Кручение Римана—Картана в моделях теории поля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Российская Академия Наук Ордеиа Ленина и ордена Октябрьской революции Математический институт имени В. А. Стеклова

РГБ ОА

На правах рукописи УДК 530.12+531.51

Катанаев Михаил Орионович

Кручение Римана—Картана в моделях теории поля

(01.01.03 - математическая физика)

Автореферат

диссертации на еонскпннс ученой степени доктора фпзико-штсматцчссшх наук

Москва - 1994

Работа выполнена в Отделе математической физики ордена Ленина и ордена Октябрьской революции Математического института мм. В, А. Стек лова РАН.

Официальные оппоненты: Доктор физ.-мат. наук, профессор Б. М. Барбашов

Доктор физ.-мат. наук Ю. М. Зиновьев Доктор физ.-мат. наук, профессор И. В. Тю гин Ьедушая организация: Институт ядершдх нсс.'кчюьлинй РАН

УУ С<6> 1994 года в -

часов

на заседании специализированного совета Л 002.38.01

при Математическом институте им. В. А. Стеклсва РАН по адресу:

г. Москва 117966, ул. Вавилова, д. 42, ауд. 401.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИРАН.

Автореферат разослан

1994 года.

Ученый секретарь специализированного совета Доктор физ.-мат. наук, профессор

А. К. Гущин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В современной релятивистской теории поля фундаментальную роль играют геометрические понятия. В частности, калибровочному полю Янга-Миллса соответствует геометрическое понятие связности на главном расслоении. Для описания гравитационных эффектов в теорию вводится метрика пространственно-временного многообразия и метрическая связность, которая определена с точностью до тензора кручения. Понятие кручения было введено в геометрию Э. Картавом более семидесяти лет назад (геометрия Римана-Картана) и в последние годы привлекает большое впимание возможная роль этого понятия в теории поля в связи с интересом к теории струн, теориям типа Калуцы-Клеина и попытками построения квантовой теории гравитации.

Было также показано, чту> геометрия Римана-Картана является адекватным

»

языком для описания твердых тел с дефектами: дислокациями и дискликация-ми.

Кручение использовалось в 20-е годы А. Эйнштейном в серии работ, где он пытался на основе пространства-времени с абсолютным Параллелизмом объединить гравитационные и электромагнитные взаимодействия, и в 50-е годы Г. Вейлем при описании спиноркых полей. В 50-е годы К. Кондо впервые использовал кручение для описания дислокаций в упругих средах. Интерес к кручению и теориям, содержащим квадраты тензора кривизны в лагранжиане, стал особенно актуальным, начиная с 80-х годов, росле доказательства перенормируемости (К. Стелл, Б. JI. Воронов, И. В. Тюп.н) и асимптотической свободы (Е. С. Фцадкии, А. А. Цейтлин) Я2-гра»итации с высшими производными. О:о связано с тем. что а формализме первого порядка, использующем

картаиовсхие переменные, тетраду и лоренцеву связность, уравнения движения Д3-гравитации сводятся к уравнениям второго порядка, а рассмотрение лорен-цевой связности в качестве независимой динамической переменной эквивалентно введению кручения. В это же время кручение с различных точек зрения вводилось в теориях супергравитации и теориях типа Калуцы-Клейна.

В последние годы интенсивно развиваются двумерные модели гравитации, как в контексте теории струн, так н самостоятельно, как пробные модели для квантовой теории гравитации в четырех измерениях. Здесь существенным моментом является то обстоятельство, что действие Гильберта-Эйнштейна в двумерном пространстве дает эйлерову характеристику многообразия и не дает

■ I

уравнений Эйлера-Лагранжа. В связи с этим в последнее время рассматривается несколько моделей двумерной гравитации. Простейшим геометрическим обобщением действия Гильберта-Эйнштейна является двумерная гравитация с кручением, которая была предложена И. В. Воловичем и автором в 1986 году в контексте теории струн. Позже эта модель развивалась в работах В. Куммера, Ф. Хиля и других авторов.

Интерес к кручению в трехмерном пространстве в настоящее время вызван необходимостью построения континуальной теории дислокации в упругих средах (Е. К репер, А. Кадич, Д. Эделен и др.) и калибровочной теории дисклнна-ций в спиновых стеклах (И. Б. Дзялошинский, Г. Е. Воловик и др.). Большой интерес вызывают также модели трехмерной гравитации (С. Дезср, Р. Джэкив, т'Хуфт), связанные с действием Чсрна-Саймоиса для трехмерной группы Пуанкаре (Э. Виттен).

В снят с изложенным возникла необходимость исследовать роль кручения

в моделях теории поля в пространствах различной размерности.

Цель работы. Исследование математических аспектов и физических приложений моделей гравитации с кручением в пространствах разной размерности.

Методика исследований. Используется дифференциальная геометрия и теория связноетей на главном расслоении. Обобщенный гамильтоиов анализ уравнений движения систем со связями и канонические преобразования.

Научная новизна.

1. Найдено общее решение уравнений Эйлера-Лагранжа двумерной гравитации с кручением. Доказано, что пространство решений распадается на два сектора. Первый сектор описывает поверхности с посгоянпой кривизной и нулевым кручением. Второй сектор описывает поверхности с непостоянной кривизной и нетривиальным кручением.

2. С точностью до действия дискретных групп преобразований проведена полная классификация глобальных (максимально продолженных по экстремалям и геодезическим) решений двумерной гравитации с кручением для всех возможных констант связи в лагаранжиане. Доказано, что существует тринадцать типов универсальных накрывающих пространств. Два из них являются полными. Это двумерное пространство-врсмя Минковского и универсальная накрынаюшмя однополостного гиперболоида, характеризуемого постоянной кривизной и нулевым кручением. Остальные одиннадцать типов глобальных решений неполные и имеют сингулярности кривизны и кручения па границе.

Л. Лака каноническая формулировка двумерной-гравитации с кручением. Доказано. 'по алгебра гвях-й прелггавлясг собой полупрямую сумму алгебры Нирлеоро и одним'-рнин аО.к'нои .;люоры, С001 ветствующей лоренаему враще-

4. В рамках геометрии Римапа-Картапа построена геометрическая теория дислокаций и дисклннаций. Предложен новый лагранжиан дяя статического распределения дефектов в упругих средах, который воспроизводит результаты, полеченные в'рамках теории упругости, и позволяет описывать непрерывное распределение дислокаций п дисклинашш.

5. Показано, что обобщение теорий Кодуцы-Клейна с учетом кручения позволяет получить после редукции к четырехмерному пространству-времени не только калибровочные поля, минимально взаимодействующие с гравитацией, но и скалярные поля с лагранжианом типа Янга-Миллса-Хиггса.

Теоретическая и практическая ценность. Впервые построена нетривиальна? модель гравитации, дяя которой с точностью до действия дискретных групп преобразований явно найдены все глобальные решения уравнений Эййера-Лагранжа. Это модель двумерной гравитации с кручением. Среди построенных решений есть решения, представляющие большой физический интерес: глобальные решения, описывающие белую и черную дыру в полной аналогии с расширением Крускала решения Шварцшнльда, л также классические решения уравнений движения, описывающие изменение топологии пространства во времени. Эта модель открывает новое перспективное направление в развитии теории струн с динамической геометрией и является нетривиальной интегрируемой пробной моделью для развития методов квантовой теории гравитации.

Построение геометрической теории дислокаций и дисклинаций в упругих средах даст основу для дальнейшего развития теории дефектов. И частности,

для построении динамической теории дислокаций и дискливаций. Этот подход весьма важен в прикладной механике твердых тел, так как позволяет с единой точки зрения описывать как отдельные дефекты, так и непрерывное распределение дефектов, что не было возможно на основе традиционных подходов. Есть основания надеяться, что геометрия Римана-Картана станет основным языком при описании такиг явлений, как прочность твердых тел, плавление в др. С другой стороны, наглядйость физики твердого тела позволяет по-новому взглянуть на дифференциальную геометрию и теорию гравитации.

Обобщение теорий типа Калуцы-Клейпа с учетом кручения открывает новые широкие возможности для построения единых моделей теории поля с реалистическими лагранжианами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно до- • кладывались на научных семинарах МИРАИ им. В. А. Сгенлова, ФИАН им. П. Н. Лебедева, ОИЯИ (Дубна), МГУ, ИЯИ РАН, на сессиях Отделения ядерной физики АН СССР, на всесоюзной школе молодых ученых "Комплексные Методы в математической физике" (Донецк, 1984 г.), на всесоюзном семинаре "Кварки-86" (Тбилиси, 1986 г.), па международном семинаре "Квантовая теория гравитации" (Москва, 1987 г., 1990 г.), на школе-семинаре "Актуальные вопросы комплексного анализа" (Ташкент, 1989 Г.), на научной конференции ОЯФ АН СССР "Частицы и ядра при высоких энергиях" (Москва, 1989 г.), на всесоюзной школе "Актуальные проблемы квантовой теории поля" (Томск, 1990 г.), на международном семинаре "Взаимосвязи между физикой и математикой* (Вена, 1992 г.), на международной конференции "Суперсимыетрия и супсргра-витация" (Дуона, ¡',)ГК) г.) на научных'Семинарах Международного центра те-

оретической физики (Триест, 1994 г.) и Венского технического университета (Вена, 1994 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-20]. Из совместных публикаций в список основных результатов включены только результаты, принадлежащие автору. •

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы. Объем диссертации - 211 е., библиография - 190 наименований.

Содержание работы

Во введении диссертации дается обзор литературы, излагаются полученные результаты и содержание диссертации.

В первой главе диссертации кратко излагаются основные сведения из геометрии Римана-Картана с учетом размерности пространства и обсуждается математическая постановка задачи.

Вторая глава занимает центральное место в диссертации. По-существу, в этой главе рассматриваются две модели: двумерная гравитация с кручением и струна с динамической геометрией, которая возникает после добавления лагранжиана двумерной гравитации с кручением к лагранжиану обычной бозонной струны. Сначала доказана полная интегрируемость уравнений движения двумерной гравитации с кручением в конформной калибровке. Затем для общего решения найдены и проанализированы все акстремали и геодезические. После этого с помощью диаграмм Пенроуза построены все глобальные (максимально продолженные'по экстремалям и геодезическим) решения с тривиальной фундаментальной группой. Здесь под максимально продолженным решением

С

понимается тропка (1>,е,и), где /) 6 Л1 - односвяэная область в Я' с кусочно гладкой границей и заданными на ней диадой и лоренцевой связностью. При этом требуется, чтобы любую экстремаль или геодезическую можно было продолжить в О в обе стороны либо до бесконечного значения канонического параметра, либо при конечном значении канонического параметра экстремаль или геодезическая попадают в сингулярную точку, где скалярная кривизна и тензор кручения обращаются в бесконечность. В конце главы рассматривается более общая модель - струна с динамической геометрией, которую можно также интерпретировать как двумерную гравитацию с кручением, минимальным образом взаимодействующую с О безмассовыми скалярными полями. Для этой модели построен канонический формализм н проведено каноническое квантование.

Обозначим через (1 = 0,1,..,,/? — 1, координаты струны, распро-

*

страняющейся в Л-мерном плоском пространстве-времени Минковского, на котором задана метрика г;,,» = Лп<7(+ —... —). Здесь (", о = 0,1,обозначают координаты на мировой поверхности струны. Будем считать, что мировая поверхность струни представляет собой линейно связное двумерное многообразие М с кусочно гладком границей. Будем считать, что на мировой поверхности струпы задана геометрия Ри.мана-Картана, то есть задана метрика — 3/ь(С) и

тензор кручоиня Т.^^) ~ -Гда"»(С).

Действие для струны с динамической геометрией представляет собой сумму дейстния для обмчной бозонной струны и действия для двумерной гравитации с крученном [7, 8)

/= I сГСс(/.х + 1<;), е = сНеЛ /1)

Лагранжиан модели равен сумме лагранжиана стандартной боэонной струны

Lx =(2)

и лагранжиана двумерной гравитации с кручением

La = ^Я^'Л + - А, (3)

где Rcß°b и Тар* - тензора кривизны и кручения на мировой поверхности струны. Выше р обозначает линейную плотность массы струны, 7 и к являются константами связи, а Л - космологическая постоянная. Подъем и опускание греческих индексов осуществляется с помощью метрики g„p, а то время как латинские индексы поднимаются и опускаются с помощью двумерной метрики Минков-скогою ss diag(4—). Переход от греческих индексов к латинским и наоборот осуществляется с помощью диады еа*(0» Saß = Независимыми пе-

ременными в действии (1) являются координаты струны, диада и лоренцева связность. Тогда тензора кривизны и кручения имеют вид

Roß" = - Uc^UJß* - ( с ~ /? ), (4)

Т./ я д^ß). (5)

В двумерном пространстве-времени справедлива параметризация лоренце-вой связности С помощью псевдовек торного поля

. (6)

где = -eu, <01 = Ii - антисимметричный тензор второю ранга. Тогда тензор дивизии представляется в виде '

= Fo0i'\ Fnß = äji„- 0„Вп. (7)

8

Отсутствие кьадратячных слагаемых в тензоре кривизны связано с тем, что в двумерном случае группа Лоренца является вбелевой.

Тензор кривизны в двумерном случае взаимно однозначно представляется скалярной кривизной

Д.Ы = — ^'«ь'сА # = Лоь"6, (8)

а тензор кручения - своим следом

Т„Ьс = ~ ЧЬсТш, . = Ти'- (9)

Отсюда следует, что Ьо является наиболее общим квадратичным по кривизне и кручению инвариантным лагранжианом, приводящим к уравнениям движения второго порядка для диады и лоренцевой связности.

Уравнения Эйлера-Лагранжа двумерной гравитации с кручением имеют вид *

7 УоЯ-кГ. = 0, '(10)

-«ЯсЪ+д^^кТ^Т1*1-тДЧл) » 0. '(11)

Теорема 1 Любое дважды непрерывно дифференцируемое решение уравнений Эйлера-Лагранжа (10), (11) для двумерной гравитации с кручением, принадлежит одному из двух секторов. Первый сектор описывает поверхности с нулевым кручением и постоянной скалярной кри&изкой

Л' = -и/7-' = (12)

Второй сектор описывает поверхности с нетривиальным кручением и непостоянной (калирчой кривизной, которые удовлетворяют алгебраическому ураон< ник>

'йГ- + + 22Л + 2 4- л = ле*я, (13)

к к* к

где А - произвольней константа. Первый сектор существует только при

а/7<о. ;

Существование решений доказывается путем явного интегрирования урав-; ■ \ . нений движения в конформной калибровке

(14)

где у>(£) - некоторое"скал1рноев поле. Уравнения Эйлера-Л&граяжа в конформ-дой к&либроахе принимают особенно простой вид в изотропных координатах:

{в<т-г, ч = «г+г, • (15)

где введены безразмерные координаты:

Для простоты производные по соответствующим координатам обозначены с помбщью индексов. Например, е ду/д(.

Предложение 1 В изотропных координатах (15) ураачениг'Эйлера-Лагранжа двумерной гранипации с кручением в конформной калибровке имеют следующий вид

-4Л,+(/ЧЛ)е^ = О, (17)

+ = 0, (18) /,ч + - 2у„Д = 0, (19) (

/« + /< ~ : = 0. (20)

При зтом лорениева сочность имеет вид

ю

Общее решение двумерной гравитации с кручением в конформной калибровке даете* двум! теоремами, которые соответствуют двум секторам теоремы 1. В теоремах производные от функций одного аргумента обозначены штрихами.

Теорема 2 Пусть /,у>€ С2(0) и/, =0 или /( =0 в произвольной двумерной линейно связной облает« й. Тогда уравнение ¿вилсени* ("17)-(Ё0) имеют, решение тогда и только тогда, когда Л < 0. При зтом общее решение имеет следующий вид

/ = (22) 4РС

{aFG+ЪF + cG + d¥, где произвольные константы а, Ь, с и Л удовлетворяют условию

(23)

* = (24)

»

Здесь Р = 6 С5(О0 « <3 = <?(»;) 6 Сг(0%) являются произвольными функциями одного аргумента, определенными на интервалах 0% и Оз, Д С (?»Х Оа, и удовлетворяющими неравенству > 0. Яри этом в формулах

(22), (24) необходимо одновременно выбрать либо верхний, либо киаский зиак.

Теорема 3 Пусть / 6 С3(В), <р е С2(/?), и /, ф 0 или /( ^ 0 в произвольной двумерной линейно связной области Б. Тогда уравнения движения (П)-(20) имеют решение при любых Л. При этом общее решение имеет следующий вид

/=0(Г±С), ' (25)

= \в'\Р'Се*, (26)

где в является функцией от одного аргумента и определяется обыкновенным дифференциальным уравнением первого рорядка

4|Й'| = ±[(03-2в + 2 + Л)е< + А], А = const, (27)

где А - произвольная константа. Здесь F = F(() £ C*(Oi) и G = G(rj) £ C4(Oj) являются произвольными функциями одного аргул нгпа, определенными на интервалах Oi и 02, D С Oi X О3, и удовлетворяющими неравенству F'({)G'(rj) > 0. При этом в формулах (S5), (21) необходимо одновременно выбрать либо верхний, либо нижний знак.

Найденное общее решение уравнений Эйлера-Лаграяжа выражается через функцию 9. Приведем явное выражение скалярной кривизны и квадрата тензора кручения через функцию

Я = --б, ТаьсТйЬсш±\~\е'\е-'. (28)

1 1

Отсюда сразу следует, что теорема 2 описывает поверхности постоянной кривизны и нулевого кручения из первого сектора теоремы 1, Чтобы проверить, что теорема 3 дает явные решения уравнений движения из второго сектора, достаточно подставить выражения для скалярной кривизны и квадрата тензора кручения (28) в инвариантное соотношение (13). В результате получится дифференциальное уравнение (27).

Таким образом, построены явно все локальные решения двумерной гравитации с кручением, которые выражаются через две произвольные функции F и G. Однако конформная калибровка не фиксирует полностью инвариантность исходной теории относительно общих преобразований координат-. Ок.пывпет-<и, что остаточной инвариантности - конформной симметрии - догииочно,

чтобы полностью устранить произвол в выборе функций Р и <3. Явпый вид

Теорема 4 Уравнения Эйлера-Лагранжа двумерной гравитации с кручением

В этой теореме штрихи обозначают новую систему координат. Конформная симметрия, позволяет исключить произвольные функции и С?(г/), входящие в оба сектора общего решения, которые даются теоремами 2 и 3. Действительно, поскольку • <10¡¿т] > 0, то всегда можно выбрать систему координат, в которой = ( п С (г/) = г;. В этой системе координат решения, описывающие многообразия из второго сектора с нетривиальным кручением, являются либо стационарными (верхний знак в решении (25) соответствует функции, зависящей только от пространственной координаты в = 0(2а)), либо однородными (нижний знак в решении (25) соответствует функции, зависящей только от временной координаты 9 = 6{2т)). Решения из первого сектора, описывающие, согласно теореме 2, многообразия постоянной кривизны и нулевого кручения, также можно выбрать зависящими либо от пространственной координаты, либо от временной. Можно показать,. что в случае положительной постоянной кривизны существует дробно-линейное преобразование координат £ и г/, после которого метрика сгановитс однородной. В случае отрицательной кривизны соответствующее дробно-линейное преобразование приводит к стационарной метрике. При этом константы а,Ь,с,(1, входящие в обшее решение ураикм ля

конформных преобразований дает

в виде (П)-(20) ковариантппы относительно следующих конформных преобра-

зований

(29)

Лиувилля, однозначно фиксируются. Поскольку дробно-линейное преобразование является подгруппой конформных преобразований, то тем самым мы доказали, что единственный произвол, который остается в общем решении после фиксации конформной симметрии - это константа А, соответствующая решениям из второго сектора. При этом решения-являются либо стационарными, либо однородными. Все остальные локальные решения двумерной гравитации с кручением получаются из этих решений, с помощью соответствующего преобразования коордш. _1Т и локального лоренцева поворота.

Решения двумерной гравитации с кручением при ненулевом кручении определяются уравнением (27). Как показано во второй главе аналитически и проверено с помощью численных расчетов, это уравнение в зависимости от значения констант Л и Л имеет от одной до четырех ветвей решения. Верхняя ветвь определена я& полупрямой и дает стационарное решение двумерной гравитации в полуплоскости а > О или а < 0. Остальные ветви, если существуют, то определяют либо стационарное, либо однородное решение во всей плоскости координат т, ст.

Таким образом, после фиксирования конформной симметрии, все геометрические характеристики поверхностей с нетривиальным кручением - метрика, кручение и кривизна - однозначно восстанавливаются по одной скалярной функции 0, которая пропорциональна скалярной кривизне, полностью определяющей геометрию пространства-времени двумерной гравитации с кручением при нс-тршшалмюм кручении.

Найденное общее решение уравнений движения двумерной гравитации с крученном является юлько локальным, поскольку и экстремали, и геодезические

линии уходят на "бесконечность" при конечном значении канонического параметра. Для получения глобальных решений эти решения необходимо продолжить. Для этого необходимо найти все экстремали я геодезические, соответствующие общему решению, и проанализировать их поведение.

Эта задача также решена во второй главе диссертации. Известно, что одно-полстный гиперболоид,

который вложен в плоское трехмерное пространство-время Минковского с метрикой <1з2 = Л2 — (1х* — ¿у1 является полным многообразием постоянной кривизны. С помощью диаграмм Пенроуза показано, что универсальная накрывающая однополостного гиперболоида является единственной с точностью до диффеоморфизма поверхностью постоянной кривизны с тривиальной фундаментальной группой. Таким образом, полными поверхностями для решений двумерной гравитации с кручением из первого сектора являются поверхности двух типов. При ненулевой космологической постоянной - это универсальная накрывающая однополостного гиперболоида. При нулевой космологической постоянной - это двумерное пространство-время Минковского. Остальные полные поверхности постоянной кривизны получаются из этих двух при действии дискретной группы преобразований.

Аналогичное исследование проведено для всех решений из второго сектора. П конформной кплнбровкс для метрики уравнения для экстремалей имеют г.ид

= т?„ = -29,1/?.

где индексы,у £ 11 обозначают лпфференниропанпс по каноническому параметру Из мчи.4, урлинсинй следует, ччо лк>С>а» изотропная прямая ьи.чт 1-

1а .

ся экстремалью, при этом канопическии параметр определяется следующими уравнениями

r¡| = 1/|0'|ехр$, <7-r = const, (30)

|(г,-т,| = 1/|0'|ехр0, а + г = const. (31)

Форму остальных экстремалей для стационарных решений дает следующая

Теорема 5 В стационарном двумерном пространстве-времени, снабженном конформно плоской метрикой, удовлетворяющей уравнением Эйлера-Лаграчжа двумерной гравитации с кручением при ненулевом кручении, любая неизотропная экстремаль относится к одному из следующих трех классов, (а) Экстремали общего вида определены следующим уравнением

..¿„А. 1 (32)

/l+Cj|9'|exp0

где С3 - произвольная отличная от нуля константа, причем значения С2 < О « С, > 0 описывают, соответственно, времениподобные и пространствен-неподобные экстремали. Канонический параметр определяется одним из двух уравнений

■ 2

■ Т* ~ Cj|0'|exp0 (33)

g¡ = ± crn^o • (34)

(Ь) Прямые пр&сгпранствениоподобные эк гпремали, параллельные оси а,,

г = const, (35)

или

и проходящие через каждую точку т, для которых канонический параметр определен следующим убавлением

о, = —.—--. (36)

^Иехр«

(с) Прямые вырожденные экстремали, параллельные осиг, и проходящие через те точки

(То — const, (37)

в которых функция 0 удовлетворяет уравнению

2(0'-в+1-Л)е' + Л=О. (38)

Канонический параметр при зтом совпадает с временной оординатой

t = г. (39)

Аналогичная теорема доказана для однородных решений. Затем найдена асимптотика и проведен анализ полноты экстремалей.

Теорема 6 Произвольная времениподобная или пространственноподобная экстремаль о пространстве-времени, снабженном конформно плоской метрикой, удовлетворяющей уравнениям Эйлера-Лагранжа двумерной гравитации с кручением при ненулевом кручении, в области, где одновременно <т, т —» ±оо, имеет изотропную асимптотику

т = ±о 4-const,, (10)

и, следовательно, уходит в изотропную бесконечность.

Теорема 7 В прострапстас-лремени, снабженном конформно плоской метрикой, удовлетворяющей уравнениям О&лгра-Пагранжн din/Mi ¡¡ной .■¡¡ппшпа-

•\ии е KjtijUfHUt.M ¡¡¡¡и к< 4'iitiu>:'. кручении, о С( m.ipOM'dfvttt.ie и '><-ц u.ii i, [пунчцп f-

экстремали полны. Все экстремали общего вида, уходящие в изотропную бесконечность, и изотропные экстремали неполны. Прямые неизотротме экстремали помш в той пространственной или временной бесконечности, где функция 0 —> ±</—\ иди в —* —оо, А ^ 0 и неполны в противном случае.

Теорема 8 В■ пространстве-времени, снабженном конформно плоской метрикой, удоолетворяющей уравнениям Эйлера-Лагранжа двумерной гравитации с кручением при ненулевом кручении, все экстремали, попадающие в сингулярную точку, полны.

Затем в диссертации доказаны аналогичные теоремы, определяющие форму, асимптотику и полноту геодезических. Их поведение качественно совпадает с поведением экстремалей.

Из приведенных теорем следует, что общее решение уравнений движения двумерной гравитации с кручением, которое дается теоремой 4, является неполным н его необходимо продолжить. Это сделано с помощью диаграмм Пенроуза. А именно, используя конформные nj ^образования, вся координатная плоскость отображается на треугольник для верхней ветви решения уравнения .(27) и на . квадрат для всех остальных ветвей, При этом асимптотика функций перехода однозначно определяется условием, чтобы через каждую точку на границе диаграммы в каждом направлении проходила одна экстремаль и одна геодезическая. Затем доказывается, что гладкую склейку диаграмм Пенроуза можно Проаести единственным образом. Таким образом построены все максимально Н|ху»м.жедаые .решения двумерной гравитации с кручением. Чтобы сформулировать этот результат в виде теоремы, введем несколько определений. Назо-»#'ч тройку (£>, г.ы) областью Римаиа-Картана, если D € Я" - односвяэная

область в Я" с кусочно-гладкой границей, е я и) дважды непрерывно дифференцируемые в D тетрада и лоренцева связность. Две области Римайа-Картана (0i,ei,Wi) и (Djy eiyu>i) будем называть изоморфными, если существует диффеоморфизм / : Dj —» Dj и локальный лоренцев поворот / такие, что /*еi = iej, /*сс>х = lu>j, где /* - отображение 1-форм. Будем также понимать под двумерным пространством-временем Минковского тройку (Я2,ео,шь), где лиада e0ae = a лоренцева связность равна нулю, woor"' = 0. Пса универсальной накрывающей однополостного гиперболоида будем понимать тройку (Я3,е,о»), где е и ш - некоторые фиксированные диада и лоренцева смзяость постоянной кривизны и нулевого кручения. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 9 Пусть (Де,и) двумерная область Римана-Картана. Если диада и лоренцева связность удовлетворяют в D уравнениям Эйлера-Лагранжа двумерной гравитации с кручение.»» (10) и (11), а область D является .максимально продолженной по экстремалям и геодезическим, то в зависимости от значений констант связи исходного лагранжиана, , все возможности для которых приведены в Таблице 2.2 диссертации, область Римана-Картана (D, е,и>) изоморфна либо двумерному пространству-времени Минковского, либо универсальной накрывающей однополостного гиперболоида, либо одной из одиннадцати поверхностей (71,...,G11 с нетривиальным кручением и непостоянной кривизной.

Двумерное нространство-время Минковского является полным многообразием с нулоным кручением и нулевой кривизной. Универсальная накрывающая однополостного iiiiii'pGu.'ioiuin является полним многообразней с нуленым крученном и постоянной ьрпнн шой. Цонсрхиости G'l,... ,641 инляю ici максималь-

l'>

но продолженными поверхностями с нетривиальным кручением и непостоянной кривизной. Они имеют границы, на которых кручение в кривизна обращаются в бесконечность. Эти поверхности неизоморфны между собой и являются некомпактными в топологии, определяемой метрикой Они отличаются также видом границ. Среди глобальных решений есть решения, представляющие физический интерес. Это решение, описывающее черную и белую дыру в полной аналогии с расширением Крускала решения Шварцшильда, и решение, описывающее изменение топологии пространства во времени.

После явного построения глобальных решений двумерной гравитации с кручением во второй главе диссертации проведен гамильтонов анализ уравнений

. движения для струны с динамической геометрией. Обобщенный гамильтониан модели равен линейной комбинации связей первого рода

где функции у0, V), ч,ио, иьи играют роль множителей Лагранжа. Здесь /о, Р\ И - первичные связи первого род:., соответствующие компонентам ео" диады и временной компоненте лоренцевой связности Во- Три вторичные связи Но, "Н\ и х также являются связями первой? рода. Их фурье-компоненты,

где = \СНо £ удовлетворяют следующей алгебре скобок Пуассона

(41)

= /У<гН*е-т', Мп = £ ¿сХс~т\

{¿,+,х:> = .(п.-..)!+

'т+п>

{/.-, ¿-> = -»(т-п)Х-

'т+Ш

[1»,^,.} = «тЛ/и+„,

{¿¿д;} = {¿;,л/„) = {д/т,Л4}-о.

Таким образом, три вторичные связи приводят к нетривиальному обобщению алгебры Вирасоро. Эта алгебра представляет собой полупрямую сумму алгебры Вирасоро и одномерной абелевой алгебры, соответствующей лоренцеву вращению. Появление в теории новой алгебры может привести к далеко идущим следствиям, поскольку могут существенно измениться неприводимые представления.

Двумерная гравитация с кручением является существенно нелинейной Моделью, поэтому выбор независимых переменных, по которым строится пространс-во Фока является чрезвычайно важным. Для проведения канонического квантования в теории била частично зафиксирована калибровочп? -г свобода, и совершено нелокальное нелинейное каноническое преобразование, которое позволяло явно отделить физические и нефизические степени свободы. После этого обобщенный гамильтониан стал равен линейной комбинации двух связей, которые удовлетворяют алгебре Вирасоро и в новых канонических переменных имеют вид

По = ~П„П* - ¡ЬХАХ* + ¿р' - ¿pi - f (W

Hi = n,ot х» + pdiq + Р1л91+aiP - Kd]qL.

Здесь пара канонически сопряженных неременных q,p описывает конформный фактор метрики и является физической степенью свободы, а пара q±,p,L - л о» ронцеи угол и я ил «г I <к калибровочной- тнчн.кхчюСоды.. Связь Ло чиер/кит нелокальный член.

1\ = f dcr'{p\ + кЩ) -J' ,Ь'Р1(°') + кЧ. ( I-)

с некоторой константой интегрирования <тз. Отметим, что квадратичная часть связей в гравитационном секторе но виду совпадает со связями для бозонной струны. В этом виде становится очевидной положительная определенность связи Но, ко торая определяет энергию системы, для физических степеней свободы. А именно, константы связи должны удовлетворять следующим неравенствам р, к, 7 > О, Л > 0.

Затем проведено каноническое квантование модели. С этой целью построено пространство Фока и вычислена квантовая алгебра связей. Доказано, что, несмотря на неполиномиальность связей, центральный заряд в алгебре Вирасоро определяется только струнной частью. То есть чистая двумерная гравитация с кручением свободна от аномалий.

В третьей главе диссертации на основе геометрии Римана-Картана построена теория статического распеределения дефектов в твердых телах. С этой целью в начале главы установлена связь между физическими характеристиками упругой среды с дефектами и геометрическими понятиями. Показано, что в случае Произвольного, в том числе непрерывного, распределения дислокаций вектор Бюргерса можно определить только локально. Его поверхностная плотность взаимно однозначно определяется тензором кручения

¿Ь\г) ~ -Атт Л<*х"Тт„\

Здесь индекс I — 1,2, 3 преобразуется под действием трехмерной группы вращений, а индексы гп,п — 1,2,3 - при замене координат. Показано, что это опреде-ленве вектора бюргерса корректно с математической точки зрения и сводится к стаадат ному определению для линейных дислокаций, в случае нулевой крн-ькмы. Зле\"Ь ;кс рассмотрен другой тип дефектов - дпеклинанни в упругих

средах со спиновой структурой. Показано, что при произвольном распределении дисклинаций вектор Франка можно определить только локально, и что его поверхностная плотность определяется тензором кривизны

dtf' - dxm А <Ь*Я„Д

Это определение корректно с математической точки зрения и совпадает со стандартным определением вектора Франка для аксиальных дисклинаций.

Следующим этапом построения геометрической модели дефектов является выбор лагранжиана. Сначала рассматривается наиболее общий восьмипараме- ' трический лагранжиан, квадратичный по кривизне и кручению. На него накладываются три естественных ограничения:

• Существуют решения, описывающие среду только с дислокациями, то есть RrJ> = О, Г,„п' ф 0.

• Существуют решения, описывающие среду только с дисклинапиями, то есть Птп' ф 0, Tr,m' = 0.

. • Существуют решения, описывающие среду без дислокаций и дисклинаций, то есть Л™'' = 0, Ттп' » 0.

Оказывается, что только двухпараметрический лагранжиан

= kR - 2-,RAnRAi\

который равен сумме лагранжиана Гильберта-Эйнштейна дли триады и квадрата антисимметричной части тензора Риччй для 50(3)-спязности. Оты<тим, что скалярная крншмнл //(с) nocrpwita только по символам Kpm."irxjt[nvu и

не зависит от кручения.. Этот лагранжн&в вместе с лагранжианом для источников предлагается в качестве модели статического распределения дефектов в упругих средах.

Затем рассмотрено два примера:-произвольное распределение прямолинейных параллельных дислокаций и дисклинаций. В обоих случаях уравнения статического распределения дефектов сводятся к трехмерным уравнениям Эйн-штейпа для триады. Различие определяется тем, что в случае дислокший мы имеем пространство абсолютного параллелизма, и триада определяет тензор кручения. Во втором случае кручение тождественно равно нулю, а триада определяет тензор кривизны. В рассмотренных случаях вычислены векторы Бюргерса и Франка, а также линейная плотность энергии. При этом показано, что в рамках геометрического подхода можно просто решать те задачи, которые чрезвычайно сложны с точки зрения стандартной теории упругости или их просто нельзя поставить. Это относится к средам с большим числом дефектом или ях непрерывным распределением.

При рассмотрении примеров использовалось точное решение трехмерных уравнений Эйнштейна, которое было найдено Дезером, Джэкивом и т'Хофтом для стационарного распределения М точечных частиц. Тем самым показано, что их решение имеет прямую ноьую физическую интерпретацию в упругих • средах с дефектами.

В четвертой « лапе рассматриваются четырехмерные модели теории грави-1 ацак с кручением. На десятнплраметрический квадратичный лагранжиан общего вида накладывается два условш. А именно, требуется, чтобы уравнения ды1же11ия£опуа.али|1йнк'ии1 с нулевой кривизной и дорпвпалышм жручепием,,

а также решения с нулевым кручением и непостоянной кривизиой. В результате получен пятипараметрический лагранжиан следующего вида

-Ъ = /сЛ(е) + схС^СА'ш + + сэЛ*а + А,

где к, с 1, С2, с3 - константы связи, А -космологическая постоянная, СД^ -антисимметричная часть тензора Вейля, ЛД - антисимметричная часть тензора Риччи, и Л* - свертка тензора кривизны 'с полностью антисимметричным тензором четвертого рапга, а,6,с,<! = 0,1,2,3. Отметим, что квадратичные по кривизне слагаемые в лагранжиане исчезают, если положить кручение тожде-' ственно равным нулю.

Этот лагранжиан замечателен тем, что пространство решений уравнений движения имеет по крайней мере два хорошо определенных сектора. Это сектор, описывающий прострапство-время с абсолютным параллелизмом, н обычный эйнштейновский сектор. Интересно отметить, что при са = —2с1 и А = О получается единственный лагранжиан без гостов и тахионов, найденный Кух-фусом и Нишем.

, В конце главы обсуждается минимальное взаимодействие спшорных полей с лсренцевой связностью. Здесь показано, что основной вклад во взаимодействие дает полностью антисимметричная часть лоренцевой связности, которая описывается псевдовекторным полем.

Н пятой главе диссертации рассматривается обобщение теорий типа Калуцы-Клейна на случай кручения. С этой целью геометрия Римана Картина строп гея на пространстве главного расслоения с четырехмерной базой и полу простой структурной группой. В качостреинвариантной рнмановой метрики на

главном расслоении выбирается стандартная метрика с четырехмерным метрическим тензором для базы и формой Киллинга-Картана для дополни тельных измерений. Затем, исходя из естественных геометрических требований на пространство главного расслоения задается инвариантная метрическая связность с кручением.

После этого рассматривается три примера лагранжианов. В первом примере показано, что константы связи в исходном лагранжиане можно подобрать таким образом, что после редукции к плоскому четырехмерному пространству-времени Минкоаского возникает стандартный лагранжиан Янга-Миллса-Хиггса со скалярными полями в присоединенном представлении калибровочной группы. Во втором примере константы связи подобраны таким образом, чтобы после редукции получался квадратичный лагранжиан теории динамического кручения без гостов и тахионов, взаимодействующий с калибровочными и скалярными полями. В третьем примере показало, что бозовная часть одипнадцатимерной супергравитации также укладывается в эту схему.

В заключении диссертации перечислены основные полученные результаты.

Список литературы

[1] Катанаев М. О. О калибровочной теории для группы Пуанкаре. ТМФ, 54(3):381-387, 1983.

[2] Катанаев М. О. Линейная связность в теориях типа Калуцы-Клейна. ТМФ, 56(2):246-250, 1983.

[3] К;.танаев М. О. Кинетический член для лоренцевой связност п. ТМФ, С5(1):105-118,1985.

[4] M О. Katan-iev and I. V. Volovich. Higgs fields in Kaluza-Klein theory with dynamical torsion. Phys. Lett., 156B(5-6):327-330, 1985.

[5] Волович И. В., Катанаев М. О. Скалярные поля и динамическое кручение в теориях типа Калуцы-Клейна.ТМФ, 66(1):79-89, 1986.

[6] Катанаев М. О. Динамическое кручение и проблема индефинитной метрики в общей теории относительности. ЯФ, 43(3):772-774, 1986.

[7] Волович И. В., Катанаев М. О. Квантовые струны с динамической геометрией. Письма в ЖЭТФ, 43(5):212-213, 1986.

[8] М. О. Katanaev and I. V. Volovich. String model with dynamical geometry and torsion. Phys. Lett., 175B(4):413-416, 1986.

[9] Катанаев M. О. Крупномасштабный предел теории динамического кручения. Изв. вузов. Физика, 5:39-44, 1987.

[10] Катанаон М. О. Кинетический член в теории динамического кручения. ТМФ, 72(1 ):79-88, 1987.

[И] I, V. Volovich and М. О. Katanaev. Bosonic string model with dynamical geometry and torsion. In Quark-86, Utrecht, 1987. VNU Science Prese.

(12) Катанаев M. О. Струна с динамической геометрией. Гамильтоиоа анализ » конформной калибропкс. ТМФ, 80(2):'>39-252, 1980.

(13) Катапаен М, О. Нопаи интегрируемая модель - двумерная гравитация с динамическим кручением. ДЛИ СССР, 30!>(.1):5!И -593, 1989.

[14] M. O. Katanaev and I. V. Volovioh. Two-dimensional gravity with dynamical torsion and strings. Ann. Phys., 197(l):l-32, 1990.

[15] M. 0. Katanaev. Complete integrability of two-dimensional gravity with dynamical torsion. J. Math. Phys., 31(4):882-891, 1990.

[16] M. 0. Katanaev. Conformal invariance, extremals, and geodesies in two-dimensional gravity with torsion. J. Math. Phys., 32(9):2483-2496, 1991.

[17] M. O. Katanaev and I. V. Volovich. Theory of defects in solids and three-dimensional gravity. Ann. Phys., 216(l):l-28, 1992.

[18] M. O. Katanaev. A11 universal coverings of two-dimensional gravity with torsion. J. Math. Phys., 34(2):700-736, 1993.

[19j M. O. Katanaev. New constraints in dynamical torsion theory. Gen. Rel. Grav., 2o(4):349-359, 1993.

[20] M. O. Katanaev. Canonical quantization of the string with dynamical geometry and anomaly free nontrivial string in two dimensions. Nucl. Phys. B416:563-505,1994.

Подписано в печать 26 . Сб. 94. Формат 60 х 84 1Дб Обьац J п. л Тирах 100 экз. Заказ 22

У0П Института агиологии и антропологии РАН II7334 Москва, Ленинский проспект, 32-А.

2S