Метод ППВ (полиномиально представленная вязкость) построения схем типа Годунова для решения задач аэрогидродинамики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РГБ ОД

- 5 СЕН да

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ЦАГИ) им. проф. Н.Е.Жуковского

На правах рукописи

Дедеш Валерий Викторович

УДК 519. 6:532. 51В. 5 МЕТОД ППВ (ПОЛиНОНиЛЛЫЮ ПРЕДСТАВЛЕННАЯ ВЯЗКОСТЬ) ПОСТРОЕНИЯ СХЕМ

типА Годунова для решенця задач лэрогидродинлтки

(01. 02. 05-Механика жидкости газа и плазмы)

Л BTOPEtEPAT Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1994

Работа выполнена в Центральном Аэрогидродинамическом Институте им. проф. II. Е. Жуковского

Научный руководитель: Член-Корреспондент Российской Академии Наук доктор физико-математических наук В. Я. Нейланд

Официальные оппоненты: Действительный член Российской Академии

Наук, профессор С.К.Годунов Доктор технических наук, профессор Ю. Б.Лифшиц

Ведущая организация-Центральный Институт Авиационного Моторостроения им. П. И. Баранова

Зашита диссертации состоится "_"_1994 года в

_ на заседании специализированного совета К. 063.91.07 факультета Аэромеханики и Летательной Техники Московского Ордена Трудового Красного Знамен* Физико-Технического Института по адресу: 140160, г.Жуковский, Московская Область, ул. Гагарина, дом 16

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета

Автореферат разослан "_"_1994 года

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физико-математических наук, доцент

А. И. Киркинский. Л /

общая характеристика работы

Моделирование теченкв жидкости к газа на ЭВМ дает сегодня информацию о течениях, доступную ранее только нз эксперимента. К настоящему времен! для численной аппроксимации уравнений движения жидкости и газа предложен ряд эффективных классов разностных схен сквозного счета: схемы центральных разностей, схемы односторонних разностей и схемы типа Годунова.

Схемы центральных разностей прости в реализации, имеют как правило второй порядок аппроксимации и позволяют моделировать любые физические явления. Для устойчивости счета к таким схемам добавляется определяемое методом проб и ошибок количество численной вязкости. Если в решаемой задаче имеется выделенное направление,то уместно использовать схемы направленных разностей, использующие информацию, текущую в выделенном направлении. К классу схем с направленными разностями принадлежат весьма успешные компактные (т.е. достигающие высокой точности на малом расчетном шаблоне) алгоритмы, основанные на аппроксимациях Паде (ТОЛСТЫХ 1973). Однако большинство публикаций последний .двух десятков лет посвящено разработке и применению т. н. схем типа Годунова, отличительной особенностью которых является безусловная устойчивость счета при любых начальных данных и адекватный физическому характер распространения возмущений. Эти схемы сочетают положительные качества методов центральных и направленных разностей: наличие достаточной численной вязкости и адекватный выбор направления распространения возмущений, с помощью введения в алгоритм построения расчетной схемы этапа решения одномерной автомодельной задачи Римана о распаде произвольного разрыва в начальных данных. Оправдавшие себя модификации схемы Годунова выразились в упрощениях процесса точного решения задачи Римана и в замене точного решения задачи Римана приближенным (Русанов 1961, РОУ 1981, ОШЕР 1982, ван ЛЕЕР 1979, СТЕГЕР и УОРМИНГ 1981).

Выражение, отвечающее за газодинамическое взаимодействие двух соседних расчетных ячеек, использует информацию из двух соседних

узлов расчетной сетки, ж записывается в виде суммы арифметического среднего векторов газодинамических потоков в двух соседних узлах и члена, представляющего численную вязкость. Для определения последней привлекают физическую модель взаимодействия двух соседних узлов расчетной сетки. В одной из моделей соседние '' расчетные ячейки взаимодействуют посредством дискретных волн

конечной интенсивности. Другая модель основана на обмене фиктивными частицами между двуня соседними ячейками расчетной I сетки. В любом случае речь идет о построение (приближенного)

| решения задачи Римана о распаде разрыва в начальных данных.

I Сложность реальных задач аэродинамики и наличие тонких

| структур исследуемого поля течения ставят высокие требования к

численному алгоритму, применяемому к расчету таких течений, ограниченность ресурсов памяти и быстродействия ЭВМ требуют использования схем высокой точности. Разностные схемы второго и I выше порядков аппроксимации генерируют в окрестностях разрывов

состояния газа нефиэичные осцилляция численного решения (ГОДУНОВ, 1959). Этого недостатка лишены схемы типа Годунова первого порядка аппроксимации. Поэтому для получения высококачественных численных решений в гладких областях течения и монотонных переходов газодинамических величин через разрывы используется концепция схем переменного порядка аппроксимации. В основной части, расчетной области течение является гладким и порядок аппроксимации схемы может быть достаточно высоким, а вблизи резких перепадов исследуемых функций используются схемы типа Годунова первого порядка аппроксимации.

Б рамках модели конечных обЬемов существует два принципиальных подхода к построению схем переменного порядка аппроксимации: пост-и препроцессорный. Для реализации постпроцессорной разностной схемы (ХЛРТЕН 1983, ЧЛКРЛВЛРТК 1985) сначала с помощью алгоритмов первого порядка аппроксимации определяются потоки на границах расчетных ячеек, а затем эти потоки корректируются с помощью конечно- разностного выражения, включающего в себя логику разностей вверх по потоку. В рамках препроцессорного подхода (КРЛЙКО И КОПЧЕНОЙ 1983, ВАН ЛЕЕР 1983, ВУДВОРД К КОЛЕЛЛА 1984) дискретные начальные данные представляются непрерывным внутри каждой расчетной ячейки распределением, а затем расчитывается

о —

развитие этого распределения в течение короткого промежутка времени, с помощью уравнений гладкого или разрывного течения.

Лля повышения порядка аппроксимации по пространству препроцессорных схем с разностями вверх по потоку достаточно повысить точность восполнения данных на исходном слое по времени, которая дает значения газодинамических переменных на границах контрольных объемов.

Для этой цели используется также алгоритм решения неавтомодельной обобщенной задачи Римана о взаимодействии двух линейно распределенных состояний газа (МЕНЬШОВ 1090). К сожалению, подобные схемы слишком громоздки в практической реализации. В литературе последних лет все чаще появляюцся сообщении о существенно многомерных схемах, учитывающих наряду с информацией, доступной из решения одномерной задачи Римана, также и существенно многонерные явления газовой динамики (ВАН ЛЕЕР 1992). Сложность и неоднозначность формулировки таких схем ограничивает область их применимости расчетами модельных задач газовой динамики. Подобные подходы к построения расчетных схем теряют стройность и точность при попытке учета реальных свойств ' газа, а также явлений молекулярного переноса, таких как вязкость и теплопроводность.

Поэтому задачу о построении наиболее приемлемой методики аппроксимации уравнений движения жидкости и газ,а можно поставить так: построить схему второго порядка аппроксимации, использующую по возможности простой и надежный алгоритм приближенного решения задачи Римана, легко обобщаемую на многомерный случай и имеющую достаточную гладкость, учитывая необходимость применения ее в рамках какого-либо из неявных численных алгоритмов.

Для получения стационарного решения уравнений обтекания временное интегрирование отделяется от пространственного. Полудискретная модель для геометрически сложной области получается посредством разделения ее на совокупность четырехугольников, и результирующая 'система обыкновенных дифференциальных уравнений решается посредством неявной по времени процедуры. В настоящей работе в качестве такой процедуры выбран метод Ньютона, с помощью которого решаются уравнения гидродинамики.

Из целого ряда аффективных неявных численных методов решения стационарных уравнений Эйлера и Навье-Стокса, наибольшее

распространение имеют сегодня различные варианты метода приближенно* факторизации (БИМ и УОРИИНГ 197в), многосеточные итерационные методы (МЛЛДЕ 1985), релаксационные нефакториэованные алгоритмы (ИВАНОВ я КРУПА 1991), которые можно рассматривать как упрошения ортодоксального метода Ньютона. Чутки* к некорректностям постановки начальных и граничных условий, метод Ньютона позволяет достичь очень быстрой- квадратично* скорости сходимости решения.

Каждая из итераций метода Ньютона требует обращения большой разреженно* (здесь не плотнее чем блочно- трянадцатидкагонально!) матрицы глобально* линеаризации нелинейно* сястены алгебраических уравненной (Якоби), выполняемого с помощью прямых или итерационнывх методов. Область применения прямых методов обращения таких матриц (даже после введения специальных алгоритмов перенумерации узлов расчетной сетки по методу "сложенных сечений" (ДЖОРДЖ 1973) ограничена двумерными задачами ввиду значительных затрат ресурсов ЭВМ, требуемых для их работы.. В противоположность прямым, итерационные методы обращения больших разреженных матриц (СЛАД я ШУЛЬЦ 1988) в ряде случаев более выгодны для применения, по сравнению с прямыми.

Нелине*ность решаемых уравнений и необходимость построения неявных алгоритмов требуют линеаризации уравнений движения. Некоторые приближенные линеаризации могут разрушить сходимость неявного алгоритма. В данной работе был выбран подход численного дифференцирования, дающий для любых схем аппроксимация их "точные" (с точностью до ошибок'округления) линеаризации.

Численные методы интегрирования уравнений Эйлера и Навье-Стокса с учетом диссипация и турбулентности требуют внимания к аппроксимации дополнительных уравнений и членов уравнений движения. При моделирования вязких течений вязкие потоки аппроксимируются центральными разностями а невязкие- с помощью схем типа Годунова повышенного порядка аппроксимации, в целях достяженяя ожяденого ускорения сходимости численного метода все уравнения движения рассматриваются "сцепленными".

С помощью схем типа Годунова можно решать задачи аэрогидродинамики, не принадлежащие к классу гиперболических законов сохранения, с помощью специальных процедур регуляризации уравнений движения. Примером является подход псевдосжимаемости

(ЧОРИН 1967) при моделировании установившихся течений несжимаемо* жидкости. Он позволяет успешно применять численные методики, отработанные для более простых физических моделей обтекания.

Актуальность темы. Создание современных и перспективных летательных аппаратов требует увеличения обЬема предварительных исследований. Наряду с усовершенствованием экспериментальных и аналитических методов все большее значение приобретают расчетные исследования на современных ЭВМ.

В настоящее время численный эксперимент является необходимым кструкентом при проэктирования летательных аппаратов и элементов их конструкции. Необходимость оперативного анализа характеристик разнообразных течений требует создания быстрых, точных и надежных численных методов и алгоритмов расчета этих течений, пригодных в широком диапазоне чисел Маха и Рёйнольдса. Несмотря на значительный прогресс, достигнутый за последнее время в методах численного решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса, существует потребность в их переосмыслении, обобщении и упрощении. Такие численные методы получают действительно широкое распространение.

Новые численные методы требуют длительной практической апробации прежде чем они станут общепринятыми. Поэтому для каждого численного метода требуется очертить круг задач, решаемых с его помощью.

Цель работы - разработка быстрых, точных и надежных дискретных методов и алгоритмов расчета установившихся течений различной природы в рамках метода последовательных приближений Ньютона, проверка их надежности и быстродействия по сравнению с более ранними методами, а также практическое исследование с их помощь» течений в сложной физической постановке вокруг модельных и реальных двумерных конфигураций.

Научная новизна полученных результатов:

Для численного моделирования многомерных течений жидкости и газа, описываемых уравнениями Эйлера и Навье-Стокса, в рамках нетода последовательных приближений Ньютона, построен удобный и надежный метод ППВ (Полиномиально Представленная Вязкость) построения схем типа Годунова.

Метод ППВ позволяет на основе единой концепции и в рамках единого алгоритма строить большинство из известных на сегодняшний

-а-

день (полные схемы ППВ) а также создавать новые схемы типа Годунова (упрощенные схемы ППВ), наилучшим образом (с точек зрения экономии ресурсов ЭВМ и качества конечных результатов) подходящие для решения конкретных физических задач.

Метод ППВ использован для построения класса схем типа миБСЬ (монотонизованные схемы типа Годунова повышенного порядка аппроксимации), включаетего в себя саму схему (ШБСЬ (РОДИОНОВ 1987) и все классические линейные однородные схемы второго порядка аппроксимации (ЛЛКС и ВЕНДРОВ 1964, »РОИМ 1968, БИМ и УОРМИНГ 1974).

Для схем типа Годунова повышенного порядка аппроксимации проведен сравнительный анализ нелинейных функций монотонизаторов, позволивший выделить монотонизаторы, наиболее приспособленные для решения сложных задач обтекания. Построено новое семейство монотонизаторов, приводящее к схемам третьего порядка аппроксимации, основанное на применении интерполяции дискретных начальных данных с помощью гипербол.

Метод ППВ построения дискретных схем типа Годунова внедрен в метод Ньютона решения больших нелинейных систем алгебраических уравнений, для решения одно- м двумерных уравнений аэрогидродинамики. Показано, что на основа этой методики можно успешно рассчитывать: а: установившиеся вязкие и невязкие течения сжимаемого газа, б: х-сверхзвуковые стационарные течения невязкого газа, в: установившиеся течения вязкой несжимаемой жидкости с использованием подхода псевдосжикаемости. г: турбулентные течения вязкого теплопроводного сжимаемого газа с использованием двухпараметрической дифференциальной модели турбулентности.

Показано, что упрощенные схемы метода ППВ позволяют получить экономию операций ЭВМ порядка 30 процентов (по сравнению с исходныни (полными) схемами метода ППВ) на определенной и наиболее ресурсоемкой стадии решения физической задачи (стадия формирования матрицы Якоби) в рамках метода Ньютона. В явных двумерных расчетах экономия во времени ЭВМ, связанная с применением упрошенных схем метода ППВ. достигает 40Х.

Проведено систематическое апробирование схем метода ППВ на ряде модельных и практических задач механики жидкости и газа, в широком диапазоне чисел Рейнольдса и Маха, которое подтвердило

высокую работоспособность схем метода ППВ, их экономичность, простоту и удобство в применении. Хачество результатов, получаемых с помощь» упрощенных схем метода ППВ. в большинстве случаев не уступает таковому для лучших современных схем типа Годунова (РОУ 1981. ВАН ЛЕЕР 1982, СТЕГЕР и УОРНИНГ 1981).

Использование упрощенных схем метода ППВ как правило приводит к более быстрой и гарантированной сходимости итераций метода Ньютона, по сравнению с полными схемами метода ППВ. В тех случаях, когда численное решение не удается получить с помощью полных схем ППВ, выбор в качестве начального приближения численного решения, полученного с помощью упрощенных схем ППВ, делает метод Ньютона сходящимся во всех случаях использования подобной методики.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, определяются методическини сопоставлениями различных численных методов, с аналитическими решениями, сравнением полученных численных результатов с опубликованными расчетными и экспериментальными данными.

Практическая значимость результатов работы: Созданные алгоритны и программы могут быть использованы для массовых расчетов течений вокруг тел реалистичной конфигурации, с применением различных моделей диссипации и турбулентности, для оперативного и детального анализа их аэродинамических характеристик.

На основе библиотеки программ АЬСЕВОД НИО-8 ЦАГИ создана библиотека программ "РРУ". реализующая схемы метода ППВ. Упрощенные схемы метода ППВ дают экономию ресурсов времени ЭВМ порядка ЗОЙ на наиболее дорогой стадии решения физической задачи в рамках метода Ньютона, без потери качества численных результатов по срванению с полными схемами. Экономия времени ЭВМ при использовании упрощенных схем нетода ППВ в явных двумерных расчетах может достигать 40%, по сравнению с полными схемами.

Реализация результатов работы. Созданные алгоритмы и программы в настоящее время используются в НИО-1 и НИО-8 ЦАГИ. С помощью таких программ выдаются практические рекомендации промышленности.

Апробация работы. Основные результаты проведенных исследований обсуждались и получили одобрение на Региональной Конференции

-ю-

"Методы приближений в вычислительной математике" (Новосибирск, 1991), Всесоюзной Конференции по методам численного решения многомерных нестационарных задач математической физики (Арзамас-16, 1991), Международной Школе-Семмнаре ЦАГИ "Механика жидкости и газа" (Володарка, 1992, руководитель-проф. , чл.-корр. РАН В. Я. Нейланд), 13-ой Международной Конференции по Численным Методам в Вычислительной гидродинамике (Рим, Италия, 1992), на семинарах: НИО-1 ЦАГИ (1991, руководитель к. ф. м. н С. М. Босняков), НИ О-В ЦАГИ ( 1991, к.ф.м.н. п.Я.Михайлов), НИО-20 ЦАГИ (1991, к. ф. м. н. В. В. Сыч). 11ИАМ по вычислительным методам (1991, проф., . д. ф. м. н. А.Н. Крайко), им. К. И. Бабенко (1991, ИПМ им. Келдыша,

! д. ф. м. н. А. В. Забродин и Г. П. Прокопов), ВЦ РАН (1991, д. ф. м. к.

А.И.Толстых), Отдела Вычислительной Математики РАН (1991, к. ф. и. н. А.П.Еремин), "Русское окно в науку" (май 1993, база ВВС США I Райт-Паттерсон, Дейтон, oratto. США, доктор Ф.Уэбстер).

Публикации. Результаты работы опубликованы в трех статьях, трех препринтах ЦАГИ, материалах двух всесоюзных и двух международных конференций.

Структура и обЬем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы из 190 ' наименований. Работа изложена на IЧ(? листах машинописного текста и

содержит рисунка ( фигур). Общий обЪем диссертации

составляет lb2. страницы.

Краткое содержание работы ВВЕДЕНИЕ

Показана актуальность темы, перечислены существующие методы численного интегрирования уравнений Эйлера и Навье-Стокса, описаны основные особенности наиболее распространенных разностных схем, а также основные неявные методы решения задач вычислительной гидродинамики. Сформулирована цель работы. кратко описано содержание четырех глав диссертации.

Глава I. ОЦЕНКА МЕТОДИК ПОСТРОЕНИЯ СХЕМ ТИПА ГОДУНОВА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОБТЕКАНИЯ

Первая глава является' вводной и посвящена сравнительному анализу схем типа Годунова для решения уравнений переноса и Эйлера.

В §1.1 этой главы приведена историческая ретроспектива и постановка задачи о построении схем типа Годунова для решения задач механики жидкости и газа. Схемы типа Годунова являются сегодня одним из основных инструментов численного исследования сложных многомерных течений вокруг реалистических конфигураций.

В §1.2 этой главы приведены постановка и решение задачи о линейном переносе кусочно гладких начальных данных. Уравнение переноса является основный средством для анализа природы и свойств, а также синтеза схем типа Годунова. Для численного решения задачи о линейном переносе используется формализм разложения начальных данных по системе ортогональных полиномов Лежандра (ВАН ЛЕЕР 1977), и последующего точного решения задачи о линейном переносе этого разложения. На основе этого подхода строятся разностные схемы произвольного порядка аппроксимации.

Требования выше чем первого порядка аппроксимации разностной схемы и ее монотонности вступают в конфликт в областях разрывов начальных данных. Согласно теореме Годунова, схемы высокого порядка аппроксимации порождают осцилляции численного решения в окрестностях разрывов, а монотонные схемы первого порядка аппроксимации будут слишком грубы. Поэтому вводятся схемы переменного порядка аппроксимации и приводятся алгоритмы (ограничители), применение которых достаточно для того, чтобы сделать такие схемы монотонными. Ограничители строятся для схем второго и третьего порядков аппроксимации. Проводится сравнительный анализ различных ограничителей.

На основе рассмотренных ограничителей строится новая схема третьего порядка аппроксимации, использующая гиперболу в качестве базового интерполянта. Первые три базовых элемента распределения начальных данных, определяющие аппроксимацию потока схемы типа Годунова третьего порядка точности получаются в результате проэцирования гиперболического распределения начальных данных в

-12-

трех соседних расчетных ячейках на три первые полинома Лежандра. Предлагаемая новая схема проста, использует гладкие ограничители и имеет третий порядок аппроксимации.

В §1.3 рассматривается задача Рикана-второй из двух основных строительных блоков схем типа Годунова. Громоздкость алгортима получения точного решения задачи Римана и приближенный характер начальных данных делают приближенные методы решения задачи Римана удобной альтернативой точным. Обзор приближенных методов решения задачи Римана позволяет выбрать из них наиболее подходящие для решения конкретных физических задач и наметить общие закономерности. Приведены результаты расчетов с помощью схем типа Годунова для модельных задач уравнения переноса и распада произвольного разрыва в начальных данных и даны комментарии относительно их качества.

Опыт применения в НИО-8 ЦАГН численной методики интегрирования уравнений аэрогидродинамики на основе метода Ньютона (ЕГОРОВ и ЗАЙЦЕВ 1991, БАШКИН и ЕГОРОВ 1993) настоятельно потребовал введения в нее идеологии высокоточных схем. В §1.4 проводится постановка задачи диссертации: на основе имеющегося на сегодня опыта построения схем типа Годунова создать метод построения схем типа Годунова, который позволил бы в рамках единой математической формулировки облегчить понимание и реализацию самых современных схем типа Годунова и использовать наиболее эффективно (в смысле затрат ресурсов ЭВН и качества конечных результатов) схемы типа Годунова, как уже известные, так и совершенно новые, в рамках неявного метода последовательных приближений (Ньютона). для решения конкретных двумерных задач аэрогидродинамики в сложной физической постановке.

Глава II. МЕТОД ППВ (ПОЛИНОМИАЛЬНО ПРЕДСТАВЛЕННАЯ ВЯЗКОСТЬ) ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ СХЕМ ТИПА ГОДУНОВА

Вторая глава посвящена предлагаемому в работе методу построения дивергентных монотонных разностных схем типа Годунова первого и повышенного порядков аппроксимации для решения задач механики жидкости и газа. Эффективность и общность метода ППВ находятся на уровне или выше современных мировых стандартов. Метод

ППВ дает удобный и надежный формализм построения и анализа свойств схем типа Годунова. Выражение, аппроксимирующее для схен ППВ типа Годунова поток газодинамических величин через "боковую" грань двух соседствующих расчетных ячеек, строится на основе информации из двух соседних узлов расчетной сетки. Этот поток записывается в виде суммы арифметического среднего векторов потоков в двух соседних узлах и члена, представляющего численную вязкость, выражаемую через так называемую матрицу численной вязкости, для определения которой привлекаются алгоритмы построения приближенного решения задачи Римана о распаде разрыва в начальных данных.

Консервативные схемы дискретной аппроксимации, основанные на приближенных решениях задачи Римана, сконструированных с помощью нетода, предлагаемого в §2. 1, более быстры и экономичны по сравнению со схемами типа Годунова, полученными на основе других существующих методов.

Основная идея метода ППВ (Полиномиально Представленная Вязкость) состоит в разложении матриц, определяющих численную вязкость расчетной схемы, в квадратичные и линейные полиномы по степеням газодинамической матрицы Якоби (ДЕДЕШ 1991). Так, для случая газовой динаники три различных собственых значения матрицы Якоби определяют три независимых измерения, в пространстве которых I. троится численная вязкость схемы дискретной аппроксимации.

Координаты представления qo ] 2 матрицы численной вязкости д в этом пространстве полиномов по степеням газодинамической матрицы Якоби X, как функции от локального числа Маха потока М и локальной скорости звука с, для трех предложенных в работе моделей Полиномиального Представления матрицы численной Вязкости (ППВ), приведены на рис. 1+3.

Для упрощения конечных выражений для аппроксимаций потоков разностных схем, основанных на ППВ, используются свойства однородности вектора газодинамических потоков.

Предложенный метод подводит общий фундамент под методы расщепления приращения вектора потоков и расщепления вектора потоков, ранее строившиеся на основе различных исходных гипотез. Широко известные алгоритмы РОУ (1981), СТЕГЕРА-.УОРМИНГА (1981) и ВАН ЛЕЕРА (19В2) первого порядка аппроксимации, а также схема

ииэсь (ВАН ЛЕЕР 1983) второго порядка аппроксимация есть частные случаи реализации схем метода ППВ (называемые в работе полными схемами ППВ), причем ППВ-представления этих алгоритмов выглядят проще исходных. Кроме вышеупомянутых, метод ППВ позволяет строить новые простые и физически непротиворечивые алгоритмы. Эти упрошенные алгоритмы получаются посредством контролируемого возмущения спектра матриц численно! вязкости.

В отличие от ряда современных методов, предложенный метод позволяет полностью отказаться от операторов (Преобразования от консервативных к характеристическим переменным решаемой задачи и самих характеристических переменных в окончательных выражениях для разностной схемы. Устранение характеристических преобразований существенно удешевляет расчёт, а также позволяет обойти задачу о неединственности выбора базиса собственных векторов, соответствующих кратному собственному значению газодинамической матрицы Якоби.

Одним из достоинств метода явлется возможность полностью исключить из расчетного алгоритма дорогостоящие операции перемножения матрицы на матрицу и матрицы на вектор. В итоге получается простой и надежный алгоритм. Несмотря на свою простоту, он способен точно аппроксимировать изолированные ударные волны. Наряду с заметной экономией затрат времени ЦПУ ЭВМ (до 40У. для явных расчетов, по сравнению с более ранними формулировками) и простотой реализации, это придает упрощённым формулировкам схем предлагаемого метода несомненную привлекательность.

Предложенный класс разностных схем оказывается широким и простым для программирования, что говорит об адекватности предлагаемого аппарата ясследуемым задачам. Схемы метода ППВ особенно удобны для применения в многомерных задачах механики жидкости и газа.

Разностные схемы второго и выше порядков аппроксимации склонны генерировать в окрестностях разрывов газодинамических вепкчкн нефизичные осцилляции численного решения. Только схемы первого порядка аппроксимации могут обладать свойством монотонности, исключающим появление нефизичных осцилляций. Поэтому для получения высококачественных численных решений в гладких областях течения и монотонных переходов газодинамических величин через разрывы

используется концепция схем перененного порядка аппроксимации. По мере улучшения качества получаемых численных решении расчетный алгоритм усложняется, и вопрос о построении быстрых, качественных и простых в программировании монотонных разностных схем приобретает важное практическое значение. В §2. 1 метод ППВ применяется для построения простых, надежных и экономичных высокоточных разностных схем.

В §2.3 этой главы даны результаты численных экспериментов по применению предлагаемых схем ППВ к задачам одномерной газовой динамики: Римана о распаде разрыва в начальных данных, о нерасчетном течении в сверхзвуковом диффузоре и о столкновении двух сильных ударных волн. Проведен сравнительный анализ полученных схем. Сделаны методические замечания общего характера.

Глава III. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ НЬЮТОНА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К РЕШЕНИЮ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ И ГАЗА, АППРОКСИМИРОВАННЫХ С ПОНОЩЬЮ СХЕМ ТИПА ГОДУНОВА В РАМКАХ МЕТОДА ППВ

Для полноты изложения в диссертацию включена третья глава, посвященная описанию численного алгоритма, реализующего метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений, получающихся в результате дискретизации уравнений движения жидкости и газа с помощью ( высокоточных) схем предложенного в Гл.II метода ППВ. Эта глава является вспомогательной для описания результатов численных экспериментов, приведенных в Гл. IV.

§3. 1 посвящен описанию метода последовательных приближений (Ньютона) решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Совокупность дискретизованных уравнений движения записывается в форме вектора невязок,

F(q)=0

(q-сеточный вектор неизвестных) норма которого в пределе сходимости стремится к нулю. В рамках метода Ньютона новое последовательное приближение к решению находится из решения большой разреженной системы линейных уравнений, получающейся после линеаризация исходной нелинейной алгебраической системы уравнений. Использование расширенных шаблонов высокоточных схем ППВ длл

аппроксимации конвективных частей потоков в здконах сохранения приводит к току, что матрица Якоби ôF/aq линеаризованной задачи имеет блочно- тринадцатидиагональную структуру. В настоящей работе решение системы линейных уравнений получается с помощью прямых (перенумерация неизвестных по методу вложенных .сечений: ДЖОРДЖ к ЛЮ 1973), или итерационных алгоритмов обращения больших разреженных матриц (с переобуславливанием уравнений но обобщенному методу минимальных невязок GMRES (СЛАД и ШУЛЬЦ 1988).

Корректное задание начальных и особенно граничных условий имеет для метода Ньютона первостепенное значение и позволяет реализовать его квадратичную сходимость. Метод Ньютона, примененный к системе уравнений движения, днскретизованной с помощью схем ППВ первого порядка аппроксимации, успешно использует начальные данные в виде набегающего потока, а начальными данными для алгоритмов второго порядка аппроксимации полагаются решения, полученные с помощью схем первого порядка аппроксимации.

При использовании высокоточных схем метода ППВ в аппроксимации уравнений движения участвуют нелинейные функции-ограничители, имеющие в областях разрывных течений разрывную производную. Подобная аномалия заставляет искать ограничители, имеющие достаточное количество приз водных по любому из своих аргументов. В результате численных экспериментов было найдено, что бесконечно дифференцируемый ограничитель (ВАН АЛБАДА 1984) дает самую быструю сходимость и хорошее качество численного решения. Применение ограничителей приводит к падению скорости сходимости метода Ньютона от квадратичной до линейной. В некоторых случаях стационарное решение со вторым порядком аппроксимации получить непосредственно с помощью метода Ньютона не удавалось: в этих случаях использовалась стратегия установлениия по времени (или регуляризации по какому либо из параметров, например числу Рейнольдса), где на каждом промежуточном шаге для решения системы нелинейных алгебраических уравнений используется метод Ньютона.

В §3.2. обсуждается допустимость введения физически обусловленных модификаций метода Ньютона. Несмотря на безусловную устойчивость неявной схемы Эйлера, используемой в алгоритме установления, потеря аппроксимации по времени при интегрировании со слишком большим шагом в некоторых случаях приводит к

»

-17-

необходимости введения физического ограничения на величину шага по времени. Он выбирается равным заранее определенному малому положительному числу с, отнесенному к величине нормы невязки F(q), деленному на норму вектора неизвестных q. В начальной стадии интегрирования, когда невязка велика, шаг по времени близок к с и метод интегрирования близок к явной схеме. После того, как решение выказывает тенденцию к сходимости, норна невязки уменьшается и шаг по временя стремится в бесконечность, что ведет в пределе сходимости к методу Ньютона.

Численные эксперименты показывают, что наиболее ресурсоемкой стадией (вплоть до 80%) при получении очередного последовательного приближения метода Ньютона является заполнение матрицы Якоби неявного оператора на новой итерации по нелинейности. Поэтому имеет смысл однажды сформированную и "замороженную" матрицу Якоби использовать для проведения нескольких (1+7) последовательных итераций по нелинейности. При этом скорость сходимости метода, отнесенная к числу произведенных итераций по нелинейности, падает до линейной. Однако по абсолютному числу операций 11ПУ ЭВМ методика "замораживания" матрицы Якоби дает иногда выигрыш до 70 раз.

В случае использования высокоточных схем ППВ, определенных на расширенном расчетном шаблоне, матрица Якоби иногда формируется не по всем точкан, задействованным в шаблоне, а лишь по тем, что принадлежат шаблону "ящик" размерностью 3*3, в центре которого находится узел, где производится аппроксимации. Несмотря на в целом положительные отзывы по отношению к этой методике, при использовании подобного приближения к матрице Якоби количество итераций метода Ньютона возрастает приблизительно во столько же раз, во сколько процесс формирования "точной" матрицы Якоби дороже такового для упрощенной. Это особенно заметно на режимах, течений с большими числами Рейнольдса, когда учет всех связей, определяемых расчетным шаблоном, становятся весьма существенным. Поэтому приемлемость подобной методики упрощения матрицы Якоби требует дальнейшего исследования.

Исходный метод Ньютона я описанные в §3.2 его физические модификации образуют расчетную стратегию, описанную в §3. 3. Набегающий поток, задаваемый в качестве начальных условий, сначала малыми, а по мере сходимости-все большими шагами по временя

-

продвигается к стационарному решение, обходя на 'своем пути нефизичные области отрицательных давлении и плотностей. Упрощенные и/или "замороженные" матрицы Якоби на итерации по нелинейности уменьшают количеество операций ЦПУ ЭВМ в расчете на одну итерацию, а иногда и в абсолютном исчислении. Итерационные методы обращения больших разреженных матриц позволяют существенно (в 3+7 раз) ускорить процесс обращения матрицы Якоби и получения нового последовательного приближения. Эта методика оказывается весьма эффективной и успешно используется для решения задач механики жидкости и газа.

Глава IV. ПРИМЕРЫ РЕАЛИЗАЦИИ СХЕМ МЕТОДА ППВ

В четвертой главе метод ППВ монотонной аппроксимации уравнений движения жидкости и газа применяется для моделирования течений различной физической природы (вязких и невя3|ких. сжимаемых и несжимаемых, ламинарных и турбулентных). Результирующая система дискретных уравнений решается с понощью метода Ньютона, модифицированного согласно конкретной физической постановке задачи. Приводятся примеры решения задач обтекания.

В §4. 1 рассмотрена математически наиболее простая из физических моделей обтекания- модель невязкого сжимаемого газа, описываемая уравнениями Эйлера. Для использования схем ППВ в криволинейных координатах, связанных с поверхностью обтекаеного тела, используется техника перехода к локально повернутой по нормали к рассматриваемой грани расчетной ячейки системе координат. Численным методом решения системы разностных уравнений является (физически модифицированный) метод Ньютона. На основе принципов отражения и теории одномерных инвариантов Римана ставятся граничные условия симметрии, дальнего поля и непротекания. Разностные сетки выбираются по возможности более равномерными и сгущение узлов производится лишь в областях предполагаемых разрывов. Успешное применение сдсем метода ППВ к задачам обтекания цилиндра и аэродинамического профиля ЫАСА0012 показывает высокую точность, гибкость и надежность предлагаемых алгоритмов. Использование упрощенных схем метода ППВ позволило уменьшить на 30% время ЦПУ ЭВМ, требуемое для проведения одной

итерация по нелинейности, по сравнению с исходными (полными) схемами иетода ППВ, без ущерба качеству полученных результатов. На рис.4 даны результаы расчетов трансзвукового течения вокруг аэродинамического профиля ЫАСА0012 (Распределение коэффициента давления по поверхности) при числе Маха набегающего потока М^-0.8 и под углом атаки а-1.25° с помощью полных и упрощенных схем ППВ, на фоне эталонного численного решения (ВАН ЛЕЕР 1986).

В §4,2 исследуется движение вязкого сжимаемого газа, описываемое уравнениями Навье-Стокса. К ППВ-аппроксимации конвективных частей потоков добавляется центрально-разностная аппроксимация вязких потоков. На границе твердого тела ставятся: условие прилипания, адиабатичности (изотермичности) стенки и равенства нулю нормальной к телу компоненты градиента давления. В численном решении имеются разрывы, отрывные зоны, пограничные слои и следы, аппроксимации которых уделяется особое внимание, с помощью использования локальных сгущений сеточных узлов. Рассмотрены задачи о до-, сверх- и трансзвуковом течениях вокруг цилиндра, и трансзвуковом течении вокруг профиля НАСА0012 под нулевым и отличным от нуля углами атаки, на основе чего сделен вывод о хороших аппроксимационных качествах предлагаемых схем метода ППВ и об общей работоспособности численного алгоритма метод ППВ-метод Ньютона. Показано, что упрощенные формулировки схем метода ППВ позволяют добиться более быстрой и частой сходимости итераций метода Ньютона, по сравнению с полными схемами метода ППВ, на фоне примерно 20 процентного выигрыша по времени ЦПУ ЭВМ и как правило не слишком значительного ухудшения качества численных результатов. На рис.5 даны распределения давления по нйсовой части цилиндра, погруженного в сверхзвуковой поток с параметрами М^-8. О, Ке=1000, с помощью полных и упрощенных схем ППВ, вместе с эталонным решением (БАБАЕВ 1988).

В §4.3 рассматриваются установившиеся течения несжимаемой вязкой жидкости. Для решения такого класса задач использована процедура регуляризации (подход псевдосжимаемости), суть которой состоит в ток, чтобы усеченная система уравнений движения, составленная из невязких частей потоков, имела гиперболический тип и допускала применение схем метода ППВ. Характерной особенностью модели псевдосжимаемой жидкости является повсюду "дозвуковой"

-20-

характер течения, что отражается на способе постановки граничных условий и существенно упрощает алгоритм аппроксимации уравнений движения в поле течения. Численные эксперименты по моделированию отрывных течений вокруг кругового цилиндра при числе Рийнольдса равном 40 и вокруг профиля НАСА0012 на ненулевых углах атаки (число Рейнольдса 1000) убедительно показывают надежность и быстроту предложенных алгоритмов (особенно упрощенных) и подвтерждают целесообразность применения схем ППВ к задачам подобного класса, с точек зрения скорости сходимости итераций метода Ньютона и качества конечных результатов. На рисунке 6 сравниваются распределения давления по поверхности кругового цилиндра, обтекаемого несжимаеиой жидкостью при числе Рейнольдса 40, полученные с помощью полных и упрощенных схем ППВ.

Турбулентные течения есть наиболее распространенная форма движения жидкостей и газов. Вопросы аппроксимации стационарных турбулентных течений вязкого теплопроводного газа с использованием двухпаранетрической дифференциальной модели турбулентности ц-и (КОУКЛИ 1983) аспекты выбора адекватного численного метода затронуты в §4.4. Моделирование турбулентности привносит в решаемую задачу дополнительную сложность, связанную с появлением дополнительных неизвестных в узлах расчетной сетки и необходимостью качественного описания пристеночных областей течения, в частности вязкого ламинарного подслоя. Это требует использования больших и существенно неравномерных сеток с экспоненциальным сгущением расчетных узлов по нормали к обтекаемому телу. Для задач подобной сложности наличие простых и быстрых алгоритмов аппроксимации метода ППВ, а также физически оправданных упрощений метода Ньютона имеет первостепенное значение. Подобные алгоритмы успешно применены для решения задачи о турбулентном пограничном слое на плоской пластине (ИВАНОВ и КРУПА 1991) и задачи о дозвуковом турбулентном обтекании аэродинамического профиля КАСА0012 под нулевын углом атаки. Упрощенные схемы метода ППВ позволяют как правило быстрее (примерно в 1.5 раза) по сравнению с полными схемами получать сошедшееся решение, которое затем, при необходимости, может служить стартовым полен для ускорения сходимости полных схем метода ППВ. На рис.7-12 приведены изолинии чисел Маха и давления,

-21-

а также распределения коэффициентов давления и трения вдоль хорды профиля УАСА0012 обтекаемого турбулентным потоком сжимаемого газа под углом атаки о-0° при числах М=0. 5 и Ке=10®, полученные из решения осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса с помощью полных и упрощенных схем метода ППВ).

Одной из многообещающих моделей течения жидкости является режим химически и термически (не)равновесных течений. Газодинамическая матрица Якоби для таких течений имеет многократную характеристику и в классических схемах типа■Годунова остро встает вопрос о выборе оптимального базиса собственных векторов, соответствующих этой характеристике. Неединственность решения этой задачи естественны* образом обходится в случае использования схем ППВ. Кроме того, значительное увеличение числа неизвестных в каждом сеточном узле ставит высокие требования к простоте и быстродействию соответствующих схем дискретной аппроксимации, что также делает упрощенные схемы метода ППВ весьма полезными.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся положения, содержащиеся в 1-17 главах работы:

1.-Для численного моделирования многомерных течений жидкости и газа, описываеных уравнениями .Эйлера и Навье-Стокса, в ранках метода последовательных приближений Ньютона, построен удобный и надежный метод ППВ (Полиномиально Представленная Вязкость) построения схем типа Годунова.

2. -Нетод ППВ позволяет на основе единой концепции и в рамках единого алгоритма строить большинство из известных на сегодняшний день (полные схемы ППВ) а также создавать новые схемы -типа Годунова (упрощенные схемы ППВ), наилучшим образом (с точек зрения экономии ресурсов ЭВМ и качества конечных результатов) подходящие для решения конкретных физических задач.

3.- Метод ППВ использован для построения класса схем типа миБСЬ (монотонизованные схемы типа Годунова повышенного порядка аппроксимации), включающего в себя саму схему МиБСЬ и все классические линейные однородные схемы второго порядка аппроксимации.

-22-

4.-Для схем Tina Годунова повышенного порядка аппроксимации проведен сравнительный анализ нелинейных функций монотонизаторов. На основе принципа максимальной практичности. дешевизны и работоспособности выделены монотонизатрры, наиболее приспособленные для решения сложных задач обтекания. Построено новое семейство монотонизаторов, приводящее к схемам третьего порядка аппроксимации, основанное на применении интерполяции дискретных начальных данных с помощью гипербол.

5. -Метод ППВ построения дискретных схем типа Годунова внедрен в метод Ньютона решения больших нелинейных систем алгебраических уравнений, для решения одно- н двумерных уравнений аэрогидродинамики. Показано, что на основе этой методики можно успешно рассчитывать: а: установившиеся вязкие и невязкие течения сжимаемого газа, б: х-сверхзвуковые стационарные течения невязкого газа, в: установившиеся течения вязкой несжимаемой жидкости с использованием подхода псевдосжимаемости, г: турбулентные течения вязкого теплопроводного сжинаемого газа р использованием двухпараметрической дифференциальной модели турбулентности.

6.-Показано, что упрощенные схемы метода ППВ позволяют получить экономию операций ЭВМ порядка 30 процентов (по сравнению с исходными (полными) схемами метода ППВ) на определенной и наиболее ресурсоемкой стадии решения физической задачи (стадия формирования натрицы Якоби) в ранках метода Ньютона. В явных двумерных расчетах экономия во времени ЭВМ, связанная с применением упрощенных схем метода ППВ, достигает 40%.

7.-Проведено систематическое апробирование схем метода ППВ на ряде модельных а практических задач механики жидкости и газа, в широком диапазоне чисел Рейнольдса и Маха, которое подтвердило высокую работоспособность схем метода ППВ, их экономичность, простоту и удобство в применении. Качество результатов, получаемых с помощью упрощенных схем метода ППВ, в большинстве случаев не уступает таковому для лучших современных схем типа Годунова.

8. -Использование упрощенных схем метода ППВ как правило приводит к более быстрой и гарантированной сходимости итераций метода Ньютона, по сравнению с полными схемами метода ППВ. В тех случаях, когда численное решение не удается получить с помощью полных схем ППВ, выбор в качестве начального приближения

-2-V

численного решения, полученного с помощью упрощенных схен ППВ, делает метод Ньютона сходящимся.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. Дедеш В. В. Использование полиномиального представления матрицы численно* вязкости для построение схем типа Годунова//Препринт ЦАГИ N.23, 1991, с. 24.

2. Дедеш В. В. Построение схем типа Годунова повышенного порядка аппроксимации на основе полиномиального представления матриц численно)! вязкости//Препринт ЦАГИ N.34, 1991, с. 24.

3. Ледеш В.В. Об одном методе построения схем типа Годунова//Докл. АН СССР, 1991, т. 321, N. 1, С. 36-39.

4. Дедеш В. В. Схемы ППВ для решения задач стационарной сверхзвуковой газовой Динамик*//Препринт НАГИ N.46, 1991, с. 31.

5. Дедеш В.В. Использование полиномиального представления матрицы численной вязкости для построения схем типа Годунова//Моделирова-ние в механике, ВЦ ИТПН СО АН СССР, 1991. Т. 5 (22). N. 5, С. 38-52.

6. Dedesh V.V. On a method to construct Godunov-type schemes and its Applications//Lecture Notes in Physics, V.414, P.96-100, Springer-Verlag, 1993.

7. Dedesh V.V. Méthode de construction de schémas de type Godu-nov//Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Paris, T.316, Série II, p.1357-1362, 1993.

: .2105-100:?*:?.

ИЗОЛИНИИ ЧИСЕЛ МАХА

р>игрсас/*:»нис коэ*«ииде.г*тл .слился ЬЩЭ.ОЬ СДОЛЬ'ЛЕМсги ГРО&ИЛЯ КАОАООЯ <«#ГОЛ АТЛИИ-1.в5 ГР/ДУСА. Г1ЛМ.О-1»

ЖЖ ИМИ КИШШ ШШ! I

-ю -г 5 -го .1.5 -1.0 --

РМПРШ/СНИЕ давления вю/ъ

ОВРАаЖ^ГИ КРУГСЬСГО ЦИЛ1ЯЛРЛ (КЕ-1000. М=8.0)

^ -ПСЛ1М СХГПА V О -УГРОИ№1М СХСЯА

из

ч Ь&хе^ИЯ1!

РИС.3

и тшш гати сксши у

о У 0.0.

МЭТТЖ/ГИИС КСЗМИ1Ш1ГЛ ИЕ'ЕНИ

ывль оьраьчыги кигоьсго шдаядр

НССЯИПШ1ЛЯ ИИЛКССТЬ)

/ .

м ^ Г ы "в 'гл

-ПОЛИ« СХСГ»

¿у О -ОТЖИНАЯ СХСГЛ

'-ИПЧЛЫАТЫ ИЗ

УЗКА

РИС

. 6

ИЗОЛИНИИ "ЧИСЫ МАХА

■25"

-О V 9 9 п.',

-0.$ в. 7 ">.

РИС. V УПРОШЕННАЯ СХШ РИС. 8. ПОЛНАЯ СХГМА ИЗОЛИНИИ ДАВЛЕНИЯ

.9. \ Ч Ч

ЭИС.9 УПРОШЕННАЯ СХЕГИД

.9 % Ч 1

РИС.»О ПОЛНАЯ СХГИА

РАСПРГЗСЛСНИС К03®»ИЦИСН1л 2А61СНИЯ

ьть ХОРЛУ ПРОМИП МДСАССИГ

(РГ.-гОТО0.И.-.0.5.НЧ/С60Ч ЧГОЛ ПАКИ)

РАСГ.РГЯГЛСНИС КОЭМШКНТА тргния ътъ хорда недоем?

(ЯГ:гошоо.а-.о.5.ич/1СбОй угол АТАКИ)

ф .ПО)«« схпи о -ЧЦРй«ГНН»В СХГПА

ф-П0/1тЯ СХГПА □ -ЧП^СЯГгтр схт*

РИС. 11

рис. 4-2