Итерационно-маршевый метод решения задач механики жидкости и газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СКУРИН Леонид Иосифович

ИТЕРАЦИОННО - МАРШЕВЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

01. 02. 05. - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Санкт - Петербург

2002

Работа выполнена в НИИ математики н механики км. акал. В.И. Смирнова Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор С.К. Матвеев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор Ю.З. Алешков; доктор технических наук, профессор В.Н. Емельянов; доктор физико-математических наук профессор A.A. Марков.

Ведущая органпзация:

Институт Механики

Московского государственного университета

Защита состоится марта 2002 г. в 14 часов на заседании диссертаци-

онного совета Д.212.232.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Санкт - Петербургском государственном университете (198504, Санкт - Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28, математико -механический факультет)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт - Петербургского государственного университета (Санкт -Петербург, Университетская наб. д.

7/9).

Автореферат разослан

февраля 2002 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

С.А.Зегжда

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цель диссертации - разработка эффективного, обладающего алгоритмической простотой и высокой степенью универсальности метода численного интегрирования систем уравнений Навье - Стокса и его применение для решения имеющих прикладную значимость задач механики жидкости и газа.

Актуальность проблемы. Движения жидкости, газа либо плазмы, тем или иным образом связанные с проблемами современной техники (физики, биологии, метеорологии, океанологии и т. д.), могут быть проанализированы в рамках сплошной среды с учетом всех деталей лишь путем интегрирования полных систем, описывающих движения указанных сред. Наиболее общими из таких систем являются системы Навье - Стокса либо (близкие ей по структуре) системы уравнений Рейнольдса, используемые для описания турбулентных течений.

В настоящее время существует большое разнообразие конечно-разностных методов решения этих систем применительно к конкретным классам задач. Наряду с известными достоинствами, существующие методы обладают и очевидными недостатками. Весьма широкая совокупность методов, основанная на принципах какого-либо расщепления/сводит сложную исходную разностную схему к последовательности более простых аналогов. В результате а) в схему вводится погрешность расщепления, б) каждый шаг (итерация) представляет собой совокупность нескольких разнородных этапов (то есть алгоритм вычислений остается достаточно сложным), в) появляется необходимость в искусственных граничных условиях, что может вносить произвол в вычисления (и постановка которых представляет самостоятельную проблему).

Широко используемые в последнее время методы решения задач о движениях газа, реализуемые на каждом временном шаге с использованием релаксации Гаусса-Зейделя по линиям (для решения алгебраической системы уравнений), имеют ограничение на сходимость типа условия Куранта и теряют эффективность в тех подобластях расчетной области, где число Маха мало. Использование этих методов для расчета движений несжимаемой жидкости основано на использовании искусственной сжимаемости, что существенно усложняет исходный алгоритм вычислений. Кроме того в этом случае в уравнение неразрывности вводится слагаемое, оптимальный вид которого для рассматриваемого типа задач заранее неизвестен. В частности, для решения стационарных задач вводится требующий подбора параметр искусственной сжимаемости, а для решения нестационарных задач вводится дополнительный параметр - псевдовремя (Rogers S.E., Kwak D.).

Таким образом, разработанные в настоящее время конечно - разностные методы решения систем уравнений Навье - Стокса приспособлены фактически для решения конкретных типов задач.

Эти обстоятельства существенно снижают мобильность исследователя. Действительно. при переходе к рассмотрению новых физических задач (связанных с новыми типами течений) исследователь вынужден не только осваивать новые численные методы, но и приспосабливать их к решению этих новых задач. Ситуация эта реализуется часто в настоящее время. Достаточно вспомнить, что существуют и разрабатываются сложные технические системы, одним из элементов

которых является движение тех или иных сплошных сред. Такие системы могут одновременно содержать участку! стационарных п нестационарных движений, иметь режимы, при которых среда несжимаема, режимы, при которых важен учет сжимаемости, или режимы, при которых важно учитывать неоднородность либо многокомпонентность среды. Как правило, движения в сложных системах трехмерные. Однако, на начальной стадии моделирования процессов целесообразно использовать двумерные и даже одномерные модели, полученные на основе упрощений физического характера. Понятно, что для количественного анализа всех "участков", всех режимов и всех моделей таких сложных систем на основе полной системы уравнений, описывающей движение сплошной среды, важно иметь один численный метод.

Отсюда ясна актуальность темы настоящей диссертации, посвященной разработке метода?таободного от указанных выше недостатков существующих методов.

Разумеется, "идеология" важности построения универсального метода не отвергает необходимость разработки и совершенствования численных методов, имеющих особенно высокую эффективность для конкретного типа задач, например, в случаях, когда существует необходимость серийных расчетов этих задач.

Очевидно, что решение задач, связанных с созданием новой техники, является актуальным. В диссертации с применением ИММ получены решения ряда новых задач о движениях жидкости и газа, связанны:;, в частности, со следующими современными техническими проблемами:

- исследование возможности воздействия пространственно неоднородного электромагнитного поля на характер вязкого обтекания подводного объекта (задача о воздействии электромагнитного поля на отрывные течения);

- моделирование частотных характеристик вихревого генератора звука с целью создания устройства для эффективного решения проблем навигации, изучения донных отложений и других (задача о вихревой трубе и истекающей из нее струи);

- исследование новых гидрофизических эффектов, связанных с возмущением движущимся объектом окружающей его вязкой стратифицированной среды (задача об эволюции пары вихрей).

Общая методика работы. Используются аналитические и численные методы исследования. Аналитические методы используются для обоснования разрабатываемого численного метода и исследования свойств его вычислительной схемы. Сюда относятся методы математической физики, разработанные И.Г. Петровским, С.К. Годуновым, и касающиеся критериев корректности задачи Кошп для систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка н разработанные B.C. Рябеньким, B.W. Ковеней, С.Г. Черным и касающиеся устойчивости и сходимости вычислительных схем для систем алгебраических уравнений.

Численные исследования осуществляются с помощью разработанного в диссертации метода интегрирования систем уравнений Навье-Стокса как с целью апробации этого метода и выявления его возможностей, так и с целью решения новых задач.

Научная новизна. В диссертации впервые показано, что задачи механики жидкости и газа могут эффективно решаться на основе полных систем уравнений

Павье - Стокса с помощью численного метода (ИММ), вычислительная схема которого (без использования каких-либо видов расщепления) целиком основана на маршевых процедурах по пространственной координате (либо координатам для трехмерных задач). Здесь имеются ввиду как задачи, в которых есть выделенное направление движения потока, так и задачи, не имеющие выделенного направления движения и содержащие обширные стационарные или нестационарные отрывные и рециркуляционные области.

В отличие от существующих методов расчета предложенный в диссертации метод численного интегрирования систем уравнений Навье - Стокса позволяет без изменения (либо корректировки) вычислительной схемы решать задачи о движениях как несжимаемой, так и сжимаемой жидкости, задач стационарных и нестационарных, задач любой размерности, задач внешних и внутренних п т.д.

То есть метод обладает весьма высокой степенью универсальности; вычислительная схема его проста; она обладает хорошей устойчивостью и сходимостью, имея порядок аппроксимации не ниже второго по всем независимым переменным.

Показано, что при соединении ИММ с принципом установления по времени возникает вычислительная схема, названная в диссертации модифицированной, которая в отличие от существующих схем, использующих принцип установления, позволяет осуществлять расчет на каждом временном слое с использованием двумерной (либо трехмерной) маршевой процедуры.

Проведены численные исследования новых, имеющих прикладную значимость задач механики жидкости и газа (задача о воздействии электромагнитного поля на пристенное отрывное течение проводящей жидкости и ближний след; задача об эволюции пары вихрей в вязкой стратифицированной среде; задача о движении жидкости и газа в вихревой трубе и струе; задача о продольном дозвуковом обтекании цилиндра в широком диапазоне значений определяющих параметров; задача о трехмерном движении жидкости под воздействием колеблющегося поршня).

На защиту выносятся:

— система конечно-разностных аппроксимаций итерациопно-маршевого метода численного интегрирования полных систем уравнений Навье-Стокса, обеспечивающая порядок аппроксимации не ниже второго в сочетании с алгоритмической простотой и высокой степенью универсальности;

— схема решения трехмерных задач, целиком основанная на маршевых процедурах;

— не содержащая " схемных параметров " эффективная модифицированная вычислительная схема;

— результаты аналГЙеского обоснования ИММ, включающие условия х - гиперболичности трансформированных систем уравнений в приближении Эйлера и условия устойчивости и сходимости его вычислительных схем;

— результаты численного решения задачи о воздействии электромагнитного поля на пристенное отрывное течение и ближний след;

— численный анализ эволюции пары круговых вихрей в вязкой стратифицированной среде;

— результаты численного решения задачи о движениях жидкости и газа в вихревой трубе и истекающей из нее струи;

— результаты численного решения задачи о продольном обтекании кругового

цилиндра с плоскими передним и задним торцами (и его модификации) и о следе за ним в широком диапазоне значений числа Реинольдса (Не — 10 — 103) и при до - и трансзвуковых значениях числа Маха (0 < М0 < 0.95);

— численный анализ трехмерного нестационарного движения жидкости в полости, расположенной между коаксиальными цилиндрами, под воздействием аксиально колеблющегося поршня и вращения внутреннего цилиндра.

Практическая ценность работы. Разработанный численный метод может быть использован для численного решения разнообразных задач механики жидкости, газа и плазмы. Он используется в СПбГУ с 1994 года по настоящее время для выполнения ряда договорных фундаментальных научных тем. Это НИР "ЦАР-ГА1Г, "ЦАРГАН - 2 - ГКНО",""ЦУГЦВАНГ", выполняемые по договору с в/ч 31270, "ЦЕРЕМОНИЯ - СПНЦ", выполненная по договору с СПП РАН. В диссертацию вошли также результаты численных исследований, полученных по программе "Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники", подпрограмме "Транспорт" (номер проекта 005.01.01.18).

Проведенные исследования поддержаны грантами РФФИ 96-01-00390, 00-0100633, 00-01-10705, 0015-96106 и грантом Минобразования по фундаментальным исследованиям в области естественных наук Е00-4.048.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены автором на следующих конференциях и семинарах: 14 Школе-семинаре по численным методам механики ваэхой жидкости (Новосибирск, 1994), XVII Всероссийском семинаре "Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах" (Санкт-Петербург, 1997), 13 и 14 Международной Школе по моделям механики сплошной среды (Санкт-Петербург, 1995, Жуковский, 1997), IV Международной конференции ГА-98 "Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики" (Санкт-Петербург, 1998), в Физико-техническом ин-те им. А.Ф. Иоффе на семинаре под руководством проф. Ю.П. Головачева (Санкт-Петербург, 1998), в Санкт-Петербургском политехническом университете на семинаре под руководством проф. Ю.В. Лапина (1998), в Московском госуниверситете на семинаре по вычислительной аэрогидродинамике под руководством проф. В.М. Пасконова и Г.С. Рослякова (1999), Юбилейной Международной конференции "Вычислительная механика и современные прикладные программные системы" (Переславль- Залесский, 1999), Всероссийской конференции по механике "Вторые Поляховские Чтения" (Санкт-Петербург, 2000), Третьей Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Истра-Москва, 2000), First International Conference on Computational Fluid Dynamics (Kyoto, Japan, 2000).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-28].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из "ВВЕДЕНИЯ", двух частей, разбитых в целом на 10 глав, объединяющих 47 пунктов, "ЗАКЛЮЧЕНИЯ", "СПИСКА ЛИТЕРАТУРЫ" и "ПРИЛОЖЕНИЯ". Общий объем работы 235 страниц. Работа содержит 104 рисунка, список литературы содержит 109 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во "'ВВЕДЕНИИ" кратко излагается история вопроса разработки ИММ. В его основе - известная с 70 - х годов идея глобальных итераций (ГИ) по давлению. Эта идея широко использовалась и используется в литературе для решения на основе упрощенных уравнений ограниченного круга задач - стационарных задач, характеризуемых наличием выделенного направления движения. (Единичные работы зарубежных авторов, в которых делались попытки расширить область применимости метода, не увенчались успехом - эти работы, судя но литературе, не получили развития). Важной особенностью метода ГИ было то обстоятельство, что соответствующая ему вычислительная схема была маршевой, то есть наиболее простой из неявных схем и что он был применим к задачам о движениях как сжимаемых, так и несжимаемых сред. Усилия ученых были направлены на совершенствование метода с целью повышения его устойчивости и ускорения сходимости. Основной вклад в эти исследования внесли Davis R.T., Rubin S.G. (и его ученики), Тирсккй Г.А. (и его ученики), Vigneron Y.С., Rakich J.V., Tannehill J.С., Войнович II.Л., Фурсенко A.A.. Israely M., Lin A.. Головачев Ю.П., Ковеня В.M., Марков A.A., Толстых А.И., Черный С.Г.

В отличие от упомянутой направленности работ, развивающих метод ГИ для решения задач на основе упрощенных уравнений, настоящая работа направлена на создание на основе той же идеи метода численного интегрирования полных систем уравнений Навье-С'токса применительно к самым разнообразным задачам.

Первые пять глав посвящены обоснованию метода и аналитическому исследованию свойств его вычислительных схем и тематически объединены в "Часть 1".

В главе 1 излагается математический формализм метода. В случае двумерной задачи одна из координатных осей - обозначим ее через т - объявляется маршевой и в уравнение движения в проекции на эту ось вводится трансформация производной от давления р вида

где р считается известной (но уточняемой) функцией координат, е - заданная величина. Трансформированная система уравнений представляется в виде конечно-разностноП» аналога и организуется итерационный цикл, основным элементом которого является ГИ, представляющая собой маршевую процедуру. В рамках ее р считается заданной функцией. Перед з-ой ГИ функция р вычисляется по соотношению

где г - параметр схемы. ГИ осуществляются с целью достижения равенства с заданной точностью между р и р:

(1)

р' =(1-г)р'-1 + гр'-1,

(2)

Ip'-p'l < ¿« 1.

(3)

При выполнении этого условия соотношение (1) становится тривиальным при любом с и тем самым завершается решение стационарной задачи либо решение на очередном временном слое нестационарной задачи.

В случае трехмерной задачи предложено кроме внешнего маршевого направления, на которое "нанизаны" двумерные области, в пределах каждой двумерной области вводить внутреннее маршевое направление и вычисления осуществлять с использованием формализма вида (1) -(3).

В главе 2 проводится исследование вопроса о том, существуют ли такие <, при которых трансформированные системы, записанные в приближении Эйлера, были бы гиперболическими. Положительный ответ на этот вопрос является принципиальным, поскольку известно, что для гиперболических систем задача Коши является корректной, а значит можно надеяться на то, что маршевые процедуры для конечно-разностных аналогов будут устойчивыми.

В случае полной системы Навье-Стокса в численных схемах (гл. 4) вторые производные по маршевой координате записываются "полуявно" по ГИ. То есть конечно-разностные соотношения для этих производных аппроксимируют их лишь при сходимости ГИ. В таком случае исследование условий х- гиперболичности на основе полной системы теряет смысл, так как это исследование проводится лишь с целью выяснения вопроса о "корректности" маршевой процедуры. По этой причине разумно основываться именно на приближении Эйлера.

В п. 1 исследуются уравнения для несжимаемой жидкости. Показано, чю для них условие х - гиперболичности имеет вид: с > 0.

В п. 2 рассмотрены уравнения для совершенного газа. Показано, что соответствующие условия существуют, но зависят от размерности задачи, местного значения числа Маха и различаются для стационарной и нестационарной задач. Выписаны соответствующие неравенства для с. Подчеркивается, что в расчетах следует использовать те значения е, которые обеспечивают устойчивость и сходимость вычислительной схемы для решения конечно-разностных аналогов дифференциальных систем.

В главе 3 приведена система конечно-разностных аппроксимаций всех производных, содержащихся в уравнениях Навье-Стокса. Эта система аппроксимаций сформирована на основе результатов аналитических п численных исследований свойств вычислительной схемы. Она включает простейшие разностные аппроксимации первого порядка (двухточечные и трехточечные) и второго порядка (двухточечные и трехточечные) для первых производных и трехточечные разности второго порядка для вторых производных.

Первый порядок аппроксимации используется для маршевых производных первого порядка в следующих двух случаях: при аналитическом исследовании устойчивости и сходимости вычислительной схемы и в расчетах на соседнем к границе луче (а также использовался для всей области в первых расчетных работах автора).

Методические расчеты проводились и при аппроксимации поперечных производных четырех- и шеститочечными разностями третьего и пятого порядков соответственно (п. 1 гл. 9).

Глава 4 посвящена аналитическому исследованию свойств основной вычислительной схемы ИММ. Это исследование основывается на применении метода Фурье

к системе уравнений с "замороженными"' коэффициентами. Уравнения записываются в декартовой системе координат. Первые производные по маршевой координате аппроксимируются с первым порядком, остальные пространственные производные центральными разностями. Производные по времени - с первым порядком. Разностная сетка считается равномерной.

Исследуются условия устойчивости маршевых процедур и сходимости ГИ. Исследование сходимости ГИ проводится при наиболее жестком предположении о значении параметра в (1.2): т = 1.

В п. 1 рассматриваются уравнения для сжимаемой жидкости, записанные в приближении Эйлера в переменных: составляющие вектора скорости и,г.ш, плотность р. давление р . Уравнения для несжимаемой жидкости следуют из этой системы как частный случай при характерном значении числа Маха Л/0 =Ф> 0.

Основные результаты, полученные здесь, сводятся к следующему:

- детали конечно-разностного представления р оказывают существенное влияние на сходимость ГИ как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости.

- для дву- и трехмерных течений газа в предельном случае М0 => оо имеют место безусловные устойчивость и сходимость, а в предельном случае Л/0 0 безусловные устойчивость и сходимость имеют место при 1 < £ < 3.

- для одномерной задачи газодинамики имеет место безусловная устойчивость и сходимость при любых значениях М0.

В п. 2 рассматриваются двумерные уравнения Навье-Стокса. Здесь для простоты значение е фиксировано. В соответствии с результатами п. 1 принято е = 1.

Показано, что для двумерной задачи гидродинамики имеют место безусловная устойчивость маршевых процедур и безусловная сходимость ГИ. Важно отметить, что результат справедлив независимо от знака маршевой составляющей вектора скорости. Поэтому следует ожидать, что метод применим и для течений с обратным током.

Эти результаты подтверждены расчетами (глава 7). Более того, согласно расчетам, хорошие устойчивость и сходимость имеют место как для случаев более высокого порядка аппроксимации производных по всем независимым переменным, так и для задач о движениях сжимаемой среды (главы 8, 9).

В п. 3 рассматриваются трехмерные уравнения Навье-Стокса. В случае трехмерных задач в настоящей работе вдоль третьей оси 2 вводятся разностные аппроксимации аналогичные тем, что приведены в главе 3 для маршевой оси. В результате решение трехмерной задачи сводится к последовательное! и одномерных процедур, но вдоль координатных линий, ортогональных не одной маршевой оси, как в двумерном случае, а двум маршевым осям (то есть ортогональных двумерному множеству узлов).

Для реализации этой схемы ось г принимается за внутреннее (в рамках двумерной области) маршевое направление, и в уравнение движения в проекции на эту ось вводится трансформация вида (1), то есть

др __. п , ,дР дР

тт- =>■ (1 + с,)—--с,—,

дг Ог дг

где р - известная (в рамках внутренней ГИ), но уточняемая функция, е, - заданная

величина. Перед г -й внутренней ГИ функция р вычисляется по соотношению

,7 = (l-тl)pr-^ +г,рг~1.

где Г; - параметр схемы. Внутренние ГИ осуществляются с целью достижения равенства с заданной точностью между р и р:

|рг-р' | < 6, « 1.

При выполнении этого условия завершается расчет очередной двумерной области на текущей внешней ГИ, соответствующей фиксированному трехмерному полю р, которое уточняется по соотношению (2) после окончания расчета всех двумерных областей (то есть после окончания очередной внешней ГИ).

Проведено аналитическое исследование свойств этой схемы. Показано, что имеет место безусловная устойчивость внутренних и внешних маршевых процедур и безусловная сходимость внутренних и внешних ГИ. Важно отметить, чю с увеличением размерности задачи свойства вычислительной схемы не ухудшились. Важно отметить также, что полученные здесь результаты справедливы независимо от знаков маршевых составляющих вектора скорости и, следовательно, можно ожидать, что метод применим и для расчета течений с обратным током. Хорошие вычислительные свойства метода имеют место и при аппроксимации производных по маршевым направлениям со вторым порядком. Все эти результаты подтверждаются расчетами (п. 3 гл. 7, п. .5 гл. 9).

Замечание. Вторые производные по маршевым координатам вычисляются по формуле

(2Иу = (Г+'г' -2(/т + (/"'г

[дх*' Лх2

в соответствии с данными главы 3. В первых работах автора второе и третье слагаемое в правой части также брались с 5 — 1 итерации. В этом случае сходимость была условной. Использование выписанной аппроксимации принципиальным образом улучшает сходимость.

В главе 5 рассматривается вычислительная схема, которая следует из формализма ИММ в частном случае, когда уравнения записаны с учетом нестационарных членов, не ставится требование достижения условий (3) на каждом временном слое и принято £ ~~ с, = г = г, = 1 в соотношениях (1), (2) и аналогичных соотношениях, соответствующих трехмерной задаче. Каждому временному шагу в этом случае соответствие! одна маршевая процедура, а значения сеточных функций, которые брались с предыдущей итерации, теперь берутся с предыдущего временного слоя.

Полученная таким образом схема не имеет явной связи с методом ГИ. Процесс решения вообще не предполагает использования каких-либо итераций в обычном смысле. По отношению к стационарной задаче следует говорить об отыскании решения на основе принципа установления по времени. Эта модифицированная, как мы будем ее называть, схема обладает следующими двумя особенностями: 1) каждый временной шаг реализуется маршевой безусловно устойчивой в соответствии с результатами п. 2 и п. 3 главы 4 процедурой; 2) ряд производных по маршевой координате в этой системе аппроксимируется лишь при сходимости по времени.

В п. 1 показано, что для двумерной задачи гидродинамики вычислительная схема является безусловно сходящейся по времени. Согласно расчетам, хорошие вычислительные свойства модифицированной схемы сохраняются и для случая сжимаемой жидкости и для случая аппроксимащпгпроизводных по маршевым координатам со вторым порядком (глава 9).

В п. 2 доказана безусловная сходимость модифицированной схемы для трехмерной задачи гидродинамики. Численно эти результаты подтверждены в п. 3 гл.

Модифицированная схема оказалась весьма эффективной при решении стационарных задач. Когда эта схема используется и пространственная сетка фиксирована. схема содержит лишь один параметр - временной шаг.

В п. 3 обсуждаемся вопрос о возможности использования модифицированной схемы для решения нестационарных задач. Показано, что это возможно при ограничении сверху значения временного шага. Методическая сторона этих ограничений связана с тем обстоятельством, что ряд производных в системе уравнений аппроксимируется лишь при сходимости ГИ. В п. 5 гл. 9 на конкретном примере численно подтверждена возможность использования модифицированной схемы для решения нестационарных задач.

Часть II диссертации посвящена численным исследованиям. Здесь приведены результаты использования ИММ для решения разнообразных задач механики жидкости и газа. Цели проведенных расчетов следующие: 1) сопоставление расчетных данных с имеющимися в литературе решениями либо с экспериментальными данными, 2) выявление возможностей и эффективности ИММ, 3) численное моделирование с последующим физическим анализом решений новых актуальных задач гидроаэромеханики.

В главе 6 приводятся общие для последующих глав сведения, касающиеся исходных систем уравнений и вычислительной схемы ИММ.

В п. 1 подчеркивается, что основной и единственной алгебраической процедурой, на которой базируется процесс интегрирования системы уравнении Навье -Стокса при использовании ИММ, является отыскание решения системы алгебраических уравнений для искомого вектора сеточных функций, зависящих от одного индекса (соответствующего оси, поперечной по отношению к мг.ршевым осям). В случае одномерных задач она вырождается в процедуру решения в каждой точке маршевой оси системы алгебраических уравнений для компонент искомого вектора в этой точке.

Понятно, что исходная система алгебраических уравнений является нелинейной. Эта система линеаризуется по методу Ньютона, однако итераций по нелинейности не требуется. Поскольку решение стационарной задачи или решение на очередном слое нестационарной задачи завершены при сходимости ГИ, то есть по условию малости приращения искомых функций, то понятно, что при этом мы имеем решение нелинейной системы с заданной точностью (несмотря на то, что вычисления в рамках каждой одномерной процедуры осуществлялись по линейной системе уравнений для приращений искомых функций).

Если при аппроксимации производных в поперечном направлении используются симметричные двухточечные разности, матрица алгебраической системы будет блочной трехдиагональной. При использовании односторонних разностей второго

порядка или разпооей третьего порядка матрица будет блочной пятидиагональ-ной. Размерность блока будет расти с ростом порядка аппроксимации. Однако эта матрица всегда будет существенно разреженной, и ее обращение может быть осуществлено с использованием известных экономичных методов.

В п. 2 описываются системы координат и приводятся исходные дифференциальные уравнения, которые использовались в расчетах. Это криволинейные ортогональные системы координат, связанные с твердой поверхностью, цилиндрические и декартовы системы. В случае первой из указанных систем уравнения записывались для контравариантных составляющих вектора скорости. В случае цилиндрической и декартовой систем осуществлялось отображение физической расчетной области на прямоугольник в новых независимых неременных. При использовании уравнений в новых переменных при счете пространственные шаги принимаются постоянными во всей расчетной области. При этом шаги в физической плоскости изменяются по заданному закону.

При решении задач о течениях сжимаемой жидкости использовалась система дифференциальных уравнений в переменных - составляющие вектора скорости, давление, температура Т. Приведение системы к безразмерному виду осуществлялось двумя способами: 1) при введении масштабов и«, г., и1., ре,2, (к — 1)/к1\.2Л, где И - газовая постоянная, к - показатель адиабаты, индекс * относится к фиксированной точке потока и 2) при введении новых независимых переменных в виде

¿ = — ¿= — ¡¡. = — Г = — р = — ' = - (4)

и»' !>.' ш,' Т,' р.' р.и, р.и.

В последнем случае уравнение состояния записывается так • - 1 + _ 1и1р„

р~~ г ' * ~ V «л.'

Полагая здесь формально М, = 0 для изотермических (Т = 1) течений, имеем отсюда р — 1, что соответствует случаю несжимаемой жидкости. При этом система дифференциальных уравнений и граничные условия при втором способе обезраз-меривания при М. = 0 соответствуют случаю несжимаемой жидкости. Соответствующая система уравнений использовалась для решений при М. > 0. (В случае первого способа постановка задачи не допускает задания А/. = 0).

В подавляющем большинстве работ, использующих для расчета метод ГИ. вычислительная схема имеет имеет первый порядок аппроксимации по маршевой координате. В п. 3 на примере расчета течения в плоском диффузоре при наличии обшнрной области отрыва показана важность использования в расчетах аппроксимации второго порядка по маршевой координате.

В главе 7 приведены результаты решения задач о течениях несжимаемой жидкости.

II. 1 посвящен двумерным стацонарным задачам. Результаты, приведенные в этом подразделе, исторически были первыми, полученными с использованием ИММ. Здесь используется основная вычислительная схема, а в качестве исходных стационарные уравнения Навье - С'токса. Расчеты проводились при с = 1, г = 0,3-1.

В п. 1.1 рассмотрено течение с отрывом в плоском диффузоре. Предварительно в качестве тестовой рассмотрена задача о развитии течения на начальном участке плоского канала. Результаты расчета хорошо согласуются с известными численными данными. Течение в диффузоре моделировалось на основе системы уравнений, записанной в ортогональной криволинейной системе координат, одной из координатных линий которой является стенка. Приведены расчетные данные для чисел Не — 200 — 1000 п для различных значений параметра А, характеризующего степень расширения диффузора. С увеличением |Л| (что соответствует увеличению степени расширения) и числа Рейнольдса растет размер области отрыва. Из этих первых расчетов стало ясно, что метод применим к задачам, в которых область отрыва занимает существенную часть расчетной области. Показано, что при достаточно большой степени расширения в расчетной области имеются две зоны отрыва.

В п. 1.2 проведено моделирование магнитогидродинамического течения в диффузоре и в следе за телом. Значительный прикладной интерес представляют собой задачи обтекания тела электропроводящей жидкостью в электромагнитных полях, создаваемых источниками, находящимися внутри тела. Такие источники позволяют, в частности, уменьшить гидродинамическое сопротивление тела посредством воздействия электромагнитной объемной силы на пристенный слой жидкости.

Моделируется ситуация быстрого изменения угла наклона образующей тела, когда в отсутствие МГД - силы в пристенной области либо в следе за телом реализуется отрыв. Изучается влияние электромагнитной силы на параметры зоны отрыва и гидродинамическое сопротивление тела. Рассматривается случай течения при малом магнитном числе Рейнольдса в не зависящих от времени скрещенных электрическом и магнитном полях, экспоненциально затухающих при удалении от стенки. Показано, что 1) воздействие на тонкий пристенный слой жидкости приводит к изменению профилей скорости по всему вязкому слою, 2) за счет изменения параметра нагрузки можно либо увеличить зону отрыва, либо уменьшить ее вплоть до полного исчезновения, 3) несмотря на то, что электромагнитные силы оказывают непосредственное воздействие лишь на пристенный слой жидкости, существенное влияние ах распространяется на течение как в ближнем следе, так и вниз по потоку от него, 4) суммарное сопротивление тела эффективно регулируется значением параметра нагрузки.

В п. 1.3 рассмотрены осесимметричные течения закрученных потоков в трубах переменного сечения. В отличие от предыдущих случаев (где рассматривалась плоская задача), здесь рассмотрен осесимметричный диффузор (степень расширения которого характеризуется параметром |Л|). Дополнительно к заданию профилей продольной и радиальной составляющих вектора скорости в начальном сечении задается профиль окружной составляющей скорости в виде и> - кг, где г -радиальная координата, к - параметр. Проведено сравнение размеров зон отрыва для плоской и осесимметричной задач в отсутствие закрутки. Исследовано влияние степени закрутки на структуру потока в трубе. Показано, что с уветичением к (при фиксированных Л и Не) зона отрыва вблизи стенки исчезает, но появляется зона возвратного течения на оси потока. Такое влияние закрутки известно из экспериментов.

В п. 1.4 рассматривается иной вид закрученного течения в трубе, а именно те-

чение в вихревой трубе. Последняя представляется как заглушённая с одного конца труба длиной I, внутри которой вблизи заглушённого конца на длине Л тангенциально под давлением подается жидкость. Истечение жидкости осуществляется через другой конец трубы. Масштаб длины - радиус трубы а, масштаб скорости -радиальная составляющая скорости подаваемой жпдкостп г». Граничные условия: на оси - условия симметрии, при г = 1, 0 < г < Л: V = —1, и> = и>„ = 2ИВ, и = О, на остальной части поверхности трубы - прилипание. Здесь В - параметр. В соответствии с известными экспериментальными и теоретическими исследованиями течение считалось турбулентным и рассчитывалось по системе уравнений Навье-Стокса с эффективным значением числа Рейнольдса Де = бО/г/ш,. Расчеты показывают, что характерным является низкий уровень давления вблизи оси в области вдува и наличие прносевой рециркуляционной зоны. При увеличении степени закрутки длина эгой зоны растет и достигает выходного сечения. Вопрос о постановке граничных условий на выходе в этом случае обсуждается в п. 2 главы 9. Эти решения двумерного поля течения в вихревой трубе послужили основой для создания приближенной методики расчета частоты звуковых колебаний, излучаемых вихревой трубой.

В п. 2 рассматриваются двумерные нестационарные задачи. Используется основная схема ИММ, решение на текущем временном слое завершается при сходимости с заданной точностью ГИ.

Рассматриваются плоские задачи об эволюции возмущений в безграничной вязкой стратифицированной по плотности среде.

В п. 2.1 метод апробируется на исследовавшейся ранее задаче об эволюции кругового пятна однородной жидкости в линейно-стратифицированной среде. Проведено сопоставление расчетных данных с известными расчетными и аналитическими зависимостями, полученными другими авторами. Сопоставление проведено по конфигурации внутренних волн поля плотности, в фиксированные моменты времени, по эволюции во времени расстояний от оси симметрии гребней и впадин профиля плотности вдоль фиксированной прямой и по эволюции поля скорости вблизи пятна.

Получено удовлетворительное согласие по эволюции имеющих сложную структуру гидродинамических полей в расчетной области.

В п. 2.2 исследуется имеющая прикладное значение задача об эволюции пары круговых вихрей в вязкой линейно-стратифицированной среде. Линейный масштаб - радиус вихря Го, масштаб скорости чт - скорость на границе вихря в начальный момент времени. Расчетная область - прямоугольник, имеющий вертикальную ось симметрии и три свободные границы. На этих границах задавались значения плотности и давления, соответствующие их значениям в окружающей среде, и мягкие условия для компонент скорости. Считалось, что в начальный момент времени поле плотности то же, что и в окружающей среде, а поля скорости и давления определялись предположением о том, что внутри круговых вихрей (радиуса г0) завихренность постоянна, а вне их эти поля совпадают с известными полями, соответствующими паре точечных вихрей (той же интенсивности). Напомним, что в идеальной жидкости такая пара движется вдоль вертикальной оси с постоянной скоростью Уо = 1/(2а), где а - расстояние от центра вихря до оси.

Начальное поле скорости характеризуется сильным изломом на границе ви-

хря. Расчеты проводились в движущейся системе координат = с — jl'ô|i. Величина расчетной области 0 < < 24, 0 < г < 15. Шаги расчетной сетки Aii = Аг = 0,15, шаги по времени 0,05 < At < 0,4. Исследовано влияние числа Рейнольдса (10 < Re < 105) на не эволюцию пары в однородной среде. Приведены профили скорости в расчетной области в фиксированный момент времени и зависимость падения кинетической энергии пары от времени. Показано, что результаты расчета, соответствующие первому и второму порядку аппроксимации маршевых производных/существенно различаются между собой.

Показано, что в случае стратифицированной среды эволюция поля течения практически полностью определяется параметром

5 = (5)

1'т

где g - ускорение силы тяжести, с - модуль градиента плотности в окружающей среде. Приведены характерные профили скорости и дефекта плотности в разные моменты времени: Анализ расчетных данных показал, что частицы жидкости совершают работу против сил плавучести, в результате чего кинетическая энергия вихревой пары падает с течением времени. Деформация поля скорости вихревой пары приводит к изменению скорости ее движения как целого. С увеличением S уменьшается длина пути вихревой пары до полной ее остановки.

Можно дать и более прозрачную физическую трактовку этого эффекта. Благодаря начальной кинетической энергии(вихревая пара "несет" при движении вверх более тяжелую по отношению к окружающей среде жидкость и поэтому оказывается под воздействием сил плавучести, препятствующих ее смещению. Понятно, что в случае противоположной начальной ориентации завихренности, когда пара начинает движение вниз, она будет "нести" более легкую жидкость и вновь окажется под воздействием сил плавучести.

Проведены дополнительные методические расчеты, выполненные при увеличении расчетной области: 0 < 2i < 50, 0 < г < 50 и при числе узлов 250 х 250. Эти расчеты подтвердили полученные результаты и дали заметное различие по полям искомых функций лишь вблизи границ расчетной области.

В п. 2.3 дана простая приближенная методика оценки смещения вихревой пары для случая произвольной стратификации. Этот результат прямо не связан с применением ИММ, но имеет прикладной интерес и основан на результатах, полученных в предыдущем пункте. Задача об изменении скорости движения вихревой пары сведена к простому уравнению

V0{t) - \о(0) = -Ы0)£s2tdt, г « zb + V„(0)f,

где ij, - координата начального положения вихревой пары, a S определяется соотношением (5). где с = c(z).

В п. 3 решаются трехмерные задачи гидродинамики. Цель этих расчетов -апробация предложенной (гл. 1 и п. 3 гл. 4) схемы расчета трехмерных течений. Расчетные данные получены при аппроксимации производных со вторым порядком точности по всем пространственным переменным. Значения параметров схемы: е = б; = г = т, = 1. Расчеты проведены по модифицированной схеме.

В п. 3.1 приводится решение задачи о течении жидкости на начальном участке трубы квадратного сечения. За внешнюю маршевую ось принималась ось, параллельная стенкам канала. В ортогональных к ней Ь — 1 плоскостях вводилось внутреннее маршевое направление, определяемое осью, имеющей начало на плоскости симметрии. Основная цель расчета - сопоставление расчетных данных с известными экспериментальными данными, полученными для значений чисел Рейнольдса в диапазоне йе = 69 — 387. В расчетах принято Не = 200, длина грубы равна двадцати калибрам.. Задача решалась на равномерной сетке 11 х 11 X 11. Значение временного шага = 0,25. Число внутренних ГИ - две. При сходимости к стационарному решению точность определения давления в расчетной области составляла Ю-*1. Результаты удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными по развитию скорости вдоль трубы и по профилям скорости в плоскостях симметрии.

В п. 3.2 рассматривается задача о двумерной и трехмерной каверне, то есть задача о циркуляционном движении жидкости в замкнутом объеме, инициируемом движушйися в своей плоскости крышкой. Замкнутый объем представляет собой куб 0 < х,у, г < 1, причем плоскость х = 0 движется со скоростью, вектор которой имеет лишь одну ненулевую составляющую - вдоль оси у. Такая задача имеет плоскость симметрии г = 0,5, поэтому расчетная область представляла собой половину куба 0 < г < 0,5 в случае трехмерной задачи. Ось г принимается за внешнюю маршевую ось, ось х - за внутреннюю. Постановка двумерной задачи является частным случаем постановки трехмерной задачи, когда стенки г = 1 и г = 0 разнесены на плюс-минус бесконечность (так что все сечения вдоль оси г равноправны). В качестве начальных условий задавались единичное значение у -компоненты скорости на крышке и нулевые значения компонент скорости и давления во всех остальных узлах расчетной области.

В случае двумерной каверны решения получены для чисел Ие — 1, 400, 1000 на равномерных сетках 21 х 21 и 41 х 41 (результаты расчетов на равномерной и неравномерной сетках 61 х 61 обсуждаются в гл. 10).

Решения для трехмерной каверны получены при йе = 100,400 на равномерной сетке 21 х 21 х 11.

Все полученные расчетные данные находятся в хорошем согласии с известными расчетными данными других авторов.

В главе 8 приводятся решения задач о движениях сжимаемой жидкости как с целью апробации ИММ, так и с целью исследования его возможностей.

П. 1 посвящен стационарным задачам. Здесь решения получены при использовании основной схемы на основе стационарной системы уравнений.

В п. 1.1 рассматривается движение газа между параллельными плоскостями в постановке работы Асланова Т.Д., Быркина А.П., Щенникова В.В. (Ученые зап. ЦАГИ. 1981. 3, с. 44-54). Число Маха в начальном сечении фиксировано и составляет Л/1 = 0,42. Основные параметры - число Яе и перепад давления между входным и выходным сечениями, характеризуемый отношением к давления на стенке в выходном сечении к (постоянному по сечению) давлению во входном сечении. Для вычисления значений давления во внутренних узлах выходного сечения предполагалось, что в этом сечении выполняется уравнение движения в проекции на поперечную ось, в котором производные по маршевым координатам вычислены

с использованием известных данных для внутренних точек. Простейшая реализация этих условий представляет собой равенство производных по поперечной координате от давления в конечном п предыдущем сечениях. При использовании этого условия с учетом заданного давления ча стенке определялся профиль давления в выходном сечении. Начальное поле давления задавалось в виде линейной функции от продольной координаты. Получены расчетные данные в диапазоне чисел Рейнольдса от 12 до 1000, к = 0,7 и к = 0,3. Прп к = 0,3 дозвуковой в начальном сечении поток становится сверхзвуковым в выходном сечении. В расчетах принято т = 1. Расчеты показали также, что величина с в диапазоне 1 < с < 3 существенно не влияет на скорость сходимости итераций.

В п. 1.2 в постановке упомянутой чуть выше работы решаются задачи о движении газа в сопле Лаваля и в диффузоре. Данные по распределению давления и числа Маха вдоль оси канала (п. 1.1) и вдоль оси сопла Лаваля удовлетворительно согласуются с данными этой работы. При к = 0,3 при увеличении числа Яе вблизи выходного сечения сопла Лаваля появляется зона отрыва.

В случае диффузора, форма которого задается теми же соотношениями, что и в п. 1.1 гл. 7, при |Л| = 0,4, к = 0,7 имеет место безотрывное течение при Яе = 50. При Яе г» 300 в области расширения образуется зона отрыва, размеры которой увеличиваются с ростом значения Яе. При Яе > 500 поле течения содержит две зоны отрыва (аналогичная структура была вычислена и в случае несжимаемой жидкости в п. 1.1 гл. 7).

В п. 1.3 рассмотрен случай сверхзвукового входа газа в канал с противодавлением. Рассматривается капал постоянной высоты, предполагается, что на входе число Маха М\ > 1. Заданный во входном сечении профиль скорости моделирует однородный поток в центральной части канала и пограничный слой вблизи стенки. В такой ситуации вблизи входного сечения формируется косой скачок уплотнения, связанный с взаимодействием сверхзвукового потока с пограничным слоем. Этот скачок отражается от стенок канала и приводит к отрыву потока, в результате чего внутри канала формируется течение, характеризующееся немонотонным изменением параметров и большими локальными градиентами. Такая картина получена в известных экспериментальных и расчетных исследованиях. Эта картина подтверждается и нашими расчетами. Получена и проанализирована зависимость структуры поля течения от значений числа Маха (Л/] = 1,62; 5) и числа Рейнольдса Яе = 50 — 3000 при к = 2.

Эти первые результаты, относящиеся к течениям сжимаемой жидкости, показали, что полученные аналитические результаты по свойствам вычислительной схемы для жидкости справедливы и для газа.

В п. 2 рассмотрены нестационарные одномерные и двумерные задачи. Используется второй порядок аппроксимации по пространственным координатам и первый либо второй по времени. В п. 2.1 рассмотрена задача об одномерной тепловой волне. Предполагается, что в начальный момент времени I = 0 газ, расположенный между параллельными пластинами, покоится и имеет температуру 7]. Такую же температуру имеет правая пластина, а левая имеет температуру 7г = 27\. Возникающий вследствие разницы температур поток тепла инициирует при £ > 0 движение газа. В результате между пластинами движутся волны, скорость которых близка к скорости звука. Процесс зарождения этих волн и их

эволюция и является предметом для численного исследования.

Расчеты проведены на однородной сетке, содержащей 101 узел. Принято т — 1, Re = 1000. Что касается параметра е, то его величина, при которой удается получить решения рассматриваемого класса задач, отличается от "стандартной'1 величины t = 1. Чтобы избежать неустойчивости, здесь необходимо принимать 0 < с < 1. Результаты, полученные при с = 0,2, сравниваются с известными расчетными данными Васина В.Г., Полежаева В.И. (Препринт ИНМ АН СССР, 124. 1977) по профилям скорости в фиксированные моменты времени, по эволюции во времени скорости в фиксированной точке области. Эти данные, а также данные по эволюции во времени температуры и давления находятся в хорошем количественном согласии с данными упомянутой работы.

В п. 2.2 рассматривается одномерное движение газа в резонансной трубе. Имеется в виду движение газа в трубе под воздействием гармонически движущегося поршня у левого конца трубы при том, что правый конец заглушён. Принципиальные физические вопросы, связанные с таким движением, выяснены экспериментально в работе Merkli P., Thomann Н. (J. Fluid Mech. 1975. V. 70. Pt. 1). Расчеты проведены для условий эксперимента. Расчетные данные, как и экспериментальные, свидетельствуют о наличии резонансного режима колебаний газа. Отмечается не только качественное, но и неплохое количественное согласие с данными экспериментальной работы.

В п. 2.3 рассмотрена двумерная задача об эволюции структуры поля течения в плоском сопле Лаваля при повышении по заданному во времени закону давления в выходном сечении сопла, рассмотренного в п. 1.2 гл. 8. В рассмотренном примере поле течения при t = 0 соответствует стационарному режиму для случая к = 0,15, Re = 250. Изменение к во времени задается зависимостью к — 0,15(1 + 0,5i). Решение получено с шагом Д( = 0,025, при с = 0,7, г = 0,3. Результаты свидетельствуют о возникновении и росте во времени вблизи выходного сечения зоны отрыва. Анализ расчетных профилей скорости свидетельствует о резком росте во времени скорости возвратного течения в области от рыва.

Таким образом, в п. 2 численно показана эффективность метода применительно к решению задач нестационарной газодинамики.

В главе 9 приводятся решения внутренних н внешних задач о течениях жидкости и газа для случаев наличия излома образующей стенки, ограничивающей течение. Численное моделирование в п. 2, 3 осуществляется на основе системы уравнений для газа, записанных в переменных (4). Движению жидкости соответствуют решения, полученные при нулевом значении характерного числа Маха. Здесь используется модифицированная схема. Пространственные производные аппроксимируются со вторым (или более высоким) порядком.

Расчетные области для рассматриваемых в гл. 9 задач содержат резкие изломы образующих, и этим они отличаются от случаев, рассмотренных в предыдущих главах. Это отличие влечет за собой отказ от использования только центральных разностей для аппроксимации производных по поперечной координате.

В п. 1 в качестве тестовой рассмотрена плоская задача о течении несжимаемой жидкости в области, ограниченной сверху плоскостью, а снизу - обращенной назад ступенькой. Использование для такой задачи центральных разностей для всех поперечных производных приводит к осцилляциям сеточных функций вблизи

угловых точек. Гладкие решения в этих случаях удается получить при использовании односторонних разностей второго (либо смещенных разностей третьего или пятого) порядка для аппроксимации производной по поперечной координате в уравнении неразрывности и градиента давления в уравнении движения. В общем случае поле течения содержит три зоны отрыва - непосредственно за ступенькой, на верхней стенке при Re > 400 и вторую зону отрыва на нижней стенке при Re > 1000. Эти результаты подтверждаются известными экспериментальными данными.

В п. 2, как и в п. 1.4 гл. 7, рассматривается течение в вихревой трубе. Однако здесь расчетная область дополнительно включает часть пространства вблизи выходного сечения трубы. Этого требует строгая постановка задачи, так как выходящий из трубы поток может существенно влиять на параметры среды вблизи выходного сечения.

В п. 2.1 на основе анализа расчетных данных отмечаются характерные особенности поля течения. Показано, что с увеличением параметра закрутки и'„ длина зоны рециркуляции уменьшается, по максимальное значение модуля скорости обратного тока и, увеличивается. При wa > 50 величина иш превышает максимальное значение скорости прямого тока в том же сечении. В области подачи жидкости в трубу имеет место большой радиальный перепад давления, а в области выходного сечения он относительно невелик.

В п. 2.2 исследуется методический вопрос о возможности упрощенной постановки задачи. Сравниваются решения, полученные на основе постановки, принятой в п. 1.4 гл. 7 и настоящей (без струи и со струей). Здесь особенно интересен постановочный вопрос - можно ли при наличии в выходном сечении трубы области возвратного тока получить стационарное решение и если можно, то будет ли оно существенно отличаться от уже найденного (при расчете со струей). Расчеты показали, что стационарное решение при этом может быть получено и что это решение не отличается принципиально от полученного в более строгой постановке.

В п. 2.3 анализируется решение для газа. Приведены результаты, относящиеся к двум случаям: u\t = 10 и wa = 20. Им соответствуют значения чисел Маха подаваемого в трубу газа Мш яз 0, 5 и М„. rs 1. В безразмерных переменных структура поля течения качественно та же, что и для несжимаемой жидкости. Особый интерес представляет собой расчетное поле температуры. Согласно расчетам, в центральной части потока температура ниже той, с которой газ подается в трубу, что естественно рассматривать как проявление эффекта Ранка. Следовательно этот эффект может изучаться посредством численного моделирования осесимме-тричного течения в вихревой трубе.

В п. 3 изучается продольное обтекание круглого цилиндра, имеющего плоский торец и плоский кормовой срез транс- и дозвуковым потоком газа Безразмерное значение радиуса цилиндра r0 = 1. Расчетная область показана на рис. 1. Расчетная сетка сгущалась вблизи поверхности тела. Значения отношений продольных и радиальных шагов AzmaT/Azmin и Armar/Armin составляли 25 - 50 и 5 - 10 соответственно. Начальное приближение бралось в виде: и = Г = 1, v — р — 0 во всей расчетной области.

В п. 3.1 рассматриваются результаты, относящиеся к двум вариантам - к трансзвуковому обтеканию Л/«, = 0,95 и к случаю несжимаемой жидкости А/ж =

0. Длина цилиндра 10 = 3. Решение для трансзвукового обтекания получено при следующих значениях параметров расчетной области;/^ = 10, L2 — Lз = 20 на сетке 91 х 201 при Агтш = Дгт,„ = 0,0-5, Дг = 0,0-5, Де = 100. Для получения стационарного решения достаточно менее 300 временных шагов. Для вариантов с малым Л/,» необходимо увеличивать размеры расчетной области.

Решение при А/^ = 0 получено для Де = 300 при L\ = 50, Lj = 10, L3 = -50 на сетке 141 х 311, А/= 0,01.

В п. 3.2 изучается влияние числа Рейнольдса на трансзвуковое обтекание (Де = 10 — 1000). Расчеты проведены при Lt = 10, ¿2 = L3 = 30 на сетке 141 ж 401 и при ¿1 = 10, L2 = 30, L3 = 50 на сетке 141 х 641. Результаты в этих случаях существенно не различаются. Здесь принято Дхгт,„ = Дгтт = 0,025.

Согласно расчетам, относительно быстро устанавливается поле течения перед телом, медленнее - в следе. Приведены характерные результаты по влиянию числа Рейнольдса. Они включают как зависимость параметров в области отрыва за срезом тела от числа итераций (временных шагов), так и распределение параметров в установившемся решении. Для значений Де = 10, 300, 1000 показаны распределения скорости на оси в следе за телом и профили продольной составляющей скорости вблизи боковой поверхности цилиндра. При Де = 1000 у поверхности тела образуется зона отрыва. Слабый отрыв в этом случае имеет место и перед телом. Изображена структура поля течения, где отмечены эти зоны отрыва. Над поверхностью цилиндра, простираясь в область следа, располагается местная сверхзвуковая зона.

В п. 3.3 проводится расчет цилиндра длиной /0 = 6. Граничные условия ставятся на срезе тела. Приводятся результаты расчета цилиндра с выемкой, представляющей собой цилиндрический стакан радиусом 0,75 и длиной 0,75, соосный с телом. Согласно расчетам, газ затекает в выемку в приосевой области и вытекает из нее на периферии. Приведены расчетные профили поля скорости вблизи переднего торца с выемкой для случаев Мао = 0,95, Де = 100 и Де = 1000.

В п. 4 приводятся результаты расчетов вихрей Тейлора. Расчетная область изображена на рис. 2. Решение ищется в области ABCD, где стенки АВ, ВС, СD неподвижны, а стенка AD - образующая поверхности круглого цилиндра - имеет фиксированную скорость tu = 1. За маршевую принимается ось г. Начальное приближение и = г= р = ш = 0во всех внутренних точках.

Приводятся результаты, относящиеся к случаю, когда безразмерные значения АВ — ВС = CD = 1, rv = 20 для двух значений Де = 157, Де = 1570. Расчеты проводились на сетках 27 х 27, 53 х 53, 105 х 105. Приведены также результаты, относящиеся к случаям, когда имеет место вращение цилиндрической поверхности ВС относительно оси, и для случаев, когда имеет место аксиальное движение поверхности AD.

Получено решение для случая, когда расчетная область имеет два симметричных "крыла" - область A'EFDGHGD, где АЕ = EF = 0,2 (рис. 2).

Здесь важно отметить следующий методический момент. Все расчетные данные, полученные в этом пункте, практически не зависят от того, аппроксимированы радиальные производные центральными разностями или односторонними. В последнем же случае решение может быть получено лишь при использовании односторонних разностей. Таким образом, последние являются более универсаль-

ними.

Полученные здесь результаты - еще одна иллюстрация "рабогоспособностп" И ММ применительно к решению задач о течениях с замкнутыми линиями тока.

В п. 5 численно исследуется задача о нестационарном трехмерном движении жидкости в полости, расположенной между коаксиальными цилиндрами. имеющими ступенчатый профиль - рис. 3, 4. На рис. 3 изображено мернднанальпое сечеппе полости, на рис. 4 дан разрез цилиндра CF с видом па правую стенку полости. На последней имеются по 2 одинаковых диаметрально противоположно расположенных отверстия 1 - 4. Эти отверстия являются сечениями прямолинейных каналов, одинаковой длины и постоянной площади поперечного сечения. Через каналы полость сообщается с резервуаром большой емкости, где фиксировано давление жидкости pt,.

Со стороны оси границей расчетной области является поверхность кругового вала с жестко связанным с ней насадком AHG. Цилиндр вращается относительно своей оси и совершает акснальные колебания. С последним обстоятельством связана нестацпоиарность поля течения. За счет колебаний движущегося поршня HG изменяется объем полости, что приводит к вытеснению либо к втягиванию жидкости в полость через указанные отверстия. За счет дискретного расположения отверстий задача является трехмерной. Ввиду геометрической симметрии и симметрии граничных условий относительно плоскостей ОА.ОВ. в расчетах достаточно ограничиться сектором ЛОВ.

Расчет основывается на системе уравнений Навье-Сгокса для несжимаемой жидкости, записанной в цилиндрической системе координат с. г. т) для трех компонент вектора скорости и давления. За внешнюю маршевую ось принимается ось t?, за внутреннюю - ось z. Значения констант: г = г, = е = с; = 1.

В п. 5.1 приведены граничные и начальные условия. На всех твердых поверхностях предполагается прилипание жидкости. Условия в отверстиях правой стенки задаются в предположении о том. что скорость и давление в соответствующих каналах можно рассчитать в квазиодномерном пролижешга. Давление в остальных точках твердых поверхностей вычислялось с использованием условий экстраполяционного типа по значениям во внутренних точках расчетной области. Начальные условия соответствуют началу движения цилиндра; предполагалось, что в начальный момент окружная скорость поверхности цилиндра равна 1, а вектор скорости в остальных точках расчетной области равен нулю.

В п. 5.2 приводятся расчетные результаты для двумерной модели описанной задачи. Здесь предполагается, что отверстия расположены симметрично относительно оси, а значит мы имеем осесимметрпчную задачу. Проведены методические расчеты с целью выяснения точности вычислений. Варьировались пространственная сетка, временной шаг ДI и точность выхода S (см. (1.3)) из глобальных итераций на фиксированном временном слое. Использовались две сетки. Крупная сетка содержала 41 узел по радиальной координате и 28 узлов по аксиальной. С учетом того обстоятельства, что площадь отверстий в правой стенке мала по сравнению с площадью стенки, производилось сгущение расчетных узлов при приближении к стенке. Отношение A:mdz/Azmm составляло 21. Мелкая сетка получена из крупной удвоением числа узлов как в том, так и в другом направлениях. Для фиксированной сетки величины At и $ отыскивались в численных экспериментах

такими, что дальнейшее уменьшение их значений практически не сказывалось на результатах счета. Показано, что для рассматриваемой задачи хорошую точность дает уже грубая сетка с Д( = 0,0314, &/рь = Ю"4. При этом на каждом временном слое делается в среднем 60 ГИ.

Рассмотрен случай столь малого Д(, что каждый временной слой реализуется с той же точностью одной ГИ. Согласно расчетам этот случай имеет место уже при Дг = 0,001. Этот случай соответствует расчету нестационарной задачи по модифицированной схеме (гл. 5). Проведенныый расчет подтверждает возможность и целесообразность (по крайней мере, в пекоторых случаях) использования модифицироваиной схемы для решения нестационарных задач.

В п. 5.3 приведены численные результаты для трехмерной задачи. Для решения трехмерной задачи в секторе АОВ введено 17 расчетных сечений, как показано на рис. 4. Сечения расположены существенно неравномерно по угловой координате. Необходимость этого связана с относительно малой протяженностью верхних отверстий по угловой координате. Отношение Д1?та1/Д|?т,„ составляло 31. В каждом расчетном сечении использовалась крупная сетка. Использовалась модифицированная схема с шагом Д( = 0,001. При этом на каждой внешней ГИ (временном шаге) выполнялось условие по точности с 5/рь = Ю-4.

Показано, что конфигурации полей проекций вектора скорости на мерщща-нальные сечения сложны - каждое поле содержит ряд вихрей, интенсивность и размеры которых меняются как от сечения к сечению, гак и со временем. Показано, что давление слабо зависит от пространственных координат и что, в то же время, имеют место сильные колебания давления во времени уже при малой амплитуде колебаний поршня.

Глава 10 посвящена вопросу эффективности ИММ. Эффективность численного метода определяется рядом факторов. Метод может быть эффективен для одного типа задач, малоэффективен для другого и неприменим для третьего. Один из основных критериев - время, затрачиваемое на решение конкретных задач. Ясно, что делать выводы по этому критерию можно лишь на основе сопоставления результатов, полученных с использованием разных методов. Однако, в литературе нет сколько нибудь общих данных, с которыми было бы возможно сопоставление. Поэтому в настоящей главе перечисляются факторы, которые характеризуют ИММ с разных сторон (п. 1) и приводятся данные, относящиеся к скорости сходимости ИММ (п. 2).

Основные особенности метода следующие.

1. Метод обладает высокой степенью универсальности. Об этом свидетельствует разнообразие решенных с его использованием задач. Соответствующие результаты представлены в главах 7-9.

2. Метод обладает алгоритмической простотой. Он всецело основан на маршевых процедурах и не требует корректировки вычислительной схемы при переходе от одного типа задач к другому.

3. Метод не требует проведения итераций по нелинейности - расчет сеточных функций вдоль луча осуществляется при использовании линеаризованной по методу Ньютона системыалгебраических уравнений (см. п. 1 гл. 6).

4. Решение стационарных задач возможно и целесообразно получать с использованием модифицированной схемы ИММ (гл. 5). Для уменьшения времени счета

целесообразно в качестве начального приближения для расчета на подробной сетке использовать результат решения рассматриваемой задачи на грубой сетке, (см. ниже. п. 2). Важно заметить, что эта схема не содержит требующих подбора "параметров схемы".

5. В случае нестационарных задач хорошее начальное приближение для очередного временного слоя всегда существует. Величина временного шага ввиду хороших устойчивости и сходимости вычислительной схемы зачастую определяется лишь физическими особенностями рассматриваемой задачи. Решение может осуществляться с использованием как основной вычислительной схемы (большие значения шага по времени. ГИ проводятся до сходимости), так и при использовании модифицированной схемы (малые значения шага по времени, один маршевый проход на временном слое). Отметим также, что переход от алгоритма решения стационарной задачи к алгоритму решения нестационарной задачи (той же размерности) осуществляется чрезвычайно просто - изменением значения константы, контролирующей значение модуля разности между р и р.

6. При решении задач о движении газа при малых числах Маха метод не теряет эффективности. Более того возможен расчет движений несжимаемой жидкости при использовании системы Навье-Стокса для газа (п. 2 гл. 6 и п. 2. 3 гл. 9).

7. При расчете движений газа в случаях, когда поле течения содержит как сверхзвуковые, так и дозвуковые зоны, метод не теряет эффективности и не требует изменения алгоритма при переходе от одной зоны к другой.

8. Метод очевидным образом применим для решения задач о движении неоднородных, многокомпонентных и многофазных сред. Примеры решения задач для неоднородной (стратифицированной) среды содержатся в п. 2 гл. 7.

9. Метод очевидным образом применим для решения задач о движениях сплошных сред в случае турбулентного режима течения при использовании полуэмпирически замкнутых уравнений Рейнольдса.

Скорость сходимости итераций одна из главных характеристик метода. Основной и достаточно универсальный метод ускорения сходимости ГИ на мелкой сетке (то есть на такой, которая обеспечивает хорошую точность решения) - задание хорошего начального приближения для решаемой задачи. В качестве такового можно принять решение, полученное на грубой сетке. Рассмотрим примеры.

Рассмотрим развитие поля течения жидкости в плоском канале постоянной высоты при отношении длины к высоте, равном 5 на сетке 51 х 51. При задании простейшего начального приближения р во всей расчетной области для получения решения с точностью до третьего знака требуется 51 ГИ. Время решения этой задачи может быть существенно снижено, если в качестве начального приближения взять решение, полученное на сетке 26 х 26. На этой сетке решение с инженерной точностью может быть получено за 26 ГИ. Затем решение на сетке -51 х 51 достигается за 10 ГИ. При этом надо иметь в виду, что время счета двумерной задачи на сетке с уменьшенным в два раза числом узлов вдоль каждой оси уменьшается примерно на порядок.

Аналогичное рассмотрение возможности ускорения сходимости в задаче о вихрях Тейлора показывает, что при использовании в качестве начального приближения решения, предварительно полученного на сетке 11 х 14, позволяет в 20 раз уменьшить число ГИ, необходимых для получения решения на сетке 53 X 53.

Рассмотрен вопрос о влиянии неоднородности сетки на примере расчета квадратной каверны на сетке 61 х 61 (Не = 400). Сопоставляются результаты решения и скорость сходимости ГИ на однородной и неоднородной сетках. В случае последней шаг уменьшается по направлению к каждой из стенок по закону геометрической прогрессии с показателем 1,1227, минимальный шаг 0,002 (максимальный 0,025). Согласно расчетным данным, сгущение сетки вблизи стенок дает возможность "разглядеть'" детали, невидимые на однородной сетке, не оказывая существенного влияния на скорость сходимости с инженерной точностью.

Приведены примеры, иллюстрирующие скорость сходимости ГИ на временном шаге задач нестационарной газодинамики. Результаты относятся к уменьшению в процессе ГИ в фиксированный момент времени величины /?, определяемой соотношением

где максимум берется по всем точкам расчетной области. Типичные кривые показаны на рис. 5. Здесь кривая 1 относится к одномерной задаче о тепловой волне (п. 2.1 гл. 8), кривая 2 относится к двумерной задаче об эволюции поля течения в сопле Лаваля (п. 2.3 гл. 8). Расчетные данные свидетельствуют о том, что остаточный член исчезает с машинной точностью при достаточном числе ГИ. Видно также, что лишь нескольких итераций достаточно для получения решения с инженерной точностью.

В "ЗАКЛЮЧЕНИИ" сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. В "ПРИЛОЖЕНИИ"" дан краткий обзор работ, посвященных использованию и развитию метода ГИ на основе упрощенных уравнений.

РИСУНКИ

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 5

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ АВТОРОМ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Полянский А.Ф., С'курин Л.И. Влияние энерговыделения в ударном слое на структуру поля течения //Журн. техн. физики. 1991. Вып. 8. С. 193-195.

2. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. К методике расчета с помощью глобальных итераций вязкого ударного слоя //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1993. Вып. 4. С. 71 - 75.

3. Архангельская Л.А., Скурин Л.И. Расчет внутреннего течения с отрывом методом глобальных итераций //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1993. Вып. 2. С. 78 - 83.

4. Полянский А.Ф.. Скурин Л.И. К определению частоты звука, генерируемого вихревой камерой //Акуст. журн. 1993. Т.39. N б, с. 1117-1122.

5. Архангельская Л.А., Скурин Л.И. Влияние электромагнитной силы на пристенное течение жидкости с отрывом //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1994. Вып. 1. С. 67 - 71.

6. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Влияние сжимаемости жидкости на иоле течение в вихревой камере //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1994. Вып. 2, с. 61-68.

7. Архангельская Л.А., Скурин Л.И. Использование метода глобальных итераций по давлению для решения уравнений Навье - Стокса //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1994. Вып. 3, с. 70-75.

8. Архангельская Л.А., Скурин Л.И. Применение метода глобальных итераций по давлению для решения системы уравнений Навье - Стокса //Вычислительные технологии. СО РАН. Сб. н. тр. Ин-та выч. технологий, 199-5. Т. 4. N 12, с. 29-37.

9. Скурин Л.И. Исследование сходимости метода глобальных итераций по давлению для дву- и трехмерных задач гидродинамики //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1995. Вып. 4. С. 80-84.

10. Архангельская Л.А., Скурин Л.И. Особенности течения жидкости в следе в условиях воздействия электромагнитных сил на пристенный слой жидкости //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1996. Вып. 2, с. 57-61.

11. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Математическое моделирование отрывных течений в закрученных потоках жидкости //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1996. Вып. 2, с. 77-82.

12. Скурин Л.И. Критерии моделирования в воздухе работы вихревого генератора в воде //Акуст. журн. 1996. Т.42. N 2, с. 289-290.

13. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Исследование характеристик вихревого генератора звука //Акуст. журн. 1997. Т.43. N 6, с. 834-838.

14. Скурин Л.И. О возможности решения нестационарных задач механики жидкости и газа с использованием глобальных итерации по давлению //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1997. Вып. 3. С. 78-84.

15. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Итерационно - маршевый метод интегрирования системы уравнений Навье-Стокса для газа //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1998. Вып. I. С. 87 - 99.

16. Скурин Л.И. Итерационно-маршевый метод решения задач механики жидкости и газа //Сиб. журн. вычислит, математики. РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск. 1998. N 2. С. 171 - 181.

17. Скурин Л.И. О возможности численного моделирования задач механики жидкости и газа на основе единого принципа //Вести. СПбГУ. Сер. 1. 1998. Вып. 2. С. 102-112.

18. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Численное моделирование до- и сверхзвуковых течений газа с использованием итерационно-маршевого метода //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1998. Вып. 3. С. 111-115.

19. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Эволюция пары вихрей в вязкой стратифицированной среде //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1098. Вып. 4, с. 125 - 131.

20. Скурин Л.И. Итерацнонно-маршевый метод численного моделирования задач механики жидкости и газа. Труды XIV сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды. М. 1998, с. 214-220.

21. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Решение пространственных задач гидродинамики итерационно - маршевым методом //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1999. Вып. 2. С. 90 - 96.

22. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Численное моделирование течения в вихревой камере. Вторые Поляховские чтения. Избранные труды. С.-Петербург. 2000. С. 164-170.

23. Скурин Л.И. Об эффективности итерационно-маршевого метода решения задач механики жидкости и газа //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2000. Вып. 1, с. 124-130.

24. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Решение нестационарных задач газодинамики итерационно-маршевым методом //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2000. Вып. 2, с. 103 - 109.

25. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Численное моделирование транс- и дозвукового обтекания тела конечного размера итерационно-маршевым (ио пространству) методом. Третья международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях. 3-7 июля 2000 г., Истра-Москва. Тезисы докладов. С. 274 - 276.

26. Скурин Л.И. Итерационно-маршевый (по пространству) метод решения задач механики жидкости и газа //Математическое моделирование. 2000. N

6, с. 88-94.

27. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Численное моделирование течений жидкости и газа в вихревой трубе и струе //Математическое моделирование. 2001. N

7, с. 116-120.

28. Skurin L.l. Iterative Space-Marching Method for Incompressible and Compressible Full Navier-Stokes Equations. N. Satofuka (Ed.). Computational Fluid Dynamics 2000. Proceedings of the First International Conference on Computational Fluid Dynamics, ICCFD, Kyoto, Japan, 10-14 July 2000. Springer. 2001. P. 319-324.

ЛР№ 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 22.01.2002 г. Формат бумага 60X90 1/16. Бумага офсетная Печать ризографическая. Объем 2 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 2274. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПб ГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 26.

ВВЕДЕНИЕ

ЧАСТЬ I. ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ ИММ

Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ X - ГИПЕРБОЛИЧНОСТИ ТРАНСФОРМИРОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА

1. Несжимаемая жидкость

2. Сжимаемая жидкость

Глава 3. СИСТЕМА КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ

АППРОКСИМАЦИЙ

Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СХЕМЫ.

1. Уравнения Эйлера, сжимаемая жидкость.

2. Уравнения Навье-Стокса, двумерная задача гидродинамики.

3. Уравнения Навье-Стокса, трехмерная задача гидродинамики.

Глава 5. МОДИФИЦИРОВАННАЯ СХЕМА

1. Двумерная задача гидродинамики.

2. Трехмерная задача гидродинамики.

3. О возможности решения нестационарных задач

ЧАСТЬ II. ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Глава 6. О РЕАЛИЗАЦИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СХЕМЫ

1. Основная алгебраическая процедура.

2. Системы координат, исходные уравнения

3. Второй порядок аппроксимации маршевых производных.

Глава 7. НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ

1. Двумерные стационарные задачи.

1.1. Течение с отрывом в плоском диффузоре

1.2. МГД-течение в диффузоре и в следе за телом

1.3. Осесимметричные течения закрученных потоков в трубах переменного сечения

1.4. Расчет течения в вихревой трубе

2. Двумерные нестационарные задачи

2.1. Эволюция пятна однородной жидкости в стратифицированной среде

2.2. Эволюция пары вихрей в вязкой стратифицированной среде.

2.3. Методика оценки смещения вихревой пары в стратифицированной среде

3. Трехмерные задачи.

3.1. Развитие течения на начальном участке трубы квадратного сечения

3.2. Движение жидкости в каверне .,.

Глава 8. СЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ

1. Стационарные задачи

1.1. Движение газа между параллельными плоскостями.

1.2. Движение газа в сопле Лаваля и в диффузоре

1.3. Случай сверхзвукового входа газа в канал с противодавлением

2. Нестационарные задачи

2.1. Одномерная задача о тепловой волне

2.2. Одномерное движение газа в резонансной трубе

2.3. Эволюция двумерного поля течения в сопле Лаваля при изменении давления на выходе

Глава 9. ВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА ПРИ НАЛИЧИИ ИЗЛОМА ОБРАЗУЮЩЕЙ СТЕНКИ.

1. Обтекание обращенной назад ступеньки

2. Движение жидкости и газа в вихревой трубе и струе

2.1. Характерные особенности поля течения

2.2. Об упрощенной постановке задачи.

2.3. Особенности поля температуры в потоке газа

3. Численное моделирование обтекания тела конечного размера.

3.1. Влияние числа Маха.

3.2. Влияние числа Рейнольдса.

3.3. Тело полубесконечной длины

4. Вихри Тейлора

5. Трехмерное движении жидкости под воздействием колеблющегося поршня.

5.1. Граничные и начальные условия.

5.2. Расчетные результаты для двумерной модели

5.3. Расчетные результаты для трехмерной задачи

Глава 10. ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИММ

1. Основные особенности метода.

2. Скорость сходимости итераций.

Диссертация посвящена разработке эффективного, обладающего алгоритмической простотой и высокой степенью универсальности метода численного интегрирования систем уравнений Навье - Сток-са и его применению для решения имеющих прикладную значимость задач механики жидкости и газа.

Движения жидкости, газа либо плазмы, тем или иным образом связанные с проблемами современной техники (физики, биологии, метеорологии, океанологии и т. д.), могут быть проанализированы в рамках сплошной среды с учетом всех деталей лишь путем интегрирования полных систем, описывающих движения указанных сред. Наиболее общими из таких систем являются системы Навье - Сток-са либо (близкие ей по структуре) системы уравнений Рейнольдса, используемые для описания турбулентных течений.

В настоящее время существует большое разнообразие конечно-разностных методов решения этих систем применительно к конкретным классам задач. Наряду с известными достоинствами существующие методы обладают и очевидными недостатками. Весьма широкая совокупность методов, основанная на принципах какого-либо расщепления, сводится к представлению сложной исходной разностной схемы последовательностью более простых аналогов. В результате а) в схему вводится погрешность расщепления, б) каждый шаг (итерация) представляет собой совокупность нескольких разнородных этапов (то есть алгоритм вычислений остается достаточно сложным), в) появляется необходимость в искусственных граничных условиях, что может вносить произвол в вычисления (и постановка которых представляет самостоятельную проблему).

Широко используемые в последнее время методы решения задач о движениях газа, реализуемые на каждом временном шаге с использованием релаксации Гаусса-Зейде ля по линиям (для решения алгебраической системы уравнений), имеют ограничение на сходимость типа условия Куранта и теряют эффективность в тех подобластях расчетной области, где число Маха мало. Использование этих методов для расчета движений несжимаемой жидкости основано на использовании идеи искусственной сжимаемости, что существенно усложняет исходный алгоритм вычислений. Кроме того в этом случае в уравнение неразрывности вводится слагаемое, оптимальный вид которого для рассматриваемого типа задач заранее неизвестен. В частности, для решения стационарных задач вводится требующий подбора параметр исскусственной сжимаемости, а для решения нестационарных задач вводится дополнительный параметр - псевдовремя.

Таким образом, разработанные в настоящее время конечно - разностные методы решения систем уравнений Навье - Стокса приспособлены фактически для решения конкретных типов задач.

Эти обстоятельства существенно снижают мобильность исследователя. Действительно, при переходе к рассмотрению новых физических задач (связанных с новыми типами течений) исследователь вынужден не только осваивать новые численные методы, но и приспосабливать их к решению этих новых задач. Ситуация эта реализуется часто в настоящее время. Достаточно вспомнить, что существуют и разрабатываются сложные технические системы, одним из элементов которых является движение тех или иных сплошных сред. Такие системы могут одновременно содержать участки как стационарных, так и нестационарных движений, иметь режимы, при которых среда несжимаема, режимы, при которых важен учет сжимаемости, или режимы, при которых важно учитывать неоднородность либо много-компонентность среды. Как правило, движения в сложных системах трехмерные. Однако, на начальной стадии моделирования процессов целесообразно использовать двумерные и даже одномерные модели, полученные на основе упрощений физического характера. Понятно, что для количественного анализа всех "участков", всех режимов и всех моделей таких сложных систем на основе полной системы уравнений, описывающей движение сплошной среды, важно иметь один численный метод.

Отсюда ясна актуальность темы настоящей диссертации, посвященной разработке метода, свободного от указанных выше недостатков существующих методов, и решению при его использовании имеющих прикладную значимость новых внешних и внутренних, стационарных и нестационарных задач о движении жидкости и газа при наличии обширных зон возвратного течения.

Основным элементом разрабатываемого метода применительно ко всем типам задач является маршевая процедура, то есть (применительно к двумерному случаю) последовательное, начиная от ближайшего к левой границе луча, вычисление сеточных функций на всех лучах, заканчивающееся на луче, ближайшем к правому граничному лучу. Это та процедура, которая используется для решения одной из простейших задач гидрогазодинамики - задачи о двумерном стационарном пограничном слое. Но, если в упомянутом простейшем случае одним маршевым проходом заканчивается решение задачи, то в настоящей работе маршевый проход - лишь элемент итерационного процесса. Число итераций, необходимое для решения задачи в целом зависит от особенностей задачи. Этот вопрос подробно рассмотрен в диссертации. Однако, сразу становится ясно, что алгоритмическая простота такого метода налицо.

В соответствии с существом метода будем называть его итерационно- маршевым, или кратко ИММ, имея в виду, что для всех типов задач маршевые процедуры осуществляются по пространственной координате.

ИММ строится не на пустом месте. В его основе известная с 70-х годов [1] идея глобальных итераций (ГИ) по давлению (смысл ее изложен в главе 1). Эта идея использовалась и развивалась (и развивается по сей день) в многочисленных работах зарубежных и отечественных авторов для решения задач на основе упрощенных систем уравнений Навье-Стокса. Это задачи, характеризуемые наличием выделенного направления движения, как правило, стационарные, двумерные [1-10]. (В работах, где решаются трехмерные задачи, для расчета сечений, ортогональных маршевому направлению, используются алгоритмы, отличные от маршевых). Краткий обзор такого рода работ приведен в "ПРИЛОЖЕНИИ".

Важной особенностью метода ГИ было то обстоятельство, что он допускал построение такого конечно-разностного аналога системы дифференциальных уравнений, для которого вычислительная схема была маршевой, то есть наиболее простой из неявных схем, и что он был применим к задачам о движениях как сжимаемых, так и несжимаемых сред. Усилия ученых, обративших внимание на метод ГИ, были направлены на совершенствование метода с целью повышения его устойчивости и ускорения сходимости. Основной вклад в эти исследования внесли Davis R.T., Rubin S.G. (и его ученики), Тирский Г.А. (и его ученики), Vigneron Y.C., Rakich J.V., Tannehill J.С., Войнович П.А., Фурсенко A.A., Israely М., Lin А., Головачев

Ю.П., Ковеня В.М., Марков А.А., Толстых А.И., Черный С.Г.

Рядом авторов делались попытки расчета полей течения, содержащих зоны отрыва. Авторы констатировали потерю устойчивости либо сходимости при появлении таких зон. Повидимому, в значительной степени по этой причине в литературе принято считать, что маршевые процедуры с итерациями не пригодны для расчета течений, содержащих отрывные либо рециркуляционные области (см., например гл. 17 в [11]). В настоящей работе будет показано, что это не так.

В отличие от упомянутой направленности работ, развивающих метод ГИ для решения задач на основе упрощенных уравнений, настоящая работа направлена на расширение области применимости идеи глобальных итераций по давлению. В настоящей работе развивается метод численного решения полных систем уравнений Навье-Стокса, задач стационарных и нестационарных, задач любой размерности.

Разумеется, такая "идеология универсальности" не отвергает необходимости использования и совершенствования существующих численных методов. Обычно [12-14] при решении новой задачи авторы апробируют на этой задаче различные методы и, сопоставляя точность результатов и трудоемкость их получения, выбирают наиболее эффективный метод. Такая стратегия разумна в том случае, когда предполагается проведение серийных расчетов.

Заметим, кстати, что и разрабатываемый нами "универсальный" метод решения возможно сможет претендовать и на роль "эффективного метода". Действительно, разрабатываемый метод решения полных систем уравнений применим и для решения упрощенных систем и для уравнений, записанных в приближении Эйлера (которые являются частными случаями полных систем уравнений). Это следует уже из результатов аналитических исследований (см. ниже "ЧАСТЬ I"). Вместе с тем, как видно из обзора, приведенного в "ПРИЛОЖЕНИИ", разумная модификация метода ГИ может давать весьма эффективный алгоритм решения конкретного круга задач.

В нескольких работах зарубежных авторов делались попытки расширения области применимости идеи глобальных итераций по давлению. Так, для частных задач в [15] получены решения полной системы уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, а в [16] - для сжимаемой (с упрощенным, впрочем, до алгебраического соотношения уравнением энергии). Соответствующие вычислительные схемы имели первый порядок точности и "работали" в ограниченном диапазоне чисел Рейнольдса и Маха. Судя по литературе эти работы не получили развития. Отметим еще, что в работе [17] решалась нестационарная задача газодинамики, но на основе упрощенной системы уравнений и также лишь с первым порядком точности по маршевой координате.

В работах автора с коллегами [18-21] идея глобальных итераций по давлению, как и в работах других авторов, использовалась для решения задач газодинамики и гидродинамики на основе упрощенных систем уравнений. Анализ методических результатов этих работ показал, что попытка использования этой идеи для решения задач на основе полных систем уравнений может быть успешной лишь при наличии анализа х-гиперболичности трансформированных систем уравнений в приближении Эйлера и при выборе такой системы конечно-разностных аппроксимаций всех членов уравнений Навье-Стокса, которой соответствовала бы вычислительная схема, обладающая хорошими устойчивостью маршевых процедур и сходимостью

ГИ. Решение этих вопросов лежит в основе разработки ИММ. Соответствующему анализу посвящены гл. 2, 3, 4 работы. В гл. 1 указана идея простого преобразования системы уравнений, позволяющая организовать итерационный цикл и являющаяся по-сути идеей традиционного метода глобальных итераций. В гл. 5 описан и аналитически исследован частный случай общей схемы, который можно рассматривать как синтез приципа установления и глобальных итераций по давлению. Такая модифицированная схема оказалась эффективной для решения стационарных задач. Первые пять глав посвящены обоснованию метода и тематически объединены в "ЧАСТЬ I".

ЧАСТЬ II" содержит гл. 7-9, где приводятся результаты решения с использованием ИММ разнообразных задач механики жидкости и газа, отмечаются особенности применения метода к задачам разного типа. В предваряющей их главе б приводятся общие для последующих глав сведения, касающиеся исходных систем уравнений и вычислительной схемы ИММ, показана важность использования второго порядка аппроксимации маршевых производных. Численные исследования проведены с целью апробации ИММ, выяснения на практике его свойств и решения новых актуальных задач. В гл. 10 указаны свойства метода, характеризующие его эффективность, анализируется скорость сходимости глобальных итераций на однородных и неоднородных сетках, указан простой способ повышения скорости сходимости. В " ЗАКЛЮЧЕНИИ" сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. В "ПРИЛОЖЕНИИ" дан краткий обзор работ, посвященных использованию и развитию метода ГИ на основе упрощенных уравнений.

Новизна результатов диссертации связана с тем, что впервые показано, что задачи механики жидкости и газа могут эффективно решаться на основе полных систем уравнений Навье - Стокса с помощью численного метода, вычислительная схема которого (без использования каких-либо видов расщепления) целиком основана на маршевых процедурах по пространственной координате (либо координатам для трехмерных задач). Здесь имеются ввиду как задачи, в которых есть выделенное направление движения потока, так и задачи, не имеющие выделенного направления движения и содержащие обширные стационарные или нестационарные отрывные и рециркуляционные области.

В отличие от существующих методов расчета предложенный в диссертации метод численного интегрирования систем уравнений Навье - Стокса позволяет без изменения (либо корректировки) вычислительной схемы решать задачи о движениях как несжимаемой, так и сжимаемой жидкости, задач стационарных и нестационарных, задач любой размерности, задач внешних и внутренних и т.д.

То есть метод обладает весьма высокой степенью универсальности; вычислительная схема его проста; она обладает хорошей устойчивостью и сходимостью. При этом метод имеет порядок аппроксимации не ниже второго по всем независимым переменным.

Показано, что при соединении ИММ с принципом установления по времени возникает вычислительная схема, названная в диссертации модифицированной, которая в отличие от существующих схем, использующих принцип установления, позволяет осуществлять расчет на каждом временном слое с использованием двумерной (либо трехмерной) маршевой процедуры и не содержит "схемных параметров" .

Очевидно, что решение задач, связанных с созданием новой техники, является актуальным. В диссертации с применением ИММ получены решения ряда новых задач о движениях жидкости и газа, связанных со следующими современными техническими проблемами: - исследование возможности воздействия пространственно неоднородного электромагнитного поля на характер вязкого обтекания подводного объекта (задача о воздействии электромагнитного поля на отрывные течения); - моделирование частотных характеристик вихревого генератора звука с целью создания устройства для эффективного решения проблем навигации, изучения донных отложений и других (задача о вихревой трубе и истекающей из нее струи); -исследование новых гидрофизических эффектов, связанных с возмущением движущимся объектом окружающей его вязкой стратифицированной среды (задача об эволюции пары вихрей).

На защиту выносятся: система конечно-разностных аппроксимаций итерационно-маршевого метода численного интегрирования полных систем уравнений Навье-Стокса, обеспечивающая порядок аппроксимации не ниже второго в сочетании с алгоритмической простотой и высокой степенью универсальности; схема решения трехмерных задач, целиком основанная на маршевых процедурах; не содержащая "схемных параметров," эффективная для решения стационарных задач модифицированная вычислительная схема; результаты анал^еского обоснования метода, включающие условия х - гиперболичности трансформированных систем уравнений в приближении Эйлера и условия устойчивости и сходимости его вычислительных схем; результаты численного решения задачи о воздействии электромагнитного поля на пристенное отрывное течение и ближний след; численный анализ эволюции пары круговых вихрей в вязкой стратифицированной среде; результаты численного решения задачи о движениях жидкости и газа в вихревой трубе и истекающей из нее струе; результаты численного решения задачи о продольном обтекании кругового цилиндра с плоскими передним и задним торцами (и его модификации) и о следе за ним в широком диапазоне значений числа Рейнольдса (Re = 10 - 103) и при до - и трансзвуковых значениях числа Маха (0 < Mq < 0.95). численный анализ трехмерного нестационарного движения жидкости в полости, расположенной между коаксиальными цилиндрами, под воздействием аксиально колеблющегося поршня и вращения внутреннего цилиндра.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1821, 25-28, 32-36, 38, 39, 43, 44, 58-61, 72, 77-79, 81-83], научных отчетах по НИР "ЦАРГАН'% "ЦАРГАН-2-ГКНО", "ЦУГЦВАНГ", выполняемых по договору с в/ч 31270, и "ЦЕРЕМОНИЯ-СПНЦ", выполненной по договору с СПП РАН, и в отчете по теме 005.01.01.18, 2000 г., выполненной по программе "Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники" (подпрограмма "Транспорт").

Проведенные исследования поддержаны грантами РФФИ 96-0100390, 00-01-00633, 00-01-10705, 00-15-96106 и грантом Минобразования по фундаментальным исследованиям в области естественных наук Е00-4.048.

Основные результаты диссертации доложены автором на следующих конференциях и семинарах:

14 Школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости (Новосибирск, 1994),

XVII Всероссийском семинаре "Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах" (Санкт-Петербург, 1997),

13 и 14 Международной Школе по моделям механики сплошной среды (Санкт-Петербург, 1995; Жуковский, 1997),

IV Международной конференции ГА-98 "Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики" (Санкт-Петербург, 1998), в Физико-техническом ин-те им. А.Ф. Иоффе на семинаре под руководством проф. Ю.П.Головачева (Санкт-Петербург, 1998), в Санкт-Петербургском политехническом университете на семинаре под руководством проф. Ю.В. Лапина (1998), в Московском госуниверситете на семинаре по вычислительной аэрогидродинамике под руководством проф. В.М.Пасконова и Г.С.Гослякова (1999),

Юбилейной Международной конференции "Вычислительная механика и современные прикладные программные системы" (Переславль-Залесский, 1999),

Всероссийской конференции по механике "Вторые Поляховские Чтения" (Санкт-Петербург, 2000),

Третьей Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Истра - Москва, 2000),

First International Conference on Computational Fluid Dynamics (Kyoto, Japan, 2000).

ЧАСТЬ I. ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в настоящей работе на основе искусственной "гиперболизации" систем уравнений гидрогазодинамики разработан численный метод интегрирования систем уравнений Навье-Стокса, который обладает следующими характеристиками: высокая степень универсальности - он может применяться для решения полных (также, как и упрощенных) систем уравнений, описывающих течения сжимаемых и несжимаемых жидкостей, для задач любой размерности, стационарных и нестационарных, для задач в которых нет выделенного направления движения; применимость к задачам о движениях сжимаемой и несжимаемой жидкостей на основе единой вычислительной схемы; простота вычислительной схемы - она целиком основывается на маршевых по пространственным осям процедурах (при этом не используются никакие виды расщепления), а конечно-разностный аналог системы дифференциальных уравнений основывается на простейших конечно-разностных аппроксимациях производных; высокая эффективность, определяемая тем, что вычислительная схема обладает хорошими устойчивостью и сходимостью при аппроксимации дифференциальных уравнений, записанных (как правило) в консервативной форме, с порядком не ниже второго по всем независимым переменным.

Эти свойства метода выявлены на основе как аналитических исследованиях свойств его вычислительной схемы, так и численных исследований широкого круга задач. Показано, что он "работает" в широком диапазоне значений числа Рейнольдса - от величин меньших единицы до величин, соответствующих турбулентному режиму (Re = 103 - 105) и фактически при любых значениях числа Маха. иъ

Получены и проанализированы решения ряда новых задач. Перечислим их с кратким изложением основных результатов.

1. Стационарная задача о воздействии пространственно-неоднородного электромагнитного поля на пристенный вязкий слой проводящей жидкости и ближний след (п. 1.2 гл. 7).

Указаны значения параметров поля, при которых его воздействие на поток оказывается существенным. Показано, в частности, что за счет изменения параметров поля можно эффективно влиять а) на размеры области отрыва, увеличивая их или уменьшая вплоть до полного исчезновения, б) на динамическое сопротивление и сопротивление трения, в) на размеры ближнего следа за телом, определяемого размером зоны рециркуляции, г) на течение в следе на значительных расстояниях от тела.

2. Нестационарная задача об эволюции пары круговых вихрей в вязкой стратифицированной жидкости (п. 2.2 и п. 2.3 гл. 7).

Влияние вязкости исследовано для диапазона чисел Re = 10-Ю5, приведена количественная информация, позволяющая оценить потерю во времени кинетической энергии пары вследствие вязкой диссипации. Показано, что при не слишком больших значениях плот-ностного числа Фруда, эволюция пары в стратифицированной среде определяется отношением числа Вяйсяля-Брента к частоте вращения вихря. Анализ расчетных данных показал, что частицы жидкости вблизи вихря совершают работу против сил плавучести, в результате чего кинетическая энергия вихревой пары падает с течением времени. Деформация поля скорости пары приводит к уменьшению скорости ее движения, как целого вплоть до останова. По приве-деным количественным данным можно оценить расстояние, которое может пройти вихревая пара в стратифицированной среде вплоть до останова.

3. Задача о течениях жидкости и газа в вихревой трубе и истекающей из нее стру© (п. 1.4 гл. 7 и п. 2 гл. 9).

Показано, что при увеличении параметра закрутки длина приосе-вой циркуляционной зоны убывает, но максимальное значение модуля скорости обратного тока, которое реализуется на оси внутри трубы, возрастает и может превысить максимальное значение скорости прямого тока в том же сечении. Изучение решений для сжимаемой жидкости показывает, что в приосевой зоне трубы, где скорость газа мала, температура оказывается ниже того значения, с которым газ подается в трубу, что естественно рассматривать, как проявление эффекта Ранка. Следовательно эффект Ранка может изучаться теоретически посредством численного моделирования осесимметричных течений в вихревой трубе.

4. Задача о продольном обтекании кругового цилиндра с плоскими передним и задним торцами (и его модификации - передний торец с выемкой) и о следе за ним в широком диапазоне значений числа Рейнольдса (Re = 10 — 103) и при до- и трансзвуковых значениях числа Маха (0 < Мо < 0.95) (п. 3 гл. 9).

Показано, что метод хорошо "работает" и для задач внешнего обтекания тел, в условиях наличия в расчетной области передних и задних отрывных и рециркуляционных зон.

5. Трехмерная нестационарная задача (и ее двумерная модель) о движении жидкости в /полости^ расположенной между коаксиальными цилиндрами, под воздействием аксиально колеблющегося поршня и вращения внутреннего цилиндра (п. 5 гл. 9).

Меридианальное сечение полости имеет достаточно сложную форму, угловые точки. Поршнем жидкость втягивается в полость и вытесняется из нее через отверстия в стенке, противоположной лицевой поверхности поршня. Дана постановка граничных условий. Анализ численных результатов, относящихся к полям проекции вектора скорости на меридиональные сечения, свидетельствует о весьма сложной конфигурации этих полей - каждое сечение содержит ряд вихрей, интенсивность и размеры которых меняются как от сечения к сечению, так и во времени. Показано, что давление слабо меняется внутри объема полости и что имеют место большие колебания давления во времени уже при малой амплитуде колебаний поршня. ж

1. Davis R.T. Numerical solution of the hypersonic viscous shock-layer equation //AIAA J. 1970. Vol. 8. N 5. P. 843-851.

2. Vigneron Y.C., Rakich J.V., Tannehill J.C. Calculation of supersonic viscous flows over delta wings with sharp subsonic leading edges //AIAA Paper N 1137. 1978. 19 p.

3. Войнович П.А., Фурсенко А.А. Метод глобальных итераций для расчета сжимаемых течений вязкого газа //Дифференциальные уравнения. 1984. N 7. С. 1151-1156.

4. Israely М., Lin A. Iterative numerical solutions and boundary conditions for the parabolized Navier-Stokes equations //Computers and Fluids. 1985. Vol. 13. N 4. P. 397-409.

5. Гершбейн Э.А., Пейгин С.П., Тирский Г.А. Сверхзвуковое обтекание тел при малых и умеренных числах Рейнольдса //Итоги науки и техники. Сер. МЖГ. 1985. Т. 19. С. 3-85.

6. Васильевский С.А., Тирский Г. А., Утюжников С.В. Численный метод решения уравнений вязкого ударного слоя //ЖВМ и МФ.1987. Т. 27. N 3. С. 741-756.

7. Головачев Ю.П., Тимофеев Е.В. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом с помощью метода глобальных итераций //ФТИ им. А.Ф. Иоффе. Препринт 1254.1988. 28 с.

8. Марков А.А. Расчет трехмерного вязкого ударного слоя. : Препринт N 428. М.: Ин-т Проблем Механики АН СССР, 1989. 29 с.

9. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. М. "Наука". 1990. 230 с.

10. Ковалев B.JL, Крупнов А.А., Тирский Г.А. Метод глобальныых итераций решения задач сверхзвукового обтекания затупленных тел идеальным газом //ДАН. 1994. Т.339. N 3. С. 342-345.

11. Fletcher C.A.J. Computational Techniques for Fluid Dynamics. Volume II. Springer-Verlag. 1988. (Русск. пер.: Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 2. М. "Мир". 1991. 552 с.

12. Полежаев В.И., Бунэ А.В., Верезуб Н.А. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М. "Наука". 1987. 271 с.

13. Волков К.Н., Емельянов М.Н. Расчет турбулентного двухфазного течения в области натекания потока на тело //ИФЖ. 1998. Т. 71. N 4, с. 599-605.

14. Анисимов В.А., Волков К.Н., Емельянов М.Н. Дозвуковые струйные течения со свободной границей //Математическое моделирование. 1999. N 5, с. 16-32.

15. Bentson J., Vradis G.A. Two-stage pressure correction technique for the incompressible Navier-Stokes equations //AIAA Paper 87-0545. Jan. 1987.

16. TenPas P.W., Pletcher R.H. Coupled space-marching method for the Navier-Stokes equations for subsonic flows //AIAA J. 1991. Vol. 29. N 2. P. 219-226.

17. Pordal H.S., Khosla P.K., Rubin S.G. Transient behavior of supersonic flow through inlets //AIAA J. 1992. Vol. 30. N 3. P. 711-717.

18. Полянский А.Ф., Скурин JI.И. Влияние энерговыделения в ударном слое на структуру поля течения //Журн. техн. физики. 1991. Вып. 8. С. 193-195.

19. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. К методике расчета с помощью глобальных итераций вязкого ударного слоя //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1993. Вып. 4. С. 71 75.

20. Архангельская Л.А., Скурин Л.И. Расчет внутреннего течения с отрывом методом глобальных итераций //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1993. Вып. 2. С. 78 83.

21. Архангельская Л.А., Скурин Л.И. Влияние электромагнитной силы на пристенное течение жидкости с отрывом //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1994. Вып. 1. С. 67 71.

22. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М. "Наука". 1971. 416 с.

23. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск. 1981. 304 с.

24. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М. 1961. 40 с.

25. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Итерационно маршевый метод интегрирования системы уравнений Навье-Стокса для газа //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1998. Вып. 1. С. 87 - 99.

26. Скурин JI.И. О возможности решения нестационарных задач механики жидкости и газа с использованием глобальных итераций по давлению //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1997. Вып. 3. С. 78-84.

27. Скурин Л.И. Итерационно-маршевый метод решения задач механики жидкости и газа //Сиб. журн. вычислит, математики. РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск. 1998. N 2. С. 171 181.

28. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Численное моделирование течения в вихревой камере. Вторые Поляховские чтения. Избранные труды. С.-Петербург. 2000. С. 164-170.

29. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Н. Численные методы. М. 1987. 600 с.

30. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М. 1977. 440 с.

31. Ковеня В.М., Тарнавский Г.А., Черный С.Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск. 1990. 247 с.

32. Скурин Л.И. Исследование сходимости метода глобальных итераций по давлению для дву- и трехмерных задач гидродинамики //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1995. Вып. 4. С. 80-84.

33. Скурин Л.И. О возможности численного моделирования задач механики жидкости и газа на основе единого принципа. //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1998. Вып. 2. С. 102-112.

34. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Решение пространственных задач гидродинамики итерационно маршевым методом //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1999. Вып. С. 90 - 96.

35. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Эволюция пары вихрей в вязкой стратифицированной среде//Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1998. Вып. 4, с. 125 131.

36. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Решение нестационарных задач газодинамики итерационно-маршевым методом //Вестн. СПб-ГУ. Сер. 1. 2000. Вып. 2, с. 103 109.

37. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М. 1978. 592 с.

38. Архангельская Л.А., Скурин Л.И. Использование метода глобальных итераций по давлению для решения уравнений Навье -Стокса //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1994. Вып. 3, с. 70-75.

39. Архангельская Л.А., Скурин Л.И. Применение метода глобальных итераций по давлению для решения системы уравнений Навье Стокса //Вычислительные технологии. СО РАН. Сб. н. тр. Ин-та выч. технологий, 1995. Т. 4. N 12, с. 29-37.

40. Napolitano N. High Reynolds Number Separated Flow Solutions Using Navier-Stokes and Approximate Equations //AIAA J. 1987. Vol. 25. N 2. p. 260-265.

41. Шевелев Ю.Д. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики. М. 1986. 367 с.

42. Архангельская Л.А., Скурин Л.И. Особенности течения жидкости в следе в условиях воздействия электромагнитных сил на пристенный слой жидкости //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1996. Вып. 2, с. 57-61.

43. Подольский М.Е. Элементы тензорного исчисления в гидромеханике. С.-Петерб. 1999. 177 с.

44. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Математическое моделирование отрывных течений в закрученных потоках жидкости //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1996. Вып. 2, с. 77-82.

45. Кузнецов А.Е., Стрелец М.Х., Шур M.JI. Расчет стационарных трехмерных течений вязких газов //Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1991. Т. 31. N 2, с. 300-316.

46. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть И. М. 1963. 727 с.

47. Кокошинская Н.С., Павлов Б.М., Пасконов В.М. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом. М. Изд-во Моск. ун-та. 1980. 247 с.

48. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.A. Численное моделирование процессов тепло и массообмена. М. Наука. 1984. 288 с.

49. Armaly B.F., Durst F., Pereira J.С., Sckonun G.B. Experimental and Theoretical Investigation of Backward-Facing Step Flow //J. Fl. Mech. 1983. Vol. 127. Febr., p. 473-496.

50. Яковлев В.И. Вторичные течения при МГД-обтекании пластины конечной ширины с внутренними источниками электромагнитных полей //Журн. прикл. мех. и техн. физики. 1985. N 2, с. 49-57.

51. Шатров В.И., Яковлев В.И. О возможности снижения гидродинамического сопротивления при магнитогидродинамическом облитекании шара //Магнитная гидродинамика. 1990. N 1, с. 120125.

52. Жиляев М.И., Яковлев В.И. О МГД управлении течением в следе за самодвижущимся телом //Моделирование в механике. 1990. Т. 4. (21), N 2, с. 37-^2.

53. Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости. М. 1948. Т. 1, 378 с.

54. Гольдштик М.А. Вариационная модель турбулентного вращающегося потока. //Изв. АН СССР, Мех. жидк. и газа. 1985. N 9, с. 22-32.

55. Лебедев А.В., Правдина М.Х. Плоская модель течения в вихревой камере 1. Турбулентная вязкость в приосевой области //Теплофизика и Аэродинамика. 1996. N 3, с. 259-264.

56. Лебедев А.В., Правдина М.Х. Плоская модель течения в вихревой камере 2. Турбулентная вязкость в периферийной области //Теплофизика и Аэродинамика. 1996. N 4, с. 317-320.

57. Гольдштик М.А. Вихревые потоки. Новосибирск. 1981. 366 с.

58. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. К определению частоты звука, генерируемого вихревой камерой //Акуст. журн. 1993. Т.39. N 6, с. 1117-1122.

59. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Влияние сжимаемости жидкости на поле течение в вихревой камере //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1994. Вып. 2, с. 61-68.

60. Скурин Л.И. Критерии моделирования в воздухе работы вихревого генератора в воде //Акуст. журн. 1996. Т.42. N 2, с. 289-290.

61. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Исследование характеристик вихревого генератора звука //Акуст. журн. 1997. Т.43. N 6, с. 834-838.

62. Кныш Ю.А., Лукачев С.В. Экспериментальное исследование вихревого генератора звука //Акуст. журн. 1977. Т.33. N 5, с. 776-782.

63. Алешков Ю.З. Течение и волны в океане. Санкт-Петербург. 1996. 228 с.

64. Гущин В. А. Метод расщепления для задач динамики неоднородной вязкой несжимаемой жидкости //Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1981. Т. 21. N4, с. 1003-1017.

65. Нартов В.П., Черных Г.Г. О численном моделировании течения, возникающего при коллапсе зоны смешения в стратифицированной среде //ИТПМ СО РАН. Препринт N 15-82. Новосибирск, 23 с.

66. Милн Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М. "Мир11. 1964. 655 с.

67. Goldstein R.J., Kreid D. К. Measurement of laminar flow development in a square duct using a laser-Doppler flowmeter //J. Appl. mech. 1967. Vol. 34. Ser. E. N 4. Русск. пер.: Прикл. механ. 1967. N 4. с. 88-95.пч

68. Горовая М.Н., Подольский М.Е. Трехмерное движение вязкой жидкости в канале с подвижной стенкой //Гидрофэромеханика и теория упругости. 1976. В. 21, 40-47.

69. Goda К.A. Multistep technique with implicit difference schemes for calculating two or three-dimensional cavity flows. //J. Comput. Phys. 1979. Vol. 30. N 1. P. 76-95. //J. Fluid. Mech. 1966. Vol. 24. N 1. P. 115-168.

70. Takami H., Kawahara K. Numerical study of three-dimensional flow within a cubic cavity. //J. Phys. Soc. Japan. 1974. N 6. P. 16951698.

71. Ozava S. Numerical studies of steady flow in a two-dimensional square cavity of high Reynolds numbers //J. Phys. Soc. Japan. 1975. N 3. P. 889-895.

72. Полянский А.Ф., Скурин JI.И. Численное моделирование дои сверхзвуковых течений газа с использованием итерационно-маршевого метода //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1998. Вып. 3. С. 111-115.

73. Асланов Т.Д., Быркин А.П., Щенников В.В. Численный расчет внутренних течений вязкого газа с использованиемы уравнений Навье-Стокса //Учен. зап. ЦАГИ. 1981. Т.12. N 3, с. 44-54.

74. Tanaki Т., Tomida I., Yamane R. A study of pseudo-shock (1-st report) //Bull. ISME. 1970. Vol. 13. N 55, p. 47-58.

75. Васин В. Г., Полежаев В. И. Разностные схемы для уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа и расчет термоакустических волн: Препринт ИПМ АН СССР N 124. 1977. 47 с.

76. Merkli P., Thomann H. Termoacoustic effects in resonance tube // J. Fluid Mech. 1975. Vol.70. Pt.l, p. 26-45.

77. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Численное моделирование течений жидкости и газа в вихревой трубе и струе //Математическое моделирование. 2001. N 7, с. 116-120.

78. Скурин Л.И. Итерационно-маршевый метод численного моделирования задач механики жидкости и газа. Труды XIV сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды. М. 1998, с. 214-220.

79. Скурин Л.И. Итерационно-маршевый (по пространству) методрешения задач механики жидкости и газа //Математическое моделирование. 2000. N б, с. 88-94.

80. Скурин Л.И. Об эффективности итерационно-маршевого метода решения задач механики жидкости и газа //Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2000. Вып. 1, с. 124-130.

81. Buelow Р.Е.О., Venkateswaran S., Merkle C.L. Effect of grid aspect ratio on convergence // AIAA Journal. 1994. V. 32. N 12, p. 24012408.

82. Пейгин С.В., Тирский Г.А. Трехмерные задачи сверх- и гиперзвукового обтекания тел потоком вязкого газа //Итоги науки и техники. МЖГ. 1988. Т. 22, с. 62-177.

83. Васильевский С.А., Тирский Г.А. О некоторых способах численного решения уравнений вязкого ударного слоя //Аэродинамика гиперзвуковых течений при наличии вдува. М.: Изд. МГУ, 1979, с. 87-98.

84. Davis R.T., Rubin S.G. Non-Navier Stokes viscous flow computations //Computers and Fluids. 1980. V. 8, p. 101-131.

85. Srivastava B.N., Werle M.J., Davis R.T. Numerical solutions of hypersonic viscous shock-layer equations //AIAA Journal. 1979. V. 17. N 1, p. 107-110.

86. Murray A.L., Lewis C.H. Hypersonic three-dimensional viscous shock-layer flows over blunt bodies//AIAA Journal. 1978. V. 16. N 12, p. 1275-1286.

87. Васильевский С.А., Тирский Г.А. Численный метод решения полных уравнений вязкого ударного слоя : Препринт N 3119.

88. М.: Ин-т Механики МГУ, 1985.

89. Васильевский С.А., Тирский Г.А., Утюжников С.В. Метод глобальных итераций решения полных уравнений вязкого ударного слоя : Препринт N 3138. М.: Ин-т Механики МГУ, 1985.

90. Глазков Ю.В. Численный метод решения стационарных пара-болизованных уравнений Навье-Стокса. Автореферат диссертации. М. МГУ. 1991. 17 с.

91. Петухов И.В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое //Числ. методы решения дифференц. и интегр. ур-ний и квадратурные ф-лы. М.: Наука, 1964. С. 304-325.

92. Головачев Ю.П. Численное моделирование течений вязкого газа в ударном слое. М.: Наука. Физ-матлит. 1996. 396 с.

93. Ковалев В.Л., Крупнов А.А., Тирский Г.А. Решение уравнений вязкого ударного слоя методом простых глобальных итераций по градиенту давления и форме ударной волны //ДАН. 1994. Т. 338. N 3. С. 333-336.

94. Ramakrishnan S.V., Rubin S.G. Time-consistent pressure relaxation procedure for compressible reduced Navier-Stokes equations//AIAA Journal. 1987. V. 25. N 7, p. 905-913.

95. Марков А.А. Численное моделирование вязких потоков маршевым методом с глобальными итерациями давления//Изв. АН СССР. МЖГ. 1992. N 5, с. 132-147.

96. Pouagare М., Lakshminarauana В. A space-marching method for incompressible Navier-Stokes equations//AIAA Paper. 1985. N 85-0170.

97. Марков A.A. Асимптотический анализ трехмерных потоков в тонком ударном слое.: Препринт N 124. М.: Ин-т Проблем Механики АН СССР. 1979. 75 с.

98. Barnett М., Davis R.T. Calculation of supersonic flows with strong viscous-inviscid interaction //AIAA Journal. 1986. V. 24. N 12, p. 1949-1955.

99. TenPas P.W., Pletcher R.H. Solution of the N-S equations for subsonic flows using a coupled space-marching method //AIAA Paper. 1987. N 87-1173.

100. Каратаев С.Г., Костеров В.Н. Численный метод расчета сверхзвуковых течений вязкого газа //Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1990. Т. 30. N 4, с. 586-600.

101. Mazher А.К., Giddens P. New pressure correction equation for incompressible internal flows //AIAA Journal. 1991. V. 29. N 3, p. 418-424.

102. Yamaleev N.K., Ballmann J. Iterative space-marching method for compressible sub-, trans- and supersonic flows //AIAA Journal. 2000. V. 38. N 2, p. 225-233.

103. Israely М., Rosenfeld М. Numerical solution of incompressible flows by a marching multigrid nonlinear method //AIAA Paper. 1987. N 85-1500.

104. Himansu A., Rubin S.G. Multigrid acceleration of a relaxation procedure for the reduced Navier-Stokes equations //AIAA Journal. 1988. V. 26. N 9, p. 1044-1051.

105. Рогов Б.В., Соколова И.А. Маршевый расчет ударной волны при невязком сверхзвуковом обтекании затупленных тел //Математическое моделирование. РАН. 2001. N 5, с. 110-118.

106. Калиткин Н.Н., Рогов Б.В., Соколова И.А. Эффективный метод расчета вязких течений со значительным искривлением линий тока //ДАН. 2000. Т. 374. N 2, с. 190-193.