Численное решение задачи Коши с алгебраической связью на фазовые переменные (с приложениями в медицинской кибернетике) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ
Куликов, Геннадий Юрьевич
АВТОР
|
||||
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
1994
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.09
КОД ВАК РФ
|
||
|
Р Г 8 ОД РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
3
ВычислнтельниЛ центр'
На правах рукопнгл
Куликов Геннадий Юрьееич
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ С АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ' СВЯЗЬЮ НА ФАЗОВЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
¡с приложениями в медицинской кибернетике)
01.01.09 - математическая кибернетика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук
Москал
1994
Работа выполнена в Вычислительном центре РАН, г. Москва
Научный руководитель: кандидат фазшсо-матвматичзсюа нар , В.В. Шанин.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор • Л*. Д. Мешалкин, . кандидат фш1ш>-м8тематически1 наук И.Я. Иарьгалкин.
Ведущая организация: Институт вычислительной математики, г. Москва
»
Защита состоится - 1994 года в
часов на заседании специализированного совета К002.32.01 при Вычислительном центре РАН по адресу: 117967, Москва, ул. Вавилова, 40.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института юл. В.А. Стеклова. ■
Автореферат разослан " < " • • • 1994 года.
Ученый секретарь
специализированного совета К002.32.01
доктор' физ.-матем. наук К.В.Рудаков
ОбЩАЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РАбОТЙ Актуальность тот. Многие математические модели в биологии,-едицино,' механике, электротехнике и химической кинетике шсываются системами дифференциально-алгебраических уравнений вда
X' а)=8(х(г).у(1).аа)), (1)
Х(0)*зР,
У(0)=у°,
да ГеГ 'y(t)f.$n, а(г)№г отображение
причем у°*>;(2° ,у° ,а(0) ). Такие задачи возникают при моделировании явлений, одеркащих процессы с существен), л различными характершши ременами, т.е. быстрые и медленные процессы. Соответствующие атемзтические модели объединяют быстрые и медленные переменные, то приводит к аесткой системе уравнений. В практическом оделировании обычно делается упрощающее предположение, что истрые переменные изменяются мгновенно. Например, для задач с алым параметром е такое предположение превращается в условие "О. 'Таким образом, исследование многик реальных объектов редполагает решение соотвоствувдей системы дифЕвревдизльно-ягебраических уравнений.
В настоящее время известно значительное число работ, эсвященных исследованию дифференциально-алгебраических систем равнений. Для примера достаточно назвать монографии (Бояринцев
D.E. и др., 19891; Hairer Е., Wanner G., 19912), отражавдиа достижения советских и зарубежных авторов в этой области.
Задачи, рассматриваемые в этих работах, в основной концентрируются на следующих двух управлениях:
- исследование свойств дифференциально-алгебраических уравнешй и их рошевий;
* '
- построение дискретных вналогов систем дифференциально-алгебраических уравнений на основе конечно-разностных методо! решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Однако, несмотря на несомненные достижения в области chctöj диффэретщ&льно-аягебранч&сгаа уравнений', полученных пою результатов недостаточно, чтобы корректно исследовать систем уравнений, возникащио при моделировании тех или иных реальны: объек'лэв. Заменяя непрерывную задачу дискретной, построенной hi основе кекого-либо конечно-разностного метода решена обыкновенных дифференциальных уравнений, получаем систем; алгебраических уравнений, точное реаение которой, за исключение! линейного случая, . не мснет быть найдено. Следовательно приходится применять итерационные методы, которые внося,
1 Боярицев D.M., Данилов В.А., Логинов A.A., Чистяков В.Ф Численные методы решония сингулярных систем. Новосибирск: Наука 1989. .
2 Hairer Е., Wanner G. Solving ordinary differentia equations II. Stlif and differentlal-algebraic problems. Berlin Springer, 1Э91.
оиолштельиуя скшбку I 'гак кок в рзальйоЯ сятуашз ш кшуздеш грапичиться конечным -шелом итораипа. Учтивая к тому к>э, что 83ЛИЧ1Ш0 ИТОрзинОКНУв МО ТОЛЫ р5ш5ю1.Ч алгебраических скотом равнений весьма ■ сутаственно отличаются как условиями и короегью сходимости, так и слохкостьв реализаций на ЭВМ, раходом к необходимости исследовать различные комбюшровашше зтодн реиопкя•систем дифференциально-алгебраических уравнений с зльа построения наиболее элективных методов.
Цоль работа Цэльв работы является разработка численных этодоз решения задачи (1), выяснение условий сходимости этих 5Т0Д0В, применение полученных результатов для -исследования ¡¡тематических моделей м9дкко--биологхгчоских процессов, изучаемых моднцшюко'Л кибернетике.
Пахот нсслодовашм. В рзботе используется метода юоматкческой 'кибернетики, вычислительной математики, ¡тематического анализа, лжейной алгебры, программирования, ¡тематического моделирования и медицинской кибернетики.
Научная новизна. В диссертационной работа предложена даа >мбивированных метода решения задачи (!):--неяв1Шй метод Эйлера в сочетании с методом простых итераций; неявней метод Адамса второго порядка в сочетании с методом втока. Для этих. методов доказаны те сроки о сходимости иближеиного решения к точному, получены оценки точности ибликенкого решения а_ зависимости от шага -сетки и числа ераций. Исследована эффективность различных реализаций метода емса-Ньютона.
Практическая ценность. Диссертация имеет как теоретическую,
так н практическую ценность. Получсшшо б ней теоретически результаты прэдсташшят семостоятелыша интерес для решени задач математической кибернетики ее ЭВМ. Кроме того првдложеншэ 'чмслвиаав метода позволяют исследовать многи медико-биологические к механическио модели. Реализованные диссертации. модели приматом для решения некоторых вояросо медицинской кибернетики, клинической медицины и для планировани ф»гаиологичзскйх зксиэрименташшх исследований.
Тема диссертации связана с плановой научно исследовательской работой ВЦ АН СССР /Матэматическо моделирование экологических м физиологических процессов' систем", номер государственной регистрации 01. 86. 0130459 (199 г.), с ИКР "Исследование медико-биологических последствий возможностей выживания человека" (подтема "Пациент" тем "Иоследствил-г*) по заданию АН СССР (1990 г.).
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались обсуждались на Всесоюзном семинаре "Моделирование и оценк резервных возмокностей развивающихся систем" (п.г.т. Слзвское Львовская обл., 1991), на Всесоюзной ютфэранции "Новые подход к решению дифференциальных уравнений" (Дрсгобич, 1991), н специальных семинарах ВЦ РАЛ, факультета вычислительно математики и кибернетик*;, мехзшко-матеыатического факультет МГУ:
Пубяжкащи. Основные, результаты диссертации опубликованы работах [1-63.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения четках глаз, . заключения и трех приложений. В работ
181 (страницы основного текста, 13 рисунков я 60 таблиц.
СОДИР1Д1Е1Е РА60ТЫ
Во введении дана общая характеристика диссертации и кратко изложено ее содержание.
В пзрвой глава рассматриваются модели биологических и тохничесгах систем, описываемые системами дафЗоронциальнс-аягебраических уравнений (СДАУ) типа (1). Исследуется корректность описания таких моделей системе;®: (1>. Приводится об.зор литературы, посвященной система.'.! ДАУ. .
Во второй глава строятся численные 'метода рэшокия задачи {1), исследуется сходимость и точность этих мотсдов.
Прк построении вычислительных алгоритмов для иру.близсбнпого решения задачи (1), мозга ограничиться рассмотрением автономного случая, т.е. задачами вида
■X' (г)=5(хП),у(Х)), (2)
у(гм(х(х ),у(г)),
х(0)=х°,
у(0)*у°,
где Èà 0,?], отобранэниэ
причем у°=?(з?,у°). Это следует из того, что вводя новую независимую переменную з и добавляя уравнение V =1, задачу (1) мошо привести к форме (2 .1.
В §1 исследуется корректность задачи (2). Системы (1), (2) нияэ будем называть задачами Ксши с алгебраической связью на фазовые переменные, ВзедЭм обозначения у/, и
дадим несколько определений.
Определение 2.1. Задача (2) поапавлвна корректно', вела суп0ст6уе^ единственное решение . этой, . saöavu, непрерывно еайисжсе -от входных данных.
Определенно 2.2. Задача.(2) удовлетворяет условт гладкости, на jmoxQcm.be Dt, если амбрааение G^ig.f? F-дифференцируеяо на тожвсиве (дифференцируемо по Фреше) и производная удовлетворяет'условия Липшица, т.е.
t&G(z')-dG(z')№lz'-z'для любых z',z'zDr (3)
Определение 2.3. Задача (2) удовлетворяет условия ограниченности на лшхестве D}, если справедлива оцета
\öf(z)l^d<i, для лххЗсго . ' (4)
Для задзчи (2) будет справедлива следующая теорема о существовании и единственности решения.
Теореыа 2.1. Лусяь задала (2) удовлетворяет условиям гладкости и ограниченности ш янох&стве Df. Тогда для любой точки. где DQ- выпуклое ¿тожество, сymorrSyem
единственное рэкюнш систеш (2), определенное на некотором мужрвалг, содержащем точку 0, и ydoe.tem6opsm$3e начальным условиям z(0)^z°.
В 52 для приближенного решения задачи (2) предложен комбинированный метод Зйлере-простих итераций (ЭПЮ.
В качестве норма и расстояния в ¡Rm'M% возьмем
< "S'.si'fitr.
.Для приближенного решения задачи (2) введем на (О,?) равнокернув сотку
v^ft^-kt, ¿¡=-0,1,...,К, К1---Т).
Непрерывной задача (2) соответствует дискретная, получ-здаоя
ггомоцьп неявного метода Эйлере:
х^х (0) ~х г ,
Пусть
^0,1 Аналогично определяются $¿{2^
Обозначим через г(Ь^) значение точного решения' задачи (2)
(V
точке г , через значение точного решения задачи (5) в чке н через ~ значение приблмя:окпого рекенил
дачи (5) в точке 1 . ' -
Учитывая введенные обозначения, задачу (5) «окно записать в
де
и
«з-с-
(б)
качестве приближенного решения задачи (б) бербм />"-ую. итерацию тода простых итераций •
К.г^А:]'
„О '
.го=2(0)=2°, к=0,1,...,1-1,■ 1*1,2,...,N. -
Тем самым получен комбинированный метод, позволяющий ибликенно решать задачу (2).
Предположим, что задаче (2) удовлетворяет на множество В, ловиям гладкости (3) и'ограниченности (4).
Определение 2.4. Будем говорить, что задача (2) овлетворяеп условия вк.кнении на множестве , если существует
з-
бипуклоэ мнохесг.бо DQ такое, что
¿°eö0cDr (в)
В §2 Сюрмулируются и доказываются следующие утверждения корректности, сходимости и точности метода ЭПИ."
Ляина 2.3. Пусть задача (2) удовлетворяет условия бнлпчеь на лнсяосшЬе Df. Тогда для любого t«0 существует единствен! ¡яивние замочи (6), czoömeecsi к z(t). при i-*0, пргл спрс.в5длиЗо сцэкка
Леша 2.Д. Пусть задача (2) удовлетворяет услс&их бклтеь на .«нолеотбе Df. Тогда приближенное решгние задачи (t найденной с пояощыэ итерационного процесса (7), сходшся-почнслу ргжпхзо этой задачи при При элол суи&спвуап N' последовательность Cv,J, uaßucsaaue m х, такие, что для любе
6иПОЛНЯв!Р.СЛ
~ - лСТ »
!VV//;'%rfP ...... " (Ю}
где v^-t« (монотонно), р* и р{, i-0,1,..., определены бьаие.
Теорема 2.2. /Тустгъ заЗача (2) удов.сс-пвораэгп yexot вглгыечия яа янохест&е D . Тогда, существует такая функция N(i чйо при t-0 и приближенное реивниа k=0,
схоСшся к точному решению задачи (2). При зтол cnpaöeöui оцекна
- ♦ ^(ЩjJ&Lh * 0(хг). (11)
Условие ограниченности для задачи (2) мокко ослабит Рассмотрим вместо задачи (2) эквивалентную ей задачу
гдэ.ыхш.у (г))=уН)-?(х(г),у(г)), и к ¿о,
>1,2,..-.,71. ■ -
Прэдполохта, что 'задача (2) удовлетворяет условно )исгоашьного прэобладсэшл на ¿зюхэаябе £ , т.е.
.«♦«!> 2
(¡3)
5,...,п.
огда шяао подобрать такое X, чтобы душ задач:? (12) выполнялось словно ограиионности на множестве й?.
В §3 для рвзешш задача (2) предлагается кокСинировыгаыЗ этод Адамса-Нызтонп (АИ). От непрерывной задачи перейдем к некратной, полученной с помощью неявного .метода Адвмса второго орядка
хо=х(0)*х°.
т
\го=г(0)=--г°, ъ^О, /,...,Я-7.
(14)
[есь используются те же обозначения, что н для метода ЗПИ, за :ключением того, что }к (хк ^, ; )=хх+%/2 (§('), Ук))
Для приближенного решения задачи (14) используе итерационный процесс Ньютона. Эту задачу"мокио переформулироват в зидо
гдз
к т+п л
Итерации Ньютона для задачи (15) пшют вид
К,-*
«г i*
i.50----zrO>z°, к=0,1,...,К-1, <=?,2,...Д,
гдэ TSKKM образом получек еторой КОМбИШфОВаКЕ
метод для приближенного решения задачи (2).
Если задача (2) удовлетворяет условиях! гладкостз ограниченности и включения на множестве Z>(, то для метода . нетрудно доказать утверждения, аналогичные леммам 2.3, 2.4 теореме '¿.2.
Отметим, что для метода АН, как и для метода ЗПИ, мок вместо условия ограниченности использовать более слабое yes,св. диагонального преобладания. Причем в этом случае алгоритм (1 но изменится и не будог зависите от ?.. Из этого следует, ч условие диагонального -лресбладышя для метода Ш мокно так ослабить.
Опрэдвлеюге 2.6. 'Вудел гс8а&яъ, что ваОсча ( удобльтберявк ycuob'jao мбировдеююсш не лнояеакбс Ъг, ее лаприца. En~0f (z) нзвырождена дм любого z:D;.
В §3 формируются и доказываются следующие утверждения о корректности, сходимости и точности метода АН.
Лемма 2.9. Пусть задана. (2) удовлетворяет на янохеспвэ Э; услодшш гладносш, невырожденности и включения, пр-лкэя x(tjíC3^ Ту Тогда cyußca&y&n такое tQ>0, что дли лкбого к%0
существует единственное решение задачи (14), сходянресл k.z(í)
*
при 1-0. При эаод справедлива оценка
, й=о,?,...,я, (i7,i
где С,й йпЮ, 8Up](E-d/Jz))-1\m,, 3iipldfjz)l<&,.
Jlsuiía 2.10. Пусть задана (2) удовлетворяет на лчохесяве х>; условия» гладкости, невырожденности и"' Вклхыения, прччел x(t)>:С3[с Тогда для лхбого ч<'С0 приближеннее решение задачи (14), наеденное с поло^ъо итерационного процесса (16), сходился к точном/ ранению этой задачи при Л'--«. При зто/л сулссг.дует ¡I , габиххв&е cm t, такое, что для жсого П^тах(HQ,~¡-ogp(1)} выполняется
C.T Ai
TS/a i Z -I
[z -3 (ivii—MS--(2mx(1,d1üp)a) , (16)
* 2" 1(1-xGE)C1 1 2
iv-0,1 ,...,K, max(1 ,mp\E -df (z)[)<£, о^-ЖЖ ZW, П У (1.-TCE)2
íaopet« 2.4. Пусть задана (2) удовлзадарязп на moxeatóe Л'
условия* гладкосяи, тбнрогдвкноспи ■ и включения, прич$,п
x(t)(C3ip „j. Тогда сух&твуся яслха функция N(x), ч-с }{(т;~а> при
'--О и приближением реиенио Р^О, Iаходитси к
ксчнану р?шшо- эсдачи- (2). При эъоя Справедлива ouowa
9 1
с,г л? ,
к--0,1Л, а 9)
В §4. главы 2 рассматривается лтейная. sadcr-ia Нош с алгебраической связью на фазобыз перехеннке, т.е.
■х' (t)=a(y(t))z(t)+b(y(t)), (20)
y(t)=f(x(t),y(t)), z(0)=z°, y(0hy°. .
где tH0,TJ. xitktf*, ■ y(iHP™i b(y(i))&?, a(y(t)) - матрица размера n»m,'отображение /:D=STa+n-iRu, причем y°~f(xc,y°). Задаче (20)' является частным случаем задачи (2), поэтому для изо справедливы все результаты, полученные выше.
Особый интерес к задачам (20) связан с тем, что многие изучаемые в медицинской кибернетике модели сводятся именно к ток.ша системам уравнений. В частности, в главе 4 рассматриваются' д^е модели, относящиеся к этому классу. Кроме того, линейность по переменной x(t) позволяет, ,с одной-стороны, упростить слгоритмы методов ЗИП и АН, а с другой, - ослабить условия, гладкости и ограниченности (или диагонального преобладания), гарантирующие сходимость этих методов. :
В §5 на четырех контрольных примерах с известными решениями проверяется -работоспособность методов ЗПК и АН, показывается практическое значение теорем 2.2 и 2.А.
В глазе , 3 исследуетсяэффективность различных реализаций метода АН.
Практическая реализация метода АН, в отличие от метода С!1", допускает определенный произвол. Это связано с тем, что реальные задачи же ют достаточно' большую размерность, т.е." числа х к п в (2) относительно велики. Тогда матрицы ,... ,Е-1,
1=1,2.....Я, также 'тлеют достаточно большой размер, что
практически исключает аналитическое вычисление обратных матриц ОЕ^г^Г1. Таким образом, для обрвдб1шя матриц приходатся использовать численные метода, что вносит дополнительную погрешность и мо-:ет ухудшить' сходимость метода АК.
В 51 рассматриваются два способа реализации метода АК. В первом обиагдение матриц дУ^(г1~{),. .. ,К-1, 1=1,2, ....V, .
А * л Л Л-Г I
осуществляется на основе метода Гаусса с выбором главного элемента по матрице, а ео втором используется итерационный процесс уточнения элементов обратной матрицы (метод Хотеллинга0). На контрольных примерах исследуется эффективность того к другого способа.
Оба способа реализации метода АН оказались достаточно эффективными, так как позволяли находить приблаканное решение с высокой точностью. Однако при -одних -и' тех ке значениях параметров т и II при ¿=1 метод АН с вычислением обратных матриц по методу Хотеллинга требует в среднем в 1.5 раз больше машинного времени, чем метод с обращением матриц по методу
НогеШщ; Н. "Апа1уз18 о! а сотр1ех о 1 агаизиса1 уаг1аб!ез 1п1о рг1пс1рй! сстропепга. ¿. Ейис. РЬуз. 1933, 7.24, Р.41.7-441, 498-520. -
Гаусса. В значительной мере ото связано с .тем, 'что на иоздой итерации метода Ш при использовании метода Гаусса обратные матрицы öFlcz1'1)'1 не вычисляются, е решаются, ланейнав спсази вида
что требует примерно в три раза меньше машинного времени.
Для методов ЛЯ с" аналитическим обращением матриц ц вычислением обратных матрэд по методу Хотеллтга затраты машинного времешг моаяо сократить, если для реиония задали <16) использовать модифицированный метод Ньютона.
В §2 главы 3 рассматривается модифицированный метод АН. Основное отличие атого метода от рассмотренного в главе 2 (§3) метода АН, состоит в тем, , что для решения системы алгебраических уравнений (16) используется модифицированный метод Ньютона:
. z0 =2 .
zo*z(0)=z°, ?,...,K-1, 1=1,2.....V, гл& Fl=Sm+n-Gl' ДРИ реализации алгоритма (21) на ЭВМ матрицы dFjjz^r' для кеадой точки. еэтки у вычисляются один раз, что позволяв", существенным образом сократить затраты машинного времени.
Для модифицированного метода АН справедлива
Теорема 3.1. Луапъ задача (2) удовлетворяет. на мохескве Df условиям глоЭкосии, с-.ооличенкссяи . и включения, причел:
„j. Тогда :приближенное' решение zk(N), k=Q,1 найденное с пс&яцьхз илгортяа (21),. сходится , к точному реи&них> задачи (Р.) '.-при. t-0 и Ш2. Лролв того, при досшпочно' лалол. %
.справедлива сце/üía
\z(tJ-z2i(K)^0(%s).
Вычисления, проЕвденкне для контрольных призеров, полностью
соответствуют теореме 3.1.
В главе 4 рассматриваются две математические модели из
области медицинской кибернетики: модель сердечно-сосудистой
i ' г системы человека и модель гомеостаза жидких сред человеческого
организма, Первая разработана коллективом специалистов из ВЦ
РАН, МГУ и -ИМЕЛ с учетом основных соотношений гидромеханики, с
привлечением работ Гайтона4 и -других известных физиологов5, а
вторая - коллективом японских ученых6. Обе иоделзг сводятся к
системам дофференциальн0--алгебрзичэс1са уравнений типа (2), что
позволяет использовать для их исследования метода, предложенные
в главе ¿. • ■
Обе модели.. реализованы, в виде , программных продуктов,
написанных на языке PASCAL для ПЭВМ типа IBM PC. Причем для
модели сердечно-сосудистой системы использован метод АК, а для
модели гомеостаза - метод ЗПИ. *
Гайтон Л. Физиология крозеобрз^ешя: Минутный объем сердца и его регуляция. М.: Медицина, 1S-69.
5 Войсс sí., Антош Г., йадб 3., Тебе Г., Гроше и. Физиология человека: В 4-х тшах. 2.3. U.: Map,'fSS6.
А
Гкейа N.. Матчю ?., Shiratara. U., Sato 'f. A model oí overall regulation oí body /iuiüri// Ann. Diomed. Eng., 197S, V.7 P.125-166.
' Исследование адекватности моделей осуществлялось на осно! экспериментальных данных института медико-биологических иробл( Минздрава РФ и литературных данных7. ' Для первой моде.! проводились эксперименты по потере 400 гр. крови, а для второй моделировалась водаая нагрузка, увеличение концентрации С02 £
вдыхаемом воздухе и введение глюкозы в. организм. Во всс
* ' *
экспериментах 'результаты вычислений хорошо соответствовал литературным и экспериментальным данним. Более того, для ыодзл го.меостаза жидких сред человеческого организма удалось получиз более близкие к экспериментальным данным результаты, чем числешшх экспериментах авторов модели,, описанных в их статье2.
Математический ашгарат, разработанный' в диссертации позволяет не только исследовать многие математические модели и области медицинской кибернетики, не и судить- о корректност ога1са1шя реального объекта системой уравнений. Модель будо некорректной, если сна не удовлетворяет условия?.! гладкости ; кевырогсленности, Так как в этом случае нарушается услови существования и единственности решения соответствующей систем да£фер9НЦ1гально-адгвбраических уравнений, что проткворачи
7 IRcda K., Marar.o F., Shiratara M., Sato T. A model o; overall regulation of body fluids// Ann- Biomed. Eng., 1979, Y.' P.135-165.
8 . Ikeda N., Marumo P., . Shiratara K., Sato T. A model o: overall regulation of tody fluids// Ann.. Biomed. Eng., 1979, V.*i ?.135-16C.
глобальном признакам одбкваткости математической модели9. Причем корректность модели исследуется автоматически в процессе нахождения числезшого решения.
Заключение содер:шт основные результаты диссертации.
В прилохешш 1 содержатся обозначения и нормальные Белгажг переменных и констант модели сердечно-сосудиетой сястош.
В приложении 2 содержатся обозначения и нормальше Бблнчинк переменных и - констант модели гомеостаза . жидких сред чвлозеческого организма.
В прилокекнп 3 даны математические выражения для функций общего вида. : ' .
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ «
1. Разработан математический аппарат для исследования математических моделей из области медатцинской кибернетики, сводящихся к системам дифференцизльно-алгебраичоских уравнений специального вида. . ' о
2. Доказана теорема о существовании и единственности решения задачи Кож с алгебраической связью на фазовые перемешше.
3. • Предложены' численные метода решения задачи • Коши с алгебраической связью на фаговые переменчив, основанные' на
3 Белнх Л.Н. Анализ математических моделей. в иммунологи:?- 7.:
Наука. Гл. ред. <|из,~мат. лит., 1938.
комбинации конечно-разностных методов решения' обьпшовешшх дифференциальных уравнений я итерационных методов решения нелинейных алгебраических уравнений.
л. Ляп методов ЭЯИ и ЛК доказаны теоремы о сходимости приближенного решения к точному, получены оценки погрешности приближенного • ревения в, зависимости *-от шага сотки и числа итераций.
5. Предложены два способа ■ реализации метода " АН. Первиг: основан на вычислении обратных матриц по метода Гаусса, а второй - на обращении по методу Хотедлингз.
6. Прздложен модафицироващшй метод АН,' основанный на' неявном методе Адамса второго порядка и моди^мцирсваяном методе Нькдана.
7. Доказана теорема о втором порядке сходимости модкфшпфозаниого метода АН.
8. Модели сердечно-сосудистой скотома и гомеостаза жвдких ср^д человеческого организма реализованы в вида ирограмша продуктов и исследованы .неадекватность.
ПУОДИКАЦИИ ПО ■ ДИССЕРТАЦИИ .
Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах автора: •-
1. Куликов Г.Ю. Реализация, модели гомеостаза квдких сред человеческого организма не персональной ЭВМ// Модели в экологии и .медицине, Физиологическийсистемы, человека в ' экстремальных у ел пенях/ Иод рад.'Р.М. Свяреаева и В.З. Шакина. М.: ВЦ АН СССР,
1989. С.25-34.
2. Куликов Г.Ю. Об одном способе численного решения автономной задачи Кош с алгебраической связью на фазовые переменные// Тезисы, третьей всесоюзной конференции "Новые подхода к решоиию дифференциальных уравнений". М.: ВЦ АН СССР, 1991. С.71.
3. Шакин В.В., Комиссаров К.В., Куликов Г.Ю., Правецкий Н.В., Холин С.Ф. Математическое моделирование для медиков. Компьютерный курс. И.: ЕЦ РАН, 1992.
4. Куликов.Г.Ю. Об одном способе численного решения автономной задачи Коши с алгебраической связью на фазовые переменные// Вести. Коек. Уц-та. Сер. 1, Математика..' Механика. 1992. Й1. С.14-19.
5. Куликов Г.Ю. О численном решении автономной задачи Коши с алгебраической связью на фазовые переменные// Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики. 1993. Т.33. С.522-540.•
6. Куликов Г.Ю. О численном рашении автономной задачи Коши с алгебраической связью на фазовые переманные (невырожденный случай)// Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1993. ДЗ. С.10-14.
Подписано в печать 1.0^.94. Формат 60 х 84 Бумага типогр. КЗ.
Печать офсетная. Уч.-кэд.л. 1,3. ;Тираж-' 100 экз.' Заказ
Подразделение оперативной полиграфии Ульяновского ШТИ
43^700, г.Ульяноаск, ул.Гончарова,48, ЩИ!
. . ■. 21