Метод решения обратной задачи гравиметрии в классе плотностных границ сложнопостроенных сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.12 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИЗ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ СТРУКТУРНОЙ ГРАВИМЕТРИИ.

2. МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛАГРАБЖА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ГРАВИРАЗВЕДКИ В КЛАССЕ ПЛОТНОСТНЫХ ГРАНИЦ ПРИ ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТИ ПЛАСТОВ.

2.1. Постановка обратной задачи гравиразведки в классе шготностных границ.

2.2. Выбор критерия оптимальности (построение минимизируемого функционала )

2.3. Представление решений обратной задачи гравиразведки в классе плотностных границ.

3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОД! ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ГРАВИРАЗВЕДКИ.

3.1. Итерационные процессы для решения нелинейных интегральных уравнений.

3.2. Выбор параметров итерационных процессов.

4. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ГРАВИРАЗВЕДКИ В КЛАССЕ ШЮТНОСТНЫХ ГРАНИЦ ДНЯ ПЛАСТОВ ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТИ И СЛОЖНОЙ КОНФИГУРАЦИИ ГРАНИЦ.

4.1. Решение обратной задачи гравиразведки для плотностных границ при переменной плотности пластов вдоль горизонтальных координат

4.2. Методика построения решения обратной задачи гравиразведки при неоднозначных плотностных границах

5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ И ОПИСАНИЕ МОДЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

5.1. Вычислительные схемы решения обратной задачи грави-разведки в классе длотностных границ

5.2. Результаты модельных экспериментов .{№

6. МЕТОДИКА И РЕЗУЛЬТАТЫ ОБРАБОТКИ ПОЛЕВОГО ГРАВИМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА . ¿

Перспективы развития народного хозяйства СССР на 1981-1985 годы требуют значительного расширения материально-сырьевой базы промышленности. В связи с этим повышается роль различных геофизических методов, в частности гравиметрии, которые в настоящее время являются основными при поисках и разведке месторождений полезных ископаемых.

Одним из главных направлений развития современной геофизики, им еющим своей целью повышение ее интерпретационных возможностей и, в конечном итоге, ее геологической и экономической эффективности, является создание интерпретационных систем анализа геофизических данных. Решение этой задачи в полном ее объеме позволит на качественно новом уровне подойти к решению широкого круга геологических задач на всех этапах производства геофизических исследований. В то же время сама эта проблема многокомпонентна и включает в себя решение множества конкретных задач, разработку новых, более эффективных и учитывающих специфику общей, глобальной задачи, методов.

Одной из таких задач является изучение геоплотностных неод-нородностей земной коры с учетом всего комплекса сведений об исследуемом районе. Проблема изучения геоплотностного разреза определяет и круг геофизических методов, требующихся для ее решения, в котором важное место занимает гравиметрия.

Сама природа интерпретации данных гравиметрии такова, что она относится к разряду задач комплексной интерпретации геолого-геофизических данных и в этом аспекте методы решения обратных задач нуждаются в дальнейшем развитии.

Актуальность разрабатываемой в диссертации проблемы определяется острой необходимостью повышения интерпретационных возможностей гравиметрии, а также повышения геологической эффективности анализа гравиметрических и комплекса геолого-геофизических данных.

Одним из главных вопросов» который следует решить аа этом пути и в зависимости от решения которого определяются постановка задачи, методы ее решения, а таще следующие отсюда конкретные алгоритмы анализа гравиметрических данных, является вопрос об достаточно универсальной, и в то-же время представляющей широкие возможности варьирования, форме представления комплекса дополнительных к гравитационным полям геолого-геофизических сведений.

Традиционно используемой и преимущественно распространенной сегодня формой является априорное формирование аппроксима-ционной конструкции:а) позволяющей достаточно полно описать реальный геологический объект;б) обеспечивающей единственность решения обратной задачи.

В то-же время представляется, что такая форма не учитывает некоторые, весьма существенные относительно получаемого конечного результата, особенности априорной информации. Сюда, например, относится неравнозначность по уровню достоверности сведений об искомом объекте, доставляемых различными методами. Кроме того, предварительное формирование аппроксимационных конструкций предопределяет свои, технологические разобщенные, вычислительные схемы решения обратной задачи. Последнее обстоятельство затрудняет объединение такого рода методов в рамках единой интерпретационной системы.

Целью настоящей работы является развитие м етодов анализа гравиметрических данных для задач структурного типа (задач о плотностных границах), в основу которых положен критериальныйподход к выражению комплекса априорных сведений об исследуемой среде, основы которого заложены А.И.Кобруновым и В.Н.Страховым. Применимость этих методов ве ограничивается задачами структурного типа. Они, будучи снабжены некоторыми рассматриваемыми методическими приемами, применимы всегда, когда среда может быть описана системой из произвольного, но известного числа плотност-ных границ.

Развитие данного подхода определило следующий круг задач, решение которых позволяет выработать единые методы анализа гравитационных данных, учитывая всю дополнительную геолого-геофизическую информацию:1), Определение необходимых требований к математической постановке и решению обратных задач структурной гравиметрии с учетом известных сведений о решении, выраженных в виде минимизируемого функционала, на основании анализа существующих методов решения этих задач и выбор величин, входящих в функционал.

2), Получение представлений решений обратной задачи гравиразвед-ки в классе плотностных границ при постоянной и переменной плотности пластов и построение итерационных процессов, доставляющих решение полученным соотношениям. Выбор параметров итерационных процедур.

3). Разработка вычислительных схем и их программная реализация, а также исследование их устойчивости.

4). Испытание комплексов программ на тестовом и полевом материале и выработка методических рекомендаций по их использованию.

Научная новизна работы состоит в том, что впервые:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В результате проведенных теоретических и экспериментальных исследований, обработки полевого гравиметрического материала вый» яснены некоторые вопросы решения задач структурной геологии по данным гравиметрии. В связи с тем, что основное внимание в работе уделено созданию эффективных интерпретационных систем, предназначенных для устойчивого решения обратной задачи гравиразведки в классе плотностных границ, проведена разработка теоретических вопросов,связанных, в основном, с решением данной проблемы. Однако трудность поставленной задачи, неограниченное количество плотностных границ при произвольной их конфигурации, а также нелинейность исходного интегрального уравнения, не дает возможности во всей полноте провести теоретическое исследование изучаемой проблемы, что вынуждает, в некоторых случаях, применять процедуры, теоретически не полностью обоснованные. В результате проведенных работ созданы системы интерпретации гравиразведочных данных в классе плотностных границ в двумерном и трехмерном случаях и получены следующие результаты: а) построен минимизируемый функционал, выражающий нашу информацию о поведении плотностных границ, в виде задания нулевого приближения и оценки достоверности его построения; б) получены интегральные представления решений на экстремальных классах. Полученные.таким образом, плотностные границы параметризованы единой системой множителей,Лагранжа, которая полностью согласовывается с наблюденным гравитационным полем. И, таким образом, получено согласование входной и выходной информации. При этом на количество плотностных границ и их фориу не накладывается никаких существенных ограничений; в) построены итерационные процессы, доставляющие решение полученным интегральным уравнениям. Итерационные процессы являются устойчивыми; г) выведены уравнения для определения параметра релаксации итерационных процессов, при котором скорость убывания невязки рассчитанного и наблюденного полей, является максимальной; д) показана зависимость получаемых решений от выбора величин, входящих в минимизируемый функционал; е) показано, что постановка обратной задачи гравиразведки по А.Н.Тихонову не выводит решения из экстремального класса; ж) распространен рассмотренный выше случай на модель плот-ностных границ, когда плотности пластов являются переменными по горизонтали, а также, если плотностные границы не являются однозначными функциями горизонтальных координат.

Таким образом, поставленные перед исследованиями работы являются решенными. Однако работы в данном направлении следует продолжать в следующих направлениях: а) рассмотрение задачи в линеаризированной постановке, так как оператор прямой задачи А в этом случае оказывается линейным и следует ожидать более конструктивных результатов; б) усовершенствование вычислительных схем для уменьшения количества машинного времени при решении трехмерной обратной задачи гравиразведки; в) рассмотрение более приемлемой в вычислительном аспекте проблемы формирования нулевого приближения и оценки достоверности его построения.

1. Антонов Ю.В. Определение границы раздела двух сред с различными плотностями по аномалиям силы тяжести. Сб.Разведочная геофизика, вып.69, 1975, с.106-114.

2. Антонов Ю.В. Решение обратной задачи гравиразведки для контактной поверхности при наличии нескольких границ раздела. Сб.Разведочная геофизика, вып.71, 1976, с.87-94.

3. Антонов Ю.В. Результаты применения экстраполяции силы тяжести в структурной гравиразведке. Сб.Прикладная геофизика, вып.89, 1977, с.87-96.

4. Баранов В. Потенциальные поля и их трансформации в прикладной геофизике. М. Недра, Г980, 152 с.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М., "Наука", 1973. 632 с.

6. Белов Ю.П., Большаков Б.Е., Шрайбман В.И. Алгоритм количественного прогнозирования геологических характеристик по reoлого-геофизической информации на ЭВМ. "Труды МИНХ и ГП", вып.95, 1971, с.140-148.

7. Белов Ю.П., Большаков Б.Е., Шрайбман В.И. Прогнозирование мощности платформенного чехла Предкавказья на ЭВМ по reoлого-геофизическим данным. "Труды МИНХ и ГП", вып.95, 1971, с.148-155.

8. Бережная Л.Т., Телепин М.А. Решение обобщенной обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности. Сб.Прикладная геофизика, вып.64, 1971, с.144-148.

9. Березкин В.М. Применение гравиразведки для поисков месторождений нефти и газа. М. "Недра", 1973, 264 с.

10. Болдырева В.А., Блюменцвайг В.И., Катер Н.Д. Использование корреляционной модели для прогнозирования структур в низах осадочной толщи.Нефтегазовая геология и геофизика. Реф.н-т.сборник № 5, 1978, с.33-37.

11. Булах Е.Г., Маркова H.H. Методическое руководство и сборник программ для решения обратных задач гравиразведки на ЭЦВМ "Минск-22". Киев, "Наукова думка", 1971.

12. Булах Е.Г., Маркова М.Н. Методическое «руководство и сборник программ для решения прямых задач гравиразведки на ЭВМ "Минск~22". Киев, "Наукова думка", 1971.

13. Булах Е.Г. Автоматизированная система интерпретации гравитационных аномалий. Киев, "Наукова думка", 1973.

14. Булах Е.Г., йканицын В.А., Маркова М.Н. Применение метода минимизации для решения задач структурной геологии по данным гравиразведки. Киев, "Наукова думка", 1976, 220 с.

15. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М. Изд-во Моск.у-та, 1974. 374 с.

16. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М. Наука, 1980, 520 с.

17. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М. Мир. 1978. 336 с. . .

18. Гласко В.Б., Остромогильский А.Х., Филатов В.Г. О восстановлении глубины и формы контактной поверхности на основе регуляризации. IBM и МФ, 10, № 5, 1970, с .1292-1297.

19. Гласко В.Б., Володин Б.А., Мудрецова Е.А., Нефедова Н.Ю. О решении обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности на основе метода регуляризации. Изв.АН СССР, Физика Земли, Кз 2, 1973, с.30-41.

20. Гольцман Ф.М. Статистические модели интерпретации. М., "Наука", 1971, 327 с. с ил.

21. Гольцман 5.М. Физические аспекты статистической теории интерпретации наблюдений. Изв. АН СССР, Физика Земли, № 7, 1971, с.

22. Гольцман Ф.М. Проблемные вопросы информационной статистической информации геофизических наблюдений. Изв. АН СССР, Физика Земли", № 2, 1977, с.

23. Де Грот М. Оптимальные статистические решения. М."Мир", 1974, 496 с.

24. Денисюк Р.П., Кобрунов А.И. Об одном эвристическом алгоритме решения обратной задачи гравиразведки в классе плотностных границ. В сб."Разведка и разработка нефтяных и газовых месторождений". Вып.18, Львов, 1981, с.33-39. .

25. Денисюк Р.П. Некоторые вопросы решения обратной задачи гравиразведки для контактных поверхностей. Доп.АН УССР, сер.Б, № 12, 1981, с.8-10.

26. Денисюк Р.П. К вопросу о выделении аномальных гравитационных полей для решения обратной задачи гравиразведки. В сб."Разведка и разработка нефтяных и газовых месторождений". Вып.19, Львов, 1982, с.42-44.

27. Елисеева И.С. Применение метода для изучения плотностных границ. Прикладная геофизика, вып.78, 1975, с.159-164.

28. Еремеев М.И., Мудрецова Е.А., Филатов В.Г. Решение обратной задачи гравиразведки для двумерной модели продуктивной структуры. Сб.Прикладная геофизика, вып.93, 1978, с.130-134.

29. Жданов M.G., Шрайбман В.И. Корреляционный метод разделения геофизических аномалий. М. "Недра", 1973, 128 с.

30. Иванов В.К. Об устойчивости обратной задачи логарифмического потенциала. Изв.Вузов. Математика, 1958, с.

31. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах. Математич. сборник, 1963, 61, № 2, с.211-223.

32. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложение. М. Наука, 1978 .

33. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.I1. Наука, 1974, 479 с.

34. Калинина Т.Е. Статистические методы оценивания в магнитометрии и гравиметрии. Докторская диссертация. М.^1978.

35. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., "Наука". 1977, 744 с.

36. Каратаев Г.И. Корреляционная схема геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. Новосибирск, "Наука". 1966, 135 с.

37. Каратаев Г.И., Ватлин Б.П., Захарова Т.Л. Методика комплексной геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. Новосибирск, "Наука", 1973, .167 с.

38. Кобрунов А.И. О методе поиска оптимальных решений обратной задачи гравиразведки. Канд.диссертация, Киев, 1977.

39. Кобрунов А.И. Об одном подходе к решению обратной задачи гравиразведки веклассе плотноетных границ. В сб.Разведкаи разработка нефтяных и газовых месторождений. Львов, вып. 16, 1979, с. 29-33.

40. Кобрунов А.И., Денисюк Р.П. О выборе параметра релаксации при решении обратной задачи гравиразведки в .классе плотно-стных границ итерационным методом". "Геофизический журнал V № 2, т.5, 1983, с.63-68.

41. Кобрунов A.И., Денисюк Р.П. Решение обратной задачи гравиразведки в классе плотностных границ с переменной плотностью на контакте. Изв.вузов. Геология и разведка, 1982, № 9, с.108-117.

42. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М. "Наука", 1981, 544 с.

43. Колычева Л.И. О единственности решения обратной задачи гравиметрии для нескольких контактных границ. Труды молодых ученых Среднеазиатского НИИ геологии и минерального сырья, Ш 4, 1978, с.70-73.

44. Комарова Г.М., Мудрецова Е.А., Филатов В.Г., Ковалка A.A. Определение параметров пологой структуры и залежи нефти (газа) по данным гравиразведки. Сб.Прикладная геофизика, вып. 87, 1977, C.I06-III.

45. Комарова Г.М. Решение обратной задачи гравиразведки для неизометрической нефтегазоносной структуры. Сб.Прикладная геофизика, вып.97, 1980, с.193-201.

46. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск, Изд-во АН СССР, 1962, 92 с.

47. Лаврентьев М.М.,Романов В.Г.,Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М. "Наука",1980,288 с.

48. Маловичко А.К. Вычисление гравитационного аномального эффекта, создаваемого структурами третьего порядка. В кн. Вопросы обработки и интерпретации геофизических наблюдений. Ш 3, изд. ПТУ, 1963, с.3-10.

49. Маловичко А.К., Горожанцев C.B. Об интерпретации аномалий силы тяжести в условиях слоистого разреза с различными значениями плотности. В сб.Методика поисков и разведки глубоко-залегающих рудных тел. Свердловск, 1977, с.98-101.

50. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., "Наука",1980, 536 с.

51. Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи. Итоги науки и техники. Математический анализ. т.П М. ВИНИТИ, 1973, с.129-178.

52. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач. М., МГУ, 1974. Ротапринт.

53. Мудрецова Е.А., Филатов В.Г. Определение глубины залегания, формы, избыточной плотности и участка модуляции контактной поверхности. Сб.Прикладная геофизика, вып.78, 1975, с.153-158.

54. Мудрецова Е.А., Филатов В.Г. Методика определения параметров, характеризующих контактную поверхность на основе метода регуляризации. Сб.Прикладная геофизика, вып.83, 1976,с. 44-148.

55. Мудрецова Е.А., Филатов В.Г. Исследование влияния случайных и систематических погрешностей на погрешность восстановления глубины и формы контактной поверхности. Сб.Прикладная геофизика, вып.88, 1977, с.96-101.

56. Непомнящих A.A. Интерпретация геофизических аномалий. М., Недра, 1964.

57. Непомнящих И.А., Шабалдин В.Н., Ветренников A.B. Алгоритмы и программы решения прямых и обратных задач геофизики и пересчета полей. № I, Алма-Ата, МГ СССР, 1974, 209 с.

58. Никонова Ф.И.; Цирульский A.B. Интерпретация гравитационных аномалий на основе классов потенциалов, для которых обратная задача разрешима в конечном виде. Изв.АН СССР, Физика Земли, № 2, 1978, с.74-84.

59. Новиков П.С. О единственности решения обратной задачи теории потенциала. ДАН СССР ХУ1, т.З, 1938, с.165-168.

60. Оганесян С.М., Старостенко В.И. Некоторые свойства псевдорешения и элемента »минимизирующего обобщенный функционал А;Н.Тихонова. ДАН СССР т.263, Л 3, с.540-542.

61. Остромогильский АД. Об единственности решения обратной задачи теории потенциала. ЖВМ и МФ, 10, Ж 2, 1970, с.352-361.

62. Поляк Б.Т. Минимизация негладких функционалов. ЖШ и МФ, 1969, Л 3, т.9, с.509-521.

63. Поляк Б.Т. Итерационные методы решения некоторых некорректных вариационных задач. Вычисл. методы и программирование. 1969, T.I2, с.38-52.

64. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М. "Наука", 1979, с.496.

65. Соколовский К.й. Разделение гравитационного поля, заданного на полупрямой, на составляющие, источники которых расположены внутри или вне ограниченной области. Доп. АН УССР, сер.Б, Ж 5, 1976, с.418-423. .

66. Сретенский Л.Н. Об единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала. ДАН СССР, 99, JS I, 1954, с.51-54.

67. Старостенко В.И., Заворотько А.И. Методика и результаты применения регуляризующего алгоритма при решении обратной нелинейной задачи. Геофизический сборник, вып.71, 1976,с.29-40.

68. Старостенко В.И., Оганесян С.М. Устойчивые операторные процессы и их применение в задачах геофизики. Изв.АН СССР, Физика Земли, № 5, 1977, с.61-75.

69. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. Киев, Наукова думка, 1978, 228 с.

70. Страхов В.Н. О решении некорректных задан магнито- и гравиметрии, представляемых интегральными уравнениями типа свертки. Изв.АН СССР, Физика Земли, ч.1, № 4, 1967, с.36-54; ч.2, № 5, 1967, с.33-53.

71. Страхов В.И. О численном решении некорректных задач, представляемых интегральными уравнениями типа свертки. ДАН СССР, 1968, 178, В? 2, с.299-302.

72. Страхов В.И. Теория приближенного решения линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве и ее использование в разведочной геофизике, ч.1,П. Изв.АН СССР, Физика Земли,8,9, 1969, с.30-53, 64-96.

73. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных-задач в гильбертовом пространстве. Дифф.уравн., 1970, 16, № 8, с.1420-1495.

74. Страхов В.Н. О методах последовательных приближений для линейных уравнений в гильбертовом пространстве. НВМ и МФ, 1973, 13, N? 4.

75. Страхов В.Н. О построении оптимальных по порядку приближенных решений линейных условий корректных задач. Дифф.уравн. 1973, II, № Ю.

76. Страхов В.Н. Об обратной задаче логарифмического потенциала для контактной поверхности. Изв.АН СССР, Физика Земли, № 2, 1974, с.43-65.

77. Страхов В.Н. К теории обратной задачи логарифмического потенциала для контактной поверхности. Изв. АН СССР, Физика Земли, № б, 1974, с.39-60.

78. Страхов В.Н. Об условиях однозначного определения границ раздела двумерных слоистых сред по данным гравитационных наблюдений. Доклады АН УССР, серия Б, № 12, 1975, с.1066-1091.

79. Страхов В.Н. К теории структурной гравиметрии. Сб.Прикладная геофизика, вып.68, 1972, с.119-138.

80. Страхов В.Н. Эквивалентность в плоской задаче гравиметрии при переменной нлотности масс. Изв.АН СССР. Физика Земли, № 5, 1977, с.48-60.

81. Теория и методика интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. АН-СССР. Институт Физики Земли. М. 1979, 270 с.

82. Телепин М.А., Бережная Л.Г. Решение прямой и обратной задач для контактной поверхности. Сб .Прикладная геофизика, выл.48, 1966. с.168-184.

83. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. ДАН СССР, Г943, 39, № 5, с.195-198.

84. Тихонов А.Н. О-регуляризации некорректно поставленных задач. ДАН СССР, 1963, 153, №1, с.49-52.

85. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач. ДАН СССР, 1963, 151, № 3, с.501-504.

86. Тихонов А.Н. О-решении нелинейных интегральных уравнений. ДАН СССР, 1964, 156, № 6, с.1296-1299.

87. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О применении метода регуляризации в задачах геофизической интерпретации. Изв.АН СССР. Физика Земли, 1975, № I, с.38-48.

88. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М. Наука. 1979, 288 с.93. 1£еногин В.А. Функциональный анализ. М. Наука, 1980, 496 с.

89. Тяпкин К.Ф., Голиздра Г.Я., Краткий обзор современных методов ослабления регионального фона гравитационного и магнитного полей. М. Изд. ОНТИ ВИМС, 1963, 50 с.

90. Федорова Н.В., Цирульский A.B. К вопросу о разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала для контактной поверхности в конечном виде. Изв.АН СССР. Физика Земли, № Ю, 1976.

91. Федорова Н.В., Цирульский A.B. Об обратной задаче для константной поверхности. Изв.АН СССР, Физика Земли, № 3, 1978.

92. Филатов В.Г. О единственности решения некоторых обратных задач гравиразведки. Изв. АН СССР, Физика Земли, № II, 1974, с.97-101.

93. Филатов В.Г., Антонов Ю.В. Решение обратной задачи гравиметрии для двух контактных поверхностей. Сб.Прикладная геофизика, вып.94, 1979, с.136-140.

94. Филатов В.Г. Решение прямой и обратной задачи гравиметрии для двух контактных границ на основе выметания, концентрации и-нелинейного программирования. Изв. АН СССР. Физика Земли, № 5, 1980, с.93-98.

95. Цирульский A.B. О единственности решения обратной: задачи теории потенциала. Изв.АН СССР. Физика Земли, № 6, 1969, с.60-65.

96. Цирульский A.B., Никонова Ф.И. К вопросу о разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде. Изв.АН СССР, Физика Земли, № 5, 1975, с.37-46.

97. Цирульский A.B., Никонова Ф.И., Федорова Н.В. Метод интерпретации гравитационных и магнитных аномалий с построением эквивалентных семейств решений. АН СССР УНЦ. Институт геофизики. Свердловск, 1980, 136 с.

98. Шалаев C.B. Геологическое истолкование геофизических аномалий с помощью линейного программирования. Л." Недра", 1972.

99. Шрайбман В.И., Жданов М.С., Витвицкий О.В. Корреляционные методы преобразования и интерпретации геофизических аномалий. М. Недра, 1977, 238 с.