Функционально-аналитические представления решений в задачах теории автоматического регулирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

СШГГ-ПЕТЕРЕУРГСКИП ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 519.3:62-50

ВШШНЗСШЙ Вячеслав Эдуардович

0УНЩТОШШШ0-А11АЛИВИЕСКИЕ ПРЕДСТАВШИ! ШИШЙ В ЗАДАЧАХ ТЕОНШ АЭТаШШЕСКОГО РЕГУДИРОШИЯ

01.0Г.П - системный анаша и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диооергации на соискание ученой степени доктора ¡¿шико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена на факультете прикладной математики -процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант: доктор технических наук,

профессор А.Фо Зубова.

Офищалышз оппоненты:

- доктор техшгческах наук, профессор P.A. Нелепин

/Санкт-Петербург /

- доктор физико-математических наук, профессор B.C. Мельник

/ Киев /

- доктор технических наук, профессор В.И. Чернецгмй

/Петрозаводск /

Ведущая органкзадая - Российский университет дружбы народов

Защита состоится 26 » 1995 г.

в У-З чао. на заседании диссертационного оовота Д-063.57.33 по аащцте диосертаццй на соискшше ученой степени доктора наук в Санкт-Петербургском государственном ушвероитете по адресу: Санкт-Петербург, 10 линия ВоО,0 дом 33, ауд. 3Cf .

С диосзргаиией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ШбГУ (Университетская наб., дом 7/9 ).

Автореферат разоолан " 21. " 1995 г.

Ученый секретарь даоовртащонного совета

Хабко А.П.

ОЕЩАЯ ХАРАКТЕРЛСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность тс;.ш и цель работы. Практика,предлагая задачи

управления разных типов при наличии стопин незнания объекта управления, стимулировала развитие теории адаптивных систем- части теории управления,находящей широкое применение в решении ряда проблем науни и тохншш.Первые исследователи - Б.Н.Петров,Я.3.Цы-шмн.В.А.ЯкубовичД.А.Красовскпй затем другие ученые построили адаптивные управляющие системы для объектов,описываемых дийфоре-нвдалышмж и конбчно-разностншш уравнениями.!) условиях"неопред-еланности"свойственной адаптивному аспекту может быть три подхода к задачам управления: а) накапливать информацию об объекте;

б) совместить управление неточно заданным объектом с поиском необходимой инфор.шри о нём; в) строить теорию адаптивного упр-авлешш.Вгорой послужил причиной формирования иденифнсашонного метода управления,ашиннаэдегося в соединении'оценок характеристик объекта с классическими способам! решения задач управления. Проблема идентификации (определешю характеристик объектов п пр-илояенкых к ним воздействии) является одной из основных при построении систем автоматического регулирования.При этом различат две задачи: I) определение структуры и параметров объекта;

'2) определение параметров при заданной структура.Таким образом, задачи адаптивного управления объектам,описываемыми дифференциальными уравнениями с использованием предварительной идентификации параметров объекта, являются актуальном н построение алгоритмов их решения как аналитических,так я численных {с использованием ЭВМ) представляет значительный практический и теоретический интерес.Тема диссертации в значительной мере определена тематикой вопросов изучаемых и разрабатываемых на кафедра 'теории управления факультета ПМ-ПУ С-ПГУ под руководством член-кор. АН СССР профессора-В .И.Зубова.

Основу работы составляют построение и обоснование функционально-аналитических алгоритмов, представляхвщх решения двух классов задач теории автоматического управления,допускающих в качество своей математической модели нестационарные аналитические по координатам и управлениям системы обишовешна дифференциальных ур-авнегаШ.

(♦) К первому классу - прямым задачам-здесь отнесены задачи оптимального по быстродействию управления в связной области рао-

ширенного фазового пространства,содеркачей обобщённое равновесие.

(I) Ко второму классу - обратш-ы задачам-здесь отнесены задачи нелинеШгай параметрическом идентификации.

Новые результаты,содергавдюся в данной работе,являются логическим продолжением и развитием исследовании автора в данной области изложенных в С15 ] .Вкносш.шо на эащту результаты являются но-вьии и получены ранее лично автором, что отражено п конце авто -реферата.

1_22!1220_1йзш^З£™§еи2й_котозоло11К, как и презда С15 1, лежит каноническая теория возмущений основанная на преобразованиях Ли-Депр!,аппроксимация Иаде-Шенкса,некоторые вопросы комплексного анализа и алгебрн тесно связанные с дифференциальными уравнениями и автоматическим регулированием.

(+) Методика алгоришзапии задачи быстродействия разработанная в С 7 ,<5 3 обобщается в первой главе данной работы в следующем направлении.Оптимальный процесс строится не только при ограничении на Uq° - область выбора начальных данных С)0 задачи Кош,подчиняющейся фушщюнально-аналитическои связи в виде неравенств, гарантируюдах сходимость преобразовании Л^Депрх LCI^CU]: Qsi- Q .Теперь выбор С|° определяется областью Uq°э «я0*

ляадейся областью определения величины ^Л ^ CU] : QsiC] - полного аналитического продолжения преобразовании CUl : . В результате этого проекция оптимального процесса ( (]0pC-t,[Ul\ . С]0 ), U0(i t)) на фазовое пространство не обязана тедзрь лежать в поликруге ицСО^сходшлости прообразовать Ли-Депрг -Для этого теоретического результата оказалось возможны разработать сопутствующий вычислительный метод,предъявляющий коночные форлу-лы (аналитические) вычисления значений голоморфного отображения {■Б^ CU] по элементам его ростка [U3 за границей пол-

икруга сходимости его ( Ed*11 CU3) степенного ряда.

Следующий - заключительный этап алгоритшзаиш этой задачи быстродействия,являющийся собственно оптишэационнш.вклотэет три подзадачи: I) вычисление нового ограничивающего множества Э U(i) - новое управлешш .оформепного в виде численного алгорга-ма,в исключительных случаях превращающегося в аналитический;

2) задача коивексификадаи (овкпуклышя); 3) проблемы энтропий-них свойств классов "машинных" управлений предназначенных для отработок реальных сигналов управления,например,бортовыми управляющими устройствами.

(V) Методика алгоритмизация задачи параметрической идентификации .частично разработанной в С12..(53.здесь получила свое продолжение в налравлешш более характерном для внутренних вопросов дифференциальных уравнений.Теперь основное .вникание направлено на построение разрешающей процедуры аналитического множества -ЭЛ. , основанной на рекуррентных процессах,что существенно отличается от прозшего метода многомерного логарифмического вычета С < Я. И . которые! в плане численной реатазашм уступает вновь предлокенно-му.В том ко классе задач предложена методика иденти^нкщаг параметров счетного класса математических моделей управления по набл-пденкя за фазовым еостошием каддой из mix на общей для всех моделей дискретной сета моментов наблюдений.

Основной цолью данной работы является: I) построите airopiiT-мов решения указанных выше задач для (¡ушадонально-аналитическо-го класса уравнений, описывающих многие вакные в теоретическом и практическом отношении объекты управления; 2) аналитическое обоснование алгоритмов - доказательство соответствующих теорем существования .сходимости и вывод оценок, способствующих практической реализации.

Теоретическая и практическая ценность." Разработанные алгоритмы

применимы в задачах управляемого движения и аналитической динамики (управление вращением твердого тола,движение тяжелого твердо-* го тела вблизи нижнего положения равновесия,а такке других задачах [<2,15 3) для получения как аналитических,так и численных о априорными оценками решений.Ряд алгоритмов допускает не только численную,но и буквенную реализации на ЭВМ.Выполненные исследования показывав, что для рассмотрешгаго класса задач полученные методы нередко более приемлемы,чем другие методы теории возмущений и могут быть положены в основу исследований функционально-аналитических задач управлошш.Практическая ценность определяется аналитическими и численными примерами (в том число С42 3) и практическим использованием полученных результатов для идентификации моделей приводов станков с числовым програшшм управлеии, ем (ЧПУ).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывал -ись на кафедре прикладной математики ДИИГ (Днепропетровск I9S5r;) на межвузовских научных конференциях молодых ученых "Развитие фу. ндаментальных и прикладных исследований'МПУ (Ленинград 1934-05Г.) на семинаре института кибернетики АН УССР (Киев 1985г.),на научном семинаре"Моделировага1е1ц.ченги^1каиия,синтез систем управления

в химических и химико-металлургических производствах"/шифр Х06-226/ (Ялта Донецкой обл.1386г.),иа Всесоюзной научио-техничоской конференции "Актуальные проблемы, моделирования и управления системами о распределенными параметрами" (Киев-Одесса 19871'.), на Всесоюзной научной конкуренции "Классические и неклассические краевые задачи дет дифференциальных уравнений о частнши производными, спец. функвди, интегральные ур-я и их приложения" (Куйбышев 1987г.),на семинарах кафедр: теоретической кибернетики мат-ыеха ЛГУ 1985г., теории управления ф-та Ш.1-ПУ ЛГУ 1986г., моделирования сложных систем ф-га кибернетики НУ, Киев 1908г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах Щ-15

СгЕ2КТ2ра^_объ|м_щботы. Диссертант состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитируемой литературы из 224 наименований. Объем диссертации 313 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАКШ

Предметом изучения будут объекты управления (ОУ).математическая модель функционирования которых подчиняется системе" дифференциальных уравнений

Ке4:П, ^к=<ак1Ч> +<б^1Н>+ Рк(1,С|,и) , (I) с уравнением наблэдения (У1!) м м ё м

£Ц)-<С1а> + <Й1Ц>+ Л Ё сЦёЧ

. ' „ |йм 161-0 е п д

где Ъб£0,ТД,сТГ, ЦбЯ)цССп , - область, <Х1У>"

- а кч • у* ; на) е и<? С С г < П , 06 и-

V ^ £ [ 0 ,Т ] , непрерывный на СО ,ТЛ з хауедорфовой метрике, и 6

е^иГО/П- (ЬТО(0,Т))У(Ь^О,'Г» ; V К€<мг а^Л^С11

, •) € С С С) ,УЛ - кольцо полиномов по С| , II над кольцом с' И ^(1,0.0) 5 0 у±€С0 ,ТЛ; ^(-.р.Ц) измеримы на СО ,ТЗ.

Полезно заметить, что | ость аппроксимация,согласно

теореме Вейерштрасса (обобщённой).функционально-аналитического , ряда ,Ч ,II),представляющего голоморфную по С) и И равномерно по параметру ^ (■. С0,Т] фуиздш ^1] , Ц,) .гаизющую то же имя.

Наиболее близкими к данной работе по методам являются: малый параметр Пуанкаре, рады Вольтерра,представление решений Ляпуновым,получивших дальнейшее развитие Зубовым.Специфика задач оптимального управления потребовала серьёзной модификации указанных

вшо классических методов теорш возмущений.Это касается и методов данной работы. Метод малого параметра в радо задач управления (полиномиальные задачи быстродействия и идентификации) уступает с ачгоритшчэско)! точки зрения методам преобразовании Лн-Депр1. Это можно наблюдать,напржор, для конкретных формул теорш возмущений в задаче управления зращетшем твердого тела выводимых параллельно согласно мотоду малого параметра и методам преобразований Ли. Разумеется сложность преобразований Ли-Денрг также растёт с ростом сложности системн (1),( 2). Формальная эквивалентность метода малого параметра и преобразовагой Ли,т.е. без учота сходимости последних,в ноуправляемг.х задачах исследовалась в работах Мерсмана.Кемсла.Анрара.ДепрьВ работах исследовался

вопрос сходимости преобразований Ли в форле Депри (наз.Ли-Депр!) сначаяа в неуправляемых,г. затем в управляемых задачах динамики. . Сравнение методов Ли-Депр1 и рдчов Вольторра требует особого ис-счедовшшя, постольку последний но является,вообще говоря,аналитическим методом. Более того при отсутствии устойчивости он "плохо" сходится.Тем не менее,развитая Гамкрелидзе и Аграчевид тех--шпеа хронологических гаогоморннг рядов Вольторра, применяется теоретически для классической задачи управдетая.Трудности примоне-гаш методов тсорш воз)лугюниН в задачах управления частично мо:г,-но объяишть тем, что последтю как правило не локалыш.

Всякий вопрос о целесообразности обоснования методов преобразования и получении оценок луч сю всего может быть снят замечаниями иззестных специалистов х): "Необосновмпнй переход от фор.та -льных рядов к аналитическим и гладким объектам допустим,когда результаты для всех случаев действительно параллельны; однако в задачах с чалши знаменателями это не так, а именно таковы задачи преобразования систем дифференциальных уравнений к своим (но возможно СШ и не к своим) укороченным посредством функционально-степенных рядов ¡здесь обоснование сходимости и исслодовате гладкого случая существенно,так как за расходимостью рядов скрывается топологическое различие между гладким и аналитическим объектом и его норлальной форлн на уровне струй,что и проявляется в указанных задачах в виде резонансных.эффектов". Однако в С4.423 было показано,что принятий там класс уравнений (с управлением) в

*) Арнольд В.И..Варчеико Л.Н.,Гусейн-Задо С.Ы. Особенности ди-фферендаруемых отображений.-ГЛ. ДЭ82.-ЗМ С.

- S -

'принципе при построении решений может допускать малне знамонате-ли,иначе говоря приводить к матам знаменателям.Поэтому для применения метода преобразовашШ уравнений к своим укорочешшм п вычислении решений задачи Кош за иолакругом сходимости, основанного на преобразованиях Ли-Деприапдроксимавди Паде-Шенкса и конф-оряшх отображениях круга на область с разрезами определяомнх обида решением в форме Кош уравнения Лёвнера-Куфарава, потребовалось выяснение свойства сходимости разрабатываемого алгоритма , наилучший для этого класс уравнешШ, получение оценок аппроксимаций и ряд вопросов связанный со структурой (алгебраической) возмущений нулевого приближения (укороченной системы) и возмолаюсть нормализации суперпозициями преобразований Ли-Депри

Преобразования Ли-Депри Ut^.1 CU3 •• Q ¡2" q задачу быстрейшего попадания в точку 0 из начальной точки npi огршшчен-иях на управление U(t) для системы (I) сводят к задаче быстрейшего попадания из точки Q° ^ tctt.r,( Cj°,CllJ°) в двииущупся под действием искомого управления U(t) точку Q (t)=i<t+(0, LUlJ ), закон движения которой извесен по 1д(•);а именно,это функционально-аналитическое отображение аргумента U.(0 при прошшх ограничениях на управление U( • ) и дифференциальной связи заданной нулевым приближением системы (1),т.е. еэ укорочешюй системой. Это в. свою очередь эквивалентно задаче быстрейшего попадания в О из точки Q°== Q° - СиЗц"0 ) при новом управлении ЯГ (О

для системы "

0 = A Q + X tt> , (I)"

которую с точки зрения теорш возмущений "для теории управления" модно было бы назвать укороченной (в частности совпадающей с нулевым пр1ближением для задачи управления,но не системы дшффорти-циальных уравнений вида (I)).Тогда.так как ЯГ (t)=B • U(t) + Л- &Ct\0. Cul о ) - d Cet;4 (0, ГШ I ). получим соотношение

t -t (I)" W.'Jto.iu]*)- j eAtt"£-B ucs)ds-jeA(t"£Wls=Vci)-navy _ о 0

Величина id^(0,tU3 ^ ) равна значению заданного явно вполне . непрерывного (непрерывного и компактного,поскольку - нел-

инейный оператор) интегрального оператора типа Ляпунова-Лихтенштейна, являющегося суперпозицией операторов Гаммеритэйна.

Считая величину ПШ при I с ГОЛ^,,! известной для (I)

учитывая при этом нестадоонарность нового ограничивавшего гяюжо-отва Wt .строящегося по известному исходному ограничквачяцему множеству Ut э тдCt) и преобразовадаям Лл-Депря td"t [U] : Q i? С| ,о чём более подробно речь идёт в § 7 диссертации,получим из cooTHoaemiü (1)^ сходочнйся итерацюшшй прцесс построения величины \/(Ь),что существенно прощо.чем построение итерационных процессов

непосредственно для системы (I).Величина Vi*) абсолютно непрерывна при tcta.Ta vt«xi и i'e l, 2. со,т л,если £2иго,т;] ue шире,чем JL, z CO,1T 3,Поэтому \J разлоиша иа t-T^-n, при очевидном продолжении,в равномерно схсдящшся к ной ряд Фурье, так тик значение TV^ уде определено процессом (Q0(rt>vtopt) для систем! (I).Метод неопределенное коэффициентов Фурье для величины V(t) и соотношение (1)у позволяет достаточно быстро получить первые приближения для V ,так как V t <£ CO.TWnll разность Vit)- ПШ имеет первый порядок малости относительно сходящегося в норме llVlI= V С-Ь) I рада ИГЛо, tU31 ).

_ , LU/I int*. J . x

Приолияенным методам оптимального управления иосвяцепы исследования 3. И. Зубова, Н.Н.Красовского, И. НЛ,!оисеева,В.А. Троицкого, Ф.П.Васпльева,В.В.Крементуло,'5.Л.Черноусько,Л.Д.Акуленко и др.

Следующий этап алгоритма представляет функционально-аналитическую процедуру,вкчислязадуи оптимальный процесс для системы (I) , (2),когда нарушаются достаточные условия,обеспечивающие сходимость преобразований Ли-Делри.Вычисление оптимального процесса . ( 4opt ' q°. ^ор^Р' Uepl(-t)),когда хотябы одна координата,т.е.

3 К. fc i^ri , Qj, opl( -t, rUcp^U^) выходит из области сходимости преобразований Ли-Дедрк Edv ÜKJ: Q —» £} ,требует разработки методики построения корректных формул вычисления значешш во-личины t|K(Q ,t,CU Зг,) при старых допустимых значениях Ь е CO.TJ, U€ ßuCOT], U(t) в и У и значениях Q G U=> э U »где и " область куда (хотя бы в принципе) существует аналитическое • продолжение величины Ц ^ из области U - схода,ь ости преобразований Ы -t CU3: Q —» С] .При этом следует различ -ать две задачи: I)-te LO.T Л. t - фиксировано; СО.ТЛ э-fc не фиксировано.!} задаче быстродействия оптимальная траектория комп-актна,поэтому допускает конечную £ -сеть,поэтому первая задача решает поточечную аппроксимацию этой траектории,а следовательно и решения задачи Кош ей соответствующего.Вторая задача значительно сложное и без дополнительных предположений её пока не реш -

ить .Вопрос о сбалансированности мор необходимой и достаточной ин-форздш, гарантирующей существование■ решепия второй задачи,представляет безусловный научный инторес. Однако ого решение автору неизвестно .В диссертацы задача два решается в предположениях тиш-чных для дифференциальных уравнений,правпе части которых голоморфные по координатам равномерно относительно некоторых параметров, например времени.Идея данной конструкции заимствована из рада работ Зубова х),потребовалось лишь небольшое ослабление одного из требований,посколысу не предполагается голоморфности по времени коэффициентов и управления системы (1).Вниг.ая в структуру формул, решающих первую задачу,можно ввдолит два наиболее ва-хных варианта, тробущих своего первоочередного изучения:

1° величина CJ^ Q ,t, r.aic результирующая функция t

с учетом [uJ J голоморфна по t , Q ; это частный случаи варь анта § 4,главы I;

2° аналитическое продолжение фикции С| к( Q ШЗц) по Q из U в U равномерно непрерывно относительно te СО, ТЗ и U€йиГО,ТЗ на селекторе иШе^'-

Последнее следует понимать слодухздш образом: если "близки" моменты времени t' и t'' , "близки" в норме пространства £2и= Qv.C0.T3 управления V,' и U" аналитические продолжения

( Q ,t", CU"3^). по координатам Q близки в сулремальной нор«:е в области определения (по координатам).

В обоих вар1антах метод аппроксимации всех координат решения задачи Кош

ice Пи, q(î(t,q0.cu]to)êq)4(Q(t,Q!c3c]J),-t,cuit0)

являющегося при действии поеобсазованияш Ли-Допрп .¿iL IUI :

Q к t»A * X

--+-Ц образом решения задачи Коим укороченной для (I) системы (1)1т.е. образом Q (t .Q®, №3*) .независимо от оптимальности ирг связи управлений. д.. j^t.u) ,

с известнш оператором ¿£(t.O -иДО.Т 3--i-£lu[G,T 3 .разработанный в §§ 4.5 первой главц.работает в лвбой компактно;"; области Я) с Сп ,куда аналитически продолжит величина (^(Q, t, X В задаче быстродействия,поскольку свойства компактности шлеют место,для всякого £ >{] построены и обоснованы конечные функцион-ально-алгебраическиэ фораулн,вычисляющие оптимальный процесс

*) Зубов В.И. Аналитическая динамика гироскопических слстеы.-J*. ,1970.-317 о. /теорема 4, стр.22/

Цор^.р0.Шор^о). иорШ) ,при Iе ИЛ^3 .т.е.обе компоненты.

Напомним,что полная аналитическая йуикшш от -Ь .которую будем обозначать малыми хотическш.м буквам; (С СЪ, Х°1 С V- ПР* I € (И |Где и, (1) - полная аналитическая фуякшя порожденная элементом Вейерптрасса П. (<:). породненная элементом Вейерштрасса XХ°.Ги,1р.удовлетворяет, уравнении ^ = ^ <Ъ. ^ , ,

где £ - полная аналитичоскпл функция по Ь , < 1А> .порожденная элементом Ьейсратрасса I И, X.Ю-пели имеет место связь для элементов X = |(I. X » М>Ш).

В частном случае голоморфной по 1 . X > Ч Функции | (Ь Х.Ш и голоморфной но t функции иШ .которые совместно продолзш--мы аналитически в область 0С С4 , 0 - односвязна и огршшчена. •решение X И. Х°, ГШ 1) уравнения X = | Ц, X . и) ррвдстздицд в области И , 1. - конечное объединение разрвзоэ,в:итчаотее кроме конечного множества полисов для X (■{;. Х°. ОДЗр все е'э особенности и разрезы,превращающие Ф"» 1, в односвязпуи область в С1 .с точностью £ дробст

ЬСС) ^

. о * 22 Рк („у

х см,сиз,) = ___+ с (* >

м •

КгО

где Ь (е),величина /^П 1Икак 113 связана с обобщённ-

ыми координатами системы (I).Величина 27Г

ХШД^ £ Ц(рс£)-е )-р(£)в • с19

пл , ,

^ Ирсе)-ег9)- ^

определяет однолистное конформное отображение круга 0 на область ©\ Ь .здесь

где в свою очередь 0[(0)=0 , ¡Х'(0)>0 и 0(2.)- однолистное конформное отображение Е, на ф .Фуикдая £ (% , 5*) - общий интеграл в форме Кош уравнения Лёвнера

а)

ç(0) - E , o-°=e.n( '5'{0)/р )

о управляющей функцией JU6 KcC0, 3"°) - множество кусочно -непрерывных на LO, ÎT0) ' функций с разрывами 1-го рода в точках Тк~ -0 ! JH: CQ,T°) —» () Е и обеспечивает 1131 отображении (£)= = g % CJM. Jp ) исключение из Ч) разрезов ]L .Предлагаемый алгоритм допускает,чтобы область содержала конечное число изолированных особых по i £ С1 точек функции J (■, X , U.) и И.Ш.В частном случае.когда уравнение X = i (t, X, U(t)) имеет вид канмических уравнений (или системы)

dlq = SSu.q.p^.cu]*), d_p __ SSce.q.p.t.Çu]*) de. Эр fU~ dq

q«l)= Q (t.Luj*), pCO) = ÎCt.tïU*),

о генератором S (£. q , p .t.LUlo) голоморфным по £, C(, p равномерно относительно параметров t 6 СО ,T Д и Ц. е QuLû,T 3 на селекторе U(t) 6 U • od^piii интеграл в форме Кош которых Ц С Q , t, £, CU3*,) зацазт преобразование Ли-Депри Ici t [U3 : Q —» q продолкмое в область Ф С С*11"1, ф % X 2>q , <50 э Ц, х UL

- область сходимости ростка td^LUl .-разработанная методика применяется в § 5,главы I к вычисления казной координаты [j Ç , Ь.е.СИЛ*) при £=•) и Q6 0Q с пошщьга формул (х).

Таким образом, схема решения задачи управления системой (I) пр>-едлагаемая в диссертацш, предъявляет функционально-аналитические формулы вычисления оптимального по быстродействию процесса в терминах: <) аппрокезшадаи Паде-Шенкса (к) - это фушэдганалыю-рада-ональная функция (дребь ) ! 2) общего рошешм. в форме Коша скалярной задачи ;лтравлония (Й) ,3"°, CJUÎ^0) уравнения Лзвнера; S)коэффициентов аналитического ростка (¡ci t Cul .задающего полное функционально-аналитическое преобразование Ли-Дещ)и [ПЛ.

Стоит заметить, что данная методика шлет с успехом взаимодействовать с мощным методом равномерного приблилюшш голоморфного решения задачи Кош X (t. Х°,CuHq) d его прямолинейной звезде Митгаг-Леффлера последовательностью полиномов

Таким образом.основанная на аппроксимациях Паде-Шенкса,преобразовании Ли-Депри £сЦ ГИЛ и свойствах уравпе;п;я Лёвнера-Куфа-рева.сошестно с методикой Пуанкарю,Ляпунова,Зубова и др. учёных

- представления решения задачи Кош в бесконечной полосе вдоль вещественной оси времени (с использованием регуляризации Зундаа-

на при необходимости), совместно с разложением Ыиттаг-Ле'Н'лора, тазтоботаннад в лиссепташи мзтоллка расширяет возмо.таости функционально-аналитических методов в приложении к задачам но только классической динамики, но и к задачам управлешш динамическими системами,в том числа к обрати!»,! задачам - нелинейной параметрической идентификации.

Изложенная выше часть метода формализована в первой главе в сл-едутадх утверждениях. , .

ТЕОРЕМА (§ 2),. Если система С| =АС|+ Р<*.Ц) (^-эквивалентна системе О = А в У^.А.Р) - области определишь ростка', (элемента Войерытрасса) И ^: —Ч .то его аналитическое по ( 5 , £ ) продолжение £<8^. * С| в ршанову область Э . А , Я ) определяет аналитическое по (С| Л) продолжение' У (•(:, Ц) элемента Вейеритрасса Р (С]) в ршанову область ¿Я^д) ; пртеом, система =>А<[ + . ¿1) записанная для полных аналитических функций (£), С) (5) и Т&,(\) в ЯцД) будет {5^-эквивалентна системе (¡| = А Ц во всей р!мановой области Э\ЛТ , А , Р ) •

Случай 5° (§ 4). ЯШ Ф С1 , с$5)Я Ф э оо, £(*)==

£ 2Ши2Р, ^им ъ ,где выполняются

6 СО а Р г

(об > М - известно) У( М £ М < оо, М - известно) \/(оо> М- не известно), Гг (^) - простая кусочно-гладкая,связная и дост-

ижмая из гтЛ2)Ш .

Здесь: <¡0 Ш - область,в которой изучается .задача аппроксимации фупкщш } ; £ (£) - это множество точек либо пренебреким-ых.либо особых для I .либо вне (1отЬлибо <Я(Л - исключит-ельнцэ точки, для ; рТк - к-й полюс для $ ; Гг - грышца.

ТЕОРЕМА. (§4). Для всяких £.8" > 0 существует конечное целое .Ь0( £ ) <оо такое,что справедлива- оценка

где В Д Ы, с а)\ |(Л), тпеоя < б {■ р^ [1"/мЗ.

5ир ' |СС) — В

£ е.

м

ем (однолистным) ^ „, ^ ;п

4 л Г {еЕ^Е^кН^^у к.*)

Е-едини-Л 0 '

Вернемся к исходной системе (I) шща С[—Aq+E>^д.-^-F(t,%C], и.) и допустим,что дая укороченной её задачи бнсттодействия () = АЦ + заТЛ;п под действием !Еор .Ке&^О.Т Л .Т^Т, и) & П* получено оптимальное решение <3°* (г,^*, СХ.Р. Ъ е И0.Тт-гпЗ .Пуоть ? Д 1%) повеем и ПЛй.3

ц преобразование Ди-Депри Ес^ИиЗ^г-* I) укороченной для (I) системы диФйетеццяатьнцх ураано;шя 0=А (} +Ви в исходную систем (I) аналитически продолгташ в открытую &-трубку траектории 'у .т.е. в область ^ • <

ШЕШ <§ 5). УкеЩ,Уе>о ЭЯксС, ^эеоХь^.З 1>о=

- 1« о(0,к, £ )< оо, 3 в:ада (4.М) такие, что для исход-

ной оптимальной задачи ^

«А£1 +6Н+ Р(*;,£),Ю, Ч за Т,,,^ под де-

йствием решение существует и верны равенства: , ,

в салу

5 °р с^, сзйор з^) Д'. сиорз|')= ^((З'.-ь'.с-иорф,

I

п. а 4 п ■

п-о П «? г5 и,и>(|<с)_

т-г

Параграф шестой первой главы содержит матертал о иреоораэовани-ях Ли-Депра. систем обыкновенных дифференциальных уравнений в задачах управления системами автоматического регулирования заданных в неявном функционально-анагштическом виде

кеЛп , ^к(Х,Х,иШЛ,£) = 0 , где СО.Т 1 , Хе & сТС £е Ш« е й ие^СО/Г Л .

Показано,что данная методика моает быть с успехом пршенона к некоторым задачам неголономной механики,точнее к задачам с нелинейными неголономными связями вида

kc.CS , £к( Ц , С| Д, и., Б) = 0 , С| «=(£[,,..., С|п). б< И , т+5 = п ,где тп. - число степеней свободы.Связи зти неинтегрн-руемн.Показано, что для предлагаемой методики Преобразований Ли-

Депри к неголоношшм системам со связями указанного тппа наиболее подходящими оказываются уравнения типа Чаплыгина в пзази или ланранжевых координатах

ЭТ эт ф™" п'

са 96 Эо ^ да За *г* Эй >> = ^ '

И.Т. "Чу ^пик Чу Чпнк

где V € < : т и положено, что = 0,. + £ 0 ' .

5 • 'тгик ^А

Т7 = 1 £ Й"""- .и ад использ-

V СИ; ЭЧ|/ 0Оу вТ« ОЧт»в ОЦ^ * ' ^

овашш неопределенных г,толштелек, уравнения в форме Кильсона

-г^-д, -¿л,

941 э<к & 9си •

или .уравнения в форле Лагрыпаа (которую не выписываем здесь).Пр! использовании уравнений Чаплыгина мн опирались на исследования в данной области В.С.Новосёлова,В.В.Добронравова.

Параграф восьмой главы первой содержит материал о построении оптимального процесса для укороченной невкпуклой задачи быстродействия полученной из исходной задачи путнм еЧ преобразования Ли-Депри.Показано,что вось процесс решония сводится к ошшуклопип и применению известных результатов Лп4Лар1суса,Гамкреладзе Р. ,Морцу-ховича Б.Ш.

Десяти: параграф содерли вопрос о связи управляемости нелинейной системой с управляемостью её или не её укороченной системой» ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Система (I) управляема,если она управляема .. при ограничениях,т.о. если V € Цц^ил. 3 3 -к*, и. .где

<и го.тз )&(и=1Ш№"1 еП»И.тз)&(и(прчл«1;« €*4Л,*. I)&(з чшсчччч.«),ш

ч (ьц1Пи(Ицшря Л)) е . V** *м.

Заметим,что 113 того,что сутцествует переход из точки Ц ^ в точку при ограничениях,вообще говоря,не следует обратное,

т.е. "попятное" движение ыодет разрушать принудительные ограничения. '

ОПЕЕДЕЛЕНИЕ 2. Система 0 -управляема,'если она 0 -управляема при исходных ограничениях,как фазовых так и на управление,т.е. VV Ц*,0 ), (О ,С|*) при ()*£ Ц. выполняются все условия определения I.

Пусть задано функционально-аналитическое отображение Л.силр . o-Clo.o.tuaV') , определённое при ограничениях

Чеия.илсСп, 1)АэО , U [О,ТКИ1, Ue£2u[0,T l.vte

[0,т Л U(t) etm ccr , tua3 0.Пусть оно равномерно по 4 е [0,Т 3 и 1 биголоморфно в Озг.•

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Линейная укороченная для (I) система Q = A Q + + B-U ^'-управляема при своих ограшгчениях шицнировшшнх отображением {Г1, если V <QW,.Q(U) € W*W 3 3 t'.U* такие, что верно (t*€ ГОД л. U*=U<[(f>Q®l eQuI0,T Л. Vt< t* u'CCQ".'!^ ,i )

€tUa)&<eJJe''-%иЪds?)).w

сизV° > •

При •C'"<= i/ = определение 3 переходит в опре-

деление обычной управляемости щи ограничениях для линейных систем.

ТЕОРЕМА I. Система (I) управляема в смысле определения I тогда и только тогда,когда ео пороченная система 'с1к-управля-ема при ограничениях иниииированых преобразованиями Ли-Депри tclt* ЗАДАЧА, Сравнимы,ли свойства управляемости и 5^-управляемо-сти для системы Q = AQ+ b-U. ?

ТЕОРЕМА 2. Система Q = AQ + 8U. управляема в смысле определения I тогда и только тогда,когда система (I) авляема при исходных полных ограничениях,фазовых и на управление^

ТЕОРЕИА 3. Пусть число х * 0 я множество X = { x\ut-x\ . Если системы управления

Q = A q + E>u + F(q ,t.u.) , (x)

» ** A* N '

0 - AQ + bu + F IQ ,t,u> . 1-Х)

связаны меяду собой преобразовашшми Ли-Депри td.^' : Q t| в соответствующих областях U& и VV ирч общих огршшчешшх на управление U. и время i ,то система управления у е X управляема в смысле определения I тогда и только тогда,когда система управления у будет Ed -управляема при исходных ох-раниченияхл. *

ЗАДАЧА. Рассмотреть вопрос управляемости системы (I) при ограничении только на время t е [0,Т Л и управление U в максимально широкой, области определения преобразований Ли-Депри (Д^ по фазовым координатам Q , Cj . При этом точками этой области <^удут,вообще говоря,классы гомотопных путей.

Вторая глава,первый параграф содержит сведения С-12. ,<5 3 по параметрической идентификации математических моделей систем автоматического регулирования,подчиняющихся система:.! дифференциальных Уравнений . (к) _ д

Кб 1-.п , ч =<ак1 Ц> + ¿ы -и , (I)

к к 1€1-гий1-о вм п при С0,ТЗС11\ - область;числа и,Мк,Мк

заданы; Ш) е ис£с С, г*П , 0 е и*п- компакт "рЧе Г0,ТЗ непрерывный по Хаусдорфу на СО ,Т 3, НбйиС. О 3

или ЛДО.ТЗЬУ Кб \ :п <Хк,Ьлч С*. С •

При сравнешш с первой главой,системой (I),здесь кооффищен-ты постоянный перемегтых коэ^фэдгентах лииь упоминается. Наолвдаемой является величина <-Ь) .которая связана с математической моделья (I) посредством соотношения (формулы)

*<«- <С\Ч> +<§1и> + Ц^и^и-Ч*^. . (2)

при условш1,что величины М , N заданы (атрибуты структуры (2)), где С . § £ С^. йёд^С^ и свойства с1ёд аналогичны $¿¡3 .

(х) Предполагается,что У V С|°е Фс, , Ц.С- ЧС0 ,Т 3 и Ц(1) е при 1 б СО.ТЗ 3 , Си - решение задачи

Кошн для системы (I) определенное на СО.ТЗ-Для модели (ОУ) вида (1),(2) введен вектор-параметр Xе ^(Х)

С С , _Х =( Х|, ... , Хтп • • • • I ^ § Й »■■•■^л 2.»

где 15д.(Х) - поликруг с центром в известной точке (опорной) X . (я я) Предполагается,что (к) выполняется V X 6 1)ц(Х)С С"1' ОТЕЗДЕШИЕ I. Оракулом 0: (11, X) — 2Ш системы (I), (2) называется некий абстрактный объект,который У ие^2иС0 ,ТЗ

иа) е и?1. V ь'е СО ,т 3, У X ейдй)сС.тв силу связи (2) содержи'!.1 информацию X ('Ь'), которую сообьчает по требованию в момент Ь' .Параметр X € (X) называется внутренним состоянием оракула О , и- входом (вневсшм), £ - выходом (внешшм) О А Дшшое определение представляет модификация определения оракула сфор.тулированного впервые Тьюрингом для описания разрешакц-его метода в теории рекурсии изучаемой в математической лошке.

Расшифруем смысл понятия "найлвдание за системой (I) посредством наблвдения за числовым выходом £ (О при условии (2)"

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Для (I) определен вектор X е .возможно неизвестный наблщателю-эксперту (ВЕ). Зная закон при е

С О Л1 3 и класс Л ч С О ,Т 3 , ПЗЕ) имеет возможность:

1° произвольно задать стратегию и'е иС0 .Т 3 при и (О

:€ ии « со ,ТЗ ;

2° по аапросу к оракулу О :(11. К ) ^ X (Ъ) .находящемуся согласно определению I в состоянии X . получить от О число % ^) согласно правила (2).

Никаких других возможностей .касащихся наблюдения за системой (ВЕ) не имеет.

Коразлич1слость двух объектов управления (ОУ), и (0У)Я относительно входа Ш-Ь) и пихода будем называть оквивал-ентностьв втих объектов по "тос1 Ц-£ "и обозначать (0У)(£ (0У)|( (тпсх! и-г ). Формально это означает следующее. . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. (0У)Х, г (0У)Х# (тос1 и-Х ) <=>

ш.хииз*^ 2и.х#.гидр СО.ТЗ.У г1еЙисо.тз

при Ш) еи^Т) и * <= го .ТЗ.

ОДРЕДЕЯЕНИЕ 4. Алгоритм <Л идентифицирует математическую модель (1),(2), если Л опредатяет максимальное (по включению) в поликруге 1^(Х) множество С (У'таг.оо, что

УУ Х"гХ„€9;И (0У)х> 3 (0У)Х)( (тос1 ц-г ) .

ЗАДАЧА (ВЕ). Эксперту-наблюдателю (ВЕ) известна математическая модель (1),(2) некоторого (ОУ).оценка 17&(Х) э X . Задан оракул 6:<и,Х) £(-«. (ВЕ) наблюдает (1),(2).

Для (ВЕ) требуется построить алгоритм ¿Л. .идентифицируюц-цй модель (1),(2). Допуская вольность речи алгоритм с/1 будем также называть параметрической идентафгсавдей модели Ш,(2).

Напомним,что в математическуи модель (или стргуктуру) (1),(2) входят величины Кк> Мк » , N , М . Если их отнести к параметру X С , что представляет безусловный интерес, то слатаость алгоритма Л возрастает. При большой величине = = |МК- М к 1 заметно возрастет размерность вектора X ,так-что начиная с некоторого места, задача может потерять всякуя перспективу своего решения. Продолжая мысль В.Г.Сраговича, можно сказать задача от все менее "серого" ящика переходит во все более "черный" яндак.

Если часть координат вектора X известна, то разумно бал- ■ ансируя, мокно параметры размерности П. системы (I) и верхних пределов суммирования в (I) и (2) М к , [\!к . М , N отнести к вектору-параметру X •

Решение задачи (ВЕ) может быть сфорлулировапо в (следующем ) ■ форле теоремы.

ТЕРЕМА С^ЛБЗ. Пусть оракул ^(И'Х) ЛИ наудится во внутреннем состоянии Х*е1!я (X), Пусть к, СО ,Т )= = .т ), при атом допустимо Т =юо и ¡Гй иС0 ,Т )=1_,р£0. Т), 4«р<+оо . Пусть Ц,- радиус шара

такого, что V X € ^(Х), УиеБй ввктор-функщя Ц = = Ч СиЗ^, X ГиЗ^.Х) продохашана СО.Т), ко-

торый (т.е.рэдиус пара) существует С <2. ,<5 Л о не пустой внутренностью в со,Т). ^ ^

Тогда для (БЕ) 3 { ^„„сИО .Т ). {И,ЛК,« С в й <+оо, являщиеся (ВЕ)-стратегиями наблюдения за системой (I), (2) такие, что совокупность чисел 2к(1е) при 1С eflj4.ee 17 Т^ . сообщений оракула 0:{ ик,Х*) ^ Х(^) определяет аналитическое множество с , которое может быть задано системой уравнений 1С е \ :]Ч , ее /ГП7

3<*е.гикз^.х> = гцив)■. ■ ,

и которое является максимальным в \5"^(Х) с С . я та-

кого, что

УХ„е371 (оу)х. (тпос1и-г ).

V ие БйьЬСО.Т) п V V е со.Т ) А

То есть, при Т = +оо сравнимость (0У)Х>3 (0У)Х. (тос1и-2Г ) -.имеет место V Ь' СО .+оо), \) < +оо . Этот факт, следующ-

ий из теоремы Гильберта для голоморфных над натеровши кольца:,а функций многих комплексных переменных и теоремы Филиппова для диффорангггальних уравнений, к сожалеют но имеет места для случая иГО ,Т ) == 1_|ИС0|+оо) из-за песепарабольностп . СЛЕДСТВИЕ I. Если система (I) управляема (в указанном раннее смысле) в окрестности нуля () = 0 при ограничениях и 6 Т), иШ е 1), то для ЮЪс^СХ) со свойством из последней теоремы существует алгоритм Л , который идентт^кшрует математическую модель (1),(2) за конечное время СО Д 3 конечным числом стратегии ц1, ... , ц,^ л. ■

Процедура вычислешш точки Х„бЗЗЬ при X £ ЗТЬ рассматривается во втором параграфе этой главы и заключается в следующей схеме построения специального алгоритма, обобщающего некоторые свойства алгебраических функгчй на аналитические множества и кроме того претевдуицего на роль предварительного алгоритма для

метода Ньютона-Канторовича при поотроешш начального пргближения, проблема которого является актуальной и нше.

ТЕОРЕМА. Система (STI) после введения функции i=i(ic,e) зашшотся в виде

■бяООэХ=? 3КШ-*К =о , «Птп. С«г)

Тогда 3 (£) eR* полоягтелыюе, 3 ФСС.^.ЗО Те € СО .*£(§,)).'существует матрица A (&): С^ -^С*1 такие, что клеит место соотношения

Я) = А'Фсс.ф0, Я), ф0^ % -г

П£и Х°е и система уравнений V Тс- CQ ,Т"(&))

Ф(Т.ф° %) = S(X) -X. (931 (

имеет решение X (Т) CiL (X), удовлетворяющее уравнению

х = (sxs)'a^(S«j-а) ,

и такое, что EimX(T) = X, еЙП .V п.в. X°etf&(X) а г ->г(а)

СЛЕДСТВИЕ 2. Поликруг расслаивается на классы эквивалентности X е гУя«)

1) V X* X, (ОУ)х>г (оу)х, (mod u-z )

« , _ V ue Sii. • t € СО /Г ) ;

2) VXeUx(X) ЗЗОМХ* А

Пж этом шпсакое множество (точнее анаштичос.юв множество)

не разреляет поликруг т.е. разность

(X)\*5Q^ связна, поскольку вещественная коразмерность Codim -271 ^ 2. m - + i ^ £ , что и определяет свойства связности.

ЗАМЕЧАНИЕ - ЛШ.1А. Пусть величина X (Г) —Х.е ЗЛ и ——————— *

Х(Т)еС'т» пусть введены величины -

Н)Р(Х) £=SCX) - 0 . (971)

2) & IIР (Х(Т))И

3) Br & ,1Р*<хгаг4||Ьп(с^ '

4) J>T .

5) 4 тсхзс ЦРДХ) й .

г ах-хсопipT **

Тогда существует момент to t СQ , Т (31)) такой, что верно

I) ЦчД Вт.-• тг< 1., (Я__

- гкх«

(УЗШ)

II) V Х°<= { X е \JxCv-. II Xе- ХСС)

и итерационный процесс Ньютона-Канторовича

Хк+<= Хк - СРХ'( и"1-Р (Хк) , к<=й755

начиная с Х° сходится к некоторому е ШЪ . в частности X* = X* А

Условие (У) обеспечивается тем, что величина чр т —»0 , при ограниченности всех остальных величии в лево!! части оценки.

В третьем параграфе обобщаются резу.т ътаты Горша Е.А.,Лина В. о непрерывности корней скалярного уравнения

М

X + СХЬУК +... + с^и) = О

1 м

при i е Т - компакт,V К е величин« Ск(0 е ССП.ня случай систем уравнений

КеТТп ^(Х,.....Хп.) = 0 . (к)

где X е Сп■ Фке С(Г>С X,.....Хм3 - кольцо полиномов над

банаховой алгеброй ССТ). В основе изучения данного вопроса леа-ит теория многокорюго логарифмического вычета разработанная Айзенбергом Л.А. .акаковым А.Л. и уде упомянутая теория Горина-Лина.Цель данного параграфа дать надлежащее обоснование предыдущего параграфа в неголоморфном для коэффициентов случае, что особенно важно в задача;! оптимального управления.

Как и в скалярном случае, свойства непрерывности корней системы (к) зависят от топологической структуры компакта Т - уникогерентности, а основные результаты могут бить сформулированы в терминах групп кос Артина {Зп , что позволяет наглядно иптерпре-тировать результаты в виде спошалкга шстроегпгнх схем сплетений из нитей, напоишащкх (но не более того) конечные подстановки из симметрической группы 5П. Группа кос ¡Зпмохот бить задана об-разущими бч, ... , 6П.( и определяющими соотношениями

бк 6к*, бк - 6 к . ке ЧЕ? '

бкбв" бебк. , к.еесп-и к-еы ,

тогда {актор-группа {Зк^^пзоморфна ¿-и. гдо наи-

мепьшй нормальный делитель, содеркиий все б^ , К € ТТп-1 Поскольку получешшо результат» I представляют и самостоятельный интерес, целесообразно рассмотреть постановку задачи независимо

'от предыдущего параграфа, вводя более удобные обозначения.

Рассмотрим систему алгебраических уравнений, задающую алгебраическое многообразие

V ке Гт. f ( X,, ... ,ХЛ) = 0 , (ДО) (I)

К д

предполагается его дискретность я конечность в области V ==

Х-.Л^й^С. С*". Рассмотрим при teUtíi0) алгебраические многообразия - подлинное одно многообразие - . : -ЗЗ^, = -5Ш. , заданное системои

ЯГЦ : V кеГйг *К(Х,-Ь) 4 fK(X) - íK(t) = о . (2)

где заданы fK(t), f^í^Ujt^)): íK(t-o)=0. Условие дискретности и конечности эквивалентно условию

I А* <b>V П (XeCn i I = 0} s 0 .

ЗАДАЧА. Пусть XtK)(t-) - один из вектор-корней системы (2) , т.о. одна из точек многообразия %YL t , которых в V всего /Vt , так-что KeíT77t V t е Ui(t0>; t ~*t0:=> N^NU HCHM.

Требуется получить условия, при которых Функции :T-»V непрерывны в некотором, вообле говоря, искомом одномерном компакте Тс таком, что Т э t0 .

. В процессе численного построения корней системы ФК(Х) = 0 » К е ЛИ в области V * 0 привлекалась вспомогательная система дифференциальных уравнений с управлением

FK(Í Л ) j¡, К€ Í7ñ , ш

управление , U(t) е íl-i при связях

Т*Т , , K6ÍTÜ, (2)

и условии невыхода точки XCt. Xo ,U(t)) из области V •

ШИдаШШЕ. Компакт f называется уншсогерентным, если его нельзя представить в виде объединения двух связных за*лкнутых множеств, пересечение которых несвязно. Компакт Т - наследственно унакогерентен, если всякое его замкнутое подмножество униког-ерентао.

ТЕОРЕМА. Если область значений üan $ локально связна и наследственно уникогерентна, то для любого локачьно связного компакта Ж С ílau £ корни системы (2) принадлежат С(ЗС.)ж

Всвду ниже шесто системы (2) будем рассматривать обдай случай - систему о полнш набором переменных коэффициентов f , j,» ••• »íj ) _

ОПВДЕЛШКЕ I. Корни системы (2) в области \/с (^обозначенные через Хск) н $ -различии (сильно различны), если разность Х1К)-?Х1м^€Т , где Р - объединение всех кооргцшатншс плоскостей размерностей меньших 71 .Возмогли, что Х1К> - Х(к) 6 V. ОТВДЕШШ 2. Положи X где ^ .....

£ • • • • 11 тм) •

0П1^ДЕДЕНИЗ 3. Пусть компакт 36 фиксирован, тогда иолояшл по определению: а) - семейство всех систем вида (2) так-

их, что V $ € X соответствующая система Ж е ЗД^Ш имеет в V ровно /У попарно 5 -различных корней;

б) >= и Ж (Эй .

Л К4/У *

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Поломим: а) ^ (X) - семейство уравнений степени N ... Ы ■

где <Хке С(30, к е Н :/У и V £ е ЗС уравнение (*) но имеот кратных корней; _

<» 4и£(зв .

" к

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Система Ы. е ЗД^Ш называется вполне тоз-роиимой , если все ей корни непрерывны в пространстве 26 , т.е.

Ак(-)еСШ У кеГПР . _

ТЕОРЕМА I С 9 ,6 Л. Систспа с(. <= -ЭДд/Эб) вполне разрешима тогда и только тогда, когда все соответствующие уравнения В (м) € %ы№, где ^(И) имеят вид

X" + 6(М)Х^4+ ... +• бд,(м) == о , м еТТп .

М М I М "

где элементарные симметрические многочлены б^(м) связаны со степенными сушами Б к формулами Ньютона и все впо-

лне разрешили,т.е. все А/ корней непрерывны и X А

ТЕОРЕМА 2 С 6,9 Л. Пусть 36 - связный конечный меточный комплекс. Система оС € вполне разрешила т.и т. тогда,

когда фундаментальная группа Ш компакта 3£ не имеет нет-

ривиальных гомоморфизмов в группу кос & и А

ТЕОРЕМА 3 С6.9Л. Пусть 36 связный конечный клеточный ком-плоко. Если группа 8СА (35) конечна, то любая система оСе Н (X) вполне разрешима А Утверждение остается верным в частном случао, когда ¿Г4Ш

коммутативна и группа когомологай НЧ(ЗС. Ъ ) = 0 •

ТЕОРЕМА 4 С6,9 3. Пусть Э£ - связное и локально линейно связное хаусдорфово пространство, пусть G = 5t, (30. Пусть группа гомоморфизмов HornU^, % ) = 0 для всякого нормального делителя _/VcG индекса не большего П.! . Тогда всякая система Ы. 6 вполне разрешима , (N Ф .//" ) А

ТЕОРЕМА 5 С 6 ,9 Л. Пусть 96 связник компакт н существует такой сходяянйся к SG обратный спектр связных конечных клеточн-шс комплексов ."Л. что все группы X,,(3£g)_ коммутативны.

Тогда для вполне разрешимости системы о(€ -ЭД^СХ) необходимо к достаточно, чтобы в группе когомологий цЧЭЕ, Ъ) бшю возможно делешхе на rv! А

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если вместо системы (2) расспотрш систему (2), получим, что свойства компакта X ="Ranf, где теперь f = (f,, • fn). которые формулируются во всех утверждениях выше, являются достаточными для вполне разрешимости систем oL е Я£д,(ЗС) в случае системы (2) .

Многочисленная литература (в том числе зарубежная) отраженн-. ая в реферативных журналах за последнее десятилетие свидетельствует о не спадащем интересе к самим различны.! интерполяционным методам применяемым в различных задачах теории управления а также к разработке новых интерполяционных методов, в поле действия которых попадали бы новые более трудные задачи управления.

В четвертом параграфе второй главы изложен материал о применении одного интепроляндонногометода основанного на граничном поведении голоморфных функций и теоретико-функциональных свойствах, вытекающих из этого поведения. На основе понятия универсальных интерполяционных и равномерно-разделенных последовательностей решен рад важных прикладных задач, относящихся к обратным задачам управления.

Рассматривается задача параыетргсеской идентифнкаиш для системы управления • , _

^ XK~=iK(X,u(t),t) , К е < :n, (I)

XK(t,X°.tU]^ , К€ГПг. (2) с вектор-фулкшгай наблвдения вида (2), где Ук - голоморфна по своим аргументам: t , X, "М- в поликруге Uk » управление UK(t) голоморфно по t eV^cC^B круге. Это все, что известно экспергу-наблвдател» (ВЕ), если Еорпуться к терминологии § I, о математической структуре и функционировании (ОУ) вида Ц),(2).

Сравнивая зту задачу с первым параграфом второй главы вндпм, что условия эволвдш последней системы были более общими. Однако и информация полученная в той общей задаче гораздо более неопределенная - не точнее, чем аналитическое множество . Здесь результат более конкретен. Кроме того стоит обратить внимание, что наблэдая за системой (1),(2),о структуре (ОУ) наблюдатель (BE) знает меньше, чем в случае § I; а именно только то, что правая часть (I) голоморфна х). Существенна голоморфность управлешш U.

Методика идентификации параметров системы (I) основана на результатах Ловатера А. по граничным свойствам и решении проблемы Неванлшшы-Пика для функционального класса Нм .т.о. интерполя -цяи голоморфной в единичном круге Е пункции Р (t) такой, что I F(t)l< М , по данным интерполяции ( tK , F (tK), которые обеспечиваются связью (2) при тестировании оракула (см. выше). Строится непосредственно аппроксимация решешш задачи Коки X K(t,X°, СиЗд) V К 6 iTn рациональными функциями, по которым затем определяются или оцениваются параметры всех функций iK(X ,1Ut),t), которыми (параметрам;!) являются коэффициенты Те-лора. Свойства единственности ршетшя при его сучествоваши форгл-улируются в тердшах произведений Бляшке,т.е. их сходимости или расходимости. Однако, поскольку проверка этих свойств бывает затруднительна, то дополнительно приводится гюкумокгная процедура решения проблемы Неванлшшы-Пика основашая на результатах Неван-ЛИ1ШЫ и Данжуа, Таким образом,основу первого пункта п.А) составляет Шаг!. и lliar Z.

Шаг I. Фор?у!улы, продставляичие решение проблемы А/ - Р по данным ( {tK\ 5 { Xе"5 ) в е ТТп , определяются выражения' V е . ,-т. ХвШ- М^« , t, < 1 . ■I - S "m„x0(i)

где м Xe(t) - произвольная функция клаоа 1-1 , а величины P(e)(t),Qce>(i), SCeU) определяются формулами T?<e\t)=UmPjl),

Qct'(-fc)=timQ^t),5ie> (t)= timS (t) при e e П~п .и ржпомершк

K-9QO "К____К-»OO Мк

н) На самом деле этот вопрос кояот быть спорлш.Какая информация больше можно решить только вычисленном, как тому учат работы Витушкина АЛ'.

пределах в любом замкнутом множестве из единичного круга Itl< I.

ТЕОРЕМА (Дшкуа). Необходимом и достаточным условием того, что выше построенная функция единственна, является (при условии существования решения) расходимость произведения fr ItpHA-lpXr41!*)

а необходимым и достаточнш условием расходимости последнего является расходимость ряда

у\ Jjl1;M____ *

р-»н 1 'Р Ле ■ со

СЛЕДСТВИЕ. Поскольку П°°1Ц1 расходится расходится суша из теоремы расходится, то расходш.гасть исходного произведения П^, I tpl всегда влечет единственность реше-шш проблемы N - Р в laacce H4 , кок прасходимость сушн

А, Поскольку последовательность Jвыбирается Нами, то добиться расходимости указаникх суш и произведений не трудно.

Заюшчителыий шаг - это 1'дг 2. Полученную интерполяцией функцию Xe(t.X°, U(t)), е <= ГТп, используем для определешш оценок параметров исходной системы (I). Вкбирая последовательность i t^î , Кб -fis из области её определения (не обязательно из узлов инторполяцш) имеем значения

KXe=Xe(iK,X°, U(tK))4 ^(tK,X°, vutw- С1 ), .et ГТп ,

поскольку функция X (t , Х°, W(t)) шшлитячна. Taie как значе-шя Xe.(tK . Х°,). tK, <_> U:[ii ,tK!l С4 ле-

жат в области определения аналнтичесгах функций Jv(t , X , W) , то справедливы соотношения

Л Т"» f M s _

* >>=0;U&tvo;ifU(l w K "

для поликругов Ue . Это линейная система по коэффициентам Teii.no-ра . Ряды справа абсолютно сходятся в in-fe Ue , eeiTn .

Оценка I I осуществляется через оценку тпаэс |f-el в (Je •

но на решении Xe(t, Х°, U(t) ) ,полученном интерполяцией имеем , что в U» mari fe|é-max I Xe(t, X°, CU3^ )l при известной последней величине. Тогда при известном количестве выбранных точек tK ,т.е. величине S , имеем оценку остаточных чренов в последних рядах. Поэтому шесте с точным решением усеченной системы для последних сумм получаем коэйштентн . е € ГТп..

Заключительный пункт параграфа - пункт В) посвящен построению семейств аналитических обшшовенных диффоренщальнцх уравнений X - f (t. X.U(t)) .

СЮ) Vi»

npi допустимом card. > 8t0 , таких, чтобы V U б й голоморфное в Е решение X (t, Х°, U(t)) принимало заданные значо-

V _<u» (w) сы) 5

ния „X npi к € 1: +оо такие, что 1„Х; Iii при oo::aix для всего семейства ¿d значениях времени {"t к j J ., СЕ

ШРЕШШЕ I. Последовательность { : It„t <1 V Кб 1 : +оо называется У-интерполяциошгай (универсальной), если для любой данной последовательности значений {цХ}^ : I КХ I £ 1 У 1С существует ограниченная аналитическая в круге Iii < 1 функция |(t)=X такая, что KX = f(tx) .

ОПЕЕЖШНИЗ 2. Псевдопгаорболическим расстоянием меэду точками и tM называется функцгя

^A-V - 'V *м Vi 1- lM-tK I •

которая связана с гиперболической метрикой Р^к'^м^ соотношением . V, J. , ,

j»< w- %-4sт^ЙнГArtfl *a<-tH) •

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Последовательность { км называется равномерно разделенной, если 3 S > 0 такое, что

Пм=, i(t.tM)>6>0 V KtiTSО А

Геометрически равномерная разделснность эквивалентна тому,что множества уровня — { * е С1 :lfkt)l= £ > 0] произведения

Нляшко 6 (t) с нулши {i^V^ для достаточно малых £ состоят из взаимно не норесзкащихся кривых, иаядая из которых окру-кает точно одну точку Ък . Очевидно также, что произвел ernte Еля-шке h (t) с нулт.1! по разномерно разделенной последовательности {tK\V?, сходится .

ТВОРИЛА (Кардесон). Пос.лодоглтелыюсть } < 1. К €4:

+<зо может быть У-интерпсляицонной(для какой-либо произвольной последоватэ-шгастл («X lKX Iii, К е f:+oo) тогда и только тогда, когда она (т.о. последовательность I У^ рав110мзр"° разделэна Д

Эта теорема показывает, что для произвольных { решение f (t) существует и но единственное npi равномерной разделенное™ { tK}£!<. так как любая функция I (t)+ 6(t)-0j(t), где ß(t) - произведение Бляшке с нулями в и -

произвольная ограниченная функция, тагсэд является решением. Это обчее -решение зависит от сходимости Единственность будет

тогда и только тогда, когда 3 ¿(-О: (О и имеет место

(1-1^1)

00

Таким образом, теорема эта решает поставленную вышо задачу построения системы интерполяционных функций для заданных значений к Хе г1кХ_и1 "Р1 . «е^Т+оо, и)ей .если в качестве узлов интерполяции выбрать любую У-интерполчвдоннуга последовательность {-Ьк\• Решение получается 1сак правило не единственным,т.е. является общим - определяется все семейство интерполирующих функций из Ц*= $ по данным (£,< ,КХ .

Заключением заканчивается диссертация. В ном резюмируются некоторые результаты раннее не сконцентрчровашшо, которые оказались по объективным причинам в разных местах работы. Кроме того в заключении еще раз акцентированы результаты выносимые на защиту и отмечена перспектива дальнейшего развития не завершенных здесь вопросов.

Основные результаты дисоертацш! состоят: А) в построешш и обосновании функционально-аналитических алгоритмов решония задач - 1° построешш оптимального по быстродействию программного решения-управления неставдопарной функционально-аналитической системой управлешш в связной области, содерхащей обобщенное равновесие; 2° представления общего решения в форде Кош аналитической системы обыкновенных дифференциальных уравнений в ограниченных областях #сС4 комплексного времени Ь , не содержащих подвтш-нх особенностей, в форме суперпозиции дробей Пэде-Шенкса и однолистных конформных отображений круга Е на область <Ю\1Л ;

B) в построении и обосновании функционально-аналитических алгоритмов решения задач: -1° параметр!чес;:ои идентификации математических моделей объектов управления (I) ,{2) на конечном промегсут-ке времени в стационарном случав; -2° интерполяции в единичном круге £с С4 семейства произвольной 'мощности! аналитических систем обыкновенных дифференциальных уравнений, моделируюдах аналитические объекты рогулировшшя;

C) в получении достаточных услошй непрерывности корней систем' алгебраических уравнений о непрормшыш- коэффициентами.

Решение вопросов составивши основу пунктов А) и В) получено на основе системного подхода связанного с.данной тематикой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вишневский В.З. Представление решений полиномиальных систем обыкновенных дифференадаиьних уравпмшй /часть I/.-B кн. Управление в динамических системах, вил.О,ЛГУ 1083,0.146-170.

2. Вишневский В.Э. Линеаризация полиномиальных систем в окрестности равновесия при наличии резонансов высоких порядков.Область Пуанкаре.-В кн.гМат.ыет.нссл.упр.дпнам.сист.ЛГУ 1982,с.31-34.

3. Вишневский В.Э. Отсутствие интеграла с полной линейной частью, проходящего через ноль квадратичной системы дифферешдеашшх уравнений.-В кн. :Пробл.мех.управ.движ..Пермь 1985,с.20-28.

4. Вишневский В.Э. Эквивалентность нелинейной системы управлети со счетным числом степенен свободы своей укороченной линеШюй. Тез.докл.Всесопзн.н.т.копф."Акт.п-мы упр.оист.с распред.парам" Киев-Одесса 1987,о37.

5. Вишневский В.Э. Интегральные нредставле!шя в задачах наилучшего приближения голоморфных операторных уравнений. Тез .дом. Всесогазн.н.т.конф. "Классические и пеюгасснчяские краевые задачи для дифференциальных уравнений". Куйб. 1337,0.34.

6. Вишневский В.Э. Алгебраические системы о непрерывными коэффиц-. пентами как интегралы дифференциальных уравнений.-Автоматика,

# , 1992.Ии-т киб.АН УССР,Киев, с. - .

7. Вишневский В.Э. Аппроксимация Паде преобразований Ли нелинейных задач быстродействия.-Автоматика, J5 3, 1909. Ии-т киберн. All УССР, Киев, с.23-31.

8. Вишневский В.З. Применение роптаний интерполяционной проблемы Незанлиниы-Пика в некоторых задачах управления.-ЛГУ 1985.-25с. ВШИТИ 7.5.85. J3 3102.

9. Вишневский В.Э. Системы алгебраических уравнений о непрерывными коэффициентами в прикладных задачах оптнкального управления. ЛГУ 1985.-22 с. Дел.ВШТИ 7.5.05. JS3I03.

ГО.Вишевский В.Э. Лучевая аппроксимация Паде-Шенкса иреобразова-1шй Ли-Денри полиномиальных систем дифференциальных ypanneimit. /НУ 1985,-31 с. Дел.ВИНИТИ 3.6.85. Я 3870.

11.Вишневский В.Э. Решето задачи Кош полиномиальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности равновесия. -В кл.:Упр-е в динам,сист.--ЛГУ 1979, с. 85-103 .Деп.ВШЕГШ №794.

12.Вишевскпй В.З. Представление решений вблизи равновесия полиномиальных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнешгй. Применение к некоторым задачам механики и математи-

ческой киберштики /часть 2/.-ЛГУ 1903.-49 о. Деп.ВШШТИ & 4826 .

13. Вишневский В.Э. Интегральные представления в задачах наилучшего приближения решений голоморфных операторных уравнений при ограничениях. ГЛГУ 1986x50 о. Деп.ВШИТИ № 8725 .

14. Вишневский В.Э. Конформная эквивалентность и аппроксимация Паде в аналитической теории дифференциальных уравнений.ЛГУ 1987.-42 о. Доп.ВИНИТИ )» 8367. .

15. Вишневский В.Э. Аналитическая ачгорнтмизация в прямых и обратных задачах теории управления,- Автореферат диссертации на соиск. уч.степ.канд.<1из.-мат. наук, Киев 1989.-21 с.