Симметрии и точные решения уравнений струнной гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

1 -"МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

КЕЧКИН Олег Вячеславович

СИММЕТРИИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СТРУННОЙ ГРАВИТАЦИИ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Д.В.Гальцов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Ю.П.Рыбаков кандидат физико-к 4 тематических наук К.А.Бронников

Ведущая организация : ЛТФ ОИЯИ, г.Дубна

Защита состоится ". 30» 1995 г. в час. на засе-

дании Диссертационного Совета К 053.05.18 при Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова .( г. Москва,-Ленинские горы, физический факультет, ауд. & ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан " " оюгиьР/^л. 1995г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета К 053.05.18 д.ф.-м.н.

П.А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время теория суперструн является наиболее вероятным кандидатом на роль объединенной квантовой теории фундаментальных взаимодействий, включающей гравитацию. Вместе с тем предсказания струнных моделей касающиеся поведения гравитационного взаимодействия на ультрамикроскопических масштабах пока исследованы недостаточно. Это связано с существующими в настоящее время техническими и концептуальными трудностями непертурбативных вычислений. Исследование однопетлевого эффективного действия имеет поэтому важное значение как для понимания низкоэнергетического предела теории, так и для более глубокого проникновения в ее непертурбативные аспекты. В этом плане особую актуальность приобретает изучение скрытых симметрии гетеротиче-ской струны. Оказывается, что уравнения однопетлевой теории приобретают более широкие группы симметрии при редукции в трехмерное и двумерное пространство-время. Связанный с этим круг математических и физических задач является новым и требует неотложного решения.

Целью диссертационного исследования является отыскание скрытых симметрии усеченного бозонного действия гетеротической струны (четырехмерной дилатон-аксионной гравитации с векторным полем) рассматриваемой на классе пространств, допускающих существование времениподобного векторного поля Киллинга, а также использование этих симметрий для построения новых классических решений.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые построены преобразования симметрии трехмерной сигма-модели, эквивалентной рассматриваемой системе, найдены комплексные потенциалы, обобщающие потенциалы Эрнста теории Эйнштейна-Максвелла, развиты новые методы генерации решений и построен ряд новых классических решений описывающих физически интересные полевые конфигурации

(наиболее общие черные дыры, системы многих центров и др.).

Научная и практическая ценность работы. Найденные преобразования симметрии могут быть использованы для отыскания новых классических решений в замкнутом аналитическом виде. Симметрии трехмерной редукции открывают путь к дальнейшему развитию теории в направлении построения двумерных интегрируемых систем, а также новые перспективы исследования моделей суперструн в некритических размерностях.

Результаты могут быть использованы в НИИЯФ МГУ, ЛТФ ОИЯИ, ФИАН, ИТЭФ, в Казанском и Томском ГУ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Седьмом международном семинаре им. Марселя Грас-смана (Станфорд - 1994), на международной конференции САМ-94 (Канкун-1994), на международной гравитационной конференции СII-14 (Флоренция-1995), на 8 международной Ломоносовской конференции (Москва-1995), а также на семинарах кафедры теоретической физики МГУ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации составляет 115 страниц текста, набранного в издательской системе ЬаТЕХ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируются цели исследования и описывается построение диссертационной работы.

В первой главе рассматривается дилатонная гравитация с произвольной константой связи а. Эта теория описывает взаимодействующие гравитационное, электромагнитное максвелловское и дилатонное поля ( систему ЭМД ). В том случае, когда а = \/3, дилатонная гра-

витация совпадает с теорией Калуцы-Клейна, пятимерная метрика которой параметризована динамическими переменными данной системы. При а — 0 получается теория Бранса - Дикке - Максвелла. Наконец, если а — 1, система ЭМД оказывается связанной с теорией гетероти-ческой струны, в которой гравитационное и дилатонное поля являются фоновыми , а поле Максвелла возникает в результате размерной редукции.

В первом параграфе первой главы введены необходимые определения. Во втором показано, что в стационарном случае уравнения дила-тонной гравитации описывают нелинейную а - модель с пятимерным пространством потенциалов. Его сигнатура оказывается равной (+ +

-|---) и не зависит от величины а. В третьем параграфе построено

общее решение уравнений Киллинга для метрики пространства потенциалов в случае а ф 0, ч/З. Четвертый параграф посвящен изучению найденной в третьем алгебры группы изометрий, которая оказывается пятимерной и является максимальной разрешимой подалгеброй алгебры 81(3, К), строится ее трехмерное матричное представление и выписываются соответствующие преобразования физических потенциалов в конечной форме. Эти преобразования включают в себя операции изменения масштаба, дилатонного сдвига, а также электрическое, магнитное и гравитационное калибровочные преобразования.

В следующем параграфе показано, что в случае теории Калуцы-Клейна к ранее найденным генераторам общее решение уравнений Киллинга добавляет три новых существенно нетривиальных вектора, дополняющих максимально разрешимую подалгебру до полной алгебры 5/(3, Д). В этом случае пространство потенциалов оказывается симметрическим; для него построена метрика Киллинга-Картана, решены уравнения Маурера-Картана а уравнения движения записаны в форме условия чистой калибровки для соответствующего " тензора поля ". После этого отождествлением векторов Киллинга, записанных в терминах групповых и исходных физических переменных, определена связь между этими переменными и получена матрица представления нулевой кривизны. Она связана с найденной ранее Мэйсоном посредством простого преобразования изометрии. Наконец, в шестом параграфе кратко приводятся известные результаты для теории Бранса-Дикке- Максвелла, т.е. для случая а = 0.

В седьмом параграфе первой главы построен аналог известного в те-

ории Эйнштейна-Максвелла преобразования Боннора. Это преобразование является дискретным и отображает одно подпространство пространства потенциалов на другое, причем первое подпространство описывает дилатонную стационарную конфигурацию без поля Максвелла, а второе соответствует статической дилатонной системе с отличным от нуля 'электрическим или магнитным потенциалом. Преобразование является комплексным и требует для свзего применения аналитического продолжения.

Построенное преобразование изменяет метрику трехмерного пространства всегда, за исключением случая теории Калуцы-Клейна и существенно отличается от непрерывного преобразований изометрии. Оно не сохраняет асимптотик физических потенциалов задачи и оказываются полезными найденные ранее непрерывные преобразования, позволяющие должным образом откалибровать полученные решения.

В качестве примера действия разработанной техники генерации рассмотрено преобразование решения Керра с мнимым параметром вращения, из которого получено решение, описывающее поле массивного электрического ( магнитного ) диполя, несущего дилатонный заряд. При этом формула связи между массой и дилатонным зарядом в точности совпадает с полученной ранее для экстремальных дилатонных черных дыр.

Хотя дилатонная гравитация при а — 1 и не приводит в стационарном случае к симметрическому пространству, она обладает рядом замечательных свойствам. Так, именно для нее наиболее просто интегрируются уравнения Киллинга а преобразование Боннора избавляется от радикалов. Все это наводит на мысль о том, что должно существовать некоторое обобщение теории ЭМД с а — 1, сохраняющее в стационарном случае ее ст-модельную структуру и делающее пространство потенциалов симметричным. Вспоминая о Происхождение рассматриваемой модели как низкоэнергетической струнной делает естественным включение в рассмотрение антисимметричного тензорного поля Калб-Рамона, которое также рассматривается в теории гетеротиче-ской струны как поле фона[ 1 ].

Вторая глава посвящена изучению стационарных уравнений дилатон-аксионной гравитации, которая является теорией, описываю-

щей взаимодействующие гравитационное, максвелловское, калб - ра-моновское и дилатонное поля [ система ЭМДА ] . В первом параграфе сделаны необходимые определения и показано, как антисимметричный тензор Калб-Рамона заменяется на псевдоскалярное поле-аксион. Во втором параграфе по отработанной в более простом ди-латонном случае методике построено пространство потенциалов. Оно оказалось шестимерным псевдоримановым пространством с сигнатурой (+ + -Ы---). Обращение в нуль ковариантных производных связанного с ним тензора Римана устанавливает его симметрический характер и решает тем самым сформулированную ранее проблему.

В третьем параграфе второй главы построено общее решение уравнений Киллинга, записанных для метрики пространства потенциалов задачи. Линейное пространство векторов Киллинга оказалось десятимерным. В четвертом параграфе вычислены соответствующие коммутаторы и выяснен смысл найденных генераторов преобразований изо-метрии. В частности оказалось, что рассматриваемая стационарная система допускает хорошо известные в статическом случае дуальные вращения, а также имевшиеся в теории ЭМД одно масштабное и три калибровочных преобразования.

Замечательным свойством уравнений стационарной дилатон - ак-сионной гравитации оказывается наличие подгруппы преобразований Элерса и Харриссона, которое являлось отличительным свойством стационарных систем Калуцы - Клейна и Бранса - Дикке- Максвелла.

В пятом параграфе интегрированием связанных с векторами Киллинга систем обыкновенных дифференциальных уравнений получены в конечной форме восемь из десяти преобразований изометрии.В шестом параграфе показано, что этих восьми трансформаций достаточно для построения нетривиальной процедуры генерации. Процедура связана использованием заряжающего вакуумные решения электрического преобразования Харриссона, преобразований из подгруппы дуальных вращений а также масштабного и калибровочных преобразований. Разработанная методика позволяет перевести решение Шварцшильда в полевую конфигурацию, найденную ранее Гиббонсом а также Горо-витцем и Стремингером.

Использование метода генерации в приложении к решению Керра привело к построению решению уравнений струнной гравитации, описывающему вращающийся массивный дион. Это решение обладает не-

нулевыми значениями электрического и магнитного зарядов, а также нетривиальными дилатон - аксионными характеристиками [ 2, 3 ]. В заключение отметим, что в нашей работе [ 4 ] было построено точное решение, описывающее в рамках модели ЭМДА черную дыру наиболее общего вида.

Третья глава посвящена различным матричным'формулировкам стационарной дилатон - аксионной теории, а также основанным на них методам генерации точных решений.

В первом параграфе получено соответствие между векторами Кил-линга построенного ранее пространства потенциалов и генераторами группы 5р(4, Я). Установлены общий вид и свойства матрицы представления нулевой кривизны, которая оказалась четырехмерной симметричной и симплектической матрицей. Во втором параграфе третьей главы показано, что эта матрица однозначно связана с симметричной комплексной двумерной матрицей, которая была названа " матричным дилатон-аксионом".

Оказалось, что вся теория компактно переформулируется в терминах этой новой матричной переменной, в частности легко отыскиваются преобразования симметрии и векторы Киллинга, записанные на комплексном языке. В третьем параграфе посредством отождествления двух наборов векторов Киллинга находится связь между комплексными и исходными вещественными физическими переменными. Там же вводится набор из трех струнных потенциалов Эрнста, получившие свое название за сходство двух из них с соответствующими объектами из теории Эйнштейна-Максвелла.

В четвертом параграфе третьей главы при помощи преобразований симметрии матричный дилатон-аксион приводится к простейшему виду, что позволяет немедленно получить преобразования изометрии на языке струнных потенциалов Эрнста, установить интересные связи между различными непрерывными преобразованиями и выбрать на основе этого своеобразный простейший базис для них.

В следующем, пятом параграфе построены комплексные матричные методы генерации, сформулирована процедура получения новых точных решений, использующая семипараметрическую подгруппу полной группы изометрий. Использование разработанной методики позволилс получить струнный аналог известного в теории Эйнштейна - Макс-

велла решения, описывающего двойной источник Керра - Ньюмена.

Наконец, в шестом параграфе третьей главы при помощи матричного дилатон-аксиона простейшего вида построена матрица представления нулевой кривизны. Для десяти преобразований изометрии приведена также компактная вещественная 4 х 4-матричная форма записи [5,6].

Заключительная четвертая глава посвящена изучению процедуры дуализации в дилатон - аксионной теории. Эта дифференциальная операция переводит переменные пространства в функции, характерные для первоначального струнного описания. Исследуется возможность генерации решений уравнений струнной гравитации в терминах компонент полей струнного фона и развивается формализм, полезный для отыскания точных квантовых струнных полевых конфигураций.

Структура главы такова. В первом параграфе для стационарной системы ЭМДА при помощи естественным образом введенной процедуры дуализации построен отличный от сг-модельного лагранжев формализм, связанный с переменными струнного фона. Во втором параграфе показано, что из трех типов преобразований изометрии один эквивалентным образом переносится на струнные переменные, второй может быть сформулирован лишь на поверхности решений уравнений движения а третий исчезает, однако вместо него появляется иная, локальная операция симметрии.

Третий параграф посвящен разработке техники генерации, рассчитанной на получение асимптотически плоских решений. Наконец, в четвертом параграфе построенный формализм применяется для получения семейств решений, описывающих системы из N уединенных источников кулоновского типа, взаимодействующих друг с другом и находящихся в состоянии безразличного равновесия.

Сходная конфигурация хорошо известна в теории Эйнштейна- Максвелла и называется решением Мажумдара и Папапетру. Первое из двух построенных семейств решений содержит в качестве простейшего своего представителя прямой его аналог, обладающий тривиальными вращательными, магнитными и калб-рамоновскими характеристиками. Другие решения из этого семейства получаются из простейшего при помощи построенных преобразований и существенно отличаются от

решения Мажумдара и Папапетру.

Оказалось, что струнная гравитация обладает еще одним семейством мультицентровых решений, простейший представитель которого описывает набор безмассовых, несущих калб-рамоновские, магнитные и НУТ заряды объектов [ 5 ]. Применение полученных трансформаций привело к появлению новых физических параметров, в частности масс, для рассматриваемых центров.

Оказывается, что с точки зрения простейших представителей указанных двух семейств вещественные струнные переменные разбиваются на два класса, причем к первому принадлежат скалярные по отношению к трехмерной метрике переменные, а ко второму-векторные. Но именно это деление переменных на классы и соответствует процедуре дуализации, которая не затрагивает исходных скалярных переменных, а каждой векторной ставит в соответствие некоторую новую скалярную, что приводит в конце концов к появлению пространства потенциалов.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Показано, что система уравнений Эйнштейна-Максвелла с дила-тоном и произвольной константой связи дилатона с векторным полем, рассматриваемая на классе метрик, допускающих времени-подобный вектор Киллинга, эквивалентна нелинейной ст-модеди, причем соответствующее пространство потенциалов оказывается симметрическим только для двух выделенных значений константы связи, отвечающих теориям Калуцы-Клейна и Бранса-Дикке-Максвелла. Для первого из этих случаев реализован новый конструктивный метод получения представления нулевой кривизны.

2. Для дилатонной гравитации с произвольной константой связи найдено новое дискретное преобразование симметрии, обобщающее известное в теории Эйнштейна - Максвелла преобразование-Бон-нора. С помощью найденного преобразования построено решение,

описывающее уединенный массивный электрический (магнитный) диполь, обладающий также дилатонным зарядом.

3. Показано, что дилатон-аксионная гравитация с векторным полем на классе стационарных метрик описывается нелинейной сигма-моделью, обладающей симметрическим пространством потенциалов. Построены в явном виде векторные поля Киллинга, описывающие изометрии этого пространства.

4. Интегрированием инфинитезимальных преобразований построены конечные преобразования изометрии. На их основе разработан метод генерации, позволивший из затравочного решения Керра получить решение, описывающее вращающийся массивный струнный дион, обладающий нетривиальными дилатонным и ак-сионным полями.

5. Предложены комплексные потенциалы, обобщающие потенциалы Эрнста теории Эйнштейна-Максвелла, с помощью которых дана Кэлерова формулировка сигма-модели и построено представление нулевой кривизны.

6. Развит метод генерации решений на языке комплексных потенциалов, с помощью которого получено решение уравнений струнной гравитации, являющееся аналогом двойного решения Керра-Ньюмена.

7. Исследована процедура дуализации, связывающая компоненты фоновых полей с переменными пространства потенциалов. Разработан метод генерации, оперирующий недуализированными переменными и построены два семейства решений, описывающих находящиеся в состоянии безразличного равновесия системы заряженных центров.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Gal'tsov D.V., Garcia A.A., Kechkin O.V. Symmetries of the Stationary Einstein-Maxwell-Dilaton Theory // Class, and Quant. Grav.-1995-10

2. Garcia A., Galtsov D., Kechkin O. Class of Stationary Axisymmetric Solutions of the Einstein-Maxwell- Dilaton-Axion Field Equations // Phys. Rev. Lett.- 1995- v. 74, 8, p. 1276-1278.

3. Gal'tsov D.V., Garcia A.A., Kechkin O.V. Symmetries of the Stationary Einstein-MaxweU-Dilaton-Axion Theory// J. Math. Phys -1995-v. 36, 9, p. 1 - 19.

4. Gal'tsov D.V., Kechkin O.Y. Ehlers-Harrison-type transformations in dilaton-axion gravity// Phys. Rev.- 1994- v. D50, 12, p. 7394-7399,

5. Gal'tsov D.V., Kechkin O.V. U-Duality and Symplectic Formulation of Dilaton-Axion Gravity// preprint IC/95/155, 19 p.

6. Gal'tsov D.V., Kechkin O.V. Matrix Dilaton-Axion for Heterotic String in Three Dimensions// Phys. Lett.-1995-i'lO