Плоские обратные задачи теории потенциала тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

В в е д е н и е.

Глава I. О РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ПОТЕНЦИАЛА.

§ I. Постановка обратной задачи и сведение ее к нелинейной краевой проблеме для аналитических функций.

§ 2. Локальная разрешимость обратной задачи потенциала.

§ 3. Достаточные условия разрешимости обратной задачи потенциала.

§ 4. Оценки коэффициентов ограниченных однолистных функций.

§ 5. Оценки коэффициентов однолистных полиномов.

§ 6. Необходимые условия разрешимости обратной задачи и априорные оценки решений.

§ 7. Продолжение по параметру решения обратной задачи потенциала.III

Глава П. ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

§ I. Постановка и классификация задач.

§ 2. Обратная линейная задача. Определение плотности тела по заданному потенциалу.

§ 3. Об аналитичности и гладкости решений обратной задачи.

§ 4. Об одной задаче сопряжения гармонических функций и обратной к ней. Метод искусственного подмагничивания в электроразведке.

§ 5. Обратная задача для интеграла типа Коши, случай ограниченной и неограниченной линий интегрирования.

Глава Ш. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ГРАВИРАЗВВДКЕ И

МАГНИТОРАЗВЕДКЕ.

§ I. Постановка задач. Алгоритм численного построения эквивалентного семейства решений по аналитически заданному полю.

§ 2. Об одном способе аппроксимации (аналитического продолжения) гравитационных полей.

§ 3. Примеры численного построения эквивалентных семейств решений.

§ 4. О нулях гравитационного потенциала. Восстановление сечений тела по модулю градиента внешнего потенциала.

§ 5. Таблица оценок коэффициентов однолистных полиномов.

Л и т е р а т у р а.

Обратные задачи для дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными) состоят в определении дифференциального оператора (коэффициентов, правой части, на -чальных и граничных значений по некоторой информации о решении (дополнительные граничные или начальные условия, задание решения на некотором подмножестве области его определения, задание функционалов от решения). Первой обратной задачей можно считать классическую задачу, идущую от Ньютона, о фигурах равновесия вращающейся жидкости: найти такое тело, ньютоновский потенциал которого совпадает на искомой границе с заданной функцией, описывающей потенциал центробежных сил. С точки зрения обратных задач данная проблема трактуется как задача определения правой части уравнения Пуассона по дополнительным граничным данным. Теория фигур равновесия приковывала к себе внимание известных математиков в течение дли -тельного периода времени; это связано с важностью ее выводов для теории фигур небесных тел, в том числе и Земли, а также привлекательностью ее задач, сочетающих простоту постановки с большими трудностями решения.

В связи с развитием геофизических методов исследования внутреннего строения Земли возникли и начали изучаться об -ратная кинематическая задача сейсмики, обратная задача теории потенциала, которая является математической моделью обратных задач гравиразведки и магниторазведки, обратная задача электроразведки. Широко известны обратная задача Штурма - Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения, и обратная задача рассеяния, нашедшие применение при исследовании ряда важнейших нелинейных уравнений физики.

Круг рассматриваемых обратных задач постоянно расширяется. Одновременно идет процесс внутреннего развития теории обратных задач, устанавливается классификация по типам дифференциальных уравнений, относительно которых ставится обратная задача, по размерности искомых функций, по методам их исследования и т.д.

Обратные задачи, как правило, являются некорректно поставленными. Дело осложняется тем, что данные обратных геофизических задач измеряются с ошибками и лишь в конечном числе точек, здесь возникает задача аналитического продолжения (продолжение решением уравнения) функций, которая сама является типично некорректной.

В связи с большой прикладной важностью некорректных задач, а также - с развитием вычислительной техники методы их решения интенсивно развивались начиная с середины пятидесятых годов. В вопросе постановки и исследования некор -ректных задач принципиально важное значение имеют работы

A.Н.Тихонова [118-124] , М.М.Лаврентьева [53-55, 58-62] и

B.К.Иванова ¡33, 35, 40, 41] . Развитие теории некоррект -ных задач и ее приложение к решению конкретных задач дано в работах их учеников и последователей [7> 19, 72, 73, 87, 102, 103, 117] .

Также интенсивно в этот период исследовались обратные задачи для дифференциальных уравнений; особенно большой вклад внесен М.М.Лаврентьевым и его сотрудниками, в исследованиях [з, 6, 13, 55-62, 94, 95, 127, 128} рассмотрен широкий круг вопросов для обратных задач, возникающих в геофизике. Возникающие в обратных задачах проблемы часто отличаются от классических постановок в теории дифференциальных уравнений, это стимулирует развитие самой теории.

2°. Обратная задача потенциала состоит в определении области и плотности по заданному внешне^ ньютоновскому потенциалу. Спецификой является то, что неизвестный объект -область. Это роднит данное направление с задачами, встречающимися в теории фигур равновесия вращающейся жидкости [42, 65, бб] в теории упруго-пластичности [5^ , в гидродинамике и в теории фильтрации [51, 71] . Существенным моментом является нелинейность этих задач.

Первый результат в обратной задаче теории потенциала относится к проблеме единственности. П.С.Новиков в 1938 г. доказал [75^ , что из равенства внешних потенциалов звездных областей постоянной плотности следует совпадение областей. Разработанный им метод (лемма П.С.Новикова), заключающийся в том, что плотность, создающая нулевой внешний потенциал, ортогональна всем гармоническим функциям, успешно применялся многими авторами [в, 32, 45, 67, 97, 101, 167-169]; особенно полные исследования проведены А.И.Прилепко [79-83, 85, 87J . Второй подход к проблеме единственности, связанный с исследованием особых точек потенциала, предложен А.А.Замо-ревым |~26-29] , он применяется в классе областей, границы которых имеют общий участок. В отличие от интегрального характера метода П.С.Новикова здесь задача локализуется.

Вопрос о существовании решения обратной задачи потенциала начал .изучаться Л.Н.Сретенским [99^] в 1938 году. Используя методы, применяемые в теории фигур равновесия вращающейся жидкости [б5, 66| , он доказал существование решения "вблизи" шара в случае постоянной плотности. В более общей ситуации локальные теоремы существования были получены В.К.Ивановым £з4^ и А.И.Прилепко ^84] , а также в ¡44^ . Рассматривался только трехмерный случай.

В широко известной работе {пв^ А.Н.Тихонова предложен принципиальный подход к вопросу об устойчивости: ". Хпри соблюдении некоторых условий) устойчивость обратной задачи есть непосредственное следствие теоремы единственности". Различные конкретные оценки устойчивости обратной задачи потенциала получены И.М.Рапопортом ,Ю.А.Пашкиным ¡1б9] , В.К.Ивановым [зз] , М.М.Лаврентьевым , А.И.Прилепко [8^3 и другими авторами.

В связи с геофизической интерпретацией обратной задачи потенциала большой интерес представляет проблема продолжения измеренного по поверхности Земли гравитационного (магнитного) поля вниз, в область, недоступную для непосредственных измерений. Основы теории аналитического продолжения (продолжение решением дифференциального уравнения) функций с части границы области заложены М.М.Лаврентьевым [53-55, 59] . В цикле работ В.К.Иванова и его учеников ¡36-39] разработаны методы определения некоторых характеристик (моментов) возмущающих аномальных масс по измеренным значениям производных потенциала.

Численные методы решения обратной задачи потенциала (гравиметрии, магнитометрии), основанные на понятии регуляризации некорректных задач, которое ввел А.Н.Тихонов |^120 , 121] , разрабатывались В.Н.Страховым |^103] , Б.В.Гласко £19] , В.И.Старостенко ¡Ю2] , Е.А.Мудрецовой ¡^7з] и другими авторами.

В.К.Иванов £30,Зг| двумерную обратную задачу потенциала свел к нелинейному сингулярному уравнению относительно функции конформно отображающей единичный круг на искомую область. С этих работ началось исследование обратных задач методами теории аналических функций комплексного переменного. Один частный случай еще ранее был рассмотрен И.М.Рапопортом [9о[] . В последнее десятилетие шло интенсивное развитие этого направления. Различные обобщения и приложения уравнения В.К.Иванова были сделаны В.Н.Страховым [104-113| , А.В.Цирульским [131-13б} особенно широко использовался тот факт, что в некоторых случаях нахождение отображающей функции сводится к отысканию конечного числа параметров из конечного числа уравнений. По существу построена новая математическая теория плоской обратной задачи потенциала на основе методов теории функции комплексного переменного. Автор данной работы также принял в этом участие.

3°. Дадим постановку задач, рассматриваемых в диссертации.

ЗАДАЧА I (обратная задача потенциала). В односвязной области I плоскости определена непрерывная функция ^А (?.,?) » & в окрестности точки гГ = оо задана аналитическая функция

7 2г ^

I) т

Найти такую ограниченную односвязную область ои в I с жор-дановой границей, что , где

ЗАДАЧА 2 (определение плотности). Задана область

ЭТ. а в сО определена аналитическая функция вида (I) непрерывная в . Найти такую функцию /VI в что

Исследуется также трехмерный аналог задачи 2, как для ньютоновского потенциала, так и для потенциала эллиптического уравнения, в частности для уравнения Гельмгольца.

ЗАДАЧА 3. В односвязной области Т определена аналитическая функция , а в окрестности точки задана аналитическая функция И^) вида (I). Найти такую область оО в Т с границей $ и аналитическую в функцию

Ч+(Ъ) » что

Задача 3 составляет математическую модель обратной задачи магниторазведки в методе подмагничивания. Функция описывает искусственное магнитное поле, ^Ку - измеряемое вторичное поле, , где - магнитные проницаемости сред , ¿0 соответственно.

Изучается также обратная задача для интеграла типа Коши состоящая в нахождении такой кривой, потенциал типа Коши, которой с определенной плотностью совпадает с заданной в окрестности точки ¿Г-оо аналитической функцией. В случае неограниченной кривой получается математическая модель гравиразведки слоистых сред.

Выработан (совместно с А.И.Прилепко) подход к постановке и исследованию широкого класса обратных задач (задач с неизвестной границей) для аналитических функций. Пусть задана область 6и с границей м . Требуется найти функции аналитические в 3), 3) соответственно и непрерывные вплоть до границы по условию где (7Э $7 Су ^ - заданные функции. Обратными к этой задаче линейного сопряжения являются следующие типы задач.

I. Даны ЗУ. г ; найти £с и некоторые из коэффициентов а, Су а?-$ при заданных других по условию (2).

П. Даны С, d:)~¡^^ в °^ласти "Г и в окрестности точки ; найти ЗГ вТ и 01 в ои по условию (2).

Ш. Вместо задания 11 (%) в II задается ещё одно краевое условие на неизвестной границе

Кроме сформулированных выше задач в построенный класс входят и другие обратные задачи, возникающие в приложениях.

4°. Главной целью работы является описание картины разрешимости и построение решений обратных задач теории потенциала. Используются методы теории функций комплексного переменного. Разработана методика исследования плоских обратных задач, основанная на теории краевых задач для аналитических функций и теории однолистных функций. В диссертации содержатся следующие основные результаты:

I. Доказаны локальные теоремы существования решения обратных задач потенциала как в случае ограниченных тел, так и в случае слоистых сред, а также в методе искусственного подмаг-ничивания.

Я. Доказана разрешимость обратной задачи потенциала для достаточно малых постоянных плотностей.

3. Получены необходимые условия разрешимости обратной задачи потенциала.

4. Получены априорные оценки решения обратной задачи потенциала.

5. Дано решение обратной задачи потенциала в классе звездных областей методом продолжения по параметру.

6. Разработаны методы, дающие лучшие в настоящее время численные оценки коэффициентов ограниченных однолистных функций и однолистных полиномов. Выявлена глубокая связь между обратной задачей потенциала и теорией однолистных функций.

7. На основании полученных теоретических результатов построен, реализованный на ЭВМ, алгоритм решения обратной задачи потенциала (гравиразведки) по полю заданному аналитически, характеризующийся универсальностью и обоснованностью.

8. Решена задача о нахождении гладких плотностей в данной области, создающий заданный потенциал как в двухмерном, так и трехмерном случаях.

9. Изучен вопрос о гладкости границы области в зависимости от гладкого продолжения через границу потенциала этой области.

10. Выработан общий подход к постановке и исследованию широкого класса обратных задач для аналитических функций, встречающихся в приложениях.

1. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций. -Успехи математ. наук, 1975, т.30, вып. 4, с.3-60.

2. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976, 344 с.

3. Алексеев A.C. Обратные динамические задачи сейсмики. В кн.: Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967, с. 9-84.

4. Алексеев Г.В., Чередниченко В.Г. К теории обратных задач излучения звука. В кн.: Акустические антенны и преобразователи. Часть 2. Владивосток: Изд-во ДВПИ, 1982,с.144-147.

5. Аннин Б.Д. Двумерные упруго-пластические задачи.Новосибирск: Изд-во НГУ, 1968,

6. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978, с.118.

7. Антохин Ю.Т. О некоторых некорректных задачах теории потенциала. Дифференц. уравнения, 1966, т.2, № 4, с.525-532.

8. Атаходжаев М.А. Об единственности решения обратной смешанной задачи теории потенциала. Сибирский математ. журнал, 1966, т.7, № 2, с.455-457.

9. Балк П.И. К проблемам единственности и эквивалентности в трехмерной обратной задаче гравитационного потенциала. Докл. АН СССР, 1977, т.237, № I, с.48-51.

10. Безнощенко Н.Я. К обратной задаче логарифмического потенциала. Сибирский математ. журнал, 1974, т.15, № I,с. 16-27.

11. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966, 352 с.

12. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966, 204 с.

13. Бухгейм А.Л., Яхно В.Г. 0 двух обратных задачах для дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1976, т.229,4, 785-786.

14. Вайнберг М.Н., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969, 528 с.

15. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959, 628 с.

16. Векуа И.Н. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970, 380 с.

17. Воронин В.В., Чередниченко В.Г. Построение эквивалентных решений обратной задачи гравиметрии в двумерном случае. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1981, № 3, с.60-67.

18. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977, 640 с.

19. Гласко В.Б., Остромогильский А.Х., Филатов В.Г. 0 восстановлении глубин и формы контактной поверхности на основе регуляризации. Журнал вычислит.математ. и математ.физики, 1970, т.10, № 5, с.1292-1297.

20. Голиздра Г.Я. Особые точки аналитического продолжения гравитационного поля и их связь с формой возмущающих масс. В кн.: Дополнительные главы курса гравиразведки и магниторазведки. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1966.

21. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966, 628 с.

22. Гриншпан А.З. Улучшение оценки разности модулей соседних коэффициентов однолистных функций. В кн.: Некоторыевопросы современной теории функций. Новосибирск: Институт математики СО АН GCGP, 1976, с.41-54.

23. Данилюк И.И., Михалюк М.И. О локальной единственности решения обратной задачи логарифмического потенциала. -Докл. АН У,ССР, сер. Б., 1972, № 8, с.683-687.

24. Девицын В.М. Об обратной задаче гравитационного каротажа. Геофизический журнал, 1981, т.З, № 4, с.28-32.

25. Дмитриев В.И. Обратные задачи электромагнитного зондирования. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1977, » I, с.19-23.

26. Заморев A.A. Об определении производных гравитационного потенциала и соотношений между моментами возмущающих масс по производной на плоскости. Изв. АН СССР, сер. географ, и геофиз., 1939, № 3, с.275-286.

27. Заморев A.A. Обратная двухмерная задача потенциала. Докл. АН СССР, 1941, т.31, № 9, с.872-874.

28. Заморев A.A. Решение обратной задачи теории потенциала. Докл. АН СССР, 1941, т.32, №8, с.546-547.29» Заморев A.A. Определение формы тела по производным внешнего гравитационного потенциала. Изв.АН СССР, сер. географ» и геофиз., 1942, № I.

29. Иванов В.К. Теорема единственности обратной задачи логарифмического потенциала для звездных множеств. Изв. вузов. Математика, 1958, № 3, с.99-106.

30. Иванов В.К. Об устойчивости обратной задачи логарифмического потенциала. Изв. вузов. Математика, 1958, $ 4, с.96-99.34« Иванов В.К. Обратная задача теории потенциала для тела, близкого к данному. Изв. АН СССР, Математ., 1956, т.20,- № 6, с.793-818.

31. Иванов В.К., Васин В.В., Танина В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978, 206 с.

32. Иванов В.К. Распределение особенностей потенциала и пространственный аналог теоремы Полиа. Математ.сборник, 1956, т.40, № 2, с.319-338. Иванов В.К. Об устойчивости комплексной проблемы моментов. - Математ.сборник, 1965,т.68, № 4, с.570-580.

33. Иванов В.К. Об определении гармонических моментов возмущающих масс по производной гравитационного потенциала, заданной на плоскости. Изв. АН СССР, сер. геофиз., i960, № 5, с.403-414.

34. Иванов В.К., Чудинова A.A. Об одном способе нахождения гармонических моментов возмущающих масс. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1966, № 3, с.55-62.

35. Иванов В.К., Казакова Л.Э. Об одном приложении аналитических функций к обратной задаче потенциала. Сибирский математ.журнал, 1963, т.4, № 6, с.1311-1326.

36. Иванов В.К. Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной задачи теории потенциала. -Докл. АН СССР, 1962, т.142, № 5, с.997-1000.

37. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах. -Математ. сборник, 1963, т.61, № 2, с.211-223.

38. Идельсон Н.И. Теория потенциала с приложениями к теории фигур Земли и геофизики. М., Л.ГТТИ, 1936, 348 с.

39. Ильина JI.П., Коломийцева З.Д. Об оценке jC^j в зависимости от ¡Сг/ в классе $ . Вестник Ленинградского университета, 1974, № I, с.27-30.

40. Исаков В.М. О разрешимости обратной задачи теории потенциала. Сибирский математ.журнал, 1973, т.14, № 5, с.987-1005.

41. Исаков В.М. О единственности решения обратной задачи теории потенциала. Докл. АН СССР, 1979, т.245, № 5,с .1045-1047.

42. Исаков В.М. Обратные теоремы о гладкости потенциалов. Дифференц. уравнения, 1975, т.II, Jf° I, с.66-74.

43. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализз в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959.

44. Кобрунов А.И. О методе оптимизации при решении обратной задачи гравиразведки. Изв. АН СССР. Физика З3емли, 1978, № 8, с.73-78.

45. Кудря A.B. Решение обратной задачи гравиметрии по гармоническим моментам. Докл. АН СССР, 1972, т.205, № 3, с.574-577.

46. Козманова A.A. Вывод уравнения обратной задачи ньютонова потенциала. Докл. АН СССР, 1957, т.116, № I, с.21-23.

47. Лаврентьев М.А., Щабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973, 416 с.

48. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973, 736 с.

49. Лаврентьев М.М. К вопросу об обратной задаче теории потенциала. Докл. АН СССР, 1956, т.106, № 3, с.389-390.

50. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа. Изв. АН СССР. Математ., 1956, т.20, № 4, с.819-842.

51. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Мзд-во СО АН СССР, 1962,

52. Лаврентьев М.М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1965, т.160,I, с.32-35.

53. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969, 68 с.

54. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973,

55. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шшпатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980, 288 с.

56. Лаврентьев М.М*, Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982, 88 с.

57. Лаврентьев М.М. Об одном классе нелинейных интегральных уравнений первого рода. Сибирский математ.журнал, 1963, т.4, № 4, с.837-844.

58. Лебедев H.A. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975, 336 с.

59. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977, 448 с.

60. Лихтенштейн Л. Фигуры равновесия вращающейся жид-' кости. М.: Наука, 1966.

61. Ляпунов A.M. Собрание сочинений. М.: Изд-во АН92 с.72 с.СССР, 1959, т.Ш-1У.

62. Маргулис A.C. К теории потенциала в классах Изв. вузов, математ., 1982, I, с.33-41.

63. Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач. -Докл. АН СССР, 1964, т.156, № 3, с.503-506.

64. Милин И.М. Однолистные функции и ортонормированные системы. М.: Наука, 1971, 256 с.

65. Михайлов Л.Г. Общая задача сопряжения аналитических функций и ее применение. Изв. АН СССР. Математ., 1963,т.27, № 5, с. 967-992.

66. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977, 424 с.

67. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974, 360 с.

68. Мудрецова Е.А., Гласко В.Б., Филатов В.Г. 0 разрешающей способности метода регуляризации и определения участка характерного изменения формы контактной поверхности. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1974, № 6, с.98-101.

69. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968, 512 с.

70. Новиков П.С. О единственности обратной задачи потенциала. Докл. АН СССР, 1938, т.18, № 3, с.165-168.

71. Никонова Ф.И., Цирульский A.B. К вопросу о граничных особых точках логарифмического потенциала. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1975, №6, с7 76-80.

72. Оганесян С.М. Решение обратной задачи гравиметриив классе распределения плотностей. Докл. АН УССР,сер. "Б", 1981, № 6, с.39-43.

73. Павлов Г.А. К обратной задаче логарифмического потенциала. Дифференц. уравнения, 1975, т.II, № I, с.196-199.

74. Прилепко А.И. О единственности решения внешней обратной задачи ньютонового потенциала. Дифференц.' уравнения, 1966, т.2, № I, с.107-124.

75. Прилепко А.И. Об обратных задачах теории потенциала. Дифференц. уравнения. 1967, т.З, № I, с.30-44.

76. Прилепко А.И. Внутренние обратные задачи теории потенциала. Докл. АН СССР, 1968, т.182, № 3, с.503-505.

77. Прилепко А.И. Об единственности решения одной обратной задачи, представленной интегральным уравнением первого рода. Докл. АН СССР, 1966, т.167, № 4, с.751-754.

78. Прилепко А.И. Контактные обратные задачи обобщенных магнитных потенциалов. Докл. АН СССР, 1968, т.182, № 3, с.503-505.

79. Прилепко А.И. О разрешимости обратной задачи объемного потенциала переменной плотности для тела, близкого к данному. Сибирский математ. журнал, 1970, т.II, № 6,с.1321-1333.

80. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала. -Математ. заметки, 1973, вып. 14, № 5, с.755-765.

81. Прилепко А.И. 0 решении обратных задач логарифмического потенциала. В кн.: Материалы школы конференции по ку-батурным формулам и приложению функционального анализа в математической физике. Новосибирск: Наука, 1973, с.171-175.

82. Прилепко А.И. Об одном классе интегральных уравнений первого рода. Дифференц. уравнения, 1973, т.9, № I, с. I36-I4I.

83. Прилепко А.И. Обратные задачи логарифмического потенциала для случая тела, близкого к данному. Дифференц.уравнения, 1974, т.10,^1, с. 147-159.

84. Прилепко А.И., Чередниченко В.Г. Об одном классе обратных краевых задач для аналитических функций. . Дифференц. уравнения, 1981, т.17, № 10, с.

85. Рапопорт И.М. О плоской обратной задаче потенциала. -Докл. АН СССР, 1940, т.28, Jf° 4, с.305.

86. Рапопорт И.М. Об устойчивости в обратной задаче теории потенциала. Докл. АН СССР, 1941, т.31, № 4, с. 303-306.

87. Рапопорт И.М. Об одной задаче теории потенциала. -Украинский математ. журнал, 1950, т.2, № 2, с.38-55.

88. Рапопорт И.М. О некоторых достаточных условиях единственности решения обратной задачи теории потенциала. Докл. АН УССР, 1940, т.5, с.23-30.

89. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972, 164 с.

90. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск, Изд-во НГУ, 1978, 88 с.

91. Ремпель Г.Г. Об одном неравенстве магниторазведки. -Докл. АН СССР, 1973, т.208, № I, с.84-86.

92. Симонов В.П. К вопросу о единственности решения обратной задачи потенциала. Научные докл. высшей школы. Физи-ко-математ. науки, 1958, № 6, с.14-18.

93. Сливняк И.М. О теореме единственности в теории потенциала. Изв. АН СССР. Математ., 1950, т. 14, №5, с.473-491.

94. Сретенский Л.Н. Об одной обратной задаче теории потенциала. Изв. АН СССР. Математ., 1938, К° 5-6, с.551-570.

95. Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. -М.- Л.: Гостехиздат, 1946, 318 с.

96. Сретенский Л.Н. О единственности определения формыпритягивающего тела по значениям его внешнего потенциала. -Докл. АН СССР, 1954, т.99, № I, с.21-22.

97. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. Киев: Наукова Думка, 1978, 228 с.

98. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве. Дифференц. уравнения, 1970, т.б, №8, с.1490-1495.

99. Страхов В.Н. К теории плоской обратной задачи магянитного потенциала при переменной намагниченности. Изв. АН CCGP. Физика Земли, 1970, -№ 3, с.44-58.

100. Страхов В.Н. Некоторые вопросы плоской задачи гравиметрии. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1970, № 12, с.32-40.

101. Страхов В.Н. К теории обратной задачи логарифмического потенциала для контактной поверхности. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1974, № 2, с.43-65.

102. Страхов В.Н. Об обратной задаче логарифмического потенциала для контактной поверхности. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1974, № 6, с.30-60.

103. Страхов В.Н. Об эквивалентности в обратной задаче гравиметрии при переменной плотности масс. Докл. АН СССР,1977, т.236, № 2, с.329-331.

104. I. Страхов В.Н. К теории метода искусственного под-магничивания. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1977, № 7, с.

105. Страхов В.Н. Нерешенные проблемы математической теории плоской задачи гравиметрии и магнитометрии. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1979, № 8, с.3-28.

106. Страхов В.Н. Эквивалентность в обратной задаче граг витационных аномалий. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1980,9, с.38-61.

107. Страхов В.Н., Гольдшмит В.И., Калинина Т.Б., Ста-ростенко В.И. Состояние и перспективы развития в СССР теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1982, № 5, с.11-30.

108. Суляндзига П.Б., К вопросу об аналитическом продолжении логарифмического потенциала. Динамика сплошной среды, СО АН СССР, 1976, вып. 24, с.159-162.

109. Суляндзига П.Б. О плоской обратной задаче магнитного потенциала. Дифференц. уравнения, 1977, т.13, № 3, с.529-537.

110. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. -М.: Наука, 1981, 156 с.

111. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. -Докл. АН СССР, 1943, т.39, № 5, с.195-198.

112. Тихонов А.Н. О единственности решения задачи электроразведки. Докл. АН СССР, 1949, т.29, № 6, с.797-800.

113. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. Докл. АН СССР, 1963, т.151, № 3, с.-501-504.

114. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. Докл. АН СССР, 1963, т.153, № I, с.49-52.

115. Тихонов А.Н., Иванов В.К., Лаврентьев М.М. Некорректно поставленные задачи. В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. М.: Наука, 1970,. с.224-238.

116. Тихонов А.H., Арсенин В.А. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979, 288 с.

117. Тихонов А.Н., Плиско В.Б. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах. Журнал вычислит, математ. и математ. физики, 1965, т.5, № 3, с.463-473.

118. Туманов Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань: Изж-во Казанского университета, 1965, 332 с.

119. Федорова Н.В., Цирульский A.B. Об обратной задаче для контактной поверхности. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1978, № 3, с.38-47.

120. Филатов В.А. К вопросу об обратной задаче магниторазведки. Докл. АН СССР, 1969, т.186, № 6, с.1315-1317.

121. Филатов В.А. О единственности решения обратной задачи в методе искусственного подмагничивания. Геология и геофизика, 1968, № I, c.III-117.

122. Хайдаров А.Х. Об одной обратной задаче теории потенциала. Докл. АН СССР, 1975, т.221, № 4, с.428-430.

123. Хайдаров А.Х. О задаче выметания масс для плоских областей. В кн.: Математические проблемы геофизики. - Вып. 6. 4.1. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975, с.160-165.

124. Цирульский A.B. О некоторых свойствах комплексного логарифмического потенциала однородной области. Изв. АН СССР, сер. геофиз., 1963, № 7, с. 1072-1075.

125. Цирульский A.B. О связи задачи об аналитическом продолжении логарифмического потенциала с проблемой определения границ возмущающей области. Изв. АН СССР, сер. геофиз., 1964, №11, с.1693-1696.

126. Цирульский A.B. О единственности решения обратной задачи теории потенциала. Изв. АН СССР. Физика Земли,1969, № б, с.60-65.

127. Цирульский A.B. 0 единственности решения обратной задачи теории потенциала в методе искусственного подмагничи-вания. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1973,

128. Цирульский A.B. О решении прямой и обратной задачи гравиразведки. Изв. АН СССР. Физика Земли. 1974, № 7,с.84-89.

129. Цирульский A.B., Никонова Ф.И. О разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1975, № 5, с.37-46.

130. Цирульский A.B., Мартьппко П.С. Об учете размагничивающего эффекта в задачах магниторазведки. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1979, № 3, с.49-57.

131. Чередниченко В.Г. Внутренние обратные задачи логарифмического потенциала. Дифференц. уравнения, 1972, т.8, № I, с. 154-163.

132. Чередниченко В.Г. Обратные задачи логарифмического потенциала с аналитической плотностью. Дифференц. уравнения, 1972, т.8, № I, с. 154-163.

133. Чередниченко В.Г. Обратные задачи логарифмического потенциала с аналитической плотностью. Дифференц.уравнения, 1973, т.9, № 2, с.333-342.

134. Чередниченко В.Г. Обратные задачи логарифмического потенциала. В кн.: Труды Всесоюзн. школы молодых ученых "Методы решения некорректных задач и их применение", Ростов-Великий, 1973, М.: Изд-во МГУ, 1974, с.103-104.

135. Чередниченко В.Г. О разрешимости внутренней обратной задачи логарифмического потенциала. Дифференц. уравнения, 1974, т.10, № I, с.153-158.

136. Чередниченко В.Г. О разрешимости "в малом" обратной задачи логарифмического потенциала. Дифференц. уравнения, 1975, т.II, № I, с.161-169.

137. Чередниченко В.Г. Определение плотности тела по заданному потенциалу. Дифференц. уравнения, 1976: т.12, № I, с.144-147.

138. Чередниченко В.Г. О разрешимости "в малом" обратной задачи потенциала с переменной плотностью в двумерном случае. ■ Сибирский матем. журнал, 1976, т.17, № 5, с.1168-1176.

139. Чередниченко В.Г. Обратная задача для интеграла типа Коши. Дифференц. уравнения, 1977, т.13, № I, с.174-176.

140. Чередниченко В.Г. Решение двумерной обратной задачи гравиметрии методом последовательных приближений. В кн.: Неклассические методы в геофизике (Материалы Всесоюзн.школы). Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977, с.159-160.

141. Чередниченко В.Г. Обратная задача для потенциала слоистых сред в двумерном случае. Дифференц. уравнения, 1978, т.14, № I, с. 140-147.

142. Чередниченко В.Г. К вопросу об определении плотности тела по заданному потенциалу. Докл. АН СССР, 1978,т.240, № 5, с.1032-1035.

143. Чередниченко В.Г. Определение плотности тела по заданному потенциалу эллиптического уравнения. Дифференц. уравнения, 1979, т.15, $ 2, с.376-378.

144. Чередниченко В.Г. Обратная задача магниторазведки. -В кн.: Всесоюзн. конференция по некорректно поставленным задачам. Фрунзе, 18-23 сентября 1979. Фрунзе, 1979, с.123-124.

145. Чередниченко В.Г. О нулях градиента гравитационного потенциала. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1980, № 8, с. 84-86.

146. Чередниченко В.Г. О восстановлении сечений тела по модулю градиента внешнего потенциала. Докл. АН УССР, серия "Б", 1980, № 12, с.32-34,

147. Чередниченко В.Г. Необходимые условия разрешимости двумерной обратной задачи гравиметрии. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1981, № 5, с.54-56.

148. Исследование и разработка математического алгоритма и программы для ЭВМ по решению обратной задачи гравиметрии. Отчет по хоздоговорной теме. Научный руководитель В.Г.Чередниченко. Инвентарный номер гос.регистрации 81000874 от 8.01. 1981, 31 с.

149. Чередниченко В.Г. Итерационный метод уточнения необходимых условий однолистности полиномов. Сибирский математ. журнал, 1982, т.23, № 2, с.150-156.

150. Чередниченко В.Г. Об одной задаче сопряжения гармонических функций и обратной ей. Дифференц. уравнения, 1982, т.,18, № 4, с.682-689.

151. Чередниченко В.Г. 0 гладкости решений обратной задачи потенциала. Дифференц. уравнения, 1982, т.18, № ?,с. I622-1627.

152. Чередниченко В.Г. Однолистные функции и обратная задача потенциала. Докл. АН СССР, 1982, т.264, Ш I, с.48-51.

153. Чередниченко В.Г. Достаточные условия разрешимости обратной задачи потенциала на плоскости. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1982, № II, с. 33-38.

154. Чередниченко В.Г, Построение регуляризирующего оператора для продолжения гравитационного поля. В кн.: Методы решения некорректных задач и их приложения (Труды Всесоюзной школы-семинара, Ноорус, 1982). Новосибирск: ВЦ СО АНСССР, 1982, с.266-267.

155. Чередниченко В.Г. Продолжение по параметру решения двумерной обратной задачи потенциала. Докл. АН СССР, 1983, т. 268 , № 2 , с. 299-302.

156. Чередниченко В.Г., Воронин В.В. Примеры построения эквивалентных тел в гравиметрии. В кн.: Теория и практика геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий (Труды Всесоюзной школы-семинара, Ялта, 1980). Киев: Наукова Думка, 1982, с.

157. Чудинова A.A. Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала простого слоя. Ученые записки Уральского университета, i960, вып. 23, № 2, тетрадь 2,с. 10-14.

158. Чудинова A.A. Обратная задача потенциала простого слоя для тела, близкого к данному. Изв. вузов. Математика, 1965, № 5, с.140-150.

159. Чудинова A.A. Обратная задача электроразведки. -Изв. вузов. Математика, 1965, № 6, с.150-155.

160. Шашкин Ю.А. О единственности в обратной задаче потенциала. Докл. АН СССР, 1957, т.115, № I, с.64-66.

161. Шашкин Ю.А. К вопросу об обратной задаче теории потенциала. Докл. АН СССР, 1958, т. 118, № I, с. 45-46.

162. Шашкин Ю.А, Теоремы единственности и устойчивости обратной задачи логарифмического потенциала. Математ.сборник, 1964, т.53, вып. 2, с.215-226.

163. H0*ow¡h Л Cl fcnJhez zefi^ej Lz cce/ftcieni esiibictjes of UMVcf/ení fmtctîotts.- PqûC.tfhrez. K-raJ/r. soc. J v. 7/, ^ />.¿>/7-*^,

164. Но 20 i/i// iz â. Cce^-ficient esh мс/le $> ßct иш\/я1ен1p>o¡jиоуш.ц/&, — Почта/ oD^dnct¡ySe ™c?T/ie*fcr~f(cpue^ig fa, и д181. rfikhßoik W- Еые Веьеъкииу c/¿elóliwpoleti-líci¡e Mtííh- в/ Jó- S ¿26-632.

165. Scikcù M. Cl pvctfl-ем сч x/oidqit Jcmaiisос. в/чеъ. Soc., } I/. 70f л/± p 3S'3#.

166. Weck // Jnvezze hofl/e^e Je г ШеакМеоъе-(Xj)pliectflfe с?Иа/уsis} s,

167. S пи/h ft- У- Q и ul a ^fessftaviU fte/Á. P?oC. Cah^bzlJ^e Pbti Soe^ 4361, V.S?} р.Яб^-егс.

168. Yancp ~ Сыну,- CÁu¿t. ^ ce*fficte*r U с/Сfeu и Je J «¿и ус//ей/ с иа/у /с ^c/i/e/îcti, Ръес.J tan /lea / i/. 22 > a/¿} />.