Численные алгоритмы компенсации электромагнитного поля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

¡2j5 0 5 3 2

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ И МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

БЕКПШАЕВ Мурат Жусупалиевич

ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ КОМПЕНСАЦИИ аШТРОМАГШТНОГО ПОЛЯ Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фиэико - математических наук

Алма-Ата - 1992

Работа вшолнена в Вычислительном центре СО АН СЗСР (г.Красноярск)

Научный руководитель:

доктор фиэико - математических наук, профессор Федотов А.М Официальный оппоненты:

доктор физико - математических каук Кайанихин О

кандидат физико - математических наук Иркегулов И

Ведущая организация: Институт прикладной математики ДВО РАН.

о

Защита состоится " 24 " 1392 г. в " " ча

на заседании сгегаалазированного Совета К 00a.II.DI по прьоуадеыию ученой степени кандидата наук при АН РК по адресу: 480021, г.Алма-Ата - 21, ул.Пушкина, 125.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке АН РК.

Автореферат разослан " $ " 1992 г.

Учений секретарь специалр! Совета К OOfi.II.QI

h^r^ 1

РахимОердкев М

<:7С

: -"Г-Ч '

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

■ ПЗ

-'А'зл

^ртдций^ктуалькооть теми. В диссертации строятся и изучаются мате-магические модели и алгоритмы для решения задач генерации (компенсации) электромагнитного поля, в основе которых лежат вариационные методы математической физики и обратные задачи синтеза излучающих систем. При изучении задачи компенсации электромагнитного поля возникает ряд вспомогательных задач (вопросы устой-• чивостм алгоритмов решения прямой и обратной задачи, вопросы аппроксимации, вопросы сходимости методов решения, оценки параметров, планирования эксперимента, прогноза, вопроси корректности), которые решаются в диссертационной работе. Задачи такого сорта относятся к некорректно поставленным задачам.

Решение задачи компенсации возможно только численно, поэтому проблема построения устойчивых численных алгоритмов для решения этой задачи является актуальной.

Целью диссертации являются: оценки параметров плотности распределения источника,•списывании» решение задачи компенсации; получение зависимости распределения источников от параметров электромагнитного доля и структуры среды; построение оптимальных по точности аппроксимации исходного источника, дискретными источниками; построения устойчивых численных алгоритмов приближенного решения задач компенсации; планирование структуры эксперимента. Задача компенсации фактически относится к классу обратных задач синтеза излучающих систем в "калом".

Научная новизна и практическая ценностьНовыми в работе являются следующие основные результаты:

Т. Приведена постановка задачи для обратных (некорректных) задач в "малом" и доказано ее корректность.

2. На основе вариационных задач и обратных задач синтеза излучающих систем построена математическая.модель для задачи компенсации электромагнитного поля, порожденного функцией плотности распределения источников.

Получены теоремы дающие оценки устойчивости поля от частоты, параметров среды и правой части уравнения для поля, оценки погрешности аппроксимации исходного поля полем удобной для численной реализации.

3. Введен и изучен новый класс задач для операторнк : уравнений, называемый задачей компенсации,

4. Рассмотрен ряд примеров задачи компенсации встречающихся на практике;

Построены устойчивые численные алгоритмы решения двумерных задач компенсации в замкнутых и открытых структурах для случая изотропных и однородных сред.

Построены алгоритмы решения трехмерных задач компенсации, основанных на факторизации множества допустимых решении для случая изотропных м однородных сред. Предложен-' алгоритмы основанные на методах регуляризации,

5. Получены оценки устойчивости решения исходной задачи от входных данных и параметров дискретизации. Получены оценки погрешностей аппроксимации- получанного решения (источника) решениями удойных на практика (т.е. дискретными излучателями).

Полученные результаты иллюстрируются на целом ряде тестовых примеров, показывающие возможность компенсации исходного поля и корректность поставленной задачи.

Диссертационная работа выполнена согласно плана работ ВЦ СО СССР (г. Красноярск).

Построенные алгоритмы могут быть использованы для решения широкого круга задач, связанные с обработкой данных. Авторами эти алгоритмы были использованы для восстановления и улучшения качества сигналов изображения при соместной работе с КБ ПО "Искра".

Апробация работы. Основные р^ зультати докладывались на П-Республиканской конференции по проблемам вычислительной мата матики и автоматизации научных ислладовании (Алма-Ата, 1988), н Всесоюзной конференции по условно-корректным задачам математической физики (Алма-АтаД990), на научных семинарах в ВЦ СО АН СССР (г.Красноярск, 1990), КазТУ им. Аль-Фараби (г. Алм -Ата, 1991), КаэГПУ им. Абая (г. Алма-Ата, 1991).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5],

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из ввел« ния, четырех глав, списка цитируемой литератур!;, содержит 97 страниц, включая 23 рисунка. Список литературы насчитывает 79 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

_ 4 _ '

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор литературы, обсуждаются актуальность, новизна, цель работы и формулируются основные результата диссертации.

Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена общей постановке задачи компенсации электромагнитного поля.

В первом параграфе дана постановка задачи в абстрактной форме. В абстрактном виде задачу компенсации можно сформулировать как вариационную задачу для операторного уравнения.

Рассмотрим задачу компенсации не конкретизируя физической области применения. Поя задачей компенсации будем понимать следующую математическую задачу. Пусть Р , 0 , V три функциональных пространства. Будем называть пространство Р - пространством источников, Б - пространством распространения, V - простраис-транетвом защити. Рассмотрим линейные непрерывные операторы А : Р -> Б и В : Р -> V . Предположим, что нам задан некото-источник Р . котро>"у соответствует определяемый при помощи

оператора А элемент распространения с10 Я (с!0 = А (0 ) и при помощи опрератора В элемент защиты у0 £ V (чс - В {в ). Пусть Р : Ю -> Ое - оператор проектирования пространства распространения на некоторое подпространство 0С - подпространство сохранения характеристик распространения и 6 : V .-> \>к - оператор проектирования пространства защиты на некоторое подпространство Ук - подпространство компенсации.

В введенных обозначениях задача компенсации формулируется следующим образом. Для любого б > 0 построить Р с мини-

мальной нормой такой, что

1!Р[ аоо +^ )-а«,]}^ «е (I)

и доставляющий минимум функционалу энергия

ф 1 = ¡1 О С В ав + ^ ) - т4 ]|| , (£>)

где V - заданная величина компенсация. Используя линейность расматриваемых операторов, задачу можно сформулировать следукишм

образом. Для любого £ ^ О построить элемент f¡ € F о мшимаяь-ной нормой такой, что

1! Р £ A f ¿3 \\ь

и доставляющий минимум функционалу энергии

Ф [f t 3 - ||ß [ В f¿ - (v¿ - v0 )3||v . В приложениях пространства D , V - гильбертовы пространства функций заданных на S 0 , Sv , соответственно .(например, D, = bjíSj), V = L¿(SV)). Подпространство Dc является гильбертовым пространством функции заданных на Wc С (область сохранения), оператор Р являатся оператором ортогонального проектирования пространства. D на подпространство Dc . Пространство , источников F является банаховым пространством функции заданных на S р с R" (n = I, 2, 3).

Во втором параграфе приведены примеры задач встречающихся на практике . Далее приведен анализ щ..мэров с точки зрения возможности компенсации и корректности постановки задачи компенсации .

Раеомотрш о«ин из пршзров во втором параграфе Пусть Q область в R", Р =La(0.), D = V = L & ( R" ) (п=Г ,2,3), Рассмотрим оператор А : F -> Е

С A f Kz) = ^ f( ^)exp(iKÍ z)) d^ = d(z), (3)

a

где Ran( A ) = - подпространство целых функции n переменных (n=I,2,3) экспоненциального типа конечной степени, однозначно определяемый носителем fl функции f £ F , d 6 W¡x,

Уравнение (3) является основш м уравнением задачи синтеза излучающей системы. Правая часть уравнения (3) de D представляет собой диаграмму направленности (поле в дальней зоне ÍkIzI» I) источника с плотностью распределения f € У, Задача компенсации электромагнитного поля здесь понимается в следующем: тре.1у-ется построить источник с плотностью распределения f , диаграмма направленности которой в диапозоне углов Wc равна d = d 0 и и в диапозоне углов W к была бы минимальной . Если Wc представляет собой диапазон углов где расположен главный лепесток диаграммы направленности, то задача заключается в га^сйии оокових лепестков, расположенных в диапазоне углов W ^ , при неизменности плавкого лепестка.

В этом примере оператор В ~ А , В : Р -> V = 0 = У?л. Пусть = [ ге К г : 1г| •- I, г = (эшв созУ , э^в з!»^ , соэО),

0 с1^ < У < <34< 2 тг , 0 < < © < в« <. тг], = { 2 6 П5 :

1 г|= I, г = Ыпв соэУ , з!пв э!!!^ , совв),

2 1Г , 0<91<0<вг.<гг^ , {\ У к $ , проекторн Р : Ю -> В с , 0 : V ~> V к - операторы сужении.

Пусть в диапазоно углов Ус опредолен элемент соответствующий проявлению некоторого источника f „ е Р . Рассмотрим основную задачу (I) - (2) в принятых обозначения!:: требуется найти f I. г ( Г).) доставляют?';

Ш ||О А я: 1! = А { ¡1 . , (4)

при условии !| Р [ А f - с)0 , где 0 - заданная точность.

Рассмотрим функционал Лаграю?л.:

Мх(<10, О = Но Л f ||г + х ||р [ А { - <10 ]||г. Тогда справедливо:

ТЕОРЕМА I. Каковы йы не били параметр Л > О и функция с30 иэ Ьа(У/с ) существует единственная Функция с 1г( О.), на которой функционал М х (<5 0 , f) достигает своей точной нижней грани на множестве Р С I & ( П. ),

Предположим, исходя из априорной информации, что множество допустимых решений и ( П) - замкнутое ограниченное подмножество . Определим оператор Ар : Ь4(П)-»Б|о>=1.г(0:( ), 01 ={гбК" :|г(= I] , А^ { = [А Л(г/|г|), ге п = 1,2,3. Заметим, что А ^ является компактным оператором. Рассмотрим

({)- излучаемую энергию в дальней зоне, которая соответствует току { на , т.о.

25Г 5Г

4 (*) = 5 5 I [А ^Кг/|2|)|гб«а9, (5)

Тогда энергия А (О в диапазоне углов 9/ к будет иметь вид: * гэг т

$,<0 = 5 ^ ос («ГК)|[А {](г/ш )|г(1Ч(]в, где об (9/ к > - характеристическая функция , г - г(г , б , Ч). ТЕОРЕМА 2. Существует I € II , такое что

- Ш Ь к (в) . (6)

е€ и

В третьем параграфе дана историческая справка задачи компен-

сайки . Изложен обзор используемых работ и состояние близких работ в этой области . Также приводятся отличительные стороны исходной задачи среди других аналогичных задач в электродинамике.

Вторая глава состоит из трех параграфов и посвящена изложению подходов построения алгоритмов решения исходной задачи,

При построении решения задачи компенсации нужно исходить из того, какие требования предъявляются к полю в области сохранени Ир . Рассмотрим исходное пространство (гильбертово) источников и пусть f - произвольный, но фиксированный элемент Р , не принадлежащий Кег( РА). Тогда его можно представить в виде

I = *о+ * 1 . - (?)

где Кот ■*"( РА ), Квг( РА), элементы ^ 0 > * ^ онре

являются элементом f .однозначно. Обозначим через,

Р 0 - Кег х ( РА ), Р( = р/, тогда Р = Ре+ Р1. При создании алгоритмов решения задачи компенсации использс вались в основном два метода.

Правый подход основан на возможности получения представлэм решения f задачи (I) - (2) в виде (?). Первый шаг основан в ре шении уравнения Р I {„ = с заданной точностью 6 > О . Обо; начим формально рвшиние (частное) через {0= $ ( Р , А"1 , с10 Второй шаг заключается в минимизации функционала я 1п1 I! О В * = Л О В + О В {0 ,"

feu„. v fl6 Pi

где U6d = { f € F: |i Р [ A f - d 0 ] || j, $ £ } . И третий шаг иссл< дует вопросы аппроксимации, устойчивости решения f .

Для построения устойчивого решения сформулированной задачи нужно задать критерий отбора решении, используя априорную инфо мацию о близости к f 0 . Согласно теории решения некорректно по тавленньх задач, достаточно задать меру близости, которая еужа множество допустимых решении Utcj до слабо компактного м: жест U . В основном существует три подхода сужения. Первый подход э ключаетея в замене множества U£o| в задаче (I) - (2) множеств

U= UW|A[f€P:|}f - *fjp< С. С = const > 0}. («

Второй подход связан с пополнегчем полунормы Ц О В f \\ ^ нормы \\ Q В f ft у + р ( f ), где р ( i ) функционал от f донол! юший HQ В f Ц у до нормы IIИ , к примеру р ( f ) - ^С К ' ц р .

Третий подход, также, заключается в замене полунормы \\Q В

i еадаче (I) - (2) его пополнением no нормы |\Q В f \\ v+ \\Р A f\\ + I ( f ), где р ( f ) - функционал от f дополняющий до нормы F. В работе использовались два первых подхода. Второй метол решения задачи компенсации основан на метоле шгуляриэашш, т.е. связан с сужением множества допустимых реша-ши U £d в задаче (I) - (2) до множества U или пополнением юлунормы HCl В f II v до нормы IIQ В f 11 «у + р ( f ). Изложим этот юдход . Он используется, когда пррктичеоки невозможно факторизо-аать пространство Р в виде (7). Метод основывается в минимиэа-ши функционала Лагратаа

L (oi. , f ) = II Q В f II у + л \\ P [ A f - d о ] ¡11 (9) i внбором параметра ы ;> 0 из условия: II Р [ A f^ - d0 ] II к <; £, ,. ■де £ > 0, d06 D - заданный элемент и = arg inf L (ос , f).

(.¡формулируем теорему о корректности задачи отыскания регулированного решения f л 6 F^ , т.е. элемента f^ такого, что inf L ( ы , f) = I. ( oi , f^), (10)

f 6 FtcF ТЕОРЕМА 3. Пусть выполнены следующие предположения: ! . Fj - выпукло;

!. Если f„ б Р4 , f „ f , РИ„-^(1. , ÖB и„ ,

при п ®о , то f € Pt , Р A f = d 0 , Q В f = u 0 ; i. Для любых fi , fa е Ft справедливо неравенство II Р А ( ft - fa ; И ^ + II Q В ( f t - ft )ll* >,G,\\fL- f4Hp4 , гдо C0= const . Тогда при любнх Ы. > 0 решение задачи (10) су-юствует и единственно.

Рассмотрим исходную задачу в случае когда имеет место факто-1изация пространства Р вида (7) . Тогда исходная задача (1)-(й) ^спадается на две независимые задачи: а) требуется найти приниженное решение f0S Fa уравнения Р A fQ = d0 с заданной ■очностью d > 0; в) требуется по найденному решению foe Р0 за-[ачи а), найти Fi такое, что

fv = ar? inf II Q В ( g + f0 ) . (II)

g 6 Fl

Обозначим через P1 : F —•• F , P1=oCp^B, ctp^- характе-шстическая функция носителя РА , определенная для всех f е Р. [редставляя функции fte F4 в вида fA = PL g , к е F , затем инимизируя функционал вида (II) по всем g € F , получим

Р.В^ОВР.Й = Р. В^ОВ (12)

Пусть существует оператор обратный к оператору Ь I , где I = О В Р : Р -> V . Тогда решение исходной задачи ( 6 Р будет

* = *о ~ р1 Б* 0 Б в *о • <13)

где ^ £ Р0 решение уравнения РА = сЗа с заданной точностью, причем мнимум функционала ^ ( { равен

4 ( * ) = [ Д ^ . ]р , (14)

здесь Л = В*О В С Е - Р1 ( Р1ВнО В Р1 )'1 Р4 В*0 В ], Б : Р -> Р - тождественный оператор.

Во втором параграфе описан алгоритм аппрг гцимащш исходного решения, функциями (источниками) реализуешими на практике.

Рассмотрим комплексную функцию { £ Р заданную в области XI . В задачах компенсации электромагнитного поля возникает проблема реализации исходного источника £ = М 2 ), гей" , п ~ I, 2, 3; т.е. построение антенн генерирующие поле источника с плотностью распределения Г е Р. Поэтому при решении основной задачи требуется учитывать погрешность аппроксимации исходного элемента I & Р функциями вида

Н

*"( 2 ) = Е • <15)

п=1

где 2 - система линейно независимых функции задан-

ных в области , 1п=1п( { ),п = 1,2,... , N ; N ^ I .

Под близостью (эквивалентностью) двух функции , ^ будем понимать близость генерируемые ими полей, т.е.

iL = ^ <=>||Р А ({ 1 - I ¿Ид + и 0 В ( ^ - {й = 0. (16) Обозначим через

И, - *г1ь = ЙР А ( и - 4 >111) + Ц0 В ( - 14)й* . (17) Таким образом, задача аппроксимации сведется к задаче построения функции £м( 2 ) вида (15), доставлявшее минимум функционалу ( I" , Н ) вида;

- £<21^1. (18) В третьем параграфе исследуются вопросы корректности постановки исходной задачи . Результаты полученные в предеяущих параграфах позволяют сформулировать теорему о корректности постановки задачи компенсации как задачи построения квазиреишния операторного уравнения в "малом".

Третья глава посвящена применению вышеприведенного подхода к построению алгоритмов для конкретных задач компенсации приведенных в первой главе.

В первой части третьей главы рассмотрена задача гашение боковых лепестков главного лепее.ка диаграммы направленности т.е. задача заключается в компенсации боковых лепестков, при неизменности уровня главного лепестка.

Рассмотрим вышеизложенный пример более подробно. пусть известно решение е Р0 неравенства (IР [ А с)01 й х < • ПРИ заданных £, ? О и <10 е. V л , XI С (п = I, Й, 3) - измеримое, ограниченное множество.

Определим функцию (4 е следующим образом

^и) = й(г) - Ь [Р А гЗШ ехр(-жи,г))(к/2 тг (19)

•■'с

прл геП, где г е Р - произвольная , финитная функция в области П , т.е. г(г) =0, геП.

Нетрудно убедиться, что условие финитности функции {^ вида (19) в области , эквивалентно условию

S

d(s) H(t-s) ds = d(t), t 6 R, (20)

R 5

где d (t) = [ P A J(t), H(t- s) = S exp[i2 тг (z, t-s)] dz ,

n ^ = (i/ x ) a.

Учитывая выполнимость условия (20), что [ P A fA } (z) = О,

[ О В fх ] (z) = [ Q A g ] (z), при z е R" (п = 1,2,3), получим

inf tíQ В f II = inf IIQ A ( f о + g ) il , (21)

f £ P Y g€ F V

где f = f0 + f£ , g € F - произвольная финитная' в области О

функция (удовлетворяет условию (30)). Вычисляя минимум в (21)

получим уравнение относительно g е F

[ О A g] (z) = - [ Û A i 0 ] (z) ,

ç (22)

J С P A g] (s) H(z-s) ds = [ P A g] (z) , в"

здесь *

[ P d] (z) = cC< Wc ) d(z),

[ Q d] (z) = «*( WK) d(z), (23)

где oC ( W ) - характеристическая функция множества W , fQ 6 F0

- И -

t A g] (z) , если z e Wc

- известная функция удовлетворяющая условию ЙР A f0 - d„|| % ¿

^ 0 . Используя определение проекторов Р н Q из (23) в уравнении вида (22), получим

С A g] (z) = - [ A f e] (z) , z e wK • r r » t-,\

^t A g] (s) H(z - s) ds Wc ^ 0 , иначе ,

где W c A W к = <¿ , W e U W, ç [ z e R" : tz| = I } .

Введем систему функции { m $ , полных в классе функции с преобразованием Фурье, имеющем локальну» структуру. Пусть { ^»Л ~ собственные функции интегрального оператора:

S s) H(z - s) ds = 4m(z) , (24)

W ^

где «> m (z) и \ m обладают след> .ощими свойствами :

1) 0 < \ m < I, > + i , lim X „ - О, m £ N;

2) í^wl J^ti ~ полна в классе функции

[ g 0 (z) : S g 0(S) H(z - s) ds = gû(z), z e Rn}, (25!

R"

3) система является системой функции с двойной ортогональностью, т.е.

S Чт(г> Vz>dz = K-

С R"

b ÍJz) «„(г) dz = X

m "п. » fflit'oÊ N,

WK

< m

где û n> - символ Кронекера.

При n = I в качестве системы можно взять систе

так называемых вытянутых сфероидальных волновых функции (ВСВФ) представляющие собой собственные функции с ненулевыми собствен ними значениями интегрального оператора вида (24).

Из свойства полноты системы { ^ в класс • вида (,",ri следует представление *

caï3(z)=2L U,^2^

(2é

так как функция [PAg](z)H[Aí0Ü-(z!) принадлежат классу функции вида (25) . Для определения коэффициентов 1 m -в разложе •¡ИИ Вида (26), умножим скалярно по области W к . Тогда в итот получим

[ A g] (z) = -£[(I/X„ ) S [ A f0 ] (s) $„(s) ds] 4n(z).

Таким образом, получим относительно неизвестной функции уранение вида

ОО

[ A g] (г) = ( Q A f0 ,%) . (27)

п=1

Уравнение вида (27) часто встречаются в задачах синтеза излучающихся систем . Решив уравнение вида (27), в итоге получим

8 (z) =-£ ( OA f0 [ A*vjh]-(z)/x„-, (28)

n=I

при z e Q., здесь использовано условие принадлежности правой части уравнения вида (27) классу . Отсюда подставляя полу-

ченное решение ? = g (z) в представление (19), получим искомое

f (z) = f (z) + g (z) - S С P A g] (s) e,KtS^K/2 ir )S ds. ■ ¥c

В следующих частях рассмотрены задачи для случая замкнутого и открытого волновода в двумерной постановке. При решении прямой задачи для открытого волновода использовался метод вычетов для решения интегральных уравнении типа Коши.

В заключении главы изложены ряд вспомогательных теорем и теоремы о возможности компенсации исходного источника, при неизменности диаграммы направленности в заданном диапазоне углов.

Четвертая глава состоит и трех параграфов.

Первый параграф посвящен доказательству теорем устойчивости поля и источника в зависимости от входных параметров для вышеизложенных примеров задач компенсации. Приведены графики зависимости функционала энергии от величины HP - отрезка ряда . Приведено ввидй графиков изменение поля в сечении z = 0.325 х при 10 < NP < 50,(х|4 а для случая замкнутого волновода.

Во втором параграфе приведены графики сравнения компенсиро-поля uK = u к (x,z)c исходным u = u(x,z) и функционала энергии, подсчет производился при конечном отрезке ряда < Число NP внбирз-из условия получениях результатов в предедущем эксперименте

(NP=GO) . Ha рис. I приведен один из графиков сравнения исходного с компенсированным полем, при сечении z = 0.325 >,.

На рис.3 приведен численный результат задачи гашения боковых лепестков, при сохранения главного лепестка, изображенного на рис.2, причем главный лепесток находится в диапазоне углов [О.сй" /6] и боковые лепестки расположены в диапазоне углов [^/6,3^/8].

В третьем параграфе получены результаты показывающие возможность аглхроксишцяи непрерывного, источника дискретными источниками (точечными) и поля полем удобных для численной реализация.

Все результаты эксперимента приведены ввиде графиков . Прк этом графики и оценка для тестовых примеров полностью подтверждают теоретические исследования о возможности компенсации.

В заключении выражаю глубокую благодарность профессор!" A.M. Федотову за его постоянное внимание к работе, полезные освети и замечания.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Бекпатшаев М.Ж. О корректности одной задачи дифракционного излучения по данным малоуглового рассеивания // II -Республиканская конференция по проблемам вычислительно!* математики и автоматизации научных исследований, Алма-Ат 4-8 октября 1988 г. : Тез. докл. - Алма-Ата:ИММ АН КазССР

1988.- Т. Г.- С. 2а .

2. Бекпатшев М.Ж., Федотов A.M. Задача компенсации электро магнитного поля // Всесоюзная конференция по условно-кор ректным задачам математической физики, Алма-Ата, 4-8 октября 1989 г.: Тез. докл.- Красноярск: ВЦ СО АН СССР,

1989.- С. 21.

3i бекпатшаев М.Ж. Определение выпуклых тел по данным малоуглового рассеивания И Численный анализ обратных задач дифракции.- Красноярск: Краснояр. ун-т, 1989.- С. 17-22.

4. Бекпатшаев М.Ж., Федотов A.M. О компенсации электромагнитного поля в волноводе точечными источникам' / Вычислит центр СО АН СССР. - Красноярск, 1990.- 28 с. (Леп. i ВИНИТИ 03.04.90, N 1781 - В90).

Б.. Бекпатшев М.Ж. Аппроксимация непрерывного истг щика // Математические модели и алгоритмы в задачах обработю данных.- Красноярск: КрасГУ, 1991.- С. 85-95.

0.2000.160 J 0.120-0.Ü80 0.040 О

-0.200 -0.120 -0.040 ' 0.040 0.120 0.200

РЙСЛ.

гис.з.