Исследование устойчивости решения региональных линейных обратных задач гравиметрии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.12 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. КЛАССИФИКАЦИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГРАВИМЕТРИИ И

СООТВЕТСТВУЮЩАЯ СИМВОЛИКА

§ I.I. Основные канонические тела интерпретации и их гравитационный эффект

§ 1.2. Исходная информация и искомые параметры

§ 1.3. Постановка линейных обратных задач гравиметрии

§ 1.4. Аппроксимационный подход; в решении линейных обратных задач

ГЛАВА П. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ РЕГИОНАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ

ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГРАВИМЕТРИИ.

§ 2.1. Методы исследования неособенности матриц и коэффициентная сходимость в аппроксимационном подходе решения линейных обратных задач.

§ 2.2. Применение критериев неособенности матриц для установления достаточных условий устойчивости обратной задачи ( Vz--СЦ,)

§ 2.3. Вопросы решения линейной обратной задачи

V22-.

§ 2.4. Аналитический способ нахождения собственных значений для разрешимых обратных задач

§ 2.5. Определение границ устойчивости линейных обратных задач путем решения частичной проблемы собственных значений методом последовательных итераций.

- 3

§ 2.6. Некоторые особенности решения линейных обратных задач ( \[х-» СЦ ) и

Vfr—*az).

§ 2.7. Численные эксперименты по решению обратных задач для физических моделей

§ 2.8. Об интерпретации гравиметрических данных для каЕказского региона

Изучение глубинного строения Земли Есегда считалось одной из основных задач человечества, и на первый взгляд может показаться парадоксальным, что хотя его представители уже достигли другого небесного тела и в ближайшем будущем достигнут и других, расположенных на миллионы километров от нас, недра родной планеты прощупаны с помощью скважин на глубине около 12 километров лишь в нескольких точках. Нет основания ожидать, что в обозримом будущем эта глубина увеличится на порядок. Это обстоятельство объясняется не недостаточным вниманием к этому вопросу, а исключительными техническими трудностями, встающими на этом пути. Поэтому большое значение приобретает изучение геофизических полей, дающих возможность иметь определенное представление о строении Земли. Эту со-, временную ситуацию изучения недр нашей планеты гениально предвидел М.В.Ломоносов, отмечая, что "Велико есть дело достигать е глубину земную разумом, куда рукам и оку достягнуть возбраняет натура". Геофизические поля, являясь следствием строения Земли, дают возможность путем решения прямых задач проверить непротиворечивость наших модельных представлений о глубинном строении Земли. Однако, при определенных допущениях геофизические поля путем решения уже обратных задач могут дать представления об их причинах.

Настоящая диссертация посвящена решению линейных региональных обратных задач гравиметрии. Заметим, что между региональными и локальными обратными задачами гравиметрии существует глубокое отличие как е решаемых задачах (первая ищет распределения плотности данного региона, вторая же аномалию в этом распределении), так и в применяемых методах. Так, например, Еысшие производные потенциала силы тяжести, существенно используемые в локальных обратных задачах, практически не несут полезную информацию непосредственно для региональных обратных задач.

В последние годы в вопросах построения региональных гравитационных моделей достигнут существенный прогресс. Значительный вклад в методической части при этом Енесли В.И.Аронов, М.Е.Артемьев, Б.К.Балавадзе, Е.Г.Булах, В.И.Голыпмидт, Г.Я.Голиздра, Н.П.Грушинский, Г.И.Каратаев, К.М.Картвелитвили, В.Г.Козленко, С.С.Красовский, П.Ш.Миндели, С.М.Оганесян, Н.И.Павленкова, В.И. Старостенко, В.Н.Страхов, К.Ф.Тяпкин, А.В.Пирюльский, А.В.Черный, Э.А.Шен, Г.Ш.Шенгелая и др. Однако разрешающая способность гравиметрического метода интерпретации для региональных задач со всей полнотой не была исследована.

Ясно, что обратные задачи гравиметрии, как и большинство обратных задач геофизики, относятся к классу некорректных в смысле Адамара задач. В последнее время е работах А.Н.Тихонова [59-62], В.К.Иванова [29-30], М.М.Лаврентьева [39-4о] и др. для их решения развиты мощные вычислительные, методы.

По существу подавляющее большинство некорректных задач сводится к решению интегральных уравнений первого рода, и методы их решения предполагают удачный обрыв вычислительного процесса параметризации на некотором уровне детальности. Последний должен быть согласован не только с точностью исходных данных (во многих работах по решению некорректных задач подчеркивается необходимость именно этой согласованности), но и с естественной разрешающей способностью, которая для линейных интегральных уравнений первого рода определяется ядром интегрального уравнения. Одной из актуальных задач вычислительной геофизики следует считать исследование естественной разрешающей способности различных методов интерпретации геофизических полей, которое должно дать интерпретатору критерии, при какой детальности параметризации следует применять методы решения некорректных задач, а при какой детальности обходиться без них, т.е. при нулевом значении параметра регуляризации. Дело в том, что методы решения некорректных задач, как правило, сознательно увеличивают невязку приближенного решения интегральных уравнений, и ссылка на то, что все равно правая часть интегрального уравнения (исходная информация) известна с определенной погрешностью, не оправдывает ненужное их использование, ибо в разумных постановках геофизических задач исходная информация хотя и отягощена погрешностью, но она не имеет (не должна иметь) систематический характер, в отличие от погрешности из-за применения методов решения некорректных задач, которые в большинстве случаев имеют с истематический характер. Сказанное ни в коем случае не следует понимать как недооценку методов решения некорректных задач, этого выдающегося достижения всей современной науки (а не только математики). Мы лишь подчеркиваем необходимость разумного применения в геофизике этого мощного инструмента исследования.

Пелью работы являлась оценка разрешающей способности линейных обратных региональных задач гравиметрии и получение простых априорно легко проверяемых аналитических выражений для критериев невырожденности или же составление итогоеых таблиц, дающих представление об обусловленности соответствующих матриц. Соответственно поставленной цели в работе решены следующие задачи:

1. Конкретизировать и исследовать региональные линейные обратные задачи и выявить среди них разрешимые.

2. Разработать алгоритмы для получения критериев неособенности линейных разрешимых обратных задач гравиметрии.

3. Применить разработанные алгоритмы для получения условий неособенности матриц, соответствующих обратной задаче определения кусочно-постоянной плотности на основе первой вертикальной производной потенциала силы тяжести.

4. Исследовать разрешимость обратной задачи определения кусочно-постоянной плотности на основе Еторой вертикальной производной потенциала силы тяжести.

5. Получить таблицы собственных значений матриц для задач определения градиентов плотности на основе соответствующих производных потенциала силы тяжести.

На основе решений поставленных задач впервые получены достаточные условия разрешимости линейных региональных обратных задач гравиметрии при сколь угодно большом числе определяемых плотно-стных характеристик среды на основе некоторых трансформант поля силы тяжести.

Полученные в диссертации критерии дают возможность правильной постановки линейных обратных региональных задач и решения вопроса о том, при какой детальности параметризации можно применять обычные методы решения линейных задач, и когда следует переходить к методам решения некорректных обратных задач.

Материалы диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах Института геофизики АН ГССР, на расширенном заседании Общемосковского семинара по гравиметрии "Методы комплексной интерпретации гравитационных аномалий" (ИФЗ АН СССР, 1978), на второй и третьей школе-семинарах "Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных аномалий" (Тбилиси,1978) и "Теория и практика геологической интерпретации гравитационных и магнитных полей" (Ялта, 1980), на международном рабочем совещании КАПГ по построению плотностных моделей литосферы (Либлице, ЧССР, 1982).

Работа выполнена в вычислительном центре Института геофизики АН ГССР под руководством члена-корр. АН ГССР профессора М.А.Алек-сидзе, которому автор Еыражает глубокую благодарность за ценные советы и замечания, способствовавшие улучшению окончательного варианта диссертации. Автор выражает искреннюю признательность академику АН ГССР Б.К.Балавадзе, доктору физико-математических наук К.М.Картвелишвили, доктору геолого-минералогических наук Г.Ш.Шенгелая, кандидатам физико-математических наук П.Ш.Миндели и Д.В.ГогиашЕили.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В итоге проделанной работы получены следующие основные результаты.

1. Впервые количественно исследованы матрицы обратных линейных региональных задач, когда число интерпретируемых параметров велико.

2. Установлено, что среди 40 линейных обратных задач в региональной постановке разрешимыми могут быть три

V,— а0), (Vx—а,), (Ч—а2)

3. Показано, что при соблюдении условий или матрица обратной задачи ( Vfc-*00 )'будет неособенной при любом конечном числе параллелепипедов П. , а при П = оо соответствующая бесконечная система линейных алгебраических уравнений для определения бесконечномерного вектора a0(di, GZr . ) будет вполне регулярной и ее решение можно получить методом последовательных приближений.

4. Показано, что при соблюдении условий при любой конечной длине слоя матрица обратной задачи V^*Qo ) бУДет невырожденной.

5. Получены спектры собственных значений матриц обратных задач ( Vx--G0 ) и ( Vx--ОЦ ) для плоскопараллельного слоя.

6. Большое количество численных экспериментов, проведенных для физических моделей, подтвердили полученные теоретические результаты по устойчивости решения линейных региональных обратных задач.

1. Ав,дулов М.В. Количественная интерпретация гравитационных аномалий над телами правильной формы. - Азтореф. дис. на соиск. учен.степ.канд.физ.-мат.наук, 1.i., МГУ, 1965, 8 с.

2. Алексидзе ILА. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. Ш., Наука, 1978, с.351.

3. Алексидзе М.А., Гелашвили М.С., Картвелишвили К.Ь/i. Исследование некоторых вопросов трансформаций потенциальных полей. -Изд-во АН ГССР, Тбилиси, 1972, 284 с.

4. Алексидзе Ivi.А., КартвелишЕили К.М. Сообщения АН ГССР, 79, !гЗ, 1975, с.593-596.

5. Алексидзе М.А., Гванцеладзе Т.А., Деканозишвили И.В. О пределах корректности линейных обратных задач гравиметрии. -ДАН АН СССР, т.257, 1981, с.842-844.

6. Андреев Б.А. Простой способ расчета геофизических аномалий на высоте. Труды ВИРГА, еып.З, 1950.

7. Андреев Б.А. Геофизические методы в региональной структуре геологии. -№.: Недра, 1965 , 324 с. ^

8. Андреев Б.А., Закашанский Ы.С,, Самсонов И.Н., Фотиади Э.Э. Курс гравитационной разведки. к.: Госгеолиздат, 194I, 432 с.

9. Андреев Б.А., Клушин И.Г. Геологическое истолкование гравитационных аномалий. Изд-во "Недра", 1965.

10. Аронов В.И. К вопросу о решении задач Нейлмана в гравиметрии, Изе. АН СССР. сер. Физика Земли, JS 2, с.54-59.

11. Аронов В.И. Основные вопросы теории и практики обработки аномалий силы тяжести при произвольном рельефе поверхности наблюдений. Автореф.дис.на соиск.учен.степени д-ра физ.-мат.- 188 наук. LA., ИФЗ АН СССР, 1972, 37, с.7.

12. Аронов В.И., Гордин В.М. Методы интерполяции геолого-геофизических характеристик на регулярную сеть. Мат.методы исслед. в геологии, 1973, Ш 11-12, с.20-31 (ОЦНТИ ВИЭМС. Экспресс-информ.).

13. Артемьев М.Е. Изостазия территории СССР. М.: Наука, 1975.

14. Балавадзе Б.К. Гравитационное поле и строение земной коры в Грузии. Изд-во АН ГССР, 1957.

15. Балавадзе Б.К. Метод изучения структуры земной коры по аномалии силы тяжести. Геофиз. сб., изд-во "Наукога Думка", 42, 1971.

16. Балавадзе Б.К., Миндели П.Ш. Трансформированное поле аномалий силы тяжести басс. Черного моря. Сообщ. АН ГССР, 69, I, 1973.

17. Баренблат Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1978.

18. Булах Е.Г. Об автоматическом подборе контура возмущающего тела на цифровой электронной вычислительной машине. Изе. АН СССР. Сер. Физика Земли, 1965, Ш 8, с.85-88.

19. Булах Е.Г. Автоматизированная система интерпретации гравитационных аномалий. К., Изд-ео "Наукова Думка", 1973.

20. Булах Е.Г. Применение методоЕ интегральных соотношений и скорейшего спуска для интерпретации гравитационных аномалий.-Автореф. дис. на соиск. учен.степ.д-ра физ.-мат.наук, Тбилиси, Тбил.Ун-т, 1967, 15 с.

21. Булах Е.Г., Кричмар М.Н., Маркова М.Н., Старостенко В.И., Гариаданова В.М. Методическое руководство и сборник программ для решения прямых задач гравиразведки на ЭВМ "Минск-22", Киев, 197I, 92 с.- 189

22. Веселое К.Е., Сагитов М.У. Гравиметрическая разведка. -М., "Недра", 1968, 512 с.

23. Гванцеладзе Т.А. Об одном алгоритме решения обратной задачи гравиметрии. Сообщ. АН ГССР, 79, №2, 1975, с.349-352.

24. Гласко В.Б., Гущин Г.В., Старостенко В.И. Метод регуляризации Тихонова при решении систем нелинейных уравнений. ДАН УССР, сер. Б, 1975, JS3, с.203-206.

25. Гласко В.Б., Старостенко В.И. Регуляризующий алгоритм- решения системы нелинейных уравнений в обратных задачах геофизики. -Изе. АН СССР, сер. Физика Земли, 1976, Ш, с.44-53.

26. Голиздра Г.Я. Основные методы решения прямой задачи грави-разведки на ЭВМ. ВИЭМС, 1977.

27. Деканозишвили И.В. Критерий Адамара о разрешимости линейных задач гравиметрии. Сообщ. АН ГССР, 107, ih 2, 1982, с.289-292.

28. Деканозишвили И.В. Некоторые особенности решения линейныхобратных задач ( Vx-) и ( V^--аг). Сообщ.

29. АН ГССР, ПО , j£2, 1983, с.301-304.

30. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах. ДАН СССР, 1962, т.145, J&2, с.270-272.

31. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах. Мат.сб. Ноеэя сер., 1963, т.61, вып.2, с.211-223.

32. Кантарович Л.В., Крылов В.Н. Приближенные методы Еысшего анализа. -М.: Физматгиз, 1962, 708 с.

33. Картвелишвили К.М. Критерии для проверки интерпретации гравитационной аномалии V33 . Сообщ. АН ГССР, т.ХХУ, 1Ю, I960.

34. Картвелишвили K.Ivi. Планетарная плотностная модель и нормальное гравитационное поле Земли. Изд-во "Наука", Москва, 1982.

35. Козленко В.Г. Интерпретация методом моделирования данных КМПВ и гравиметрии в Днепровском грабене. Геофиз. сб., 1975, вып.66, с.37-47.

36. Красовский С.С. Отражение динамики земной коры континентального типа е гравитационном поле. КиеЕ, "НаукоЕа Думка", 1981, 268.

37. Красовский С.С., Старостенко В.И. О принципах количественной интерпретации гравитационного поля. УП Всесозн.научн.-техн. геофиз.коню., секция"гравиметрия и магнитометрия", М., 1972, с.22-24.

38. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск, Изд-во АН СССР, 1962, с.92.

39. Лаврентьев М.М. О постановке некоторых задач математической физики. В кн.: Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск, "Наука", 1966, с.258-276.

40. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М., "Наука", 1966.- 191

41. Павленкова Н.И., Бурьянов Б.Б., Гордиенко В.В. Обобщенная геофизическая модель земной коры некоторых геоструктур Украины. Геофиз. сб., 1974, вып.62, с.16-28.

42. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и её применение. -М., ИЛ, I960, с.170.

43. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы е задачах гравиметрии. Киев, ."НаукоЕа Думка", 1978, с.226.

44. Старостенко В.И. Регуляризующие алгоритмы нелинейного программирования. Ь кн.: Проблемы физики Земли на Украине. К., "Наукова Думка", 1975, с.50-53.

45. Старостенко В.И. Устойчивые алгоритмы квадратичного программирования и решение обратной задачи гравиметрии относительно плотностей. Геофиз. сб., 1975, вып.64, с.52-57.

46. Старостенко В.И., Бас Р.Г., Бутаков Г.С., Дядюра В.А. Автоматизированная система оперативной обработки данных гравиметрии и магнитометрии. К., "Наукова Думка", 1972, 164 с.

47. Старостенко В.И., Оганесян С.М. Нелинейное программирование в обратных задачах гравиметрии. -Геоф.сб., 1974, вып.62, с.88-93.

48. Страхов В.Н. О путях построения математической теории интерпретации магнитных и гравитационных аномалий. Прикладная геофизика, вып.35, 1962.

49. Страхов В.Н. Интегральные уравнения некоторых обратных задач теории логарифмического потенциала. ДАН УССР, сер.Б, 1976, № 2, с. 129-133.

50. СтрахоЕ В.Н. К теории обратной задачи логарифмического потенциала для контактной поверхности. Изе.АН СССР. Сер. Физика Земли, 1974, & 6, с.39-60.- 192

51. Страхов В.Н. Некоторые применения функционально-аналитических методов в математической теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. АЕТореф.дис.на соиск.учен.степ, д-ра физ.-мат.наук, М., ИФЗ АН СССР, 1972, 78 с.

52. Страхов В.Н. О методе подбора при решении обратных задач гравиметрии и магнитометрии. ДАН УССР, сер.Б, 1975, № II,с.991-996.

53. СтрахоЕ В.Н. О применении теории регуляризации при решении линейных некорректных задач магнито- и гравиметрии. В кн. Геофизические исследования на Украине. Киев, "Техника", 1971, с.144-151.

54. СтрахоЕ В.Н. О решении линейных некорректных задач е гильбертовом пространстве. Дифференц.уравнения, 1970, т.16, № 8, с.1490-1495.

55. Страхов В.Н. Теория приближенного решения линейных некорректных задач б гильбертовом пространстве и её использование в разведочной геофизике. ч.1. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1969, № 8, с.30-53.

56. Страхов В.Н. Теория приближенного решения линейных некорректных задач в гильбертоЕом пространстве и её использование в разведочной геофизике. ч.2. Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли, 1969, 9, с.64-96.

57. СтрахоЕ В.Н., Лапина Гл.И. Монтажный метод решения обратной задачи гравиметрии. ДАН СССР, 1976, т.227, }£2, с.344-347.

58. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. ДАН СССР, 1943, т.39, Jffi, с.195-198.

59. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.-М., "Наука", 1974, 224 с.

60. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма I рода. Журн. бычисл. математики и мат. физики, 1964, т.4, $ 3, с.564-571.

61. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О применении метода регуляризации в задачах геофизической интерпретации. Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли, 1975, № I, с.38^8.

62. Тяпкин К.Ф. О методологических проблемах геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. Геоф. сб., "НаукоЕа Думка", № 61, 1974.

63. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -iVi., Физматгиз, I960.

64. Цирульский А.В. К вопросу об единственности решения обратной задачи теории потенциала. Тр. йн-та геофизики Урал.фил.

65. АН СССР, 1962, вып.2, с.329-331.

66. Цирульский А.В. О единственности решения обратной задачи теории потенциала. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1969, № 6, с.60-65.

67. Цирульский А.В., Аронов В.И. О редукции потенциальных геофизических полей на внешнюю полость. Изб. АН СССР. Сер. Физика Земли, 1971, №7, с.94-101.

68. Чёрний А.В. О численном решении систем линейных уравнений с плохо обусловленными матрицами, возникающих из практических задач интерпретации гравитационных и магнитных аномалий.

69. В кн.: Приложение некоторых методов математики к интерпретации геофизических данных. Новосибирск, "Наука", 1967, с.114-132.

70. ШенгелаяГ.Ш. Строение земной коры в западной части бассейна р.Куры. Изд-ео "Мецниереба", Тбилиси, 1968.

71. Шенгелая Г.Ш. Таблицы для вычисления гравитационного эффекта трехмерной модели земной коры. Тбилиси, 1971.

72. Grant F. S. ,Elsaharty A.F. Bouguar Gravity Corrections Usinga Variable Density. Geophysics,vol. XXVII, No 5» 1962. „о (русский перевод в Информационном сообщении ОНТЙ ВИЭМСгсерия:

73. Региональная, разведочная и промысловая геофизика, вып. №4112> 1964, стр. 24).

74. Hales A. L. ,I»apwood Е. R. , Dziewonski A.M. Paramet^ization of a Spherically Symmetrical Earth Model with Special "References to the Upper Mantle. Phys. Earth. Planet. Inter.,vol 9, No 1, 1974.

75. Hammer S. Investigation of the Vertical Gradients of Gravity. Trans. Amer. Geophys. April, 1938.

76. Hughes P. The Anal it ic Basic of Gravity Interpretation. Geophys. ,vol VII, 1942.

77. Nettleton I».L. Determination of Density for the Reduction of Gravimeter Observations. Geophysics, v. 4, pp. 176-183.

78. Pick M. Gravity Potential of the Normal Body in the Outher and Inner Space. Studia Geophys. et. Geod. 22, 1978.

79. Pirson S.I. Quantity Interpretation of Gravity Meters Surveys. The Oil Weekly, vol. 117.»19^5.

80. Taiwani M. , Worsel I. ,Landesman M. Rapid Gravity Computation for Two-dismensional Bodies with Application to the Medocino Iubmarine Fracture Zone. Journ. of Geophys. Res., 64, No I, 1959.

81. Taiwani M. ,Ewing M. Rapid Computation Gravitational Attraction of Three-dimensional Bodies of Arbitrary Shape. Geophysics, 25, No 2, I960.

82. Thissen St. Vertical Gradient of Gravity. Geophysics., vol23. No 2, 1958.

83. Vyskocil V. The Gravitation of Effect of a Iwodimensional Body for a Chanyc in Density with Depth. Studia Geophysica et Geod.,Rocnin, 2, NOSAV, 1958.

84. Vyskocil V. On Aiswertung der Lewerestorungan bei Dichtean-derungen Mit der Liefe Geofizikai Kozlemenger. not 10, No I-4-, 1962.