Svmp. Naval Hydrodynamics. Santa Barbara. California. 3994. pp. 117-133.

Здесь 5 = 5+U5_,ai> = <¡! U~2 - положительный параметр, причем U - постоянная скорость поступательного движения вдоль оси абсцисс, ад- ускорение силы тяжести; Е - произвольный компакт в R2_. такой что D С Е и F± П Е ф 0, /Ь П Е ф 0. Условие (4) выражает локальную конечность кинетической энергии и позволяет избежать сильных сингз'лярностей решения в точках Pi, i = 1,2,3,4.

Во втором параграфе получена асимптотика решения задачи (1)-(4) при |г| — оо (z = х + гу):

и(х, у) = С + Q log(i/|s|) + Н(-х)еиу(А sin vx + В cos их) + ф. (5)

Здесь С - произвольная постоянная, Н - функция Хевисайда. и имеют место оценки ф = (?(|~|_1), = 0(|л|-2). Константы Q. А и В определяются следующими формулами:

-vQ + 53[ur(P3±i) - M^2±i)] = о, ±

Г ó Он

А = — "2-Í [и — (evy cos vx) - тг-е"2' cos vx]ds J 5 on отг

+ ^ ±[v~lux(x, 0) cosvx + u{x, 0) sin vx]xx~la±a},

±

sin их) - ^r-euy sin vx]ds s on on

В = 2{

siní/x - u(:r,0) cos vx)Tx=a¿a),

±

причем <2 пропорционально дополнительном)' расходу жидкости в потоке обтекающем тандем.

В третьем параграфе, следуя 3, выведена формула выражающая полное сопротивление тандема:

л = -^м2+-1 {нм)]-;: + кс-о)]-:}. (б,

3кузнецов Н.г. Волновое сопротивление цилиндра, частично погруженного в жидкость бесконечной глубины // Гидродинамика больших скоростей. Чебоксары: Издательство ЧувГУ, 1990, С. 53—СО.

Из (б) видно, что сопротивление состоит из двух компонент различной природы. Первое слагаемое зависит от амплитуд волн на бесконечности и поэтом}' выражает волновое сопротивление Rw. По форме выражение для Rw совпадает с полученным Кочиным волновым сопротивлением полностью погруженного тела. Величины Q± = [ur(P2±i) - ux(Pz±\)\liiv могут интерпретироваться как вклады в общий расход жидкости, обусловленные наличием брызг в носовой и кормовой точках правого и левого тела, что дает основания назвать R-Rw = 2~1рк £?±[«x(a±i 0)-fux(±a, 0)] брызговым сопротивлением.

Задача (1)-(4) для одного полупогруженного тела была исследована и теоретически 4, 5 и численно 6. В этих работах было отмечено, что условий (1)-(4) недостаточно для однозначного определения потенциала скоростей (семейство решений является двухпараметрическим для одного тела и четырехпараметри-ческим для тандема) и были предложены различные варианты дополнительных условий.

В первой главе рассматриваются две новые постановки задачи Неймана-Кельвина для тандема полупогруженных тел. Первая из них сформулирована в четвертом параграфе, и приведенные там дополнительные условия гарантируют, что брызговое сопротивление отсутствует, а формула для волнового сопротивления имеет точно такой же вид, как и в случае полностью погруженных тел. Положим = \а± ^ а\ (длина тела D± вдоль свободной поверхности), L = /_ + 2а (общая длина каравана). Потенциал и называется решением задачи (S), если он удовлетворяет условиям (1)-(4) и дополнительным условиям:

МЛ) = «*№), UX(P3) = UX(P4), (7)

4 URSELL F. Mathematical notes on the two-dimensional Kelvin-Neumann problem // Proc. 13th Svmp. Naval Hydrodynamics, Tokyo. 1981, pp. 245251.

ь Кузнецов H.Г.. Мазья В.Г. Об однозначной разрешимости плоской задачи Неймана-Кельвина // Мат. сб. 1988. Т. 135. № 4. С. 440-462.

6suzuki К. Numerical studies of the Neumann-Kelvin problem for a two-dimensional semisubmerged body. Proc. Third Int. Conf. on Numer. Ship Hydrodynamics. Paris, 1982. pp. 83-95.

.4+^ + АТи~ + Я+Г+ + 5аТГ_ + Ск Го = 0, к = 1.2. (8)

где Г± = и(Рз±! ) - и(р2±1 ) - циркуляция скорости вдоль контура 5± и Го = и(Рз) - ~ циркуляция скорости вдоль свободной

поверхности между телами, а коэффициенты в (8) задаются следующим образом:

-4(зТ1)/2 = 2у~1 в1п(г//±/2), С(3±1)/2 = зт(^/±/2) эт и(а + ¿/2) '4(з±1)/2 = зт(г//±/2) созг^а + 1/2), ■®(зт1)/2 = ~ 5'п 5'п - со5(иЬ/2) со*и(а + 2).

^3±1)/2 = -С05(!//±/2)С05ИО + 1/2).

Здесь верхний (нижний) знак должен использоваться одновременно как в верхнем, так и в нижнем индексе.

Вторая постановка вводится в пятом параграфе. Потенциал скоростей и называется решением задачи (И), если и удовлетворяет (1)-(4). (7). и выполняются соотношения

Л = 0. В = 0. (9)

где Л и В - коэффициенты в асимптотической формуле (5).

В силу условий (7) брызговая компонента сопротивления обращается в нуль, а благодаря (9) и = 0 (см. формулу

(6) и комментарии к ней). Таким образом, потенциал и являющийся решением задачи (II) описывает движение тандема без сопротивления.

В §§ 6 и 7 доказана разрешимость предложенных постановок. Доказательство базируется на теории потенциала. Решение представляется в виде суммы потенциала простого слоя с неизвестной плотностью ¡1 и четырех источников неизвестной интенсивности расположенных в точках пересечения поверхностей цилиндров со свободной поверхностью жидкости. Условия (2).

(7) и (8) или (9) дают интегро-алгебраическую систему относительно вектора (д./^.^о-Мз-/*<})'• Разрешимость данной систе-

мы устанавливается на основе метода, предложенного в ', который использует аналитическую зависимость оператора интегро-алгебраической системы от параметра v и разрешимость системы в предельном случае v —» 0.

Вопрос о единственности решения в постановках (S) и (R) рассмотривается в восьмом и девятом параграфах, следуя схеме, предложенной в упомянутой выше работе Н.Г.Кузнедова и В.Г.Мазьи (1988).

В десятом параграфе представлен численный алгоритм для постановки (S) и результаты численного исследования сопротивления тандема. Задача (1)-(4) сводится к граничному интегро-алгебраическому уравнению относительно потенциала обращенного движения ip{z) = u(z) — Ux:

2"V(*) = CHs - Ux

+ K-1i. - Wi. 0)C?i(x, y,f, 0)]gfe, (10)

где z 6 int S и <j(z;0 - функция Грина задачи (l)-(4).

Для дискретизации уравнения (10) применяется метод кол-локации с кусочно-постоянной аппроксимацией решения. Учитываются условия (7) и (8). Кроме того, используя локальные асимптотики потенциала кр, величины <р(Р{), г = 1,2,3,4 выражены через значения функции уэ в трех ближайших точках колло-кации.

Для численных исследований волнового сопротивления тандема в качестве контуров S± были выбраны полуэллипсы с отношением горизонтальной и вертикальной полуосей равным 2. Число Фруда определяется как Fr =

На рис. 2(a) представлена зависимость волнового сопротивления тандема от числа Фруда при различном расстоянии между

7Kuznetsov, N.G. & Maz'ya, V.G. On a well-posed formulation of the two-dimensional Neumann-Kelvin problem for a surface-piercing body//1992, Linkoping University Preprint LiTH-MAT-R-92-47.

Л/р<7'2 (Ю Я/рд120 (б)

~I-1-1-1-1- и-1—)-1-1-1-1—

0.7 0.8 0.9 1 1.1 Гг 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 1±/1 о

Я/рд1о (в) Я/Р91о (г)

Рис. 2

одинаковыми полуэллипсами (/ = /+ = /_). Графики (1), (2) и (3) соответствуют случаям, когда отношение а/1 равно 1/3, 2/3 и 1 соответственно. Рис. 2(6) показывает изменение волнового сопротивления в том случае, когда длина /+(/_) правого (левого) тела изменяется, а остальные длины фиксированы и а/1о = 1/3. где 1о = /_(/+). Безразмерная скорость тандема и* = V/у/дТо равна 1.5—(1), 2.0—(2). Рис. 2(в) представляет зависимость волнового сопротивления от числа Фруда при различном расстоянии между телами асимметричного тандема. Графики, помеченные ( + ), соответствуют ситуации, когда правое тело в два раза длиннее левого (/_ = /о- /+ = 2/о), (—) на. графике отвечает обратному соотношению длин (/+ = /0. /_ = 2/о). Величина а/10 равна 1/3 и 2/3 для кривых (1) и (2) соответственно. На рис. 2(г) показана зависимость волнового сопротивления от расстояния между телами для двух различных чисел Фруда (0.8 - (1) и 0.85 - (2)).

Как и на рис. 2(в) тандем асимметричен, и символы ( + ), (-) соответствуют тем же конфигурациям, что и выше.

Вторая глава работы посвящена исследованию линейных волн, возникающих при установившемся движении цилиндра в идеальной, несжимаемой, тяжелой жидкости, состоящей из двух слоев различной плотности, где верхний слой плотности р\ имеет конечную глубину Л и ограничен сверху свободной поверхностью, нижняя жидкость плотности р2 > Р\ имеет бесконечную глубин}-. Предполагается, что тело целиком содержится в верхнем (рис. 3,а) или нижнем (рис. 3,6) слое.

Поместим начало координат на границе раздела. Пусть поперечное сечение движущегося цилиндра представляет собой од-носвязную область В, ограниченную замкнутой кривой 5 класса С2'01', 0 < о < 1. Через Ь^ = {(а-, у) : 0 < у < /г} и X*2) = {{х.у) : у < 0} обозначим верхний и нижний слои в отсутствие тел, а через И"'1' = I'1' \ В и

ц;(2) = ¿(2) \ в бу_

дем обозначать области, занятые верхней и нижней жидкостью. Пусть = {(а:, у) : у = /г} и = {(х.у) : у = 0} - свободная поверхность жидкости и граница раздела соответственно. Положим £ = />2 / />1 ~ 1.

Задача Неймана-Кельвина для двуслойной жидкости состоит в отыскании функций и^ € С2'а(Иг(г)), г = 1, 2 удовлетворяющих следующей краевой задаче:

х

Рис. 3

= 0 в И'"(г') г = 1,2.

(П) (12)

F{2): (13)

du{l)/dn = f на 5 при В С L{i\ (14)

sup |Vu(l)| < со г = 1.2. lim |Vu(i)| = 0 г =1.2, (15)

„•(,, Z—(-ОС

Здесь п - единичная нормаль к 5. направленная во внешность В. а и - положительный параметр.

При / = L'cos(ti,.t) и v = gU~2 эта задача описывает установившееся движение в жидкости двумерного твердого тела В с постоянной скоростью U. направленной вдоль оси абсцисс (д - ускорение силы тяжести). Функция и^ (и1-2)) представляет собой потенциал скоростей установившегося движения верхней (нижней) жидкости в связанной с цилиндром системе координат. Очевидно, что функции и'1' и и'2' определены с точностью до произвольных постоянных, которые могут быть различными.

Решение приведенной задачи имеет различную асимптотику на бесконечности в зависимости от того, превосходит ли и критическое значение и, = (1 + г)¡eh. С гидродинамической точки зрения при и = и, происходит смена режимов обтекания: если V > иж (т.н. докритический режим), то далеко за телом наряду с поверхностными волнами с волновым числом v имеются также волны на границе раздела с волновым числом uq, которое является положительным корнем уравнения Q(v0) = 0. Здесь

Q(k) = (1 + е)к + (к - si') tanh(fcfc).

Если и < и, (закритический режим), то внутренние волны на бесконечности за телом отсутствуют.

Второй параграф посвяшен функции Грина - потенциалу скоростей. описываюшму движение жидкости, вызванное точечным источником. Последняя строится для всех возможных случаев расположения источника и точки, в которой функция Грина вычисляется. Проведена регуляризация расходящихся интегралов. построены асимптотики функций Грина на бесконечности.

Данные рассмотрения уточняют результаты работ 8 и 9, в которых функции Грина не регуляризованы, а для функции Грина с источником в верхнем слое пропущен существенный линейный член.

В третьем параграфе строится интегральное представление и асимптотики решения в дальнем поле. Рассмотрение базируется на вспомогательном утверждении, которое описывает общий вид потенциалов скоростей для свободного установившегося потока двуслойной жидкости и представляет самостоятельный интерес. А именно, пусть потенциалы и^ € С2(Х(')), г = 1,2 удовлетворяют условиям (12), (13) и

V2u(0i} = 0. в L{i\ sup |Vuq< ос i = 1.2.

LO

Тогда

«¡^(я, у) = k[1] + k[1]x + k^^ + + H(v - v.)

x {k3eil'°T + [1 + cosh(^,ff) + sinh(i/02/)}

n{2)(x. y) = k[2) + k(22)x + fcxe"^4") + k2el/(y-ix] +H(v - i/,){fc3eMy+ll) +

( i) i i)

где k\', k2 , k\, к2, k3 ж - произвольные комплексные постоянные.

Последнее утверждение используется для доказательства единственности решения задачи о движении источника и для вывода следующего интегрального представления: Пусть и^ £ C2'°(W(*)), 0 < а < 1, i = 1,2 является решением

8ВойЦЕНЯ B.C., О поступательном движении тела над поверхностью раздела двух жидкостей//Изв. вузов. Математика, 1963, № 2, С. 262-270.

" ВойЦЕНЯ B.C., Плоская задача о поступательном движении тела под

поверхностью раздела двух жидкостей//Труды Новочерк. политехи, инсти-

тута, 1959. Т. 104, С. 95-111.

задачи (11)—(1 о). Тогда

дп^ опс_

d,v + с,

где г € И"'1', В С L^K Для функции Грина использовано обозначение Здесь индекс ? показывает в каком слое - верхнем или нижнем - находится точка (х, у), в которой вычисляется функция Грина, а индекс j совпадает с номером слоя, в котором находится источник, то есть (х.у) € L^) и (£,??) €

Из интегрального представления и асимптотик функции Грина на бесконечности с учетом условий (12). (13) получены асимптотики решения в дальнем поле, которые имеют следующий вид:

и[1](г) = С± + ^'>(г) + Я (- х) {(Л sin их + В cos их) б1 + Н(и - I',) [(1 + £ - £V¡ u0) cosh и0у + sinh Voy] х (Aos'm i/qx + B0cosv0x)}. (16)

M<2)(r) = c2 + г^'(г) + H(-x){(Ashii>x + Bcosux)cl,y

+ H(v- vr)(Ao sin vqx + Bq eos U(¡x)e"oy}.

117)

где С± и Сг - константы, и справедливы оценки = 0(|г| = 0(|~~Г2), ¿=1,2. Когда В С коэффициенты в (16) и (17) задаются формулами:

А _

2 "

Л 2

где

,(Л

(х.у)

деиу cos их

дп

х, у) дп

ds.

О dC{0j](y)cosuox и) ди^(х.у) lV'(x.y)---—--CZ'(у) COS Vox-

дп

дп

ds.

С( 1) = + С(2) = _(1 + г)((

.2 i>h

\-1

С?\у) =

у cosh vp( у - h) + i'o sinh щ(у - h) (и - vq)Q'(uo) cosh v0h

и

(2) = {l+£)(v0-v tanh(i/p/t))

0 " - vo)Q'(i'o)

Через Q'(pо) обозначена величина

>{l + s)-sh(v + vo)2e-2voh

d_Q_ dk

k=vo ev-v0

Для получения В, Во слезет заменить cos на - sin в формулах для Л, Aq. Кроме того, если В С Ь^ имеет место соотношение

—zv

С+ - С_ =

Г Ыдх ди{1\ ;

1 + е - еик

иначе С+ — С_ = 0.

В § 4 для доказательства разрешимости задачи (11)-(15) для докритических и закритических значений скорости развивается метод, предложенный в 10. Доказательство существования решения опирается на методы теории потенциала. Решение ищется в виде потенциала простого слоя, задача сводится к фредгольмо-ву интегральному уравнению с оператором, аналитически зависящим от двух параметров. Показано, что при стремлении одного из параметров к нулю или бесконечности предельное интегральное уравнение однозначно разрешимо (при всех значениях второго параметра за исключением счетного множества). Далее ссылка на теорему об обращении оператор-функции, аналитически зависящей от параметра, позволяет сделать вывод о конечно-мероморфности резольвенты как функции параметра. Новым по сравнению с работой Б.Р.Вайнберга и В.Г.Мазьи является то, что интегральный оператор зависит аналитически от двух параметров. Результат работы 11 позволяет точнее описать множества возможных полюсов резольвенты.

10ВаЙНБЕРГ Б.Р.. Мазья В.Г.. К плоской задаче о движении погруженного в жидкость тела//Труды Моск. матем. общ. 1973. Т. 28 С. 35-56.

11 Крейн С.Г.. Трофимов В.П. О голоморфных оператор-функциях нескольких комплексных переменных//Функц. анализ и его прил. 1969 Т. 3. № 4. С. 85-86.

В пятом параграфе доказана теорема единственности решения задачи Неймана-Кельвина для двуслойной жидкости. Следуя работе 5, для доказательства единственности рассматривается задача с обратным направлением потока и строится интегральное тождество, связывающее решения с прямым и обратным направлением течения, из которого следует единственность решения при тех значениях параметров, при которых разрешимы интегральные уравнения этих задач.

В шестом параграфе получена формула, выражающая волновое сопротивление цилиндра в двуслойной жидкости через коэффициенты волновых членов в асимптотических формулах (16). (17):

Л = Це + е2»к) (л2 + В2) - Н(и - и.) (18)

р2е{у - Up)

4

v sh{v + vo)a~2u°h'

v + vо 1 +

(Ио]2+ [Я

ol2

Легко проверить, что при с — 0 формулы для Л переходят в выражение, которое хорошо известно в теории волнового сопротивления для однородной жидкости .

Показано, что формула (18) может быть записана в виде

Л = - н{1/ - (19>

где с (со) - групповая скорость поверхностных (вн)гтренних) волн, уносящих энергию на бесконечность позади тела, а Ё (Ё0) - среднее значение энергии поверхностных (внутренних) волн на единицу площади.

Формула (19) обобщает на случай двуслойной жидкости соотношение Я — —Е(и — с)/и, которое имеет место для случая движения цилиндра в однородной жидкости (см. 13).

12Кочин Н.Е.. О волновом сопротивлении и подъемной силе погруженных в жидкость тел // Тр. конф. по теории волнового сопротивления. М ЦАГИ. 1937. с. 65-134 (см. Собр. соч. Т 2, М.:Л.: АН СССР. 1949, С. 105-182).

13Lamb, Н., Hydrodynamics, Cambridge University Press, 1932.

Основное содержание диссертации изложено в работах:

1. Kuznetsov N.G., Motygin O.V. On the two-dimensional Neumann-Kelvin problem for a tandem of surface-piercing bodies. // Asymptotics in Mechanics, Abstracts of Int. ConfSt.Petersburg Marine Tech. University, 1994, pp. 61-62.

2. Кузнецов Н.Г., Мотыгин O.B. О волновом сопротивлении тандема полупогруженных тел. // Вычислительные технологии, Новосибирск, 1995, Т. 4, № 11, С. 154-163.

3. Motygin O.V., Kuznetsov N.G. The 2-D Neumann-Kelvin problem for a surface-piercing tandem. // Proc. of lOih Workshop on Water Waves and Floating Bodies, Oxford, 1995, pp. 181-186.

4. Кузнецов Н.Г., Мотыгин O.B. О постановке плоской задачи Неймана-Кельвина, описывающей движение тандема полупогруженных тел без сопротивления. // Тр. мемсдунар. симпозиума по гидродинамике судна, посвященного 85-летпию A.M. Васина. С.-Петербург, 1995, С. 154-162.