Численное решение задач грави- и магниторазведки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. Прямая задача грави- и магниторазведки.

2. Трансформация полей в верхнее полупространство,

3. Продолжение потенциальных полей в сторону возмущанцих масс. II

4. Некоторые другие задачи грави- и магниторазведки.

ГЛАВА I. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ

ГРАВИ- И МАГНИТОРАЗВЕДКИ.

§ I.Постановка задачи.

I.I.Ньютонов потенциал.

1.2.Основные вычислительные методы и их краткая характеристика.

§ 2.Общее описание метода.

2.1.Краевая задача в неограниченной области.

2.2.Редукция к краевой задаче в ограниченной области.

§ 3.Вычислительный алгоритм решения краевой задачи.

3.1.Аппроксимация краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

3.2.Численные методы решения двумерной задачи.

3.3.Численные методы решения трехмерных задач.

3.4.Приближенное вычисление поверхностного интеграла.

3.5.Сравнительный анализ метода.

§ 4.Результаты расчетов.

4.1.Примеры расчетов двумерных задач.

4.2.Примеры расчетов трехмерных задач.

4.3.Численное решение прямой задачи для контактной поверхности.

4.4. Способ учета влияния рельефа.

ГЛАВА П. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТРАНСФОРМАЦИИ

ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ.

§ I,Постановка задачи.

1.1.Трансформации,используемые в гравиметрии.

1.2.Основные вычислительные схемы.

§ 2.Метод трансформации потенциальных полей на основе решения краевой задачи.

2.1.Общее описание метода.

2.2.Решение краевой задачи.

2.3.Примеры расчетов двумерных задач.

§ З.Метод прямых для трансформации аномальных полей.

3.1.Постановка задачи в полуполосе.».♦.

3.2.Схема прямых и вычислительный алгоритм.

§ 4.Численные эксперименты.

4.1.Примеры расчетов двухмерных задач. трансформации

4.2.Расчеты трехмерных задач трансформации.

ГЛАВА Ш. УСТОЙЧИВЫЙ РАЗНОСТНЫЙ АЛГОРИТМ ПРОДОЛЖЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ В СТОРОНУ ВОЭДУЩАЩИХ

МАСС.

§ I.Постановка задачи.

1.1.Цель продолжения потенциальных полей в сторону возмущающих масс.

I.2.Задача Коши.

§ 2.Общее описание метода.

2.1.Возмущенная задача.

2.2.Исследование регуляризирущих свойств алгоритма.

2.3.Выбор параметра регуляризации и предварительное сглаживание входных данных.

§ 3. Численное решение нелокальной эллиптической задачи.

3.1. Разнос тная задача.

3.2.Метод разделения переменных. Алгоритм прогонки.

3.3.Схема метода прямых.

§ 4. Вычислительный эксперимент.

4.1.Выбор вспомогательной функции Ф(х)

4.2.Модельные расчеты.

4.3.Примеры расчетов двумерных задач. Сглаживание.

4.4.Аппробация алгоритма продолжения в трехмерном случае.

Создание вычислительных комплексов для интерпретации гравитационных и магнитных аномалий способствовало решению трудных прикладных задач в геофизике. Из года в год запасы полезных ископаемых на верхней части Земли (близко расположенные к земной поверхности), которые можно было обнаружить простыми классическими методами и геологоразведочной аппаратурой, исчерпываются. В настоящее время исследование и интерпретация данных разведки для более глубоких слоев Земли являются важными и актуальными. Проведение буровых работ, организация геологоразведочных партий, изобретение более точной аппаратуры требуют огромных лвдских и материальных затрат. Поэтому, в последние 20-25 лет, все шире используются математические методы моделирования в геофизических задачах. Создаются и все шире эксплуатируются автоматизированные системы интерпретации на базе современных ЭВМ.

Для эффективного и быстрого решения любых прикладных задач на ЭВМ требуется хорошее математическое обеспечение. Все чаще встречающиеся геофизические задачи невозможно решать с ломощью тех средств, которые традиционно излагаются в литературе по гра-ви-и магниторазведке. Использование классических формул для вычисления аномалий от тел правильной геометрической формы, номограммы, палетки и других средств ручного счета для решения сложных (линейных и нелинейных) задач теории интерпретации не дают должных результатов. Проводимые космические и другие современные съемки представляют огромный объем информации, который требуется быстро обработать и принимать решения. В последние годы основной упор в работе исследователей был сделан на применении ЭВМ при решении сложных задач, на создание эффективных алгоритмов в гра-ви-и магниторазведке. Тем не менее, еще слабо развивается математическое обеспечение вычислительных комплексов для интерпретации гравитационных и магнитных аномалий, не применяются, или почти не применяются, современные быстрые методы вычислительной математики. В частности, не нашли должного отражения в задачах геофизики хорошо развитые методы теории разностных схем.

Кратко остановимся на основных классах задач в грави-й магнитометрии.

Основной задачей в грави-и магнитометрии является определение аномальных тел, лежащих в толще Земли, по априорным данным, полученным в результате измерений и съемок, проводимых, главным образом, на земной поверхности. Эта задача называется обратной задачей грави-и магниторазведки и она принадлежит к классу некорректно поставленных [1,2,3] . Решение обратной зада*® предполагает определение формы и расположения тел, их плотности и объема. Решение этой сложной задачи обычно проводится в несколько этапов.

Аномальное поле, создаваемое неоднородными массами, характеризуется потенциалом (гравитационный и магнитный), его первыми производными, а также производными более высоких порядков по всем направлениям.

Первым этапом в процессе решения обратных задач и моделирования геофизических процессов является решение прямой задачи. Она состоит в определении аномального поля (гравитационный и магнитный потенциалы и их производные), создаваемого телами определенной формы, плотности при известных условиях залегания.

Другой класс задач это задачи трансформации (пересчета) поля на некоторый другой уровень в полупространство, свободное от аномальных масс. Такие задачи являются корректно поставленными и широко используются при интерпретации данных грави-и магниторазведки. Пересчет поля на другой уровень уменьшает шумы, случайные помехи, сглаживает ошибки измерений. Трансформация поля позволяет определить другие элементы аномальных полей (например, производные по направлениям и т.д.).

Наиболее важным этапом является продолжение потенциала или его производных, заданных на поверхности Земли или на каком-либо другом уровне, в сторону аномальных (возмущающих) масс. Задача продолжения в сторону возмущающих масс является неустойчивой относительно входных данных, поэтому она некорректно поставлена [3]. Эта задача играет большую роль в практике, так как ее решение дает ценную информацию об условиях залегания возмущающих масс, позволяет получить качественную информацию об аномальных телах, а иногда даже решить обратную задачу.

Существуют другие классы задач, типа задач о контактной поверхности, продолжения полей в вертикальную плоскость, приведение к уровню относимости, учета влияния рельефа местности, сглаживания априорной информации, обработки входных данных и т.д.

I. 2J.

Приведем краткий обзор применяемых методов решения тех или иных задач в геофизике на современном этапе.

I. Прямая задача грави-и магнитометрии

Прямая задача грави-и магниторазведки является классической. Решению таких задач посвящено множество работ (см.библиографию в [I] » [21 )• Тем не менее интерес к ним очень высок, так как успешное решение обратных задач требует умения быстро и с хорошей точностью решать прямые задачи. Здесь особо отметим работы [4-19] , посвященные наиболее важным методам решения прямых задач грави-и магнитометрии. Существуют два основных подхода к решению прямых задач.

I. Использование и дальнейшая модернизация существующих точных аналитических формул. 2. Создание высокоэффективных быстрых приближенных методов, основанных на применении вычислительной техники.

Если первый подход развивался на протяжении всего существования постановки этих задач, то методы второго подхода особенно сильное развитие получили с началом применения ЭШ в теории и практики интерпретации данных грави-й магниторазведки.

Класс точно решаемых прямых задач грави-и магниторазведки ограничен простейшими телами и в большинстве своем однородными по плотности. Зачастую получаемые аналитические выражения для элементарных тел весьма громоздки и не учитывают сложное распределение плотности. Даже для такого простого тела, как конечный горизонтальный круговой цилиндр,поле выражается через эллиптические интегралы. Решение более сложных задач требует развития приближенных методов. Что же касается задач грави-и магниторазведки, то обзор применяемых методов можно найти в [1,2] . Здесь уместно напомнить работы [12,13] , где даны характеристики основных приближенных методов решения прямых задач грави-и магниторазведки. Существующие численные методы решения прямых задач можно разделить на две группы. В первой из них подынтегральная функция разлагается в некоторый сходящийся ряд и число удерживаемых членов согласуется с требованиями необходимой точности.Второй класс методов, наиболее широко развиваемых в настоящее время, это аппроксимационные методы, в которых возмущающая масса разбивается на простые геометрические тела, поле от которых можно вычислить аналитически. Предлагаемые различными авторами аппроксимационные методы решения прямых задач по существу отличаются способом аппроксимации исходного тела более простыми [14] .

В методах первого класса основные достижения были получены с привлечением аппарата теории функции комплексного переменного, что впервые было предложено в работе [l8] . Дальнейшее развитие этот подход получил в [7-Ю] . Особо отметим работу Г.Г.Кравцова, где даны общие решения прямой задачи грави-и магниторазведки для произвольных неоднородных многогранников с линейно изменяющейся плотностью (намагниченностью). В t8,9] приводятся аналитические выражения, полученные на основе использования аппарата теории функций комплексных переменных для потенциалов и их производных в двумерных задачах.

Исследование прямых задач для аномальных тал со сложным распределением плотности, учет влияния сферичности Земли намного повышает точность решения этих задач. Из поздних работ отметим [7] , где комбинированы методы приближенного и точного решения прямых задач, и работу [Г7] , где учитывается шарообразность Зещи. Следует отметить также работы Страхова В.Н.,Лапиной М.И., Голиздры Г.Я., Балка П.И. и других авторов, посвященные развитию методов решения существенно трехмерных задач. В работе [20] , где изложены основные тенденции развития теории интерпретации до 80-х годов, приведен обширный список литературы, посвященный решению прямых задач грави-и магниторазведки и сформулированы основные проблемы на данном этапе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основная идея работы заключается в последовательном применении современных разностных методов решения краевых задач математической физики при решении задач разведочной геофизики.

I. В работе предложен способ решения прямых двух-и трехмерных задач грави-и магнитометрии, основанный на сведении краевой задачи в неограниченной области к двум задачам йрихле для уравнения Пуассона в ограниченной области. Разработана и реализована эффективная вычислительная схема решения прямых задач для тел произвольной формы и переменной плотности.Предложенный алгоритм дает возможность нахождения как внешних, так и внутренних полей с минимальным количеством арифметических операций. На основе этого алгоритма указана схема решения прямой контактной задачи,задач учета рельефа местности и приведения данных наблюдений к уровню относимости.

2. Разработаны разностные методы решения задач трансформации (пересчета) аномальных полей в полупространство, свободное от аномальных масс. Предложенные численные методы трансформации эффективно реализованы с использованием наиболее быстрых прямых методов решения сеточных уравнений в двух и трехмерном случае.

3. Предложен и исследован приближенный метод решения задач продолжения потенциальных полей на основе замены некорректной задачи Коши для уравнения Лапласа на нелокальную задачу. Установлены регуляризирующие свойства алгоритма продолжения аномальных полей, рассмотрены вопросы выбора параметра регуляризации и обработки априорной информации. Алгоритм продолжения потенциальных полей в сторону возмущающих масс аппробврован на большом количестве тестовых задач, максимально приближенных к условиям практики (например, уровень вводимых помех составлял 1% - 25$).

Анализ результатов вычислительного эксперимента,проведенного дал всех рассмотренных в работе задач в двух-и трехмерном случае, показал, что использование хорошо развитых сеточных методов в геофизике дает наибольший эффект при решении сложных прямых задач, при комплексной интерпретации данных грави- и магниторазведки, при проведении массовых расчетов, при решении обратных задач методом подбора и т.д.

Разработанный комплекс программ на языке ФОРТРАН-ГДР(ориентированный на ЭВМ БЭСМ-6) для системной интерпретации в геофизике может служить основой создания специализированного пакета прикладных программ [103] .

1. Гравиразведка. Справочник геофизика / Под ред.Е.А.%дрецовой.- М.: Недра, 1981.-397 с.

2. Магниторазведка. Справочник геофизика } Под ред.В.ЕвНикитинского, Ю. С.Глебовского. М.: Недра, 1980.- 367 с.

3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я, Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1979 .- 288 с.

4. Сорокин Л.В. Гравиметрия и гравиметрическая разведка.-М.-Л.: Гостоптехиздат, 1953.- 483 с.

5. Гладкий К.В. Гравиразведка и магниторазведка. М.: Недра, 1967.- 319 с.

6. Голиздра Г.Я. Быстрый метод вычисления на ЭВМ гравитационного поля трехмерных масс.-Изв.АН СССР.Шизика Земли, 1976, № II, с. 61-67.

7. Страхов В.Н., Шулаия Т.В. Решение прямых трехмерных задач гравиметрии и магнитометрии при произвольных непрерывных законах распределения плотности и намагниченности.- Изв.АН СССР. Шизика Земли, 1983, В 9, с.57-74.

8. Страхов В.Н., Лапина М.И., Кучериненко В.А. О решении трехмерной прямой задачи гравиметрии.-Изв. АН СССР.Шизика Земли, 1980, № 12, с.53-74.

9. Голиздра Г.Я. Основные методы решения прямой задачи гравираз-ведки на ЭВМ. Обзор. Регион .разв.и промыс.геофизика. М.: ОШМ ШЗМС, 1977.- 98 с.

10. Кудря А.В. О решении прямых задач гравиметрии для трехмерных тел на ЭВМ.-Изв.АН СССР. Физика Земли, 1979, № 9, с.83-94.

11. Страхов В.Н., Успенская К.М. Аппроксимация и оптишзация при решении прямой задачи гравиметрии и магнитометрии.-Изв.АН СССР. Шизика Земли,3979, J5 5, с.56-80.

12. Страхов В.Н. Метод приближенного решения прямой трехмерной задачи гравиметрии.-Изв.АН СССР.Шизика Земли,1979, If? 9,с.52-62.

13. Старостенко В.И.,Манукян А.Г. Решение прямой задачи гравиметрии на шарообразной Земле.-Изв.АН СССР.Шизика Земли, 1983,№ 12, с.34-49.

14. Страхов В.Н.Использование методов теории функции комплексного переменного при решении трехмерных прямых задач. -ДЖЛ.АН СССР, 1978, т.243,№ I,с.70-73.

15. Голиздра Г.Я.Вычисление гравитационного поля многогранника. -Изв.АН СССР.Шизика Земли, 1981, Ш 8, с.95-99.

16. Страхов В.Н., Гольдшмидт В.И.,Калинина Т.Ё .,Старостенко В.И. Состояние и перспектива развития в СССР теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий.-Изв.АН СССР.Шизика Земли, 1982,Ш 5,с.П-30.

17. Лапина М.И.Вычисление вертикальных производных двумерных потенциальных полей. -Изв-.АН СССР.Шизика Земли, 1965,К 7,с.48-65.

18. Лапина М.И.,Страхов В.Н. Новый метод вычисления вертикальных производных полей в верхнем полупространстве.-Изв.АН СССР. Сер.геофизич.,1963,№ 4, с.41-54.- 128

19. Аронов В.И. О вычислении трансформант и редукций аномалий силы тяжести на внешнюю плоскость в горном районе. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1970, № 7, с.79-84.

20. Аронов В.И.Обработка на ЭВМ значений аномалий силы тяжести при произвольном рельефе поверхности наблюдений.- М.:Недра, 1976.-129 с.

21. Щрульский А.В., Аронов В.И. О редукции потенциальных геофизических полей на внешнюю полость.-Изв.АН СССР.Физика Земли, 1971, № 7, с. 94-ЮI.

22. Аленойдзе М.А., Санадзе Г.И. О новом способе пересчета силы тяжести в горной местности. -Изв. АН СССР. Физика Земли, 1968, К 6, с.49-52.

23. Аронов В.И., Гордин В.М. Методы интерполяции геолого-геофизических характеристик на регулярную сеть. Мат.методы вослед. в геологии, 1973, № II-12, с.20-32.

24. Маловичко А.К. Методы аналитического продолжения аномалий силы тяжести и их приложения к задачам гравиразведки. М. :Гос-топтехиздат, 1956.- 160 с.29. .Маловичко А.К. Детальная гравиразведка на нефть и газ. М.: Недра, 1979.- 190 с.

25. Тихонов А.Н. 0 решении некорректно-поставленных задач и методе регуляризации. ДАН СССР, 1963, т. 151, № 3,с. 501-504.

26. Тихонов А.Н., Гласко В.Б., Литвиненко O.K., Мелихов В.Р. О продолжении потенциала в сторону возмуащющих масс на основе метода регуляризации. Изв.АН СССР, Физика Земли, 1968,1. В 12, с.30-48.

27. Вабищевич П.Н. Численное решение задачи продолжения потенциала в сторону возмущающих масс.- Изв. АН СССР.Физика Земли, 1982, Ж 7, с. 31-36.

28. Страхов В.Н., Иванов С.Н. Метод аналитического продолжения потенциальных полей. В кн.: Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики.- Новосибирск: Наука,1983,с. 195-203.

29. Страхов В.Н., Иванов С.Н. Регуляризированные конечно-разностные алгоритмы восстановления функций и их использование в геофизике. -Изв. АН СССР. Шизика Земли, 1984, да 2, с.63-83.

30. Недялков И.П. О некоторых некорректных задачах теории потенциала и их применении в разведочной геофизике. София:Изд-во Болгарской АН, 1977.- 202 с.

31. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии.- Киев: Наукова думка, 1978.- 228с.

32. Баранов В. Потенциальные поля и их трансформации в прикладной геофизике. М. :Недра, 1980.- 152 с.

33. Новиков П.С. Об единственности решения обратной задачи потенциала. Докл.АН СССР, 1938.т. 18, №. 3, с. 165-168.

34. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики.- М.:Изд-во МГУ, 1984.- 112 с.

35. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала.- Мат.за-писки, 1973, т. 14, В 5, с.755-767.

36. Исаков В.М. О единственности решения обратной задачи теории потенциала. Дэкл.АН СССР, 1979, т.245, Ж 5, с. 10451047.

37. Цирульский А.В., Пруткин И.Л. О решении обратной задачи гравиметрии для произвольных классов двумерных и трехмерных потенциалов.Ч.1 и П.-Изв.АН СССР.Шизика Земли, 1981, № II, с.45-61.

38. Чередниченко В.Г. Необходимые условия разрешимости двумерной обратной задачи гравиметрии.- Изв.АН СССР.Физика Земли, 1981, № 5, с.54-56.

39. Чередниченко В.Г. Достаточные условия разрешимости обратной задачи потенциала на плоскости. -Изв.ЛН СССР.Физика Земли,1982, В II, с.33-38.

40. Данилов В.Л., Шульмин И.И. К решению обратной задачи гравиметрической разведки методами установления,- Докл.АН СССР, 1980, т.250, Л I, с.62-66.

41. Данилов B.JI., Шульмин И.И. Новые алгоритмы решения обратной задачи гравитационной разведай.- Изв. АН СССР.Физика Земли,1983, IS 2, с.85-95.

42. Бродский М.А., Страхов В.Н. О единственности решения двумерных обратных задач гравиметрии и магнитометрии для многоугольников. Докл.АН СССР, 1982, т.264, В 2, с.318-322.

43. Бродский М.А. О единственности в обратной задаче гравиметрии для однородных многогранников. Изв.АН СССР. Физика Земли, 1983, J£ 12, с.66-67.

44. Бродский М.А. Решение обратной задачи потенциала для участков шаровых слоев.- Изв.АН СССР.Физика Земли, 1981, J£ 2,с.58-66.

45. Гласко В.Б., Страхов В.Н. Проблема единственности в некоторых обратных задачах геофизики. В кн.: Проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1977, с.96-107.

46. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода.- Журн.вычисл.матем.и матем. физики, 1964, т.4, $ 3,с.564-571.

47. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. Применение методов регуляризации в нелинейных задачах .- Журн.вычисл.матем.и матем.физики, 1965, т.5, № 3, с.463-473.

48. Гласко В.Б., Остромогильский А.Х., Филатов В.Г, 0 восстановлении глубины и формы контактной поверхности на основе регуляризации.- Журн.вычисл.матем.и матем.физики, 1970, т.10,$ 5, с.1292-1297.

49. Мудрецова Е.А., Гласко В.Б., Филатов В.Г. О разрешающей способности метода регуляризации и определение участка характерного изменения формы контактной поверхности.- Изв.АН СССР.Физика Земли, 1974, J5 6, с.98-101.

50. Мудрецова Е.А., Филатов В.Г. Решение обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности.- Изв.АН СССР. Физика Земли,1982, Js I, с.93-97.

51. Девицын В.М. Об изучении строения двумерных слоистых оред по комплексу наземной и сквашпшой гравиметрии,- Изв.АН СССР. Физика Земли, 1981, 9, с.44-50.

52. Лаврентьев М.М. 0 некоторых некорректных задачах математической физики.- Новосибирск: Изд-во СОАН СССР, 1962.- 91 с.

53. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.:Наука, 1977. 735 с.59. |аспеъ К. Com. pat cut Con. of voteafc MHS) e^u-EcgiCcK.

54. Computet. Plny^tcs Commit n.ie a. tton-S, >19 7 G , \лИ2, л/1 } p. ЪЪ

55. Вабищевич П.Н., Дегтярев Л.М. Численные методы решения задач теории МГД-равновесия. В кн.: Современные проблемы математической физики и вычислительной математики.- М,: Наука,1982, с.72-83.

56. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М.:Наука,1983.-616 с.

57. Самарский В.А., Нжолаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.- М.:Наука,1978.- 592 с.

58. Ваугк R.E., Rose D.tJ. Walking a^otittms j-оъ elliptic bouYidcvalue p^o ems . -T. Tke

59. Сon<s~toLn.-i coo^f icierft case . — SIAM 0. , Mamet. Ana2., А в?? , v. Лку A/5", p.^2 -&19.- 132

60. Самарский А. А. Введение в численные методы.- М.:Наука, 1982.- 272 с.

61. Капорин Н.Е. МодафипдрованныЁ марш- алгоритм решения разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике.- В кн.: Разностные методы математической физики.М.: Изд-во МГУ, 1980, с.П-21.

62. Вабищевич П.Н., Булатов П.А. Экономичные разностные методы решения прямых задач грави-и магниторазведки.- Изв.АН ССОР. Физика Земли, 1983, JS 10, с.68-76.

63. Бахвалов Н.С. Численные методы.- I.- М.:Наука,1975.- 632 с.

64. Вабищевич П.Н.Булатов П.А. Сеточные методы решения прямых задач грави-и магниторазведки.- Докл.АН Тадж.ССР,1983,Т.ХХУ1, JS 2,с.72-75.

65. Вабищевич П.Н.,Пулатов П.А. Численное решение прямых трехмерных задач гравиразведки.- Геол. и геофизика,1984, lb 3, с.123-127.

66. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике.- М.: Наука, 1976. 248 с.

67. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций.- М.: Наука, 1980.- 352 с.

68. Богданова М.С. и др. О комплексе программ для решения разностных эллиптических краевых задач. В кн.: Разностные методы математической физики, М.: Изд-во МГУ, 1981, с.69-76.

69. Богданова М.С. и др. Комплекс программ для решения разностных эллиптических краевых задач. В кн.: Пакеты прикладных программ: Проблемы и перспективы (алгоритмы и алгоритмические языки). М.: Наука,1982, с.24-35.

70. Мудрецова Е.А. Учет влияния рельефа при высокоточных измерениях с гравиметрами в шахтах, штольнях и на дневной поверхности,- Изв.ВУЗов Сер.Геология и разв., 1963, is 3, о.93-111.

71. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М.:Наука, 1981,- 512 с.

72. Вабшцевич П.Н., Пулатов П.А. Об одном вычислительном алгоритме трансформация полей в гравиметрии. Известия ВУЗов.Сер.Геология и разв.,1984, $ 6, с.90-94.

73. Пулатов П.А. Разностные методы решения некоторых задач геофизики.- В сб.: Современные вопросы физики и приложения. Тезисы докладов и сообщений всесоюзной конференции.- М.:ИОФАН СССР, 1984, с.42.

74. Березин PI.C., Жидков Н.П. Методы вычислений.П,- М.: Физмат-гиз, 1962. 639 с.

75. Вабшцевич П.Н,, Пулатов П.А. Быстрый численный алгоритм решения задачи трансформации потенциальных полей в гравиметрии.-Вестн.Моск.ун-та,Сер.4. Геология, 1984, 3, с.107-109.

76. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения.- М.:Наука, 1980.- 232 с.

77. Мудрецова Е.А., Дорофеев И.о., Целев В.И., Филатов В.Г. Аналитическое продолжение гравитационного поля в нижнее полупространство на основе метода регуляризации.- Изв.АН СССР.Физика Земли,1980, В 2,с.97-100.

78. Страхов В.Н., Валяшко Г.М. Об эффективности алгоритмов фильтрации, построенных с учетом априорной информации о свойствах помех во входных данных.- Изв.АН СССР.Физика Земли, 1977,В 6,с.60-69.

79. ВЗ. Савинский И.Д., Брискин В.Л., Петрова А.А. Пересчет гравитационных и магнитных полей на наклонную и вертикальную плоскости- 134 в нижнем полупространстве,- Изв.АН СССР. Физика Земли, 1981, В 12, с.45-59.

80. Соколовский К.И. Метод вертикального гравитационного зондирования Земли в целом. Докл.АН УССР, сер.Б., 1980,15 9, с.29-33.

81. Старостенко В.И.,Састри Р.Г.С. Регуляризирущее решение трехмерных задач геофизики, представленных интегральными уравнениями первого рода типа свертки,- Докл.АН СССР,1979,т.246,JS 5,с.1074-1079.

82. Страхов В.Н. К теории фильтрации и трансформирования потенциальных полей при наличии априорной информации о помехах во входных данных.- Изв.АН СССР, Физика Земли, 1977, 3, с.76-8.7,

83. Гласко В,Б.,Литвиненко O.K., Мелихов В.Р. Возможности регуляри-зущих алгоритмов при продолжении потенциальных функций в сторону возмущающих масс.- В кн.: Прикладная геофизика, вып.60.-М.: Недра, 1970, с.142-157.

84. Вабшцевич П.Н.,Пулатов П.А. Об одном вычислительном алгоритме решения задачи продолжения потенциала в гравиметрии.-Докл. АН Тадж.ССР, 1983, т.ХШ, 13 9,с.539-542.

85. Логачев А.А. Методическое руководство по аэромагнитной съемке,-М.: Госгеолтехиздат, 1955,- 147 с.

86. Вабшцевич П.Н.,Булатов П.А. Эффективные регуляризирутсщие алгоритмы решения задачи Коши для эллиптических уравнений.

87. В кн.: Информатика, вычислительная техника, автоматизация в науке и технике, народном хозяйстве. Сб.тезисов докладов Московской городской конференции.- М.,1983, с.85-86.

88. Вабшцевич П.Н., Цулатов П.А, Об одном методе численного решения задачи Коши для эллиптических уравнений. Вестн.Моск.ун-та, Сер.15.Вычисл.матем. и киберн.,1984,В 2,с.3-8.

89. Вабшцевич П.Н.О численном решении нелокальных эллиптических задач.-Изв. ВУЗов .Математика, 1983, JS 5, с. 13-19.- 135

90. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения: и его приложения. М.: Мир, 1970.- 336 с.

91. Вабшцевич П.Н. О решении задачи Коши для уравнения Лапласа в двухсвязной области.- Докл.АН СССР, 1978, t.24I,J£ 6,с.1257-1260.

92. Вабшцевич П.Н., Гласко В.Б., Криксин Ю.А. О решении одной задачи Адамара с помощью регуляризирующего по Тихонову алгоритма.- Журн.вычисл.матем. и матем.физики,1979, т.19, JS 6, с.1462-1470.

93. Вабшцевич П.Н. Разностные методы решения задачи Коши для эллиптических уравнений.- Журн.вычисл.матем. и матем.физики, 1981,т.21, гё 2, с.509-511.

94. Абдулкеримов Л.Ш. Регуляризация некорректной задачи Коши для эволюционных уравнений в банаховом пространстве,- Уч.записки Азерб.ун-та.Сер. физ-мат.наук, 1977, J5 I, с,32-36.

95. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭШ.- Киев: Наукова думка, 1978.-292 с.

96. Страхов В.Н. 0 выборе константы в правиле Тихонова задания параметра регуляризации при решении линейных условно-корректных задач.- Журн.вычисл.матем. и матем.физики,1981, т.21,JS 5, C.I3I5-I3I8.

97. Тихонов А.Н.,Гончарский А.В.,Степанов В.В., Ягола А.Г.Регуля-ризирутощие алгоритмы и априорная информация.чД.:Наука, 1983.200 с.

98. ЗШ.Ионкин Н.И. 0 нахождении численного решения одной неклассической задачи.- Вестн.Моск.ун-та.Сер.15.Вычисл.матем. и киберн., I979,J6 I, с.64-68.

99. GatcCcc- To%curLo E. FASTF * Fast

100. Fou-vCet TlcLKsfczm. icrdL ab&iti-aiy -j-cuchozs. Сотр. Phys • Ocmrrt,, <t9$3, W. 30 , >/4 , p. 402.

101. Карпов В.Я., Корягин Д.А., Самарский А.А. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики. Журн.вычисл.матем. и мат ем. физики, 1978, т.18, В 2, с.458-468.1. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

102. W гравитационный потенциал- фундаментальное решение уравнения Лапласа f гравитационная постоянная U - магнитный потенциал в(о^) - плотность аномального тела

103. С R1^ f п,- 2.,3 область залегания аномального тела П (ъсО)- ограниченная область в (?Л дП граница области -О11 Я2д--дифференциальный оператор Лапласа- ( и-1 ) мерный дифференциальный оператор Лапласа1. VI

104. А-2 А^ разностный оператор ЛапласасА =4

105. Д^ разностный оператор второй производной по сс^