Численные алгоритмы для течений вязкой несжимаемой жидкости, основанные на консервативных компактных схемах высокого порядка аппроксимации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Р Г 5 ОД

На правах рукописи

- 6 Г.1ЛИ 1ЯЯ7

Гаранжа Владимир Анатольевич

ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ, ОСНОВАННЫЕ НА КОНСЕРВАТИВНЫХ КОМПАКТНЫХ СХЕМАХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА АППРОКСИМАЦИИ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Вычислительном Центре Российской Академии Наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Толстых А.И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Чудов Л.А.

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Утюжников C.B.

Ведущая организация:

Институт математического моделирования РАН

Защита состоится " . 1997г. в i®

ч. на за-

седании Диссертационного совета К 063.91.03 в Московском Физико-техническом институте по адресу: г.Долгопрудный, ул. Первомайская, д.30.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ. Автореферат разослан " " _^ 1997г.

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук,

профессор Самыловский А. И.

Актуальность.

Построение алгоритмов повышенной точности является важной задачей вычислительной гидродинамики. Причиной этого являются все более жесткие требования к точности и надежности численного моделирования как со стороны фундаментальных исследований, так со стороны промышленных приложений. Среди многих подходов к построению методов высокого порядка аппроксимации, один из перспективных и конку-рентноспособных основан на компактных конечно-разностных схемах или Падэ-аппроксимациях, сохраняющих простоту конечных разностей и приближающихся по точности к спектральным методам. Этот класс схем был предложен еще в 20-е годы русским астрономом Нумеровым и активно использовался в алгоритмах вычислительной аэро- гидродинамики, начиная с 60-х годов в России, благодаря работам (Петухов 1966, Толстых 1972), и на Западе, начиная с работ (Collatz 1966, Krause 1971) и многих других. В последнее время компактные схемы стали одним из основных инструментов в задачах прямого моделирования турбулентности после появления работ (Lele, Poirisot,1992, Moin,1993) по моделированию турбулентных реагирующих течений сжимаемого газа на основе центрированных компактных схем высокого порядка и использовании различных фильтров для подавления схемных осцилляций. Тем не менее методы высокого порядка с использованием компактных схем, как правило, использовались только в случае сравнительно простых геометрий. В работах с использованием компактных схем на произвольных криволинейных расчетных сетках обычно используют методы второго порядка аппроксимации, когда компактные разности используются только для аппроксимации конвективных членов в уравнениях. Этот подход достаточно экономичен и дает определенный выигрыш в точности по сравнению с традиционными методами конечных разностей или конечных обьемов, обеспечивая, в частности, намного меньшую схемную диссипацию при сохранении устойчивости, однако наибольший выигрыш по точности может дать лишь использование методов высокого порядка с хорошими свойствами спектрального разрешения. Таким образом, усовершенствование свойств спектрального разрешения п построение точных и надежных компактных схем высокого порядка для задач со сложными геометриями является весьма актуальной и сравнительно мало изученной проблемой.

Цели диссертации.

Разработка, исследование и применение нового класса ориентированных компактных схем высокого порядка аппрокспмацхш, строящихся на основе пршлдипа интегрального баланса, для численного моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости п областях сложной формы. При этом должна обеспечиваться ошибка аппроксимации 0(/г4), положительная схемная диссипация, хорошие свойства спектрального разреше-

Typeset Ьу Ш^Х 2,

ния, дискретная консервативность и геометрическая консервативность, а также совместность дискретных систем при аппроксимации условия несжимаемости.

Поставленные цели подразумевали решение следующих задач:

• анализ и оптимизация ошибок аппроксимации и спектральных свойств дискретных операторов в рассматриваемом классе схем;

• вывод схем с положительной диссипацией на основе методов расщепления потоков и ориентированных "против потока" операторов интерполяции, основанных на компактных разностях;

• обобщение предложенных схем на случай многомерных законов сохранения, основанное на аппроксимации интегральных соотношений на ячейках криволинейной расчетной сетки;

• применение разработанных аппроксимаций для дискретизации уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости в естественных переменных с использованием неразнесенных расчетных сеток;

• разработка методики решения дискретных систем, возникающих при использовании полностью неявных методов интегрирования по времени;

• получение численных оценок скорости сходимости дискретных аппроксимации к точному или "наиболее точному" решению на последовательности расчетных сеток на примере ряда классических задач с использованием как декартовых, так и криволинейных неортогональных сеток;

• применение разработанной методики для численного моделирования пространственного нестационарного течения силикона в экспериментальной модели химического реактора с активным элементом смешения (импеллер с четырьмя наклонными лопастями) и с четырьмя перегородками при помощи подвижных(скользящих) блочно-структурированных расчетных сеток.

Методы исследования. В работе использованы методы вычислительной математики, дискретного Фурье-анализа и вычислительной линейной алгебры.

Научная новизна. В работе предложен новый класс компактных разностных схем высокого порядка аппроксимации для систем законов сохранения, вывод которых основан на принципе интегральных соотношений. Показано, что при аппроксимации линейных уравнении переноса подобные схемы обладают очень хорошими свойствами спектрального разрешения, т.е. очень малыми фазовыми ошибками и схемной диссипацией, которая мала для физически значимых сеточных гармоник, но эффективно подавляет схемные осцилляции.

Более того, установлено как общее свойство ориентированных компактных схем то, что само введение "ориентации против потока", т.е. схемной диссипации, позволяет резко уменьшить фазовые ошибки компактных схем, что объясняется тем, что компактные схемы являются по существу рациональными операторными аппроксимациями.

В работе удалось обобщить предложенный класс схем на многомерный

случай как аппроксимацию интегральной записи систем законов сохранения по ячейке криволинейной расчетной сетки. Подобный подход позволил добиться как дискретной консервативности, так и геометрической консервативности (когда равномерное течение является точным решением дискретной системы) при ошибке аппроксимации 0(h4). При этом схемная диссипация имеет порядок 0(h5).

Для аппроксимации уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости использованы неразнесенные расчетные сетки, при этом для того чтобы избежать возможных осцилляции давления использовались стабилизирующие члены, имеющие порядок 0(h5), которые естественным образом возникают при использовании расщепления потоков.

Разработана надежная методика решения дискретных систем, возникающих при использовании полностью неявных схем интегрирования по времени, основанная на эффективных итерационных алгоритмах вариационного типа с неполной блочной треугольной факторизацией в качестве переобуславливателя.

Проведен ряд методических расчетов с измельчением сеток на примере таких классических задач как течение в каверне с движущейся крышкой и течение Куэтта, в которых было показано, что предложенные схемы обеспечивают численную сходимость 4-го порядка к точному или " наиболее точному" решению при использовании как декартовых, так и криволинейных неортогональных сеток.

Разработанная методика была успешно применена для численного моделирования пространственного нестационарного ламинарного течения жидкости (силикона) в экспериментальной модели химического реактора с активным элементом смешения (импеллер с четырьмя наклонными лопастями) и с четырьмя перегородками при помощи подвижных(скользящнх) блочно-структурированных расчетных сеток. Сравнение с экспериментом подтвердило высокую точность расчетов даже па очень грубых расчетных сетках.

Практическая ценность работы.

Разработанная методика реализована в внде достаточно универсального комплекса программ, позволяющего проводить эффективное и надежное численное моделирование плоских и пространственных течений несжимаемой жидкости в широком диапазоне чисел Рейнольдса в областях сложной формы с использованием блочно-структурированных сеток, в том числе "скользящих" сеток для адекватного представления подвижных границ. Это позволяет решать многие практически важные задачи вычислительной гидродинамики, в частности задачи, связанные с моделированием активного смешения в химических реакторах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

International Workshop on Solution Techniques for Large-Scale CFD problems Montreal, Quebec, Canada, 1994;

International Conference on Parallel Computational Fluid Dynamics, Pasadena, USA, 1995;

5th International Conference on Grid Generation in Computational Field Simulations, Starkville, USA, 1996;

International Symposium on Finite Volumes for Complex Applications, Rouen, France, 1996;

семинар "Методы решения задач математической физики" в Вычислительном центре РАН;

семинар " Численные методы в задачах тепло- и массообмена" в Институте прикладной механики РАН.

По теме диссертации опубликовано шесть работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложений, списка использованной литературы из 45 наименований, 18 таблиц и 38 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко излагается содержание диссертации и новизна полученных результатов; дается обоснование актуальности темы работы.

В §1 главы I рассматриваются различные способы вывода компактных схем высокого порядка и приводятся различные компактные схемы, как центрированные, так и нецентрированные, предложенные разными авторами.

В §2 главы I описывается техника построения компактных схем на основе принципа интегрального баланса. Для одномерного скалярного закона сохранения

S + E™" «

рассматривается следующее точное интегральное следствие

£ J udx + FHi~F3_,= 0 (2)

ж--à.

X] 2

Здесь хj = h(j — 1) есть узлы равномерной сетки и FJ+ к = F(u(xj-(-£)). Интеграл, входящий в равенство (2), аппроксимируется при помощи кусочно-квадратичной интерполяции для функции и(х) с узлами интерполяции в точках хj

i j u(x)dx = +0(/i4), (3)

x3 2

где

Buj =uj + ^Oj+i - 2 ц, + «j_i)ii (5F)3 = ~(FJ+1 - FJ+1),

а для вычисления значений используется оператор интерполяции

^4(3), основанный на компактных разностях, поточечная запись которого выглядит как

Ь-.^+бо/^+Ь,^ = <3-2 + + «1^ + 1 + 02-^ + 2, (4)

19 7 I 52

Ь±1 = МТ880' Ьо = М' 31 7 329 35

042 = -- Т -9-. 0± 1 = - 5-.

720 320 720 320

Оказывается, что при таком выборе коэффициентов в формуле (4) справедливы следующие соотношения

/|4(в) = I + 0{Н4) и В~16 = ~ + 0(/г4),

однако для произведения этих операторов справедлив более сильный результат

,5с(з) = В~161ц{з) = ^ + 0(/г5), (5)

а оператор

-В-^ЫЬ)- 114(-з))=--—И5-^- +С(/г7)

2 ' р^ ;; 57600 дхь х '

имеет смысл схемной диссипации.

Оператор данного вида обладает замечательным свойством, а

именно при я = воР( = —[^Р- выполнено

|(<Ч*°рО + = ~ + о(/18),

что проверяется непосредственным вычислением.

С помощью описанных выше нецентрнрованных операторов интерполяции можно сконструировать схемы с положительной диссипацией, используя технику расщепления потоков.

Пусть задано какое-либо расщепление для т.е.

— - —+ + — ~ где —4 > 0 —~ < О ди ди ди ' ди ~ ' ди ~

В подобных обозначениях формулу для вычисления потоков можно записать как

1 9Г+ ЭР~

где Рс 1 есть центрированная компонента потока. Здесь Я - какой-либо J-r 2

оператор простого вида, контролирующий норму диссипативного члена, в

простей тем случае просто положительная константа. Подобное расщепление потоков напоминает классическую схему Куранта, Изаксона, Риса, если выполнено

_ Ш ЭР ди 2 ди ди возможны и другие схемы расщепления потоков, например, основанные на схеме Мурмана.

Два различных подхода могут использованы для вычисления Рс,

■?+ 2

Первый подход основан на интерполяции потоков, т.е.

Р^Х = (Зорь) + /л(-зорг))Р(и^). (7)

Второй подход основан на интерполяции вектора состояний, т.е.

^+1=^(^+1). «л-1 = + (8)

Очевидно, что ннтерполящгя вектора состояния приводит к схеме, имеющей ошибку аппроксимации 0(Н4). Но эта менее точная схема требует меньше арифметических операции в многомерном случае и более удобна для аппроксимации уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости. К тому же в реальных задачах уже точность О (И*) крайне трудно достижима. Подход, основанный на интерполяции потоков потенциально более точен, более того, беря в качестве оператора —Я вторую разность, т.е.

1 = сопзЬ • + - и]+1)

мы получаем схему, имеющую порядок аппроксимащш 0(/<7), но ее непосредственное обобщение на многомерный случай с сохранением порядка затруднительно.

В §3 главы I исследуются спектральные свойства компактных схем на примере полу-дискретного (с точной производной по времени) представления линейного уравнения переноса

ди ди ди _

дЬ дх от

Здесь И и есть какая-либо аппроксимация , в частности основанная на представленных схемах.

Рассматривая плоскую волну е,и,(к)1~,кх^ [ = в качестве точного решения этого уравнения, мы получаем дисперсионное соотношение вида и> = с(к)к -(- гс1(к), где с(к) есть дискретная фазовая скорость, а <1{к) есть схемная диссипация, в то время как точное дисперсионное соотношение имеет вид и> = к.

приведенное волновое число

Рис. 1. Фазовые скорости [1-4] « схемная диссипация[1-1\'']

[1, I] - предлагаемая схема

[2, II] - оптимизированная схема А.И. Толстых, |s| =

[3, III] - схема QUICK;

[4, IV] - схема "уголок" первого порядка.

На рисунке 1 показаны спектральные характеристики с(к) и d(k) для предложенной схемы как функции приведенного волнового числа, для сравнения также приведены схема QUICK третьего порядка аппроксимации, схема "уголок" первого порядка н компактная схема А.И.Толстых третьего порядка, оптимизированная в смысле минимизации фазовых ошибок, которая записывается следующим образом

i1 j 1 \ ' 2 ' .Л 1 \ '

(g + + 3UJ-i + (g - =

i(-(l +s)uj_i + 2sUj +(1 -s)uHl), |s| =

Очень хорошие спектральные свойства предложенной схемы иллюстрированы на рисунке 1, но следует также отметить малые фазовые ошибки для оптимизированной схемы А.И.Толстых. Это связано с тем,

Graphics support by Р[(Л^Х

что при подобном выборе оптимального параметра центрированная составляющая дискретного оператора этой схемы имеет порядок аппроксимации 0(Ле) , т.е. происходит такое же повышение порядка, как и для предлагаемой схемы.

В главе II рассматривается обобщение предложенных схем на многомерный случай. Предметом §1 главы II является формулировка уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости как системы законов сохранения в подвижной криволинейной системе координат.

Рассмотрим трехмерную систему законов сохранения вида

«=1

где г = (^1, Х2, хз) представляет собой точку в 7£3 в декартовой системе координат, С^ - вектор зависимых переменных, - конвективные потоки и ¥1 - вязкие потоки. Явный вид потоков зависит от физики задачи и ниже будет выписан для уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости. Матрица /' является единичной для уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа, а в несжимаемом случае это также единичная матрица, но с одной нулевой строкой.

Интегральная формулировка системы (9) выглядит следующим образом

з

у" сг^-ь у = (ю)

V 9У ,= 1

где с/в = (с?31, с/яг, с?азявляется векторным дифференциалом поверхности.

В качестве уравнения, описывающего геометрическую информацию, необходимую для дискретизации (10), используется следующее

j сj г x (¡г. (11)

9з

Оба интегральных уравнения можно переформулировать в криволинейной системе координат г = г(у1, уг, уз), используя хорошо известные формулы для дифференциалов

3

= у, = соПз1-8.'^У^ук, йУ - у/д йух ¿У2 ¿Уз 1=1

= ё' = &з х =

Для уравнении Навье-Стокса несжимаемой жидкости в неподвижной системе координат вектор зависимых переменных и приведенные кон-

траварнантные компоненты конвективных потоков Рё, определяемые равенством

з *=1

записываются следующим образом

, К =

1 о о о \

0 10 0

0 0 10

0 0 0 0 /

где пир- это вектор скорости и давление, а V' = g' ■ и есть приведенные контравариантные компоненты скорости.

Для полноты приведем формулы для вычисления вязких потоков. Пусть Ьн обозначает производную вектора скорости по декартовой координате Хк, тогда

ди 1 /. !, ди 2 Зи . , Зч <Эи \

44 = дГь = ^ ((8 + + к = 1>3-

Это равенство есть не что иное как обычное правило цепочки.

В подобных обозначениях контравариантные компоненты вязких потоков записываются следующим образом

3 / (в'М^Ь + ^Ь) \ *=1 \ 0 /

где V есть кинематическая вязкость.

В §2 главы II выписываются консервативные компактные схемы в трехмерном случае. Дискретизация, являющаяся обобщением одномерной схемы (2), (3), (4) ,(6) может быть получена, если брать интеграл (10) по ячейке структурированной сетки и 1штеграл (11) по соответствующей грани этой ячейки и использовать квадратичную, би-квадратичную и три-квадратнчиую интерполяцию для вычисления интегралов по ребрам, граням и объему ячейки сетки, соответственно.

Уз

ез

/ /

0 ■ Гз, 8з О в1,®*1, К • и,р, уд е2.

ДГ!^! „ „О /

VI

Рис. 2. Расположение неизвестных у потоков на логической расчетной

ячейке

Рисунок 2 иллюстрирует расположение неизвестных и потоков в расчетной ячейке. Вектор зависимых переменных С} и якобиан ^/д определены в логических центрах ячеек сетки, и значения конвективных потоков в узлах квадратур поверхностных интегралов (логические центры граней ячеек) вычисляются по вектор у состояний при помощи локально-одномерных операторов интерполяции вида (4) из центров ячеек в центры граней ячеек в комбинации с каким-либо вариантом расщепления потоков. Вязкие потоки аппроксимируются при помощи компактных разностных схем четвертого порядка.

Параграф 3 главы II посвящен постановке дискретных граничных условий для описанных выше компактных разностных аппроксимаций, в то время как в §4 главы II рассматривается условие геометрической консервативности, которое в случае недеформируемых сеток имеет вид

У ¿в = О,

я

где 5 есть произвольная замкнутая поверхность. Если дискретный аналог этого условия имеет место, то постоянное течение является точным решением дискретной системы. Предлагаемая аппроксимация обладает этим свойством, поскольку для вычисления приведенных контравариант-ных векторов базиса g, (т.е. приведенных нормалей к граням ячеек) ре-

шается уравнение (11), аппроксимация которого согласована с аппроксимацией уравнений Навье-Стокса.

Аппроксимация условия несжимаемости рассматривается в §5 главы II, где показано, что в предложенном подходе не возникает несовместных алгебраических систем уравнений в силу того, что закон сохранения массы выполняется на дискретном уровне. Кроме того, используемая техника расщепления потоков препятствует появлению осцилляций поля давления н случае неразнесенных расчетных сеток.

И, наконец, в §6 главы II рассматривается структура дискретных систем, возникающих при использовании полностью неявных методов интегрирования по времени, либо при решении стационарных задач. При этом для решения нелинейных систем используется метод Ньютона и его модификации. Поскольку компактные схемы нелокальны, то матрицы возникающих линейных систем оказываются либо плотными, либо достаточно сильно заполненными. Однако ненулевые элементы в них велики лишь внутри определенной структуры разреженности и экспоненциально убывают вне ее, что позволяет эффективно приближать плотные матрицы разреженными. Поэтому для решения линейных систем использовался надежный итерационный метод, основанный на глобальной минимизации невязки (С^ШЕБ), с переобуславливанием, основанным на неполной блочной треугольной факторизации разреженных матриц, а точная матрица системы не формировалась, использовались лишь матрично-векторные умножения, сводящиеся к вычислению компактных разностей.

Глава III посвящена численным экспериментам, основной целью которых было показать, что предложенная техника действительно позволяет получать численные решения с четвертым порядком сходимости, в том числе на криволинейных неортогональных сетках, а также то, что этот подход позволяет решать пространственные задачи в областях сложной формы.

В §1 Главы III рассматривается классическая задача о стационарном плоском течении в квадратной каверне с движущейся крыщкой. Эта задача решалась для чисел Рейнольдса 100, 400, 1000 и 5000 на последовательности расчетных сеток 22 X 22, 64 х 64 и 190 х 190 со сгущением к границам области.

Рис. 3. Течение в каверне. Линии тока для режима Re = 5000.

На рисунке 3 показаны линии тока для варианта Re = 5000. В этой серии экспериментов была продемонстрирована сходимость по сетке четвертого порядка.

В §2 Главы III приводятся результаты расчетов для пространственного течения в кубической каверне с движущейся крышкой для чисел Рейнольдса 100, 400, 1000, а в §3 Главы III рассмотрена задача Куэтта о плоском течении между соосными цилиндрами. Эта задача решалась на сетках 8x8, 16 х 16, 32 X 32 и 64 х 64 с использованием полярной и скрученной полярной систем координат, для того чтобы оценить точность аппроксимации в неортогоналыюй системе координат, в частности вблизи твердых стенок. В этой задаче также была продемонстрирована сходимость по сетке четвертого порядка.

Предметом §4 Главы III является задача о ламинарном течении силикона в модели химического реактора смешения, представляющего собой цилиндр квадратного сечения, внутри которого расположены четыре перегородки. Течение в нем индуцируется в результате вращения пмпеллера с четырьмя плоскими наклонными лопатками (см. рисунок 4). В первом приближении эта задача решалась в стационарной постановке, при этом вместо точного моделирования течения около импеллера, на поверхности некоторого диска, окружающего импеллер, ставились усредненные граничные условия, полученные из эксперимента. Задача решалась в одной четверти цилиндра, с использованием граничных условий квазипериодичности по угловой переменной. В такой постановке число Рейнольдса в этой задаче кг 261.

Использовалось несколько расчетных сеток, самыми подробными из которых были 41x41x31 и 31x61x31. Для такой величины числа Рейнольдса использование метода Ньютона оказалось очень эффективным, была достигнута суперлинейная сходимость и машинная точность достигалась за 8-9 нелинейных итераций.

Рис. 4. Геометрическая конфигурация задачи о течении в модели химического реактора и пример расчетной сетки.

В §5 Главы III описывается решение этой же задачи в полной постановке, без использования экспериментальных данных. Для точного моделирования геометрии использовались два блока сетки, внутренний, вращающийся вместе с импеллером, и внешний, неподвижный. Хотя полностью неявный подход позволяет использовать методы интегрирования по времени высокого порядка, в данной задаче, в которой решение по времени меняется довольно медленно, использовался метод Кранка-Никольсона второго порядка аппроксимации.

Расчеты показали, что высокая точность и хорошее совпадение с экспериментом в этой задаче достигается уже на сетке, имеющей 20 х 20 х 20 узлов. На рисунке 5 показаны поля скорости, полученные из эксперимента (А), поля скорости, полученные в результате стационарного моделирования (Б) и мгновенные поля скорости на криволинейной коордшгатной поверхности сразу за импеллером (В), в тот момент когда лопатка импеллера расположена напротив перегородки. Видимые различия между экспе-

риментом и расчетом вблизи оси связаны с тем, что угловые координаты точек криволинейной поверхности (В) переменны, т.е. различия являются чисто визуальными эффектами. Б А

В

реактора

Проведенный расчет демонстрирует эффект "вязкого запирания", когда из-за большой вязкости осевой импеллер с наклонными лопатками работает в режиме радиальной турбины, т.е. создает эффект центробежного растекания.

В Приложении 1 выписаны формулы аппроксимации интегралов по ребрам, граням и объему ячеек сетки, которые нужны для того, чтобы избежать несовместности алгебраической системы уравнений. В Приложении 2 приведены различные способы реализации расщепления потоков в случае несжимаемой жидкости, а Приложение 3 содержит таблицы для §1,3 Главы III.

В конце диссертации приведены выводы, которые заключаются в следующем:

• Предложен новый класс компактных разностных схем высокого порядка аппроксимации для систем законов сохранения, вывод которых основан на принципе интегрального баланса. Показано, что при аппроксимации линейных уравнений переноса подобные схемы обладают очень хорошими свойствами спектрального разрешения, т.е. очень малыми фазовыми ошибками и схемной диссипацией, которая мала для физически значимых сеточных гармоник, но эффективно подавляет схемные осцилляции.

• Установлено, как общее свойство ориентированных компактных схем то, что само введение "ориентащш против потока", т.е. схемной диссипации позволяет резко уменьшить фазовые ошибки компактных схем.

• Предложенный класс схем обобщен на многомерный случай как аппроксимация интегральной записи систем законов сохранения по ячейке криво-

линейной расчетной сетки. Подобный подход позволяет добиться как дискретной консервативности, так и геометрической консервативности (когда равномерное течение является точным решением дискретной системы) при ошибке аппроксимации 0(/i4). При этом схемная диссипация имеет порядок 0(h5).

• Для аппроксимации уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости использованы неразнесенные расчетные сетки, при этом, для того чтобы избежать возможных осцилляции давления, использовались стабилизирующие члены, имеющие порядок 0(h5), которые естественным образом возникают при использовании расщепления потоков.

• Разработана надежная методика решения дискретных систем, возникающих прп использовании полностью неявных схем интегрирования по времени, основанная на эффективных итерационных алгоритмах вариационного типа с неполной блочной треугольной факторизацией в качестве переобуславливателя.

• Проведен ряд численных экспериментов с измельчением сеток на примере таких классических задач, как течение в каверне с движущейся крышкой и течение Куэтга, показано, что предложенные схемы обеспечивают численную сходимость 4-го порядка к точному пли " наиболее точному" решению при использовании как декартовых, так и криволинейных неортогональных сеток.

• Разработанная методика была успешно применена для численного моделирования пространственного нестационарного ламинарного течения жидкости (силикона) в экспериментальной модели химического реактора с активным элементом смешения (импеллер с четырьмя наклонными лопастями) и с четырьмя перегородками с использованием подвиж-ных(скользящих) блочно-структурированных расчетных сеток. Сравнение с экспериментом подтвердило высокую точность расчетов даже на очень грубых расчетных сетках.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. В, А. Гаранжа, А.И.Толстых. О численном моделировании нестационарных отрывных течений несжимаемой жидкости на основе компактных аппроксимаций пятого порядка.// Доклады Академии Наук СССР, 1990, том 312, №2, С. 311-314.

2. V.A.Garanzha, P.A.Kolesnikov, I.N.Konshin, V.N.Konshin A.A. Nikishin, E.E. Tyrtyshnikov and A.Yu.Yeremin, Iterative solvers for coupled 3D incompressible flow problems, on vector-parallel computers and MPPs.// In: Solution Techniques for Large-Scale CFD problems, Series "Computational methods in applied sciences" Ed. W.G.Habashi, John Wiley & Sons, Chichester,1995, pp.83-89.

3. V.A.Garanzha, I.Ibragimov, I.N.Konshin, V.N.Konshin and A.Yu.Yeremin, High order Padé-type approximation methods for incompressible 3D CFD problems on massively parallel computers.// in:

Parallel Computational Fluid Dynamics: Implementations and Results Using Parallel Computers, Elsevier Science B.V. 1995, pp. 199-205.

4. V.A.Garanzha, Nonmatching grid technique for highly accurate control volume Padé-type differences.// in: Proceedings of 5th International Conference on Grid Generation in Computational Field Simulations, Starkville, USA, 1996, pp.647-656;

5. V.A.Garanzha, V.N.Konshin, Non-centered Padé-type differences for the systems of the conservation laws. Application to the incompressible fluid flows.// Preprint Computing Center RAS, 1996, 80pp.

6. V.A.Garanzha, Control volume technique based on the non-centered Padé-type Differences.// in: Finite Volumes for Complex Applications, Edition Hermès, Paris, 1996, pp.201-208.