Численное решение нелинейных задач механики горных пород тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕШО-ДООРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИИ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД.

§ I.I. Основные зависимости метода конечных элементов

§ 1.2. Анализ напряженного состояния откосов, плотин (обзор)

§ 1.3. Исследование напряженно-деформированного состояния массива горных пород трапецио-дального профиля.

Выводы.

ГЛАВА П. ВЛИЯНИЕ ВРЕМЕНИ НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ

СОСТОЯНИЕ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД.

§ 2.1. Теоретические основы учета ползучести горных пород.

§ 2.2. Экспериментальные сведения о реологических свойствах горных пород.

§ 2.3. Метод непосредственного использования изохронных кривых ползучести для решения задач ползучести горных пород.

Выводы.

ГЛАВА Ш. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ГОРНЫХ ПОРОД И ГРУНТОВ

§3.1. Теоретические и экспериментальные зависимости напряжений в грунтах от их деформации

§ 3.2. Анализ напряженно-деформированного состояния грунтового массива трапевдодального профиля без учета влияния на кривую деформирования гидростатического давления

§ 3.3. Влияние гидростатического давления на деформируемость среды.

§ 3.4. Вариант неизобарической теории пластического течения.

Вывода.

ГЛАВА 1У. ЧИСЛЕННАЯ ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ МАССИВА ГОРНЫХ

ПОРОД.

§ 4.1. Аналитические подхода при изучении разрушения горных пород.

§ 4.2. Численный анализ разрушения массива горных пород трапециодального профиля.

Решение различных задач механики сплошных сред опирается на модельный метод исследования, в которых отражаются и идеализируются те или иные, наиболее существенные, стороны рассматриваемого физического процесса. Стремление как можно полнее изучить процессы разной природы и управлять ими, как известно, способствовало развитию механики деформируемых тел - теории упругости, пластичности, ползучести и совершенствованию* методов решения статических и динамических задач.

Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам прошлого столетия и связаны с именами Сен-Венана, М.Леви. В последующем это работы Г.Генки, Л.Прандтля, Р.Мизеса. Большой вклад в развитие теории пластичности был внесен советскими учеными Ю.Н.Работновым, А. А. Ильюшиным, Х.А.Рахма-тулиным, Г.С.Шапиро, В.Д.Клюшниковым и другими. В последние годы теория пластичности успешно применяется в механике горных пород и механике грунтов. В этой связи следует отметить имена ученых А.И.Боткина, С.С.Григоряна, М.П.Воларовича, М.Н.Гольдштейна, С.С.Вялова, И.В.Федорова, В.Н.Николаевского, Г.М.Ломизе, А.Л.Кры-жановского и многих других.

Общие теории ползучести для различных конструкционных материалов разработаны Ю.Н.Работновым, А.А.Ильюшиным и Б.Е.Победа, М.И.Розовским, Н.И.Малиншшм, А.Р.Ржаницыным и другими. Теория ползучести горных пород и грунтов разработана Ж.С.Ержадовым, С.С.Вяловым, С.Р.Месчяном, М.Н.Гольдштейном, Ю.К.Зарецким и др.

Реальный горный массив, в котором ведутся горные работы и возводятся сооружения различного назначения, характеризуется многообразием форм проявления физико-механических свойств и отличается разнообразием залегания слагающих его горных пород. Существуют различные подходы к решению задачи об анализе напряженно-деформированного состояния массива горных пород и грунтов. Обычно эти подходы основываются на экспериментах, проведенных над образцами. Однако, "не образец, а именно горный массив является основополагающим для многих вопросов механики горных пород" /106/, если имеется в виду конкретное приложение для исследуемой задачи. Одновременно с развитием экспериментальных исследований, предлагаемых на их основе моделей для описания процессов деформирования различных материалов, развиваются вычислительные методы. Современный арсенал вычислительных методов -прежде всего, метод конечных элементов - в настоящее время по своим возможностям опережает достижения в области механических испытаний грунтов и этим является мощным стт/улом для развития экспериментальных работ /76/. Уровень численных методов решения задач и современные экспериментальные исследования механических свойств различных горных пород и грунтов позволяет повысить точность анализа напряженного состояния и прогноза деформируемости сооружений. Это может быть достигнуто за счет отражения в расчетной модели ряда экспериментальных фактов, свойственных для деформируемости и прочности горных пород при пространственном напряженном состоянии, например, такие эффекты как нелинейная зависимость деформации объема и формы от суммы главных напряжений и от интенсивности касательных нацряжений. Точность прогноза может быть повышена, например, при использовании непосредственных результатов эксперимента без их предварительной математической аппроксимации, в частности, при расчетах на ползучесть.

Актуальность и цель исследования. Цри проведении открытых и подземных горных работ создаются обнаженные зоны, при которых возникают особые напряженные состояния, характеризующиеся возникновением очагов концентрации напряжения. В этих зонах располагается вероятная поверхность разрушения, объединяющая очаги концентрации напряжений. В то же время всесторонняя оценка устойчивости массивов горных пород невозможна без надлежащего анализа напряженного состояния. Определение распределения напряжений в массивах горных выработок является сложной задачей. Использование линейного закона деформирования при исследовании сооружений, сложенных из грунтов и горных пород не всегда дает правильную количественную картину напряженно-деформированного состояния массива. Однако такой подход наглядно отражает изменения напряженного состояния до начала появления остаточных деформаций /100/. Следует отметить, что горные породы по сравнению с металлами подвергаются большому изменению физико-механических свойств по времени, поэтому, наряду с привлечением аппарата теории упругости, актуальным является проведение расчетов с учетом ползучести. Большинство работ, изучающих явление ползучести горных пород, посвящены экспериментально^ определению параметров ползучести и на их основе построению математических моделей, описывающих деформацию во времени. Цри таком описании используются различные теории: теория течения, теория старения, теория наследственности и т.д.

Следует отметить, что развитие теоретических работ оказалось в определенном несоответствии с экспериментом в том смысле, что существующий экспериментальный материал не столь работ и представителен, чтобы на его основе с необходимой полнотой производить апробацию многочисленных теорий и их конкретизацию для реальных разновидностей грунтов /50/. С другой стороны, чрезмерная сложность указанных теорий затрудняет широкое их использование для решения конкретных прикладных задач. Вместе с тем, использование различных математических аппроксимаций кривых ползучести сопряжено с неточностями при описании результатов экспериментов. Поэтому создание методов решения задачи ползучести без использования математических аппроксимаций является предпочтительным и актуальным. Учет ползучести горных пород имеет большое значение для оценки устойчивости бортов карьеров, высоких плотин, подпорных и других сооружений. Особенно это важно при увеличении глубины разработок в связи с возрастанием действующих напряжений и увеличением периода необходимого обеспечения устойчивости бортов карьеров.

Анализ новых экспериментальных работ, появившихся в последнее время, вызвал появление большого числа исследований, в которых делаются попытки описать механическое поведение грунта различными вариантами моделей: упруго-пластической и пластической среды. В результате экспериментов была обнаружена зависимость деформации грунта от "историй" нагружения /68/. Обычно этот эффект на удается описать в рамках традиционных, опирающихся на конечные связи между напряжениями и деформациями, схематизации.

Экспериментальные работы, проведенные над грунтами, горными породами, обнаружили заметное влияние "гидростатического давления" на их деформируемость. Экспериментально показано, что пластические деформации обусловлены не только деформацией сдвига, но и влиянием объемного напряжения на появление и развитие нелинейных деформаций и, в свою очередь, видно влияние карательных напряжений на изменение объема. Связь между объемной деформацией и объемным напряжением существенно нелинейная. Обнаруженные эффекты требуют совершенствования моделей, описывающих деформирование грунтов и горных пород и методов расчета массива, сложенного из указанных материалов.

Обычно расчет грунтовых массивов проводится на основании теории предельного равновесия Кулона. Механизм такого описания связан с предположением, что с развитием напряженного состояния происходит локализация сдвиговых деформаций на некоторой поверхности, по которой и происходит разрушение. Представляется нереальным используемое допущение о том, что весь сползающий массив находится в предельном состоянии /50/. Для описания этого явления требуются улучшенные модели и методы расчета. Поэтому создание таких методов, позволяющих учесть напряженное состояние е> о исследуемого массива, является задачей актуальной.

Вышеприведенное многообразие свойств проявления деформируемости грунтов и горных пород и определили цель настоящей работы.

Целью данной работы является - анализ напряженного состояния массива, сложенного из горных пород, имеющего фора/у прямоугольной трапеции применением аппарата линейной теории упругости, разработка метода расчета горных пород на ползучесть, исследование напряженности расчетной области с привлечением теории пластического течения с упрочнением и учетом влияния всестороннего давления, разработка способа оценки на прочность исследуемой области с применением метода конечных элементов.

Новизна работы. В работе исследуется напряженно-деформированное состояние массива горных пород, имеющее форму прямоугольной трапеции, привлечением аппарата теорий упругости, пластичности и ползучести. При этом исследуемый массив был нагружен собственным весом, гидростатической нагрузкой приложенной с вертикальной стороны расчетной области и под совместным действием собственного веса и гидростатической нагрузки. Для каждой из этих нагружений были определены перемещения исследуемой области, которые качественно совпали с известными экспериментальными данными /20,163/. Автору неизвестны работы, посвященные определению перемещения для областей аналогичных рассматриваемому под действием гидростатической нагрузки и под совместным действием собственного веса и гидростатической нагрузки.

В данной работе впервые применен метод непосредственного использования результатов экспериментов для решения задачи ползучести горных пород, в частности, для исследования процессов деформирования исследуемой области.

Для анализа напряженно-деформированного состояния исследуемого массива также впервые применяется теория пластического течения с упрочнением. Экспериментальные работы показывают существенное влияние объемного напряжения на кривую деформирования. Впервые решена задача о напряженно-деформированном состоянии для трапециодальной области с учетом влияния объемного напряжения на кривые деформирования.

Анализ экспериментальных исследований и проведенный расчет позволили предложить новую модель теории пластического течения для описания деформирования горных пород и грунтов с учетом влияния гидростатического давления на кривую деформирования.

Предлагается разработанная методика расчета на прочность и на ее основе решена задача о разрушении исследуемого массива.

Достоверность результатов. Обоснование и надежность результатов подтверждаются их совпадением с известными экспериментальными и аналитическими решениями, подученными при решении задач об анализе напряженно-деформированного состояния массивов аналогичных рассматриваемому (плотин, откосов). При решении нелинейных задач результаты сравнивались с известными результатами экспериментальных работ проведенными над грунтами и горными породами.

- 10

Практическая ценность. Полученные результаты и использованные методы решения линейных и нелинейных задач об анализе напряженно-деформированном состоянии исследуемой области могут быть применены при строительстве и проектировании откосов бортов карьеров, гидротехнических, подпорных и других сооружений.

Настоящая работа состоит из 4 глав 222 страниц машинописного текста, 68 рисунков и списка используемой литературы.

В первой главе приведен небольшой обзор экспериментальных и аналитических работ по анализу напряженно-деформированного состояния плотин и откосов. Приведен используемый аппарат метода конечных элементов. В упругой постановке решается задача о напряженно-деформированном состоянии рассматриваемой области. Правильность применяемого метода проверялась решением известных простых задач на сжатие и изгиб стержня. При решении исследуемой задачи расчетная область находилась под действием собственного веса, гидростатической нагрузки. Собственный вес распределяется равномерно по узлам соединения элементов. Так же распределяется гидростатическая нагрузка. Для каждого случая нагружения отдельно определяются перемещения исследуемой области, деформации и напряжения. По результатам расчетов построено деформированное состояние исследуемого массива. Распределения напряжений приведены в виде эпюр по горизонтальным сечениям. Выявлено, что при изменении величины коэффициента Пуассона и удельного веса, может качественно измениться картина перемещений и характер распределения напряжений. Результаты расчета совпали качественно с экспериментальными и расчетными работами других авторов.

Вторая глава посвящена решению задачи ползучести. Предлагается новая методика расчета, позволяющая использовать непосредственно результаты экспериментов без их математического моделирования. В начале главы приведены основные положения различных теорий ползучести и экспериментальные работы, проведенные над различными горными породами и грунтами.

Решение задачи о ползучести позволило определить области наиболее развитых деформаций исследуемого массива. Было обнаружено, что деформации в нижней части большие по сравнению с верхними точками исследуемой области. Такое положение подтверждается из анализа известных экспериментальных работ и натурных наблюдений на различных карьерах. Приведены графики изменения перемещения и деформации во времени для различных точек области. Получена картина перемещения во времени для расчетной области. Также установлены области неустановившейся и установившейся ползучести.

В третьей главе решается задача о деформировании исследуемой области привлечением теории пластического течения с упрочнением. В начале главы приведены основные положения этой теории и существующие физические соотношения между напряжениями и деформациями. При решения задачи применяется метод конечных элементов и метод переменных параметров упругости. Приведен обзор экспериментальных работ, проведенных над грунтами и горными породами. Анализ экспериментальных работ показал существенное влияние всестороннего давления на кривую деформирования грунтов и горных пород.

Решена задача о напряженно-деформированном состоянии исследуемой области на основе теории пластического течения с использованием единственной кривой деформирования. Выявлено существенное влияние на деформируемость расчетной области его геометрических размеров. В зависимости от высоты исследуемой области и угла наклона боковой наклонной стороны, качественно меняется картина перемещения и напряженного состояния исследуемого массива.

- 12

В этой же постановке решается задача о влиянии коэффициента Пуассона на деформируемость и напряженность исследуемой области. Получены такие же эффекты как и при изменении геометрии исследуемой области.

Далее решается задача о напряженно-деформированном состоянии рассматриваемой области с привлечением серий экспериментальных кривых деформирования и экспериментальной кривой объемной деформации и объемного напряжения. Цри таком подходе физические параметры: модуль упругости, коэффициент Пуассона определяются непосредственно с использованием указанных выше кривых.

Анализ экспериментальных работ и расчет позволили предположить формулу для оцределения коэффициента Пуассона.

Результаты расчетов приведены в виде картины деформированного состояния расчетной области, зависимости модуля упругости, который в данном случае является функцией нагрузки и среднего давления от прикладываемой нагрузки. Приведена также зависимость изменения коэффициента Пуассона от црикладываемой нагрузки.

Проведенные расчеты, обзор экспериментальных работ позволили предложить зависимость физических соотношений между напряжениями и деформацией, учитывающей влияние гидростатического давления на кривую деформирования.

В четвертой главе предложена методика на прочность и решена задача о разрушении трапециодального массива горных пород. Решение задачи о разрушении подтвердило результаты предыдущих глав. Разрушение исследуемой области началось в нижней части. Предложенный метод позволяет просмотреть не только напряженное состояние расчетной области, но и связать напряженное состояние с картиной разрушенного исследуемого массива.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах /151,152, 153,154,155/.

- 13

Выводы

В данной главе разработана методика решения задач о напряженно-деформированном состоянии массива горных пород, имеющую форму прямоугольной трапеции на основе теории пластического тече

- 179 ния и привлечения как гипотезы "единой кривой", так и в совокупности кривых деформирования и кривой объемной деформации.

Решение задачи в такой постановке позволило описать эффекты, качественно согласующиеся с экспериментальными результатами работ, посвященных изучению напряженно-деформированного состояния массивов горных пород исследуемой области.

Расчет позволил установить качественное и количественное влияние соотношений геометрических размеров на перемещение, напряженное состояние и области появления и распространения пластических деформаций исследуемой области.

Выявлено, что с ростом величины коэффициента Пуассона области пластических деформаций уменьшаются, перемещения точек массива изменяются как качественно, так и количественно.

Анализ экспериментальных работ показал заметное влияние всестороннего давления на кривые деформирования материала. Поэтому при расчетах физические параметры (например, модуль упругости и коэффициент Пуассона) должны быть определены с учетом влияния объемного напряжения.

Проведенный расчет с учетом влияния гидростатического давления позволил уточнить полученные ранее результаты. Коэффициент Пуассона определен для каждого элемента по предложенной формуле. Расчеты показали, что при линейном деформировании элемента коэффициент поперечной деформации остается постоянным, а при его нелинейных деформациях материал приближается к состоянию несжимаемости и коэффициент Пуассона стремится к значению, равному 0,5.

Впервые построен сходящийся численный алгоритм решения нелинейной задачи математической теории пластического течения для среды, кривые деформирования которой определяются уровнем

- 180 напряженного состояния - величиной гидростатического давления.

Проведенное аналитическое и расчетное исследование, а также анализ экспериментальных данных позволили предложить новые физические соотношения между напряжениями и деформациями, позволяющие учесть некоторые основные особенности деформирования грунтов.

ГЛАВА 1У ЧЖ ЛЕННАЯ ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД

Проведение расчетов на прочность, учитывающих многообразие поведения реальных конструкций, становится все более актуальным. Внедрение методики расчета с позиции механики разрушения особенно важно для крупногабаритных конструкций. Изучение закономерностей механики разрушения имеет большое значение для различных отраслей техники. Ниже в § 4.1 приведены используемые в механике грунтов и горных пород аналитические подходы, позволяющие установить работоспособность конструкций. Перечисленные работы не претендуют на полноту.

Если материал сохраняет свое свойство линейной упругости до разрушения, то расчет на прочность может быть сделан с позиции линейной упругой механики разрушения. Тем не менее определение упругих параметров и характеристик прочности представляет собой математическую задачу. Для задач со сложными граничными условиями обычно применяют численные методы.

Среди численных методов решения линейных и нелинейных задач наибольшее распространение получил метод конечных элементов. Сравнение метода конечных элементов с конечно-разностными методами показывает его преимущества, состоящие в легкости расчета напряженного состояния тел сложных конфигураций. Немаловажное значение для исследователя имеет физическая естественность трактовки основных положений метода конечных элементов, что дает возможность построения некоторых моделей на основе физического, а не математического подхода.

Вышесказанное позволяет применить метод конечных элементов для оценки прочности откса массива горных пород типа откоса.

- 182

В данной главе предлагается методика расчета задачи о разрушении массива горных пород трапециодального профиля методом конечных элементов.

§ 4.1. Аналитические подходы при изучении разрушения горных пород

При анализе напряженно-деформированного состояния массивов горных пород одной из основных задач является определение тех уровней напряжения, при которых происходит разрушение сооружений и дальнейшая ее эксплуатация становится невозможной. От прочности горных пород зависит устойчивость бортов карьеров, гидротехнических, подземных и других сооружений и поэтому при проектировании их необходимы исследования прочности материала конструкции.

Механические характеристики - предел упругости, предел прочности и др. при простейших напряженных состояниях для различных материалов могут быть определены путем непосредственного эксперимента. В случае сложного напряженного состояния экспериментальное определение условий разрушения связано с большими трудностями и в некоторых случаях это даже невозможно. Поэтощ возникли гипотезы о характере напряженного состояния, при котором наступает разрушение.

Величины предела прочности для материалов типа грунтов, горных пород экспериментально определяются в основном на одноосное сжатие. В реальных условиях массив горной породы находится в условиях сложного напряженного состояния. Всевозможные стороны явления не отражены при существующих экспериментальных работах, доведенных дотразрушения. Например, работ, посвященных разрушению горных пород при растяжении, в настоящее время крайне мало /9/.

Галилей - был первым, кто в своих работах рассматривал проблемы прочности /183/, По предположению Галилея разрушение материала происходит тогда, когда наибольшее главное нормальное напряжение достигает предела прочности.

В работе /14/ отмечается, что критерий наибольших нормальных напряжений для сыпучих и хрупких материалов не подтверждается экспериментально. Следующий шаг в развитии критериев прочности был сделан Кулоном /179/. Кулон при испытаниях на простое сжатие образцов каменной кладки заметил, что максимальное касательное напряжение возникает в плоскостях, наклоненных под углом 45° к оси нагружения. Такое разрушение происходит тогда, когда касательное напряжение в плоскости разрушения одновременно превосходит как сцепление, так и трение, развивающееся в этой плоскости под действием сжимающей силы.

Дальнейшее развитие критерия прочности получили в работах Мора, Сен-Венана и других. Критерий Мора основан на предположении, что среднее главное напряжение оказывает малое влияние на наступление предельного состояния и может не учитываться /37/.

Ввиду близости результатов по критериям Кулона и Мора их нередко называют критериями Кулона-Мора /76/. Теория Кулона-Мора благодаря своей простоте и близости к свойствам горных пород поручила широкое применение и успешно используется для решения задач горной геомеханики /164,76/.

Критерий прочности Сен-Венана основан на предположении, что опасное состояние наступает тогда, когда наибольшее относительное удлинение равно критическому удлинению. Этот критерий получил широкое применение при оценке прочности металлов. Однако

- 184 следует считать, что границы и область использования критерия наибольших нормальных удлинений, применительно к задачам механики горных пород требует дальнейших исследований.

В энергетических теориях за критерий прочности принимается удельная потенциальная энергия или та ее часть, которая идет на изменение формы (1Убер, Мизес, Генки). Теория Губера-Мизеса-Генки была видоизменена для распространения на материалы, которые по разному сопротивляются растяжению и сжатию (Шлейхер, Ду-жинский, Яги и др.) /37,119,202 и др./. Подавляющее большинство этих гипотез представляет собой частные случаи более общих зависимостей, содержащих первый инвариант тензора напряжений

6= бжи + 6№ + 6„ (4.1.1) и второй инвариант девиатора напряжений уЧг бггМгиг+ (4.1.2)

Для определенного уровня напряжений и деформаций горные породы в целом сохраняют свою структуру и свойства. При некотором предельном уровне напряжений и деформаций в горной породе начинается процесс разрушения. Как механизм разрушения, так и предел прочности зависят от характера приложенной нагрузки. Задачами теории прочности являются установление механизма разрушения и нахождения закономерностей, позволяющих прогнозировать прочностные свойства и возможности дальнейшей эксплуатации различных сооружений, сложенных из горных пород и грунтов.

В работе /149/ решается задача об устойчивости откоса выпуклого профиля, у которого предельное состояние для сыпучей среды характеризуется условием Кулона, а для пластической среды

- 185 используется гипотеза наибольших касательных напряжений Треска /203/.

В /125/ для определения предельного состояния откосов сложенных из горных пород применяется гипотеза Кулона. Откос имеет вогнутую фориу. Из результатов расчета делается вывод, что откос с вогнутым профилем более устойчив, чем откос прямолинейной формы.

В /104/ обсуждаются способы построения линии поверхности обрушения бортов карьеров при различных огибающих предельных кругов Мора. Приводятся сравнения формы расчетных поверхностей сдвижения с поверхностью, построенной в результате натурных наблюдений за смещениями бортов карьеров.

В /201/ описаны результаты экспериментов по изучению устойчивости откоса из песка, определяются поверхности скольжения. Подробный обзор по механике разрушения и теориям прочности можно найти в работах /14,37,126 и др./.

Существует ряд методов расчета откосов, вполне отвечающим требованиям практики. Так, например, метод, основанный на рассмотрении условий равновесия элементарных объемов; метод, основанный на рассмотрении равновесия откоса в целом; метод расчета устойчивости откоса по линии скольжения и другие. Указанные методы все же недостаточно полно отражают все стороны деформирования горных массивов.

При проектировании месторождений полезных ископаемых приходится рассматривать деформации за пределами упругости. При таком подходе к расчету появляется возможность изыскать дополнительные прочностные ресурсы.

Стремление к улучшению работоспособности сооружений требует в процессе их проектирования совершенных методов расчета, в

- 186 которых наиболее полно отражены их действительные условия работы и механические свойства материалов. Так, горные породы в естественных условиях находятся в сложно-напряженном состоянии. При этом величина предела прочности для горных пород зависит от среднего давления и увеличивается с увеличением сжимающего среднего давления.

Существует два различных механизма разрушения - это хрупкое разрушение путем отрыва, происходящее внезапно, и пластическое разрушение путем среза /37/. С этой точки зрения анализ экспериментальных данных далек от своего завершения и в этом направлении дальнейшие исследования необходимы /37/.

Вместе с тем возникла необходимость разработки критериев прочности, которые явным образом учитывали бы указанные особенности разрушения материалов. Одним из таких критериев является обобщенный критерий прочности, данный в работе /37/, содержащий первый и второй инварианты тензора напряжений f(6it6) = con,i (4.1.3) который в частном случае (4.1.3) можно записать в виде л (Grx* efo + бгг) * [B(6¿x * 6¿ * <£* ) *

Здесь постоянные параметры А , В , С определяются из опытов на растяжение, сжатие, сдвиг

-¡(i'V > B"á¡ ' (4.1.5) где 6 ) бс j Т - пределы прочности на растяжение, сжатие и сдвиг соответственно.

При применении критерия прочности (4.1.4) к горным породам необходимо иметь в виду, что некоторые параметры могут отличаться на порядок и более. Так, для горных пород предел прочности при растяжении Sp мал по сравнению с пределом прочности при сжатии 6с .В работе /I/ определены пределы прочности на ожа-тие и разрыв для образцов песчаника бс = 100 МПа, 6р = 7 МПа, алевролита 6С ' = 116,7 МПа, 6р = 8,4 Ша, аргиллита 6С = 115 МПа, 6р =7,8 МПа. Пределы прочности разных горных пород при сжатии и растяжении приведены в работах /76,170/. В /170/ было проведено сопоставление экспериментальных данных о прочности горных пород с теоретическими, рассчитанными по различным критериям прочности. Результаты сопоставления показали, что большинство рассмотренных теорий прочности не соответствует экспериментально полученным данным о прочности горных пород в условиях трехосного неравномерного сжатия. Большинство из них (критерии прочности Сен-Венана, Кулона-Мора, 1убера-Мизеса-Ген-ки, Шлейхера-Бужинского-Ягна, Боткина, Писаренко-Лебедева) более или менее удовлетворительно описывают прочность в условиях плоского напряженного состояния.

Экспериментальные данные, приведенные в /1,170 и др./, показывают, что бр / 6С/ . Если в (4.1.4) принять т =

6 Тз и = 6"С = 6g , то мы получим условие прочности Мизеса вс = С (4.1.6) где С - постоянная величина. Она, в частности, может быть равной пределу прочности 6& . Форг^ула (4.1.4) может быть применена для оценки прочности при всестороннем сжатии или растяжении /37/.

- 188

В данное время нет единого критерия прочности. Применимость той или иной гипотезы обосновывается экспериментально и исходя из условия решаемой задачи.

§ 4.2. Численный анализ разрушения массива горных пород тфадедаодального профиля

В данном параграфе анализируется прочность массива грунта имеющего форму прямоугольной трапеции приводится новый подход в методике расчета его на прочность. Массив исследуемой области сложен из мерзлого грунта. Коэффициент Пуассона принят равным 0,3, удельный вес у =1,88 г/см3, модуль упругости определялся из линейного участка кривой деформирования 6L ~ £с , полученного экспериментально в /24/, предел прочности 6С = 2,95 МПа. Высота исследуемого грунтового массива принята L = ЮО м, нижнее основание L, = 50 м, верхнее основание i2 = 25 м. При оценке прочности исследуемой области учитывался знак объемного напряжения

S - g** - - S» (4.2.1)

Если среднее давление в некоторой точке оказывалось положительным, то применялся обобщенный критерий прочности /37/ fi6LfB6él (4.2.2) в котором параметры Д, & определяются из экспериментальных данных на простое растяжение и сжатие /J. ) i(vv »-ÉCi-V

В случае, если знак среднего давления оказывается отрицательным,

- 189 то применяется критерий прочности Мозеса (4,1.6). В этом случае считалось, что элемент находится в состоянии сжатия и

6£=6с (4.2.3)

Опишем разработанную методику решения задачи о разрушении исследуемой области. Решение реализовано методом конечных элементов /57/. В соответствии с методом конечных элементов составляется алгебраическая система уравнений (см.глава I, соотношение (1.1,28). Расчетная область находится под действием собственного веса и гидростатической нагрузки, приложенной со стороны вертикальной стенки (рис. 1,7). Вес вышележащего массива прикладывается равномерно и распределена по узлам стыковки элементов. Гидростатическая нагрузка пропорциональна высоте исследуемой области и приложена в узлах, примыкающих к вертикальной стенке (х = 0). При решении первоначально нагрузка (собственный вес и гидростатическая нагрузка) прикладывается полностью. Решения системы уравнения (1.1.28) позволяет определить перемещения узлов исследуемой области, деформации каждого элемента и определить компоненты напряжения. Цри этом решается упругая задача. Затем проверяется знак среднего давления 6-би/з и для каждого элемента. Если знак В - положительный, то применяется критерий прочности (4.2.2). При этом условие прочности (4.2.2) или (4.2.3) проверяется во всех элементах, на которые разбит исследуемый массив. Если ни в одном элементе, на которые разбита исследуемая область, не выполнится условие прочности (4.2.2) и (4.2.3), то это свидетельствует о том, что процесс деформирования закончился без разрушения. Решение задачи при этом прекращается. Вместе с тем для наиболее напряженного элемента устанавливается величина "запаса" прочности. Для этого вычисляются выра

- 190 жение #6£ + 66 , значение Gc . Если, например, &Бс-{-в6 = 0,8, то запас прочности будет равен 1/0.8) = 1,25 ш для сжатых элементов запасом прочности будет отношение 6L /6С В случае, если хотя бы в одном элементе выполнится условие прочности (4.2.2) или (4.2.3), то необходимо определить ту часть общей нагрузки, при которой наступило первое разрушение. Допустим, что в одном из элементов

6С (4.2.4)

Пусть в этом элементе расчетное значение 6L соответствует точке в, (рис. 4.1) в системе координат 6L ~ % . Проведем в этой системе координат прямую CBt; 6i = 6С прямая параллельная оси абсцисс (of ). Точка пересечения (В) прямой 6С с прямой ОВ, даст величину внешней нагрузки , которая соответствует пределу прочности при сжатии в рассматриваемом элементе. Из точки В и В проведем перпендикулярные к оси отрезки величиной ВА, В А . Из подобных треугольников ОАВ и OA.В, (рис. 4.1) найдем

Ой • 01 (4.2.5) где О/}, = % - полная величина удельного веса, А & - Бс предел прочности на сжатие, Л,В, - 6сС#) расчетное значение интенсивности напряжения, которая соответствует полной величине внешней нагрузки Ц . Подставляя эти величины в (4.2.5) получим

4.2.6)

Аналогично поступим и в случае, если

46 ¡ + В6Н (4>2>7)

- 191

Пусть в этом случае расчетному значению йб^ч- 56 соответствует точка &г (рис. 4.2). Тогда, как и для случая сжатия, определим величину той части нагрузки, которая соответствует равенству &б1 + Ь6=1 Из подобия треугольников ОСС, и 0АЬг (рис. 4.2) найдем

ОС = ОЯ, (4.2.8)

ДВ2 = + В б - соответствует расчетному значению этой величины, ОС - - величина нагрузки, которая соответствует условию прочности в рассматриваемом элементе, С С, - 1 тогда

V ^ (4.2.9)

Следующим этапом расчета является сравнение величин у и с целью определения при каком виде деформации произойдет раньше разрушение элемента массива. Если ^ ^ ус , то это свидетельствует, что разрушение произойдет при растяжении, если же

Ус ^ Ур » то первое разрушение произойдет при сжатии. Допустим, что разрушение произошло при сжатии. В этом случае определяется отношение Уь/у и все компоненты перемещения, деформации, напряжения умножаются на величину Ус/% • Эт° позволяет свести интенсивность напряжения неразрушенных элементов к уровню нагрузки , соответствующему первому разрушенному элементу. Так, например, (рис. 4.3) точки Л, В, С перейдут в положение точек Д, ^ С1 , где точка Д, соответствует разрушенному элементу. Точки В,, С/ показывают, что эти элементы не разрушены.

На следующем этапе расчет начинается с достигнутого уровня

Рис. 4.1. Схема для определения нагрузки соответствующей началу разрушения при сжатии

Рис. 4.2

Схема для определения нагрузки соответствующей началу разрушения при растяжении

Рис. 4.3. К определению напряженности неразрушенных элементов

Рис. 4.4. Дальнейший процесс разрушения элементов массива

- 194 напряженного состояния. Внешняя нагрузка уменьшается на величину . Так, удельный вес задается равным ^ = у- , интенсивность распределения нагрузки

При формировании системы уравнений (1.1.28) коэффициенты матрицы жесткости разрушенного элемента, умноженные на перемещения вершин этого элемента переносятся в правую часть системы уравнений (1.1.28). Таким образом, учитывается влияние разрушенного элемента на дальнейшее деформирование массива. При достигнутом уровне напряженного состояния вновь решается упругая задача. При повторном решении точки ^ С( перейдут в положение точек В2 9 Сг (рис. 4.4). Весь вышеописанный процесс продолжается до полного исчерпания внешней нагрузки, или пока конструкция полностью не разрушится.

Аналогично поступают и в случае разрушения от растяжения. В этом случае ус заменяется у и дальнейший процесс повторяется, как описано выше.

Описанным методом был проведен расчет массива грунта, имеющего форму прямоугольной трапеции. Массив начал разрушаться с боковой наклонной стороны в нижней части и сместился в ту же сторону. При / =1,25 г/см3 разрушенные элементы охватили всю нижнюю часть исследуемой области и массив полностью разрушился (рис. 4.5).

Зависимость интенсивности напряжения от внешней нагрузки приведена на рис. 4.6, в виде ломаных линий. Изломы линий ~ у объясняются тем, что на каждом этапе расчет проводился с достигнутого уровня напряженного состояния. При этом г со "О о - о о 'о ■) о о х 0 о о Ъо<э о °о>

С) О Л ы О Л л

ЖПлОоЧ °0О ООО О°о0 о |°0 о 0 о О л л л О О о0 I н со ся I

Рис. 4.5. Характер и качественная картина разрушения исследуемой области

ЛШа;

Рис. 4.6. Напряженность и разрушение элементов нижней части массива в зависимости от нагрузки внешняя нагрузка соответственно уменьшалась как описано вше.

Описанная методика расчета позволяет проанализировать напряженное состояние исследуемой области, просмотреть весь процесс деформирования до разрушения. Исследуемый грунтовой массив разрушился от сжимающих напряжений.

Проведенный расчет и предложенная методика показывают преимущество метода конечных элементов. Показано не только напряженное состояние, но и получена картина перемещений исследуемой области в процессе нагружения вплоть до разрушения.

Вышеописанный метод может быть использован при оценке прочности откосов, гидротехнических, подпорных и других сооружений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе метода конечных элементов удалось создать единый алгоритм численного решения линейных и нелинейных задач механики горных пород и грунтов, учитывающих особенности его деформирования.

2. Проведенный на основе теории упругости и метода конечных элементов расчет позволил установить корреляцию полями перемещений, деформаций и напряжений в массиве горных пород трапе-циодального профиля и действующими на него нагрузками. Результаты расчетов согласуются с имеющимися экспериментальными данными и опубликованными расчетными работами по анализу напряженно-деформированного состояния откосов, плотин.

3. На основе разработанного метода расчета ползучести при непосредственном использовании экспериментальных кривых исследовано развитие перемещений, деформаций и напряжений в массиве горных пород во времени. Анализ экспериментальных работ, посвященных изучению грунтов выявил недостаточность экспериментальных данных для построения изохронных кривых ползучести на длительные промежутки времени для проведения уточненных расчетов, что не позволяет оценить влияние ползучести на работоспособность и длительную устойчивость массивов горных пород откосов, плотин и т.п. сооружений.

4. На основе расчета показано, что с ростом коэффициента Пуассона области пластических деформаций уменьшаются, перемещения исследуемой области изменяются количественно и качественно. В зависимости от значения коэффициента поперечной деформации изменяется и область появления нелинейных деформаций.

5. Разработанный метод с использованием серии кривых дефор

- 199 мирования и кривой объемной деформации 6" ~ £ позволил уточнить полученные ранее результаты. Расчеты показали, что на участках линейного деформирования коэффициент поперечной деформации постоянный, а при нелинейных деформациях материал приближается к состоянию несжимаемости и коэффициент Пуассона стремится к значению, равному 0,5. Параметры (коэффициент Пуассона, модуль упругости) определяются уровнем напряженности в каждой точке исследуемой области.

Разработана методика расчета, позволяющая исследовать процесс деформирования исследуемой области вплоть до разрушения. В зависимости от разрушения отдельных элементов, напряженность не потерявших жесткости несущих частей области изменяется по кусочно-линейному закону.

1. Амбарцумян С.А. Разномодоьная теория упругости. М.: "Наука", 1982. - 317 с.

2. Амусин Б.З., Фадеев А. Б. Метод конечных элементов при решении задач горной геомеханики. М.: "Недра", 1975. - 142 с.

3. Ержанов Ж.С., Айталиев Ш.М., Туебаев М.К. Устойчивость пластовых горных выработок. Алма-Ата, "Наука", 1977. 116 с.

4. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. М.Л.: Гостехиздат, 1952. - 324 с.

5. Арутянюн Н.Х. Ползучесть стареющих материалов, ползучесть бетона. Инж.ж. механика твердого тела, 1967, 6, с. 95-126.

6. Бабицкая С.С. О критерии разрушения и влияния промежуточного главного напряжения на прочность. Врпросы геотехники, 1964, с.19-31.

7. Баклашов Н.В., Картозия Б. А. Механика горных пород. М.: "Недра", 1975. 272 с.

8. Берон А.И., Ватолин Е.С., Коифман М.И., Кунтыш М.Ф., Мохначев М.П., Чирков С.Е. Исследование прочности и деформируемости горных пород. М.: "Наука", 1973. - 207 с.

9. Биргер И. А. Методы упругих решений в теории пластического течения. Изв. АН СССР механика и машиностроение, 1964, C.II6-II8.

10. Биргер И.А., Демьянушко И.В. Теория пластичности при- 201 неизотермическом нагружении. Инж.м. Механика твердого тела, 1968 , 6, с. 70-77.

11. Бленд Д. Теоризия линейной вязко-упругости. М.: Мир, 1965. - 199 с.

12. Борисов А. Л. Механика горных пород и массивов. М.: Недра, 1980, - 360 с.

13. Боткин А.И. О прочности сыпучих и хрупких материалов. -Известия НИИ гидротехники. 1940, т.26, с.205-235.

14. Бронский А.П. Явление последствия в твердом теле. -ПММ, 1941, т. 5, вып.1, с.31-55.

15. Быков Д. Л. Основные уравнения и теоремы для одной модели физически нелинейной среды. Инж.ж. Механика твердого тела, 1976, 4, с.45-46.

16. Быков Д. Л. О некоторых соотношениях между инвариантами напряжений и деформаций в физически нелинейных средах. Упругость неупругость. - МГУ, 1971, 2, с.51-57.

17. Воларович М.П., Балашов Д. Б., Павлогр адский З.И. Исследования сжимаемости изверженных горных пород при давлении до 5000 кг/сМ^. Изв. АН СССР, сер.геофиз., 1959, 5, с. 693-702.

18. Воларович М.П., Томашевская И.С., Дудников В.А. Механика горных пород при высоких давлениях. М.: Наука, 1979. -152 с.

19. Дутцель В.И., Щэрбина В.И., Федотова Е.А. Исследования устойчивости откосов методом центробежного моделирования. Научные исследования по гидротехнике в 1975. Л.: 1976, I, с. 139-140

20. Вялов С.С. Реологические свойства грунтов. М.: Высшая школа, 1978. - 446 с.

21. Вялов С.С., Вяошинский В.Г., Городецкий С.Э. Прочность и ползучесть мерзлых грунтов и расчеты ледогрунтовых ограждений.- 202

22. M.s Изд-во АН СССР, 1962. 254 с.

23. Вялов С. С. О проблемах реологии грунтов. Труды 1-го Всесоюзного симпозиума по реологии грунтов. - Ереван, 1973сс.6-25.

24. Вялов С.С., Щпперина Е.П., Городецкий С.Э. Закономерности деформирования мерзлых грунтов при простом и сложном напряженном состоянии. Сб. тр. Сев.отд.института оснований и подземных сооружений. - Сыктывкар, 1967, № 3, с.61-69.

25. Вялов С. С., Миндич А. JL Осадки и предельное равновесие слоя слабого грунта подстилаемого жестким основанием. Основание, фундаменты и механика грунтов, 1974, 4, с.14-17.

26. Вялов С. С. Вопросы теории деформируемости связных грунтов. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1966, 3, с.1-4.

27. Вялов С.С., Щушерина Е.П. Сопротивление мерзлых грунтов трехосному сжатию. Мэрзлотные исследования. - М.: МГУ, 1964, 4, с.340-375.

28. Вялов С. С. Пластичность и ползучесть связной среды. -Доклады к 6 Международному конгрессу по механике грунтов и фун-даментостроению. М.: Госстройиздат, 1965, с.46-54.

29. Габдрахманов И.Х., Константинова С. А. Ползучесть каменной соли. Научные труды Пермского политехнического института. - 1973, 139, с.126-129.

30. Габдрахимов И.Х., Поздеев A.A. К феноменологической теории прочности карналлита и длительной устойчивости в целиках. -Проблемы механики горных пород. Алма-Ата, Наука, 1966, с.107-112.

31. Герсеванов Н.М. Опыт применения теории упругости и определение допускаемых нагрузок на грунт на основе экспериментальных работ. Труды МИИТ, 1930, 15.

32. Глушко В.Т., Усаченко Б.М. О нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями для горных пород западного Донбасса. Материалы Всесоюзного симпозиума по проблемам реологии горных пород и релаксации в твердых телах. - Киев, 1969,с.34-38.

33. Гольденблат И.И., Николаенко H.A. Теория ползучести строительных материалов и ее приложение. М.: Госстройиздат, i960. - 256 с.

34. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение,1968. 191 с.

35. Голь дин А. Л., Троицкий А.П. Использование МКЭ для расчета напряженно-деформированного состояния треугольного каньона. -Изв. ВНИИГ им. Веденеева, 1971, т. 95, с. 98-107.

36. Гольдштёйн М.Н. Некоторые вопросы проектирования и лечения земляного полотна. Вопросы геотехники. - М.: Трансжел-дориздат, 1965, 9, с. 3-16.

37. Гольдштёйн М. И., Лапидус Л., Мизюмский В. Реологические исследования глин и устойчивость откосов. Доклады к 6 Международному когрессу по механике грунтов и фундаментостроению. М., 165, Изд. лит. по стр-ву, с.155-162.- 204

38. Гольдштейн М.Н. Механические свойства грунтов. М.: 1979, Стройиздат. - 304 с.

39. Горелик Л.В., Петренко А. А. Исследования напряженного состояния грунтовой призмы. Изв. ВНИИГ им.Веденеева Б.Е., 1977, 117, с.30-36.

40. Григорян С. С. Об основных представлениях динамики грунтов. ПММ, i960, т.24, вып.6, с.1057-1072.

41. Григорян С.С. О некоторых новых постановках задач теории упругости, связанных с расчетом грунтовых оснований. Инст-т мех. МГУ. Научные труды, 1974, 32, с, 190-197.

42. Григорян С.С. К вопросу о применимости теории упругости в строительной механике грунтов. кн. Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. Сб., посвященный 80-летию Н. И.%схежшвили. - М.: Наука, с. 163-168.

43. Григорян С.С., Иоселевич В.А., Зуев В.В. 0 статическом нагружении грунта и вытеснении сферической полости в нем. -Механика ледников, снежных лавин и грунтов. Ин-т мех. МГУ. Научные труды, 1975, 42, с.83-95.

44. Григорян С. С. Исследования по механике грунтов. Докторская диссертация. М., 1965.

45. Григорян С.С., Иоселевич В.А. Механика грунтов. Механика в СССР за 50 лет. I9I7-I967. М.: АН СССР, 1972, с. 203-226.

46. Гришин М.М., Орехов В.Г., Шимелыпиц Г.И., Захаров В.Р. Исследование статической работы секции бетонной плотины при- 205 наличии скального упора со стороны нижнего бьефа. Труды Гидропроекта. - М.: 1976, 50, с. 107-116.

47. Дидух Б.И., Иоселевич В.А. О построении теории пластического упрочнения грунта. Механика твердого тела, 1970, 2, с.155-158.

48. Двдух Б.И., Иоселевич В.А. Описание деформации грунтового образца различными деформационными теориями. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1966, 3, с.3-6.

49. Ержанов Ж.С. Теория ползучести горных пород и ее приложение. Алма-Ата, Наука, 1964. - 175 с.

50. Ержанов Ж.С., Бергман Э.И., Серегин Ю.Н. Описание реологических свойств соляных пород. ФШРПИ, 1976, I, с. 3-6.

51. Ержанов Ж.С., Сатинов A.C., Векслер Ю.А. Расчет устойчивости горных выработок, подверженных большим деформациям. -Алма-Ата, Наука, 1973. 176 с.

52. Ержанов Ж. С., Каримбаев Т. Д. Метод конечных элементовв задачах механики горных пород. Алма-Ата, Наука, 1975. -238 с.

53. Ержанов Ж.С., Сатинов A.C., 1уменюк Г.Н. Ползучесть осадочных горных пород. Алма-Ата, Наука, 1970, - 208 с.

54. Зарецкий Ю.К., Ломбардо В.Н., 1£ошев М.Е., Олимпиев Д.Н. Устойчивость грунтовых откосов. Основания, фундаменты и механика грунтов. 1980, I, с.23-27.

55. Зарецкий Ю.К., Ломбардо В.Н., Грошев М.Е. Пластическое течение грунтовых массивов. Изв. ВУЗов. Строительство и архи- 206 -тектура. 1979, 2, с. 3-24.

56. Захаров М.Н., Иващенко И.Н. К теории пластического течения грунтов. Изв. АН СССР, МТТ, 1972, 2, с.185-188.

57. Зуев В.В. Использование законов пластического упрочнения нескальных грунтов. Кандидатская диссертация. - М.: МГУ, 1975 - 96 с.

58. Золоторев Г. С., Максимов С.Н., Каменова Ю.А., Шарий A.A. Напряженное состояние массивов пород высоких склонов как одиниз критериев оценки их устойчивости. Гидротехническое строительство, 1969, 9, с.23-27.

59. Золоторев Г.С. Формирование и устойчивость обвальных и оползневых склонов в горно-складчатых областях. Гидротехническое строительство, 1968, 5, с.52-57.

60. Иващенко И.Н., Захаров М.Н. 0 применении теории течения к грунтам. Труды к 8 Международному конгрессу по механике грунтов и фундаментостроению. - М., Госстройиндат, 1973, с.225-228.

61. Иващенко И.Н. Влияние траектории нагружения на деформируемость нлинистых грунтов. Вопросы прочности и деформируемости грунтов. - Баку, Аэгосиздат, 1966, с.58-70.

62. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. -376 с.

63. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: АН СССР, 1963. - 271 с.

64. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термо-вязко-упругости. М.: Наука, 1970. - 280 с.

65. Ильюшин A.A. О пастулате пластичности. ПММ, 1961, 25, 3, с.503-507.

66. Ильюшин A.A. К теории малых упруго-пластических деформаций. ПММ, 1946, 10, 3, с.347-356.- 207

67. Иоселевич В.А., Дидух Б.И. О применении теории пластического упрочнения к описанию деформируемости грунта. Вопросы механики грунтов и строительства на лесовых основаниях. - Грозный, 1970, с. 125-137.

68. Карташев Ю.М., Матвеев Б. В., Михеев Г. В., Фадеев А. Б. Прочность и деформируемость горных пород. М.: Недра, 1979,- 269 с.

69. Качалов JLM. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. - 420 с.

70. Койтер В.Т. Общие теоремы теории упруго-пластических сред. М., ШТ., 1961. - 79 с.

71. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. 277 с.

72. Крыжановский А.Л., Куликов О.В. К расчету устойчивости откосов. Гидротехническое строительство, 1977, 5, с.38-44.

73. Кузнецов В.Н. Плоская контактная задача для упруго-пластических тел. Автореферат канд.дисс. МГУ, 1968.

74. Кузнецов В.Н. О контакте двух тел из материала типа керамики при упруго-пластических деформациях. Црикладная механика, 1967, т.З, в. 9.

75. Леви М. К вопросу об общих уравнениях движения возникающего в твердых пластических телах за пределами упругости. -Теория пластичности. М.: ИЛ., 1948, с.20-23.

76. Лиам Финн В.Д., Троицкий А.П. Расчет напряжений и дефор- 208 маций плотин из местных материалов, земляных откосов и их основании методом конечных элементов. Гидротехническое строительство, 1968, 6, с.22-27.

77. Ливенский В. С., Карташев Ю. М., Кузнецов Ю.Ф., Проскуря-нов Н.М. Результаты исследования реологических свойств соляных пород при одноосном сжатии и изгибе. Изв. ВУЗов. Горный журнал 1973 , 9, с. 70-72.

78. Линьков A.M. О применении ассоциированного закона течения к горным породам. ^эуды ВНИМИ, 1970, 74, с.441-450.

79. Локощенко A.M. Влияние гидростатического давления на деформирование наполненного полимера. Сб. ин-та механики, механико-математического факультета МГУ, 1973, I.

80. Ломакин Е.В. Н елинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряженного состояния. Изв. АН СССР, МТТ, 1980, 4 стр.

81. Ломизе Г.М., Крыжановский А.Л., Воронцов Э.И. Исследование деформируемости и прочности массового грунта при пространственном напряженном состоянии. Вопросы механики грунтов и строительства на лессовых основаниях, 1970, с. 38-40.

82. Ломизе Г.М., Крыжановский А. Л. Об основных зависимостях напряженно-деформированного состояния и прочности грунтов. -Вопросы прочности и деформируемости грунтов. Баку, Азгосиздат, 1966, с.45-47.

83. Ломизе Г.М., Крыжановский А. Л. Прочность грунтов. -Гидротехническое строительство, 1967, 3, с.31-43.92.ьЛЬмизе Г.М. О закономерностях деформируемости дисперсных грунтов. Научные доклады высшей школы. Строительство, 1959, 2.

84. Ломизе Г.М., Суханов Е.И. Влияние режима нагружения на- 209 закономерности деформируемости и разрушения глинистого грунта. Исследования по механике грунтов, основаниям и фундаментам. -Элиста, 1974, I, с.15-21.

85. ЛЬмизе Г.М., Суханов Е.И., Федоров В.Г. Деформируемость и прочность песчаного грунта в различных траекториях и режимах нагружения. Исследование по механике грунтов, основаниям и фундаментам. - Элиста, 1974, I, с. 22-29.

86. Ломизе Г.М., Столяров В.Г. Деформируемость и прочность грунтов при повышенном уровне напряжения в различных траекториях нагружения. Исследования по механике грунтов, основаниям и фундаментам. - Элиста, 1974, I, с. 39-47.

87. Малинин Н.И. Основы расчета на ползучесть. М.: Маш-гиз, 1948. - 120 с.

88. Малинин Н.И. О ползучести пластмасс. Ползучесть и длительная прочность. Новосибирск, 1963, с.134-139.

89. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1968. - 400 с.

90. Малюшицкий Ю.Н. Условия устойчивости бортов карьеров. -Киев, АН УССР, 1957. 268 с.

91. Маслов H.H. Длительная устойчивость и деформация смещения подпорных сооружений. М.: с&ергия, 1968. - 160 с.

92. Маслов H.H. Условия устойчивости склонов и откосов и гидротехническом строительстве. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1955. -468 с.- 210

93. Матевосян Р,Р,, Хохлова Л.H. Аналитические выражения коэффициента Пуассона в функции от конечных деформаций при растяжении и сжатии. Цредельное и экстремальное значения.

94. Сб.трудов МИСИ, 1977, 2 (128), с.71-80.

95. Машанов А.Ж., Сабденбеков У.С., Андабасов P.A. Расчет линии скольжения в массиве горных пород на основе их паспортов прочности. Вестник АН КазССР, Алма-Ата, 1979, 12, с.25-30.

96. Мгалобелов Ю.Б. Некоторые примеры исследования напряженно-деформированного состояния с учетом прочностных свойств материала. Труды Гщцюпроекта. - M. : 1976, 50, с.88-96.

97. Мельников Н.В. Выступление на 1У Всесоюзной конференции по механике горных пород. Современные проблемы механики горных пород. - JE. : Наука, 1972, с. 5-8.

98. Мзсчян С.Р. Ползучесть глинистых грунтов. Ереван. АН АрмССР, 1967. 318 с.

99. Месчян С.Р., Бадалян Р.Г. Влияние состояния грунта на деформацию ползучести при сдвиге. Гидротехническое строительство, 1975, 8, с.31-34.

100. Мизес Р. Механика твердых тел в пластическом деформированном состоянии. Теория пластичности. М.: ИД., 1948, с.57-69.

101. ПО. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел, т,1, М. : ИЛ., 1954, 648 с.

102. Нимец А.И., Белов Ю.Д. Натурные исследования реологических свойств горных пород. Горное давление и горные удары, 1972 , 85, с.213-216.

103. Бичипирович A.A. Сопротивление связных грунтов сдвигу при расчете гидротехнических сооружений. М. : Гоестройиздат, 1948, - 128 с.

104. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Теория пластичности,- 211 учитывающая остаточные микронапряжения. ПММ, 1958, т. 22, вып. I, с.78-89.

105. Оден Дне. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 464 с.

106. Опыт оценки устойчивости склонов геологического строения методом конечных элементов и экспериментами на моделях. -М.: МГУ, 1973. 277 с.

107. Панферов В.М. Экспериментальные исследования термомеханических свойств характерных огнеупорных материалов. Тезисы докладов 4 Всесоюзной конференции по прогностике пластичности.- М.: 1967.

108. Панферов В.М. Теория упругости и деформационная теория пластичности для твердых тел с разными свойствами на сжатие, растяжение и кручение. ДАН СССР, 1968, т.180, в.1, с.41-44.

109. Писаненко В.П. Исследование коэффициентов Пуассона монотропных глинистых грунтов. Труды Новосибирского института железнодорожного транспорта, 1977, вып.180, с.74-79.

110. Писаренко Г.С., Лебедев A.A. Сопротивление материалов деформированию и разрушению при сложном напряженном состоянии. -Киев. Наукова думка, 1969. 211 с.

111. Писаренко Г.С., Рубенко В.Н., фетьяченко Г.Н., Зощенко В. Т. Прочность материалов при высоких температурах. -Киев, Наукова думка, 1966. 795 с.

112. Прагер В. Проблемы теории пластичности. М., Физмат-гиз, 1958. 136 с.

113. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально-пластических сред.- М.: ИЛ., 1956. 398 с.

114. Пузыревский Н.П. Теория напряженности землистых грунтов. сб. ЛИИПС. - Л.: 1929, в.99. - 66 с.- 212

115. Пузыревский Н.П. Расчеты фундаментов. ПГ, 1923. -440 с.

116. Бушкарев В. И., Сапожников В. Т. Предельное равновесие откосов крутых выемок. Труда ВНИМИ, 1959, 36, с. 159-173.

117. Партон В.З., Черепанов Г. П. Механика разрушения. -Механика в СССР за 50 лет, т.З М.: АН СССР, 1973, с.365-447.

118. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкции. М.: Наука, 1966. - 752 с.

119. Работнов Ю.Н. Равновесие упругой среды с последствием. ПММ, 1948, 12, I, с.53-62.

120. Работнов Ю.Н. Некоторые вопросы теории ползучести. -Вестник МГУ, 1948, 10, с. 81-91.

121. Работнов Ю.Н. Расчет деталей на ползучесть. Изв. АН СССР, ОТН, 1948, 6, с.789-800.

122. Работнов Ю.Н. О некоторых возможностях описания неустановившейся ползучести с приложениями к исследованию ползучести роторов. Изв. АН СССР ОТН, 1958, 9, с.

123. Работнов Ю.Н. Моделирование ползучести. ПМТФ, 1961, 2, с. 89-95.

124. Работнов Ю.Н. Сопротивление материалов. М.: Физмат-гиз, 1962. - 455 с.

125. Рассказов Л.Н., .Пцха Лж. Деформируемость и прочность грунтов при расчете высоких грунтовых плотин. Гидротехническое строительство, 1977, № 7, с.31-36.

126. Рахматулин Х.А., Сагоманян Я. А., Алексеев Н. А. Вопросы динамики грунтов. М.: Изд. МГУ, 1964. -с239 с.

127. Рейс А. Учет упругой деформации в теории пластичности. Теория пластичности. - М.: 1948, с.206-222.

128. Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем дефор- 213 мирующих во времени. М.-Л.: ГИТЛ, 1949. - 252 с.

129. Розанов Ю.А. Экспериментальные исследования горных пород при высоких давлениях и при высокой температуре до 200°С. -М.: Изд-во АН СССР, 1962. 84 с.

130. Розин Л. А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Мэтод конечных элементов. Л.: сйергия, 1971. - 157 с.

131. Розовский А. И. О нелинейных уравнениях ползучести и релаксации материалов при сложном напряженном состоянии. ЖТФ. 1955, 25, 13, с. 2339-2354.

132. Розовский М.Й. Ползучесть и длительное разрушение материалов. ЖТФ, 1951, 21, II, с.1312-1318.

133. Розовский М.И. Некоторые свойства специальных операторов, применяемых в теории ползучести. ПММ, 1959, т.23, вып.5, с. 978-980.

134. Роско К. Значение деформации в механике грунтов. Механика. Периодический сборник переводов ин.статей, 1971, 3,с.91-145.

135. Сапожников В.Т., Ким Д.Н. Об устойчивости бортов, сложенных скальными породами. Труды ВНИМИ, 1966, № 56, с. 174-202.

136. Саито М., Уезава X. Разрушение грунта в результате ползучести. Механика грунтов и фундаментостроение. - М.: Изд.литературы по строительству, 1966, с.96-105.

137. Седов Л. И. Введение в механику сплошных сред. М.: Физматгиз, 1962. - 284 с.

138. Седов Л.И. Мзханика сплошной среды. М.: Наука, 1973, т.1. - 536 с.

139. Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости. Теория пластичности. - М.: ИЛ., 1948, с.11-19.- 214

140. Сапожников В. Т. Решение задачи об откосе выпуклого профиля. Труды ВНИМИ, i960, 38 с.

141. Ставрогин А.Н. Исследование горных пород в сложных напряженных состояниях. Горный журнал, 1961, № 3, с.34-239.

142. Такабаев К.К., Каримбаев Т.Д. Рабочая модель нелинейного деформирования горных пород. Изв. Ш КазССР. серия физико-математическая, 1977, 9, с. 69-73.

143. Такабаев К.К., Каримбаев Т.Д. Влияние геометрических размеров приоткосной зоны на ее деформируемость. Изв. АН КазССР, серия физико-математическая, 1979, 5, с.73-76.

144. Такабаев К.К., Карибаев Т.Д. Исследование процессов ползучести в откосах. Изв. ВУЗов. Горный журнал, 1979, 4, с.41-43.

145. Такабаев К.К., Карибаев Т.Д. Реализация методом конечных элементов решения задачи ползучести откоса. Исследования по современным вопросам алгербры и анализа. - Караганда, 1978, с. 75-80.

146. Такабаев К.К. Влияние коэффициента Пуассона на деформируемость приоткосной зоны. Материалы республиканской межвузовской конференции по математике и механике. Тезисы докладов. -Караганда, 1981, с.187.

147. Теория пластичности. М., ШТ., 1948. 452 с.

148. Терновский И.Н., Ухов С.Б. Метод определения коэффициента поперечной деформации трещиноватых скальных пород. -Труды Гидропроекта, 1976, 50, с. 69-74.

149. Троицкий А.П. Определение напряженного состояния плотин из местных материалов методом конечных элементов. Изв. ВНИИГ. - Л. : 1975 , 95, с.98-107.

150. Фанг П. К., Берис Д.Дк., Линд Н. Течение при высоком гидростатическом давлении. Механика, 1974, № 4.

151. Федоров И. В. О некоторых закономерностях прочности и деформируемости сыпучей среды. М.: НИИ ВОДГЕО, 1957. - 31 с.

152. Федоров И.В. Мзтоды расчета устойчивости склонов и откосов. М.: Госстройиздат, 1962. - 203 с.

153. Фисенко Г. Л. Устойчивость бортов карьеров и отвалов. М.: Недра, 1965. - 378 с.

154. Фисенко Г.Л., Ревазов М.А., Палустьян Э.Л. Укрепление откосов в квгрьерах. М.: Недра, 1974. - 206 с.

155. Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих аредах. Теория пластичности. М.: ИЛ., 1948, с.41-56.

156. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТЛ., 1956. - 407 с.

157. Цытович H.A. Мзханика мерзлых грунтов. М.: Высшая школа, 1973. - 446 с.

158. Чайковский Э.Г., Горбачев Ю.Г. Исследование параметров обрушения уступов. ФТДРПИ, 1977, 3, с.79-84.

159. Чирков С. Е., Соломина И. А. Сопоставление экспериментальных данных о прочности горных пород с теоретически вычисленными по различным критериям прочности. Научные сообщения ИГД- 216 им.А,А.Скочинского. M.: 1974, вып.118, с.7-15.

160. X. Шевченко Ю.Н. Термопластичность при переменных нагрузках, Киев. Наукова думка, 1970. 281 с.

161. Ягн Ю.И. Новые методы расчетов на прочность. Вестник инженеров и техников. - 1931, № 6.

162. Ягодкин Г.И., Мохначев М.П., Кунтыш М.Ф. Прочность и деформируемость горных пород в процессе их нагружения. М. : Наука, 1971. - 148 с.

163. Агдуъсс J. К. t ïieêseg S. Ене^у. ikeozews Otld sizuîtu-cai OstafyscS . butter wox,tk . London. I960.

164. Adams f. £>., УСс/со^Оп J.7. ên eocpezcmenùi Ini/ezicgation. Lnio tke of mazßde.- Pkifa.

165. Jzans. Hoy. S oc. London., 190/, set. Л, VI95, p, 36/.

166. ВгсШ zocks. Hccjk- Рхеьы/те £d artd TzcknoP. hoc. Stk Л J RAPT Conf. Boufdez Cof0 . /9??, V. 2 , Vew- London. 1979

167. СоцРотв С. Л 3n JKemoLzes cfe. maiema-tigne tt fife physique. AcadQm-ie коуав c/£s Sciences pax. dc\rer.s sztfans , 7(/775), Pazis 1776г p. ЪМ2-Ъ%г.

168. W. bedeutu-ncj clez Testigteit des ^egixtjez Cm Kaii tind sieiKsa??£en.(j-6clu ft@kand2 - Muitenwessen bond

169. Morttctn.ge.oi. 19S4, V.ff, 68-28.

170. CanvQuctge ^ London. , 1949, p. 129.

171. Ernsee Hz^et G.t Sage Coa±eg

172. Ha-ceüon J.C. Effect of xate anet supen, C^pc-Sec pzessuze of ienscee. proper ¿¿es of campoute.

173. Solid ptope№a,n.ifipp£ceci po^mex. QCn*posCQm- ¡975,1.

174. Knoie P. ßeiiiag, zum Ecnftug ciet Zeit

175. CLuf die 1/ei.fox.mung Uttci dex. ßxuck

176. Kazman, T. Tezti^keiis versuche uttiex.

177. Mseitigent . ZrezJc tyctck Jngz J I9HJ6d.5S t s. I7M-I75?.

178. L¿am Pinn W.%). Siatic Clk-c/- 219

179. Stzesses in sQopes.- Pzoceec¿¿n^s Jnte.*.na.tionai Confess он. itvcíc Mechanics,Liißon. I9QÇ.191. llam Finn W.%. Sialic ctncf Seismic Snafy-Sis of Scopes.- J, Zock Meckanùci ancf Engin e e xLnj-Wé, 3.

180. Lami 7.W. MitkoJs of Estimating. Sett

181. Ptoc. dmet. Soc. Eng. ^ So¿£ Meek. a. Found 30,

182. Mises MecfiCLKcjc cte t p Past ¿setzet? Toxmoft-d&izLu^g \j~on. £t-LsstQ£Cen . Z4MM t 1922.194. flfQK.anmtQ ¡C.J jamada ¡C.f TaKCLjana^i M.

183. Analyses of soieds zieute qxÍzuSlu* process of po0ynret.tc mate-cía ig pxesiute c/epenefettï y¿t£c¿ tuiexùQ.JtU.J.Icofy m. Matet., /iV^, V. 5,/.

184. Pd t-cseccw W.G., IroLjfkt в., К В. Fcni-EQeweyit cm.a^s¿s of -elastic-pPctstCcim me.ckcLn¿ci of ge.o£og¿c mediQ ; an Ои"ег Wieur,-Ptoceecfings of ~Lke. SeccLncCat^ Con^zess of ikt Jut. Soc. fon RocJb Mech. Ju oiéGLiTCjCL /9701 v.2. p. 5//- 523.- 220

185. Pzage-c W. Tke stzess-sixain iau/s of ike. таШкаИса? iheoxg of pfastiaty ^SuxtTe^ of zeeentprocess.-J. %f>pt Meak, /9И, !5j 226-233.

186. Poscoe. K.H.^ Poo-cooskasi H. ß. 4 Th.eoxe.iuai GlvloL Еърехсмeruto.£ ztv-dg of SÍXQ,¿ns in Tuaxtif Con^p-Ee.¿s¿on. Tests on Mormaii^ Congo & С dottedt Geotecktcyue , ¡965 J /3, i

187. P&u-Si ß. 'ÎÎCzzïpoie.n tíQ@ odez. Geuíeéert.-Z4MM. (932 , У. 12, 15.

188. Sctssq j Ta Kit êiitsuire. . Л* QnaCy-$¿S of Slope. S ta Ci te. 0ц -¿кг de.ptk Wkexz îiij.э suxfo.ee 6s -fotyne<d in a .-,/Ueyyt.

189. Cote. Agi. legato Un¿w. *- ¡973 j 108-, 29-Я.- 221

190. Solt fad chez. T. Enz-LCfLegtenze dex. ECasti-ZitaL? ( pecLULUtàLtêecCUUç).- ï $MM , !925'j 5J s. ¿118-4 79.

191. T^esca . JU-zmoize. Sun L'e.cou£eynent dex. coz.ps solides sou-cntis cl des -fortes pzLzscons Comptes zen.dus de. L'Académie, cfes Sc.tences.- Pq-cc's , 1864 v. 59J 7try,

192. VuUei y.Jmj SckezêLH4 K 2 J Expe-xirnenÎQé? Inifest ¿Rations of sQope defozmqîio/rs 6-ik Fur. Conf s ol£ Meek, and Founcf En^. Vienna i 1976-Pzoc. v. 11 - Wîen t p. 95-100,

193. Wùtfzied Hues. ®ie Jim ire du n.^ dex Finite. ~ Mement Metkoci zux. L6zuKg ^eo^reckaniècÂ^c

194. Aut£G£erî. >t Ibex^aiccLdemia ¡969. !Q,

195. WLutté B.V.j Ge-cztee. K. H., jco H.LJ.

196. Höffez 1С. H. ßbLtzap iuz. Tzage. et ex. Slan-clfesÍL^tceit iron Bergfesten ¿m ёам . 1958.