Рудные и структурные обратные задачи гравиметрии, нормальные решения и их приложения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.12 ВАК РФ

Введение

Глава I. Задачи для плотностей класса Ц в произвольных областях. Л

§ I. Постановка задач. .7.,

§ 2. Свойства операторов прямых задач. Необходимые условия разрешимости обратных задач. ^20^

§ 3. Плотности с нулевым внешним полем.

§ 4. Эквивалентность. Нормальные плотности: f<-p<сю. 36^

§ 5. Нормальные плотности: р= 1, •

§ 6. Обобщенные леммы Новикова и Соболева. Общий вид плотностей с нулевым внешним полем и нормальных плотностей. . i^.**":

§ 7. Нормальные плотности: • ,47.

§ 8. Разрешимость и структура общего решения обратных задач. ,52,

§ 9. Эквивалентные перераспределения масс. 59,

§ 10. Замечания, дополнения, доказательства теорем

Глава 2. Линейные структурные задачи.

§ II. Преобразование Фурье и оператор прямой задачи.

§ 12. Обратная задача для плотностей класса

Мп). юо

§ 13. Плотности с заданной зависимостью от глубины. Д

§ 14. Эквивалентные перераспределения масс.

§ 15. Связь между гравитационными полями выше и ниже источника и классы единственности.

§ 16. Линейная задача прогнозирования слоистого плотностного разреза по гравитационным аномалиям.

§ 17. Фурье-аналогия "структурной" и "планетарной" линейных обратных задач гравиметрии.

Глава 3. Применение нормальных плотностей к извлечению информации из данных гравиметрических наблюдений.

§ 18. Априорные оценки.

§ 19. Нормальные и эффективные плотности в горизонтальных пластах.

§ 20. Линейные методы в задаче о контактной поверхности и однопараметрический подбор.

§ 21. Перспективы применения эффективных плотностей в моделях разреза осадочных толщ. 157 Заключение.

Актуальность проблемы. Современный этап развития гравиметрии характеризуется переходом от двумерных обратных задач к трехмерным, от классических моделей аномальных объектов в виде наборов тел правильной формы с постоянными плотностями к моделям сложных геологических разрезов.

Поэтому актуальна проблема создания единой теории обратных задач гравиметрии для сложнопостроенных сред, включающей как частные случаи структурные и рудные задачи в пространственном и двумерном вариантах.

Важной практической проблемой является разработка и совершенствование методов интерпретации гравитационных аномалий с использованием априорной геолого-геофизической информации. При этом наибольший интерес представляют методы, в равной степени применимые к двумерным и пространственным задачам.

Цель работы состоит в исследовании рудных и структурных обратных задач гравиметрии и разработке методов их решения в классах переменных плотностей.

Научная новизна. I. Выведены необходимые и достаточные условия разрешимости, установлена структура общего решения, в частности, общий вид плотностей с нулевым внешним полем и нормальных решений для обратных задач гравиметрии в классах Lf(Q) , где Q - произвольное ограниченное (рудные задачи) или неограниченное (задачи для сложнопостроенных сред и структурные) тело или совокупность тел.

2. Для рудных задач найдено явное выражение нормальных решений в LJ&) через производящее ядро класса гармонических функций и заданные на границе тела внешний потенциал и его нормальную производную. Для структурных задач установлено взаимно однозначное линейное соответствие между нормальными решениями и решениями в классе эффективных плотностей.

3. Разработан итерационный метод решения задачи прогнозирования слоистого плотностного разреза по гравитационным аномалиям с использованием априорной информации, получены достаточные условия сходимости итераций к решению.

4. Разработаны основанные на применении нормальных решений: метод априорных оценок для рекогносцировочной локализации источников аномалий и метод однопараметрического подбора линейных приближений в обратной задаче гравиметрии для контактной поверхности.

Практическая ценность. I. Методическое значение теоретических результатов: исследование нормальных решений важно для методов подбора, в которых недоопределенность обратных задач гравиметрии устраняется путем минимизации уклонения решения от плотностной модели, построенной по априорным геолого-геофизическим данным; конструктивное описание плотностей с нулевым внешним полем полезно для разработки методов интерпретации, основанных на эквивалентных перераспределениях масс; выведенные условия разрешимости обратных задач гравиметрии определяют тип возможных особых точек аномальных полей на границах искомых объектов и являются интегральными признаками приближения к источнику аномалии при аналитическом продолжении поля.

2. Применение метода априорных оценок позволит повысить достоверность построения нулевых приближений в решении обратных задач гравиметрии при минимуме негравиметрической информации об источниках аномалий. Метод однопараметрического подбора обладает преимуществом в точности перед линейными методами и в простоте - перед нелинейными, что особенно важно в трехмерной постановке задачи о контактной поверхности. Предложенная в работе постановка задачи прогнозирования многослойного разреза и метод ее решения перспективны при детальном гравиметрическом моделировании геологического строения нефтегазоносных территорий.

Апробация. Результаты исследований докладывались на Ш Всесоюзной школе-семинаре. "Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных аномалий" (Ялта, 1980), на Всесоюзном семинаре им. Д.Г.Успенского "Теория и практика геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий" (Киев, 1980, Пермь, 1982) и на Общемосковском семинаре "Теория и практика геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий" (1983).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 5 статьях.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, изложенных на 148 страницах, 15 рисунков, 2 таблиц и списка литературы из 109 названий.

Основные результаты диссертации:

1. Для задач определения по внешнему гравитационному полю плотностей класса Lp в произвольном открытом множестве получено исчерпывающее описание плотностей с нулевым внешним полем и нормальных решений, найдены необходимые условия разрешимости и показано, что для множеств с липшицевой границей эти условия являются достаточными, изучены операторы, преобразующие произвольное решение в нормальное,

2. Исследована задача определения переменных плотностей в горизонтальном пласте П по вертикальной компоненте аномального поля лд г=0 в LJfl) и в классах плотностей с заданной зависимостью от глубины.

3. Разработан итерационный метод решения линеаризованной задачи прогнозирования многослойного плотностного разреза по гравитационным аномалиям и выведены достаточные условия для сходимости итераций к решению.

4. Разработаны и опробованы на модельных примерах: метод рекогносцировочной локализации знакопостоянных плот-ностных неоднородностей с помощью априорных оценок нормальных плотностей ; быстрый" алгоритм расчета нормальных и эффективных плотностей в горизонтальных пластах; метод однопараметрического подбора линейных приближений в обратной задаче о контактной поверхности.

- 163 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Алексидзе М.А. Редукция силы тяжести. Тбилиси: Изд-во АН ГССР, 1965. 256 с.

2. Андреев Б.А. Соотношение между гравитационными аномалиями и структурным рельефом в случае нескольких границ раздела плотности. ДАН СССР, 1959, т. 124, № 2, с. 3II-3I3.

3. Андреев Б.А., Клушин И.Г. Геологическое истолкование гравитационных аномалий. М.: Недра, 1965. 495 с.

4. Аронов Б.И. Обработка на ЭВМ значений аномалий силы тяжести при произвольном рельефе поверхности наблюдений. М: Недра, 1976. 129 с.

5. Балк П.И. К решению трехмерной обратной задачи гравиметрии по гармоническим моментам возмущающих масс. ДАН СССР, 1975, т. 220, № 2, с. 331-334.

6. Березкин В.М, Применение гравиразведки для поисков месторождений нефти и газа. М.: Недра, 1973. 264 с.

7. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. 351 с.

8. Бродский М.А. О единственности решения обратной задачи теории потенциала для цилиндрических тел конечного простирания.-Изв. АН СССР. Физика Земли, 1978, № 10, с. II7-I27.

9. Бродский М.А. Решение обратной задачи потенциала для участков шаровых слоев. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1981, № 2, с. 58-66.

10. Буренков В.И. О приближении функций из пространств Соболева финитными функциями в случае произвольного открытого множества. ДАН СССР, 1972, т. 202, № 2, с. 259-262.

11. Буренков В.И. Об одном способе продолжения дифференцируемых функций. В кн.: Труды матем.ин-та АН СССР. М.: Наука, 1976,т. 140, с. 27-67.

12. Буренков В.И. О продолжении функций с сохранением полунормы. -ДАН СССР, 1976, т. 228, № 4, с. 779-782.

13. Великович А.Л., Зельдович Я.Б. Об одном подходе к решению обратной задачи теории потенциала. ДАН СССР, 1973, т. 212,3, с. 580-583.

14. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 197I. 512 с.

15. Водопьянов С.К., Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. О геометрических свойствах функций с первыми обобщенными производными. -Успехи матем.наук, 1979, т. 34, вып. I, с. 17-66.

16. Воскобойников Г.М., Сиротин М.И. Об определении особенностей аналитического продолжения потенциальных полей. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1965, № 12, с. 21-30.

17. Гамбурцев Г.А. Методы интерпретации гравитационных наблюдений. В кн.: Прикладная геофизика. М.: ОНТИ, 1936, вып. I, с. 158-194.

18. Гамбурцев Г.А. Определение центра тяжести возмущающего тела по гравитационным наблюдениям. Изв. АН СССР. Сер. матем. и естеств. наук, 1938, № 4, с. 307-315.

19. Гладкий К.В. Гравиразведка и магниторазведка. М.: Недра, 1967. 319 с.

20. Гласно В.Б., Остромогильский А.Х., Филатов В.Г. О восстанов-• лении глубины и формы контактной поверхности на основе регуляризации. Журн. вычисл.матем. и матем.физики, 1970, т. 10, № 5, с. 1292-1297.

21. Голиздра Г.Я. Особые точки аналитического продолжения гравитационного поля и их связь с формой возмущающих масс. В кн.: Дополнительные главы курса гравиразведки и магниторазведки. Новосибирск: НГУ, 1966, с. 273-388.

22. Гравиразведка. Справочник геофизика./Ред. Е.А.Мудрецова. М.: Недра, 1981. 397 с.

23. Данфорд Н., Шварц Дне.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 895 с.

24. Жарков В.Н., Трубицын В.П. Физика планетных недр. М.: Наука, 1980. 448 с.

25. Жданов М.С. Некоторые вопросы теории интерпретации гравитационных аномалий, зависящих от трех пространственных координат.-Изв. АН СССР. Физика Земли, 1974, № 9, с. 32-46.

26. Иванов В.К. Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала. ДАН СССР, 1955, т. 105, № 3, с.409-411.

27. Иванов В.К. О разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде. ДАН СССР, 1956, т. 105, № 4, с. 598-599.

28. Иванов В.К. Обратная задача потенциала для тела, близкого к данному. Изв. АН СССР, Сер.матем., 1956, т. 20, № 6, с. 793-819.

29. Иванов В.К. Распределение особенностей потенциала и пространственный аналог теоремы Полиа. Матем. сб., 1956, т. 40, № 3, с. 319-338.

30. Иванов В.К., Казакова Л.Э. О приближении в среднем гармонической функции трех переменных гармоническими полиномами. -Матем. записки Уральск.ун-та, 1962, т. 3, тетр. 2, с. 24-29.

31. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978, 206 с.1. О J,

32. Казарян Г.Г. О плотности гладких финитных функций в Wp (Q) -Матем. заметки, 1967, т. 2, № I, с. 45-52.

33. Клушин И.Г. Исследование распределения гравитационных и магнитных источников по глубине. Изв. АН СССР. Сер.геофиз., 1959, № 9, с. I402-I4II.

34. Кобрунов А.И. К вопросу об интерпретации аномальных гравитационных полей методом оптимизации (трехмерная задача). Изв. АН СССР. Физика Земли, 1979, № 10, с. 67-78.

35. Кобрунов А.И. О классах оптимальности решения обратной задачи гравиразведки. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1982, № 2, с. 100-108.

36. Кобрунов А.И. Анализ линейных приближений обратной задачи структурной гравиметрии. ДАН УССР. Сер. "Б", 1982, № 9, с. 7-9.

37. Красносельский М.А. 0 решении методом последовательных приближений уравнений с самосопряженными операторами. Успехи матем.наук, 1961, т. 15, вып. 3, с. I6I-I65.

38. Куратовский К. Топология. Т I. М.: 1966. 594 с.

39. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 92 с.

40. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966. 515 с.

41. Лоран П.Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975. 496 с.

42. Магницкий В.А. Внутреннее строение и физика Земли. М.: Недра, 1965. 379 с.

43. Маловичко А.К. Об определении контактных поверхностей по гравитационным аномалиям. В кн.: Прикладная геофизика. М.: Недра, 1948, вып. 5, с. 77-97.

44. Маловичко А.К. Методы аналитического продолжения аномалий силы тяжести и их приложения к задачам гравиразведки. М.: Гос-топтехиздат, 1956. 160 с.

45. Маргулис А.С. Гармонические плотности и обратные задачи потенциала. В кн. Теория и методика интерпретации гравимагнитных полей. Киев.: Наук.думка, 1981, с. 130-136.

46. Маргулис А.С. К теории потенциала в классах Lp(Q.) . Изв.вузов. Математика, 1982, № I, с. 33-41.

47. Маргулис А.С. Теория потенциала для плотностей класса Lp и ее применения к обратным задачам гравиметрии. В кн.: Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. Киев: Наук.думка, 1983, с. 188-197.

48. Маргулис А.С. Об единственности решения обратной задачи гравиразведки для структурных моделей. ДАН СССР (в печати).

49. Маргулис А.С., НовоселицкиЙ В.М. Фурье-аналогия в обратных задачах гравиметрии для некоторых "нефтяных" и "планетарных" плотностных моделей. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1982, № 4, с. 68-82.

50. Маргулис А.С., НовоселицкиЙ В.М. Прогнозирование слоистого плотностного разреза по гравитационным аномалиям. ДАН УССР. Сер. "Б", 1982, № 9, с. 10-13.

51. Мещеряков Г.А., Дейнека Ю.П. Об эллипсоидальном распределении плотности земных недр. Геофиз. сб. АН УССР, 1978, вып. 86, с. 46-53.

52. Михайлов В.О. Применение моделей механики при решении обратных задач гравиметрии. Дис.канд.физ.-мат. наук: М.: ВНИГНИ,1976, 130 с.

53. Мудрецова Е.А., Филатов В.Г. Вццеление гравитационного эффекта залежей нефти и газа и определение их местоположения на основе регуляризации. В кн.: Разведочная геофизика. М.: Недра,1977, вып. 76, с. 67-71.

54. Надирашвили Н.С. О классах гравиметрических эквивалентных тел. В кн.: Теория и практика интерпретации гравитационных аномалий. М.: ИФЗ АН СССР, 1982, с. 15-25.

55. Новиков П.С. Об единственности решения обратной задачи потенциала. ДАН СССР, 1938, т. 18, № 3, с. 165-168.

56. НовоселицкиЙ В.М. К теории определения изменения плотности вгоризонтальном пласте по аномалиям силы тяжести. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1966, № 5, с. 25-32.

57. Новоселицкий В.М. К вопросу о построении нескольких гравиак-тивных границ поднятия. В кн.: Вопросы обработки и интерпретации геофизических наблюдений. Пермь: ПТУ, 1967, вып. 7, с. 79-81.

58. Новоселицкий В.М. Соотношение между переменными пластовыми, средними и эффективными плотностями при решении задач грави-разведки. В кн.: Прикладная геофизика. М.: Недра, 1971, вып. 62, с. I5I-I58.

59. Новоселицкий В.М. Интерпретация гравитационных аномалий в условиях латерального изменения плотности осадочных толщ. Авто-рефер. дис. . докт. геол.-мин.наук. Пермь, 1975, 34 с.

60. Новоселицкий В.М., Гордин В.М. Построение горизонтальной слоисто-зональной модели пластового разреза осадочной толщи.-В кн.: Геофизические изыскания. Пермь, ИГУ, 1974, с. II8-I28.

61. Новоселицкий В.М., Губайдуллин М.Г. Некоторые эквивалентные представления градиентно-слоистых сред в задачах гравиразвед-ки. В кн.: Теория и методика интерпретации гравимагнитных полей. Киев: Наук.думка, 1981, с. 347-352.

62. Нумеров Б.В. Интерпретация гравитационных наблюдений в случае одной контактной поверхности. ДАН СССР, А., 1930, № 21, с. 569-574.

63. О продолжении потенциала в сторону возмущающих масс в гравиметрической и магнитной разведках на основе метода регуляризации. /А.Н.Тихонов, В.Б.Гласко, О.К.Литвиненко, В.Р.Мелихов.-Изв. АН СССР. Физика Земли, 1968, № 12, с. 30-48.

64. О решении обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности на основе метода регуляризации./В.Б.Гласко, Б.А.Володин, Е.А.Мудрецова. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1973, № 2, с.

65. Оганесян С.М. Решение линейных некорректных задач гравиметрии двойственным методом. ДАН УССР. Сер. "Би, 1982, № 9, с. 13-18.

66. Оганесян С.М., Старостенко В.И. Параметрический функционал А.Н.Тихонова и итерационные методы решения некорректных задач геофизики. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1978, № I, с.63-75.

67. Оганесян С.М., Старостенко В.И. Двойственный метод решения линейной некорректной задачи, использующий параметрический модифицированный функционал Лагранжа и вариационный способ А.Н.Тихонова. ДАН СССР, 1982, т. 263, № 2, с. 297-301.

68. Построение плотностной модели Земли по гравиметрическим дан-ным./В.Г.Козленко, В.И.Старостенко, Г.А.Мещеряков, Ю.П.Дей-нека. Геофиз.журн., 1979, т. I, № 3, с. 3-21.

69. Прилепко А.И. 0 единственности определения плотности и формы тела в обратных задачах теории потенциала. ДАН СССР, 1970, т. 193, № 2, с. 288-291.

70. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала. Матем.заметки, 1973, т. 14, № 5, с. 755-767.

71. Прилепко А.И., Чередниченко В.Г. Об одном классе обратных задач для аналитических функций. Дифференц.уравнения, 1981, т. 17, № 10, с. 1886-1899.

72. Пруткин И.Л. О приближенном решении трехмерных обратных задач гравиметрии и магнитометрии методом локальных поправок. -Изв. АН СССР. Физика Земли, 1983, № I, с. 53-58.

73. Рапшторт И.М. О некоторых достаточных условиях единственности решения обратной задачи теории потенциала. ДАН УССР, 1940, № 5, с. 23-30.

74. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

75. Соболев C.JI. Плотность финитных функций в L^(En) . Сибирск. матем.журн., 1963, т. 4, № 3, с. 673-682.

76. Соловьев О.А. Линейные интегральные преобразования потенциальных полей. В кн.: Дополнительные главы курса гравиразведкии магниторазведки. Новосибирск: НГУ, 1966, с.187-242.

77. Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. М. ; Л.: Гос-техиздат, 1946. 251 с.

78. Сретенский Л.Н. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала. ДАН СССР, 1954, т. 99, № I, с. 21-22.

79. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. Киев.: Наук, думка, 1978, 228 с.

80. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. 342 с.

81. Страхов В.Н. Теория построения вычислительных схем для трансформации потенциальных полей. В кн.: Дополнительные главы курса гравиразведки и магниторазведки. Новосибирск ; НГУ, 1966, с. 7-186.

82. Страхов В.Н. К теории прямых поисков нефти. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1967, № 10, с. 50-62.

83. Страхов В.Н. К теории обратной задачи гравиметрии для слоистых сред. Геология и геофизика, 1968, № 3, с. 74-89.

84. Страхов В.Н. О методах определения особых точек потенциальных полей на основе аппроксимации целыми функциями конечной степени. В кн.: Прикладная геофизика. М.: Недра, 1972, вып. 65, с. 130-150.

85. Страхов В.Н. Об обратной задаче логарифмического потенциала для контактной поверхности. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1974, № 2, с. 43-65.

86. Страхов В.Н. К теории обратной задачи логарифмического потенциала для контактной поверхности. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1974, № 6, с. 39-60.

87. Страхов В.Н. Об общих решениях обратных задач гравиметрии и магнитометрии. Изв. вузов. Геология и разведка, 1978, № 4, с. I05-II8.

88. Страхов В.Н. К теории плоской задачи гравиметрии и магнитометрии "аналитический мир", порожденный выметанием Пуанкаре - Изв. АН СССР. Физика Земли, 1978, № 2, с. 47-73.

89. Страхов В.Н. Эквивалентность в обратных задачах гравиметрии и возможности ее практического использования при интерпретации гравитационных аномалий. I, П. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1980, № 2, с. 44-64; 1980, № 9, с. 38-69.

90. Страхов В.Н. Физический смысл и црикладное значение сингулярных источников комплексных масс и мультиполей. - Изв. АН СССР. Физика Земли, 1981, № 8, с. 62-91.

91. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. ДАН СССР, 1943, т. 39, №5, с. 195-198.

92. Тихонов А.Н., Гласно В.Б. Приложение методов регуляризации в нелинейных задачах. Журн. вычисл.матем. и матем.физики, 1965, т. 5, № 3, с. 463-473.

93. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 224 с.

94. Уэрмер Дж. Теория потенциала. М.: Мир, 1980. 134 с.

95. Федорова Н.В., Цирульский А.В. К вопросу о разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала для контактной поверхности в конечном виде. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1976, № 10, с. 61-72.

96. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970. 352 с.

97. Цирульский А.В., Никонова Ф.И., Федорова Н.В. Метод интерпретации гравитационных и магнитных аномалий с построением эквивалентных семейств решений. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980. 135 с.

98. Цирульский А.В., Пруткин И.Л. О решении обратной задачи гравиметрии для произвольных классов двумерных и трехмерных потенциалов. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1981, № II, с. 45-61.

99. Чередниченко В.Г. О разрешимости "в малом" обратной задачи потенциала с переменной плотностью в двумерном случае. -Сибирск.матем.журн., 1976, т. 17, № 5, с. 2168-2176.

100. Чередниченко В.Г. Обратная задача для потенциала слоистых сред в двумерном случае. Дифференц. уравнения, 1978, т. 14, № I, с. 140-147.

101. Чередниченко В.Г. К вопросу об определении плотности тела по заданному потенциалу. ДАН СССР, 1978, т. 240, № 5, с. 1032-1035.

102. Шабат А.Б. Уравнения с частными производными, ч. П. Новосибирск: НГУ, 1968. 84 с.

103. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969. 576 с.

104. Шашкин Ю.А. К вопросу об обратной задаче потенциала. ДАН СССР. 1958, т. 118, № I, с. 45-46.

105. Янушаускас А.И. Аналитические и гармонические функции многих переменных. Новосибирск: Наука, Сиб.отделение, 1981. 183 с.

106. Tsufeol С., Fuschlda Т. Relations ietween gravity values and corresponding subterranean mass distribution

107. Bull. Earthy. Res. Inst., Tokyo Unli/., 1957)V-15"»/V°3jpp636~6^9.

108. Tsu€ol C., Fuschlota T. Gravity qnomaUes and the corresponding subterranean mass distribution. ?roc. Imp. Acact Tokyo, V33&, v.14, pp 170-175.

109. Tsufol С. A Simple method of approximately determining the thuckness of the earth's crust. bull. Earthy. Res. Inst. , Tokyo Llnlv. , 1^38, 16, pp 285-2^6.

110. TschernCncj C.C., SCinkcl H. /I Method jvr the Construction of spheroidal Mass Distributions consistent with the harmonic Part о J- the Earth's Gravity Potential.-I4r6fj ZentraUnst. Phys. Erde, Poisddm , 1921, Nr. 63, Teil /Г, S. 481 -500.