Численные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений задач дифракции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Г "

::ос5швсш ОРДЕНА .ЖЧЕЧА," ОРДЕНА' С:ГГпбгъсш ГЛЕССДП::

И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ан^зс! ГССУДЛ?СТВЕННУ11 УЕЕЕРЕТГЕГ г:. !5.3. ЛС',0":(ХСЗЛ

Сл:с?ль';о? гачпкэт&лъЕоЗ глтг-ггзтга 2 тсЛр^отгг:

УДл 51?.Г5-3:5с"5.4

л:?аков :зан эаесвг-:

ЧИСЛЕННЫЕ 12г0ду решения гаетспегулягня -еш^ляьегх

урдзнек™ элдлч

{ 01.01.07 - шч!:слг7згьная '*тм }

Ааторэ^эрп?

дзссертаща на со^скетс» учвкоЗ етои&кп кяндндегв ф:оако-".27«'?пг-П(»с!с;а: 1>ьук

1=*Н г.

?£;исаезсг сз ¡¿.шсулътт'о tsYc.uaV»:

и жЛъ^тъах г^сгл^ского 1Ъсу,царстсэнао1х> ЛЕЕэртагзк; с. Ц.В. ш кгйояр сэтештгч&скоа (рзгзц.

Научав рукокдаггеяь

■ доктор

паук, прсфзссор асзорэ;:

ошюе31гш

Ведущая организация

- доктор флззхн^ч ь'^ч^чью неук, профоссор Сс:.г;.г::л ¿Л

вандала? ф^зхахич-атьиа'л;-^; пеун Хвпаов Ц.М.

- ХврЬКОЕСКИЙ Госудзрог^?! УНЗВ&рСЕШТ

Автореферат разослан "ЗЬ Лм ^О-^Я 1994 г.

Задета состоятся " с2" 1994 г. в 1Ь чес.

30 кпа. Еа зеседанЕИ спвщгахзвкровзнного Устного Сосз^с Д.0$3.05.37 щи 1Ьскобскол ГосударстБЭНШМ Ушхэрсггвто с^зс: и.В. Ло^оеосоез по едрэсу : 113339, Шсим, Еоробъеш Гору; факу-вьтот иотажгш с и&Зэрсэгог су;.;., о-:.:.:;

685.

С сюсэршцзй исссэ озпаксхсггься в С^Зх^этата

УчениС секретарь сгода&ЕЕзароазнвого Совета доктор $шЕко-сзтеизптческн1 /7

наук, профессор (ШШ)

12й1.ос-ви £.11.

АВТОРЕФЕРАТ

Актуальаось tsnh. В реботв рассматривается одаомвраые ■ двумерные гипврсингулярные интегральные уравнения 1-го роде на кусочно-гладюп: замкнутых и разомкнутых кривых а поверхностях

соответственно ( гнлврсингулярным интегральным оператором называется ошратор, в котором интеграл понимается в сшслв конечной частя по Адамару ). Актуальность теоретического з часлеяаого исследования таких интегральных уравнений обусловлена важной ролью. которую они играпт в приложениях.

Среди математических задач, которые приводят к изучаемым интегральным уравнениям, выделим классическую задачу Неймана для уравнения Лапласе или Гбльмгодьцв. Если резение это® задача искать в вида соответствущего потенциала двойного слоя, то плотность потенциала двойного слоя удовлетворяет гнпврсянгуляржжу жнтеградьасжу уравнении 1-го рода. Численное ретенве таких уравзввиС на кусочно-гладких кривых является трудной задачей, в а зро динамке при моделирования обтекания тел идеальной несжимаемой жидкостью был разработан и шмучм широкое применение численный метод дискретных вихревых пар в плоском случае и вяхревых раиэк в пространственном случае В данной работе аналогичный метод разработан для дифакцяояных задач

3 ряде электродинамических, да$ракцаонных приложений возникает необходимость в определения поверхностного тока в проводниках. которые замешается математической мод&льв идеального проводника. Определение плотности поверхностного тока необходимо, например, для расчета антенных устройств различной

püour. • Плотность тога, которая в данноы случвь тилэтся ш-этиэсты/ нотепцгаха szozsoro csor«. теэаокорлэг гсппрспагухярноаз' Ентеградьквд ураввашаэ 1-го рода В уравнения с сальаоа особенность» пззроко пр^эпизтся в ввхачех д^ракцзи . езрэданакакп^ . творгн упругости . И&лъ работа Главной цьгью вастояцвй работы явдяотся разработка е обоснована hoeui эффекптша чисушнэых штодов дхя сзучаоиого класса гипьрсингу^ярних ютегральшх урапнэш21 ЗффактЕВНэо раивЕЕа ряда практических задач, связанных с рзсче^ш раздетая даЗрвзоюэнних характорсстех. йаучнья В0В3338 работа.

1) Получены квадратурное фориухы тш дпскрэгслх внхрека nsj ¿гм одноиэрко?о гшзрсЕНгулкраого шт&граха пхоскоЗ аадачл Kt-гшаяа уравж-няя Гыгьгхгодъца не кусочно-гладкой кривой. Доказана поточечная е интегральная сходехость прадлсеэяшх; квадретурзя форцуд к точному вначенсэ

ютеграса в точно. Hs осюга свадрзтурсих Сорцул разработан ] ЕзроООБан в чксгзшых вкспэрсэнтьх иэтод гфзйхпгэшюго росэнз. тсдврсштулярного шггегральшго урашэшя как ка разоашуш так ж нь зв&кнутих кусочво-гладкых кравих. Доквзаза рзвнэсараа сходамость не иносьствэ расчетных точек прЕбясэвного ранешш точному, 8 тек£& устойчивость катода б рава-оа&рноЕ и&трика.

2) На основа теорзи краевах задач савадэны кэкоторць соотеоеош: для одаомэрного гтврсвнгуляраого интегрального опьратора зада' Н&аказа уравнения Г&лыхголъца на окрушоста ( енахопгчщ соотноеьния догу чо ни для соотвэтствувдзго жвуиэрао!

* Захаро» С Б. .Пжпвмоа с. В. 1>сл*нни* с» фрл.»ин<

р-»ля0»©ли Ы, : Рлохяо II С»«ВЬ. 1 в©£, Í&4 с.

Бвлоиврьго»ciя* С. Н. .Лкфакоа И. К. Ч«cminnwe читаны 1 сингулярных а ит«гра.л» мы» ур&вн»нн«х. М. : Клу*л. 1CS5, с.

гшврсингулярного оператора на сфере ) а на произвольно« замкнутся контуре. Для решения гиаврсингудярвого интегрального уравнения на замкнутом гладком контуре применен и впробован в численных экспериментах метод ортогональных многочленов. Доказана сходимость метода в метрика пространства »2 .

3) Построены квадратурные формулы типа дискретных вихревых радок для двумерного гипврсингуляряого интеграла для скалярной пространственноЭ задачи Неймана уравнения Гельмгольца на кусочно-гладких поверхностях. Доказана сходимость квадратурных формул к точному значению гизерсингулярного интеграла в точка. На основе квадратурных формул предложен а впробован в численном эксперименте метод приближенного решения двумерного гтерсингулярного ззтегряльяого уравнения на незамкнутой гладкой поверхности.

4) На основе мяогочисленных численных экспериментов показано, что разработанные численные метода жгут бить при»® вены при решении пшврсингулярэдх интегральных уреза»ннй ва кришх с углами в двумерных задачах дифракции.

Апробация работы.

1) Научяо-мсследоветельскне семянары кафедры . математической физики факультета ШиК UTS' ( руководителя профессор Захаров Е.В., профессор Дмитриев В.И., профессор Денисов A.M. )

2) 5 и 6 Симпозиумы •• Метода дискретных особензостей в задачах

математической (1нзнки " < г Одесса 1991 г- • г- Харьков 19УЗ г-)■

3) Всесоюзный семинар по аэродинамике неустоновингихся движений ( руководитель профессор Белоцер.човскнй С. Ы ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах t I - 5 J.

Структура и оОъ&п работа- Диссортецпл кздссэва шз 50 страницах ез:знэ!е;сг£0?о тенета в состой? из ввэдэшш. ?рэ1 глав, списка

лггорагури. содг,-р~еаэ:х> 52 накжновашш. к лрзлос&нпя на 10

)

страницах. 3 рьОоть 15 рисунков.

Содер^киш дассерташш •■ Во введ&шш не рэ числа ш цат&цзтическпэ юдьлл. которые приводят к рассиатраваесим б дассертсщш кгг&грьльацм уравнениям. оОсуэдается актушн>ность чы^. дан кратки?. оОзор дзт&ретуры. дана краткая харзкт&растЕка пзвосгадх чксл'нн-яс ютодов и огшсено состояний прйд&щ. сфордуяировеяа льль исс.-.9довааая. изгосвво содержание дцссертаща. Первая гдава дкссертацгя состой? пз пята параграфов. В зто! гдзв& Баписани основное кнтеградьзне уравнения, расгаатрзвео^г в дцссьртецЕа. указана их сзетойач&ски» особенности I Ф&рчуднруотск .основная цоль исследования Б пьрвоа параграфе р&ссмйтр"лваэтся гшарсингулярвоб хштеграхьное ураваангз 1-гс рОД2 ЕЗ КУСОЧЕО-ГДаД5КЗЦ шнтурэ Г, которой СДгО? ЩД !

г $- л— г-л-н^!«- ) ) «ii = /(и ) ; и с г ; (i)

Это урашанг» аэдучвэтея. есла рихать задачу Ньйхшна дг уравн^шш Гьдькгохъца пра пск-зоса потенциала двойного слоя Задаче ставится едьдущпу образом :

найтг функцаг ч (и). удовдэтворяпцув уравньшго Гбдьигодьце

ли(ы) - *3и (к) = О ; м 4 Е^ч Г

граничному условна тяпа КвЕпаиа

о

где /(»..) - езв ь стаал функция, с уехоезз валучвшш а

<5всконечностя Если г замкнутый контур, то предполагаем, что * ав является собственным числом однородной внутренней задачи Неймана. Если искать решение граничной задача в виде потенциала дюйзого слоя :

. if, \4r— Н1,)(«г ) с12 ; н £ Г .

и(м_) ж - — г(м) On <=■ Ы0М " °

Г

то в обг.ем случае, ивзавяствю от того является ли г замкнутой ала разомкнутой гладкой крявоа. грашгшое гпперсингуляряое интегральное уравнение будет иметь вял il)

Если г замкнутыЗ контур. нмеидна парамэтрзческое ПреДСТаВЛеНЗЭ *=x(t ). y=y(t ). £ £ СО.^п ) н ж«' (t) и у11 (') t Н° ic,z~i з. где класс гельдеровскях функцнЗ. то уравнение (I) приннмает внд :

жп ¡гт tft

Г y(t)dt + Г J^ZL Г

J J *ll)Ln SlH * at + J »(OKt(«e.t)<lt - /It J

• So e

e io.г* (2)

Г ДО ^ (t . t ) i Ha tP.in 5 При НПЛЙГйеМИХ УСЛОВИЯХ iiS

параметрические функция контура, Если /(О £ H^io.^i, то существует единственное реп&шш »«(О уравнения (2), такс« что »-1 (< ) i м" 10,2" J .

Еслн г разомкнутый контур, то ячеек уравнение вида :

Г и f*(t) In -!-г-at * f*(t)K (« = )

J {, -О*

" - - . i f-4')

Есх2 /(О 4 ^о существует единственное решение

урагзуккя (3), такое что *'{<) € (-1,1).

Во второй параграфе получена квадратурная форцула прлмэугольнаков - шла дискретных вахревых пар - дая вычнсдэния гшерскнгугярнаго интеграла

К«с1 - -&Г- ("г«ом) ] "'м ; {<)

г

В ¥041® У . . .

©

Для шбоде вгоЗ форели рассматривается шхэ градаэнтв от

штошщаха двойного слоя дня урашшнгя Г&пшгоыЕъцв постоянной щотности V на разомкнутой дуге г= *в:

V с ега4и ^ )

И".) * -Ы-гк-но •

■ Н 9

{2)

Г

Тогда спшеодлпва формула

(2) (у -у Ь - (2) Н, (кг ) * -

: »1 и * г-

О А '

V

1 г <г> —

4-* Н (*г )п «II 4 | в ' км'н м

л ««

(5

- орти декартовой система коордазат. Эту формулу (5)

будем называть формула! тшш дискретных вихревых пар.

Следует отметнть. что формула (5) иоавт быть использована для построения квадратурной формул прямэугольников да вычисления гжперсингулярного интеграла вида

о

где «•(*) произвольная функция класса н • (Г) если г - замкнутый

гладкий контур а г(М) с н^,а(г) если г - гладкий разомкнутый контур, в точке Квадратурная формуле имеет над :

1 (".,) :

■> " - 1

(7)

Квадратурная формула вида (7) является квадратурной формулой прямоугольников для вычисления пшэрсингуляраого интеграла. Для интеграла в правой частя (7) можво прямеввть. формулу (5) =

Мк4ч Мк+>

" ; (8)

о ' '

М Ы

к к

Для | аз (8) справедлива формуле (5).

Здесь введены следущие обозначения •. разомкнутая кривая г разбивается точками , к=Т7гнГ~ на равные по длине дуги длины й- На каждой дуге считаем плотность у(М)«сопзг н равной

значении *(Мок) в серединной точке дуга М^М^. Если г разомкнутый кусочно-гладкий контур с угловыми точками, то точка надо выбирать так. чтобы угловые точки входили

в маозэство точек £1^. Квадратурная Сордаххл (7) шзю пользоваться в в той случье когда г зекхнутиЕ гладкий контур. В работе воквзазо, что сходеаость квадратурное формулы (?) в точках Ис1, «=1,п к точной}' значении Ентеграла с ото2 точко будет равномерной на шосэствэ точек Ме1 1=1,п а скорость сходямс-гги буд&т порядка Сч'Ьх'). где 0<>.^.

В третьей параграфу, ве основе форели (5). построэа численный кутод - кетод типа доскр^тних взхр&ки пар -численного решения уревнезая (I) еслн г разоксцутая гладкая кривая Кривая г разбивается точкаьа мк. па равшг> по

длине дуги Ба каздой дуге считаэа плотность И») = в

равной ззвчеяЕ» И*^) в середанной точке дуга . Беря

значена» правой часта такгэ в точках м^, . получка

следупув СЛАУ

X У

£=1

; ¿«а; (9)

где

*У» * ** ^ + 1

I» , с «Н (тг )«*>«■ '

*■» " "о,* ч

- н1 . > ------

о; * »1 ММ « С

<ч к-м с- ■

ч = ->- у

"1 <ч ' ; ч к= (* ^ у

А *

* О)

чк

В четвертой параграф доказана слодусц^ «кюро;^.

Е

ТЕОРЕЫА 1: Сходимость приближенного решения уравнения (9) к точному репенип уравнения (I) в точках Mol, t«i,n будет равномерной на множестве этих точек в скорость сгодамоста оценивается слвдущим образом ¡yJt^J-rO^)! <0 С * ). 0<х<1.

ТЕОРЕЖ 2: Метод устойчив в равномерной метрике.

Показано, что в случае замкнутого гладкого контуре необходаш реветь С. Л А. У.. которая несколько отличается от (9) и приведен явный вид этой систевш. Но как показали численные эксперименты ( см. §2 5) для замкнутых гладких кривых можао резать систему вида (3) для получения численного регения уравнения (I). Toss самое относится и к случаи когда уравнение (I) решается на кусочно-гладких контурах с углами Как покязаля расчеты ( са § 2-5 ) а в атом случае резеане снстекы (9) дает приближенное решение уравнения (I).

В пятом параграфе проведены результаты юогочисленных чисдвнша эксгю рямв нтов по решении пгаерсингулярних интегральных уравнеззЗ на различного рода замкнутых контурах ( эллипс, квадрат, ogive,

NACA ).

Вторая глава. 3 первом параграфе шлучены следущяе утве радения.

Утверждение 1 : Пусть г - окружность радиуса • с центром в начале координат. Тогда справедливо :

г ("со* (ж »)•) -1 (со*(* » )•)

-Tj S.»<V>(, 1М. .)] d' * A- /)} <!0>

Г

где

<v> - J ill)

ММ to

о

в « - длина дуги г.

J,t»> 1

- ; г я к* ;

J* (z) J

а 1 '

Утвервд&ш» 2 : Пра » —»о соотпоеэнйя вада (10) шроходп? в известные енвлогнчиув соотношения для уравнения Лапласа-Утверждение 3 : Для коаИицгвнтов кп справедлива следующая оценка : |A^{R>!>C(R)/n . где C(R). - константа, зевисяцая только от радиуса рассматриваемой окружности.

Если г произвольный замкнутый контур, тако? что * 111(<), у'''(О t Н С0,2"], где функции *(«). у (О задаст параметрически контур г, то в данном параграфе показано, что справедливо прэдставлэЕЕй

г(.,.в) - Kjj г ♦ к{«.»в) (12) А

где г(«..о) ядро вада (II) для контура г ; г («.»о) ядро вада

ill) для окружности определенного радиуса а=!/ел ? где г - длина

кривой г а функция к(».»о) не имеет особенности при » —•

Во второй параграфе численный кэтод ортогональных многочленов применен для решения уравнения (I) в случае когда г замкнутая гладкий контур. Суть метода в переходе в уравнения (I) к интегрированию по длине дуги * • задана & •= г

представлении этого уравнения в виде :

1С

(2)

» i "" (z)

"TFT-

lh <»>

А

Ггг ¿Г',

i ^(o)^, г {О.Ов )dff * Г р.(О)Х(0.В^}ёО а / (О^) ; О^ ( го.&т j ; (13) i • д ® J в ее

) о

>эдмгаэкзЗ чг.слэнпцЗ гэтод является ютодоп чггслзшюго р~эшгл равнения (13) с пож-ыз соотношения влда (10), когда :;с!сс":зя дошия v(o), функция Г(« ) а функция К(<5,£'о) по пэроггеппоЗ ^»шшгся ях отрез каст ряда Фурье длину п по трягоаяэтрачоскга уякцияч Приравняв коэф^спеятн яра одянакосих показателях соз sir. для левоЛ и правоЗ чествЗ полутсл С. Л. А. У. окосзтслыго эс>№щк&нтов ряда Фурье неизвестной фунхцян. Реслв эту этшо яайта функцию хзторуэ и будем считать прлбдгг&ШЕП

эгештем уравнения (13). а зяачнт п уравнения (I).

В третьем параграфе доказана сходгзость ггэтодз ртогонвльных многочленов в ?.»тряке пространства Соболева ля лвбого заггсиутого достаточно гладтаго контура.

В четвертом пзрзгргфэ прпгздза рзультатч ,п:сл:'гг-гх ::спзп7Г.Э1гтсз m анализу ¿^arprrrri р-гссэглпл прз ^^ггкцп Я -олярззоЕзнгоЗ голпу ез элляпсэ л квядрзтэ. Задача дг^ршщгп водллась к уравнения взда (I) л далее это уряшонлэ числоело зсолось »»тодом ортогональных многочленов. Укрзая класс .онтуров. напрп»»р "тонкий" зллхлс, для которых psceœîf« равнения (I) кетодон ортогональяах каогочленов деет рекмуг&ствд по сравнена» с г»тэдоч. разработанным п глав» I. казенна недостатки а преюсусэсгва рассматриваемого ? метода, ■ретья глава. 3 этой главе в первом заригр/>и< дается постановка :адачз з дцлпсиваетсл пперсангудярное шт«грнльяоо уравнегсе -го рода для пространстсмг-к3 зя.д'.ча счусг,г-г.ск.а

»лн- Эта задвча дксззадеитяэ Гфострапстге-пк'З счаллргк-З

..'¿яй лл; зрашгэнвя Гвлшгсивда п осношэе уравзэнш» в этом случса зс^ет ЕДЯ :

Г /»Л

• Ь ИК> Ж- "Эй--?-а\, - • «о < 5 •

V Ы М МЫ

о о

ГД£? 5 - кусОЧНЭ-ГЛаДКаЯ ГОВОрХНОСТЪ. УДОВЛЭТВОрЯЕЕвЯ Ш)которым урезанных б атом параграфе. Во т-сром параграфе дан вывод квадратурной формулы тепа дискрет-ш. вихр«игл рамок для вычисления птерсвнгулярного

интеграла ьлда

.г я я *хр> -1 «г >

* 1 ! О О м<ы ... , тс.

'" ~гм,~ --;-» (15)

и Ы МЫ

I « о

и ТОЧ2С& .

О

Дгл этого рассиатрнвается пола градаэнта от потенциалу дайдого слоя с постоянной плотеостьо д на гладкой шзаашуто! погерхаэсти 5, грашщо£ которой шшштся кривая с®«

V ж сг»и в ш I 1 * м о

о

О г б »*Р • -1 _ >

где» * .ы ) в - -- - -——сЙ

° <П } Оп г - *

ы мы

в о

Тогдь получена слвдущая формула»

: ¿г I вы1г .1 I г и ы

о »

Сс ■ (16)

гд;) крш>ая Со является границей поверхности 5. Формулу (16

У£ЭМ ПЗгШМТЬ фор-^Г-.о5 ТППЗ ДЕСЯрЗТ21Х 1ГЛЗрэП££ ргжк.

Зорсула (16) коэзт бить использована кек квадратурная орсла типа гахроЕИХ рсэдк для шчгслэнгя птарспзгулярзого нтвгрзла пада (15) з точяэ Яо. Похажм :гак отроется гадрэтурнэя формула для гмчпсльнгя значешД интеграла (15) в очка йо на основе форчулл езда (15) в случае когда £=<» -ведрзт г —», х с -л, . 1 на шхютастз сху. Квадрат о раэблва&тсп на ¡зпнда стадратзкн . • =».*« со сторожа * а в соре дине- каасдого фуЯКЩПЗ ПЛОТЗОСТа р5Б:ЮЗ зна ченяя этоЯ

упгсапа п еврэдзне «о1 соотЕетствуггзго квадратзкя

гч

^ "о, к

г-

V , ч4г- -)<!<.- -

> ^м J '

' О!

к®* С

к

Г»

- ( Т (Г?)

»ЕЧ V- Ы *}

<У

Ь

* * Г- { I ^

V-;« ш.ае) - —:

мм

о

Ш цггъи^ | мозно щда&нлть фор-<улу

Пусть р(К<?,гр.с) - расстояние с? !!_ до гранила

сзадрата «*. Тогда справедлива слодугсня

ГЕОГСИ : Если функция п»ет огранзченние вторю частя»«» гоонзхюднуэ , то для асех точек 3 , ) - о > О

лрсЕ&длгоа оценка :

11« «Ь, ) - I Щ )1 * 0№ ;

В третьем параграфе на основе формулы (17) предложен новый численный метод типа дискретных вихревых рамок чаленного решения уравнения (15).

Предлагаема численный метод сфорцулируем для случая, когда 5 а <7 - квадрат I-1,15* I-1на плоскости о**, т.к. для общего случая, когда 5 - диффьренцируешй невырожденный образ квадрата, метод формулируется аналогично.

Квадрат «>■ разбивается на квадратики , 1 = 1 ,п в в середине каздого считаем функцию плотности в««>=сота;1 и равно! значению этой функции в середине соответствующего квадратика. Беря значение правой части уравнения <1^ в точках *о1, I «= 1,п получим С.Л.А.У. относительно неизвестных значений функции д<м в точках ы , :

Ь "3

—-( , п )Ьок I - /(и ) ; ; (17)

■» МЫ о) J

к

где <?к - частичная поверхвость разбиения о, с^ - граничил контур «у

В четв&ртом параграфе получены следущие теорема.

ТЕОРЕМА : Справедливо следующее соотношение 14

^Y, )(é>o.*e) - В J («а)¥{ (Oe.«>o) i eo ( С С,2* 3 ; { t0,2n]

г « i.г.... ; (18)

№

j »

»xp ( -1 *r ) -da

(ж) м

mas—i

(в.*.) -1

Pj (со»( в ) )со» ( вф ) ; КаО,1.. . i ;

pj^lfcoef & )*in( ) ; ям—ï . -S.. . -г г {%)

( , . J . г »0.2 ,2.. . ; якО, 1 ... I

зсоэданэнзаэ фушсцаа

i л1 '

(м) - -Л- -2-т— ) ; IsO.1,2... . ;

г'и dp

- сфера радауса в с цавтроэ и пэтагэ коордзнат. (г.о,с) ерячвскив координаты а (О

, н140.з<»*> Jno.s<«»>

(«R) , ------- - ;

R г

U)

УК 2 (яй)

г («a) i

(1 ) -I. 5 (1 ) -о. "5 (S ) ,

J ("■) • -о. 3«г « Н,^ ^ г - ,{-г>)

(г) -1.3 -0.5 ,

j («г) « -0.3»т « J¡40 * г - (Jj40 gl«""))

ОРгЖ : Пра » —• 0 ооотжсенЕЭ взда (18) п&раюдэт в ввстнов ооотяошеяий для т*ЕС1ррсзнгу.£ярпого огг>р-;торч захвчз

НаЕлсзза для уравнения Лапласа :

гдь

с

В пятом параграфе приведены результаты численного решеш уравнения (14) с помоаью построенное в этой главе метода i разомкнутой поверхности. Выведены грйфдки приближенного реве а е_(К) при различном количестве точек разбиения п. С физическ точки зрения в атом параграфе рассматривалась задаче даФракц акустической волны на бесконечно тонкой абсолютно гестк альстЕне разьйраш 1*1.

Основное результаты дассортецза опубликованы в работах >

. ЛлЗанов К К. Аналог цетода дискретных вихревых пар численного решения задачи Неймане уравнения Гельмгольц; Научно-ыатод материалы ВВИА ем Жуковского, 1990 . с. 45-52. г Ливанов И- К Обоснованна численного катода типа метод дискретных вихрей решения некоторых задач дифракции замкнутых контурах. Научно-иетод. материалы ЕША в Чуковского. 1991. с. 39-48.

з. ¿..Yu.Anfinogenov and I.I.Lifanov On numerical solution с integral equations of planar and spatial diffraction problem - ifuss.J.KuiKrr.Anal.Matb.Kodelling, Vol. 7, N 5, pp. 387-404

. Llfonov I.I. and LifanoT I.R. Boundary ?alw ргоЫегз end Lngular Integral equations with one-dlrenalonal and cultiple ltegrals. - Sov. J. Nua. Anal. -lath. Modelling, Vol. 6, К 1. 3. ¿3-60 (1991)

. Захаров E 3.. Лифанов И- И . Лкфавов К. К. Сингулярные решения гагулярных интегральных уравнений в некоторых задачах :эктрод1Е1й?сгкп- Дз£фереяцлалькнэ Уравнения. 1933, т- 29, к 9 •