Действия сложности 1 редуктивных алгебраических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова

механико-математический факультет

ОД

о

На правах рукописи УДК 512.745

Тимашёв Дмитрий Андреевич

Действия сложности 1 редуктивных алгебраических групп

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

<_/ У

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук

профессор Э. Б. Винберг.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук

профессор Д. Н. Ахиезер; доктор физико-математических наук доцент Д. И. Панюшев.

Ведущая организация — Ярославский государственный

университет.

Защита диссертации состоится _» _Ц).¿¿^¿лХ^ 1997 г. в

16 ч. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьёвы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " -/-л>

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук

профессор В. Н. Чубариков.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проблема классификации алгебраических многообразий является одной из центральных задач, стимулирующих развитие алгебраической геометрии. В теории алгебраических групп преобразований естественно формулируется эквивариантный аналог этой проблемы: описание многообразий, на которых действует алгебраическая группа G, с точностью до G-изоморфизма. Проблема распадается на две части: "бирациональную" и "бирегулярную". Бирациональная классификация G-многообразий (с данным полем G-инвариантных функций) может быть получена в принципе в терминах когомологий Галуа [ВП]1. Вторая, "би-регулярная" часть проблемы может быть сформулирована так: описать все действия группы G данного бирационального типа в терминах некоторых комбинаторных данных, "среда обитания" которых зависит только от бирационального типа действия. Сюда же примыкает задача описания различных геометрических свойств G-многообразий в терминах вышеупомянутых комбинаторных инвариантов, протягивающего "мостик" между алгебраической геометрией и комбинаторикой.

Яркий пример решения эквивариантной проблемы классификации в определённом классе действий — теория торических многообразий, активно развивающаяся последние два десятилетия, см. [KKMS]2, [Д]3, [О]4. Как известно, торические многообразия классифицируются веерами многогранных конусов в векторном пространстве, порождённом решёткой од-нопараметрических подгрупп алгебраического тора. В терминах геометрии и комбинаторики взаимного расположения этих конусов и целых точек в них интерпретируются такие геометрические свойства торическо-го многообразия как взаимное расположение орбит, гладкость, структура группы классов дивизоров и т. д. Всё это делает торические многообразия "модельными объектами" алгебраической геометрии.

Общий метод решения задачи классификации G-многообразий данного бирационального типа, имеющих плотную орбиту (т. е. эквивариант-

1[ВГГ] Э. Б. Винберг, В. Л. Попов, Теория инвариантов, Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фунд. напр., т. 55, 1989, С. 137-309.

2[KKMS] G. Kempf, F. Knudson, D. Mumford, B. Saint-Donat, Toroidal embed-dings, /, Lect. Notes Math., vol. 339, Heideiberg-Berlin-New York: Springer-Verlag, 1973, 209 p.

3[Д] В. И. Данилов, Геометрия торических многообразий, Успехи мат. наук 33 (1978), №2, 85-134.

4[О] Т. Oda, Convex bodies and algebraic geometry: an introduction to the theory of toric varieties, Berlin: Springer Verlag, 1988, 212 p.

ных частичных пополнений или вложений фиксированного однородного пространства G/H) предложили в 1983 году Д. Луна и Т. Вюст [LV]5. Наиболее полные результаты получены для связных редуктивных групп G и нормальных G-многообразий. Ключевую роль в применении метода Луны-Вюста на практике играет такой бирациональный инвариант как сложность действия — коразмерность орбиты общего положения боре-левской подгруппы В Ç G. Как отмечено в [LV], метод Луны-Вюста даёт надежду на окончательный ответ в задаче классификации, лишь если сложность действия не превосходит 1.

Случай сложности 0 интенсивно изучался последнее время, см. [Knl]6 и библиографию там. Многообразия сложности 0 называются сферическими (таковы, в частности, торические многообразия). Для них найдено общее решение задачи о классификации (^-многообразий в данном бирациональ-ном классе, в значительной мере обобщающее теорию торических многообразий.

Цель работы. Эффективное комбинаторное описание действий сложности 1 редуктивных алгебраических групп, обобщающее теорию торических и сферических многообразий. Интерпретация ряда геометрических свойств этих действий в терминах полученных комбинаторных инвариантов.

Методы исследования. В работе используются методы теории алгебраических групп преобразований и теории инвариантов, теории представлений редуктивных групп, коммутативной алгебры и теории алгебраических кривых. Также используются результаты выпуклой геометрии конусов и многогранников.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) Получена эффективная классификация действий сложности 1 редуктивных: алгебраических групп в данном бирациональном классе в терминах объектов комбинаторной выпуклой геометрии, аналогичная описанию торических и сферических многообразий веерами многогранных конусов.

5[LVj D. Luna, Th. Vust, Plongements d'espaces homogenes, Comment. Math. Helv. 58 (1983), 186-245.

6[Kril] F. Knop, The Luna-Vust theory of spherical embeddings, Proc. of the Hyderabad Conf. on Algebraic Groups, Madras: Manoj Prakashan, 1991, P. 225-249.

2) Получена интерпретация некоторых геометрических свойств рассматриваемых действий и многообразий в терминах введённых комбинаторных инвариантов: описание взаимного расположения орбит, критерии аффинности и полноты и т. д.

3) Полностью описаны действия сложности 1 с плотной орбитой групп полупростого ранга 1.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны специалистам в теории алгебраических групп преобразований и алгебраической геометрии.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре "Группы Ли и теория инвариантов" кафедры Высшей алгебры под руководством проф. Э. Б. Винберга и проф. А. Л. Онищика на механико-математическом факультете МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведён в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырёх параграфов. Текст диссертации изложен на 56 страницах. Список литературы содержит 22 наименования.

Содержание работы

Введение. Здесь описана постановка задачи и дан краткий исторический очерк исследований по проблеме эквивариантной классификации многообразий. Там же описана структура и краткое содержание диссертации.

Первый параграф. В §1 теория Луны-Вюста [ЬУ], посвящённая описанию эквивариантных вложений однородных пространств, обобщается на случай эквивариантных моделей произвольных функциональных полей. Зафиксируем следующие обозначения:

С — связная редуктивная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем к характеристики 0. Мы будем предполагать, что (7 имеет односвязный тип, т. е. является произведением тора на односвязную полупростую группу (к этому можно свести дело конечным накрытием).

ВСС — фиксированная борелевская подгруппа, и С В — максимальная унипотентная подгруппа.

К — функциональное поле (т. е. конечнопорождённое расширение поля к), на котором С действует бирациональными автоморфизмами.

Задача состоит в том, чтобы описать нормальные (^-многообразия X, поле функций на которых С-изоморфно полю К. Такие многообразия мы будем называть й-моделями поля К. Метод решения этой задачи базируется на следующих основных идеях:

а) Все С-модели можно склеить в одну большую (ненётерову, неотделимую) схему Ха(К). С-модель — не что иное, как открытое С-инвариантное нётерово, отделимое подмножество Хс(Л"). Следующие объекты взаимно однозначно определяют друг друга: С?-инвариант-ная схемная точка %а(К)> С-шшариантное неприводимое замкнутое подмножество У С Х^(/С); С-инвариантное локальное кольцо конечного типа Оха[к)ху Я. К- Мы будем называть объекты любого из этих классов С-ростками (интуитивно они описывают ростки (3-многообразий в окрестности своих (?-инвариантных подмногообразий). С-модель однозначно определяется множеством пересекающих её С-ростков.

б) Локальная техника изучения б-моделей. Для любой С?-модели X и её С-ростка, задаваемого й-инвариантным подмногообразием У С X

о

существует аффинное открытое В-инвариантное подмножество X С X, пересекающее У. Это следует из теоремы Сумихиро и теории старшего веса. Б-инвариантные аффинные открытые подмножества

о

в Х,з(/Г) будем называть В-картами. Заметим, что если X — Во

карта, то СХ (разнесение в Ха(К)) — С-модель.

в) В описании В-карт и С-рост ко в, их пересекающих, ключевая роль принадлежит 5-инвариантным дивизорам, которые можно описать в терминах, не зависящих от выбора Б-карты или С-модели, а только от поля К.

Перейдём к конкретным результатам.

Б-полуинвариантные элементы поля К образуют группу по умножению К'у0У Обозначим через V множество геометрических <0>-значных дискретных С-инвариантных нормирований К/к, V — множество не С-инвари-антных простых дивизоров на (любой) б-модели поля К. Элементы V и Т>в будем называть (7-нормированиями и В-дивизорами, соответственно.

Будем отождествлять простые дивизоры и соответствующие им нормирования поля К.

о о

Пусть X — В-карта. Тогда А = А:[Х] — целозамкнутая конечнопо-рождённая алгебра, в частности, кольцо Крулля, откуда

о

Л = (по всем простым дивизорам D с x)

= р| Ош Л П Ош,

W6VV шбКи(Р\Х>в)

где Ow — кольцо нормирования w, W С V, 71 С Vе. Взяв другую В-карту, мы изменим W U 72. на конечное число элементов, т. е. всевозможные W U 7Z лежат в некотором выделенном классе 2J эквивалентных подмножеств V U VD по отношению эквивалентности "отличаются на конечное число элементов".

Обратно, если W С V, И С Vе, и W U7?. принадлежит классу 03, то

А — A(Tl,W) = Q ОшП р) Ош wew шеки (р\х>Й)

— кольцо Крулля. Если a) QA — К, и б) А конечнопорождена, то

о

X = Spec Л с Xq(K) является В-картой. Следующая теорема даёт переформулировку условий а), б) в терминах В-полуинвариантов.

Теорема 1. (1) QA = К эквивалентно

(С) VV0 С W U 7г, V0 конечно, 3/ 6 Kw

Vw € W U 7г Vw e Vo : w(/) ^ 0, u(/) > 0

(2) Все нормирования из W существенны для А тогда и только тогда, когда

(W) Vw б W Э/ 6 Vu 6 И>и7г\ {ад} : и(/) ^ 0, Ц/) < 0

(3) А конечнопорождена тогда и только тогда, когда

(F) Аи = А^Л.'3'] конечнопорождена

Следующий вопрос — как описать G-ростки, пересекающие данную В-карту. Любой G-росток является центром некоторого G-нормирования v (т. е. его локальное кольцо Оу доминируется кольцом 0„). Совокупность

Sy таких V назовём носителем G-ростка. G-нормирование v имеет центр

о

на ß-карте x тогда и только тогда, когда v\a ^ 0. Пусть Vy Ç W, vy с TZ

о

— подмножества, отвечающие всем 5-инвариантным дивизорам X, содер-

о

жащим Y П X.

Предложение 1 ([Кп2]7). Пара множеств (Vy,VB) однозначно определяет G -росток.

о

Теорема 2. (1) и € V имеет центр в X тогда и только тогда, когда (V) V/ € 1<{в) : w{f) í? О, Vio е WUTl v{f) ^ О

(2) Пусть v Ç Sy. Нормирование v' € VV U Tí принадлежит Vy тогда и только тогда, когда

(V') V/ € К{В) : v(f) = 0, w(f) Z 0, Vw 6 W U П => v'(f) = О Итоговая теорема описывает G-модели поля К.

Теорема 3. G-моделъ X С \q{K) задаётся множество своих G-pocm-ков, т. е. пар (Vy, VB), определяемых условиями (V), (V'), исходя из неко-

о

торого конечного набора B-карт Ха или пар (Wa,Tía), удовлетворяющих условиям (С), (W), (F). (Условие конечности обеспечивает нётеровостпь X.) При этом носители этих ростков должны попарно не пересекаться (это условие обеспечивает отделимость X).

Как иллюстрация к общей теории, в конце §1 бегло рассмотрено описание сферических многообразий.

Второй параграф посвящён описанию "среды обитания" ß-инвариант-ных дивизоров на многообразии сложности 1. Предположим, что поле К имеет сложность 1, т. е. tr. degKB = 1. Пусть G — группа весов В-полу-инвариантных функций из К. Точная последовательность

1 -► (Кв)х -> K<ß> -> Г -► 0

расщепляется, т. е. существует вложение е : Г К^в\ А > ед (.В-полу-инвариант веса А). Кв — к(С) есть поле функций на некоторой гладкой проективной кривой С.

7[Kn2] F. Knop, Uber Bewertungen, welche unter einer reduktiven Gruppe invariant sind, Math. Ann. 295 (1993), 333-363

Предложение 2 ([Кп2]). С-нормирования однозначно определяются ограничением на

Ограничение С-нормирования V на К^ — х е(Г) задаёт гомо-

морфизм I \ Г —> (¡5 и нормирование поля Кв вида 5ух, где ьх(/) — порядок функции / € к{С) в точке х, 5 € <Ц>+. Таким образом, можно считать множество V вложенным в объединение полупространств <2Г1+ = <0>+ х (2, х Е С, склеенных по общей граничной гиперплоскости 2 — Нот(Г,<0>). Такой агрегат Яс,+ — Утес О-хл назовём гиперпространством над кривой С.

В [Кп2] показано, что для Уа: 6 С УП ЯХ:+ есть выпуклый телесный конус в Имеем также (не обязательно инъективное) отображение

Т>° -> 2с,+ (ограничение на К^). При этом в каждое <211+ попадает лишь конечное число элементов Vе. Рассмотрим точки 6 £2Х,+, для которых I — 0, 6 — 1. Замыкание В-орбиты общего положения на С-модели есть В-инвариантный дивизор, изображаемый точкой где х £ С — точка общего положения.

В §2 рассмотрены используемые в примерах методы вычисления гиперпространства 2с+1 оснащённого подмножеством V и отображением Vе

Завершает описание "среды обитания" интерпретация элементов как функционалов на гиперпространстве. Любой элемент Кимеет вид / = /оед, /о 6 /<"й, А е Г. Ему сопоставляется функция <р на йс,

ограничение которой на каждое полупространство <21 + есть линейный функционал = : {ух,д) = ¿их(/о) +- (£, А), где д = (5,£) £ При этом (^рх,дх) = 0 почти для всех I £ С, где дх = (1,0) € (2Х,+ - Будем называть такие функции линейными функционалами на гиперпространстве. Множество Кег <р — УхбСКег 1рх назовём ядром линейного функционала. В-полуинвариант однозначно (с точностью до умножения на скаляр) определяется своим линейным функционалом. Обратно, любой линейный функционал ц> на гиперпространстве, целочисленный на Г* и всех <?х, задаётся элементом я • ел 6 £(с) <8> А [Г], где А £ Г, а Ь(с) — пространство рациональных сечений обратимого пучка Ь на С. А именно, Уд = (<5,£) € : (<рх,д) = ^(я) 4- (¿,А). Функционал ¡р задаёт элемент е. Ь = Сс — структурный пучок) тогда и только тогда, когда ■ х С С — главный дивизор (в частности, ^2(<Рх>1х) = 0; при С = Р1 этого достаточно). Заметим, что условия (С), (\¥), (V), (V') из теорем 1-2 являются "однородными", т. е. фигурирующие в них В-полуинварианты могут быть без ущерба заменены на их степени (и наоборот), а соответствующие функционалы— на их кратные. Это приводит к понятию допустимого линейного функционала — такого функционала </?,

что дивизор дх) ■ х является главным для некоторого N > 0.

Третий параграф. В §3 даётся описание 5-карт, С-ростков и С-модедей сложности 1 в терминах комбинаторной геометрии некоторых объектов в гиперпространстве, аналогичных конусам и веерам для торического и сферического случая. Здесь сформулированы и доказаны основные теоретические результаты диссертации. При рассмотрении результатов этого параграфа полезно всё время иметь в виду аналогию с торическим или сферическим случаем.

Начнём с описания В-карт. Пусть пара множеств (УУ, 71), где УУ С V, 71 С Vе, принадлежит классу 9? и удовлетворяет условию (С). Рассмотрим множество С = С(>У, Щ элементов гиперпространства, на которых принимают неотрицательные значения все допустимые линейные функционалы, неотрицательные на >У и 71, — "бидуальный конус" к множеству У\?\Л71 (в сферическом случае мы получили бы просто конус, порождённый конечным множеством и 71 элементов конечномерного пространства). Оказывается, в нашем случае мы получаем гиперконус в смысле следующего определения.

Определение 1. Цветной гиперконус — это пара (С, 71), где 72. С Т>в — множество красок, а С = Цгес — объединение конечнопорождённых строго выпуклых конусов Сх = СП 2Г,+-- При этом

(a) V = ^ ^ где qx•\■Vx — выпуклая оболочка множества вершин многогранной области К.х — Сх П QXtl (при этом некоторые К.х могут быть пусты, тогда по определению 0 = Рх = V $ 0);

(b) все Сх порождены множеством V, конечным набором элементов V и элементами ^Z, попадающими в (2Х,+ (точнее, их образами);

(c) почти все Сх (кроме конечного числа) порождены К. =С Г\Q и qx^,

(с!) ни один элемент 71 не попадает в 0.

Линейный функционал на гиперпространстве, неотрицательный на С, назовём опорным.

Предложение 3. Следующие условия эквивалентны:

(Г)

(1) Веса элементов образуют конечнопорождённую полугруппу.

(2) Все опорные функционалы гиперконуса (С(УУ, 72), 72), достигающие значения 0 на V допустимы. Такие гиперконусы будем называть допустимыми.

Теорема 4. В-карты задаются допустимыми цветными гиперконусами. Множество УУ восстанавливается по гиперконусу (С, Л) как множество образующих тех рёбер конусов Сх, куда не попадают элементы 72 и~Р.

Для описания б-ростков введём следующее определение.

Определение 2. Цветной конус — это пара (С, 72'), где 72' С Т>в — конечное множество, ни один элемент которого не попадает в 0, а С — строго выпуклый конус в некотором (2Х,+ , порождённый конечным набором элементов V и множеством 72'.

Грань цветного гиперконуса (С, 71) — это либо

I. Цветной конус (С,72.'), для которого С1 — грань одного из Сх, не пересекающая V, а 72' — множество элементов 71, попадающих в С', либо

II. Цветной гиперконус (С, 72/), для которого С — объединение граней С'х конусов Сх, пересекающих V и не лежащих в /С, а 72' — множество элементов 72, попадающих в С.

Внутренность цветного конуса (цветного гиперконуса) (С, 72') — это множество тЬС' (= и^С^ и тЬ)С', соответственно).

Теорема 5. С-ростки, пересекающие данную В-карту, задаются цветными конусами или гиперконусами (Су, ТЭу), являющимися гранями данного допустимого гиперконуса (С, 72), внутренности которых пересекают V. Множество Уу восстанавливается как множество образующих тех рёбер Су, куда не попадают элементы Т>у и Т. Носитель С?-ростка есть £у — УПт(;Су. Примыканию С-ростков (т. е. включению соответствующих замкнутых подмногообразий в любой модели) отвечает обратное включение цветных (гипер)конусов как граней друг в друга.

Итоговая теорема описывает С?-модели сложности 1.

Теорема 6. й-модель задаётся множеством цветных конусов и гиперконусов, получающимся из конечного набора допустимых цветных гиперконусов как множество их всевозможных граней, внутренности которых пересекают V, при условии, что внутренности этих граней попарно не

пересекаются внутри V. Такую коллекцию конусов и гиперконусов будем называть цветным веером (по аналогии со сферическим случаем). С-модель является аффинной, если её веер состоит из всевозможных граней одного цветного гиперконуса, красками которого являются все элементы 75°. С-модель является полной, если её веер покрывает всё множество V.

В доказательстве теорем 4-6, помимо общей теории, развитой в §1, используется техника варьирования допустимых линейных функционалов. В доказательстве предложения 3 используется теория дивизоров на алгебраических кривых и обильных векторных расслоений.

Четвёртый параграф посвящён примерам. Основная их масса полностью описывают ситуацию, когда рассматриваются вложения однородных пространств С/Н, где С — группа полупростого ранга 1, Н — её конечная подгруппа. Соответствующие (^-многообразия служат "локальными моделями" для действий сложности 1 произвольной редуктивной группы б с плотной (7-орбитой. Некоторые из этих случаев рассматривались раньше: С = 5Ь2, Н — {е}, — в [ЬУ]; О = БЬг, Н — произвольная конечная подгруппа, — в [М-,]]8. В случае, когда С — тор, классификация С-моделей сложности 1, допускающих "хороший" фактор по действию (?, была получена в [ККМЭ]. Мы рассмотрим этот пример в духе настоящей работы и обобщим на случай, когда действие С не обязательно допускает фактор.

Автор пользуется случаем, чтобы выразить благодарность своему научному руководителю Э. Б. Винбергу за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также М. Бриону, Ф. Кнопу за

полезные обсуждения.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Тимашёв Д. А. С7-многообразия сложности 1. Успехи мат. наук 51

(1996), №3, 213-214.

[2] Тимашёв Д. А. О С-многообразиях сложности 1. Деп. в ВИНИТИ за № 1836-В96 от 4.06.96, 40 с.

8[M-J] L. Moser-Jauslin, Normal embeddings of SL(2)/T, Thesis, Geneva, 1987, 103 p.