Обратные задачи для уравнения переноса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Определение коэффициента и правой части нестационарного многоскоростного анизотропного уравнения переноса по переопределению в точке и прямые задачи

§ I. Некоторые прямые задачи для уравнения переноса

§ 2. Разрешимость обратных задач определения коэффициента и правой части нестационарного уравнения переноса по переопределению в точке границы

§ 3. Разрешимость обратных задач определения коэффициента и правой части нестационарного уравнения переноса по переопределению во внутренней точке

ГЛАВА 2. Определение коэффициента, индикатрисы рассеяния и правой части нестационарного уравнения переноса по переопределению начальным условием и обратная задача Коши

§ 4. Локальная разрешимость обратных задач определения коэффициентов и правой части нестационарного уравнения переноса при СХЭ

§ 5. Локальная разрешимость обратных задач определения коэффициентов и правой части нестационарного уравнения переноса при Т= ОО

§ 6. Глобальная разрешимость обратной задачи Коши для нестационарного уравнения переноса

ГЛАВА 3. Некоторые теоремы единственности решения обратных задач для стационарного и нестационарного уравнения переноса

§ 7. Единственность определения коэффициентов и правой части нестационарного уравнения переноса по переопределению на части границы

§ 8. Обратная задача определения правой части стационарного уравнения переноса в классе аналитических функций.

§ 9. Единственность определения коэффициента и правой части стационарного уравнения переноса частиц в чисто поглощающей среде

Теория переноса - одна из важных областей современной науки, быстро развивающаяся на основе достижений теоретической и матема тической физики. Современное состояние теории уравнений математической физики, результатами и методами которой мы будем пользоваться при изучении обратных задач теории переноса, отражено в монографиях [15,16, 21, 41, 57, 77] .

Обратные задачи для уравнения переноса относятся к классу обратных задач для дифференциальных уравнений .

Теория обратных задач для дифференциальных уравнений развита в-работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова, Ю.Е.Аниконо-ва, В.В.Гласко, А.Д.Искендерова, А.И.Прилепко, В.Г.Романова и других [7, II, 14, 23-25, 30-33, 42-45, 58-60, 64, 65, 67, 68, 72-7б]. Обратным задачам для дифференциальных уравнений посвящены также работы [I, 18, 38, 52, 53, 56, 71, 78, 81] .

Обратные задачи как правило некорректны, поэтому для их решения часто используются методы теории некорректно поставленных задач, развитые в работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова и других [30, 31, 42-45, 72-76 ] .

Обратные задачи возникают при исследовании реальных физических явлений в тех случаях, когда требуется определить некоторую характеристику рассматриваемого процесса, непосредственное измерение которой затруднительно или невозможно, по её косвенным проявлениям, т.е. по тем характеристикам явления, которые доступны непосредственному измерению.

Прикладная важность обратных задач для дифференциальных уравнений настолько велика, что они становятся в ряд актуальнейших проблем современной математики.

В диссертации рассматриваются обратные задачи для уравнения переноса, которое описывает процессы, происходящие в ядерном реакторе, рассеяние света в атмосфере, прохождение ^ - лучей через рассеивающую среду, перенос излучения в звездных атмосферах и другие физические явления. Линейное нестационарное анизотропное многоскоростное уравнение переноса имеет вид о а,х,1гу)х а,х,(о9т)*п<*пг п/ где | - область, в которой происходит процесс переноса, п, область изменения скоростей частиц, Т - время наблюдения. Функции и 5 характеризуют свойства среды, а р »источники излучения. Уравнение переноса /I/ называется односкоростным, если 1}2 - единичная сфера, изотропным, если индикатриса рассеяния ЛИ. 5 зависит только от ос и "Ь , и стационарным, если * /2 , коэффициенты и правая часть не зависят от времени и отсутствует первое слагаемое в уравнении /I/.

Обратные задачи, которые будут рассмотрены в данной диссертации, состоят в одновременном определении решения прямой задачи и какого-нибудь коэффициента либо правой части уравнения /I/ по условиям, составляющим прямую задачу и некоторому дополнительному условию, которое называется условием переопределения.

Примером пряной задачи для уравнения /I/ может служить задача определения функции 1С , удовлетворяющей уравнению ./I/, начальному и граничному

П> {(±,я,1г)е з/.

6 (ОщТ)"дП^Пг : (пх,1г)<0 1 условиям.

Прямые задачи для уравнения переноса ,в различных видах и геометриях изучались в работах В.С.Владимирова [19, 20] , Т.А.Гермогеновой £¿¡2] , К.Кейза и П.Цвайфеля [373 , Ю.А.Кузнецова и С.Ф.Морозова [39, 40^ , М.В.Масленникова [49] , У.М.Султангази-на [70] , С.Б.Шихова [79] , К.Йоргенса [8б] , А.Дуглиса [84] , К.В.Пао ["88, 89]] , а также в работах [35, 51, 82 , 85 , 92] и в монографии [бб стр. 410-413] . Численным методам решения прямых задач для уравнения переноса посвящены монографии [48] и [б9] .

Первые постановки обратных задач для уравнения переноса были даны в работах Г.И.Марчука и А.И.Прилепко [46, 4?] и [б1] соответственно.

Обратные задачи для уравнения переноса в плоско-параллельной геометрии изучались в рабртах [17, 34, 36, 71, 90, 91] . В работе М.В.Масленникова [49Д исследовались обратные задачи асимптотической теории переноса. Обратным задачам рассеяния для уравнения переноса посвящены статьи [55] и [80] . В докладе [83] дан отчет о Седьмой международной конференции по теории переноса, на которой наряду с другими вопросами рассматривались обратные задачи теории переноса в плоской геометрии.

Прямые и обратные задачи для других видов кинетических уравнений , а уравнение переноса относится именно к кинетическим уравнениям, изучались в работах [2, 8, 9, 12, 13^ .

Исследование многомерных обратных задач для стационарного уравнения в произвольной геометрии было впервые проведено Д.С.Ани-коновым в работах [з - 6 ^ , в которых исследуются обратные задачи определения правой части и коэффициентов стационарного уравнения переноса. В этих работах выделены классы единственности решения обратных задач и разработаны методы доказательства соответствующих теорем единственности.

Диссертация посвящена исследованию обратных задач для нестационарного и стационарного уравнений переноса. Проведенное в диссертации исследование обратных задач может найти применение в таких областях, как диагностика материалов, легирование материалов, физике защиты реакторов и других.

Диссертация содержит три главы, каждая из которых состоит из трех параграфов. Нумерация параграфов и формул в диссертации сквозная. Нумерация теорем сквозная в пределах одной главы. Ссылка на теорему без указания номера главы, в которой находится теорема, означает, что теорема относится к той главе, в которой делается ссылка.

Первая глава диссертации посвящена изучению обратных задач определения правой части и коэффициента 21 уравнения /I/ по переопределениям в точках Г21 . Во второй главе рассматриваются аналогичные задачи и задачи определения функции с пеРе~ определением начальным условием /2/ и обратная задача Коши. В третьей главе изучаются вопросы единственности определения коэффициентов и правой части как нестационарного,, так и стационарного уравнений переноса.

Прежде, чем перейти к изложению результатов диссертации по главам, отметим некоторые общие ограничения. Будем предполагать, если особо.'Не оговорены иные условия, что П^ - ограниченная строго выпуклая область из с границей класса С* » " ограниченная область в К*1 или (пН)-мерная поверхность класса О} I ъ этом случае интеграл' в уравнении /I/ понимается как поверхностный/.

Перейдем к обзору содержания глав диссертации.

В первой главе диссертации рассматриваются обратные задачи определения коэффициента и правой части уравнения /I/ по переопределению и (t, х0,<го)t € с о,т; /4/ в точке (ос01<1Г0)€ шл*0.г, (Пъ,%)>0 и по переопределению к(-ь,Хо,*)-уса,*), амеб-(о;т)*аг м в точке х0 €

В первом параграфе рассматриваются прямые задачи определения решения К, из условий /1/-/3/; из условий /I/ и с/ {а,е с0,т;- ЭЛ,*Д>: V) > 0} при Т= ОО ; из условий /I/, /б/ и "конечного" условия и(Г, = , (х,1г; 6 л ; /7/ а также прямая задача Коши определения функции. 1Л из условий /1/,/2/ в случае Д — (¡5^ . Доказательства теорем существования и единственности решения прямых задач приводятся полностью, так как при исследовании обратных задач нам понадобятся некоторые утверждения и формулы, приводимые в этих доказательствах. Для того, чтобы привести формулировку одной из теорем, введем следующие классы функций:

ЫеСС®: С^(<33)'{иеСт сщ, с^т-фю т.

ТЕОРЕМА. I Пусть£ С^ »У7^ на замыкании своих областей определения, ^0^(^)11 и выполнены условия согласования х,1/) = т,х,1г), (х, 1Г)(= спх^)<0 (0, х,к) +1гря( +2(0, Х,1Г) Шу)=СО, я, гг, чг ')* тогда существует единственная функция (© ) и удовлетворяющая условиям /1/,/2/,/3/.

Во втором параграфе доказывается глобальная разрешимость, т.е. глобальная теорема существования и единственности решения обратной задачи определения пары функций С , F(t,X1v)=l где функции 0. и £ заданы, из условий /1/-/4/ при выполнении определнных условий согласования. Для обратной задачи определения пары функций (И(-Ь9Х,и')9

1(Ь,Х,1г)=бСЬ)йИ,Х}и)+Ш,Х9у) , где функции £1 и ^ также заданы, доказана следующая теорема

ТЕОРЕМА 6 Пусть С* , еСууюсб на замыкании своих областей определения, /^6 С^Ж^Ш , 1й(Ь,Х0,ц)%Ш> на (0,Т) . В этих условиях найдется такое число СЬ , что при Т< а и выполнении следующих условий согласования:

П0,х,1г), (х,и)е дп<*п1, спх,чг;<о ;

0,Х,1г)+1ГрсаеС<Г(а!,1г) = [ #¡(0) + аг

0.(0 сс.1г) (-РСсс 1Г) г Х СКОмЖСО) ^^(.О^У)^1)^'- £(0,Х,1Г)(Р(Х,1Г) + существует единственная пара функций (и,б)€С^р^®)ХС( [0,Т]) , удовлетворяющая условиям /1/-/4/, причем имеет место глобальная единственность решения обратной задачи, т.е. при любом Т >0 не может быть двух различных пар функций, удовлетворяющих условиям /1/-/4/ из класса С^^^СЮ) * С (№,Т ])

В дальнейшем функции Ц и £ считаются заданными и мы не будем это оговаривать в каждом случае отдельно.

В третьем параграфе рассмотрены две обратные задачи определения пары функций (u(t,X,v), FC-fc,®,^« f(i,v)Q(ttx,v)+ R(t,x,v)) и пары функций (ЬСС^ос^) ^ Z(t,x,v)= 6(t,v) Q(t,x,v) + R(t,xfv)) из условий /1/-/3/,/5/. Для первой задачи доказана глобальная разрешимость, а для второй - теорема локального существования и глобальной единственности решения. Оба утверждения доказаны в предположении выполнения определённых, для каждой задачи своих,условий согласования. Приведем точную формулировку теоремы о глобальной разрешимости первой задачи.

ТЕОРЕМА. 7 Пусть Zs, C¡. , Qfá C^pod на замыкании своих областей определения, ^(ФХ/С^^С©}, 0< ^ I Q(t,a0,v)l на Q и выполнены условия согласования

Щv)=<P(a0,v)9 veíl¿; Ш x,v)f (x,v)e ЭД *П2 , (nx,v) < 0 ; %(0,x,ir) + ifcjxod <P(x,v) = ~Z(0,x,v) <f(x,v) + SZs (0, x0,if4ir1)x

Q-z E(0,a^r), (nx,v)<0.

Тогда существует единственная пара функций х С(G) t удовлетворяющая условиям /1/-/3/,/5/.

Во второй главе рассматриваются обратные задачи определения коэффициента, индикатрисы рассеяния и правой части уравнения /I/ по переопределению начальным условием /2/ и переопределению начальным условием при фиксированном Vs % 6

W,a,vc) = У>(х) , xeQí /8/ и обратная задача Коши для уравнения переноса /I/.

В четвертом параграфе доказывается локальная разрешимость обратной задачи определения пары функций С И(Ь,Х,1Г) , Г(Ь,Х,1/) = $(0С,к)С1(Ь,Х,и)+ ,1Г)) из условий /1/,/2/,/5/,/6/ и локальная разрешимость ещё двух задач в классе функций, ограниченных по норме определенным числом. В первой из них необходимо определить пару функций (и(ь,х,х,Фб(зс,1/)й(Ь,X,V) + £(-(;,х,1г)) из условий /I /, /2/, /5/, /6/, а во второй - пару функций (16

Х^К') из тех же условий. В каждой теореме требуется выполнение определенных условий согласования. Приведем точную формулировку теоремы о локальной разрешимости последней обратной задачи этого параграфа.

ТЕОРЕМА 3 Пусть ^ С^. , Уё С^Ы на замыкании своих областей определения, 21, Ге С^ф)и, ^ I на ХТ и выполнены следующие условия согласования: р(х,г)=Г(Т,х,1г)9 (х,4)еда,*йл, (пл,1г)>0;

Угг\ \ гуг, \\

10 0.(0, х^к') ^(рсУ)^' 2

Тогда найдется такое число & , зависящее от данных задачи, что при с/< (X существует пара функций СИ^еСщ^С^) * * С(П) 1 удовлетворяющая условиям /I/,/¿¿/,/6/,/7/. В классе функций Ш-Ь^ес^МпШи^а^нщ^м}' где М>0, при достаточно малом с1 решение рассматриваемой задачи единственно.

В пятом параграфе рассматриваются обратные задачи для уравнения /I/ при Т = оо . Для обратной задачи определения пары функций(их, 1г)9 Ги,х,чг)= Кх)С1(Ь1Х)у) + 8из условий /I/,/5/,/8/ доказана локальная теорема существования и единственности. Для обратной задачи определения пары функций (и("Ь,ОС 11Г)) 2Л,£,'1;)=б(Х)0.СЬ,£,и)+ £СЬ,х,10) из тех же условий доказана локальная разрешимость в классе функций, ограниченных по норме определенным числом. Точная формулировка теоремы о локальной разрешимости первой обратной задачи этого параграфа выглядит так:

ТЕОРЕМ 4 Пусть Zs, й, Ч* ^ , на замыкании своиз областей определения, .21, £ £ и ^^щл(^) и

I 0.(0,Х,1Го)| ^ ^ > 0 на . . Тогда найдется такое число а , зависящее от данных задачи, что при с{< А и выполнении условия согласования хеЩ , (пх,1г0)>0, ^ существует единственная пара функций (и, , удовлетворяющая условиям /1/,/6/,/8/.

В этом же параграфе сформулированы теоремы о локальной разрешимости в определенных классах функций обратных задач , рассмотренных в четвертом параграфе, если их решения определять из условий /I/,/2/,/5/ при Т - ОО . Поясним, что класс функций отличается от класса функций С^йЦ) тем, что от функций из класса (Й^СФ) дополнительно требуется ограниченность самих функций и соответствующих производных. То же самое относится к классам $)(Ю),

Агдадс^ и т. п.

В шестом параграфе обратные задачи изучаются в предположении, что — . Переопределение задается на плоскости хл)*Су0,%)9 К*"* 2 = .;

О*?,." ФиксиР°вана,(0,Т)>Вп-к>П^ /9/

Для того, чтобы привести ограничения обратной задачи определения пары из условий

1/,/2/,/9/, введем класс функций и приведем формулировку глобальной теоремы существования и единственности для этой обратной задачи, которая доказана в §6. ТЕОРЕМ 9 Пусть функции на 6" и выполнено условие согласования то существует единственная пара функций (®)Л «®-fc(©))*

3()%(ô) » удовлетворяющая условиям /1/,/2/,/9/. Как следствие теоремы 9 получены теоремы единственности для обратных задач определения коэффициента ZL и индикатрисы 2LS > которые ищутся в виде, аналогичном виду F в теореме 9.

В седьмом параграфе рассмотрена обратная задача определения пары футщй(и(-Ь,Х,и)9 F(tfX,vh £(х,1Г)(1(Ьх,1Г)+R(t,%,V) , где

0^.(^)1)С^^СФ) - известны, a f - искомая, из условий /1/-/3/ и условия переопределения u(t,x,v) =j6(t,x,v), Ct,x,v)ef7 , t<ol(x,-v) теоремаi Пусть C^mdmuс£с®) на замыкании своих областей определения, fë C^rad• Тогда при достаточно малых cL< do , do зависит от данных задачи, решение задачи /1/-/3/ с таким условием переопределения единственно в классе функций cL^m-Ccn) , если IQ,(0,X9V)I^ ty >0 на il .

Как следствие теоремы получены теоремы единственности решения обратных задач определения коэффициентов из тех же условий в аналогичном виде. V

В восьмом параграфе рассматривается обратная задача определения пары функций (У(сс,5), Р(х,5) = , удовлетворяющей односкоро-стному изотропному стационарному уравнению переноса

ЫФОад + ч>(х,э) = Л Ш) №ъ&Мв1 + + /10/ граничному условию саде 0гл,$;<0 } /п/ и условию переопределения (зс^еГ;^ с^)ед&хЛ.: (и,х,$)<0 } /12/ где - единичная сфера в , ? ^ параметр.

Прямая задача определения функции V7 из условий /10/,/II/ исследовалась в работах В.С.Владимирова [^19, 20] , в которых при весьма общих ограничениях на данные задачи доказаны теоремы существования и единственности решения.

Обратная задача, которая рассматривается в восьмом параграфе, уже изучалась в работе Д.С.Аниконова£з] , где доказана теорема единственности в классе аналитических функций в предположении линейности функции <х и малости параметра % . Теорема единственности §8 обобщает основной результат работы ЦзЦ . От функции (X, требуется аналитичность в О- , а ^ предполагается не принадлежащим множеству характеристических чисел некоторого интегрального оператора. „ Отметим, что результаты и ме'тоды работы И существенно используются при доказательстве теоремы единственности §8.

В §9 рассматриваются две обратные задачи для уравнения /I/ в случае чистого поглощения, т.е. в случае 6=0

Для задачи определения функции & к классе кусочно-аналитических функций и функции У методом квазимонотонности Ю.Е.Ани-конова [7, 10] доказана теорема единственности при определенных условиях, наложенных на функцию р

Доказана также теорема единственности определения правой части + при определенных условиях на заданные функции ^ и

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [26 ] [б2] , [63] . В совместных работах [62] и [63] А.Й.Прилепко принадлежит общая идея постановок обратных задач, которые рассмотрены во второй главе диссертации. К идее рассмотрения обратных задач в классе функций и общей схеме исследования этих задач авторы работы [62] пришли одновременно. То же самое относится и к первой части работы [63] , обратные задачи для уравнения теплопроводности, рассмотренные во второй части этой работы в диссертации не приводятся. Доказательства всех теорем проведены автором самостоятельно.

Результаты диссертации докладывались:

1. В МИАНе им. В.А.Стеклова на семинаре, руководимом чл.-корр. АН СССР А.В.Бицадзе.

2. В МГУ им. М.В.Ломоносова на семинаре, руководимом профессором В.А.Ильиным и профессором Ш.А.Алимовым.

3. В ВЦ СО АН СССР на семинаре, руководимом профессором В.Г.Романовым.

4. В МШИ на семинаре, руководимом профессором А.Й.Прилепко.

5. На 1У Всесоюзном семинаре "Обратные задачи и идентификация процессов теплообмена". Москва, 1982 г.

6. На Третьей школе молодых ученых Сибири и Дальнего Востока. Новосибирск, 1983 г.

7. На Всесоюзной школе-семинаре по теории некорректных задач и их приложениям. Самарканд, 1983 г.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

I. Теоремы о разрешимости обратных задач определения коэффициента 21 и правой части V уравнения /I/ по переопределениям в точках.

2. Теоремы о разрешимости в малом обратных задач определения коэффициента 21 » индикатрисы и правой части р уравнения /I/ по переопределению начальным условием /2/ и условием /8/.

3. Теорема о разрешимости обратной задачи Коши.

4. Теорема единственности решения обратной задачи определения правой части р уравнения /I/ по переопределению на части границы при малых &

5. Теорема единственности решения обратной задачи определения правой части Р" стационарного уравнения переноса /10/ в классе аналитических функций.

6. Теоремы единственности решения обратных задач определения коэффициента & и правой части Р стационарного уравнения переноса /10/ в чисто поглощающей среде.

Автор пользуется случаем выразить глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Алексею Ивановичу Прилегаю за постоянное внимание, всестороннюю поддержку и помощь в работе.

1. Алексеев A.C. Некоторые обратные задачи теории распространения волн.- Известия АН СССР, сер. геофиз., 1962, №11, с.1514-1531.

2. Амиров А.Х. О двух обратных задачах для кинетического уравнения.- В кн.: Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения / тезисы докладов Всесоюзной школы-семинара, Самарканд, 29.09 б.10.1983 /. Новосибирск, 1983, с. 18-19.

3. Аниконов Д.С. Об одной обратной задаче для уравнения переноса. Сибирский математический журнал, 1975, т. 16, РЗ, с. 432-439.

4. Аниконов Д.С. Единственность определения правой части уравнения переноса в трехмерном пространстве.- В кн.: Краевые задачи для уравнений гидродинамики, вып. 50. Новосибирск, 1981, с. 164167.

5. Аниконов Д.С. Об обратных задачах для уравнения переноса.-Дифференц. уравнения, 1974, т. 10, PI, с. 7-17.

6. Аниконов Д.С. 0 единственности определения коэффициента и правой части уравнения переноса.- Дифференц. уравнения, 1975, т. II, №1, с. 8-18.

7. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений.- Новосибирск: Наука, 1978, -118 с.

8. Аниконов Ю.Е., Бондаренко А.Н. Обратная задача для уравнения Власова.- Доклады АН СССР, 1982, т. 265, №5, с. 1037-1039.

9. Аниконов Ю.Е. Обратные задачи для кинетических уравнений.-В кн.: Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения /тезисы докладов Всесоюзной школы-семинара, Самарканд, 29.09-6.10.1983/. Новосибирск, 1983, с. 18-19.

10. Аниконов Ю.Е. О квазимонотонных операторах,- В кн.: Математические проблемы геофизики. Новосибирск, 1972, вып, 3, с. 89-99.

11. Аниконов Ю.Е.О решениях одного класса обратных задач. -Мат. заметки, 1983, т. 33, №2, с. 247-250.

12. Арсеньев A.A. Существование и единственность классического решения системы уравнений Власова.- Журнал вычислительной математики и мат. физики, 1975, т. 15, Р5, с. 1344-1349.

13. Арсеньев A.A. 0 существовании обобщенных и стационарных статистических решений системы уравнений Власова в ограниченной области.- Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, №7, с. I253-1266.

14. Безнощенко Н.Я., Прилепко А.И. Обратные задачи для уравнений параболического типа.- В кн.: Проблемы математической физики и вычислительной математики. М.,1977, с. 51-63.

15. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных.- М.: Наука, 1981,- 448 с.

16. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1982,- 336 с.

17. Бобоев К. Обратная задача для кинетического уравнения переноса нейтронов.- В кн.: Условно-корректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск, 1979, с. 16-22.

18. Бухгейм А.Л, Уравнения Вольтерра и обратные задачи.-Новосибирск: Наука, 1983,- 208 с.

19. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц,- Труды математического института имени В.А.Стеклова, 1961, т. 61, с. I-I57.

20. Владимиров B.C. Об одном интегро-дифференциальном уравне- -нии.- Известия АН СССР, сер. мат., 1957, т. 21, PI, с. 3-52.

21. Владимиров B.C. Уравнения математтческой физики.- М.: Наука, 1981,- 512 с.

22. Гермогенова Т.А. Обобщенные решения краевых задач для уравнения переноса: Препринт/ ИПМ АН СССР.- М., 1967.- 66с.

23. Гласко В.Б. К вопросу о единственности определения струятуры земной коры по поверхностным волнам Рэлея,- Журнал выч. математики и мат. физики, 1971, т. II, Я? 6, с. 1498-1509.

24. Гласко В.Б. 0 единственности решения некоторых обратных за задач сейсмологии.- Журнал выч. математики и мат. физики, 1970,т. 10, Р6, с. 1466-1480.

25. Гласко В.Б., Худак Ю.И. Аддитивные представления характеристик слоистых сред и вопросы единственности решения обратных задач.- Журнал выч. математики и мат. физики, 1980, т. 20, №2, с. 482-490.

26. Иванков А.Л. Единственность определения коэффициента уравнения переноса для чистого поглощения.- В кн.: Математические методы исследования физических процессов. М., 1982, с. 31- 36.

27. Иванков А.Л. Единственность решения обратной задачи для уравнения переноса в классе аналитических функций.- Дифференциальные уравнения, 1984, т. 20, №4, с. 707-710.

28. Иванков А.Л. Обратная задача определения правой части для уравнения переноса,- В кн.: Теоретико-функциональные и численные методы исследования физических процессов. М., 1983,- с. 1921.

29. Иванков А.Л. Единственность решения одной обратной задачи для уравнения переноса частиц.- Инженерно-физический журнал, 1983, т. 45, с. 861-862.

30. Иванов В.К. Обратная задача потенциала для тела, близкого к данному.- Известия АН СССР, сер. мат., 1956, т. 20, с. 793-818.

31. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения.- М.: Наука, 1978.- 206 с.

32. Искендеров А.Д. Обратные задачи для параболических и эллиптических уравнений: Автореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук. 01.01.02.- М., 1978.- 21 с,- В надзаг.: МГУ им. М.В.Ломоносова. Фак. вычислит, математики и кибернетики.

33. Кабанихин С.И., Бобоев К. Обратная задача для -приближения кинетического уравнения переноса.- В кн.: Исследование корректности обратных задач и некоторых операторных уравнений. Новосибирск, 1983, с. 44-55.

34. Казаков А.Я. 0 решении уравнения переноса в плоской среде. Доклады АН СССР, 1983, т. 270, №4, с. 867-869.

35. Казаков А.И. Обратные задачи линейной теории переноса излучения в плоской среде.- Доклады АН СССР, 1983, т. 270, №5, с. 1100-1103.

36. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса.- М.: Мир, 1972.- 384 с.

37. Клибанов М.В. Об одном классе обратных задач.- Доклады АН СССР; 1982, т. 265, №6, с. 1306-1309.

38. Кузнецов Ю.А., Морозов С.§. Интегро-дифференциальная система уравнений кинетики реактора.- Дифференц. уравнения, 1974, т. 10, №8, с. 1491-1503.

39. Кузнецов Ю.А., Морозов С.Ф. Корректность постановки смешанной задачи для нестационарного уравнения переноса.- Дифференц. уравнения, 1972, т. 8, №9, с. 1639-1648.

40. Курант Р. Уравнения с частными производными.- М.: Мир, 1964,- 830 с.

41. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений.- Новосибирск: Наука, 1969.- 67 с.

42. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики.- Новосибирск: Наука, 1982.88 с.

43. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа.- М.: Наука, 1980.288 с.

44. Лаврентьев М.М., Амиров А.Х. Исследование корректности задачи Коши для некоторого уравнения эволюционного типа.- Доклады АН СССР, 1976, т. 227, №5, с. 1053-1055.

45. Марчук Г.И. 0 постановке некоторых обратных задач. -Доклады АН СССР, 1964, т. 156, РЗ, с. 503-506.

46. Марчук Г.И. Уравнение для ценности информации с метеорологических спутников и постановка обратных задач.- Космические исследования, 1964, т. II, вып. 3, с. 462-477.

47. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов.- М.: Атомиздат, 1981.- 456 с.

48. Масленников М.В. Проблема Милна с анизотропным рассеянием.- Труды математического института имени В.А.Стеклова АН СССР, 1968, т. 97, с. 1-134.

49. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения.- М.: 2?изматгиз, 1962.- 254 с.

50. Морозов С.3>., Сумин В.И. Нелинейное интегро-дифференциальное уравнение нестационарного переноса.- Математические заметки, 1977, т. 21, №5, с. 665-676.

51. Музылев Н.В. Некоторые обратные задачи теории теплопроводности: Автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. физ.- мат. наук.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.- 8 с.

52. Музылев Н.В. О единственности одновременного определения коэффициентов теплопроводности и объемной теплоёмкости.- Журнал выч. математики и мат. физики, 1983, т. 23, №1, с. 102-108.

53. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексныхмногообразиях,- М.: Мир, 1971,- 232 с.

54. Нижник Л.П., Тарасов В.Г. Обратная задача рассеяния для односкоростного уравнения переноса.- Доклады АН СССР, 1978, т. 242, №6, с. 1307-1310.

55. Орловский Д.Г. К задаче определения правой части гиперболической системы.- Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, №8, с. 1437-1445.

56. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными.- М.: Шизматгиз, 1961. 400 с.

57. Прилепко А.И. О едиственности определения формы и плотности тела в обратных задачах теории потенциала.- Доклады АН СССР, 1970, т. 193, Р2, с. 288-291.

58. Прилепко А.И. Об обратных задачах теории потенциала.-Дифференц. уравнения, 1967, т. 3, №1, с. 30-44.

59. Прилепко А.И. О единственности решения одной обратной задачи, представленной интегральным уравнением первого рода.- Доклады АН СССР, 1966, т. 167, №4, с. 751-754.

60. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала /эллиптические, параболические, гиперболические уравнения и уравнения переноса/.- Математические заметки, 1973, т. 14, №5, с. 755-767.

61. Прилепко А.И., Иванков А.Л. Обратные задачи для нестационарного уравнения переноса.- Доклады АН СССР, 1984, т. 276, №3, с. 555-559.

62. Прилепко А.И., Узлов А.Е. Об определении правой части в обратных задачах дифференциальных уравнений.- В кн.: Республиканский сипозиум по дифференциальным уравнениям; тезисы докладов. Ашхабад, 1978, с. 72.

63. Прилепко А.И., Чередниченко В.Г. Об одном классе обратных краевых задач для аналитических функций.- Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, №10, с. I900-1907.

64. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.:Мир, 1982,- 487 с.

65. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа.- М.:Наука, 1969,- 195 с.

66. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений.- Новосибирск: Издательство НГУ, 1973, -252 с.

67. Смелов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов.- М.: Атомиздат, 1978,- 216 с.

68. Султангазин У.М. Методы сферических гармоник и дискретных ординат в задачах кинетической теории переноса.- Алма-Ата: Наука Каз. ССР, 1979.- 268 с.

69. Тихонов А.Н. Обратные задачи теплопроводности.- Инж.-физический журнал, 1975, т. 29, №1, с. 7-12.

70. Тихонов А.Н. 0 решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации.- Доклады АН СССР, 1963, т. 151, №3, с. 501504.

71. Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности.- Математический сборник, 1935, т. 42, №2, с. 199-216.

72. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1979.- 285 с.

73. Тихонов А.Н., Гласно В.Б. К вопросу о методах определения температуры поверхности тела,- Журнал выч. математики и мат. физики, 1967, т. 7, №4, с. 910-914.

74. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1977.- 735 с.

75. Узлов А.Е. Теоремы существования и единственности решений обратных задач для уравнения второго порядка параболического типа.- Дифференц. уравнения, 1978, т. 15, №2, с. 370-372.

76. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов /линейный анализ/.- М.: Атомиздат, 1973,- 376 с.

77. Шулая Д.А. Обратная задача линейной многоскоростной теории переноса.- Доклады АН СССР, 1983, т. 270, №1, с. 82-87.

78. Яхно В.Г. Одномерная обратная задача для волнового уравнения.- Доклады АН СССР, 1980, т. 255, №4, с. 807-810.

79. Boffi V.C., Spiga G. Rigorous iterated solutions to a nonlinear integral evolution problem in particle transport theory.- J.Math.Phys.,1982, v.23, No10, p.1859

80. Greenberg William, Williams Michael, Zweifel P.F. A report on the Seventh International conference on transport theory.- Slransp. Theory and Statist Phys.,1981, v.10, N 3,p115-130

81. Douglis A. Numerical solutions of Partial diff.eq.- In book: Proc of Simposium, Maryland, ed.I.H.Bramble, London,1966, p.197-256.

82. Edward W.Larsen Bounds and maximum principles for the solution of the linear transport eq.- SIAM J. Math.Anal., 1981, v.12, N 2, p.282-292.

83. Iorgens K, An asymptotic expansion in the theory of neutron transport.- Comm.Pure Appl.Math.,1958, v. 11, p. 219242.87e Kahane C. Analiticity of solutions of mildly singularintegral equations.- Communs Pure and Appl.Math., 1965, v.18, N 4, p.593-626.

84. Pao C.V. A nonlinear Boltzman equations in transport theory.- Translations of the American Math, society, 1974-,v.194, p.167-175.

85. Pao C.V. Stability analysis of the neutron transport equation with temperature feedback.- J.Math.Phys., 1983,v.24, N 5, p.1321-1325.

86. Sanches R., McCormick N.J.General solutions of inverse transport problems.- J.Math.Phys., 1982, v.22, Np.487-453.

87. Siewert C.E., Dunn W.L. On inverse problems for plane-parallel media with nonuniform surface illumination.-J.Math.Phys., 1982, v.23, N.7, p.1376-1378.1

88. Suhadolg A. Linearized Boltzman Equation in h space.- J.Math.Anal.Appl., 1971, v.35, p.1-13.