Конечно-разностные методы решения задач внутренней гидродинамики вязкой жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ПАНИЧКИН Алексей Васильевич

К0НЕЧН0-РА2К0СТКЫШ К2ТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВНУТРЕННЕЙ ГВДРОДЙШ5Ш ВЯЗКОЙ ВДКОСТИ

01.01.07 - ткислнтельная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фпико-катематичвегсих наук

КАЗАНЬ - 1992

Работа выполнена в Окском комплексно« отделе Вычислительного центра Сибирского отделения АН СССР ( Институт информа- ■ ционных технологий и прикладной математики СО РАН ).

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Защита состоится ■ 1992 г. в час. на заседании

специализированного Совета по математике К 053.29.05 в Казанском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете шени В.¡¡.Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г.1Сазань, ул.Ленина, 18, корпус 2, ауд.217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета (г.Казань, ул.Ленина, 16).

Автореферат разослан СИ> 1992 г.

доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Игнатьев

доктор физико-математических наук, профессор Карчевский, кандидат физико-математических н^ук В.С.Йелтухин

Институт теоретической и прикладной механики СО РАН

Ученый секретарь специализированного Совета, доцент

Б.Н.Шапуков

I. Сбцая характеристика работы.

Актуальность. 3 настоящее время применяется дироко на практике г^оделировакиа течений жидкости и газа с помощью ЭВ'«. Основной математической моделью в приближении к сплошной среде является система уравнений Навье-Стокса. Создание элективных алгоритмов для члсленного ¿моделирования течений нестираемой вязкой жидкости и дозвуковых течений вязкого газа б различных техн;, оскпх устройствах по уравнениям Навье-Стокса при широком изменении параметров является актуальной научной задачей. Ввиду сложности определения решения 'уравнений ¡¡авъе-Стокса в системе с другими уравнениями переноса ( теплопроводности или уравнением сохранения энергии, уравнениями переноса концентраций ) моделирование по ним с псмоцьта численных методов, в частности - конечно-разностных, которые наряду с существующими другими подходами продолжает развиваться.

Основные подходи к интегрировании уравнений Навье-Стокса связаны с построением методики расчета давления, ьсть методы для несжимаемой жидкости без расчета давления, когда функция давления исключается,введением функция тока, что устраняет проблемы, связанные с расчетом давления, но приводит к другим проблемам, связанным с построение™ граничных условий для функции вихря.

моделирование турбулентных течений жидкости и газа проводится, в основном, также'на основе уравнений Навьв-Стокса с приведением их к осредненнш уравнениям Рейнольдса и замыканием по полуэмпири-ческик теориям, которые многочисленны и пригодны для конкретных течений. Наиболее перспективным здесь выглядит прямое моделирова- • ние турбулентных течений по уравнениям Навье-Стокса, но для этого, требуется создание Сидее «осцных ЗВл с большей производительности) Екчиолегай и большей памятью, чем которые а настоящее время действуют. '

К одному из классов внутренних задач течения жидкости и газа могско отнести моделирование вязких течений во вращающихся системах отчета с наличием сил Кориолиса. В таких течениях сила Кориолиса приравнивается вне'лней силе, и они .шевт сложнуо структуру даже для простых, случаев с прямолинейными границами. <

При моделировании дозвуковых течений ( число Маха /4 < 1 ) с уменьшением числа Маха до 0 конечно-разностные схемы существенно теряют устойчивость. Для повышения устойчивости здесь мозио исполь-' зовать сглатсиванне осцилляции без снижения порядка аппроксимации,

а такте вводить искусственную диффузии е областях с большими градиентами для обеспечения дополнительного сглаживания численного решения. •

Наиболее сложным в моделировании течений газа является расчет неравновесных течений на основе уравнений «авье-Стокса с уравнениями диффузии на массовые концентрации компонент реагирующих веществ. Больаое практическое значение имеет в настоящее время моделирование течений реагирующего газа в камерах сгорания газотурбинных двигателей.

Актуальной проблемой в числйшых расчетах уравнений Навье-Стокса остается построение, разработка новых численных подходов, которые «.ногскратнс сниг 'ли бы требуемые затраты моделирования на ЭВ..;. В настоящее время ее рассмотрение представляет как научный тгк и практический интерес. * •

Цель работы. -

1. Разработка конечно-разностного метода решения многомерных уразнениГ. Навье-Стокса, экономичного при больших числах РеГ:-' нольдса.

2. Разработка элективного метода расчета турбулентных течений на основе полуэмпирических теорий.

3. "Создание экономичного конечно-разностного метода расчета дозвуковых течений теплопроводного газа в областях сложной формьи

4. Исследование с лойощьщ разработанных алгоритмов течений газовых сйесей в модельной кольцевой камере сгорания как в речимз холодной продувки, так и с фронтом горения.

Методика исследования. При исследовании задач и численных истодов их решения использовались.метод первого дифференциального приближения, построение конечно-разностных схем с введением интерполяций, итерационные методы решения сеточных уравнений, методы расщепления.

Научная новизна. При' расчете нестираемой вязкой яидкости и теплопровод! то газа применена конечно-разнсстная реализация

гр-чничных условии с повышенным порядков. nnnpo:;c:ií..nunii при введении дополнительных приграничных узлов и использовании интерполяций необходимого порядка. Для расчета многомерных течение, были использованы экономичные численные алгоритмы п переменных скорость-давление на основе монотонной схемы с экспоненциальной регуляризацией и компактно!", аппроксимации четвертого порядка по Пространственным координатам.

При численном моделировании турболентных течений по урагнез-ниям РеРнольдоа с'задыханием по полуэкпирпчсским теориям предложен метод с модификацией. универсального закона распределения скорости в пристеночных зонах с расчетов нсп^ятгеннГ: на стенках. Использование в алгоритме для расчета дозвуковых течений тепло-п^огодного вязкого газа схемы расщепления по Эпическим процесса«, консервативной схемы для уравнения неразрывности и перерасчет дарления без снижения порядка аппроксимации привели к значительному повышенно эффективности алгоритма при малых • числах йаха.

Практическая ценность. Построенные алгоритмы для расчета турбулентных течений и дозвуковюстечений вязкого теплопроводного газа могут быть применены при моделировании физико-химических процессов в камерах сгорания кольцевого типа, а таете для расчетов течения в каналах со сложной геометрией.

Апробация работы.. Результаты диссертационной работы доклады* вались и обсуждалась на i'i¡l,IX Всесоюзных школах по моделям механики сплошной среды ( Омск, 1235; Якутск, 1987), на ai яколе молодых ученых по моделированию динамики атмосферы и океана ( Новосибирск, 1Э35), на /СП конференции молодых ученых и специалист тов " Математическое моделирование задач газодинамики и пути повышения эффективности энергетических установок "(Новосибирск, IC36), на Всесоюзном секинаре молодых ученых " Современные проблемы механики жидкости и газа " ( Грозный, IÍ6G ), на У Всесоюзной конференции " Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики " ( Новосибирск, IG37 ), на Xi, Х1У научных конференциях молодых ученых и специалистов .«£Tíf ( 193d, I960 ), на XI Всесоюзной школе по численным методам механики .вязкой жидкости ( Свердловск, Ivoo

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация' состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Изложена на 187 страницах, включающих 140 страниц машинописного текста, 5 таблиц, 81 рисунок и список литературы из 175 наименований.

П, Краткое содержание работы.

Во введении дан обзор работ, п*ииыка»щих к тематике диссертации, и даны основные результаты)работы.

Глава I. посвящена краткому выводу дифференциальных уравнений вязкого реагирующего газа на основе известных теорий. В ? 2 приводятся коэффициенты для основных уравнений из молекулярно-кинетической теории газов. Это коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии для компонент газовой смеси с описанием приближенных выражений.

Глава П посвящена численным алгоритмам для расчета по уравнениям Кавье-Стокса течений, вязкой несжимаемой жидкости .и моделированию трехмерных течений во вращающихся каналах.

В 5 I на модельном уравнении иссследуются свойства разностной схемы о рассмотрением вопросов аппроксимации, устойчивости, равномерной сходимости относительно малого параметра при старшей производной. В § 2 рассмотрено повышение порядка аппроксимации уравнений на компактном шаблоне ( по три узла в каждом пространственном направлении ) по методу первого дифференциального приближения. Из основных уравнений выделены третьи и четвертке производные с заменой на смешанные производные для аппроксимации их на компонентных шаблонах со вторым порядком. Далее проводится построение уравнений для расчета давления и ряда алгоритмов для системы уравнений с повышением порядков аппроксимации по времени и пространственным координатам. В 5 5 предлагается алгоритм построения недостающих граничных'условий со вторым порядком аппроксимации и выше по пространственным координатам с помощью интерполяций. Там также рассмотрено несколько вариантов реализации численного алгоритма около границ. В основе модификации лежит общеизвестная идея замены уравнений с определением компоненты скорости по нормали к границе в приграничных узлах по уравнению неразрывности, в то время как уравнение на количество движения

используется для определения давления в граничных узлах. В ? 6 приведены результаты расчетов для трехмерных стационарных течений во вращающемся канале. Показано установление решения при разных числах Рейнольдса за од'инаковоз число итераций, за счет возможного увеличения па^етра -Г п'.и больших числах . Этому способствовало использование неявных разностных схем типа стабилизирующей поправки.

Глава 3. посвящена моделирования турубулентнкх течений в прямоугольных каналах. Для этого взяты осредненные уравнения Рейнольдса с замыканием по полуэмпирическим моделям, которые анализируются о { I. В ? 2'предложена модификация применения универсального закона распределения скорости с определением на твердых стенках касательных напряжений и с внесением по ним аналитических выражений для первых и вторых производных в приграничных узлах, что на крупной расчетной сетке ( 16 х 12 х 12 ) позволяет, достичь удовлетворительной точности в сравнении с экспериментом ( в пределах 5 % ). Конечно-разностный алгоритм в целом был взят из главы. П.

Для замыкания уравнений Рейнольдса бралась гипотеза Бусси-неска, по которой напряжения берутся в следующем виде:

Турбулентная вязкость расчитывалась по модели пути смешения Прандтля и К модели Джонса и Лаундера. Из универсального закона распределения скорости в развитом турбулентном слое выражались производные типа ЭЦ/зд^, , для касательных ком-чоиент Уе с хг по нормале к стенка).!:

Выражения ( 2 ) использовались в приграничных узлах во всех конечно-разностных схемах для уравнений Рейнольдса, для уравнений К и £ , кинетической энергии турбулентности и ее диссипации, а также в выражениях ( I ). Использование ( 2-") только а приграничных узлах следозало из следующего анализа. Если первый приграничный узел равномерной сетки находится в конце переходной.зоны, когда начинает быть справедлив универсальный закон распределения скорости _

г

4 -И • !

«уЧО , с*/ , 1,1,3.

■ (I)

(2)

то в нем порске и вторые производные с центральными трехточечными разностям" даот увеличение Ьт значений по ( £ ) в 3 и 4,7 раза, соответственно, в то время как в последующая узле эти отклонения составляет и 1С%. П;и увеличении равномерного шага по сетке ь два раза эти соотношения изменяются следующим образом: 3.4 и 5.4 ¿.азп для приграничного узла и \>% и 13% в следу.още.д; узле.

Динамическая скорость И*~ Ъп^еделклась длл каждого гуанич-ного узла по EL!tateH¡ io ( 3 ) с зауенон U¡ на ь.одуль двух касательных колонии: ci.0j.0ctu Ук , Upt, эток'. U* из С 3 ) определяете« однозначно для ¡yel>£f , где € =S/(feU"J - толщина вязкого подслоя, и с>1гк/2Ц* i?о п^и ц*^с.0Г/(Кеlxtl) • -кет бить получено по какому-либо итерационному Процессу, например, по методу п4 остоП итерации или методу Ььютона.

Численные результаты представлены в ? 3 для турбулентного трехмерного течения во врщвмщеася канале и в { 4 для течения без вращения. Проведено Сравнение с экспериментальными данными по профилю скоростей, касательным напряжения« и тронию на стенках .

Установление численного деления Проводилось до выполнения условия

из ЕЫраяенкя для сяимшгцего отображения S-<Jyfi-<i) коэффициент приближения к решению за I итерация составил для ламинарных течений oí = ОЛ'З при итерационном параметре f от С.04 при Re = ICO и до 0.2 при Re. = 1000 с числом шагов 1004-200. При моделировании турбулентных течений "параметр t = О.СЗ с числом лагов 500+IG00 для достижения ( 4 ).

Глава 1У посвящена построению численного алгоритма для расчета-дозвуковых течений вязкого теплопроводного газа по известной схеме расщеплении по физическим процессам ипЛрОстран-ственным координатам . В { I выписаны полные дифференциальные ураЕкения Ьарье-Стокса в цилиндрической системе координат с постановкой краевых условий в замкнутой области со входом и выходом для случая дозвуковых течений. В { 2 делается преобра-

зование координат с переводом с переводом сечения осескль'етрич-ной области со сло-iHoii фор«ой стенок к прямоугольному сечению:

, ПСх))/(Г%Сх) - içtxj). С5')

lia основе этого п^еобразовени. координат делается преобразование дифференциальных уравнений баз перевода компонент скорости к новь* координатам, .¡зрвые tf вторые пр'оиз водные по пространственным координатам заменялись по следующим формулам:

в] I+ Ъ > Ь ^ЩЩ > • si - ,

Ы1 Ç'fy 0?1

где все используемые функции преобразования одномерными и выражаются через координаты верхней и нижней границы области Г,({) и l^fy следующим образом:

Производные в (7) аппроксимировались со вторы« порядком, центральными разностями по расчетной сетке, и таким образом биле произведено сглаживание кусочнолинейных границ при переходе к прямоугольной расчетной области по-преобразовании (5).

В 3-4 производится обезразмеривание исходных уравнений и построение конечно- разностного алгоритма с локально-точной аппроксимацией по пространственным направлениям. Для итерационного алгоритма за основу бралась схема расщепления по пространственным координатам и физичёским Процессам.

13 f о предлагается оператор для устранения осцилля- ' ций давления от иеоязок численного решения на каждом итерационном jare ч с действием как на с ей., с давление fi?", так и на

П"1 я" \ ... - ' V

его прираг;сн;;е Щ -Щ ). юкох оператор не нарушает порядок

аппроксимации по пространственны;.! координатам вплоть до четвертого, 'Гак, сел у. в двумерной области подействовать на flej по двум направлениям операторами и , то получится следующее приближение:

°<£Л>> (8)

где + W + , .

- аналогичен по второму пространственному направления. Там же приводится описание оператора со вторым порядком алпро-" ксинации и другие способы применения рассмотренных операторов без понижения порядка аппроксимации разностных уравнений в целом.

В { £ Производится повышение порядка аппроксимации уравнения неразрывности до четвертого в консервативной форме в общем виде с преобразованием координат (5). Для этого используется первое дифференциальное Преобразование с переходом к компактному шаблону ( по три узла в каждом пространственном направлении ). , .

Е § 7 приводятся результаты численных расчетов по простроенному конечно-разностному алгоритму для течения изотермического газа в ..ас^рялцихся кольцевых каналах при различных числах Рейнсльдса и г-алых значениях числа ¿laxa (М ■ С.COI ).

Предварительные расчеты течения Пуазейля при числе М =С.001 и числе Re = 1С показали, что расчет граничных условий для давления по разработанной методике ( на основе уравнений сохра Кения количества движения ) повышает устойчивость по параметру времени f в 1С3 раз, чем использование традиционных подходов на сспозе уравньнкя неразрывности.

Проведенные расчеты на сетках 21x11, 41x21, 81x41 показывают сходимость численных решений с уменьшением шага и удовлетворительное согласование с экспериментами по структуре вихрей б застойных областях. При этом сходимость получена в виде*~o(h).

Ртаьг У посвядгна моделированию дозвуковых течений газа в

кольцевых каналах сложно?, формы ( приближенной к камере сгорания i ТД ) с боковым вдувоы. Б С I исследуются численные решения по ¿аз личным конечно-разностным схемам для одномерного протекания газа через тепловоК фронт с прогреванием газа в 10 раз. Расчет модельнск задачи с тегшоЕьм фронтом показал непригодность ряда схем и бкдьлил наиболее подходящие. При этом для существенно дозвукового течения можно обойтись без метода ма-ситабиро^знил скш/аемости. Проверка сходимости с точность» 10% к окончательно устанавливающемуся_ ¿.ехашио показала, что при ¿1 = 0.03 для метода масштабирования сжимаемости требуется 10^ итераций, в то з^амк как по разработанным потребовалось меньше 10^. Расчеты при М = 0.1, 0.01 и 0.001 выделили метод, по которому установление Проводилось за одинаковое число итераций Í 500 ) за счет больших значений , чем по другим (рис.1). В этом методе для перерасчета давления применялись операторы в виде (Ь), дающих аппроксимацию c(h%)= б(А*) при соблюдении зависимости = , характерной для уравнений переноса, а также для уравнения неразрывности использовалась консервативная схема и для системы уравнений - схема расцепления по физическим процессам. В { 2 представлены результаты расчета течений газа в кольцевом канале с нагретыми стенками в режиме холодной продувки.,С увеличением температуры стенок на выходе из канала получено немонотонное поведение профиля температуры с последующим переходом к нестационарному точению в канале со стационарными граничными условиями. В ? 3 приведены расчеты с реагированием трехкоыпонентной газовой смеси и стабилизацией фронта горения.

Выделим основные результаты диссертации:

1. Для уравнений Навье-Стокса в случае несжимаемой жидкости рассмотрено построение экономичных конечно-разностных алгоритмов для расчета трехмерных течений в переменных скорость-давление

с использованием локально- точной аппроксимации и компактной аппроксимации четвертого порядка по пространственными координатам .

2. Для расчета давления по уравнению Пуассона разработан алго-

ритм nocTpoei./.я в конечно-разностно«- ркде недосухои'/г-: граничных условий для давления со вторга порядков авпро^&йл&цаи и вида.

'2. Предложена .-лодкфичация п.-кмзнслия универсального гахона распредаленля скорости в кокеч«:о-разкоо.-гиол-. алгоритме дчя и,о-делн4.-овйния турбулентных течониГ. пс ураъьснля.« ?егнольдса с замкканлем по полуэжпкркчесж;.! теориям

4. Для расчета дозвуковых течений по уравнениям ^авье-Стокса в случае снимаемого теплопроводного газа с уравнение« идеального состояния разработали эффективные алгоритмы с дозвуковой реализацией граничных условий. В основ« алгоритме - расчет давления на границе по аналогли с неехшшедой жидкостью, схема с экспоненциалной аппроксимацией, экономичная итерационная схема расщепления по физическим процессам и пространственны»» координатам, консервативность схеыы для уравнения неразрывности и операторы регуляризации для пересчета давления без понижения порядка аппроксимации.

1С. Публикации по теме диссертации

1. Игнатьев Б.Н., Паничкин А.Е. Динамика ламинарного потока вязкой жидкости во вращающемся прямоугольном канале//Чнс-лсшше методы кеханики сплошной среды,- Новосибирск, 1984.-ТЛ5.-:? 6.-С. 74-93.

2. Паничкин A.B. Численное решзкис уравнений Ьапьс-Стокса для течений вязкой «идко.сти во вращатацемсл канале с уточнении расчета граничных условий на давление. - Новосибирск, 1986. -23 с.-;Препринт/ Ал СССЛ Скб. отд-низ. Вычислительный

. центр; к 630-86).

3. Игнатьев B.tl., Паничкин A.B. .Моделирование турбулентного течения во вращающемся какале//Совг.еченнке проблемы механики жидкости и газа. Тез. докл. Всесогаэн. совец.-семинара.-Грозный, 1986. -С.190. .

4. Игнатьев В.П., Паничкин A.B. Численное моделирование турбулентного течения во в^ащающеис.ч какале//йоделлроЕан'(е в механике. -Новосибирск, 1987.-Т Л С18).-!? Ь.-С.47-60.

5. Игнатьев В.И., Паничкин A.B. Численное моделирование дозвуковых течений в кольцевых камерах сгорания ГТД на оокоье полтас уравнений Кавье-Стокса// Актуальные проблеск вы-«.сл.

v. ¡v-5кл. математики. Тез. докл. Всесоюзн. кон*. - Новосибирск. , 1987. - C.SD-S0.

6. Игнатьев В.Л., Паничккн A.B., Пермяков М.А. Определение (ункциГ. преобразования по од;:ой координате при отображении области сложной осесимметричной формы в прямоугольную и построение расчетной сетки для численного моделирования осеси^матиичных течений газовой смеси. - Новосибирск, 1957.

- 69 с. -'Промежуточный отчет/ Щ СО АН СССР; I? Г.р. 0186. 0125731; инв. У G287.CC4SC43).

7. Паничккн A.B. Численное моделирование дозвукового течения, реагирующей смьси газа в кольцевой кааеро сгорания на основе полных. уравнений Навье-Стокса// Tp.Xüi конф. мол. уче-) нкх лОС7.. ф,из.-техн. ик-та. - а. , 1S68, ч. 2. - C.II7-I27.-Дег.. в Ю-ГШ 2C.0o.33, i! 6743-B3S.

о. Игнатьев E.h., Паничкин A.D. Численный расчет осесимметр/ч-кого течения вязкого газа в кольцевом канале со сложной I'CC'iVc TpV :ей// моделирование б механике. - Новосибирск, 1989,

- ":.3;2C>.-?i З.-С. 53-61.

9. Паничкин A.B. Исследование конечно-разностных схем при расчете дозвуковых течений газа через фиксированный фронт горения// Труды Х1У конф. мол. ученых шоск. физ.-техн. ин-та

- Ii,., 1533, 4.2. -С. 103-129.- Деп. ь ЕИКИИ 11.09.89, }!■ 5762-BSS.