Численные методы решения асимптотической задачи взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РГб од

I >3 ' '

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЦЕНТР

На правах рукописи

Кравцова Марина Анатольевна

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОДЫ РШЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОТРАНИЧНОГО СЛОЯ С ВНЕШНИМ ПОТОКОМ

Специальность: 01.02,05 -механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученей степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Центральном аэрогидродинамическом институте имени про(К Н.Т!. Чуковского

Официальные оппоненты: доктор Физико-математических наук

на заседании специализированного Совета Д002.32.01 при Вычислительном центре РАН

Адрес: 117967, Москва, 1СП-1, ул. Вавилова, 4П С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке щ ?ан

Учений секретарь специализированного Совета Д002.32.0Т,

Е.Д.Теректьев,

кандидат ймзико-математических наук М.А.Брутян

Ведущее предприятие: Институт механики ПТУ

Защита состоится

доктор Физико-математических

Актуальность теш. Ргрнв потока от поверхности твердого тела представляет пдно из фундаментальных свойств течений с малой вязкостью, которые чале всего встречаются в природе и являются характерными для аэродинамики. безотрывные течения могут реализоваться лить при достаточно жестких ограничениях та йюрму обтекаемого тела, а отрыв потока оказывает существенное влияние на испытываемые телом аэродинамические силы. Исследование возникновения отрыва представляет собой одну из наиболее сложных задач совре-ипигшЯ гидродинамики. В пбтем случае она требует численного решения уравнений Навье-Стпкса, что, как известно, сопряжено сп значительными трудностями, увеличивающимися но мере возрастания числа Рейнольдса. Поиски выхода из этой ситуации привели к созданию асимптотической теории отрывных течений, начало которой положили в 19Р9 голу Кейлакд и независимо от него Стюартсон и "Вильяме, рассмотревшие отрнв пограничного слоя пт плоской поверхности в сверхзвуковом потоке газа. В основу теории была положена идея о взаимодействии пограничного слоя с внешним потенциальном потоком, анализ течения в окрестности точки отрыва проводился с помощью построения асимптотического решения уравнений Навье-Стокса при стремлении числа Рейнольдса (Яе) к бесконечности, "^ыло установлено, что в окрестности точки отрыва образуется область взаимодействия с продольным размером порядка Яе У* , имеющая трехслойную структуру. Ключевую роль играет пристенок"'" слои, ще течение является вязким и описывается уравнениями Прятгдтлл для пограничного' слоя в несжимаемой жидкости. Градиент давления при этом заранее не задан, в должен определяться в процессе решения задачи условием взаимодействия. Лля сверхзвукового течения это (Тпрмула Аккерета, п для течения несжимаемой жидкости - интеграл Гильберта из линейной теории потенциальных течений. В силу этого требуется создание специальных методов расчета отрывных течений, значительно отличающихся от традиционных способов решения уравнений параболического типа. При конструировании числетгного метода необходимо учитывать такие принципиальные моменты, как условие взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком, приводящее к передаче возмущений против потока даже при сверхзвуковой скорости на внешней границе пограничного слоя, что требует постановки дополнительного краевого условия на правой границе расчетной области, а также появление возвратных токов, которое усиливает влияние этого жМекта. Кроме того, часто в постановке задачи присутствует параметр, вариация которого значительно влияет на картину рассчитываемого течения, и в связи с этим - на сходимость метода.

г

Диссертация содержит исследование явления взаимодействия и отрыва для плоских и пространственных течений с помощью трех наиболее Фективных и современных численных методов.

Цель работы состоит в том, чтобы исследовать отрыв сверхзвукового пограничного слоя в окрестности донного среза твердого тела; численно исследовать отрыв пограничного слоя несжимаемой жидкости перед угловой точкой контура тела; изучить, как по мере изменения параметра течение с отрывом от угловой точки преобразуется в течение , в котором отрыв происходит на гладком участке поверхности тела перед угловой точкой; численно с помощью спектрального метода исследовать пространственное течение несжимаемой жидкости в пограничном слое вдоль искривленной поверхности при его взаимодействии с неровностью (вгтадиной или выступом) на этой поверхности.

Научная новизна. В диссертации рассматривается задача отрыва сверхзвукового пограничного слоя перед донним срезом твердого тела. Проведено исследование режима течения, когда донное давление превосходит давление в невозмущенном потоке на величину порядка при этом точка отрыва потока, даже если она не совпадает с донным срезом, все же не выходит за пределы области взаимодействия, образующейся в окрестности донного среза. Установлено, что при увеличении значения донного давления, начиная с некоторого значения, возникает область возвратных токов, повышение давления вызывает увеличение отрывной зоны.

С помощью сконструированного "быстрого" "квазиодновременного" итерационного метода исследован процесс отрыва пограничного слоя несжимаемой жидкости перед угловой точкой контура тела, когда угловая точка расположена на расстоянии порядка 0(Йв от точки Бриллюэ-на-Вилля. Численное решение дает возможность проследить, как по изменению параметра течения с отрывом от угловой точки преобразуется в течение, в котором отрыв происходит на гладком участке поверхности перед угловой точкой.

Следует заметить, что если методы решения плоских задач теории взаимодействия достаточно развиты, то численное решение пространственных задач еще представляет значительные трудности. В диссертации представлен эффективный спектральный метод с использованием алгоритма быстрого преобразования <Т^рье. С помощью этого метода исследован режим продольно-поперечного взаимодействия, который представляет собой существенно пространственный вариант теории взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком и не имеет аналога в двумерных течениях.

Научная и практическая значимость. Результаты диссертационной работы можно использовать при изучении течения около донного среза твердого тела в сверхзвуковом потоке. Сконструированный "квазиод-новременннй" метод может быть эффективно использован при расчете отрывных течений несжимаемой жидкости, ввиду его быстрой сходимости при небольшом числе глобальных итераций. Эффективный спектральный метод можно использовать при расчете пространственных отрывных течений в пограничном слое.

Апробация работы. По материалам диссертанта опубликовано 4 статьи в "Туриаде вычислительной математики и математической Физики", "Ученых записках '!АТММ. Результаты диссертации были представлены в качестве доготада на Международном Симпозгтуме по перспективным аналитическим методам в аэродинамике в Миедзиздройе ^Польпта, 1993), на семинарах в цапт и ВЦ РАН.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Она содержит 79 страниц машинописного текста и 20 рисунков. Список цитированной литературы включает 54 наименования.

содетшк диссертации

Во введении приведен обзор работ, посвященных численному решению асимптотической задачи взаимодействия пограничного слоя с внешним невязким потоком, обоснована актуальность темы диссертации, а также кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава посвящена отрыву сверхзвукового пограничного слоя перед донным срезом контура тела. Рассматривается двумерное сверхзвуковое течение совершенного газа около твердого тела, контур которого имеет прямолинейный участок АО, ориентированный параллельно направлению движения таза в набегающем однородном потоке (рис. I). Цусть контур твердого тела имеет в точке 0 излом, обтекание которого сопровождается отрывом пограничного слоя и образованием донной . области медленного рециркуляционного течения, отделенной от основного потока слоем смешения 03. Обозначив протяженность отрезка АО через Ь , а скорость газа в набегающем потоке, его плотность и динамический коэффициент вязкости - через , рсо и /'со соответственно, определим но этим величинам число Рейнольдса Ле = ДцКо^/у^-™ и будем считать, что оно значительно превышает единицу. Здесь введена прямоугольная декартова система координат Оху , в которой х отсчитнвается от точки 0 вдоль поверхности АО , а у - по нормали

к ней. Составляющие вектора скорости в этой системе координат, отнесенные к ^ , обозначен» через и. , гг . Введем избыточное давление р, определяя его как отнесенное к удвоенному скоростному напору

ЯсоКо приращение давления в произвольной точке плоскости (х, у ) по сравнению с давлением невозмущенного потока. Режим течения над поверхностью АО зависит от избыточного давления р0 в донной области. Случай, когда р0 является отрицательным, что соответствует разгону потока перед донным срезом 0 , по,дробно исследовал В.Я.Ней-лавд (1967, 1969). Как оказалось, влияние донной области на течение вверх по потоку от нее сказывается на расстояниях порядка Не ^ от донного среза. При этом в окрестности точки 0 , имеющей протяженность лх=0(Иел/е) , образуется область взаимодействия пограничного слоя с внешним невязким потоком, которая состоит из трех слоев с толщинами порядка Аб^ ,Ае и Яе ^ соответственно.

Ключевую роль в процессе взаимодействия играет тонкий пристеночный слой (область I), где движение газа подчиняется уравнениям Працдтля для несжимаемой жидкости, в которых градиент давления заранее не задан, а определяется йюрмулой Аккерета

Р=-А'(Х).

Краевыми условиями являются: условие сращивания с пристеночной частью пограничного слоя Елазиуса вверх по потоку от области взаимодействия:

и=У при Х^-00;

условие сращивания с решением в среднем слое (область П) области взаимодействия, занимающем основную толщину исходного пограничного слоя:

и~Т+А(Х)+... при + (I)

условие прилипания газа к поверхности твердого тела перед донным срезом:

1/=У=0 при Г-О, Х< 0; условие непрерывности давления на донном срезе

Р\х=0 = Р0-

Мы использовали специальную замену переменных

х-л'^у/1'<"*, г-л а ■'),

позволяющую записать задачу о взаимодействии в универсальном виде независимо от значений поверхностного трения а , плотности газа р0 и динамического коэффициента вязкости ju0 на дне пограничного слоя непосредственно перед областью взаимодействия. Одновременно исключается зависимость газодинамических функций от числа Маха набегающего потока Мт , которая выражается через постоянную fl= lf^f Формулированная краевая задача, как известно, допускает две ветви решения. Кроме решения, описывающего разгон потока в области взаимодействия, она имеет также решение с монотонно растущим давлением. Как показали В.Я.Нейланд (1971) и Вильяме (1975), при этом газодинамические «Тункции остаются регулярными при всех X , а в пределе при X— + 00 приведенное давление Р(Х) стремится к конечному значению Ра = 1,78, которое соответствует давлению "плато" в области медленного рециркуляционного течения, образующейся вниз по потоку от точки отрыва. Рассмотрен режим течения, который реализуется при промежуточных значениях донногп давления 0 <Р0^Рд , когда точка отрыва потока, дате если она не совпадает с донным срезом, все же tío выходит за пределы области взаимодействия, образующейся в окрестности донного среза.

Для расчета задачи о взаимодействии перепишем исходные уравнения в переменных завихренности а)= dVjdY и функции тока (р . Лля этого уравнение импульсов достаточно продифференцировать по координате У" учесть уравнение неразрывности и добавить частную производ-tiyio по времени функции со:

Граничные условия принимают вид ;

при УУО И (3)

В силу условия прилипания 'Тушения тока удовлетворяет соотношениям

<г|у=0 при Г'О.

Используем также известное следствие уравнения Лраадтля

дГ

_ dP

Y=0 ~<iX (4)

Для решения уравнения <2) вводится равномерная сетка ( Ь; Х„. Т )

^ I 7 ПI/ ' IС

завихренность в узлах этой сетки обозначена СОтл. , 1,2,.. ' /ь= ¿,2,...,Ж Следуя работе А.И.Рубана (Г978), где пре,пложен метод

расчета нестационарных течений с отрывом в области свободного' взаимодействия, производные дсо/^У и д1и>/дУл берутся на м временном слое, д^^дУ* аппроксимируется, центральной разностью, а ди)/4Х представляется левосторонней разностьта при 1Т>/0 и правосторонней - при У^О .В итоге для каждой прямой гц = сонъЬ получается система уравнений относительно си^ :

^а* О

Из краевого условия (3) следует 'ЧдЛ' = ^ .

Согласно методу прогонки, решение (2) может быть представлено в ви-

Таким образом, искомое решение является ^пункцией завих-

ренности на стенке:

,<•' , , а1- / = / л1 =о Чт^ЛшъЧ11 "м > Лпы 1> ит/ и>

Завихренность на стенке подбирается так, чтобы на каждом временном слое удовлетворялось условие (4), в котором связь давления с толщиной вытеснения, в свою очередь, подчиняется Формуле Аккерета:

дТ

Здесь все величины могут быть внраженн через , в частности

у .

о

лг

В результате (5) сводится к разностному уравнению

V , - 6Ут1 * Ст. <4ии / 6 ■

Чтобы с помощью прогонки решить это уравнение, достаточно определить краевые условии. В силу <3) (¿/,^¡ = 1 . Вспоминая условие непрерывности давления на донном срезе, имеем -А'(о)~ Ро . Отсвда вытекает второе краевое условие для определения завихренности на стенке:

M>! С —С и--"

Гл 'м-1 М'1

В зоне смешения вниз по потоку от угловой точки давление постоянно и равно Рд , dP/dX=0 , течение описывается уравнениями Пратщтля. Из условия сращивания с решением в застойной зоне

11=0 при Y—оо,ХЮ, (б)

В силу непрерывности (функции А (X) , а также связи между давлением и толщиной вытеснения но Формуле Лккерета, получим, что в области смешения

А(Х)-Л(0)-РоХ. (7)

Для решения полученной краевой задачи методом прогонки вводится равномерная сетка (h , X^ Y^ f 7 m.=ti+l ff 1

Значения U^l на верхней и нижней границах.расчетной области определяются (I), (6), (7). Полагаем также Unul-0, т = М, п=-Мг..,1 на вертикали вниз от угловой точки в силу условия непротекания. Расчетн показали, что при увеличении параметра Р0 , начиная со значения Я. = 1.07, возникает область возвратных токов. На рис. 2 приведено распределение трения на стенке при различных Р0 , отрицательное трение соответствует области отрыва потока. С ростом /I нулевая линия тока смещается влево от угловой точки, дальнейшее повышение давления вызывает увеличение отрывной зоны. На рис. 3 представлена картина линий тока при Р0 =1.5, линия О отмечена звездочкой, положительные и отрицательные значения санкции тока построены с шагом 0.1.

Во П главе рассматривается задача об отрыве пограничного слоя несжимаемой жидкости перед угловой точкой контура тела. В 1972 г. Б.В.Сычев рассмотрел классическую проблему об отрыве'пограничного слоя от гладкой поверхности в потоке несжимаемой жидкости. Основная трудность состояла в выборе предельного состояния поля течения при ßg-*co , которое описывается решением уравнений Эйлера. Сычев обратился к модели Кирхгофа из теории струй идеальной жидкости, которая допускает однопараметрическое семейство решений уравнений Эйлера в задаче обтекания твердого тела с гладким контуром. Решения из этого семейства отличаются положением точки отрыва на поверхности тела, градиент давления перед точкой отрыва возрастает как к х.) !1г > кривизна оторвавшейся линии тока <%=-кхУг , где 1x1 - расстояние до точки отрыва, к - параметр, определяющий ее положение на теле. В частности, Л=0 , если точка отрыва выбрана в соответствии с

условием "гладкого отрыва" Бриллтаэна-Вилля. Основная идея Сычева состоит в том, что параметр А считается положительным и стремящимся к нулю при ш как величина порядка Яя . При этом решение в пределе- ¿г-»«) удовлетворяет условию Бриллшна-

-Вилля. Рубан в 1974 г. анализировал отрыв- пограничного слоя от угловой точки контура тела в потоке несжимаемой жидкости. Своеобразие этой задачи заключается в том, что пограничный слои, приближающийся к угловой точке, под действием экстремально большого благоприятного градиента давления интенсивно разгоняется. Б окрестности утл обой точки ар/йх^К^Г^ гДе к=0(1) , А< 0 - параметр. Изменения, которые происходят в потоке около угловой точки при увеличении к от отрицательных значений порядка единицы до положительных порядка , исследовали Рубан (1987), Богданова и Рыжов (19В6, 1987). Было установлено, что теория, построенная Руба-ном в 1974 г. для 1к1~0 (1) > справедлива и в той случае, когда параметр к принимает малые отрицательные-значения, если он превосходит по порядку величины Яе1^6 . Если же А = , то возникает совершенно новый режим течения (Рубан, 19В7). Он интересен в первую очередь тем, что описывает промежуточные состояния отрывных течений между отрывом от гладкой поверхности и отрывом от угловой точки. Сверхзвуковым аналогом этой задачи является течение перед донным срезом контура тела, когда дпнное давление превосходит давление в нево змущенном потоке на величину Ав . Этому исследованию посвящена Г глава диссертационной работы.

Течение с любым, сколь угодно малым значением парат,гетра к можно получить, поместив в поток несжимаемой жидкости цилиндрическое тело с поперечным сечением в форме сегмента круга (рис. 4). Пусть точка $ на поверхности цилиццра выбрана в соответствии с условием Бриллюэна-Виллл, которое определяет положение точки отрыва при Ае= . Если речь идет об обтекании полного кругового цилиндра, то точка отрыва оказывается сдвинутой вниз по потоку на расстояние О (А в . Характер обтекания жидкостью сегмента Л00' зависит от взаимного расположения точки Бриллюэна-Вилля и угловой точки. Если точка 0 расположена вверх по потоку от точки /> и расстояние между ними конечно, то справедлива теория Рубана отрыва от угловой точки. Если точка 0 лежит вниз по потоку от точки $ и длина $0 превосходит го порядку величины , то отрыв бу-

дет происходить на гладком участке поверхности между этими точками и может быть описан теорией Сычева. В рассматриваемой ситуации расстояние $0 есть величина порядка . При этом в окрест-

ности угловой точки образуется область взаимодействия, имеющая, как обычно, трехслойную структуру (рис. 5). Отметим, что введена ортогональная система координат 0х(/ , в которой все расстояния отнесены к характерному размеру тела L , х отсчитнвается от угловой точки вдоль поверхности тела, у - по нормали к ней. Составляющие вектора скорости и ir в этой системе координат отнесет к скорости невозмущенного потока. Избыточное давление р определим как отнесенное к удвоенно^ скоростному напору pVÜ приращение давления по сравнению с давлением невозмущенного потока. %сло Регнолъдса Re=VcvL , V - кинематический коэффициент

вязкости.

В вязком пристеночном слое области взаимодействия III уравнение .для Функции тока имеет вид:

dV /Г д¥д1У dP^j3?.

dY dXdY дХ dTz dX + dY* (B)

Что рощепие до.таю удовлетворять условиям прттлипания на твердой границе

а также условиям сращивания с решением для подслоя 3 вверх по потоку от области взаимодействия (рис. 5) и с решением в среднем слое (область TT):

1 г1 ■■■ при л > 1 его)

Здесь введена специальная замена переменных

Р=Яе\'%

позволяющая сохранить в уравнениях, как и в задаче об отрыве пт

гладком поверхности, один параметр л, а0 - трение на стенке перед областью взаимодействия. Продольный градиент давления в (8) заранее не задан, а должен определяться из решения для внешней области I потенциального течения, подверженного вытесняющему действию пограничного слоя. Так как вниз по течению от угловой точки вязкий слой находится в контакте с застойной зоной ТУ, то решение для даете тот при . ~Х<0 записывается в виде (Рубан, 1976):

о ;

,«fer.. 1{ A(t)_мЛ (п)

L ^ J (-tfz(X-t) J

- -

При Х>0 для толщины вытеснения справедлива формула

Целью исследования является численное построение решения задачи о взаимодействии (8)-(П) и выяснение, как по мере изменения параметра ^ течение с отрывом от угловой точки ) преобразуется в течение,когда отрыв происходит на гладком участке поверхности тела перед угловой точкой ( «<<9 ).

Для расчетов воспользуемся "квазиодновременным" методом Б едина на (1981 г.). В этом методе решение строится последовательно шаг за шагом по сечениям , в каждом таком сечении давление 1\

определяется одновременно с толщиной вытеснения А[, исходя из условия взаимодействия. Введем дискретную запись интеграла взаимодействия (II), интеграл в правой части этого уравнения вычислим по правилу прямоугольников, записывая подынтегральную %нктппо в точке

Ъ+Ф :

рс = (лх)Ус)% + Л-_1 ■(12)

Как следствие эллиптичности уравнений для внешнего невязкого потока, правая часть этого уравнения включает в себя суммирование не только по точкам с ^ с , тде решение уже построено, но и вниз, по течению.от X; : , „

«я -//, //> Пг ? > Т Щ г

Я - Ас [-^щщ + к (13)

Это приводит к необходимости осуществления глобальных итераций: после того, как решение уравнений пограничного слоя, дополненных условием (13), получено для всех ¿ , новое приближение для толщины вытеснения пересчитывается по (Тюрмуле

Л\гА*+(1-г)А?,

где г - параметр релаксации.

л Л Л

Второе соотношение между и А- . может быть получено из урав-

нений пограничного слоя.

Перепишем уравнения и граничные условия задачи в переменных за-

вихренности оО= ди/дУ и (функции тока Ч .

идх +у ду ¿у* ' и~ ¿у ' * дх ' гу1 (Г4)

Для задания приходящего профиля скорости на левой границе расчетной области (условие (10)) используем асимптотическое представление Функции тока при (область 3 на рис. 5), которое имеет вид: у,

>гг(-х)т

Из граничного условия (10) следует, что если подставить в (15) разложения (Тушений при ■ + со и внполнить замену пере-

менной >1 = Т(~Х) , то при у—+ оо подучим асимптотическое представление (функции тпка на верхней границе вязкого подслоя: л\ СГ&ьТ-У^ УА(Х)+ у*&7+ +у*В(х)+\ *мут)+Е(х)+..., (16) >

где з э , ,

В(х)=т <4 Аг] + ¿V • • •, <* (Х)+.■ ■,

Е(Х)={А2(Х)+Р(Х) + А*(С9- {А*-А,А3)+

А(Х)= аА, (-х/- (-Х'^А/Х)^...

при 03 . г

Для решения уравнения (14) аппроксимируем централь-

ной разностью, ди)/дХ - левосторонней разностью при и

правосторонней - при 17*0 , получим следующую разностную схему для определения завихренности в каждом сечении Хс :

При определенном с помощью (16) значении вихря на внешней границе вязкого слоя эта система допускает применение прогонки

так что решение во внутренних точках оказывается линейно зависящим от завихренности на стенке Шц

Этим же свойством обладает и толщина вытеснения вязкого слоя: Ути Ц.

О

Дифференцируя по У выражение для функции тока ^ при У-*" + с» (15) и подставляя результат в (КЗ, можно выразить значение завихренности на стенке через <Тункциго Л(Х) на I -том итерационном слое: , , у з .¡п

Н-(19)

Далее воспользуемся известным следствием уравнения Прандтля

до) dY

_dP_ r-o oLX

Записав его в конечных разностях

OÜU-OJlI -

А у АХ

И

и используя для о¡¿z соотношение (16), приходим к выводу, что ду да;

я.

Если теперь вместо (¿¿t в левой части (20) подставить его выраг жение из (19), то в результате получим некоторое соотношение между

рП ^ дГ1

v- й (^««■4'"+"v* w«fc2 <*№•

' с,- fw*с'«а с<

Разрешая его совместно с (13), находим распределение толщины вытеснения AI на новой итерации. Распределение завихренности на стенке может быть получено из (19), а во внутренних точках расчетной о' ласти - из (17).

Вниз по потоку от угловой точки в зоне смешения Р-0 ,dP/dX=0 течение описывается уравнениями Прандтля. Из условия сращивания с решением в застойной зоне 17

¡7=0 при 7—-°°, толщина вытеснения вычисляется по формуле (IIa), постановка этих краевых условий дает возможность организовать прогонку и рассчитат

течение за угловой точкой при Х~>0 .

Расчеты показали, что если точка 0 лежит перед точкой $ (рис. 4) и параметр Л является положительным, то поверхностное трение монотонно возрастает по мере приближения к угловой точке контура тела, как это происходит при к~0(1). Если же точка О сдвинута вниз по потоку от точки Бриллюэна-Вилля (<х < О ) % тп Тре_ ние уменьшается. По мере увеличения расстояния между точками 0 и 5 минимальное значение трения Ь„(0) падает (рис. 6,7), так что существует критическое значение параметра ос* = -0,3877, при котором трение в угловой точке контура тела обращается в нуль. Дальнейшее уменьшение параметра приводит к смещению точки отрыва вверх по течению от угловой точки.

' Глава Ш диссертации посвящена численному исследованию продольно-поперечного режима взаимодействия, обнаруженного в 1987 г. Рожко и Рубаном. Этот режим возникает в ситуации когда двумерный пограничный слой набегает на пространственную неровность криволинейной поверхности (рис. 8). Здесь введена ортогональная криволинейная система координат, в которой X отсчитывается вдоль обтекаемой поверхности, имеющей кривизну . У" - по нормали к ней, а Ъ - перпендикулярно вектору скорости в невозмущенном пограничном слое. Число Рейнольдса определим как , где Ь -- характерный размер (расстояние от передней кромки криволинейной поверхности до начала системы координат, И0 - скорость на внешней границе пограничного слоя, л) - мшематический коэффициент вязкости жвдкости. В окрестности неровности, как показали Рожко и Рубан, формируется область взаимодействия, имеющая трехслойную структуру. Чтобы учесть индуцируемый поперечный градиент давления, размеры неровности на изогнутой поверхности определяются в продольном направлении порядком Д Х=*0(Яе 3'1Н) , а в поперечном - Д2 = При этом течение в вязком пристеночном подслое описывается уравнениями пространственного пограничного слоя, в которых отсутствует продольный градиент давления:

„ви ЛГди ыди №

г, V дШ -, № дР д V (21)

дХ дУ д%

Здесь V - соответствующим образом обезразмеренная продольная составляющая вектора скорости, V я Ж - компоненты скорости в направлении осей У и Ъ , Р - возмущение давления. Если высота препятствия является величиной порядка &у=0(Яе , то уравнения остаются нелинейными и граничные условия могут быть выражены в Форме

£/-=1Л=ТхГ=0 при У=

при 7-* 03 ,

и-¥, ТГ-0 „р,, оо ,

где Функция Р (Х^) описывает Форму неровности на криволинейной поверхности.

Градиент давления в правой части уравнения импульсов (21) не является заранее заданным. Он подчиняется условию взаимодействия

*£= ¿¡м(*0)М- Л- М- . (22)

61 * 0,б2 ХдХ*

Первый член в правой части (21) отвечает за изменение давления поперек пограничного слоя из-за кривизны поверхности, а второй описывает давление, индуцируемое во внешнем невязком потоке в силу изменения толщины вытеснения пограничного слоя.

Линейная задача для неровности малой высоты была решена Рубаном, Рожко и Тимошиным в 198В г. Чтобы упростить задачу, они рассматривали вытянутые препятствия с продольным размером по порядку величи-та большим, чем Яе

Введем преобразование *"урье неизвестной Функции V по Формуле

со со

I}**(кА №(-ЛХ-С1Щ.

Тогда уравнения пограничного слоя '21) могут быть записаны в Форме

. (гз)

аГ ¿у ау

Граничные условия для уравнения (23) принимают вид

пря У-0-

где f-.u-.tw,

Применение преобразования Фурье к (22) дает нагл запись условия взаимодействия в спектральных переменных:

1>**=(Чу*(ЗР0) + ку№)Л'* (24)

Для решения (23) применен спектральный метод, впервые предложенный в 1982 г. Воргграфом и Даком. Решение обыкновенного ди<Г>Ференциаль-ного уравнения (23) можно осуществить, организуя итерации таким образом, что выражения в правой части берутся из предыдущей итерации, а все остальные соотношения, входящие в Формулировку задачи о взаимодействии, целиком рассматриваются на новом итерационном слое.

Введем функцию ^ /(ГУ . Подставим это выражение в (23) и представим его решение

как сумму решений однородного уравнения ^ и неоднородного $ . Функцию ^ мй определим из решения уравнения

= о.

У-со

■ сПг

с краевыми условиями

зрц"1' «

Аналогично применением прогонки получаем решение для . Теперь, интегрируя д , мы получим значения f на текущей итерации. Из краевого условия .для этой функции при У"-* со и условия взаимодействия (24) мы можем определить %рье изображение толщины вытеснения:

где (^ъ+лутгА '

о о

В процессе итераций возникает необходимость вычисления Фурье изображения функций, а также обращения правой части (23). Для ускорения втих вычислений применяется алгоритм быстрого преобразования Фурье.

^ После того, как на швом итерационном слое определены значения А и по (24) Р**, из второго уравнения импульсов следует краевая задача для Фурье изображения поперечной скорости:

dYz

W=0 лри Y'O и Y"=<»>

которая решается методом прогонки. Функция f определяет "^рье изображение продольной скорости u*f=(f -¿W'*)/k . а уравнение неразрывности в спектральных переменных помогает вычислить значения вертикальной скорости

v**=-l ¡far.

о

Сходимость итерационного процесса определяется разностью значений Л" на двух соседних итерациях и считается достаточной, достигая величины Ю-5.

С помощью спектрального метода были проведены расчеты для выпуклой поверхности, Х0<о . ■търма неровности запавалась Формулой

На рис. 9 показано, как с изменением высоты бугорка (и глубины впадины) ведет себя минимум продольного трения на поверхности. Чтобы нагляднее представить картину трехмерного отрывного течения около неровности при продольно-поперечном взаимодействии, мы воспользовались понятием предельных линий тока. При небольших значениях глубины впадины h>0 течение было слабо возмущенным, и предельные линии тока выстраивались параллельно. Бри увеличении глубины * впадины продольное трение уменьшается и становится отрицательным (рис. 9). При этом изменяется картина предельных линий тока, что ассоциируется с отрывным течением. На рис. 10 (здесь Ьа = -4.7) мы на оси симметрии видим 2 узловые точки: одна расположена вблизи начала координат, где сходятся предельные линии тога, вторая - ниже по потоку. Эти два узла соответствуют, очевидно, точкам отрыва и присоединения потока. Выше (и ниже) оси симметрии между узлами расположена седловая точка, разделяющая предельные линии тока между узлами отрыва и присоединения.

В U В 0 Л Ы

I. В рамках асимптотической теории взаимодействия ламинарного пограничного слоя с внешней невязкой частью течения исследован отрыв сверхзвукового потока перед донным срезом контура тела. В предположении, что донное давление превосходит давление в невозмутценном потоке на величину порядка Ле Чч , установлено, что в окрестности угловой точки образуется область взаимодействия, имеющая, как

обычно, трехслойную структуру. Решение задачи о взаимодействии получено численно с помощью конечно-разностного метода установления, в котором производные аппроксимируются левосторонней или правосторонней разностью в зависимости от знака скорости,, что позволяет эффективно исследовать течение с отрывом потока.

2. Численно изучен режим течения, когда донное давление Р0>О , но не превосходит давления "плато" = Установлено, что

при увеличении параметра Р0 , начиная со значения р, = 1.07, возникает область возвратных токов, с ростом донного давления нулевая линия тока смещается влево от угловой точки, повышение давления вызывает увеличение отрывной зоны.

3. Получено численное решение задачи об отрыве пограничного слоя несжимаемой жидкости перед угловой точкой контура тела, когда угловая точка расположена на расстоянии порядка 0(Яв от точки Бриллюэна-Вилля. Установлено, что при <*>0 поверхностное трение монотонно возрастает по мере приближения к угловой точке контура тела, как это происходит при к=0(1), ясли же угловая точка расположена вниз по потоку от точки Бриллюэна-Вилля ( сКО ), то трение уменьшается, так что существует критическое значение параметра Л* = -0.3877, при котором трение в угловой точке обращается в нуль. Дальнейшее уменьшение параметра с*. приводит к смещению точки отрыва вверх по течению от угловой точки.

4. Исследование явления, как по мере изменения параметра течение с отрывом от угловой точки преобразуется в течение, в котором отрыв происходит на гладком участке поверхности перед угловой точкой, проведено с помощью быстроехолящегося итерационного "квазиодновременного" метода. Расчеты проводились с параметром релаксации, принимавшем значения от г = 1.5 (верхняя релаксация для предотрыв-тах режимов) дог = 0.3, сходимость пгах Ая'1\г~Ю 5 достигалась за 5-100 итераций. *

5. Численно выполнено исследование пространственного течения несжимаемой жидкости, в пограничном слое вдоль искривленной поверхности при его взаимодействии с неровностью (впадиной или выступом) на этой поверхности. Исследован процесс зарождения отрыва пограничного слоя при его 'Ьродольно-поперечном" взаимодействии с внешним потоком. Построена топологическая картина предельных линий тока отрывного трехмерного течения под воздействием поперечного градиента давления.

6. Сконструирован эффективный спектральный метод .для расчета пространственного отрывного течения. Условие взаимодействия в спекг-

ральных переменшх имеет вид алгебраического соотношений и выполняется "точно" на каждой итерации. В методе использован элективный алгоритм быстрого преобразования Фурье ( FFT ).

По теме диссертации опубликованы следущие работы:

1. Кравцова И.А., Рубан А.И. Отрыв сверхзвукового пограничного слоя перед донным срезом контура тела//?, выч. матем. и матем. Физики, 1988, т. 28, .'М, С. 580-590.

2. Кравцова М.А. Численное решение асимптотической задачи об отрыве пограничного слоя несжимаемой жидкости перед угловой точкой контура тела//Ж. внч. матем. и матем. Физики, Г993, т. 33, ,s 3,

С. 439-449.

3. Кравцова И.Л. Численное решение линейной задачи обтекания препятствия в режиме продольно-поперечного взаимоде5*ствия//Уч.записки ПЛПТ, Т993, т. 24, к 2.

4. Kruvt3ova М.А. Numerical solution for a criss-cross interaction problera//Proceeding of Intern, .Vork3hop on advances in analytical methods in aerodynamics. Poland, 1993.

; <

3.H.4081-100 экз.

Рис. 4

Рис. 5

i

Рис. 6

Рис. ;

Pu-z. 9

Рис. io