D-браны и линейный дилатон: новые модели тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Клевцов Семен Евгениевич

Б-БРАНЫ И ЛИНЕЙНЫЙ ДИЛАТОН: НОВЫЕ МОДЕЛИ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

СфЗЛ(

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Гальцов Дмитрий Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник НИИЯФ МГУ Волобуев Игорь Павлович

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник МИАН им. В.А.Стеклова, Кошелев Алексей Сергеевич

Ведущая организация: Объединенный Институт Ядерных Исследований, г.Дубна

Защита состоится "14" декабря 2006 г. в 16 час. на Специализированном Совете К.501.001.17 при Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова (119992, г. Москва, Воробьевы горы, физический факультет, ауд. СФА ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан " " ноября 2006г.

Ученый секретарь

Специализированного Совета К.501.001.17 --

д.ф.-м.н. ^ П.А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена анализу общих решений уравнений супергравитации для гипербран, построению гипербран на фоне линейного дилатона, а также изучению модели струнной теории поля в присутствии D-бран и построению представлений квантовых афинных алгебр в двумерной конформной теории поля с линейным дилатоном.

Актуальность проблемы обусловлена развитием объединенной теории фундаментальных взаимодействий на основе теории суперструн и М-теории. Результаты последнего десятилетия показали, что важную роль в непертурбативных аспектах теории суперструн играют многомерные протяженные объекты - D-браны (гипербраны). Низкоэнергетическим описанием D-бран являются решения классических уравнений супергравитации солитонного типа. На данный момент известно несколько классов таких решений, однако полная классификация до последнего времени отсутствовала. В связи с этим задача получения более полных решений, в частности методом явного интегрирования уравнений движения представляет значительный интерес для дальнейшего развития теории суперструн, а также теорий супергравитации. Особый интерес в контексте обобщений непертурбативного соответствия теории струн на пространстве AdSb х 5s и конформной теории поля на границе, представляют также гипербранные решения на фоне линейного дилатона. Гипербраны коразмерности один (доменные стенки) используются в космологических моделях, а также в моделях с большими дополнительными измерениями. Интересны также решения для инстантонов, ответственных за различные непертурбативные эффекты в теории струн.

Проблема непертурбативной формулировки теории струн является на данный момент одной из наиболее важных для развития теории. Одним из подходов является струнная теория поля. Существующая формулировка струнной теории поля приспособлена к граничным условиям Неймана на концах струны и таким образом не является независимой от выбора граничных условий (background independent). Поэтому возникает вопрос о поиске более общей формулировки струнной теории поля, допускающей

выбор произвольных граничных условий. В качестве первого шага в этом направлении возникает задача построения струнной теории поля с граничными условиями Дирихле, т.е. теории на фоне нескольких Б-бран. Данная задача мотивирована также изучением возможной роли Б-бран в струнной теории поля. Действительно, в рамках струнной теории поля естественным образом решается задача о вычислении приближенных низкоэнергетических лагранжианов для низколежащих состояний струны. Как известно, теория струн на стопке Б-брап в низкоэнергетическом пределе является теорией Янга-Миллса, что может быть проверено с определенной точностью в рамках предложенной модели струнной теории поля.

Прогресс в теории струн, квантовой теории поля и статистической физике в последние десятилетия был во многом связан с применением методов двумерной конформной теории поля. Благодаря большой группе симметрий многие модели конформной теории поля являются точно решаемыми. Одним из проявлений интегрируемости является тесная связь конформных теорий с теорией представлений алгебр Каца-Муди и квантовых групп. В частности, известно, что алгебры вершинных операторов в конформной теории поля с линейным дилатоном (теории свободных полей с фоновым зарядом) реализуют представления квантово-деформированных алгебр Ли. Доказательство это факта, состоящее в проверке выполнения квантовых соотношений Серра, отсутствовало даже в случае конечномерных алгебр ид(з1п). Представляет интерес также обобщение этой конструкции на случай афинной алгебры ^(вЬ)-

Целью диссертационного исследования является построение общих решений для р-бран, доменных стенок и Б-инстантонов в системе взаимодействующих поля р-формы, дилатона и гравитации; изучение асимптотически плоских решений, обладающих регулярным горизонтом; изучение асимптотически неплоских решений с асимптотически растущим дилатоном, построение модели струнной теории поля на фоне нескольких Е)-бран и вычисление в ней низкоэнергетического действия для полей на 1>-бранах, а также построение представления квантовых афинных

алгебр вершинными операторами в модели конформной теории поля с линейным дилатоном и доказательство квантовых соотношений Серра для конечномерных и афинных вертекс-операторных алгебр. В работе использованы в основном аналитические методы.

Научная новизна. В работе построено общее решение уравнений супергравитации, соответствующее гипербране, инстантону и доменной стенке, выявлены новые классы асимптотически несингулярных решений с регулярным горизонтом событий, в частности с асимптотикой линейного дилатона, что представляет интерес для понимания пространственно - протяженных объектов в супергравитации и теории суперструн. Впервые рассмотрена модель струнной теории поля на фоне Е>-бран в исследована структура низкоэнергетического действия в этой модели. Построены реализации верхнетреугольных подалгебр и ^(в^)

вершинными операторами в конформной теории поля с фоновым зарядом. Доказаны квантовые соотношения Серра для соответствующих квантовых алгебр, в афинном случае получены явные формулы для генераторов, соответствующих старшим корням. Результат представляет интерес для изучения вертексных алгебр в двумерных моделях конформной теории поля.

Научная и практическая ценность работы. В данной диссертационной работе содержится ряд результатов, обладающих несомненной научной новизной и имеющих существенное значение для понимания физики Е>-бран, доменных стенок и инстантонов в супергравитации, теории суперструн и струнной теории поля, а также алгебр вершинных операторов в конформной теории поля.

Результаты могут быть использованы в НИИЯФ МГУ, ИЯИ, ЛТФ ОИЯИ, ФИАН, ИТЭФ, МИАН, ТГУ и других научных центрах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на конференциях "Ломоносовские чтения" (Москва,

2002г.), "Particles, Fields and Strings", (Ванкувер, Канада, 2001 г.), "Progress in Strings, Fields and Particle Theory" (Каржез, Франция, 2002г.) а также на семинарах ИТЭФ, кафедры теоретической физики МГУ, математического института им. Стеклова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения и списка цитируемой литературы. Текст диссертации набран в издательской системе

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе I "Введение" обсуждается роль гипербран (Е)-бран, р-бран) в современной теоретической физике, в частности в теории суперструн и супергравитации. Теория суперструн является одним из кандидатов на роль объединенной теории фундаментальных взаимодействий и теории квантовой гравитации. Следует отметить, что понимание теории на данный момент не является полным и завершенным. В частности, результаты, полученные на протяжении последнего десятилетия показали, что наряду с одномерными протяженными объектами - струнами - в теорию необходимо на равных основаниях включить также многомерные протяженные объекты - Б-браны. С точки зрения мировой поверхности струны они возникают как .О-мерные поверхности на границе, к которым крепятся концы струны (Б-браны, от граничных условий Дирихле). В десятимерных низкоэнергетических теориях супергравитации гипербраны появляются как солитонные решения уравнений движения, описывающие многомерные поверхности и обладающие зарядом по отношению к полю формы (гравитационные р-браны). С точки зрения теории суперструн особый интерес представляют Б ПС гипербраны - объекты, сохраняющие определенное количество суперсимметрий. Они возникают из М-теории (11-мерной непертурбативной теории,

объединяющей различные десятимерные теории суперструн) в результате редукции дополнительного измерения. Существуют также черные р-браны, являющиеся многомерным аналогом решения черной дыры. Они представляют интерес для различных обобщений Асй/СРТ соответствия (голографического соответствия теории суперструн в пространстве АйБъ х Б5 и N — 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса, живущей на границе этого пространства). Другой важной особенностью гипербран является тот факт, что они естественным образом содержат матричные степени свободы. В частности, известна тесная связь между теориями, содержащими Г)-браны, и неабелевыми калибровочными теориями.

Принимая во внимание важность гипербран в супергравитации и теории струн, особый интерес вызывает задача построения р-бранных решений в различных супергравитациях в размерности 4 < й < 11. Такие решения представляют собой р-мерное плоское подпространство с 1БО(р) х И симметрией мирового объема (где Я соответствует времени), обладающее некоторым натяжением, несущее заряд по полю полиформы и содержащее также нетривиальный дилатон. С физической точки зрения интересно рассматривать асимптотически несингулярные (в частности, асимптотически плоские) решения, обладающие регулярным горизонтом событий в дополнительных измерениях. Трансверсальное пространство обычно выбирается в виде пространства постоянной кривизны. Черная дыра таким образом является 0-браной со сферическим трансверсальным пространством. Симметрия 1БО(р) х И дополняется до полной 1БО(р, 1) симметрии в случае экстремальной БПС браны (что в случае черной дыры соответствует решению Рейсснера-Нордстрема с массой, равной заряду).

Долгое время считалось, что решение для одиночной статической заряженной по полю формы р-браны, зависит от двух параметров - массы и заряда, что вообще говоря не является очевидным с точки зрения решения конкретных дифференциальных уравнений. Первоначально гравитационное решение для браны не удавалось получить в общем виде, ограниченным лишь описанной выше симметрией. Черное и ВПС-решения выводились из специального анзаца, более узкого, чем позволяет наложенная симметрия. Поэтому априори не было ясно, существует

ли более общее решение и сколько параметров такое решение может содержать. В 1999 г. Zhou и Zhu впервые явно проинтегрировали уравнения движения для статической р-браны и построили семейство р-бранных решений со сферически-симметричным трансверсальным пространством и ISO(p) х R симметрией мирового объема, зависящее от четырех параметров. В последствии была предложена интерпретация этих решений, согласно которой дополнительные параметры отвечали за тахионную конденсацию в системе брана-антибрана.

Однако, в связи с запутанностью метода интегрирования и ненадежностью интерпретации дополнительных параметров, эти результаты вызывали определенные сомнения. В связи с этим была поставлена задача разработки более эффективного и прозрачного метода интегрирования, получения наиболее общих решений уравнений р-браны (в том числе в случае более общего анзаца) и выделения из общего решения физически осмысленных конфигураций, а именно асимптотически несингулярных решений, удовлетворяющих принципу космической цензуры (все сингулярности скрыты горизонтом) и обладающих регулярным горизонтом событий. Оказалось, что эти требования значительно сужают пространство параметров наиболее общего решения. В частности, можно показать, что решение Zhou и Zhu содержит голые сингулярности. Накладывая дополнительно условия, вытекающие из требования наличия регулярного горизонта, можно показать, что данные решения сводятся к известному решению для черной браны.

Также было выявлено, что общее решение содержит дополнительную ветвь, соответствующую гипербране на фоне линейного дилатона. Решения подобного типа играют важную роль в различных обобщениях AdS/CFT соответствия. Разработанный метод явного интегрирования уравнений движения также может быть применен для нахождения общего решения в случаях доменной стенки и D-инстантона (Б(-1)-браны). Доменные стенки (р-браны коразмерности один) важны для построения обобщений AdS/CFT соответствия на случай квантовой теории поля с меньшим количеством суперсимметрий. D-инстантоны ответственны за различные

непертурбативные эффекты в теории суперструн.

Одной из возможных непертурбативных формулировок теории струн является струнная теория поля. Она основана на представлении состояний струны в виде функционалов на отрезке, для которых вводится действие Черна-Саймонса. Существующая формулировка струнной теории поля приспособлена к струнам с граничными условиями Неймана. В связи с открытием Е>-бран стало ясно, что в теорию на равных основаниях должна быть включена возможность выбора граничных условия Дирихле. Поэтому, вообще говоря, следует построить формализм струнной теории поля, в котором был бы заложен произвол в выборе граничных условий, присутствующий в теории струн изначально. Первым шагом в этом направлении является задача построения струнной теории поля в присутствии Б-бран и извлечения низкоэнергетической теории на стопке из N Б-инстантонов (теории Янга-Миллса с группой V(./V))

В случае линейной зависимости дилатона от радиальной координаты, некоторые гипербраны (например N35 брана) имеют описание в терминах конформной теории поля с линейным дилатоном на мировой поверхности (часто эта теория также называется двумерным кулоновским газом или конформной теорией поля с фоновым зарядом). Тензор энергии-импульса данной теории содержит член, пропорциональный второй производной поля. Эта модель конформной теории поля важна для полевого представления минимальных моделей конформной теории поля, используется в двумерной квантовой гравитации (теории Лиувилля), а также в вертекс-операторных конструкциях алгебр Каца-Муди и квантовых групп. Связь вершинных операторов в теории с фоновым зарядом с теорией представлений квантово-деформированных алгебр была обнаружена в начале 90-х и изучена в простейших случаях. В общем случае рассматривается теория п свободных полей, компактифицированных на тор, соответствующий решетке корней алгебры Ли. Афинные алгебры получаются, когда одно из направлений в пространстве импульсов светоподобно. Далее в теории изучаются поля размерности один, представляемые в виде вершинных операторов определенного вида -каждый оператор соответствует простому корню алгебры Ли. Из-за

наличия нетривиального фонового заряда коммутационные соотношения деформируются (независимо для верхне - и нижнетреугольных борелевских подалгебр) и алгебра вершинных операторов становится квантовой группой. При этом нетривиальным фактом, доказательство которого отсутствовало даже в случае конечномерных алгебр, является выполнение квантовых соотношений Серра. Эта задача решается в данной работе.

Во второй главе "Исследование полного решения уравнений черной р-браны" рассматривается теория гравитации, взаимодействующей с полем д-формы и дилатоном с действием

3 = J ddxV4 (R - - ^ F^ , (1)

и строятся решения для черных р-бран с метрикой вида

ds2= - e2Bdt2 + e2D(dxi + ... + dx2p)+e2Adr2 + e2CdZla +

+ e2E(dy2 + ... + dy2_k), ' (2)

где A(r), B(r), C(r), D(r) и E(r) - неизвестные функции радиальной переменной. Трансверсальное к мировому объему браны д-мерное пространство таким образом имеет вид Ej^ х Ш9~к (р + q = d — 2). Пространство Efc,CT при а — 0, +1,-1 является /с-мерным пространством постоянной кривизны - плоским пространством, сферой и гиперболическим пространством соответственно

В части 2.1 уравнения движения приводятся к виду, удобному для интегрирования. В части 2.2 строится общее решения уравнений движения для данного анзаца. Оно содержит семь независимых произвольных параметров. При этом асимптотически плоские решения существуют лишь в случае сферического пространства В части 2.3 изучается

структура особых точек решения (возможных сингулярностей, горизонтов и асимптотически плоских областей), в результате чего выделяются две ветви пространства асимптотически несингулярных решений, обладающих регулярным горизонтом событий. В части 2.4 рассмотрена первая ветвь решения, соответствующая черной р-бране. Вторая ветвь, изученная в части 2.5, соответствует черной р-бране на фоне линейного дилатона. В

обоих случаях решение зависит от трех параметров - массы, заряда, и значения дйлатона на бесконечности. Для решений получены выражения для ДДМ-массы и проверено выполнение первого закона термодинамики для р-бран. ' ' ' " .........•"•",. .• ■••<■ г .......

В части 2.6 построено общее решение уравнений движения в случае доменной стерки. Решения для доменной стенки не могут быть получены в пределе из решений р-браны,.. и. требуют отдельного интегрирования. В этом случае также поручены две ветви решений, одно из которых соответствует стандартному решению для доменной стенки. Второй тип решения обладает горизонтом событий и отвечает таким образом черной доменной стенке с асимптотически, линейным дилатоном. В части 2.7 рассматривается связь полученных решений с ранее известными решениями для р-бран.

В главе III "Решение для инстантона в супергравитации" рассматривается случай р = — 1-браны, соответствующий D-инстантону. В этом случае, как и в случае доменной стенки, уравнения движения также отличаются от уравнений для р-браны и должны быть проинтегрированы отдельно. В части 3.1 для анзаца, соответствующего D-инстантону с цилиндрическим трансверсальным пространством Е*^ х

ds2 = e^dr2 + е2С + e2E{dyf + ... + (3)

производится интегрирование уравнений движения и строится общее решение. В результате анализа особых точек решения строятся два типа асимптотически плоских решений, одно из которых соответствует БПС решению, размазанному по дополнительным цилиндрическим направлениям. Второй тип решения, построенный в части 3.2, обобщает ранее известное решение для неэкстремального инстантона, и содержит четыре независимых параметра. В части 3.3 вычислено действие на этом решении и показано, что оно является конечным при компактификации дополнительных цилиндрических измерений на тор.

Глава IV "Браны в струнной теории поля" посвящена задача построения струпной теории поля с граничными условиями Дирихле, т.е. теории на фоне нескольких D-бран, и вывода в определенном приближении низкоэнергетического действия на стопке N D-инстантонов {D = — 1

бран). В части 4.1 представлен обзор формализма струнной теории поля. В параграфе 4.4.1 выписывается действие теории, обсуждается связь струнной теории поля с Б-бранами и задача вывода низкоэнергетических теорий из струнной теории поля. В п. 4.4.2 описывается связь с некоммутативной геометрией, определяется умножение струнных полей и аналог дифференциального оператора (БРСТ оператор). Существует несколько формализмов для вычислений в струнной теории поля. Формализм операторов на фоковском пространстве струны описан в п. 4.4.3, операторов на половинках струн - в п. 4.4.4 и конформной теории поля - в п. 4.4.5. В п. 4.4.6 приведен краткий обзор решения струнных уравнений движения, соответствующего Б-бране ("сливер").

В части 4.2 вводится действие для струнной теории поля на Б-бранах. При этом используется формализм конформной теории поля, в котором Б-брана соответствует вставке на границу вершинного оператора, меняющего граничные условия (описанного в п. 4.2.1). В п. 4.2.2 выписывается действие в виде суммы корреляторов в конформной теории поля. В п. 4.2.3 описано вычисление приближенной низкоэнергетической теории для полей, соответствующих флуктуациям координат N Б-инстантонов, из действия струнной теории поля. Струнное поле можно разложить по базису в пространстве Фока, порождающему бесконечный набор состояний. При этом поле будет суперпозицией состояний различного уровня и массы. Для получения приближенного низкоэнергетического лагранжиана для низколежащих возбуждений (в данном случае для полей на уровне 1), используется приближение, в котором отсекаются все состояния струнного поля выше второго уровня, по оставшимся массивным полям производится интегрирование. В п. 4.2.3 приведено выражение для полученного действия в случае N несовпадающих Б-инстантонов и замечено, что получающиеся в нем структуры совпадают с действием Янга-Миллса вплоть до кубических по полям членов.

В главе V "Вертекс-операторная конструкция квантовых афинных алгебр" рассмотрено построение квантовых борелевских подалгебр конечномерных и афинных алгебр в теории свободных полей <р\ г = 1,..., п

с действием

5 =

J (сУ д^ЧгаоДрУ),

(4)

где Д- двумерная кривизна фоновой метрики, ао- экранирующий заряд и рг- некоторый постоянный вектор. Пусть <рг принимают значения на некотором торе. Решетка корней, соответствующая тору, порождает некоторую алгебру Ли д. Вершинные операторы конформной размерности 1 в этой теории удовлетворяют соотношениям универсальной обертывающей [/д(п+), где п+ - верхнетреугольная часть разложения Картана д = тг_ © И © п+, с некоторым параметром деформации д = д+. Для доказательства этого факта необходимо проверить выполнение соответствующих квантовых соотношений Серра. В части 5.2 описано представление ¿79(г/з) вершинными операторами и в части 5.3 доказаны квантовые соотношения Серра в этом случае

здесь Еа, Ер - операторы, соответствующие простым корням. Данное доказательство тривиально обобщается на случай ич(я1п). Также показано, что в пределе нулевого фонового заряда данная конструкция переходит в известную вертекс-операторную конструкцию Каца-Френкеля-Сегала для бозонной струны. В части 5.4 приведено обобщение данной конструкции на случай афинной квантовой группы £/^(5/2) и доказаны соответствующие квантовые соотношения Серра

где Ео,Е1 - вершинные операторы, соответствующие простым корням. Также приведены формулы для некоторых генераторов в афинном случае.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

(5)

(6)

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Получено общее решение уравнений супергравитации для р-браны с цилиндрической симметрией внешнего пространства. Показано, что пространство решений с регулярным горизонтом событий содержит два типа решений - стандартное асимптотически плоское решение для черной браны и решение для черной браны с линейным дилатоном.

2. Построено новое решение для Б-инстантона, делокализованного в части дополнительных измерений. Показано, что решение обладает конечным действием при компактификации дополнительных измерений на тор.

3. Построена модель струнной теории поля на фоне нескольких несовпадающих Е)-инстантонов. Из предложенной модели в первом приближении вычислено низкоэнергетическое эффективное действие для полей, соответствующих флуктуациям координат Б-инстантонов. Полученное действие с точность до членов третьего порядка совпадает с редуцированным действием Янга-Миллса.

4. Доказано, что в моделях конформной теории поля с линейным дилатоном алгебры вершинных операторов реализуют представления верхнетреугольных подалгебр квантовых алгебр £/,(.?/„). Доказаны соответствующие квантовые соотношения Серра.

5. Построено обобщение модели конформной теории поля с линейным дилатонов, для которого алгебра вершинных операторов реализует представление афинной квантовой алгебры и^ви)- Доказано квантовое соотношение Серра и получены явные формулы для генераторов, соответствующих старшим корням.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. D. Gal'tsov, S. Klevtsov, D. Orlov, G. Clement. More on general p-brane solutions. // Int. J. Mod. Phys. A - 2006. - v. 21 - p.3575-3604, [arXivrhep-th/0508070].

2. Д. В. Гальцов, С. E. Клевцов, Д. Г. Орлов. Цилиндрические D-инстантоны. // Гравитация и Космология - 2005. — т.11 - с.30-36.

3. Д. В. Гальцов, С. Е. Клевцов, Д. Г. Орлов. D-инстантоны и супергравитационные доменные стены, пересмотр. // Сб. тезисов Международной конф. по теоретической физике. - Москва, ФИАН - 2005. - с.15.

4. S. Klevtsov. Yang-Mills Theory from String Field Theory on D-branes. // Proceedings of EC Summer School "Progress in Strings, Fields and Particle Theory", Cargese. - NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, Progress in String, Field and Particle Theory, Kluwer - 2003. - v. 104 -p.425-428.

5. S. Klevtsov. On vertex operator construction of quantum affine algebras. // Препринт ИТЭФ - ITEP-TH-38-01, [arXiv:hep-th/0110088].

6. С. Клевцов. Конформная теория поля, вертексньте алгебры и квантовые группы. // Сб. тезисов конф. "Ломоносов-2002". - Москва, Изд-во МГУ - 2002.

Подписано к печати У¿7Х Тираж Заказ

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

1 Введение

1.1 D-браны.

1.2 Решения для р-бран в супергравитации и браны с асимптотикой линейного дилатона .б

1.3 Доменные стенки и обобщения AdS/CFT соответствия.

1.4 Гравитационные D-инстантоны

1.5 Струнная теория поля и D-браны.

1.6 Конформная теория поля и линейный дилатон.

1.7 Цель диссертационного исследования.

1.8 План диссертации.

2 Исследование полного решения уравнений черной р-браны

2.1 Действие и уравнения движения.

2.2 Интегрирование уравнений движения.

2.3 Особые точки общего решения.

2.4 Черная брана в координатах Шварцшильда.

2.5 Черные браны и линейный дилатон.

2.6 Доменные стенки

2.6.1 Стандартное решение.

2.6.2 Черное решение.

2.7 Связь с известными решениями для р-бран

2.8 Выводы.

3 Решение для инстантона в супергравитации

3.1 Общее решение.

3.2 Асимптотически плоские решения.

3.3 Действие на D-инстантоне.

3.4 Выводы.

4 Браны в струнной теории поля

4.1 Основные факты.

4.1.1 Действие струнной теории поля.

4.1.2 Некоммутативная геометрия и струнная теория поля

4.1.3 Структура умножения на пространстве Фока.

4.1.4 Операторы на пространстве половинок струн.

4.1.5 Конформная теория поля.

4.1.6 Решения уравнений движения. Сливер.

4.2 Струнная теория поля на D-бранах.

4.2.1 D-браны, как граничные условия на мировой поверхности.

4.2.2 Струнная теория поля в присутствии D-бран.

4.2.3 Теория Янга-Миллса из струнной теории ноля на D-бранах

4.3 Выводы.

5 Вертекс-операторная конструкция квантовых афинных алгебр

5.1 Алгебры вершинных операторов.

5.2 Конструкция Uq(sl3).

5.3 Соотношения Серра для Uq(slz).

5.4 Квантовая группа C/g(sZ2)

5.5 Выводы.

1.1 D-браныТеория сунерструн является одним из перспективных вариантовобъединенной теории фундаментальных взаимодействий. Она возниклав 1960-70-х гг. из попытки описания теории сильных взаимодействийв рамках дуальной струнной модели. Долгое время считалось, чтоединственной фундаментальной степенью свободы теории является струнанланковских размеров, различные возбуждения которой соответствуютфизически наблюдаемым частицам [1]. Существует пять пертурбативныхтеорий сунерструн (гетеротическая струна с калибровочной груннойEs X £^ 8) SO{32), струны тина I, ПА и ПВ), в низкоэнергетическом нределесоответствующих различным десятимерным супергравитациям. В 1995 г.было предложено непертурбативное онисание теории струн в рамках 11мерной М-теории [2], в низкоэнергетическом пределе - одиннадцатимернойсунергравитации. Все нять десятимерных теорий суперструн нри этомнолучаются из М-теории различными редукциями донолнительногоизмерения. Замечательным свойством М-теории является то, чтофундаментальными стененями свободы в ней являются многомерныенротяженные объекты - гипербраны (М-браны, D-браны).Независимо от М-теории в теории суперструн существовалоестественное онисание D-бран, как граничных условий на мировойповерхности (D - от граничных условий Дирихле) [3], как протяженныхобъектов, несущих заряды по Рамон-Рамоновским нолям формы [4], атакже онисание бран, как многомерных солитонов в сунергравитации(р-браны, где р-размерность браны, см. например [5, б, 7] или обзор [8]).Открытие М-теории привело к пониманию того факта, что гипербраны ^должны рассматриваться в теории на равных основаниях с одномернымиобъектами (струнами).D-брана имеет D пространственных измерений и D + 1-мерныймировой объем. В известном смысле гинербраны являются обобндениемсолитонных решений в классической теории гравитации и квантовойтеории поля. Такие объекты, как вихрь Абрикосова-Олесепа [9] (аналог1-браны, т.е. струны), инстантон БПШТ [10] ((—1)-брана, так как мировойобъем евклидового решения 0-мерен), доменные стенки [9] (гипербраныкоразмерности 1) тесно связаны с различными непертурбативнымиэффектами в теории ноля. Примером гравитационной 0-браны являетсячерная дыра Шварцшильда. Пространственно-нротяженные объектыактивно изучаются в космологических моделях [И], а также вмоделях с большими донолнительными измерениями [12], в которыхони используются для решения проблемы иерархии. Как и в квантовойтеории поля, в теории струп/М теории брапы ответственны за различныенепертурбативные эффекты (см. обзор [13]).В данной работе исследуются отдельные аснекты физики гипербрап. Вопервых, мы изучаем гравитационные р-браны, как решения классическихуравнений движения в многомерных теориях гравитации, заряженные пополю полиформы и содержащие нетривиальное поле дилатона (см. п.1.2 введения). Мы строим обпдие решения для черных р-бран, доменныхстенок и D-инстантонов. Среди обш,их решений физически наиболееинтересны реп],ения, удовлетворяюш,ие принципу космической цензурыи обладаюнще при этом регулярпым горизонтом событий. Оказывается,что суш,ествует два типа таких решений - стандартные асимптотическиплоские гипербраны и гипербраны с асимптотически линейным дилатоном.Решения второго типа, не являюш,иеся асимптотически плоскими,играют важную роль, например, в обобп],ениях AdS/CFT соответствия[14] (голографического соответствия теории квантовой гравитации инегравитационной теории, живущей на бране, более нодробно см. п.1.3 введения). Также мы изучаем D-браны в рамках струнной теорииполя (вторично-квантованной формулировки теории струн, п. 1.5). Мыпоказываем, что введепие бран в теорию приводит к возпикповения^В данной диссертации мы используем термин гипербрапа наравне с более широкораснространенным термином D-брана. В отношении гравитационных решений используется такжетермин р-брананеабелевых калибровочных моделей в низкоэнергетическом пределе(теория Янга-миллса на стонке бран). В качестве приложения теорийс линейным дилатоном мы рассмотриваем модель конформной теориюполя, в которой добавление линейного дилатона приводит к квантовойдеформации алгебры физических операторов и возникновению в нейструктуры квантовой группы (п. 1,6).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. D. GaVtsov, S. Klevtsov, D. Orlov, G. Clement, More on general p-brane solutions // Int. J. Mod. Phys. A - 2006. - v. 21 - p.3575-3604, [arXiv:hep-th/0508070].

2. Д. В. Галъцов, С. E. Клевцов, Д. Г. Орлов Цилиндрические D-инстантоны // Гравитация и Космология - 2005. - т.И - с.30-36.

3. Д. В. Галъцов, С. Е. Клевцов, Д. Г. Орлов D-инстантоны и супергравитационные доменные стены, пересмотр // Сб. тезисов Международной конф. по теоретической физике. - Москва, ФИАН

- 2005.-с.15.

4. S. Klevtsov Yang-Mills Theory from String Field Theory on D-branes // Proceedings of EC Summer School "Progress in Strings, Fields and Particle Theory", Cargese. - NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, Progress in String, Field and Particle Theory, Kluwer - 2003.

- v.l04-p.425-428.

5. S. Klevtsov On vertex operator construction of quantum affine algebras // Препринт ИТЭФ - ITEP-TH-38-01, [arXiv:hep-th/0110088].

6. С. Клевцов Конформная теория поля, вертексные алгебры и квантовые группы // Сб. тезисов конф. "Ломоносов-2002". - Москва, Изд-во МГУ - 2002.

Заключение

1. М. Грин, Дж.Шварц, Э.Виттен. Теория суперструн. - М.:Мир, 1990.

2. Е. Witten. Bound States Of Strings And p-Branes.// Nucl.Phys.B -1996- v. 460 p. 335-350, arXiv:hep-th/9510135.

3. J. Polchinski. String theory. Cambridge Univ. Press, 1998.

4. J. Polchinski Dirichlet-branes and Ramond-Ramond charges.// Phys. Rev. Lett. 1995 - v. 75 - p. 4724-4727, arXiv:hep-th/9510017].

5. G. T. Horowitz and A. Strominger. Black strings and p-branes.// Nucl. Phys. В -1991 v. 360 - p. 197-209.

6. R. Guven. Black p-brane solutions of D = 11 supergravity theory.// Phys. Lett. В 1992 - v.276 - p.49-55.

7. M. J. Duff, J. X. Lu. Black and Super p-Branes in Diverse Dimensions.// Nucl. Phys. В -1994 v. 416 - p. 301-334, arXiv:hep-th/9306052].

8. M. J. Duff, R. R. Khuri, J. X. Lu. String Solitons.// Phys. Rev. 1995 -v. 259 - p. 213-326, arXiv:hep-th/9412184].

9. Рубаков В.А. Классические калибровочные поля. М.: УРСС, 1999.

10. A. A. Belavin, А. М. Polyakov, A. S. Shvarts and Yu. S. Tyupkin. Pseu-doparticle solutions of the Yang-Mills equations.// Phys. Lett. В - 1975- v. 59 p. 85-87.

11. И. V. A. Rubakov and M. E. Shaposhnikov. Do We Live Inside A Domain Wall?// Phys. Lett. В -1983 v.125 - p.136-138.

12. L. Randall and R. Sundrum.// Phys. Rev. Lett. 1999 - v. 83 - p.4690-4693, arXiv:hep-th/9906064].

13. С. V. Johnson D-Branes Cambridge Univ. Press, 2003.

14. J. M. Maldacena. The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity.// Adv. Theor. Math. Phys. 1998 - v.2 - p.231-252.

15. H. Lu, C. N. Pope, E. Sezgin, K. S. Stelle Stainless super p-brane.// Nucl. Phys. В 1995 - v.456 - p.669-698, arXiv:hep-th/9508042].

16. H. Lu, C. N. Pope p-brane solitons in maximal supergravities.// Nu-cl.Phys. В 1996 - v.465 - p.127-156, arXiv:hep-th/9512012[.

17. H. LU, C. N. Pope, K. W. Xu. Liouville and Toda Solitons in M-theory.// Mod. Phys. Lett. A 1996 - v.ll - p.1785-1796, arXiv:hep-th/9604058].

18. M. J. Duff, H. Lu, C. N. Pope. The Black Branes of M-theory.// Phys. Lett. В 1996 - v. 382 - p.73-80, arXiv:hep-th/9604052].

19. H. Lu, C. N. Pope, E. Sezgin, K. S. Stelle. Dilatonic p-brane solitons.// Phys. Lett. B-1996 v.371 -p. 46-50, arXiv:hep-th/9511203].

20. K. S. Stelle. BPS Branes in Supergravity. Lectures at the ICTP Summer School, 1996-97, arXiv:hep-th/9803116].

21. D. V. Gal'tsov, 0. A. Rijtchkov. Generating Branes via Sigma-Models. // Phys. Rev. D 1998 - v.58 - p.122001-122012, arXiv:hep-th/9801160].

22. V. D. Ivashchuk, V. N. Melnikov. Exact solutions in multidimensional gravity with antisymmetric forms, topical review.// Class. Quant. Grav. -2001 v.18 - p. R87-R152, arXiv:hep-th/0110274].

23. M. J. Duff. Tasi lectures on branes, black holes and anti-de Sitter space, arXiv:hep-th/9912164[.

24. С. M. Chen, D. V. Gal'tsov, M. Gutperle. S-brane solutions in supergravity theories.// Phys. Rev. D 2002 - v. 66 - p.024043-024050, arXiv:hep-th/0204071],

25. B. Zhou and C.-J. Zhu. The complete black brane solutions in d-dimensional coupled gravity system, arXiv:hep-th/9905146].

26. P. Brax, G. Mandal and Y. Oz. Supergravity description of Non-BPS branes.// Phys. Rev. D 2001 - v.63 - p. 064008-064023, arXiv:hep-th/0005242].

27. A. Sen. Non-BPS states and branes in string theory, arXiv:hep-th/9904207.

28. D. GaVtsov, J. Lemos and G. Clement Supergravity p-brane reexamined: extra parameters, uniqueness and topological censorship.// Phys. Rev. D 2004 - v.70 - p.024011-024022, arXiv:hep-th/0403112.

29. G. Clement, D. Gal'tsov and C. Leygnac. Black branes on the linear dilaton background.// Phys. Rev. D 2005 - v.71 - v.084014-084022, arXiv:hep-th/0412321.

30. D. Gal'tsov, S. Klevtsov, D. Orlov and G. Clement. More on general p-brane solutions.// Int. J. Mod. Phys. A 2006 - v.21 - p.3575-3604, arXiv:hep-th /0508070.

31. D. V. Galtsov, S. E. Klevtsov, D. G. Orlov. Cylindrical D-instantons.// Grav. Cosmol. 2005 - v. 11 - p.30-36.

32. J. X. Lu, S. Roy. Static, non-SUSY p-branes in diverse dimensions 2004, arXiv:hep-th /0408242.

33. J. X. Lu, S. Roy. Delocalized, non-SUSY p-branes, tachyon condensation and tachyon matter.// JHEP- 2004 v. 11 - p.008-023.

34. С. M. Chen, D. V. Gal'tsov, N. Ohta.// Phys. Rev. D 2005 - v.72 -p.044029-044036, arXiv:hep-th/0506216.,

35. Y.-G. Miao, N. Ohta Complete Intersecting Non-Extreme p-Branes.// Phys. Lett. В 2004 - v. 594 - p.218-226, arXiv:hep-th/0404082.

36. V. D. Ivashchuk, V. N. Melnikov. Multidimensional classical and quantum cosmology with intersecting p-branes.// J. Math. Phys. 1998 - v.39 -p.2866-2889, arXiv:hep-th/9708157.

37. V. D. Ivashchuk, M. Кептоки, V. N. Melnikov. On quantum analogues of p-brane black hole.// it Grav. Cosmol. 2000 - v.6 - p.225-232.

38. K. A. Bronnikov, V. D. Ivashchuk, V. N. Melnikov. The Reissner-Nordstrom problem for intersecting electric and magnetic p-branes.// Grav. Cosmol. 1997 - v.3 - p.203-212, arXiv:gr-qc/9710054.

39. К. A. Bronnikov. Block-orthogonal brane systems, black holes and worm-holes.// Grav. Cosmol. 1998 - v.4 - p.49-56, arXiv:hep-th/9710207.

40. K. A. Bronnikov. Gravitating brane systems: some general theorems.// J. Math. Phys. 199 - v.40 - p.924-938, arXiv:gr-qc/9806102.

41. E. Witten. Anti-de Sitter space and holography.// Adv. Theor. Math. Phys. 1998 - v.2 - p.253-291, arXiv:hep-th/9802150.

42. S. S. Gubser, I. R. Klebanov, A. M. Polyakov. Gauge theory correlators from non-critical string theory.// Phys. Lett. B- 1998 v.428 - p.105-114, arXiv:hep-th /9802109.

43. Aharony, S. S. Gubser, J. M. Maldacena, H. Ooguri, Y. Oz. Large N field theories, string theory and gravity.// Phys. Rept. 2000 - v.323 -p. 183-386, arXiv:hep-th/9905111.

44. J. Plefka. Spinning strings and integrable spin chains in the AdS/CFT correspondence, arXiv:hep-th/0507136.

45. G. 't Hooft.// Nucl. Phys. В 1974 - v.72 - p.461-481.

46. A. M. Polyakov.// Nucl. Phys. В 1980 - v.164 - p.171-188.

47. N. Itzhaki, J.M. Maldacena, J. Sonnenschein, S. Yankielowicz. Supergrav-ity and The Large N Limit of Theories With Sixteen Supercharges.// Phys. Rev. D 1998 - v. 58 - p.046004-046016.

48. W. Taylor. M(atrix) theory: Matrix quantum mechanics as a fundamental theory.// Rev. Mod. Phys. 2001 - v.73 - p.419-462, arXiv:hep-th/0101126.

49. H.J. Boonstra, K. Skenderis, P.K. Townsend. The domain-wall/QFT correspondence.// JEEP 1999 - v.01 - p.003-020.

50. K. Behrndt, E. Bergshoeff, R. Halbersma, J. P. van der Schaar. On Domain-Wall/QFT Dualities in Various Dimensions.// Class. Quant. Grav. 1999 - v.16 - p.3517-3552.

51. J. Maldacena, A. Strominger. Semiclassical decay of near extremal five-branes.// JEEP- 1997 v.12 - p.008-011.

52. К. С. K. Chan, J. H. Home, R. B. Mann. Charged dilaton black holes with unusual asymptotics.// Nucl. Phys. В 1995 - v.447 - p.441-464, arXiv:gr-qc/9502042].

53. G. Clement, D. GaVtsov, C. Leygnac. Linear dilaton black holes.// it Phys. Rev. D 2003 - v. 67 - p.024012-024027.

54. G. Clement, C. Leygnac. Non-asymptotically flat, non-AdS dilaton black holes.// Phys. Rev. D 2004 -v. 70 - p.084018-084028.

55. C. Leygnac. Non-asymptotically flat black holes/branes, arXiv:hep-th/0409040].

56. T. Eguchi, A. J. Hanson. Selfdual Solutions To Euclidean Gravity.// Annals Phys. 1997 - v.120 - p.82-130.

57. K. Becker, M. Becker, A. Strominger. Fivebranes, membranes and non-perturbative string theory.// Nucl. Phys. В 1995 - v.456 - p.130-152, arXiv:hep-th /9507158].

58. H. Ooguri, C. Vafa. Summing up D instantons.// Phys.Rev.Lett. 1996 -v.77 - p.3296-3298, arXiv:hep-th/9608079].

59. M. B. Green Point-like states for type IIB superstrings.// Phys. Lett. В -1994 v.329 - p.435-443.

60. A. A. Tseytlin. Type IIB instanton as a wave in twelve dimensions.// Phys. Rev. Lett. 1997 - v.78 - p.1864-1867, arXiv:hep-th/9612164].

61. S. В. Giddings, A. Strominger. Axion Induced Topology Change In Quantum Gravity And String Theory.// Nucl. Phys. В 1988 - v.306 -p.890-912.

62. R. C. Myers New Axionic Instantons In Quantum Gravity.// Phys. Rev. D 1988 - v.38 - p.1327-1333.

63. I. R. Klebanov, L. Susskind, T. Banks.// Nucl. Phys. В 1989 - v. 317 -p.665-692.

64. S. B. Giddings, A. Strominger.// Phys. Lett. B- 1989 v.230 - p.46-52.

65. A. Strominger.// Phys. Rev. Lett. 1984 - v. 52 - p. 1733-1738.

66. D. H. Coule, К. I. Maeda.// Class. Quant. Grav. 1990 - v.7 - p.955-964.71. |em J. Y. Kim, H. W. Lee, Y. S. Myung.// Phys. Lett. В 1997 - v. 400- p.32-36, arXiv:hep-th/9612249.

67. M. B. Einhorn, L. A. Pando Zayas.// Nucl. Phys. В 2000 - v.582 -p.216-230, arXiv:hep-th/0003072].

68. M. B. Einhorn. Instantons of type IIB supergravity in ten dimensions.// Phys. Rev. D 2002 - v.66 - p.105026-105035, arXiv:hep-th/0201244].

69. M. Gutperle, W. Sabra.// Nucl. Phys. В v.647 - p.344-356, arXiv:hep-th/0206153].

70. E. Bergshoeff, A. Collinucci, U. Gran, D. Roest, S. Vandoren. Non-extremal D-instantons.// JHEP 2004 - v.0410 - p.031-060, arXiv:hep-th/0406038].

71. J.A. Harvey, G. Moore. Five-brane instantons and R2 couplings in N=4 string theory.// Preprint EFI-96-38, arXiv:hep-th/9610237].

72. M. B. Green, M. Gutperle. Effects of D-instantons.// Nucl. Phys. В 1997- v.498 p. 195-227, arXiv:hep-th/9701093.

73. K. Becker, M. Becker. Instanton action for type II hypermultiplets.// Nucl. Phys. В 1999 - v.551 - p.102-116, arXiv:hep-th/9901126],

74. M. Gutperle, M. Spalinski.// JHEP 2000 - v.0006 - p.037-053, arXiv:hep-th/0005068].

75. M. Gutperle, М. Spalinski// Nucl. Phys. В 2001 - v.598 - p.509-529, arXiv:hep-th/0010192.

76. M. Bertolini, P. Di Vecchia, M. Frau, A. Lerda, R. Marotta, R. Russo.// Nucl. Phys. В 2000 - v.590 - p.471-503, arXiv:hep-th/0007097.

77. M. Frau, A. Liccardo, R. Musto.// The geometry of fractional branes. Nucl. Phys. B- 2001 v.602 - p.39-60, arXiv:hep-th/0012035.

78. G. L. Alberghi, E. Caceres, K. Goldstein, D. A. Lowe. Stacking non-BPS D-branes.// Phys. Lett. В 2001 - v.520 - p.361-366, arXiv:hep-th/0105205.

79. M. Bertolini, T. Harmark, N. A. Obers, A. Westerberg. Non-extremal fractional branes.// Nucl. Phys. В 2002 - v.632 - p.257-282, arXiv:hep-th/0203064.

80. C.-M. Chen, D. V. Gal'tsov, M. Gutperle S-brane solution in supergravity theories.// Phys. Rev. D 2002 - v.66 - p.024043-024050, arXiv:hep-th/0204071.

81. J. X. Lu ADM Masses for Black Strings and p-Branes.// Phys. Lett. В -1993 v.313 - p.29-34, arXiv:hep-th/9304159.

82. R. Argurio. Brane Physics in M-theory, arXiv:hep-th/9807171.

83. J.D. Brown, J. W. York Quasilocal Energy and Conserved Charges Derived from the Gravitational Action.// Phys. Rev. D -1993 v.47 - p.1407-1419.

84. S. W. Hawking and G. T. Horowitz. The Gravitational Hamiltonian, Action, Entropy, and Surface Terms.// Class. Quant. Grav. 1996 - v. 13 - p. 14871498.

85. C.M. Chen, J.M. N ester. Quasilocal quantities for GR and other gravity theories.// Class. Quant. Grav. 1999 - v.16 - p.1279-1304.

86. S.N. Booth. A Quasilocal Hamiltonian for Gravity with Classical and Quantum Applications, arXiv:gr-qc/0008030.

87. E. Witten. Noncommutative Geometry And String Field Theory.// Nucl. Phys. В 1986 - v.268 - p.253-323.

88. D. Gross, A. Jevicki// Nucl. Phys. В 1987 - v.283 - p. 1-53 .

89. A. Le Clair, M. E. Peskin, C. R. Preitschopf.// Nucl. Phys. £- 1989 v. 317 - p.411-463.

90. D.J. Gross, W. Taylor.// JHEP- 2001 v.0108 - p.009-032, arXiv:hep-th/0105059].

91. L. Rastelli, B. Zwieback// JHEP v.0109 - p.038-080, arXiv:hep-th/0006240],

92. A. Kostelecky, R. Potting.// Phys.Rev. D-2001 v.63-p.046007-046015, arXiv:hep-th/0008252],

93. M. Schnabl. Analytic solution for tachyon condensation in open string field theory, arXiv:hep-th/0511286].

94. L. Rastelli, A. Sen, B. Zwiebach. Boundary CFT construction of D-branes in vacuum string field theory.// JHEP v.0111 - p.045-095, arXiv:hep-th/0105168].

95. L. Rastelli, A. Sen, B. Zwiebach, Half strings, projectors, and multiple D-branes in vacuum string field theory.// JHEP-2001 v. 0111 - p.035-069, arXiv:hep-th/0105058].

96. L. Rastelli, A. Sen and B. Zwiebach. Vacuum string field theory, arXiv:hep-th/0106010].

97. I. Ellwood, M. Schnabl. Proof of vanishing cohomology at the tachyon vacuum, arXiv:hep-th/0606142].

98. A. S. Koshelev. Solutions of vacuum superstring field theory, arXiv:hep-th/0212055].

99. G. Moore, W. Taylor.// JHEP 2002 - v.0201 - p.004-031, arXiv:hep-th/0111069].

100. H. Hata, T. Kawano.// JHEP 2001 - v.0111 - p.038-068, arXiv:hep-th/0108150].

101. A. Sen. Rolling tachyon.// JHEP v.0204 - p.048-068, arXiv:hep-th/0203211].

102. V. Kostelecky, S. Samuel// Nucl Phys. B- 1990 v.336 - p.263-293,

103. A. Kostelecky, R. Potting.// Phys.Rev. D 2001 - v.63 - p.046007-046015, arXiv:hep-th/0008252],

104. A. Gerasimov, S. Shatashvili.// JHEP 2000 - v.0010 - p.034-046, arXiv:hep-th /0009103].

105. W. Taylor. D-brane effective field theory from string field theory.// Nucl. Phys. В 2000 - v.585 - p.171-192, arXiv:hep-th/0001201].

106. E. Coletti, I. Sigalov, W. Taylor. Abelian and nonabelian vector field effective actions from string field theory.// JHEP v.0309 - p.050-099, arXiv:hep-th /0306041].

107. N. Berkovits, M. Schnabl. Yang-Mills action from open superstring field theory.// JHEP 2003 - v.0309 - p.022-032, arXiv:hep-th/0307019].

108. I. Y. Aref'eva, A. S. Koshelev, D. M. Belov and P. B. Medvedev. Tachyon condensation in cubic superstring field theory.// Nucl Phys. В 2002 -v. 638 - p.3, arXiv:hep-th/0011117].

109. I. Y. Arefeva, D. M. Belov, A. S. Koshelev and P. B. Medvedev. Gauge invariance and tachyon condensation in cubic superstring field theory.// Nucl. Phys. В 2002 - v.638 - p.21, arXiv:hep-th/0107197].

110. I. Y. Arefeva, D. M. Belov, A. A. Giryavets, A. S. Koshelev and P. B. Medvedev. Noncommutative field theories and (super)string field theories.// Campos do Jordao, Particles and fields 2001 - p.1-163, arXiv:hep-th/0111208].

111. С. Клевцов. D-браны в струнной теории поля.// Вестник Моск. Унта., Сер. Физика и Астрономия 2007.

112. М. Douglas, Н. Liu, G. Moore, В. Zwieback// JHEP 2002 - v.0204 -p.022-052.

113. A. Comes. Noncommutative geometry. Paris, IHES, 1993.

114. E. Witten, arXiv:hep-th/0006071].

115. S. Giddings.// Nucl. Phys. В 1986 - v.278 - p.242-258.

116. I. Ellwood, B. Feng, Y. He, N. Moeller.// JHEP- 2001 v.0107 - p.016-041, arXiv:hep-th/0105024].

117. A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. B. Zamolodchikov. Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory.// Nucl. Phys. В -1984 v.241 - p.333-380.

118. V. Dotsenko.// Adv. Stud, in Pure Math. 1988 - v.16 - p.123-160.

119. P. H. Ginsparg, G. W. Moore. Lectures on 2-D gravity and 2-D string theory, arXiv:hep-th/9304011].

120. P. Goddard Vertex Operators And Algebras, Preprint DAMTP-85/19 -1985. Lectures at ICTP Summer Workshop on High Energy Physics and Cosmology, Trieste, Italy, Jun 11-Jul 19 (1985).

121. I. Frenkel, V. Kac.// Inv. Math. 1980 - v.62 - p.23-66.

122. G. Segal.// Comm. Math. Phys. 1981 - v.80 - p.301-342.

123. V. Dotsenko, V. Fateev.// Nucl. Phys. B- 1984 v.240 - p.312-380.

124. P. Goddard, D. Olive.// Int. J. Mod. Phys. A 1985 - v.l - p.303-576.

125. E. Del Giudice, P. Di Vecchia, S. Fubini. General properties of the dual resonance model.// Annals Phys. 1972 - v.70 - p.378-398.

126. M. Halpern.// Phys. Rev. D 1975 - v.12 - p.1684-1699.

127. A. Gerasimov, A. Marshakov, A. Morozov, M. Olshanetsky, S. Shatashvili.// Int. J. Mod. Phys. A 1990 - v.5 - p.2495-2589.

128. V. G. Drinfeld. Quantum groups.// J. Sov. Math. 1988 - v.41 - p.898-915.

129. M. Jimbo. A q difference analog of U(g) and the Yang-Baxter equation.// Lett. Math. Phys. 1985 - v. 10 - p.63-69.136137138139140141142143144145146147

130. A. Tsuchiya, Y. Kanie.// Lett. Math. Phys. 1987 - v.13 - p.303-312.

131. G. Felder, J. Frohlich, G. Keller.// Commun. Math. Phys. 1989- v.124- p.647-664.

132. G. W. Moore, N. Seiberg.// Commun. Math. Phys. 1989 - v.123 -p. 177-237.

133. G. W. Moore, N. Reshetikhin. A Comment On Quantum Group Symmetry In Conformal Field Theory.// Nucl. Phys. B-1989 v.328 - p.557-572.

134. Alvarez- Gaume, C. Gomez, G. Sierra. Hidden Quantum Symmetries In Rational Conformal Field Theories.// Nucl. Phys. В 1989 - v.319 -p.155-180.

135. N. Reshetikhin, F. Smirnov.// Commun. Math. Phys. 1990 - v.131 -p.157-178.

136. A. Gerasimov. Quantum Group Structure And Algebra Of Screening Operators. Preprint ITEP-91-22.

137. P. Bouwknegt, J. McCarthy, K. Pilch.// Comm. Math. Phys. 1990 -v.131 - p.125-156.

138. P. Bouwknegt, J. McCarthy, K. Pilch.// Prog. Theor. Phys. Suppl. -1990- v.102 p.67-135.

139. S. Klevtsov. On vertex operator construction of quantum affine algebras. Preprint ITEP-TH-38/01 2001, arXiv:hep-th/0110148.

140. G. Felder.// Nucl Phys. В 1989 - v.317 - p.215-230; erratum. Nucl Phys. В - 1989 - v.324 - p.548.

141. B. Feigin, E. Frenkel.// Lectures at CIME Summer School on Integrable Systems and Quantum Groups, Montecatini Terme 1993, Integrable systems and quantum groups 1993 - p.349-418.