Численный метод определения дисперсионных кривых и собственных волн оптических волноводов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

0.1 Математические модели оптических волноводов. 0.2 Существование решений.

0.3 Краткий обзор численных методов.

0.4 Обзор диссертационной работы. ф 1 Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения

1.1 Обобщенная задача на собственные значения.

1.2 Метод Галеркина с возмущениями.

1.3 Краткий обзор известных оценок точности.

1.4 Оценки точности.

2 Скалярная задача

2.1 Обобщенная формулировка задачи.

•ф 2.1.1 Спектральная задача на плоскости.

2.1.2 Задача в ограниченной области.

2.1.3 Свойства операторов.

2.2 Существование решений. Свойства дисперсионных кривых

2.3 Явный вид оператора S(p) в случае круга.

2.4 Гладкость собственных функций.

А 2.5 Множество решений задачи Voo■ Точки отсечки

2.6 Приближенное решение задачи.

2.6.1 Пространство конечных элементов.

2.6.2 Формулы численного интегрирования.

2.6.3 Дискретная задача. Свойства решений.

2.7 Оценки точности.

2.7.1 Оценки погрешности численного интегрирования

2.7.2 Оценки погрешности возмущений

2.7.3 Оценки точности приближенных решений.

3 Векторная задача

3.1 Эквивалентные постановки задачи.

3.1.1 Линейная спектральная задача на плоскости

3.1.2 Нелинейная задача на собственные значения в круге

3.1.3 Линейная задача на собственные значения в круге

3.2 Свойства форм и операторов.

Ф 3.3 Существование решений. Свойства дисперсионных кривых

3.3.1 Гладкость собственных функций.

3.4 Множество решений задачи (V^). Точки отсечки

3.5 Дискретная задача.

3.6 Свойства дискретных форм и операторов.

3.7 Оценки точности.

3.7.1 Оценки возмущений формы а.

3.7.2 Оценки возмущений формы b

3.7.3 Оценка точности приближенных решений.

4 Результаты численных экспериментов

4.1 Некоторые аспекты программной реализации.

4.2 Волновод кругового поперечного сечения.

4.3 Волновод квадратного поперечного сечения.

4.4 Волновод прямоугольного поперечного сечения.

• 4.5 Волновод с поперечным сечением из трех кругов.

В настоящей работе предлагается и исследуется новый подход к расчету дисперсионных кривых и собственных волн изотропных цилиндрических оптических волноводов без потерь.

0.1 Математические модели оптических волноводов

Оптический волновод, как объект изучения в теории диэлектрических волноводов, представляет собой диэлектрическую цилиндрическую структуру, по которой может распространяться электромагнитная энергия в видимой и инфракрасной областях спектра. Реальные волноводы, используемые в оптической связи, представляют собой гибкие волокна из прозрачных диэлектрических материалов. Поперечное сечение таких волоконных световодов имеет размеры, сравнимые с размерами человеческого волоса, и обычно состоит из трех областей, как показано на рис.1. Центральная область — сердцевина — окружена оболочкой, кото

Покрытие

Рис. 1: Физическое строение диэлектрического волновода рая в свою очередь, окружена защитным покрытием. Диэлектрическая x (x^x-j)

Рис. 2: Классическая модель волновода проницаемость сердцевины (б) может быть постоянной или изменяться по сечению, диэлектрическая проницаемость оболочки (боо) обычно считается постоянной. Для обеспечения направляющих свойств волновода необходимо, чтобы максимальное значение б было больше, чем боо- В большинстве приложений основная доля передаваемой энергии распространяется в сердцевине и лишь малая ее часть — по оболочке. Покрытие практически полностью оптически изолировано от сердцевины, поэтому при математическом моделировании им обычно пренебрегают, считая, что оболочка снаружи не ограничена. Распространение электромагнитных волн по оптическим волноводам может быть описано с помощью уравнений Максвелла. Однако, для некоторых волноводов (например, используемых в системах дальней связи), вводится "приближение слабонаправляющего волновода", что позволяет заменить уравнения Максвелла скалярным волновым уравнением.

В диссертации будем использовать классическую модель [1], согласно которой волновод предполагается неограниченным и линейно изотропным (см. рис.2), т.е. диэлектрическая проницаемость е волновода не меняется вдоль оси Охз и является кусочно-непрерывной функцией

Рис. 3: Поперечное сечение волновода. поперечных координат, е = е(х), х = (xi,x2) G М2. Обозначим через Qi область поперечного сечения волновода (см. рис.3), 7 = Будем предполагать, что эта область является ограниченной, не обязательно односвязной, Qe = е = боо = const > 0 в Qe, inf е(х) ^ боо, е+ = sup е(х) > е^. (1)

Магнитная проницаемость волновода всюду предполагается равной магнитной проницаемости свободного пространства

Собственными волнами волновода называются частные решения уравнений Максвелла

10 ВШ/dt + rot Е = 0, б dE/dt - rot И = 0,

2) имеющие следующий вид:

Е Н J х, Х3, t) = Re

Е L Н J

X) ехр

3)

Здесь Е, Ш — векторы напряженности электрического и магнитного поля, Е — [Ei, Е2, Ез)т и Н = (Hi, Н2, Щ)т — амплитуды этих векторов, б|£|2 + /х0|#|2) dx < +00,

4) неизвестные (о/3) G Ш2+ = М + х R+ — частота колебаний и постоянная распространения волны вдоль оси Охз соответственно.

Решение вида (3) представляет собой плоскую гармоническую волну, распространяющуюся без искажений с фазовой скоростью и//3 в направлении оси Охз и имеющую длину 2-к/из. Условие (4) физически означает, что энергия волны остается сосредоточенной в ограниченной области поперечного сечения волновода (разыскиваются поверхностные волны).

Введем операции divp , V/з, rot^, получающиеся из операций div, V и rot заменой операции дифференцирования по х% умножением на — i(3: v тт дНг дН2 ,отт „ / dip dip mQ \т f 17 (дН*Л. ЙТТ -RTT дН* dHlV rotp Н = —— + г(ЗН2, -ipHi - — , ---——) .

V ОХ2 ОХ\ ОХ\ ОХ2 /

Отметим, что справедливо соотношение rot^rot/j Я) = -АН + /32Я + V/з (divyj Я). (5)

Подставив векторы вида (3) в (2), получим систему уравнений rot р Е = —iajfioH, rot^ Я = гиеЕ, (6) откуда, в силу тождества div^rot/g(-) = 0, следует rot р (е-1 rot р Я) = k2H, div/? Я = 0, (7) rotр (rot/j Е) = к2еЕ, divp{eE) = 0, (8) где к = y/JJoU) — продольное волновое число.

Для исследования существования решений и построения численного метода необходимо отдать предпочтение одной из систем уравнений (7) или (8), справедливых почти всюду на всей плоскости М2. Для метода конечных элементов более подходящей является система (7), поскольку векторное поле Я, в отличие от Е, является элементом [И^М2)]3 при любых б 6 Loo(R2) (это следует из того, что Я, rotp Я Е [L2(R2)]3, dhrg Я G Ь2(М2)). Если поле Я найдено, то Е определяется из 2-го уравнения (6).

Итак, требуется найти (/3, к) е R+, Я е [^(R2)]3, Н Ф 0 такие, что1 rot р (е-1 rot 0 Н) = к2Н, div£ Я = 0 в R2. . (9)

Вообще говоря, эта задача допускает упрощения. Благодаря специфике операторов, неизвестную компоненту Яз поля Я можно исключить из системы уравнений [1]. Пусть Я = (Н, Яз)т, Н = (Hi, #2)т, rot Н = dHijdxi — dHi/dx2, rot tp = (dip/dx2, —dip/dxi)T.

Тогда для определения (/3, к, Н) из (9) получим уравнение

- АН + /32Н - б-1 (rot б) rot Н = к2ell в R2. (10)

Зная Н, из условия div/з Н — 0 найдем Я3 = —i(3~l div Н.

Другое упрощение задачи известно как приближение слабонаправляющего волновода. Если считать малой величину ||е—1 (rot б)|| и пренебречь соответствующим слагаемым в (10), то получим скалярную задачу:

Vs): (15,к,и) G R+ х W21(R2)\{0} : -Аи + /32и = к2еи в R2.

Эта задача существенно проще исходной. После ее решения находим (р, к) и Н = (и, и)т и Я3 = —i(3~l divH.

В данной работе мы подробно изучим как скалярную задачу (Vs), так и векторную (9). Мы не будем использовать упрощение (10), т.к. оператор этой задачи не является самосопряженным.

Переформулируем задачу (9). Для этого, следуя [2], перейдем от системы к одному векторному уравнению. Так как divp Н = 0, то rot/з (е-1 rot р Н) - sV/з (div/j Я) = к2Н, где s — некоторое положительное вещественное число. Рассмотрим это уравнение в области Qe, где е = б^. Учитывая (5), имеем

-АН + /32Н + (1 - se^)(diV/3 Я) - kh^H.

13десь W^ (М2) — пространство Соболева комплекснозначных функций. Если понимать уравнения (9) в классическом смысле, то необходимо дополнить их соотношениями на линиях разрыва коэффициента е, которые являются для (9) естественными условиями [1].

Выберем s = е^1. Тогда из этого соотношения следует, что Я в области Qe удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца:

-АН + р2Н = 0, р2 = (32-к2 боо.

Так как Я £ [H^QR2)]3, то число р2 должно быть положительным и |Я| = ехр(—р 1^1)0(1/^/1^1) при |ж| —> со (см., напр., [3]). Параметр р называется поперечным волновым числом. Он определяет скорость затухания Я на бесконечности и играет ключевую роль в дальнейшем.

Задачу (9) сформулируем в виде: найти (/3, к) 6 12+ и Я G [И^М2)]3, Я^О, такие, что в К2 справедливо уравнение

Vv) : rotр (б"1 rotр Н) - e-JVp (divp Я) = к2Н.

Обратный переход от задачи (Vv) к (9) совершается следующим образом. Пусть <£> = div^ Я. Применяя div/j к обеим частям (Vv) получим —sdivp(Vp (р) = к2<р, что равносильно —Аip + (/З2 — k2/s)(p = 0 в R2, ip Е L2(R2), /З2 — k2/s > 0. Отсюда следует, что ср = 0 и divp Н = 0 в R2. Это доказывает эквивалентность задач (9) и (Vv) (подробнее см. [2]).

0.2 Существование решений

Точное решение задачи (Vv) для однородного волновода кругового поперечного сечения может быть получено методом Фурье. Определение (/3, к) в этом случае сводится к решению алгебраического (характеристического) уравнения (см., напр., [1]). Известно, что точки (/?,&), решения характеристического уравнения, в плоскости (к, /3) лежат на кривых, называемых дисперсионными. Все они принадлежат углу

Л = {(/3,fc) : /З/VeT < к < p/y/iZ, Р>0] г и имеют линейную асимптоту при к —»• оо (см. рис. 4 при к Е (0,8]). При каждом к > 0 имеется лишь конечное число п(к) независимых решений к, Щ{к\ ж)) задачи (Vv), п(к) ^ 2. Функция п = п(к) — неубывающая, п{к) -» со при к —> оо. Точки к, в которых функция п(к) терпит к

Рис. 4: Дисперсионные кривые однородного волновода кругового поперечного сечения, радиуса R — 1, е = 2 в fli, /ло — е^ = 1. Пунктирные линии — граница Л. разрыв, называются точками отсечки. В этих точках происходит смена числа решений задачи. Эти критические точки представляют самостоя-v тельный интерес.

Анализ существования решений задачи в общем случае анизотропного волновода с переменным е проведен в работе [4], где исходная задача эквивалентно сформулирована в виде спектральной задачи для сильно сингулярного интегрального уравнения по области поперечного сечения волновода вида А((3, k)F = —F, где F = л/е — е^Е. Интегральный оператор А симметричен, полуфредгольмов и нелинейно зависит от параметров (3 и к. При каждом к > 0 ставится задача: найти такие значения постоянной распространения /3, при которых для собственных значений Л = А(/3) интегрального оператора А выполняется равенство А(/3) = — 1. Доказано, что существуют по крайней мере два таких значения /3 и, соответствующие им, две линейно независимые собственные функции, * называемых фундаментальными волнами. Интегральное уравнение, изученное в [4], широко применяется на практике для численного решения задачи проекционными методами (их краткий обзор см. в [4]), однако эти методы не имеют до сих пор теоретического обоснования по причине сильной сингулярности интегрального оператора.

Для произвольных изотропных волноводов задача о существовании собственных волн более полно решена в [2]. Задача формулируется в виде А((3)Н = к2Н , где А — самосопряженный неограниченный оператор, нелинейно зависящий от /3. Такая формулировка задачи диктует другой подход, а именно для каждого /3 > 0 ищется к2 и Н. Доказано, что сформулированные выше утверждения, касающиеся однородного волновода кругового поперечного сечения, имеют место и в общем случае. В [5] результаты [2] обобщены на случай волноводов с переменной магнитной проницаемостью. Благодаря монотонной зависимости к от /3 эти результаты легко интерпретировать в терминах зависимости (3 от к, более привычных для физиков и инженеров.

Результаты работ [2] и'[5] дают достаточно полное представление о качественных свойствах спектра собственных волн, однако для расчета спектральных характеристик волноводов требуется привлечение соответствующих численных методов (см. обзор [6], а также [7], [8]). Постановки задач, использованные в [2], [5], неудобны с точки зрения численного решения. Это связано с двумя их особенностями.

1) Задачи ставятся на всей плоскости R2. При численном решении необходимы дополнительные меры по ограничению области интегрирования и постановке дополнительных краевых условий.

2) Спектральные задачи, кроме конечного дискретного спектра, имеют также непрерывную часть спектра. Хотя положение непрерывной части известно точно, при численном решении необходимы дополнительные меры по отсеиванию ложных приближенных решений [6], [9].

Указанных неудобств лишены постановки задачи, предложенные в [7] и [10] (см. также [11] - [13]). В этих работах использована методика сведения задач, сформулированных на всей плоскости R2, к эквивалентным им задачам в круге (на основе точных нелокальных краевых условий

14] - [17]). Спектральные задачи в [7] и [10] формулируются в круге Вл Э и не имеют непрерывного спектра. Их спектр совпадает с дискретной частью спектра задачи (Vv).

Эти постановки хорошо приспособлены для численных схем решения на основе метода конечных элементов. Однако, при этом приходится расплачиваться и некоторым усложнением задачи. Задачи в ограниченной области имеют вид A((3,k)F = k2F с самосопряженным оператором А, нелинейно зависящим от спектрального параметра к (Л-1 — компактный; F = Е в [7], F = Н в [10]). Решение подобных конечномерных задач требует специальных итерационных методов, теория и практика которых недостаточно разработана. Отметим также, что операторы в [10] существенно проще и обладают лучшими свойствами, чем в [7].

0.3 Краткий обзор численных методов

На практике необходимо уметь рассчитывать следующие характеристики волновода. Во-первых, значения критических частот (точек отсечки), и интервала значений частот электромагнитных колебаний и 6 (О,^), при которых существуют только фундаментальные волны. Во-вторых, при каждом фиксированном ш = k/^/jlo нужно уметь вычислять все значения (3 и, кроме того, дисперсионные кривые /3 = /З(^) для фундаментальных волн и волн высшего тина. Основной интерес представляет поведение этих кривых вблизи точек отсечки. В-третьих, необходимо рассчитывать поле в ближней и дальней зонах, то есть собственные функции задачи в окрестности области Qj, а также вдали от нее.

Одним из эффективных численных методов является метод конечных элементов (МКЭ), который активно применяется для численного анализа спектральных характеристик диэлектрических волноводов с 70-х годов прошлого столетия (см., например, обзорные статьи [6], [8]). Его развитие во многом определяется выработкой различных подходов к сведению исходной задачи, сформулированной во всей плоскости, к новой задаче, поставленной в некоторой ограниченной области. При этом вводится искусственная граница Г, разбивающая плоскость на две части: конечную расчетную область Q, в которой диэлектрическая проницаемость б переменна, и неограниченную область Г^оо, в которой она постоянна. На искусственной границе Г ставятся некоторые граничные условия, учитывающие поведение амплитуд собственных волн на бесконечности, то есть при —> оо.

Все краевые условия на искусственной границе Г, предложенные к началу 90-х годов, были локальными и приближенными (подробный обзор см. в статье [6]). Их основной недостаток с практической точки зрения заключался в том, что на частотах, близких к критическим, размер расчетной области Q приходилось выбирать слишком большим. С другой стороны, применение МКЭ, основанного на использовании этих условий, не было полностью обосновано теоретически, так как новые задачи в ограниченной области не были эквивалентны исходной задаче.

С начала 90-х годов получил распространение иной подход, основанный на использовании точных нелокальных условий, позволяющих эквивалентным образом свести исходную задачу к задаче в ограниченной области Q. Обзор результатов, полученных на основе этого подхода, содержится в работе [8]. Точные условия на контуре Г имеют вид L^u = Sru, где Lr - дифференциальный оператор естественного краевого условия, а £г — некоторый нелокальный (интегральный) оператор. Для построения оператора Sг в явном виде используются два метода: метод граничных интегральных уравнений и метод разделения переменных.

Метод граничных интегральных уравнений оказывается эффективным в случае плоско-параллельной слоистой окружающей среды (б^ — кусочно-постоянная функция). Функция Грина для уравнения Гельмгольца в этом случае хорошо известна, и на ее основе строится представление решения задачи в области 0,^. Такой подход комбинирования метода конечных элементов с методом интегральных уравнений был использован в статье [18] для численного решения задачи о собственных волнах слабонаправляющего диэлектрического волновода на подложке.

Для волновода в однородной окружающей среде более эффективным является метод разделения переменных. Этим методом оператор Sp = Sr((3,k) в векторном случае был построен в работах [7] и [10] (контур Г выбирался в виде окружности).2 Таким образом, в этих работах задача сформулирована в виде параметрической задачи на собственные значения в области Г2 с нелинейным вхождением спектрального параметра к в нелокальное краевое условие на контуре Г. Разница постановок заключается в том, что для аппроксимации задачи в [10] можно использовать любые лагранжевы конечные элементы, тогда как для аппроксимации задачи из [7] — специальные конечные элементы типа Неделека.

В настоящей работе мы развиваем идеи, заложенные в статье [10], и эквивалентным образом сводим исходную задачу к линейной обобщенной задаче на собственные значения вида А(р)Н = /32В(р)Н, где А(р) — ограниченный, а В(р) — компактный самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, нелинейно зависящие от параметра р. Для аппроксимации этой задачи можно использовать традиционные конечные элементы. Квадраты постоянных распространения /З2 собственных волн мы получаем, решая эту задачу при р > 0, а квадраты точек отсечки /З02 — при р — 0. По точкам отсечки /3° легко вычисляются критические частоты а;0. В данном случае в качестве фиксированного параметра используется поперечное волновое число в окружающей волновод среде, р = \//32 — CoofiQUj2. Это число широко используется в качестве одной из спектральных характеристик диэлектрических волноводов (см., например, монографию [1] и обзорные статьи [19], [6]). Традиционно, в инженерной и физической литературе изучается зависимость волнового числа р от частоты электромагнитных колебаний ш (зная эту зависимость, легко восстановить зависимость /3 от си). Мы же предлагаем вычислять

2В [7] задача формулируется в терминах поля Е, в [10] — в терминах Н. дисперсионные кривые в параметрическом виде р —> (f3(p),uj(p)). Благодаря тому, что задача вычисления функции р —> (3(р) оказывается экономичной, мы получаем эффективный метод вычисления дисперсионных кривых и собственных волн.

0.4 Обзор диссертационной работы

Целью работы является построение, теоретическое и численное исследование приближенного метода определения дисперсионных кривых и собственных волн цилиндрических диэлектрических волноводов как в скалярной, так и векторной постановках.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем: получены оценки точности метода Галеркина с возмущениями для самосопряженной задачи на собственные значения Аи = \Ви в гильбертовом пространстве в случае положительно определенного оператора А и компактного В; дана эквивалентная формулировка задачи о нахождении собственных волн цилиндрических диэлектрических волноводов в виде параметрической линейной спектральной задачи в круге как в скалярной, так и векторной постановках; предложен приближенный метод решения полученных задач на основе метода конечных элементов с численным интегрированием; получены оценки точности разработанного метода; на основе вычислительных экспериментов установлена его практическая применимость и эффективность.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгими доказательствами сформулированных утверждений. Достоверность численных расчетов подтверждается хорошим совпадением результатов вычислений с известными решениями тестовых задач.

Научное и практическое значение работы. Работа носит, в основном, теоретический характер. Вместе с тем, разработан эффективный метод, позволяющий рассчитывать спектральные характеристики цилиндрических диэлектрических волноводов произвольного поперечного сечения. Применения рассматриваемого метода не ограничиваются задачей теории диэлектрических волноводов. По этой схеме могут быть решены различные задачи, приводящие к уравнению Гельмгольца на плоскости или системе уравнений Максвелла.

Структура диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

1. Снайдер, А. Теория оптических волноводов / А. Снайдер, Д. Лав. — М.: Радио и связь, 1987.

2. Bamberger, A. Mathematical analysis of the guided modes of an optical fiber / A. Bamberger, A. S. Bonnet // SI AM J. Math. Analys. 1990. — Vol. 21, no. 6. - Pp. 1487-1510.

3. Векуа, И. И. О метагармонических функциях / И. Н. Векуа // Труды Тбилисского машем, ин-та. — 1943. — Т. 12. — С. 105-174.

4. Urbach, Н. P. Analysis of the domain integral operator for anisotropic dielectric waveguides / H. P. Urbach // SI AM J. Math Anal. — 1996. — Vol. 27, no. l.-Pp. 204-220.

5. Joly, P. Mathematical analysis of electromagnethic open waveguides / P. Joly, C. Poirier // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. — 1995. Vol. 29, no. 5. - Pp. 505-575.

6. Клеев, А. И. Численные методы расчета диэлектрических волноводов (волоконных световодов). Универсальные методики (Обзор) / А. И. Клеев, А. Б. Маненков, А. Г. Рожнев // Радиотехника и электроника. 1993. - Т. 11. - С. 1938-1968.

7. Joly, P. A numerical method for the computation of electromagnetic modes in optical fibres / P. Joly, C. Poirier // Math. Meth. Appl. Sci. — 1999. Vol. 22. - Pp. 389-447.

8. Bossavit, A. Solving maxwell's equations in a closed cavity and the questions of spurious modes / A. Bossavit // IEEE Trans. Magnetics. — 1990. Vol. 26, no. 2. - Pp. 702-705.

9. Даутов, P. 3. О решении векторной задачи о собственных волнах цилиндрических диэлектрических волноводов на основе нелокального краевого условия / Р. 3. Даутов, Е. М. Карчевский // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 2002. — Т. 42, № 7. — С. 1051-1066.

10. Даутов, Р. 3. Существование и свойства решений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов / Р. 3. Даутов, Е. М. Карчевский // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. — 2000. № 8. -С. 1250-1263.

11. Свешников, А. Г. Прямой метод для задач дифракции на локально неоднородном теле / А. Г. Свешников, А. С. Ильинский // ЖВМ и МФ. 1971. - Vol. 4, по. 11. - Pp. 960-968.

12. Ильинский, А. С. Математические модели электродинамики / А. С. Ильинский, В. В. Кравцов, А. Г. Свешников. — М.: Высшая школа, 1991.

13. Givoli, D. Exact non-reflecting boundary conditions / D. Givoli, J. B. Keller // J. Comput. Phys. 1989. - Vol. 82. - Pp. 172-192.

14. Givoli, D. Nonreflecting boundary conditions (review article) / D. Givoli // J. Comput. Phys. 1991, - Vol. 94. - Pp. 1-29.

15. Bonnet-Ben Dhia, A. S. Computation of the modes of dielectric waveguides by finite elements coupled with an integral representation / A. S. Bonnet-Ben Dhia, N. Gmati // Numerical Methods in Engineering / Ed. by C. Hirsh. 1992. - Pp. 73-77.

16. Собственные волны диэлектрических волноводов сложного сечения (обзор) / Н. Н. Войтович, Б. 3. Каценеленбаум, А. Н. Сивов, А. Д. Шатров // Радиотехн. и электроника. — 1979. — Т. 24, № 7. — С. 1245-1263.

17. Соловьев, С. И. Погрешность метода Бубнова-Галеркина с возмущениями для симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением спектрального параметра / С. И. Соловьев // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1992. — Т. 32, № 5. — С. 675-691.

18. Соловьев, С. И. Аппроксимация симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра / С. И. Соловьев // Изв. Вузов. Математика. — 1993. — № 10. — С. 60-68.

19. Соловьев, С. И. Оценки погрешности метода конечных элементов для симметричных спектральных задач с нелинейным вхождениемпараметра / С. И. Соловьев // Изв. Вузов. Математика. — 1994. — № 9. С. 70-77.

20. Даутов, P. 3. Решение векторной задачи теории диэлектрических волноводов / Р. 3. Даутов, Г. П. Корнилов // Тез. докл. Всеросс. конф. «Актуальные проблемы прикладной математики и механики». Екатеринбург: УрО РАН, 2003. - С. 28-29.

21. Даутов, Р. 3. Численный метод определения дисперсионных кривых и собственных волн оптических волноводов / Р. 3. Даутов, Г. П. Корнилов, Е. М. Карчевский // ЖВМ и МФ. 2005. - Т. 45, № 12. - С. 2203-2218.

22. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б. Секе-фальви-Надь. — М.: Мир, 1979. — 587 с.

23. Дьяконов, Е. Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач / Е. Г. Дьяконов. — М.: Наука, 1989. — 271 с.

24. Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. Вайникко, П. П. Забрейко и др. — М.: Наука, 1969. — 455 с.

25. Канторович, JI. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / JI. В. Канторович, Г. П. Акилов. — М.: Физматгиз, 1959.

26. Bramble, J. Rates of the convergence estimates for nonselfadjoint eigenvalue approximations / J. Bramble, J. Osborn // Math. Сотр. — 1973. — Vol. 27, no. 123. Pp. 525-549.

27. Osborn, J. E. Spectral approximations for compact operators / J. E. Osborn // Math. Сотр. 1975. - Vol. 29, no. 131. - Pp. 712-725.

28. Vainikko, G. Uber die konvergenz und divergenz von ^aherungsmetho-den bei eigenwertproblemen / G. Vainikko // Math. Nachr. — 1977. — Vol. 78. Pp. 145 - 164.

29. Descloux, J. On spectral approximation. Part 1. The problem of convergence / J. Descloux, N. Nassif, J. Rappaz // R.A.I.R.O. Numer. Anal. — 1978.-no. 12.-Pp. 97-112.

30. Descloux, J. On spectral approximation. Part 2. Error estimates for the Galerkin method / J. Descloux, N. Nassif, J. Rappaz // R.A.I.R.O. Numer. Anal. 1978. - no. 12. - Pp. 113-119.

31. Chatelin, F. Spectral Approximation of Linear Operators / F. Chatelin. — New York: Academic Press, 1983.

32. Babushka, I. Finite element Galerkin approximation of the eigenvalues and eigenvectors of selfadjoint problems / I. Babushka, J. Osborn // Math. Сотр. 1989. - Vol. 52. - Pp. 275-297.

33. Banerjee, U. Estimation of the effect of numerical integration in finite element eigenvalue approximation / U. Banerjee, J. E. Osborn // Numer. Math. 1990. - Vol. 56. - Pp. 735-762.

34. Lebaud, M. P. Error estimates in an isoparametric finite element eigenvalue problem / M. P. Lebaud // Math. Сотр. — 1994.— Vol. 63, no. 207. Pp. 19-40.

35. Vanmaele, M. The combined effect of numerical integration and approximation of the boundary in the finite element method for eigenvalue problems / M. Vanmaele, A. Zenishek // Numer. Math. — 1995. — Vol. 71. — Pp. 253-273.

36. Bonnet, A. Calcul des modes guaide d'une fibre optique: Rapport Interne du CMAP 182 / A. Bonnet, R. Djellouli. — Palaiseau, France: Ecole Politechnique, 1988.

37. Лионе, Ж.-JI. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес. — М.: Мир, 1971.

38. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Наука, 1966. — 739 с.

39. Янке, Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. — М.: Наука, 1968.

40. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. — М.: Наука, 1973. 576 с.

41. Корнеев, В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности / В. Г. Корнеев. — Ленинград: Из-во Ленинградского университета, 1977.

42. Zlamal, М. Curved elements in finite element method. I. / M. Zlamal // SI AM J. Numer. Anal. 1973. - Vol. 10, no. 1. - Pp. 229-240.

43. Zlamal, M. Curved elements in finite element method. II. / M. Zlamal // SIAM J. Numer. Anal. 1974. - Vol. 11, no. 2. - Pp. 347-362.

44. Даутов, P. 3. Введение в теорию метода конечных элементов / Р. 3. Даутов, М. М. Карчевский. — Казань: Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина, 2004. — 239 с.

45. Съярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. — М.: Мир, 1980. 512 с.

46. Bramble, J. Н. Bounds for the class of linear functionals with applications to Hermite interpolation / J. H. Bramble, S. Hilbert // Numer. Math. 1971. - Vol. 16, no. 4. - Pp. 362-369.

47. Трибелъ, X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / X. Трибель. — М.: Мир, 1980.— 664 с.

48. Adams, R. A. Sobolev spaces / R. A. Adams. — Academic Press, 1975.

49. Павлова, M. Ф. Пространства Соболева / М. Ф. Павлова, М. Р. Ти-мербаев. — Казань: Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина, 2002. — 122 с.

50. Тимербаев, М. Р. Пространства с нормой графика и усиленные пространства Соболева. I. / М. Р. Тимербаев // Изв. Вузов. Математика. 2003. - № 5. - С. 55-65.

51. Тимербаев, М. Р. Пространства с нормой графика и усиленные пространства Соболева. II. / М. Р. Тимербаев // Изв. Вузов. Математика. 2003. - № 9. - С. 46-53.

52. Brenner, S. С. The Mathematical Theory of Finite Element Methods / S. C. Brenner, L. R. Scott. — New York: Springer-Verlag, 1994. — 294 pp.

53. Карпенко, В. А. Теоретические и .экспериментальные исследования прямоугольного диэлектрического волновода / В. А. Карпенко, Ю. Д. Столяров, В. Ф. Холомеев // Радиотехника и электроника. — 1980.-Т. 25, №1.-51-57 с.