Численное решение задач неосесимметричного упругопластического деформирования тел вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГБ ОА

- О ОКТ

российская академия наук

институт проблем механики

На правах рукописи

шнейдерман давид наумович

численное решение задач неосесимметричного упругош1астического деформирования тел вращения

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена в Институте проблем механики РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Кукуджанов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Г.И.Пшеничнов доктор физико-математических наук Г.Н.Чернышев

Ведущая организация: Московский государственный

на заседании специализированного совета Д 002.87.01 ИПМ РАН по адресу: П7526 Москва, пр-т Вернадского 101, ИПМ, ауд.235

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ РАН

университет им. МБЛомоносова

Защита состоится

<2? О^^Ъ^ /Л У?-

Автореферат разослан

7"

Ученый секретарь

специализированного

совета

-з-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Исследование не осе симметричного упругопластичоского деформирования тел вращения представляет значительный интерес в целом ряде практических задач. Здесь можно упомянуть задачи расчета ракетного сопла, теплозащитных экранов космических кораблей, строительных конструкций. Прй определении остаточных напряжений у поверхности тела методом проделывания цилиндрического отверстия или кольцевой проточки возникает вспомогательная задача определения перемещений полупространства от действия неосесимметричной нагрузки, приложенной к боковой поверхности отверстия или проточки.

Задачи неосесимметричного деформирования тел вращения возникают и в Фундаментальных областях механики деформируемого твердого тела. К ним можно отнести задачу деформирования упругопластического тела с эллипсоидальной или цилиндрической полостью, решение которой необходимо для построения модели упругопластического тела с микродефектами.

Аналитические решения указанных задач получены в основном лишь для осесимметричной нагрузки, действующей на упругое изотропное тело элементарной формы. Поэтому на практике можно полагаться лишь на эксперимент или численный расчет.

Известен эффективный метод решения задач неосесимметричного деформирования упругого изотропного тела вращения. Он состоит в разложении искомых перемещений в ряд Фурье по углу, откладываемому в окружном направлении. В результате исходная трехмерная задача сводится к ряду несвязанных двумерных задач, неизвестными в которых являются коэффициенты разложения перемещений. Поэтому актуальным является создание численных методов решения таких задач для анизотропных и упругопластических тел, которые бы так же, как в изотропном случав, использовали ортогональность системы

тригонометрических Функций.

Целью работы является разработка алгоритмов численного решения задач неосесимметричного упругопластического деформирования тел вращения из анизотропного материала, которые используют осесимметричность геометрии тела и которые можно применять для тел, занимающих как ограниченную, так и неограниченную область. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать алгоритм численного решения задач неосесимметричного деформирования упругих анизотропных тел вращения;

2. Разработать алгоритм численного решения задач неосесимметричного деформирования упругопластических тел вращения;

3. Распространить алгоритмы на тела вращения, занимающие неограниченную область;

4. Исследовать вопросы сходимости численных решений к точным;

5. Применить разработанные алгоритмы для решения задач, возникающих при определении остаточных напряжений в телах методом отверстий.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработан алгоритм и создан пакет программ численного решения задач неосесимметричного деформирования упругих анизотропных тел вращения;

2. Разработан алгоритм и создан пакет программ численного решения задач неосесимметричного деформирования упругопластических тел вращения;

3. Создан программный интерфейс с эффективными прямыми методами решения систем линейных алгебраических уравнений;

4. Доказана сходимость численного решения задачи неосесимметричного деформирования упругих анизотропных тел вращения к точному решению;

5. Впервыэ решены разнообразные задачи, возникающие при определении остаточных напряжений в телах методом отверстия и проточки.

Практическое значение- Создана методика определения остаточных напряжений в анизотропных телах методом отверстий. Проведена оценка необходимости учета конусности дна отверстия при определении остаточных напряжений. Проведена оценка влияния пластических деформаций, возникающих при проделывании отверстия, на точность определения остаточных напряжений. Даны рекомендации, повышающие точность методики. Кроме того, созданные пакеты программ могут применяться и для решения широкого круга других задач деформирования тел вращения.

Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается корректностью математических постановок задач, соответствием расчетных данных экспериментальным, а также данным численных расчетов других авторов.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Алгоритм численного решения задач неосесимметричного деформирования упругих анизотропных тел вращения;

2. Алгоритм численного решения задач неосесимметричного деформирования упругопластических тел вращения;

3. Доказательство сходимости к точному решению численного решения задачи неосесимметричного деформирования упругих анизотропных тел вращения ;

4. Результаты численного решения следующих задач, возникающих при определении остаточных напряжений в телах методом отверстия и проточки:

- о деформировании упругого изотропного полупространства с цилиндрическим отверстием, имеющим коническое основание;

- о деформировании упругого изотропного полупространства с кольцевой проточкой;

- о деформировании упругого ортотропного полупространства с цилиндрическим отверстием;

о деформировании упругопластического изотропного полупространства с цилиндрическим отверстием;

о деформировании упругопластического изотропного полупространства с кольцевой проточкой.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и получили положительную оценку

- на XI Всесоюзной конференции "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности". Волгоград, 9-13 октября 1989 г.

- на конференции "Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела". Тверь, 2-4 сентября 1992 г.

- на семинаре Института проблем механики Российской академии наук по динамике сплошной среды под руководством профессоров С.С.Григоряна, Н.ВЗволинского и В-Н.Кукуджанова.

- на семинаре кафедры механики композитов Московского государственного университета им. М.ЕЛомоносова под руководством проф. Б.Е.Победри.

- на семинаре Вычислительного центра Российской академии наук по вычислительным методам в механике деформируемого твердого тела под руководством проф. Г.И.Пшеничнова.

Публикации. Результаты исследований отражены в публикациях £1-45.

Структура и объем работы. Диссертация . состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из наименований, включает рисунков. Общий объем диссертации страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ввэдбнии дан обзор работ в соответствии с тематикой рассматриваемых в диссертации вопросов и показана актуальность темы исследования. Отмечена цель работы и дано ее краткое содержание.

В первой главе, состоящей из* пяти параграфов, рассматривается задача упругого деформирования однородного анизотропного тела вращения, которая решается трехмерными конечными элементами.

В §1 в цилиндрической системе координат >~,p,z записываются система уравнений, граничные условия, условия периодичности, на оси вращения и на бесконечности для неограниченного тела. Для ортотропного тела, одна из главных осей анизотропии которого совпадает с осью г, исходная задача распадается на четыре задачи для четверти тела, вырезаемой двумя плоскостями упругой симметрии, проходящими через ось z. Этим задачам соответствуют условия симметрии и антисимметрии заданных перемещений и нагрузок относительно указанных плоскостей.

Связь между напряжениями и деформациями для анизотропного тела имеет вид

с- - D £ (I)

где СТ " Со ,о ,о ,Т ,Т ,Т 1 , £Т - [с ,£ ,У ,*■ ,Г ], " г *> г' т-р гг' 'pz ' г р' г" гр гг рг '

в - матрица упругих постоянных порядка 6 на 6.

Для матрицы о получается следующее выражение:

4

D - Do + J 0>ct cos ip + sin ip> (2)

{-1

где ®0, oct, i>et, <t-i^,3,4> - постоянные матрицы.

В §2 описывается генерация сетки конечных элементов и

аппроксимаиия в них перемещений. В меридианальном сечении тела генерируется сетка линейных четырехугольных элементов. Область определения угла р разбивается на равные части и в качестве трехмерных конечных элементов принимаются области, образованные вращением плоских элементов вокруг оси г между двумя соседними меридианальными плоскостями.

Если обозначить вектор перемещения точек тела через <1 - 1и,и,и>зт, где и, и, ш - составляющие вектора соответственно по р, г, то перемещения в конечном элементе аппроксимируются в виде:

4 г

dmII"iFJdiJ (3)

где

- перемещение узла объемного элемента, полученного из

узла г плоского элемента при <р - pJ (в объемном элементе - р ~ ^ '•

- Функции Формы плоского элемента;

- локальные координаты плоского элемента, -1 £ г,г? < 1; г^ср! - линейные полиномы Лагранжа.

В §3 для неограниченных областей описывается генерация сетки бесконечных элементов и аппроксимация в них перемещений. Внешняя неограниченная часть меридианального сечения разбивается на плоские бесконечные элементы, которые образованы стороной смежного конечного элемента и двумя лучами, исходящими из концов этой стороны и проходящими через начало координат. Полученная область отображается на единичный квадрат в плоскости Кл-

2 2

г- - 2 2 (1-С)г4 , 2 - 2 2 (1-С)^ (4) •

где

- координаты узлов бесконечного элемента, совпадающие с узлами смежного конечного элемента;

i-i<r>) - линейные полиномы Лагранжа; -i < < 1.

Трехмерные бесконечные элементы образуются из плоских элементов так же, как трехмерные конечные элементы.

Перемещения в бесконечном элементе .аппроксимируются в

виде:

2 2

d - И2"1 (l-f)l Li fjV (5)

где

d{J, Fj - те же, что в (3) ;

i - показатель асимптотики перемещений на бесконечности. Т.е. 1<М - О(R~l), R - <r2+üV2.

Показывается, что матрица жесткости бесконечного элемента ограничена при i > i/2.

В §4 рассматривается вопрос вычисления матрицы и правой части системы линейных алгебраических уравнений для применяемого метода конечных элементов. Учитывая (2), интеграл в выражении для матрицы жесткости вычисляется по *> аналитически. Интегрирование по г и 2 предлагается проводить с помощью квадратурной Формулы Гаусса, переходя к переменным ?, п. То же самое справедливо и для вычисления интегралов в правой части системы, если компоненты объемной и поверхностной сил являются элементарными функциями *>.

В §5 на классе рассматриваемых в диссертации задач проводится сравнение различных методов решения систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами, основанных на методе разложения Холецкого. Методы сравниваются по времени счета и требуемому объему памяти компьютера.

Во второй главе, состоящей из трех параграфов, задача упругого деформирования однородного анизотропного тела вращения решается методом Ритца. в котором по углу *> перемещения раскладываются по системе тригонометрических Функций, а по координатам >~, ® используется конечноэлементная

аппроксимация. Вектор-Функция перемещений ищется в виде:

п Л« о

(6)

т т

к V „ Л .Л V „ Л

■ ь - 2 °< ь<

где <з<(г,г) - функция формы узла i меридианального сечения, отличная от нуля в конечных и бесконечных элементах, содержащих этот узел;

а<' " значения коэффициентов разложения при *~ой гармонике в *-ом узле; т - число узлов в мвридианалъном сечении; п+1 - число гармоник.

Показывается, что если разбить матрицу жесткости к получающейся системы уравнений на блоки i,J~oл,..л,.

соответствующие каждой паре гармоник, то матрица отлична от нуля только при Ч-Л ^ 4, т.е. матрица к де вятиблочнодиагона льная.

Для ортотропного тела, одна из главных осей анизотропии которого совпадает с осью г, исходная задача распадается на четыре задачи, соответствующие условиям симметрии и антисимметрии заданных перемещений и нагрузок относительно двух плоскостей упругой симметрии, проходящих через ось г. Показывается, что матрицы жесткости для всех четырех задач будут пятиблочнодиагональными.

В §3 второй главы исследуется вопрос сходимости решения Ритца <>г к точному решению Для этого, кроме числа гармоник п, вводятся параметры Д - диаметр двумерной области, дискретизируемой конечными элементами, и * - максимальный диаметр конечного элемента. Предполагается, что один раз непрерывно дифференцируемая Функция. Рассматриваются только такие конечноэлементные области, для которых выполняется

соотношение Rmir/A > л. где Rmin - минимальное расстояние от начала координат до границы конечноэлементной области, общей с границей бесконечной области, л - наперед заданное положительное число. Выдвигается требование кусочной гладкости границы конечноэлементной области. Вводятся ограничения на Форму конечных элементов, а именно: для любого элемента

h

- < В ; sin р. > С , г - 1,2,3,4 (7)

h 1 min

где и , и - максимальная и минимальная стороны элемента;

^ max min

ftt - один из четырех углов элемента;

в,с > о.

Показывается, что при таких условиях справедливо неравенство

||d -dr|| < ||d -dj . (8)

где И'И - энергетическая норма,

«Jt -некоторая Функция, удовлетворяющая неравенству

lim lim lim ||d -d || - О (9)

n-tco Д-*со h-»0 1

В третьей главе, состоящей из шести параграфов, рассматривается задача упругопластического не осе симметричного деформирования однородного анизотропного тела вращения. В §1 записывается система уравнений квазистатического деформирования тел, подчиняющихся модели теории течения, начальные и граничные условия. Определяющее уравнение теории течения обращается и принимает вид:

°ij " aíjm см

(10)

где л^ зависит от о^, с^ и предела текучести о-у.

В §2 описывается шаговый метод решения системы уравнений. Процесс нагружения разбивается на ряд шагов по параметру нагрузке кия. На каждом шаге определяющее уравнение записывается в виде:

^м <П>

где AíJk^ представляет собой матрицу л г вычисленную в

начале шага без учета ее зависимости от с т.е. без учета возможной разгрузки.

К (П) добавляются уравнения равновесия, Коши и граничные условия, причем уравнения равновесия и статические граничные условия записываются с учетом невязки, оставшейся после предыдущего шага по нагрузке. В результате на каждом шаге по нагрузке требуется решить систему уравнений теории упругости в приращениях для некоторого фиктивного неоднородного анизотропного тела..

После решения системы перемещение представляется в виде:

< - <г~1

"< " "Г1 + _ Ч «2)

где

- номер шага по нагрузке;

Г"—1 Г4

* > * - значения параметра нагружения * в начале и конце шага

. г

- полученное в результате решения системы приращение перемещений на шаге г.

Выражение (12) подставляется в определяющее уравнение (10) и условие упрочнения, откуда получаются - и

■ при выполнении начальных условий - о^"1

и - «г-».

В §3 описывается итерационный метод решения системы уравнений на каждом шаге нагрузки. Метод аналогичен методу дополнительных напряжений для деформационной теории пластичности и применяется после выделения в правой части (II) упругого и пластического слагаемых. На каждой итерации получается система уравнений и граничные условия для упругого тела с теми же упругими постоянными, что и у исходного тела, но с измененными объемными и поверхностными, силами.

В §4 доказывается сходимость итерационного метода для изотропного упрочняющегося тела, подчиняющегося условию текучести Мизеса.

В §5 описывается применение метода Ритца для решения на каждой итерации задачи неосесимметричного упругопластического деформирования тела вращения. Метод аналогичен методу Ритца для решения задач неосесимметричного деформирования упругих тел вращения. Изложенный подход приводит на каждой итерации к решению системы линейных алгебраических уравнений с блочноленточной матрицей, как это было в главе 2. Если тело изотропно, то система распадается на системы уравнений отдельно для каждой гармоники. Однако, в отличие от анизотропного упругого тела в правой части системы уравнений для упругопластического тела ненулевыми будут не только коэффициенты, соответствующие разложению нагрузки по системе тригонометрических Функций, но и коэффициенты, соответствующие разложению напряжений. Таким образом, даже если нагрузка имеет конечное число гармоник, правая часть будет полностью заполненной.

Дополнительные преимущества при решении задачи возникают, когда на каждой итерации оказывается возможным использовать одну и ту же систему Функций метода Ритца. Постоянство на каждой итерации матрицы жесткости системы уравнений дает возможность до итерационного процесса произвести упорядочение и разложение матрицы, а на каждой итерации осуществлять лишь решение треугольных систем.

В §6 рассматриваются некоторые особенности вычисления интегралов для получения матрицы и правой части системы уравнений метода Ритца. Для вычисления интегралов в правой части системы уравнений дополнительно вводятся узлы интегрирования по углу р. расположенные на окружностях, проходящих через гауссовы узлы в меридианальном сечении. В .этих пространственных узлах после каждой итерации вычисляются напряжения, пластические деформации и предел текучести.

В §6 также предлагается метод повышения точности численного интегрирования по объему тела.

В четвертой главе приводятся решения задач о деформировании полупространства с цилиндрическим отверстием или кольцевой проточкой. Такие задачи возникают при определении остаточных напряжений в точке на поверхности тела методом отверстия. Идея метода заключается в проделывании в исследуемой точке отверстия, что приводит к снятию напряжений и вызывает деформацию в окрестности отверстия. Метод голограФической интерферометрии позволяет измерять перемещения возмущенной поверхности тела, и по ним определяются напряжения, которые существовали в теле на месте отверстия.

Приводятся условия, при которых исследуемое тело можно заменить полупространством. Методика определения остаточных напряжений в анизотропном теле основана на следующих соображениях.

Если построить декартову систему координат с началом в заданной точке и осями лежащими в граничной

плоскости полупространства, то поле перемещений, возникших от высверливания отверстия. можно представить в виде (предполагается, что тело при проделывании отверстия деформируется упруго):

и - с й + с й + т й (13)

х1 у а ху 12

где

£,х'°,у'тку " компоненты напряжений, существовавших в

исслэдуемой точке до проделывания отверстия

(т -т -о -0) ;

xi у* x *

й2, й12 - векторы перемещений от поверхностных сил, приложенных к боковой поверхности отверстия и имеющих в цилиндрической системе координат соответственно компоненты:

<7Г" соз:2р ; -з1пр с.а&р ; О (14а)

Яг~ я1п2р ; я^ш созр ; О (146)

о - з!п2р ; а ш соз2р ; а ■ О (14В)

г ^ г

Если в результате измерения перемещений возмущенной поверхности тела известны какие-либо три значения компонент перемещений, то' из (13) получим систему трех уравнений, из которой можно определить компоненты остаточных напряжений сх, » , тху. Таким образом, задача определения остаточных напряжений сводится к задаче определения полей перемещений й1, й1г. в случае кольцевой проточки перемещения й2, й12 вызываются поверхностными силами, имеющими компоненты (14) на внешней части боковой поверхности проточки и компоненты, противоположные (14), на ее внутренней части.

В §1 главы 4 приводятся решения задач о деформировании изотропного упругого полупространства с отверстием и проточкой. В этом случав для определения главных компонент остаточных напряжений достаточно определить перемещение от поверхностных сил (14а). Главные оси напряжений известны заранее - они являются осями симметрии поля перемещений, возникшего после проделывания отверстия, и определяются по интерФерограмме.

Для аппроксимации решения в бесконечных элементах оценивается асимптотика перемещения на бесконечности для

полупространства с отверстием. Она оказывается равной к"2, где к - сг2+22>*'/2. Та же асимптотика используется для полупространства с проточкой, анизотропных и упругопластических задач.

Для различных глубин отверстия и проточки приводятся графики зависимости от г составляющих перемещения й по г и г на границе полупространства при р - о и р - п/2. Так как на практике отверстие имеет не плоское, а коническое дно. приводятся также результаты решения задач о деформировании полупространства с таким отверстием. Для оценки влияния конусности дна отверстия эти результаты сравниваются с результатами, полученными для отверстия с плоским дном.

В §2 решаются задачи о деформировании упругого ортотропного полупространства с цилиндрическим отверстием поверхностными силами (14а,б,в). Приводятся графики зависимости от г составляющих перемещений й2 по и в и составляющей перемещения "12 по р на границе полупространства при р - о и р - Для обоснования точности полученных решений для нагрузки (14а) приводятся результаты дополнительных расчетов, включающих большие размеры зоны, дискретизируемой конечными элементами, более густую сетку конечных элементов, и большее число гармоник. Результаты дополнительных расчетов отличаются от решения на основной сетке на несколько процентов.

Остаточные напряжения ож. определяются по замерам каких-либо двух перемещений по или г на осях р - о и р - пуг и соответствующим значениям перемещений Напряжение

определяется по замеру составляющей по г> перемещения какой-либо точки на осях р - о или р - п/2 и соответствущему значению перемещения й41. Для рассматриваемого в расчетах материала даются рекомендации по выбору точек, в которых надо измерять перемещения, и их составляющих, приводящие к повышению точности определения остаточных напряжений.

В §3 решаются задачи о деформировании упругопластического

изотропного полупространства с цилиндрическим отверстием и кольцевой проточкой. Если построить декартову систему координат с началом в исследуемой точке и осями *,у, направленными по главным осям остаточных напряжений °t, то поверхностные силы, с которыми удаленный материал действовал на оставшуюся часть, приложены к боковой поверхности отверстия и имеют следующие компоненты в цилиндрической системе координат:

* i 2 о ш -о eos <р - a sin t>

Г 12

ЧрЯ cr^slnp cosp — er^slnp casp (15)

"х- 0

В случае кольцевой проточки нагрузка (15) приложена к внешней части боковой поверхности проточки, а к ее внутренней части приложена нагрузка, противоположная (15).

Процесс проделывания отверстия или проточки моделируется постепенным - от граничной плоскости полупространства до дна отверстия или проточки - снятием указанных поверхностных сил.

Представлены результаты решения задач о деформировании полупространства с отверстием или проточкой для осе симметричного (^ - °"2) и одноосного (°г - о) начальных напряженных состояний. Рассматривается материал с модулем упругости е-7«ю* Щ1а, пределом текучести o-y-280 мПа, коэффициентом упрочнения *-7о МПа и коэффициентом Пуассона Начальные напряжения в осесимметричном и одноосном случаях равны 240 МПа. Глубина отверстия принимается равной его радиусу, глубина и ширина проточки составляют соответственно четверть и одну восьмую ее внутреннего радиуса.

Для осесимметричной задачи приведены графики зависимости от г- перемещений "г и "2 на границе полупространства. Интересен тот Факт, что упругопластическое перемещение на

кромке отверстия существенно меньше (на 26%) соответствующего упругого перемещения. Это значит, что определение остаточных напряжений по на кромке отверстия без учета пластичности существенно занижает значение напряжений. Определение остаточных напряжений по на кромке отверстия без учета пластичности завышает (что менее опасно) значение напряжений на 9%.

Для осесимметричной задачи приведены также графики зависимости от г- перемещений "г и «г на границе полупространства внутри и вне кольцевой проточки. Из этих зависимостей видно, что различие между упругими и упругопластическими перемещениями для проточки значительно меньше, чем для отверстия, в то время как абсолютные значения перемещений не уступают перемещениям для отверстия. Так, для перемещения на внешней кромке это различие составляет 6%, а на внутренней кромке - доли процента.

Для одноосного начального напряженного состояния приводятся графики зависимости от >~ перемещений иг и "2 на границе полупространства при р - о и р - "^2. Для обоснования точности полученных решений приводятся результаты дополнительных расчетов, включающих большее число разбиений поверхностной нагрузки, большее число гармоник, большие размеры зоны, дискретизируемой конечными элементами и более густую сетку конечных элементов. Результаты дополнительных расчетов отличаются от основного решения на несколько процентов.

На рис.1 представлены графики зависимости от г перемещений на границе полупространства с отверстием. Цифрами I, 2 обозначены упругое и упругопластическое решения при р - о, цифрами 3, 4 - та же решения при р - п/2. Характерной чертой упругопластического решения является то, что перемещение на кромке отверстия при р - п/2 сравнимо с перемещением при р - о.

На рис.2 представлены ' графики зависимости от г-

Z-DIS *10-3

Z-D1S «Ю-2

перемещений на границе полупространства внутри и вне кольцевой проточки. Обозначения те же, что на рис.1. На графиках видна значительно большая близость упругого и упругодластического решений, чем в случае отверстия.

Приведенные в диссертации результаты показывают, что в методе отверстий определение остаточных напряжений по перемещениям ир дает меньшую погрешность от пластических деформаций, чем определение по перемещениям иг. Использование кольцевой проточки приводит к еще меньшим погрешностям. Особенно точные результаты получаются при использовании перемещений на поверхности цилиндра внутри проточки.

В заключении сформулированы основные научные результаты и выводы работы, которые сводятся к следующему:

1. Разработан алгоритм и создан пакет программ решения задач неосесимметричного деформирования упругих анизотропных тел вращения;

2. Разработан алгоритм и создан пакет программ решения задач неосесимметричного деформирования упругопластических тел вращения;

3. Разработанные алгоритмы и программы распространены на тела вращения, занимающие неограниченную область;

4. Доказана сходимость численного решения задачи неосесимметричного деформирования упругих анизотропных тел вращения к точному решению;

5. Доказана сходимость итераций к решению задачи на шаге по нагрузке для упрочняющихся упругопластических тел, подчиняющихся теории течения.

6. Разработанные алгоритмы применены для решения задач, возникающих при определении остаточных напряжений в телах методом отверстия или проточки.

7. Предложена методика определения остаточных напряжений в анизотропных телах методом отверстия или проточки.

8. Проведена оценка влияния конусности дна отверстия на точность определения остаточных напряжений методом отверстия.

В частности показано, что при глубине цилиндрической части отверстия, большей его радиуса, и угле раствора конуса, большем 120*, результаты для отверстий с плоским и коническим дном мало отличаются друг от друга.

9. Проведена оценка влияния пластических деформаций, возникающих при проделывании отверстия или проточки, на точность определения остаточных напряжений методом отверстия или проточки. Показано, что в методе отверстий определение остаточных напряжений по перемещениям "дает меньшую погрешность от пластических деформаций, чем определение напряжений по перемещениям Использование кольцевой

проточки приводит к еще меньшим погрешностям. Наиболее точные результаты получаются при использовании перемещений на поверхности цилиндра внутри проточки.

Основные результаты диссертации изложены в работах:

I. Шнейдерман Д.Н. Численные методы решения пространственных квазистатических" задач в теории упругости и пластичности. Препринт N 500. М.: Ин-т проблем механики РАН- 1991. 30с. 2- Кукуджанов В.Н., Шнейдерман Д.Н- Численное моделирование внешних упруго-пластических задач методом конечных элементов//' Сб. тр. Ин-та фмэ.-тех. проблем РАН. 1992. с.7-16.

3. Кукуджанов В.Н., Шнейдерман Д.Н. Решение пространственных упругих задач при определении остаточных напряжений в анизотропных материалах// Изв. РАН- МТТ. 1995. В печати.

4. Кукуджанов ЕН., Шнейдерман Д.Н. Решение упругопластических задач при не осе симметричном деформировании тел вращения// ПММ. Сдана в. печать.

Подписано к печати 13.09.94 г. Заказ 25-94* Тира* 55 экз.

Отпечатано на ротапринте Института проблем механики РАН П7526, Москва, ир-т Вернадского 101.