Обратные задачи для некоторых гиперболических уравнений с памятью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

шштерствонауки, высшая шкоды и

ТШИЧЕСКОЯ ПОЛИТИКИ.РОССШСКОЛ ФЦЦЕРАЦШ1

НОВ ОС 11БИРСТСИй ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ШВЕНЗИГЕТ

На правах рукописи ЗЩ1С 517.958

ДУРДИЕВ Дурдимурат Каяандарович

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НШТОШХ Ш1ЕИШШЕШК . УРАВНЕНИЙ С ПАШТЫО

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск . 1992'

. Работа выполнено в Новосибирском государственном университете

Научный руководитель: член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор В.Г. Романов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, . профессор А.Л.Бухгсйм кандидат физико-математических наук, доцент Н.Я.Безнощенко

Ведущая организация: Вычислительный центр СО РАН

Заиита состоится " X " Яс'АГС/ёрЛ 1992 г. л " /^ "С>< часов на заседании специализирожшного совета К.063.88.04 но присуждению учёной степени кавдвдата физико-математических наук в Новосибирском'государственном университете по адресу: '63(3090, г.Новосибирск-90, ул.Пирогова, 2.

С диссертацией южно ознакомиться в библиотеке ИГУ

Автореферат, разослан "ЗА

1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.-м.н.

В.В.Капитонов

Обцая характеристика работы.

Актуальность теми. Под обратным! задачами для дифференциальных уравнений понимаются задачи определения коэффициентал, правше частей уравнений, начальник или граничных условий по некоторым функционалам от решений прямых задач. Широкий круг обратных задач математической физики включает в себя такие задачи как обратная кинематическая задача сейсмики, обратная задача теории потенциала,' обратная задача Штурма-Лиувилля, задача определения одного или нескольких коэффициентов уравнения с частныш производными.

Практическая значимость обратных задач математической физики, которые в своем большинстве классически некорректны, настолько велика для прикладной геофизики, астрофизики, квантовой механики и т.д., что за последние 30 лет возникла новая область математики - теория некорректных задач математической физики, основы которой были заложены в работах Л.Н. Тихонова, М.М.Лаврентьев":, В.К.Иванова.

Первые результаты по обратным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений' второго порядка были получены В.А.Амбарцумяном, Г.Боргом, Л.II.Тихоновым, Л.А.Чудовым, Н.Ле-висоном. Разнообразные подходы к исследовании и'построению алгоритмов решения некорректных и обратных задач отражены в работах таких авторов как А.С.Алексеев, Д.С.Аниконов, Ю.Е. Аниконов, А.С.Благовещенский, А.Л.Бухгейм, В.К.Иванов, А.Д. Искендеров, С.И.Кабашшш, М.М.Лаврентьев, Р.Г.Мухометов, А.И.Прилепко, В.Г.Романов, А.Н.Тихонов, В.Г.Яхно и др.-

Систематическое изучение многомерных обратных задач для уравнений в частных производных было начато в работах М.М.Лаврентьева и В.Г.Романова,'Ими, были разработаны методы исследования различных постановок обратных для гиперболических уравнений..

Представляет большой интерес как в практическом, так и в теоретическом отношениях исследование обратных задач для гиперболических уравнений с памятью. К таким уравнениям приводят задачи распространения упругих,, электромагнитных волн в средах, гае состояние среда в данный момент времени зависит вообще говоря от её состояния во все предвдущие мо-

• менты времени. В этой направлении помимо публикаций автора имеется работа М.Грасселли, С.И.Кабанихина, А.Лорепци,3-Цель работы. Исследовать вопросы корректности одномерных и многомерных обратных задач для некоторых гиперболических уравнений второго порядка о памятью со сосредоточенным воздействиям, системы интегродифференциашьных уравнений Максвелла. Исследовать задачу об определении ивдикатрисы рассеяния в уравнении: переноса о шнуровым источником, Выяснить вопросы однозначного определения коэффициента еидкостного насыщения горных пород в уравнении переноса, описывающем модельную задачу скважинной геофизики. Рюрика исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории интегральных уравнений.

Научная новизна, теоретическая ценность. В работе получены методы., позволяющие свести обратную задачу для дифференциальных уравнений в частных производных к решению системы интегральных уравнений типа Вольтерра. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости. ПолучеИы оценки непрерывной.зависимости изменения решения обратной задачи от изменения информации. Работа носит теоретический характер. Все получен- • ные в диссертации'результаты являются новыми. Они могут быть использованы при дальнейшем исследовании обратных задач для уравнений с памятью и переноса. Апробация работы.. Результаты диссертации докладывались.и > обсувдались на научном семинаре кафедры высшей математики (рук. - чл.-корр. РАН В.Г.Романов) и на студенческом семи- ' ' на ре "Обратные задачи х'иоэлектрики" (рук. - чл.-корр. РАН В.Г.Бэманов,.д.ф.-м.н. С.И.Кабашшщ). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приводится в конце реферата. Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения и

двух глав, каждая из которых разбита на три раздела. Объем диссертации 66 машинописных страниц, библиография включает

* М.Грасселли, С.И.Кабанихин, А.Лоренци. Обратная задача для интегродифференциального уравнения//Саб.шт.журн. -1592. -Т.

. 33, № 3. -с. 58-68. •

51 наименований.

Содержание диссертации.

Во введении дается краткий обзор предшествующих результатов, обосновывается актуальность темы, определяются задачи и приводятся основные результаты диссертации,

В первой главе рассматриваются одномерная п многомерная задачи о нахождении функции памяти среды, входящей а интег-родиффвренциольное уравнение второго порядка. Проведенные исследования посвящаются получению теорем об однозначной разрешимости а оценкам непрерывной зависимости изменения решения обратной задачи от изменения информации.

В разд. I гл. I исследована обобщенная задача Коши

гле - dfx,i)-cдельта функция Дирака;

и = д^ * + д = j ^frj,

заданные функция. В разд. 2 гл. I сформулирована обратная задача об определении функции к-(-i) , если по отношению к решению задачи (I) известна информация л

■ т

Обозначим <?<р = j у; í^l é fj , Т - произвольное положительное число. ' 3-

Теопема I. Пусть -£¿ (х)€ С ($г)0~1,*,з), eCxJeC'fa), C'ffotf) и внполнено условие согласования

- £ É [efr) e£x/oj¡ = zxfív •

Тогда найдется такое число Т* , что при Ti- (&■> Т*) существует единственное решение задачи (I), (£), принадлежащее классу С ([о, Т]),Г€ (о, Т*).

Теорема 2. При выполнении условий теоремы I функция K(i)<=C([e>T¡) однозначно определяется инфоредацией (2).

Рассмотрим множество И7£(т) функций (a, f) (i - (£,> £$)) • Дшз которых выполнены условия теоремы I..

Теорема 3. Пусть (вгс^)б Ж(т), (1:6, Тогда для отвечающее им решений обратной задачи (1), (2) справедлива оценка

причем константа сС зависит только от норм в метрике С ([о, Г]) функций К,К и от параметров Т,

В разд. 3 гл. I исследована задача о нахоздении пары функций 2/^) , К (¿/Х-) . удовлетворяют!« равенствам

о

и! = + Сое,-;-)6 Г'1

где Л > ^ - Фикция ХезнсаЕда;

- заданные гладкие функции. . .

Пусть А51 - банахою пространство аналитических функций ^>(х),х.е с конечной нормой

гае //"" - шокестго всех точек пространства /¿'^ с целочисленными координатами; ^ - коэффициенты Фурье "функции

~ Через ^а) ' ~5>0 обозначим класс функций,

непрерывных во переменным (х) в области (т) ~

¿Т-ъ^ ,Ч'7й , со значениями в - 1юзла санкции ^^ л при фиксировашшх "('г^.

Пусть ^^ о; = с . ^Г*, о)* - о) .

Кроме того,

■ fifcc^J, fu м) € Q(fo,

Тогда найдется такое <2- £ faf/z) > &£>0<гГ'/2. , что для любого SeCP>íí) в области

QsT П\(W)\o¿к а= <lfrjx Г

существует единственное решение задачи (3) такое, что

PST = (¡ cr) а {СМ) | о 6 2 4 a Cs6 - S)}, где te,(x, - ре гуля рнйя часть функции гс(х, :

Рассмотрим мноиество Яс5 всех пар функций ) , являющихся элементами • С4 ([о, Т] > As,), Sa>О , для которых выполнены условия теоремы 4 с фиксированными

Теорема 5. Пусть <= opf (f, ¿Je <%>.

Тогда для отвечающее им решений (.Чс, к) . (¿L, &) задачи СЗ) справедливы неравенства » .

¡Ii¿-iciisp) ¿ce/fr-s)*,

rae i»**!*'

mfix. Цт.-

а постоянная с. зависит лишь от Z,T,So-

Теорема 6« В условиях теоремы 4 может существовать только одно решение обратной задачи (3) из класса Ct(l'OjT]'s As.)-Вторая глава посвящена изучению модельных задач для системы уравнений Максвелла с памятью и уравнения переноса.*

В разд. I-гл. 2 рассматривается систеш интегродиф$ерен-циальных уравнений Максвелла .

гай t) ч-. 6-Е t),

гд6 SD +ßf>(*-Zj*)E(x,f)el*:>

9

сторонний ток J плюег вид

В качестве прямой задачи для системы (4) - (6) рассматривается задача о аозбувдении электромагнитного поля (первоначально отсутствующего) импульсным током (6):

Предполагается, что в уравнениях (4), (5) функции f

(р, if не зависят от координаты. iC, . Тогда решение задачи Коши (4) - (7) не зависит от Х.2 и £f = = Нл ~ О. Обратная задача заключается в определении функции f- ^fft^-Jj если относительно решения задачи (4) - (7) известна информация . ■ D •

' При этом функции ^jf*} °>lf/ считаются известными.

С целью сокращения выкладок исследование обратной задачи (4) - (8) проведена в случае, когда ¿Г-ß- У, <Г= f- ö.

^(ii^i) ^Q .-Тогда найдется такое

¿L 6 (о,T/z) , < q'A • ЧТ0 дая ДЮ00Г0 Sc (О, S0J в

существует единственное решнгше обратной задачи (4) - (Ö),

обладающее для каждого 5 с (ot So) следующим свойством:

Здесь сохранены обозначения разд. 3 гл. I, Cf - класс функций, двавды непрерывно дифференцируемых по i на отрезке Го,^], со значениями ь As .

В разд. 2 гл. 2 исследована эадача об определении индикатрисы рассеяния в уравнении переноса

Щ + = (9)

при условии

^¡Uo^0* (10)

где Ю - функция распределения чостпц;

- индикатриса рассеяния, м. 1- У/-^'1

ц^елйе; ГГх)', '(Г5 = -

макроскопические сечения, характеризующие свойства среда; .

Обратная задача: определить функцию если относительно решение задачи (9), (10) известна информация

Исследована линеаризованная задача. Рассмотрены 2 случая.

Случай I. Пусть /гОо/-=.0. Тогда получено уравнение

•— 'о (,

юс.!*

nZ!i Г'

= АШ&), oitabl + iVT, IXoh-т/ъТъГ. ai,

*

Теорема 7. Пусть. 0<о)>О , Di-6'Сле')^ - Если функция ачетна относительно и С[~{, l]3

то она однозначно определяется на отрезке [с, lXali] из уравнения (G). Ч** '

Случай .2. Пусть (сс0, <Л0)- О 5 -^-oi = ° s ((хв,иЗа") -скалярное произведение векторов ¿q,, ¿<4, J . Тогда аналогичное равенство уравнена» (II) записывается в виде

dt \ « Л

tttzTz] Н УТ'нч^ VTh^ J

т/ТчП^ nj^W*! V7

(12) Г

Теорема 6. Пусть - непрерывно дифференцируемые

функции своих аргументов в любой конечной области переменных ОС и . Тогда непрерывная функция 0-(н>) опре-

деляется однозначно на отрезке , >

из уравнения (12) го функции для 4: £ ТЗ •

В разд. 3 гл. 2 исследована задача об определении коэффициента жидкостного насыщения горных пород,'и доказана теорема единственности, аналогичная теореме 8,

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю чл.-корр. РАН В.Г.Романову за постановку задач и постоянное внимание к работе. :