Численное решение краевых задач для телеграфного уравнения методом потенциалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Львівський державний університет імені Івана Франка

Л

... - На правах рукопису

Переймибіда Андрій Андрійович

ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ТЕЛЕГРАФНОГО РІВНЯННЯ МЕТОДОМ ПОТЕНЦІАЛІВ

01.01.07 - обчислювальна математика

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Львів -1997

Дисертацією с рукопис.

Робота виконана а Львівському державному університеті імені Івана Франка.

Науковий керівник: кандидат фізико математичних наук, доцент Хапко Роман Степанович

Офіційні опоненти:

1. доктор фізико-математичких наук, професор Володимир Леонідович Макаров, Київський Національний університет;

2. кандидат фізико-математичних наук, доцент Іван Іванович Дияк, Львівський державний університет імені Івана Франка.

Провідна організація: державний університет “Львівська

політехніка”, кафедра обчислювальної математики та програмування.

Захист відбудеться “/2.$" 19S7 року о на

засіданні спеціалізованої вченої ради К 04.04.05 при Львівському державному університеті імені Івана Франка за адресою: 290602, м. Львів, вул. Університетська, 1, ЛДУ, ауд. 261.

З дисертацією можна ознайомитз;сь у бібліотеці Львівського державного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий 1997 року

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради

Остудін Б. А.

Надруковано в поліграфічній фірмі “ТРІАДА ПЛЮС Спосіб друку офсетний. Папір офсетний.

Тираж 100 примірників.

Тел.: (380-322) 72-34-60 Тел.-факс: (380-322) 74-01-59.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Наближене розв’язування зовнішніх початково-крапових задач для телеграфного рівняння складає важливу гтаобле.му б обчислювальній математиці та різких прикладних застосуваннях Пе викликано з одного боку тіш, що при чисельному розв’язуванні таких нестаціонарних задач виникають труднощі, пов’язані з їх розмірністю та складністю області, де шукають розв’язок. З другого боку початково-крайові задачі для телеграфного рівняння найбільш адекватно з лінійних математичних моделей описують ваислпві реальні процеси (теплопровідність, дифракція, гідроакустика і т.д.).

Зведення при чисельному розв'язуванні вихідної нестаціонарної задачі до граничних інтегральних рівнянь (ІР) (наприклад, з допомогою потенціалів) кас ряд суттєвих переваг порівняно з іншими методами. По-перше, інтегральне представлення розв’язку точно задовольняє диференціальному рівнянню і початковим умовах, по-друге, задача зводиться до визначення невідомої функції (густини) лите на границі області, що суттєво зменшує складність алгоритму та його реалізацію.

З даний час ка основі такого підходу е роботах Белокосова С. М., Бережанської 3. С., Бреббія К, Гладксва А. А., Захароза Е. В., Сафронова С. І., Людкевича Й. В., Музичука А. О., Пасічника Р. М., Хапка Р. С., Хуторянського Н. М., Турил она В В., Арнольда (АгпоИ В.М.), Нона (Маоп РЛ), Костабеля (Costa.be! М.), Любіча (ЬиЬісЬ СЬ,) і ін. розроблено ряд алгоритмів наближеного розв’язування початково-крайових задач для рівнянь теплопровідності та хвильового. Через складність фундаментального розв’язку телеграфного рівняння, а одже й ядра відповідного інтегрального рівняння, цей підхід до початково-крайозих задач для телеграфного рівняння до цього часу не використовувався. Тому важливим є з'ясування наступних питань: коректності відповідних гранично-часових інтегральних рівнянь типу телеграфного потенціалу; розробки методів їх наближеного розв’язування; обгрунтування розв’язності отримуваних проміжних задач; створення ефективного комплексу прикладних програм на базі

пропонованого методу; проведення розрахунків важливих практичних задач.

Стан проблеми. Як правило, для наближеного розв'язування нестаціонарних задач використовують класичні чисельні методи, як метод сіток (Никитенко Н. И., Самарский А. А. та ін.) або метод скінчених елементів (Морган К, Зенкевич О., Шинкаренко Г. А. та ін.). Однак розмірність зовнішніх задач та необмеженість просторової області, де шукають розв’язок, суттєво звужують область застосування цих методів. Тому більшість із методів наближеного розв’язування зовнішніх нестаціонарних задач базується на використанні граничних інтегральних рівнянь. їх використання може здійснюватись безпосередньо до вихідної задачі через відповідне інтегральне представлення розв’язку (наприклад, через потенціали) або після застосування того чи іншого інтегрального перетворення по часу. Комбінація методів інтегральних перетворень по часу та інтегральних рівнянь з використанням перетворення Лапласа застосовувалась в роботах Брілла (Briila J.), Бреббія (Brebbia С.) та інших, перетворення Лагерра - в роботах Галазюка В. А., Музичука А. О., Хапка Р. С., Скасківа Р. Б. Однак для цих інтегральних перетворень виникають значні проблеми із знаходженням прообразу по знайдених наближених значеннях зображень. Застосування методу інтегральних рівнянь до початково-крайових задач можливе й після їх дискретизації методом Роте (Пасічник Р. М., Хапко Р. С., Бреббія (Brebbia С.)). Такий підхід дає можливість знайти наближений розв’язок для невеликого проміжку часу і має суттєві обмеження на крок по часу. В работах Гаврилюка І. П. та Макарова В. Л. розвивається новий підхід для розв’язування нестаціонарних задач, що грунтується на перетворенні Келлі.

У даній роботі розглядається метод, що базується на застосуванні потенціалів для розв’язування зовнішніх початково-крайових задач для телеграфного рівняння.

Метод потенціалів є добре відомий для стаціонарних задач. Різні аспекти його розв'язування викладені в роботах Людкевича Й. В., Гордійчука В. І., Чухлебова А. Н., Бреббія (Brebbia'С-), Кресса (Kress R.)

з

та і и. Для рівняння теплопровідності застосування методу теорії потенціалів розглядається у роботах Бережанської 3. С., Еєлоносова С. М., Овсієнко В. Г., Карачуна В. Я. та ін.; зовнішні крайові задачі для хвильового рівняння методом потенціалів розв’язувались Пасічником Р. М., Хуторянським Н. М., Туріловим В. В., Бреббія (ВгеЬЬіа С.) та ін. Новіков І. А. запропонував знаходження потенціалів для телеграфного рівняння на основі деякої комбінації методу інтегральних перетворень та методу потенціалів; а саме: використовуються деяке інтегральне перетворення і відоме представлення потенціалів для отримуваних рівнянь в просторі зображень.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка та дослідження методу чисельного розв’язування крайових задач для телеграфного різняння шляхом зведення їх до гранично-часових інтегральних рівнянь типу, телеграфного потенціалу, а також проведення чисельних експериментів для визчення ефективності пропонованого методу.

Для досягнення постазленої мети в роботі розв’язувались такі проблеми:

• побудова та дослідження гранично-часових інтегральних рівнянь для початково-крайових задач для телеграфного рівняння;

• дослідження розв’язності побудованих ІР та розробка методу їх наближеного розв’язування;

• створення програмного комплексу для вирішення поставлених задач (плоский та осесиметричний випадок);

• проведення обчислювальних експериментів для модельних і практично важливих задач та порівняння отриманих результатів з результатами отриманими іншими методами.

Загальна методика дослідження. Використовується інтегральне перетзорення Лапласа до вихідного різняння по часовій змінній для переходу у простір зображень (з використанням початкових умов). Будується потенціал простого чи подвійного шару для отриманої стаціонарної задачі. Для відомого інтегрального представлення у

просторі зображень застосовується обернене інтегральне перетворення. Таким чином, отримується деяке інтегральне представлення розв’язку вихідної задачі у просторі оригіналів, яке називають відповідним потенціалом. Показується, що такий потенціал володіє властивостями, схожими з властивостями потенціалів для стаціонарних задач. Використовуючи граничну умову отримується І? еквівалентне вихідній диференціальній задачі.

В результаті за рахунок того, що невідома функція (густина) з ІР шукається на границі, розмірність вихідної задачі понижується на одиницю. Дальше чисельно розв’язується отримане ІР.

Існування розв’язку гранично-часового ІР першого роду у відповідних гільбертових просторах показується через перехід в простір зображень по Лапласу. -

Чисельне розв’язування отриманого гранично-часового ІР здійснюється з допомогою методу колокації за часовою змінною, що приводить до послідовності ІР Фредгольма першого роду з логарифмічною або слабкою особливістю та методу колокації по просторових координатах.

Зв’язок роботи з науковими програмами. Тематика дисертаційної роботи відповідає тематиці кафедри обчислювальної математики Львівського державного університету імені Ізана Франка по чисельних методах розв’язування граничних задач математичної фізики 'і виконувалась по державному плану науково-технічних робіт.

Наукова новизна одержаних результатів:

• розроблено підхід для чисельного розв’язування першої

початково-крайової задачі для телеграфного рівняння шляхом зведення її до гранично-часового ІР типу телеграфного потенціалу; -

• показано існування розв’язку отриманого ІР першого роду, яке Фредгольмове по декартових координатах та Вольтеррове за

. часовою змінною;

• проведено часткову дискретизацію гранично-часових ІР по часовій змінній і досліджено розв’язність отриманої

послідовності І? Фредгольма 1-го роду (плоска задача) в просторах Соболева;

• на основі методу колокації побудовано алгоритми наближеного розв’язування послідовності ІР Фредгольма 1-го роду з слабкою особливістю для просторового, осеслметричного та плоского випадків;

• створено комплекс програм для чисельного розв’язування початково-крайових задач для телеграфного рівняння у плоскому та осесиметричному випадках, що реалізує запропонований підхід;

• проведено значну кількість обчислювальних експериментів та розрахунки модельних і практично-важливих задач у випадках незамкнених та розімкнених поверхонь різної конфігурації, а також зроблено порівняння методу на основі теорії потенціалів та методу, що грунтується на інтегральному перетворенні Чебишова-Лагерра.

Практичне значення одержаних результатів. Практична цінність роботи полягає у побудові методу розв’язування важлизих початково-крайових задач для телеграфного рівняння; у проведенні теоретичних досліджень коректності отриманих ІР. Використання розробленого методу дає можливість розв’язувати практично важливі задачі не лише типу Діріхле але й інші. Створений комплекс прикладних програм може використовуватись при чисельному дослідженні нестаціонарних полів різної фізичної природи.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались і були апробовані на семінарах кафедри обчислювальної математики та наукових конференціях Львівського держазного унізерситету імені Івана Франка (1991-1996), на Всеукраїнській науковій конференції “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях” (Львів, 1994-1996), на Міждержавній науково-практичній конференції творчої молоді “Актуальні проблеми інформатики” (Мінск, 1994) та на конференції “Інформатика,

обчислювальна і прикладна математика: теорія, застосування,

перспективи” (Київ, 1996). , .

Публікації. Основні результати досліджень відображені у 9 статтях та тезах доповідей наукових конференцій.

Структура дисертації, робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку цитованої літератури та додатку. Вона містить 149 сторінок машинописного тексту (в тому числі 10 сторінок -додаток), 15 таблиць та 32 рисунки. Список цитованої літератури включає 98 найменувань.

Основний зміст дисертації

У вступі дисертаційної роботи обгрунтована актуальність розглядуваної теми. Охарактеризовано сучасний стан проблеми, що складає предмет досліджень. Наведена анотація дисертації по розділах.

Перший розділ присз’ячений розгляду фізичних процесів, що приводять до крайової задачі для телеграфного рівняння, постановці задачі та зведенню її до відповідного ІР у просторовому та плоских випадках. . .

У першому параграфі цього розділу формулюється зовнішня початково-крайова задача з однорідними початковими умовами для телеграфного рівняння у просторовому випадку.

Нехай у і?3 задана необмежена область О, така що її доповнення є обмеженим і однозв'язним та його границя 5 належить класу С~.

Необхідно знайти таку функцію єС2(Цх)пС1(Ц33), де

Цж = О х (0,сс), що задовольняє телеграфне рівняння 1 д2и Іди

ТТ + ТТ = Лм в (^)

а ЗІ1 Ьдг

{де а>0, Ь>0) , однорідним початковим умовам

и{х,Щ = —(х,0) = 0, х£І) (2)

Ьі

і граничній умові '

и(х,і) = Р(х,1), хе 5, / > 0, (3)

де Р(хЛ) є деяка достатньо гладка функція, що задовольняє умові

узгодженості

Будемо також вважати, що и(х,1) прямує до нуля при прямуванні точки спостереження л: у нескінченність і, також,

|и(х,г)| = 0(еса), /->оо, а>0, Уяєі). (5)

У цьому ж параграфі розглядаються фізичні процеси, математичні моделі яких описуються телеграфним рівнянням: в одновимірному випадку - поширення електромагнітних хвиль у телеграфних проводах; у трьохзимірному випадку: тепломасоперенсс' з врахуванням скінченкості швидкості поширення тепла (на відміну від класичного рівняння теплопровідності, що грунтується на гіпотезі Біо-Фур’є про пряму пропорційність теплового потоку градієнту температури); поширення акустичних хвиль у середовищі з поглинанням; поширення електромагнітних хвиль у однорідному середовищі при відсутності зарядів і при виконанні закону Ома.

У другому параграфі вводиться поняття поверхневих потенціалів для телеграфного рівняння (за допомогою перетворення Лапласа) та знаходиться їх конкретне представлення.

У третьому параграфі приводяться фундаментальні розв’язки

для телеграфного різяяння у плоскому та просторовому випадках * * /

сЬ

я, (і. 7) = £+ (;--)-а

Г --

-р г

■З

4 хг

+Л-Е. 4па

■н

і V а

і досліджуються деякі їх властивості. Тут 5^(г) - асиметрична функція Дірака, £+(г) - функція Хевісайда, І\(:) - модифікована

Функція Бесселя, я = - —. .

2а

■>

Доводяться теореми про неперервність потенціалу простого шару для телеграфного рівняння у просторовому та плоскому.випадках при переході через граничну поверхню, иа основі яких вихідна початково-крайова задача зводиться до відповідних ІР, які є типу Фредгольма по просторових координатах та Вольтєрра за часовою змінною.

Теорема. Потенціал простого шару для телеграфного рівняння з ядром gn{t,r) (п=2,3), є розв'язком задачі (1)-(5), якщо його густина є

розв’язком інтегрального рівняння першого роду:

Я1 сО’>')(г _!Л'“>1)^^КУ) = і), х с Л'\ і > 0- (6)

з о •

У четвертому параграфі досліджується отримане ІР (6) (еквівалентне вихідній задачі) і вказуються умови його розв’язності у відповідних просторах Соболева. Зокрема доводиться таке твердження: Тгорг.па. ІР (6) має єдиний розв’язок с(л',/) еН^{о,Т,Н~1/2(Зх^ для

всіх Дл-,0 єЯ0г+2(о,Г;Яі/2(£)). .

У другому розділі більш детально розглядається початково-крайова задача для телеграфного рівняння у. плоскому випадку. Будується метод чисельного розв’язування такої задачі за допомогою ІР отриманого у попередньому розділі у випадку замкненого та розімкненого контурів. Проводиться дослідження дискретизозаної послідовності ІР до якої зводиться вихідна задача.

У першому параграфі до отриманого ІР (6) застосовується дискретизація за часовою змінною, яка дозволяє понизити розмірність ІР на одиницю. Дискретизація проводиться на основі кусково-постійної апроксимації невідомої густини вихідного ІР за часовою змінною з рівномірним кроком. У результаті приходимо до послідовності ІР Фредгольма першого роду з однаковим ядром

/ М л (У) &о (г)аі(у) =Р(і,х) - £ | д* (у) £>я_* (г) с!1{у), Г > 0, (7)

І к=И

х є Ь с Я2, п =.1,2,..., де ц„(х) - невідомі густини п-го ІР послідовності; Ь - крива на площині -і0г2, отримана при перетині поверхні 5 площиною Г3 = 0; Д (г) (і=0,1.2,...)- обчислюються аналітично ■

s

A)('r) = Ejt-r)*1"

Lb + yfif:'ri

Ft(r) + F:(rji,r)'

.1

( j*+J3C7

= F{ (r) t F, (a,, г,, л) m > 0,

Fh /s - достатньо гладкі функції, A, - крок розбиття по часу,

а, = от/г,, 1\ = (т + !)/ь, т- jx - ;►].

Там же показується, що потенціал простого шару для телеграфного рівняння у плоскому випадку має логарифмічну особливість.

Для наближеного розв’язування IP Фредгольма 1-го роду, які ми отримали вище можна використовувати різні проекційні методи. Проблемами їх застосування, аналізу збіжності та оцінки похибки займались такі автори: Арнольд (Arnold D. N.), Костабель (Costabel М.), Вендланд (Wendland W. L.), Kpec (Kress R), Прьосдорф (Proessdorf S.), Саранен (Saranen J.), Слоан (Sloan I. H.), Чухлебов A. H., Людкезич Й. В., Захаров E. В. та інші.

У другому параграфі цього розділу для розв’язування отриманої послідовності І? (7) здійснюється параметризація цих рівнянь і застосовується метод колокації. З результаті вихідна задача зводиться до послідовності систем лінійних алгебраїчних иізнянь.

/„(v) = F(t„,L(v))\ Vj - точки розбиття кривої; V,- - точки колокації

За рахунок рівномірного кроку за часом у всіх цих системах матриця одна і та ж, а потрібно перераховувати лише праві частини, у яких міститься інформація про розв’язки отримані ка попередніх кроках.

(і- 1,2,...,Л\,).

У цьому ж параграфі методом Канторовича проводиться виділення логарифмічної особливості у деяких коефіцієнтах матриці систем рівнянь (8), яка виникає за рахунок особливості в ядрах послідовності ІР.

У третьому параграфі на основі теорії Рісса-Шаудера проводиться дослідження параметризовано! послідовності ІР, які ми розв’язували у попередніх параграфах, на предмет існування розв’язку та доводиться таке твердження:

Теорема. Кожне інтегральне рівняння із послідовності (7) має єдиний розв’язок ск є Я?[0;2~], коли /к є Нрт,[0;2~].

Дальше, у четвертому параграфі цього розділу, розглядається випадок розімкненого контуру. Тоді на кінцях граничної кризої виникає коренева особливість в густині ІР. Запропоновано методику її виділення за методом Канторовича. .

У третьому розділі роботи розглядається чисельне розв’язування першої крайової задачі для телеграфного рівняння з однорідними початковими умовами у суттєво-просторово^ та осесиметричному випадках.

Перший параграф розділу присвячений] як і в попередньому розділі, дискретизації вихідного ІР (6), але тепер у просторовому випадку.

У результаті дискретизації отримується, на відміну від плоского випадку, послідовність двовимірних І? за просторовими координатами

Я сгя0')#о('')‘*0’)= Т.ї!стк(У)Нп-іс(г) £•!(}■), (9)

5 *»15 •

(т+1)^

де п = 1,2, ...Ы,, нт{т)= |£з(т,/-)Л,т=0,],2,... .

тл,

Ядра Нт(г) послідовності ІР (9), що отримані при кусково-постійній апроксимації невідомої густини за часом, також обчислюються аналітично. На основі проведених досліджень робиться висновок про слабку сингулярність у ядрі вихідного ІР.

и

У другому параграфі третього розділу розмірність ІР (9) понижується за рахунок врахування осьової симетрії. Шляхом введення циліндричної системи координат, з (9) отримаємо послідовність одковимірних ІР, ядра яких виражаються через неповні еліптичні інтеграли першого роду.

У третьому параграфі ця послідовність одновимірних ІР розв’язується методом колокації (як і в плоскому випадку). Тут же показується наявність у ядрах послідовності ІР осесиметричного випадку логарифмічної особливості та проводиться її виділення методом Канторовича. Розглядається випадок розімкнененої осесиметричної поверхні

У четвертому параграфі розглядається метод граничних елементів для розв’язування дискретизовано! послідовності ІР для суттєво-просторової задачі Поверхню інтегрування Я у послідовності двовимірних ІР розбиваємо на об’єднання елементів, і вважаємо, що невідомі густини на цих елементах - постійні. Далі задовольняючи апроксимаційні рівняння в деякому наборі точок на поверхні (метод колокації) отримаємо послідовність систем лінійних . алгебраїчних рівнянь з однаковою матрицею. У цій матриці в діагональних елементах виникає особливість, яку виділяємо за методом Канторовича, попередньо привівши підінтегральний вираз до зручного вигляду. Цей же метод розв’язування вихідної задачі застосовний і для розімкненої поверхні, з врахуванням того, ідо на краях поверхні 5 виникає коренева особливість.

У четвертому розділі роботи приведені чисельні результати для плоского та осесиметричного випадків, що отримали реалізацію у комплексі програм (КІР - ТеЮ.

шляхи їх виріше . 4 ж а 4_____ исано основні

програми комплексу ТеЮ для розв’язування початково-крайових задач для телеграфного рівняння, а саме: програма-оболонка для

формування основного виконавчого модуля, що розв’язує потрібну задачу (для плоского чи осесиметричного випадків; із заміненою

У першому

проблеми та

граничною умовою чи параметричним представленням границі; для розімкненої чи замкненої поверхонь тощо); програми для тестування отриманих результатів та їх візуалізації і ін.

У другому параграфі розділу описано отримані за допомогою КП ТеЮ результати, які демонструють можливості пропонованого алгоритму та свідчать про його достовірність. Окремо приведено результати для плоского та осесиметричних випадків. Наведено задачі, на яких демонструється стійкість та збіжність алгоритму. Досліджено апостеріорну похибку методу за допомогою розрахунків поля у проміжних точках у порівнянні з заданим значенням ка границі Порівняно результат отриманий КП ТеЮ з результатами отриманими за допомогою інших методів (плоский випадок). Для осесиметричного випадку проведено порівняння з відомим аналітичним розв’язком (для одиничної сфери) та проведено тест з виходом на стаціонарний режим і порівняно з розв’язком відповідної задачі Діріхле для рівняння Лапласа.

У третьому параграфі розглянуто деякі практичні задачі та результати їх розв’язування. Для плоского випадку досліджено вплив коефіцієнтів рівняння на результуюче поле. Для осесиметричного -розглянута задача про падіння плоскої хвилі для різних конфігурацій границі та при різних коефіцієнтах вихідного рівняння; задача поширення хвиль випромінюваних деякою поверхнею утвореною обертанням замкненої чи розімкненої кривої навколо осі 02.. Отримано результати розв’язування осесиметричної задачі на еліпсоїдах з однією піввіссю прямуючою до куля і проведено порівняння з результатом для диска. '

У додаток винесено більш детальний опис: основної програми комплексу ТеЮ, на якій побудовано всі інші програми, з характеристикою модульної структури програми; принципів роботи з великими масивами, що реалізовані у комплексі; структур задания даних для основної програми тощо.

13

Висновки

З роботі розглянуто зовнішню першу початково-крайову задачу для телеграфного рівняння. Використання теорії потенціалів дозволило звести вихідну задачу до гранично-часового ІР, для якого здійснено обгрунтування коректності. Подальше використання дискретизації за часовою змінною дало мо:кливість понизити розмірність вихідного ІР на одиницю та редукувати його до рекурентної послідовності ІР Фредгольма 1-го роду. У роботі знайдено вигляд ядер цих ІР та досліджено їх розв’язність у плоскому випадку. При наявності осьової симетрії у вихідній задачі отримано послідовність одновимірних ІР. Подальше застосування методу колокації до одновимірних ІР приводить до послідовності систем лінійних алгебраїчних рівнянь з особливостями у коефіцієнтах матриці, що виділяються методом Канторовича. Двовимірні ІР суттєво-просторової задачі розв’язують методом граничних елементів.

Розглянуто ряд модельних та практично важливих задач, шо демонструють достовірність та дієвість запропонованого методу. Проведено порівняння результатів чисельного розв’язування нестаціонарних задач отриманих викладеним методом з результатами знайденими іншими методами та з аналітичним розв’язком у випадку сфери.

Використання пропонованого підходу дає можливість розв’язувати практично ваясливі задачі не лише типу Діріхле але й інших типів. Для цього необхідно використовувати відповідні потенціали чи їх комбінацію. '

Залишається важливою проблемою дослідження стійкості та оцінок похибок методу та використання фінітних базисних функцій більш високого порядку при апроксимації розв'язків ІР.

Також представляє інтерес розробка програмного комплексу для розв’язування початково-крайових задач для телеграфного рівняння у суттєво-просторовому випадку для поверхонь складної конфігурації.

Таким чином дана робота е важливим дослідженням одного з методів наближеного розв’язування складних нестаціонарних задач математичко! фізики

Список опублікованих автором праць за темою дисертації

1. Хапко Р. С., Переймиоіда А. А. Чисельне розв'язування одного гранично-часового інтегрального рівняння типу телеграфного потенціалу. //Вісн. Львів, ун-ту. Сер. мех.-мат. 1991, Еип. 35, С. 87-89.

2. Переймиоіда А. А., Хапко P. С. Про один алгоритм

розв'язування осескметричних початково-крайових задач для гіперболічного рівняння теплопровідності методом потенціалів. //Вісн. Львів, ун-ту. Сер. мех-мат. 1995, Вип. 42. С. 27-32. .

3. Хапко Р. С., Переймибіда А. А. Метод потенціалів

розв’язування початково-крайових задач для телеграфного рівняння на площині //Теоретич. електротехніка. 1996, їч53, С. 73-82.

4. Переймибіда А. А. Наближене розв'язування осесиметричних початково-крайових задач для телеграфного рівняння методом потенціалів. Львів, держ. ун-т.: Деп. в ДНТБ України 16.08.95. N195b -Ук95., 1995, 19с.

5. Хапко Р. С., Переймибіда А. А. Про використання методу граничних інтегральних рівнянь для наближеного розв'язування нестаціонарних рівнянь. Львів: Всеукр. наук. конф. "Застое, обчисл. техн., мат; мет. моделювання та мат. методів у наук, лосл”, 1995, С 93.

6. Переймибіда А. А. Про один алгоритм чисельного розв'язування початково-крайових задач для телеграфного рівняння в осесиметричному випадку. Львів: Всеукр. наук, конференція "Застое, обч. тех., мат. модел. та мат. мет. у наук, досл.", 1994, С. 64.

7. Переймибіда А. А., Хапко Р. С. Про деякі аспекти програмної реалізації чисельного розв’язування нестаціонарних задач. Львів: Всеукр. наук, конференція “Застос. обч. тех, мат. ьпдел. та мат. мет. у наук, досл.", 1996, С. 69.

8. И е р ей мы 5 и да А. А. О разрешимости интегрального уравнения

первого рода при численном решении начально-краеЕых задач для телеграфного уравнения. К: Информатика, вычислительная и

пршсладкая математика: теория, приложения, перспективы. Тезисы докладоЕ, 1996, С. 45-16.

9. Переймыбида А. А., Хапко Р. С. О численном решении начально-краевых задач для телеграфного уравнения методом потенциалов. Минск: Матер. Межгосуд. науч.-прак. конф. творческой молодежи "Актуальные проблемы информ.", 1994, С. 268-269.

Особистий внесок претендента. Всі результати, що складають основний, зміст дисертаційної роботи, отримані автором самостійно. В публікаціях, які написані з співавторстві, дисертантові належать: у праці [1] - вивід основних співвідношень; [2,3] - вивід основних співвідношень, побудова розв’язку та програмна реалізація; [5] -частина, що стосується методу теорії потенціалів; [7] - принципи побудови програмного комплексу та програмна реалізація; [9] -теоретичне обгрунтування розв’язності послідовності інтегральних рівнянь Фредгольма 1-го роду з логарифмічною особливістю в ядрі.

Переимыбида А. А. Численное решение краевых задач для телеграфного уравнения методом потенциалов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.07 - вычислительная математика. - Львовский государственный университет им. Ивана Франко, Львов, 1997.

Диссертация посвящена разработке и исследованию метода приближенного решения краевых задач для телеграфного уравнения. Метод построек с использованием теории потенциала для нестационарных уравнений и приводит к соответствующему интегральному уравнению которое фредгольмовс по-пространственным переменным и вольтерровэ - по-времени. Исследованы вопросы разрешимости задач пслученых ка отдельных этапах решения исходной задачи. Предложенным методом решено ряд модельных и практических начально-краевых задач для однородного телеграфного уравнения в плоском и осесиметрическом случае.

Perejmybida А.А. A numerical solution of boundary problems for the telegrapher’s equation using the potentials method. A manuscript.

Thesis presented for the Degree of Candidate of Physics and Mathematics in speciality 01.01.07 - Computing Mathematics - Lviv State University named after Ivan Frankc. Lviv, 1997.

A method of boundary problems approximate solution for the telegrapher's equation has been developed making use of the potentials theory for nonstationary equations lending to the respective integra, equation which is Fremdholmian as to its spatial variables and Voiterranian by the time. Issues of the solvability of problems obtained in the course of solving the original problem are studied. This method was used to solve a number of modelling and practical initial-vame boundary problems for the homogenous telegrapher's equation in the planar and axial-symmetric case.

■ ІСлючоиі слова: початково-крайові задачі, телеграфне рівняння, метод потенціалів, потенціал простого шару, чисельні методи, інтегральні рівняння 1-го роду, метод колокації.